Примери за решаване на системи от диференциални уравнения чрез числени методи. Числени методи за решаване на диференциални уравнения

Въведение

Когато се решават научни и инженерни проблеми, често е необходимо да се опише математически всяка динамична система. Това се прави най-добре под формата на диференциални уравнения ( DU) или системи от диференциални уравнения. Най-често такъв проблем възниква при решаване на задачи, свързани с моделиране на кинетиката на химичните реакции и различни явления на пренос (топлина, маса, импулс) - топлообмен, смесване, сушене, адсорбция, при описание на движението на макро- и микрочастици.

В някои случаи диференциалното уравнение може да бъде преобразувано във форма, в която най-голямата производна е изразена явно. Тази форма на писане се нарича уравнение, разрешено по отношение на най-високата производна (в този случай най-високата производна отсъства от дясната страна на уравнението):

Решение на обикновено диференциално уравнение е функция y(x), която за всяко x удовлетворява това уравнение в определен краен или безкраен интервал. Процесът на решаване на диференциално уравнение се нарича интегриране на диференциално уравнение.

Исторически, първият и най-прост начин за числено решаване на проблема на Коши за ODE от първи ред е методът на Ойлер. Базира се на апроксимацията на производната чрез съотношението на крайните нараствания на зависимите (y) и независимите (x) променливи между възлите на равномерна мрежа:

където y i+1 е търсената стойност на функцията в точката x i+1.

Точността на метода на Ойлер може да се подобри, ако използваме по-точна формула за интегриране, за да приближим интеграла: трапецовидна формула.

Тази формула се оказва имплицитна по отношение на y i+1 (тази стойност е както от лявата, така и от дясната страна на израза), тоест това е уравнение за y i+1, което може да бъде решено напр. , числено, използвайки някакъв итеративен метод (в такава форма може да се разглежда като итеративна формула на простия итерационен метод).

Състав на курсовата работа: Курсовата работа се състои от три части. В първата част, кратко описание на методите. Във втората част формулировката и решението на проблема. В третата част - софтуерна реализация на компютърен език

Целта на курсовата работа: да се изучат два метода за решаване на диференциални уравнения - методът на Ойлер-Коши и подобреният метод на Ойлер.

1. Теоретична част

Числено диференциране

Диференциално уравнение е това, което съдържа една или повече производни. В зависимост от броя на независимите променливи, диференциалните уравнения се разделят на две категории.

Обикновени диференциални уравнения (ОДУ)

Частични диференциални уравнения.

Обикновените диференциални уравнения се наричат ​​такива уравнения, които съдържат една или повече производни на желаната функция. Те могат да бъдат записани във формата

независима променлива

Най-високият ред, включен в уравнение (1), се нарича ред на диференциалното уравнение.

Най-простият (линеен) ODE е уравнение (1) с ред, разрешен по отношение на производната

Решение на диференциално уравнение (1) е всяка функция, която след заместване в уравнението го превръща в идентичност.

Основният проблем, свързан с линейния ODE, е известен като проблемът на Каши:

Намерете решение на уравнение (2) под формата на функция, която удовлетворява началното условие (3)

Геометрично това означава, че е необходимо да се намери интегралната крива, минаваща през точката ), когато е изпълнено равенство (2).

Числен от гледна точка на проблема Каши означава: необходимо е да се изгради таблица с функционални стойности, която да отговаря на уравнение (2) и началното условие (3) на сегмент с определена стъпка . Обикновено се приема, че първоначалното условие е дадено в левия край на сегмента.

Най-простият от числените методи за решаване на диференциално уравнение е методът на Ойлер. Той се основава на идеята за графично конструиране на решение на диференциално уравнение, но този метод също така предоставя начин за намиране на желаната функция в числова форма или в таблица.

Нека уравнението (2) е дадено с началното условие, т.е. проблемът на Каши е поставен. Нека първо решим следния проблем. Намерете по най-простия начин приблизителната стойност на решението в дадена точка, където е достатъчно малка стъпка. Уравнение (2) заедно с началното условие (3) определя посоката на тангентата на желаната интегрална крива в точката с координати

Уравнението на допирателната има формата

Движейки се по тази допирателна, получаваме приблизителната стойност на решението в точката:

Имайки приблизително решение в точка, можем да повторим процедурата, описана по-рано: да построим права линия, минаваща през тази точка с наклон, и да я използваме, за да намерим приблизителната стойност на решението в точката

. Имайте предвид, че тази права линия не е допирателна към реалната интегрална крива, тъй като точката не е достъпна за нас, но ако е достатъчно малка, тогава получените приблизителни ще бъдат близки до точните стойности на решението.

Продължавайки тази идея, ние конструираме система от еднакво разположени точки

Получаване на таблица със стойности на желаната функция

според метода на Ойлер се състои в цикличното прилагане на формулата

Фигура 1. Графична интерпретация на метода на Ойлер

Методите за числено интегриране на диференциални уравнения, при които решенията се получават от един възел до друг, се наричат ​​поетапни. Методът на Ойлер е най-простият представител на методите стъпка по стъпка. Характеристика на всеки поетапен метод е, че започвайки от втората стъпка, първоначалната стойност във формула (5) сама по себе си е приблизителна, т.е. грешката при всяка следваща стъпка систематично се увеличава. Най-използваният метод за оценка на точността на методите стъпка по стъпка за приблизително числено решение на ODE е методът на двойно преминаване на даден сегмент със стъпка и със стъпка

1.1 Подобрен метод на Ойлер

Основната идея на този метод: следващата стойност, изчислена по формула (5), ще бъде по-точна, ако стойността на производната, тоест наклонът на правата линия, заместваща интегралната крива на сегмента, ще бъде изчислена не по левия ръб (т.е. в точката ), но по протежение на центъра на сегмента . Но тъй като стойността на производната между точките не се изчислява, тогава нека преминем към двойните секции на центъра, в които е точката, докато уравнението на правата линия приема формата:

И формула (5) приема формата

Формула (7) се прилага само за, следователно стойността не може да бъде получена от нея, следователно те се намират с помощта на метода на Ойлер, докато за получаване на по-точен резултат те правят това: от самото начало, използвайки формулата (5 ), намерете стойността

(8)

В точка и тогава се намира по формула (7) със стъпка

(9)

След като бъдат намерени допълнителни изчисления за произведени по формула (7)

Лаборатория 1

Числени методи за решаване

обикновени диференциални уравнения (4 часа)

При решаването на много физични и геометрични задачи трябва да се търси неизвестна функция чрез дадена връзка между неизвестната функция, нейните производни и независими променливи. Това съотношение се нарича диференциално уравнение и се нарича намиране на функция, която удовлетворява диференциално уравнение решение на диференциално уравнение.

Обикновено диференциално уравнение се нарича равенство

, (1)

при което

е независима променлива, променяща се в някакъв интервал, и - неизвестна функция г ( х ) и нейната първа нпроизводни. Наречен реда на уравнението .

Проблемът е да се намери функция y, която да удовлетворява равенството (1). Освен това, без да уточняваме това отделно, ще приемем, че желаното решение има определена степен на гладкост, необходима за изграждането и "легитимното" прилагане на определен метод.

Има два вида обикновени диференциални уравнения

Уравнения без начални условия

Уравнения с начални условия.

Уравнения без начални условия са уравнение от вида (1).

Уравнение с начални условияе уравнение във формата (1), в което се изисква да се намери такава функция

, което за някои отговаря на следните условия: ,

тези. в точката

функцията и нейните първи производни приемат предварително зададени стойности.

Проблеми на Коши

При изучаване на методи за решаване на диференциални уравнения с приближени методи основна задачаброи Проблем с Коши.

Помислете за най-популярния метод за решаване на проблема на Коши - методът на Runge-Kutta. Този метод дава възможност да се конструират формули за изчисляване на приблизително решение с почти всякакъв порядък на точност.

Нека изведем формулите на метода на Рунге-Кута от втори ред на точност. За да направим това, представяме решението като част от серията на Тейлър, като отхвърляме членове с порядък, по-висок от втория. След това приблизителната стойност на желаната функция в точката х 1 може да се запише като:

(2)

втора производна г "( х 0 ) може да се изрази чрез производната на функцията f ( х , г ) , обаче, в метода на Runge-Kutta вместо производната се използва разликата

подходящ избор на стойностите на параметрите

Тогава (2) може да се пренапише като:

г 1 = г 0 + ч [ β f ( х 0 , г 0 ) + α f ( х 0 + γh , г 0 + δh )], (3)

където α , β , γ и δ - някои параметри.

Разглеждане на дясната страна на (3) като функция на аргумента ч , нека го разделим на мощности ч :

г 1 = г 0 +( α + β ) ч f ( х 0 , г 0 ) + ах 2 [ γ f x ( х 0 , г 0 ) + δ f y ( х 0 , г 0 )],

и изберете опции α , β , γ и δ така че това разширение е близо до (2). Оттук следва, че

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( х 0 , г 0 ).

Използвайки тези уравнения, ние изразяваме β , γ и δ чрез параметри α , получаваме

г 1 = г 0 + ч [(1 - α ) f ( х 0 , г 0 ) + α f ( х 0 +, г 0 + f ( х 0 , г 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Сега, ако вместо ( х 0 , г 0 ) в (4) заместник ( х 1 , г 1 ), получаваме формула за изчисление г 2 – приблизителната стойност на желаната функция в точката х 2 .

В общия случай методът на Рунге-Кута се прилага върху произволно разбиване на сегмента [ х 0 , х ] на нчасти, т.е. с променлива стъпка

x 0 , x 1 , …, x n ; h i \u003d x i+1 - x i, x n \u003d X. (5)

Настроики α изберете равно на 1 или 0,5. Нека запишем окончателните формули за изчисление на метода Runge-Kutta от втори ред с променлива стъпка за α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i, y i)), (6.1)

аз = 0, 1,…, н -1.

и α =0,5:

yi+1 =yi + , (6.2)

аз = 0, 1,…, н -1.

Най-използваните формули на метода Рунге-Кута са формули от четвърти ред на точност:

yi+1 =yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 \u003d f (x i, y i), k 2 \u003d f (x i + , y i + k1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i + h, y i + hk 3).

За метода Runge-Kutta е приложимо правилото Runge за оценка на грешката. Позволявам г ( х ; ч ) е приблизителната стойност на решението в точката х , получени по формули (6.1), (6.2) или (7) със стъпка ч , а стр – ред на точност на съответната формула. Тогава грешката Р ( ч ) стойности г ( х ; ч ) може да се оцени с помощта на приблизителната стойност г ( х ; 2 ч ) точкови решения х , получено със стъпка 2 ч :

(8)

където стр =2 за формули (6.1) и (6.2) и стр =4 за (7).

За решаване на диференциални уравнения е необходимо да се знае стойността на зависимата променлива и нейните производни за някои стойности на независимата променлива. Ако за една стойност на неизвестното са посочени допълнителни условия, т.е. независима променлива, тогава такъв проблем се нарича проблем на Коши. Ако началните условия са дадени при две или повече стойности на независимата променлива, тогава проблемът се нарича граничен проблем. При решаване на диференциални уравнения от различни типове функцията, чиито стойности искате да определите, се изчислява под формата на таблица.

Класификация на числените методи за решаване на диф. лв. видове.

Проблемът на Коши е едноетапен: методи на Ойлер, методи на Рунге-Кута; – многоетапни: Основен метод, метод на Адамс. Проблемът с гранични стойности е метод за редуциране на проблем с гранични стойности до проблема на Коши; – метод на крайните разлики.

При решаването на задачата на Коши, диф. ур. поръчка n или система difr. ур. от първи ред от n уравнения и n допълнителни условия за неговото решаване. За същата стойност на независимата променлива трябва да бъдат посочени допълнителни условия. При решаване на гранична задача, ур. n-ти ред или система от n уравнения и n допълнителни условия за две или повече стойности на независимата променлива. При решаване на задачата на Коши желаната функция се определя дискретно под формата на таблица с някаква зададена стъпка . Когато определяте всяка следваща стойност, можете да използвате информация за една предходна точка. В този случай методите се наричат ​​едноетапни методи или можете да използвате информация за няколко предишни точки - многоетапни методи.

Обикновен диференциал ур. Проблем с Коши. Едноетапни методи. Метод на Ойлер.

Дадено е: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0, y( x 0)=y 0 . Известно: f(x,y), x 0 , y 0 . Определете дискретното решение: x i , y i , i=0,1,…,n. Методът на Ойлер се основава на разлагането на функция в редица на Тейлър около точката x 0 . Кварталът е описан чрез стъпка h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+...+ (1). Методът на Ойлер взема предвид само два члена от серията на Тейлър. Нека въведем нотация. Формулата на Ойлер ще приеме формата: y i+1 =y i +y i, y i =hy(x i)=hf(x i,y i), y i+1 =y i +hf(x i,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 = x i +h

Формула (2) е формулата на простия метод на Ойлер.

Геометрична интерпретация на формулата на Ойлер

За да се получи числено решение, f-la на допирателната, минаваща през уравнение. тангенс: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 \u003d y (x 0) + f (x 0, y 0)  (x-x 0), тъй като

x-x 0 \u003d h, след това y 1 \u003d y 0 + hf (x 0, y 0), f (x 0, y 0) \u003d tg £.

Модифициран метод на Ойлер

Дадено е: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Известно: f(x,y), x 0 , y 0 . Определете: зависимостта на y от x под формата на таблична дискретна функция: x i , y i , i=0,1,…,n.

Геометрична интерпретация

1) изчислете тангенса на ъгъла на наклона в началната точка

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Изчислете стойността  y n+1 на

в края на стъпката според формулата на Ойлер

 y n+1 \u003d y n + f (x n, y n) 3) Изчислете тангенса на наклона

допирателна в n+1 точки: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Изчислете средноаритметичното на ъглите

наклон: tg £=½. 5) Използвайки тангенса на ъгъла на наклона, преизчисляваме стойността на функцията в n+1 точки: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h е формулата на модифицирания метод на Ойлер . Може да се покаже, че получената f-la съответства на разлагането на f-ii в редица на Тейлър, включително членове (до h 2). Модифицираният метод на Eilnr, за разлика от простия, е метод от втори ред на точност, тъй като грешката е пропорционална на h 2 .

Обикновени диференциални уравнения се наричат ​​такива уравнения, които съдържат една или повече производни на желаната функция y=y (x). Те могат да бъдат записани във формата

Където x е независимата променлива.

Най-високият ред n на производната в уравнението се нарича ред на диференциалното уравнение.

Методите за решаване на обикновени диференциални уравнения могат да бъдат разделени на следните групи: графични, аналитични, приблизителни и числени.

Графичните методи използват геометрични конструкции.

Аналитични методи се намират в курса на диференциалните уравнения. За уравнения от първи ред (с разделими променливи, хомогенни, линейни и т.н.), както и за някои видове уравнения от по-висок ред (например линейни с постоянни коефициенти), е възможно да се получат решения под формата на формули чрез аналитични трансформации.

Приближените методи използват различни опростявания на самите уравнения чрез разумно отхвърляне на някои от членовете, съдържащи се в тях, както и чрез специален избор на класове на желаните функции.

Числените методи за решаване на диференциални уравнения в момента са основният инструмент в изследването на научни и технически проблеми, описани с диференциални уравнения. В същото време трябва да се подчертае, че тези методи са особено ефективни в комбинация с използването на съвременни компютри.

Най-простият числен метод за решаване на проблема на Коши за ODE е методът на Ойлер. Разгледайте уравнението в близост до възлите (i=1,2,3,...) и заменете производната от лявата страна с дясната разлика. В този случай стойностите на функцията във възлите ще бъдат заменени от стойностите на мрежовата функция:

Получената апроксимация на DE е от първи ред, тъй като се допуска грешка при замяна с .

Забележете, че това следва от уравнението

Следователно това е приблизително намиране на стойността на функцията в точка, като се използва разширението в серия на Тейлър с отхвърляне на членове от втория и по-високия ред. С други думи, нарастването на функция се приема за равно на нейния диференциал.

Ако приемем, че i=0, използвайки връзката, намираме стойността на функцията на мрежата при:

Изискваната тук стойност се дава от първоначалното условие, т.е.

По същия начин могат да бъдат намерени стойностите на мрежовата функция в други възли:

Конструираният алгоритъм се нарича метод на Ойлер

Фигура - 19 Метод на Ойлер

Геометричната интерпретация на метода на Ойлер е дадена на фигурата. Показани са първите две стъпки, т.е. илюстрирано е изчисляването на мрежовата функция в точки. Интегралните криви 0,1,2 описват точните решения на уравнението. В този случай крива 0 съответства на точното решение на задачата на Коши, тъй като минава през началната точка A (x 0, y 0). Точки B,C се получават в резултат на численото решение на задачата на Коши по метода на Ойлер. Техните отклонения от крива 0 характеризират грешката на метода. При извършване на всяка стъпка всъщност стигаме до друга интегрална крива. Отсечка AB е отсечка от допирателната към крива 0 в точка A, нейният наклон се характеризира със стойността на производната. Грешката се появява, защото нарастването на стойността на функцията по време на прехода от x 0 към x 1 се заменя с нарастване на ординатата на допирателната към крива 0 в точка A. Допирателната BC вече е начертана към друга интегрална крива 1 Така грешката на метода на Ойлер води до факта, че на всяка стъпка приблизителното решение преминава към друга интегрална крива.

Дефиниция на диференциалното уравнение на Ойлер. Разглеждат се методите за неговото решаване.

Съдържание

Диференциалното уравнение на Ойлер е уравнение от вида
а 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ a n- 1 xy′ + a n y = f(x).

В по-обща форма уравнението на Ойлер има формата:
.
Това уравнение се свежда до по-проста форма чрез заместване на t = ax + b, което ще разгледаме.

Намаляване на диференциалното уравнение на Ойлер до уравнение с постоянни коефициенти.

Разгледайте уравнението на Ойлер:
(1) .
То се свежда до линейно уравнение с постоянни коефициенти чрез заместване:
x = e t.
Наистина тогава
;
;
;

;
;
..........................

Така множителите, съдържащи x m, се съкращават. Има членове с постоянни коефициенти. На практика обаче за решаване на уравненията на Ойлер е възможно да се прилагат методи за решаване на линейни DE с постоянни коефициенти, без да се използва горното заместване.

Решение на хомогенното уравнение на Ойлер

Разгледайте хомогенното уравнение на Ойлер:
(2) .
Търсим решение на уравнение (2) във формата
.
;
;
........................
.
Заместете в (2) и намалете с x k . Получаваме характеристичното уравнение:
.
Решаваме го и получаваме n корена, което може да бъде сложно.

Помислете за истински корени. Нека k i е кратен корен с кратност m. Тези m корена съответстват на m линейно независими решения:
.

Помислете за сложни корени. Те се появяват по двойки заедно със сложни конюгати. Нека k i е кратен корен с кратност m. Изразяваме комплексния корен k i по отношение на реалната и имагинерната част:
.
Тези m корена и m комплексно спрегнати корена съответстват на 2 млинейно независими решения:
;
;
..............................
.

След получаване на n линейно независими решения, получаваме общото решение на уравнение (2):
(3) .

Примери

Решете уравнения:


Решение на примери >>>

Решение на нехомогенното уравнение на Ойлер

Разгледайте нехомогенното уравнение на Ойлер:
.
Методът на вариацията на константите (метод на Лагранж) е приложим и към уравненията на Ойлер.

Първо решаваме хомогенното уравнение (2) и получаваме общото му решение (3). След това разглеждаме константите като функции на променливата x. Диференциране (3) n - 1 веднъж. Получаваме изрази за n - 1 производни на y по отношение на x. При всяко диференциране членовете, съдържащи производни, се приравняват на нула. Така че получаваме n - 1 уравнения, свързани с производни. След това намираме n-тата производна на y. Заместваме получените производни в (1) и получаваме n-тото уравнение, свързващо производните . От тези уравнения определяме. След това, интегрирайки, получаваме общото решение на уравнение (1).

Пример

Решете уравнението:

Решение >>>

Нехомогенно уравнение на Ойлер със специална нехомогенна част

Ако нехомогенната част има определена форма, тогава е по-лесно да се получи общо решение чрез намиране на конкретно решение на нехомогенното уравнение. Този клас включва уравнения от вида:
(4)
,
където са полиноми в степени и съответно.

В този случай е по-лесно да направите замяна
,
и реши