Разстоянието от началото до равнината (най-късото). Разстояние от точка до равнина - определение и примери за намиране Разстояние от началото на координатите до равнина формула

Тази статия говори за определяне на разстоянието от точка до равнина. Нека го анализираме с помощта на координатния метод, който ще ни позволи да намерим разстоянието от дадена точка в триизмерното пространство. За да затвърдим това, нека разгледаме примери за няколко задачи.

Разстоянието от точка до равнина се намира по известното разстояние от точка до точка, като едното от тях е дадено, а другото е проекция върху дадена равнина.

Когато в пространството е определена точка M 1 с равнина χ, тогава през точката може да се начертае права линия, перпендикулярна на равнината. H 1 е тяхната обща пресечна точка. От това получаваме, че отсечката M 1 H 1 е перпендикуляр, прекаран от точка M 1 към равнината χ, където точката H 1 е основата на перпендикуляра.

Определение 1

Разстоянието от дадена точка до основата на перпендикуляр, прекаран от дадена точка към дадена равнина, се нарича.

Дефиницията може да бъде написана в различни формулировки.

Определение 2

Разстояние от точка до равнинае дължината на перпендикуляра, прекаран от дадена точка към дадена равнина.

Разстоянието от точка M 1 до равнината χ се определя, както следва: разстоянието от точка M 1 до равнината χ ще бъде най-малкото от дадена точка до всяка точка на равнината. Ако точката H 2 се намира в равнината χ и не е равна на точката H 2, тогава получаваме правоъгълен триъгълник под формата M 2 H 1 H 2 , който е правоъгълен, където има крак M 2 H 1, M 2 H 2 – хипотенуза. Това означава, че следва, че M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 се счита за наклонена, която се изтегля от точка M 1 към равнината χ. Имаме, че перпендикулярът, прекаран от дадена точка към равнината, е по-малък от наклонения, прекаран от точката към дадената равнина. Нека разгледаме този случай на фигурата по-долу.

Разстояние от точка до равнина - теория, примери, решения

Има редица геометрични задачи, чиито решения трябва да съдържат разстоянието от точка до равнина. Може да има различни начини да се идентифицира това. За да разрешите, използвайте Питагоровата теорема или подобието на триъгълници. Когато според условието е необходимо да се изчисли разстоянието от точка до равнина, дадена в правоъгълна координатна система на тримерното пространство, то се решава по координатния метод. Този параграф обсъжда този метод.

Съгласно условията на задачата имаме, че е дадена точка в тримерното пространство с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) с равнина χ, необходимо е да се определи разстоянието от M 1 до равнината χ. Използват се няколко метода за решаване на този проблем.

Първи начин

Този метод се основава на намиране на разстоянието от точка до равнина с помощта на координатите на точка H 1, които са основата на перпендикуляра от точка M 1 към равнината χ. След това трябва да изчислите разстоянието между M 1 и H 1.

За да решите задачата по втория начин, използвайте нормалното уравнение на дадена равнина.

Втори начин

По условие имаме, че H 1 е основата на перпендикуляра, който е спуснат от точка M 1 към равнината χ. След това определяме координатите (x 2, y 2, z 2) на точка H 1. Необходимото разстояние от M 1 до равнината χ се намира по формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, където M 1 (x 1, y 1, z 1) и H 1 (x 2, y 2, z 2). За да решите, трябва да знаете координатите на точка H 1.

Имаме, че H 1 е пресечната точка на равнината χ с правата a, която минава през точката M 1, разположена перпендикулярно на равнината χ. От това следва, че е необходимо да се състави уравнение за права, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена равнина. Тогава ще можем да определим координатите на точка H 1. Необходимо е да се изчислят координатите на пресечната точка на правата и равнината.

Алгоритъм за намиране на разстоянието от точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до равнината χ:

Определение 3

съставете уравнение на права линия a, минаваща през точка M 1 и в същото време
перпендикулярна на равнината χ;
намерете и изчислете координатите (x 2 , y 2 , z 2) на точка H 1, които са точки
пресичане на права a с равнина χ;
изчислете разстоянието от M 1 до χ, като използвате формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Трети начин

В дадена правоъгълна координатна система O x y z има равнина χ, тогава получаваме нормално уравнение на равнината под формата cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. От тук получаваме, че разстоянието M 1 H 1 с точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1), начертано към равнината χ, изчислено по формулата M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Тази формула е валидна, тъй като е установена благодарение на теоремата.

Теорема

Ако точка M 1 (x 1, y 1, z 1) е дадена в триизмерно пространство, имаща нормално уравнение на равнината χ под формата cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, след това изчисляването на разстоянието от точката до равнината M 1 H 1 се получава от формулата M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, тъй като x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Доказателство

Доказателството на теоремата се свежда до намиране на разстоянието от точка до права. От тук получаваме, че разстоянието от M 1 до равнината χ е модулът на разликата между числената проекция на радиус-вектора M 1 с разстоянието от началото до равнината χ. Тогава получаваме израза M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Нормалният вектор на равнината χ има формата n → = cos α, cos β, cos γ и дължината му е равна на единица, n p n → O M → е числената проекция на вектора O M → = (x 1, y 1 , z 1) в посоката, определена от вектора n → .

Нека приложим формулата за изчисляване на скаларни вектори. Тогава получаваме израз за намиране на вектор от вида n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , тъй като n → = cos α , cos β , cos γ · z и O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Координатната форма на запис ще приеме формата n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тогава M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Теоремата е доказана.

От тук получаваме, че разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до равнината χ се изчислява чрез заместване на cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 в лявата страна на нормалното уравнение на равнината вместо x, y, z координати x 1, y 1 и z 1, отнасящи се до точка М 1, като се вземе абсолютната стойност на получената стойност.

Нека разгледаме примери за намиране на разстоянието от точка с координати до дадена равнина.

Пример 1

Изчислете разстоянието от точката с координати M 1 (5, - 3, 10) до равнината 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Решение

Нека решим проблема по два начина.

Първият метод започва с изчисляване на вектора на посоката на линията a. По условие имаме, че даденото уравнение 2 x - y + 5 z - 3 = 0 е общо уравнение на равнината, а n → = (2, - 1, 5) е нормалният вектор на дадената равнина. Използва се като насочващ вектор на права a, която е перпендикулярна на дадена равнина. Необходимо е да се запише каноничното уравнение на линия в пространството, минаваща през M 1 (5, - 3, 10) с насочващ вектор с координати 2, - 1, 5.

Уравнението ще се превърне в x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Трябва да се определят пресечните точки. За да направите това, внимателно комбинирайте уравненията в система, за да преминете от каноничните към уравненията на две пресичащи се линии. Нека вземем тази точка като H 1. Разбираме това

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

След което трябва да активирате системата

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Нека се обърнем към правилото за системно решение на Гаус:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Получаваме, че H 1 (1, - 1, 0).

Изчисляваме разстоянието от дадена точка до равнината. Взимаме точки M 1 (5, - 3, 10) и H 1 (1, - 1, 0) и получаваме

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Второто решение е първо да приведем даденото уравнение 2 x - y + 5 z - 3 = 0 в нормална форма. Определяме нормализиращия коефициент и получаваме 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. От тук извеждаме уравнението на равнината 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Лявата страна на уравнението се изчислява чрез заместване на x = 5, y = - 3, z = 10 и трябва да вземете разстоянието от M 1 (5, - 3, 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 по модул. Получаваме израза:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Отговор: 2 30.

Когато равнината χ е зададена чрез един от методите в раздела за методи за определяне на равнина, тогава първо трябва да получите уравнението на равнината χ и да изчислите необходимото разстояние, като използвате произволен метод.

Пример 2

В тримерното пространство се задават точки с координати M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Изчислете разстоянието от M 1 до равнината A B C.

Решение

Първо трябва да напишете уравнението на равнината, минаваща през дадените три точки с координати M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

От това следва, че задачата има решение, подобно на предишната. Това означава, че разстоянието от точка M 1 до равнината A B C има стойност 2 30.

Отговор: 2 30.

Намирането на разстоянието от дадена точка на равнина или до равнина, на която те са успоредни, е по-удобно чрез прилагане на формулата M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . От това получаваме, че нормалните уравнения на равнините се получават в няколко стъпки.

Пример 3

Намерете разстоянието от дадена точка с координати M 1 (- 3, 2, - 7) до координатната равнина O x y z и равнината, дадена от уравнението 2 y - 5 = 0.

Решение

Координатната равнина O y z съответства на уравнение от вида x = 0. За равнината O y z е нормално. Следователно е необходимо да замените стойностите x = - 3 в лявата страна на израза и да вземете абсолютната стойност на разстоянието от точката с координати M 1 (- 3, 2, - 7) до равнината. Получаваме стойност, равна на - 3 = 3.

След трансформацията нормалното уравнение на равнината 2 y - 5 = 0 ще приеме формата y - 5 2 = 0. След това можете да намерите необходимото разстояние от точката с координати M 1 (- 3, 2, - 7) до равнината 2 y - 5 = 0. Като заместваме и пресмятаме, получаваме 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Отговор:Необходимото разстояние от M 1 (- 3, 2, - 7) до O y z има стойност 3, а до 2 y - 5 = 0 има стойност 5 2 - 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В тази статия ще определим разстоянието от точка до равнина и ще анализираме метода на координатите, който ви позволява да намерите разстоянието от дадена точка до дадена равнина в триизмерното пространство. След като представим теорията, ще анализираме подробно решенията на няколко типични примера и задачи.

Навигация в страницата.

Разстояние от точка до равнина - определение.

Разстоянието от точка до равнина се определя чрез , едната от които е дадена точка, а другата е проекцията на дадена точка върху дадена равнина.

Нека в тримерното пространство са дадени точка M 1 и равнина. Нека начертаем права a през точка M1, перпендикулярна на равнината. Нека означим пресечната точка на права a и равнината като H 1 . Отсечката M 1 H 1 се нарича перпендикулярен, спусната от точка M 1 към равнината, а точка H 1 – основа на перпендикуляра.

Определение.

е разстоянието от дадена точка до основата на перпендикуляр, прекаран от дадена точка към дадена равнина.

Най-често срещаната дефиниция на разстоянието от точка до равнина е следната.

Определение.

Разстояние от точка до равнинае дължината на перпендикуляра, прекаран от дадена точка към дадена равнина.

Трябва да се отбележи, че разстоянието от точка M 1 до равнината, определено по този начин, е най-малкото от разстоянията от дадена точка M 1 до всяка точка на равнината. Наистина, нека точка H 2 лежи в равнината и е различна от точка H 1 . Очевидно триъгълникът M 2 H 1 H 2 е правоъгълен, в него M 1 H 1 е кракът, а M 1 H 2 е хипотенузата, следователно, . Между другото, сегментът M 1 H 2 се нарича наклоненначертан от точка M 1 към равнината. И така, перпендикуляр, прекаран от дадена точка към дадена равнина, винаги е по-малък от наклонен, прекаран от същата точка към дадена равнина.

Разстояние от точка до равнина - теория, примери, решения.

Някои геометрични задачи на някакъв етап от решението изискват намиране на разстоянието от точка до равнина. Методът за това се избира в зависимост от изходните данни. Обикновено резултатът се постига чрез използване или на Питагоровата теорема, или на знаците за равенство и подобие на триъгълници. Ако трябва да намерите разстоянието от точка до равнина, които са дадени в триизмерното пространство, тогава координатният метод идва на помощ. В този параграф на статията ще го анализираме.

Първо, нека формулираме условието на проблема.

В правоъгълната координатна система Oxyz в тримерното пространство е дадена точка , равнина и трябва да намерите разстоянието от точка M 1 до равнината.

Нека да разгледаме два начина за решаване на този проблем. Първият метод, който ви позволява да изчислите разстоянието от точка до равнина, се основава на намирането на координатите на точка H 1 - основата на перпендикуляра, спуснат от точка M 1 към равнината, и след това изчисляване на разстоянието между точките M 1 и H 1. Вторият начин за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена равнина включва използването на нормалното уравнение на дадена равнина.

Първият метод, който ви позволява да изчислите разстоянието от точка да рендосвам.

Нека H 1 е основата на перпендикуляра, прекаран от точката M 1 към равнината. Ако определим координатите на точка H 1, тогава необходимото разстояние от точка M 1 до равнината може да се изчисли като разстоянието между точките И според формулата . Така остава да се намерят координатите на точка H 1.

Така, алгоритъм за намиране на разстоянието от точка да рендосвамследващия:

Вторият метод е подходящ за намиране на разстоянието от точка да рендосвам.

Тъй като в правоъгълната координатна система Oxyz ни е дадена равнина, можем да получим нормалното уравнение на равнината във формата . След това разстоянието от точката към равнината се изчислява по формулата. Валидността на тази формула за намиране на разстоянието от точка до равнина се установява от следната теорема.

Теорема.

Нека правоъгълна координатна система Oxyz е фиксирана в триизмерното пространство и е дадена точка и нормално равнинно уравнение от формата . Разстоянието от точка M 1 до равнината е равно на абсолютната стойност на израза от лявата страна на нормалното уравнение на равнината, изчислено при , т.е.

Доказателство.

Доказателството на тази теорема е абсолютно подобно на доказателството на подобна теорема, дадено в раздела за намиране на разстоянието от точка до права.

Лесно е да се покаже, че разстоянието от точка M 1 до равнината е равно на модула на разликата между числената проекция M 1 и разстоянието от началото до равнината, т.е. , Където - нормален вектор на равнината, равен на едно, - към посоката, определена от вектора.

И по дефиниция е равно на , и в координатна форма . Следователно това е, което трябваше да се докаже.

По този начин, разстояние от точката към равнината може да се изчисли чрез заместване на координатите x 1, y 1 и z 1 на точката M 1 в лявата страна на нормалното уравнение на равнината вместо x, y и z и вземане на абсолютната стойност на получената стойност .

Примери за намиране на разстоянието от точка да рендосвам.

Пример.

Намерете разстоянието от точка да рендосвам.

Решение.

Първи начин.

В формулировката на проблема ни е дадено общо уравнение на равнината от формата , от което се вижда, че е нормалният вектор на тази равнина. Този вектор може да се приеме като насочващ вектор на права линия a, перпендикулярна на дадена равнина. Тогава можем да напишем каноничните уравнения на права в пространството, която минава през точката и има насочващ вектор с координати, те изглеждат като .

Нека започнем да намираме координатите на пресечната точка на линията и самолети. Нека го обозначим с H1. За да направим това, първо правим прехода от каноничните уравнения на права линия към уравненията на две пресичащи се равнини:

Сега нека решим системата от уравнения (ако е необходимо, вижте статията). Ние използваме:

По този начин, .

Остава да изчислим необходимото разстояние от дадена точка до дадена равнина като разстояние между точките И :
.

Второ решение.

Получаваме нормалното уравнение на дадената равнина. За да направим това, трябва да приведем общото уравнение на равнината в нормална форма. След определяне на нормализиращия фактор , получаваме нормалното уравнение на равнината . Остава да се изчисли стойността на лявата страна на полученото уравнение при и вземете модула на получената стойност - това ще даде необходимото разстояние от точката да самолет:

Така че прочетох нещо на тази страница (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vНормално);

където vP1 е точка от равнината, а vNormal е нормалата към равнината. Любопитен съм как това ви дава разстоянието от началото на света, тъй като резултатът винаги ще бъде 0. Също така, за да бъде ясно (тъй като все още съм малко неясен относно D частта на уравнението на равнината), е d в уравнението на равнината разстоянието от правата през началото на света преди началото на равнината?

математика

3 отговора

Като цяло разстоянието между точка p и равнината може да се изчисли по формулата

Където -точкова работа на продукта

= ax*bx + ay*by + az*bz

и където p0 е точка от равнината.

Ако n има единична дължина, тогава скалярното произведение между вектора и него е дължината (подписана) на проекцията на вектора върху нормалата

Формулата, която съобщавате, е само специален случай, когато точка p е началото. В такъв случай

Разстояние = = -

Това равенство е формално неправилно, тъй като точковият продукт се отнася за вектори, а не за точки... но все още е валиден числено. Като напишете изрична формула, получавате това

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

същото е като

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

Резултатът не винаги е нула. Резултатът ще бъде нула само ако равнината минава през началото. (Тук нека приемем, че равнината не преминава през началната точка.)

По принцип ви е дадена линия от началото до някаква точка на равнината. (Т.е. имате вектор от началото до vP1). Проблемът с този вектор е, че той най-вероятно е наклонен и се насочва към някакво далечно място в равнината, а не към най-близката точка в равнината. Така че, ако просто сте взели дължината на vP1, ще получите твърде голямо разстояние.

Това, което трябва да направите, е да получите проекцията на vP1 върху някакъв вектор, за който знаете, че е перпендикулярен на равнината. Това, разбира се, е vNormal. И така, вземете точковото произведение на vP1 и vNormal и го разделете на дължината на vNormal и ще получите своя отговор. (Ако са достатъчно любезни да ви дадат vNormal, което вече е стойност едно, тогава няма нужда да разделяте.)

Можете да разрешите този проблем с помощта на умножители на Лагранж:

Знаете, че най-близката точка на самолета трябва да изглежда така:

C = p + v

Където c е най-близката точка и v е вектор по протежение на равнината (която следователно е ортогонална на нормалата към n). Опитвате се да намерите c с най-малката норма (или норма на квадрат). Така че се опитвате да минимизирате dot(c,c), като се има предвид, че v е ортогонален на n (по този начин dot(v,n) = 0).

Така задайте лагранжиана:

L = точка (c,c) + ламбда * (точка (v,n)) L = точка (p+v,p+v) + ламбда * (точка (v,n)) L = точка (p,p) + 2*точка(p,v) + точка(v,v) * ламбда * (точка(v,n))

И вземете производната по отношение на v (и задайте 0), за да получите:

2 * p + 2 * v + ламбда * n = 0

Можете да решите ламбда в уравнението по-горе, като поставите точка, умножите двете страни по n, за да получите

2 * точка(p,n) + 2 * точка(v,n) + ламбда * точка(n,n) = 0 2 * точка(p,n) + ламбда = 0 ламбда = - 2 * точка(p,n) )

Отбележете отново, че dot(n,n) = 1 и dot(v,n) = 0 (тъй като v е в равнината и n е ортогонално на нея). След това заместващата ламбда се връща, за да се получи:

2 * p + 2 * v - 2 * точка (p,n) * n = 0

и решаваме за v, за да получим:

V = точка (p,n) * n - p

След това включете това обратно в c = p + v, за да получите:

C = точка (p,n) * n

Дължината на този вектор е |точка(p,n)| , а знакът ви казва дали точката е в посоката на нормалния вектор от началото или в обратната посока от началото.

най-късото разстояние от равнина до началото, използвайки уравнението на равнината

Да предположим, че имам уравнение на равнина ax+by+cz=d, как мога да намеря най-късото разстояние от равнината до началото? Вървя в обратната посока от този пост. В този пост те...

Дълбочинното изображение от Kinect представлява ли разстоянието до началото или разстоянието до равнината XY?

Да кажем, че Kinect се намира на (0,0,0) и гледа в посока +Z. Да предположим, че има обект в точка (1, 1, 1) и един от пикселите в изображението в дълбочина от Kinect представлява този обект....

Разстояние от началото до точка в пространството

Искам да подравня разстоянието от началото до всички точки, където точките са дадени от рамка с данни с две координати. Имам всички точки като: x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11.1...

сферични координати - разстояние до равнина

Справочна информация Помислете за сферична координатна система, подобна на показаната тук: Координатна система http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif За конкретна точка ние...

Как методично да изберете разстоянието до равнината на изрязване за проекция в перспектива?

Имам 3D сцена и камера, дефинирани с помощта на gluPerspective. Имам фиксиран FOV и знам минималното разстояние на всяка геометрия до камерата (това е изглед от първо лице, така че е...

Как да получа разстоянието от точка до равнина в 3d?

Имам триъгълник с точки A, B, C и точка в пространството (P). Как мога да получа разстоянието от точка до равнина? Трябва да изчисля разстоянието от P до равнина, въпреки че моят...

Завъртането на CG точката променя разстоянието от началото

Искам да завъртя CGPoint (червен правоъгълник) около друг CGPoint (син правоъгълник), но той променя разстоянието от началото (син правоъгълник)... когато дам 270 в ъгъла, той създава...

Вземете равнинен център X, Y, Z, декартови координати

Трябва да получа центъра на равнината X, Y, Z, декартови координати. Имам нормалата на равнината и разстоянието от нейната централна точка до началото. Мога да поставя точката(ите) навсякъде и...

разстояние от точка до равнина в определена посока

Дадено е: точка (x1, y1, z1) вектор на посока (a1, b1, c1) равнина ax + by + cz + d = 0 Как мога да намеря разстоянието D от точка до равнина по този вектор? Благодаря ти

Преобразуване на равнина в друга координатна система

Имам координатна система на камера, дефинирана от ротационна матрица R и транслация T спрямо световната координатна система. Равнината се определя в координатата на камерата от нормалата N и точката P върху нея....