Решаване на симетрични системи уравнения. Симетрични уравнения Формула за решаване на квадратно уравнение

Въведение

Симетрията... е идеята, чрез която човекът от векове се е опитвал да разбере и създаде ред, красота и съвършенство.

Концепцията за симетрия минава през цялата човешка история. Той се намира още в началото на човешкото познание. Възниква във връзка с изучаването на жив организъм, а именно човек, и е използван от скулптори още през 5 век пр.н.е. д.
Думата "симетрия" е гръцка. Означава "пропорционалност", "пропорционалност", еднаквост в подреждането на частите. Той се използва широко от всички области на съвременната наука без изключение.
Много велики хора са мислили за този модел. Например Л. Н. Толстой каза: „Стоейки пред черна дъска и рисувайки различни фигури върху нея с тебешир, изведнъж ме осени мисълта: защо симетрията е ясна за окото? Какво е симетрия? Това е вродено чувство. На какво се основава?“
Наистина, симетрията е приятна за окото. Кой не се е възхищавал на симетрията на творенията на природата: листа, цветя, птици, животни; или човешки творения: сгради, технологии, - всичко, което ни заобикаля от детството, всичко, което се стреми към красота и хармония.
Симетрия (древногръцки συμμετρία - „пропорционалност“), в широк смисъл - неизменност при всякакви трансформации. Например, сферичната симетрия на тялото означава, че външният вид на тялото няма да се промени, ако се върти в пространството на произволни ъгли (запазвайки една точка на място). Двустранната симетрия означава, че дясната и лявата страна на равнината изглеждат еднакви.
Срещаме симетрията навсякъде – в природата, техниката, изкуството, науката. Нека отбележим например симетрията, характерна за пеперуда и кленов лист, симетрията на кола и самолет, симетрията в ритмичната структура на стихотворение и музикална фраза, симетрията на орнаментите и границите, симетрията на атомната структура на молекулите и кристалите. Концепцията за симетрия преминава през цялата вековна история на човешкото творчество. То се намира още в началото на човешкото познание; той се използва широко от всички области на съвременната наука без изключение. Принципите на симетрията играят важна роля във физиката и математиката, химията и биологията, технологиите и архитектурата, живописта и скулптурата, поезията и музиката. Законите на природата, които управляват неизчерпаемата картина на явленията в тяхното многообразие, от своя страна са подчинени на принципите на симетрията.

Цели:

Разгледайте видовете и видовете симетрии;

Анализирайте как и къде се използва симетрията;

Помислете как се използва симетрията в училищния курс по алгебра

Симетрия.
Думата "симетрия" има двойно тълкуване. В един смисъл симетричен означава нещо много пропорционално, балансирано; симетрията показва начина, по който много части са координирани, с помощта на които те се комбинират в едно цяло. Второто значение на тази дума е баланс. Аристотел също говори за симетрията като състояние, което се характеризира с връзката на крайностите. От това твърдение следва, че Аристотел може би е бил най-близо до откриването на един от най-фундаменталните закони на природата - закона за нейната двойственост.
Необходимо е да се подчертаят аспектите, без които симетрията е невъзможна:
1) обектът е носител на симетрия; неща, процеси, геометрични фигури, математически изрази, живи организми и т.н. могат да действат като симетрични обекти.

2) някои характеристики - количества, свойства, връзки, процеси, явления - на обект, които остават непроменени по време на симетрични трансформации; те се наричат инварианти или инварианти.

3) промени (на обект), които оставят обекта идентичен на себе си според инвариантни характеристики; такива промени се наричат трансформации на симетрия;

4) свойството на обекта да се трансформира, според избрани характеристики, в себе си след съответните промени.

По този начин симетрията изразява запазването на нещо въпреки някои промени или запазването на нещо въпреки промяната. Симетрията предполага неизменност не само на самия обект, но и на всяко негово свойство по отношение на трансформациите, извършени върху обекта. Неизменността на определени обекти може да се наблюдава по отношение на различни операции - ротации, транслации, взаимна замяна на части, отражения и др. В тази връзка се разграничават различни видове симетрия.

Асиметрия

Асиметрията е липсата или нарушението на симетрията.
В архитектурата симетрията и асиметрията са два противоположни метода за правилна организация на пространствената форма. Асиметричните композиции в процеса на архитектурно развитие възникват като въплъщение на сложни комбинации от жизнени процеси и условия на околната среда.

Дисиметрия

Ние наричаме нарушена, частично нарушена симетрия дисиметрия .
Дисиметрията е широко разпространено явление в живата природа. Характерно е и за хората. Човек е дисиметричен, въпреки факта, че очертанията на тялото му имат равнина на симетрия. Дисиметрията засяга
по-добър контрол на една от ръцете, в асиметричното разположение на сърцето и много други органи, в структурата на тези органи.
Дисиметриите на човешкото тяло са подобни на отклоненията от точната симетрия в архитектурата. Те обикновено са причинени от практическа необходимост, от факта, че разнообразието от функции не се вписва в границите на твърдите закони на симетрия. Понякога такива отклонения дават основата за остър емоционален ефект.

^ Видове симетрии, открити в математиката и науката:

Двустранна симетрия- огледална отражателна симетрия, при която обектът има една равнина на симетрия, спрямо която двете му половини са огледално симетрични. При животните двустранната симетрия се проявява в сходството или почти пълната идентичност на лявата и дясната половина на тялото. В този случай винаги има случайни отклонения от симетрията (например разлики в папиларните линии, разклонения на кръвоносните съдове. Често има малки, но естествени разлики във външната структура и по-значителни разлики между дясната и лявата половина на тялото в разположението на вътрешните органи Например, сърцето при бозайниците обикновено е разположено асиметрично, с изместване наляво.

При животните появата на двустранна симетрия в еволюцията е свързана с пълзене по субстрата (по дъното на резервоар), поради което се появяват гръбната и вентралната, както и дясната и лявата половина на тялото. Като цяло при животните двустранната симетрия е по-изразена при активно подвижните форми, отколкото при приседналите. При растенията обикновено не целият организъм има двустранна симетрия, а отделните му части - листа или цветя. Ботаниците наричат двустранно симетрични цветя зигоморфни.

^Симетрия от N-ти ред- симетрия по отношение на завъртания на ъгъл от 360°/n около всяка ос. Описан от групата Zn.

Аксиална симетрия(радиална симетрия, лъчева симетрия) - форма на симетрия, при която тяло (или фигура) съвпада със себе си, когато обектът се върти около определена точка или линия. Често тази точка съвпада с центъра на симетрия на обекта, тоест точката, в която
се пресичат безкраен брой оси на двустранна симетрия. Геометрични обекти като кръг, топка, цилиндър или конус имат радиална симетрия. Описва се от групата SO(2).

^ Сферична симетрия- симетрия по отношение на завъртанията в тримерното пространство под произволни ъгли. Описва се от групата SO(3). Локалната сферична симетрия на пространството или средата се нарича още изотропия.

^ Ротационна симетрия- термин, означаващ симетрията на обект по отношение на всички или някои собствени ротации на m-измерното евклидово пространство.

^ Симетрия при животни и хора.

Симетрията е жизненоважна характеристика, която отразява характеристиките на структурата, начина на живот и поведението на животното. Симетричната форма е необходима, за да може рибата да плува; птица да лети. Така че симетрията в природата съществува с причина: тя също е полезна или, с други думи, целесъобразна. В биологията център на симетрия има: цветя, медузи, морски звезди и др. Наличието на форми на симетрия вече може да се проследи в най-простите - едноклетъчни (ресничести, амеби). симетрия. Мозъкът е разделен на две половини. В пълно съответствие с общата симетрия на човешкото тяло всяко полукълбо е почти точен огледален образ на другото. Контролът върху основните движения на човешкото тяло и неговите сензорни функции е равномерно разпределен между двете полукълба на мозъка. Лявото полукълбо контролира дясната страна на мозъка, а дясното полукълбо контролира лявата страна. Проучванията показват, че симетричното лице е по-привлекателно. Изследователите също твърдят, че лицето с идеални пропорции е знак, че тялото на собственика му е добре подготвено да се бори с инфекциите. Обикновените настинки, астма и грип са по-склонни да се подобрят при хора, чиято лява страна е точно като дясната. И в облеклото човек, като правило, също се опитва да поддържа впечатлението за симетрия: десният ръкав съответства на левия, десният крачол съответства на левия. Копчетата на сакото и на ризата стоят точно в средата, а ако се отдалечават от нея, то на симетрични разстояния. И в същото време понякога човек се опитва да подчертае и засили разликата между ляво и дясно. През Средновековието мъжете по едно време носели панталони с крачоли в различни цветове (например един червен, а другият черен или бял). Но
такава мода винаги е краткотрайна. Само тактични, скромни отклонения от симетрията остават за дълго време.

Симетрия в изкуството

Симетрията в изкуството като цяло и в изобразителното изкуство в частност произлиза от реалността, пълна със симетрично разположени форми.
Симетричната организация на композицията се характеризира с баланса на нейните части по маса, тон, цвят и равномерна форма. В такива случаи една част е почти огледален образ на втората. Симетричните композиции най-често имат подчертан център. По правило тя съвпада с геометричния център на картинната равнина. Ако точката на изчезване е изместена от центъра, една от частите е по-натоварена с маси или изображението е построено диагонално, всичко това придава динамика на композицията и до известна степен нарушава идеалния баланс.
Правилото за симетрия е използвано и от скулпторите на Древна Гърция. Пример е композицията на западния фронтон на храма на Зевс и Олимпия. Основава се на борбата на лапитите (гърците) с кентаврите в присъствието на бог Аполон. Движението постепенно се засилва от краищата към центъра. Тя достига най-голяма изразителност в образа на двама младежи, замахнали към кентаврите. Нарастващото движение сякаш веднага спира в подстъпите към фигурата на Аполон, спокойно и величествено стоящ в центъра на фронтона.
Представа за изгубените произведения на известни художници от 5 век пр.н.е. д. могат да бъдат съставени от древни рисунки на вази и помпейски фрески, вдъхновени, както смятат изследователите, от произведенията на гръцки майстори от класическата епоха...
Симетрични композиции се наблюдават и сред гръцките майстори от 4-3 век пр.н.е. д. За това може да се съди по копия на стенописите. В помпейските стенописи главните фигури са в центъра на пирамидална композиция, характеризираща се със симетрия.
Художниците често прибягват до правилата на симетрията, когато изобразяват тържествени многолюдни срещи, паради, срещи в големи зали и др.
Художниците от ранния Ренесанс обръщат голямо внимание на правилото за симетрия, както се вижда от монументалната живопис (например фреските на Джото). По време на Високия Ренесанс италианската композиция достига зрялост. Например в картината „Света Ана с Мария и детето Христос“ Леонардо да Винчи подрежда три фигури в триъгълник, обърнат нагоре. В долния десен ъгъл той дава фигурка на агне, държано от малък Христос. Всичко е подредено така, че този триъгълник може да се познае само под обемно-пространствената група от фигури.
Тайната вечеря на Леонардо да Винчи също може да се нарече симетрична композиция. Тази фреска показва драматичния момент, когато
Христос каза на учениците си: „Един от вас ще ме предаде. Психологическата реакция на апостолите към тези пророчески думи свързва персонажите с композиционния център, в който е разположена фигурата на Христос. Впечатлението за цялостност от тази центростремителна композиция се засилва още повече от факта, че художникът показва трапезарията в перспектива с точката на изчезване на паралелни линии в средата на прозореца, на фона на която ясно се очертава главата на Христос. Така погледът на зрителя неволно се насочва към централната фигура на картината.
Сред творбите, които демонстрират възможностите на симетрията, може да се нарече „Годежът на Мария“ на Рафаело, където композиционните техники, характерни за Ренесанса, намериха най-пълен израз.
Картината на В. М. Васнецов „Богатирци“ също е изградена въз основа на правилото за симетрия. В центъра на композицията е фигурата на Иля Муромец. Отляво и отдясно, сякаш в огледален образ, са Альоша Попович и Добриня Никитич. Фигурите са разположени по равнината на картината, спокойно седнали на коне. Симетричното изграждане на композицията предава състояние на относителен покой. Лявата и дясната фигура не са еднакви по маса, което се дължи на идеологическия план на автора. Но и двете са по-малко мощни в сравнение с фигурата на Муромец и като цяло придават пълен баланс на композицията.
Стабилността на композицията дава на зрителя усещане за увереност в непобедимостта на героите, защитниците на руската земя. Освен това в „Богатирите“ е предадено състояние на напрегнато спокойствие на ръба на прехода към действие. Това означава, че симетрията също носи в себе си зародиша на динамично движение във времето и пространството.

Симетрия в алгебрата.

Най-простите симетрични изрази за корените на квадратно уравнение се намират в теоремата на Виета. Това им позволява да се използват при решаването на някои задачи, свързани с квадратни уравнения. Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1:

Квадратно уравнение има корени и . Без да решаваме това уравнение, ние изразяваме чрез и сумите , . Изразът е симетричен по отношение на и . Нека ги изразим чрез + и и след това приложим теоремата на Виета.

Начало > Решение

Рационални уравнения и неравенства

I. Рационални уравнения.

Линейни уравнения.

Системи линейни уравнения.

Реципрочни уравнения.

Формула на Виета за полиноми от по-високи степени.

Системи уравнения от втора степен.

Метод за въвеждане на нови неизвестни при решаване на уравнения и системи от уравнения.

Хомогенни уравнения.

Решаване на симетрични системи уравнения.

Уравнения и системи уравнения с параметри.

Графичен метод за решаване на системи от нелинейни уравнения.

Уравнения, съдържащи знак за модул.

Основни методи за решаване на рационални уравнения

II. Рационални неравенства.

Свойства на еквивалентни неравенства.

Алгебрични неравенства.

Интервален метод.

Дробни рационални неравенства.

Неравенства, съдържащи неизвестно под знака на абсолютната стойност.

Неравенства с параметри.

Системи от рационални неравенства.

Графично решение на неравенства.

III. Скрининг тест.

Рационални уравнения

Функция на формата

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,

където n е естествено число, a 0, a 1,..., a n са някои реални числа, наречени цяла рационална функция.

Уравнение от формата P(x) = 0, където P(x) е цяла рационална функция, се нарича цяло рационално уравнение.

Уравнение на формата

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

където P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) са цели рационални функции, т.нар. рационално уравнение.

Решаването на рационалното уравнение P (x) / Q (x) = 0, където P (x) и Q (x) са полиноми (Q (x)  0), се свежда до решаването на уравнението P (x) = 0 и проверка дали корените отговарят на условието Q (x)  0.

Линейни уравнения.

Уравнение от формата ax+b=0, където a и b са някои константи, се нарича линейно уравнение.

Ако a0, тогава линейното уравнение има един корен: x = -b /a.

Ако a=0; b0, тогава линейното уравнение няма решения.

Ако a=0; b=0, тогава, пренаписвайки оригиналното уравнение във формата ax = -b, е лесно да се види, че всяко x е решение на линейното уравнение.

Уравнението на правата е: y = ax + b.

Ако права минава през точка с координати X 0 и Y 0, тогава тези координати удовлетворяват уравнението на правата, т.е. Y 0 = aX 0 + b.

Пример 1.1. Решете уравнението

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последователно отворете скобите, добавете подобни членове и намерете x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Пример 1.2.Решете уравнението

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Отговор: .

Пример 1.3. Решете уравнението.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

Отговор: Всякакви числа.

Системи линейни уравнения.

Уравнение на формата

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

където a 1, b 1, …, a n, b са някои константи, наречени линейно уравнение с n неизвестни x 1, x 2, …, x n.

Система от уравнения се нарича линейна, ако всички уравнения, включени в системата, са линейни. Ако системата се състои от n неизвестни, тогава са възможни следните три случая:

системата няма решения;

системата има точно едно решение;

системата има безкрайно много решения.

Пример 2.4.решаване на система от уравнения

Решение. Можете да решите система от линейни уравнения, като използвате метода на заместване, който се състои в изразяване на едно неизвестно чрез други неизвестни за всяко уравнение на системата и след това заместване на стойността на това неизвестно в останалите уравнения.

От първото уравнение изразяваме: x= (8 – 3y) / 2. Заместваме този израз във второто уравнение и получаваме система от уравнения

X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7. От второто уравнение получаваме y = 2. Като вземем това предвид, от първото уравнение x = 1. Отговорът: (1 2). Пример 2.5. Решете система от уравнения

Решение. Системата няма решения, тъй като две уравнения на системата не могат да бъдат изпълнени едновременно (от първото уравнение x + y = 3, а от второто x + y = 3,5).

Отговор: Няма решения.

Пример 2.6. решаване на система от уравнения

Решение. Системата има безкрайно много решения, тъй като второто уравнение се получава от първото чрез умножаване по 2 (т.е. всъщност има само едно уравнение с две неизвестни).

Отговор: Има безкрайно много решения.

Пример 2.7. решаване на система от уравнения

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Решение. При решаване на системи от линейни уравнения е удобно да се използва методът на Гаус, който се състои в трансформиране на системата в триъгълна форма.

Умножаваме първото уравнение на системата по – 2 и като съберем получения резултат с второто уравнение, получаваме – 3y + 6z = – 3. Това уравнение може да бъде пренаписано като y – 2z = 1. Добавяйки първото уравнение с трето, получаваме 7y = 7, или y = 1.

Така системата придобива триъгълен вид

x + y – z = 2,

Замествайки y = 1 във второто уравнение, намираме z = 0. Заменяйки y = 1 и z = 0 в първото уравнение, намираме x = 1. Отговор: (1; 1; 0). при какви стойности на параметър а е системата от уравнения

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

има безкрайно много решения? Решение. От първото уравнение изразяваме x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Замествайки този израз във второто уравнение, получаваме

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализирайки последното уравнение, отбелязваме, че за a = 3 то има формата 0y = 0, т.е. то е изпълнено за всякакви стойности на y. Отговор: 3.

Квадратни уравнения и уравнения, които могат да се сведат до тях.

Уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където a, b и c са някои числа (a0);

x е променлива, наречена квадратно уравнение.

Формула за решаване на квадратно уравнение.

Първо, нека разделим двете страни на уравнението ax 2 + bx + c = 0 на a - това няма да промени неговите корени. За решаване на полученото уравнение

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

изберете пълен квадрат от лявата страна

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2 )).

За краткост означаваме израза (b 2 – 4ac) с D. Тогава получената идентичност приема формата

Възможни са три случая:

ако числото D е положително (D > 0), тогава в този случай можете да вземете корен квадратен от D и да запишете D във формата D = (D) 2. Тогава

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, следователно идентичността приема формата

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .

Използвайки формулата за разликата на квадратите, извличаме от тук:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).

Теорема:Ако самоличността е валидна

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

тогава квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0 за X 1  X 2 има два корена X 1 и X 2, а за X 1 = X 2 - само един корен X 1.

По силата на тази теорема, от тъждеството, получено по-горе, следва, че уравнението

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0,

и по този начин уравнението ax 2 + bx + c = 0 има два корена:

X 1 =(-b +  D) / 2a; X 2 = (-b -  D) / 2a.

Така x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обикновено тези корени се записват с една формула:

където b 2 – 4ac = D.

ако числото D е нула (D = 0), тогава идентичността

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

приема формата x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.

От това следва, че за D = 0 уравнението ax 2 + bx + c = 0 има един корен с кратност 2: X 1 = – b / 2a

3) Ако числото D е отрицателно (D< 0), то – D >0 и следователно изразът

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

е сумата от два члена, единият от които е неотрицателен, а другият е положителен. Такава сума не може да бъде равна на нула, така че уравнението

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

няма реални корени. Уравнението ax 2 + bx + c = 0 също ги няма.

По този начин, за да се реши квадратно уравнение, трябва да се изчисли дискриминанта

D = b 2 – 4ac.

Ако D = 0, тогава квадратното уравнение има уникално решение:

Ако D > 0, тогава квадратното уравнение има два корена:

X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).

Ако Д< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Ако един от коефициентите b или c е нула, тогава квадратното уравнение може да бъде решено без изчисляване на дискриминанта:

b = 0; c  0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2 = -b / a.

Корените на общо квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 се намират по формулата

Квадратно уравнение, в което коефициентът на x 2 е равен на 1, се нарича намалено. Обикновено даденото квадратно уравнение се означава по следния начин:

x 2 + px + q = 0.

Теорема на Виета.

Ние сме извели самоличността

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),

където X 1 и X 2 са корените на квадратното уравнение ax 2 + bx + c =0. Нека отворим скобите от дясната страна на това тъждество.

x 2 + (b / a)x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2.

От това следва, че X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a. Доказахме следната теорема, установена за първи път от френския математик Ф. Виете (1540 – 1603):

Теорема 1 (Виета). Сумата от корените на квадратно уравнение е равна на коефициента на X, взет с обратен знак и разделен на коефициента на X 2 ; произведението на корените на това уравнение е равно на свободния член, разделен на коефициента на X 2 .

Теорема 2 (обратна). Ако равенствата са изпълнени

X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a,

тогава числата X 1 и X 2 са корените на квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0.

Коментирайте. Формулите X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a остават верни в случая, когато уравнението ax 2 + bx + c = 0 има един корен X 1 от кратно 2, ако поставим X в посочените формули 2 = X 1. Следователно, общоприето е, че за D = 0 уравнението ax 2 + bx + c = 0 има два корена, които съвпадат един с друг.

При решаване на задачи, свързани с теоремата на Виета, е полезно да се използват отношенията

(1 / X 1) + (1 / X 2)= (X 1 + X 2) / X 1 X 2 ;

X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1 X 2 ;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =

= (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2).

Пример 3.9.Решете уравнението 2x 2 + 5x – 1 = 0.

Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

Отговор: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

Пример 3.10.Решете уравнението x 3 – 5x 2 + 6x = 0

Решение. Нека разложим лявата страна на уравнението x(x 2 – 5x + 6) = 0,

следователно x = 0 или x 2 – 5x + 6 = 0.

Решавайки квадратното уравнение, получаваме X 1 = 2, X 2 = 3.

Отговор: 0; 2; 3.

Пример 3.11.

x 3 – 3x + 2 = 0. Решение. Нека пренапишем уравнението, като напишем –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, а сега групата x(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1) (x( x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1. Отговор: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = – 2. Пример 3.12. Решете уравнение7

(x – 1)(x – 3)(x – 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)Решение. Нека намерим обхвата на приемливите стойности x:X + 2  0; x – 6  0; 2x – 7  0 или x  – 2; x  6; x  3.5 Привеждаме уравнението до вида (7x – 14)(x 2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x 2 – 4x – 12), отваряме скобите 7x 3 – 49x 2 + 84x – 14x 2 + 98x – 168 + 4x 3 – 16x 2 – 48x – 14x 2 + 56x + 168 = 0,11x 3 – 93x 2 + 190x = 0,x(11x 2 – 93x + 190) = 0,x 1 = 011x2 – 93x + 190 = 0,93(8649 – 8360) 93  17 x 2,3 = = ,

Тези. x 1 = 5; x 2 = 38/11.

Намерените стойности удовлетворяват ODZ.

Отговор: x 1 = 0; х 2 = 5; х 3 = 38/11.

Пример 3.13.Решете уравнението x 6 – 5x 3 + 4 = 0

Решение. Нека означим y = x 3 , тогава оригиналното уравнение приема формата

y 2 – 5y + 4 = 0, решавайки което получаваме Y 1 = 1; Y2 = 4.

По този начин първоначалното уравнение е еквивалентно на множеството

уравнения: x 3 = 1 или x 3 = 4, т.е. X 1 = 1 или X 2 = 3 4

Отговор: 1; 3 4.

Пример 3.14.Решете уравнението (x 3 – 27) / (x – 3) = 27

Решение. Нека разложим числителя на множители (използвайки формулата за разликата на кубовете):

Докладвай

Научен ръководител: Кулабухов Сергей Юриевич, кандидат на физико-математическите науки, учител по допълнително образование, Общинска образователна институция за детско образование и наука, Ростов на Дон.

И така, за u получаваме уравнението Нека си припомним теоремата за рационалните корени на полиноми (§ 2.1.5). Рационалните корени на нашето уравнение трябва да се търсят сред делителите на числото –4. Преминавайки през всички делители, се убеждаваме, че уравнението няма рационални корени. Тази теорема обаче не беше теорема за съществуването на корени. Тази теорема твърди само следното: ако полином с цели коефициенти има рационални корени (но все пак е възможно те да НЕ съществуват), тогава тези корени ще имат някаква специална форма. Тази теорема не описва случая, когато няма рационални корени.

Нека се опитаме да намерим корените на уравнението на първоначалната система сред ирационалните числа. Това обаче ще изисква известна изобретателност: стандартната замяна на симетрични системи тук очевидно не работи.

Повишавайки второто уравнение в куб, получаваме: Така, по теоремата на Виета, и са корените на квадратното уравнение Следователно и Следователно,

Докато изучавах допълнителна литература за решаване на системи от уравнения, попаднах на нов тип система - симетрична. И си поставих за цел:

Обобщете научната информация по темата „Системи от уравнения“.

Разберете и се научете да решавате чрез въвеждане на нови променливи;

3) Разгледайте основните теории, свързани със симетричните системи от уравнения

4) Научете се да решавате симетрични системи от уравнения.

История на решаването на системи от уравнения.

Елиминирането на неизвестни от линейните уравнения се използва отдавна. През 17-18в. V. техниките за изключване са разработени от Ферма, Нютон, Лайбниц, Ойлер, Безу, Лагранж.

В съвременната нотация система от две линейни уравнения с две неизвестни има формата: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 Решенията на тази система се изразяват с формули.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Благодарение на създадения през 17 век координатен метод. Ферма и Декарт стана възможно графичното решаване на системи от уравнения.

В древните вавилонски текстове, написани през 3-то-2-ро хилядолетие пр.н.е. д. , съдържа много проблеми, които могат да бъдат решени чрез конструиране на системи от уравнения, в които се въвеждат и уравнения от втора степен.

Пример #1:

Добавих площите на моите два квадрата: 25. Страната на втория квадрат е равна на страната на първия и още 5 Съответстващата система от уравнения в съответната нотация изглежда така: x2 + y2 = 25, y = x. = 5

Диофант, който нямаше обозначения за много неизвестни, положи големи усилия да избере неизвестното по такъв начин, че да сведе решението на системата до решението на едно уравнение.

Пример #2:

„Намерете две естествени числа, като знаете, че сборът им е 20, а сумата на квадратите им е 208.“

Проблемът също беше решен чрез съставяне на система от уравнения, x + y = 20, но решен x2 + y2 = 208

Диофант, избирайки за неизвестно половината от разликата на търсените числа, т.е.

(x – y) = z, + (x + y) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- не удовлетворява условията на задачата, следователно, ако z = 2x = 12 и y = 8

Понятия за система от алгебрични уравнения.

В много задачи е необходимо да се намерят няколко неизвестни величини, като се знае, че други величини, образувани с тяхна помощ (функции на неизвестните), са равни една на друга или на някои дадени величини. Нека да разгледаме един прост пример.

Правоъгълен парцел с площ от 2400 м2 е ограден с ограда с дължина 200 м. намерете дължината и ширината на парцела. Всъщност „алгебричният модел“ на тази задача е система от две уравнения и едно неравенство.

Винаги трябва да се имат предвид възможните неравенства. Когато решавате задачи, включващи съставяне на системи от уравнения. Но основното е да се решат самите уравнения. Ще ви разкажа за методите, които се използват.

Да започнем с определенията.

Система от уравнения е набор от няколко (повече от едно) уравнения, свързани с фигурна скоба.

Къдравата скоба означава, че всички уравнения на системата трябва да бъдат изпълнени едновременно и показва, че трябва да намерите двойка числа (x; y), която превръща всяко уравнение в истинско равенство.

Решение на система е двойка числа x и y, които, когато бъдат заменени в тази система, преобразуват всяко нейно уравнение в правилно числено равенство.

Решаването на система от уравнения означава да се намерят всички нейни решения или да се установи, че няма такива.

Метод на заместване.

Методът на заместване е, че в едно от уравненията една променлива се изразява чрез друга. Полученият израз се замества в друго уравнение, което след това става уравнение с една променлива и след това се решава. Получените стойности на тази променлива се заместват във всяко уравнение на оригиналната система и се намира втората променлива.

Алгоритъм.

1. Изразете y чрез x от едно уравнение на системата.

2. Заместете получения израз вместо y в друго уравнение на системата.

3. Решете полученото уравнение за x.

4. Заместете последователно всеки от корените на уравнението, намерени в третата стъпка, вместо x в израза y до x, получен в първата стъпка.

5) Напишете отговора под формата на двойки стойности (x; y).

Пример № 1 y = x – 1,

Нека заместим y = x - 1 във второто уравнение, получаваме 5x + 2 (x - 1) = 16, откъдето x = 2. Нека заместим получения израз в първото уравнение: y = 2 - 1 = 1.

Отговор: (2; 1).

Пример #2:

8y – x = 4, 1) 2 (8y – 4) – 21y = 2

2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2

5y = 10 x = 8y – 4, y = -2

2х – 21у = 2

2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20

2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2

Отговор: (-20; -2).

Пример № 3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – квадратно уравнение y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8

Следователно (-2; -4); (4; 8) – решения на тази система.

Метод на добавяне.

Методът на добавяне е, че ако дадена система се състои от уравнения, които, когато се добавят заедно, образуват уравнение с една променлива, тогава чрез решаване на това уравнение ще получим стойностите на една от променливите. Стойността на втората променлива се намира, както при метода на заместване.

Алгоритъм за решаване на системи чрез метода на добавяне.

1. Изравнете модулите на коефициентите за едно от неизвестните.

2. Чрез събиране или изваждане на получените уравнения намерете едно неизвестно.

3. Замествайки намерената стойност в едно от уравненията на оригиналната система, намерете второто неизвестно.

Пример №1. Решете системата от уравнения, като използвате метода на събиране: x + y = 20, x – y = 10

Като извадим второто от първото уравнение, получаваме

Нека изразим от втория израз x = 20 - y

Заместете y = 5 в този израз: x = 20 – 5 x = 15.

Отговор: (15; 5).

Пример #2:

Нека представим уравненията на предложената система под формата на разлика, която получаваме

7y = 21, откъдето y = 3

Нека заместим тази стойност в x = изразена от второто уравнение на системата, получаваме x = 4.

Отговор: (4; 3).

Пример #3:

2x + 11y = 15,

10x – 11y = 9

Добавяйки тези уравнения, имаме:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2, замествайки тази стойност във второто уравнение, получаваме:

10 * 2 – 11y = 9, откъдето y = 1.

Решението на тази система е двойката: (2; 1).

Графичен метод за решаване на системи от уравнения.

Алгоритъм.

1. Постройте графики на всяко от уравненията на системата.

2. Намерете координатите на пресечната точка на построените прави.

Случаят на взаимно разположение на прави в равнина.

1. Ако правите се пресичат, тоест имат една обща точка, то системата от уравнения има едно решение.

2. Ако правите са успоредни, тоест нямат общи точки, то системата от уравнения няма решения.

3. Ако линиите съвпадат, тоест имат много точки, то системата от уравнения има безкраен брой решения.

Пример #1:

Решете графично системата от уравнения x – y = -1,

Нека изразим y от първото и второто уравнения: y = 1 + x, y = 4 – 2x x

Нека изградим графики на всяко от уравненията на системата:

1) y = 1 + x – графиката на функцията е правата x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y = 4 – 2x – графиката на функцията е права x 0 1 y 4 2

Отговор: (1; 2).

Пример № 2: y x + 2y = 6,

4y = 8 – 2x x y = , y = y = - графиката на функцията е правата x 0 2 y 3 2 y = - графиката на функцията е правата x 0 2 y 2 1

Отговор: няма решения.

Пример № 3: y x – 2y = 2,

3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - графиката на функцията е правата x 0 2 y -1 0

Отговор: системата има безкраен брой решения.

Метод за въвеждане на нови променливи.

Методът за въвеждане на нови променливи е, че нова променлива се въвежда само в едно уравнение или две нови променливи за двете уравнения наведнъж, след което уравнението или уравненията се решават по отношение на новите променливи, след което остава да се реши по-проста система от уравнения, от които намираме търсеното решение.

Пример #1:

X + y = 5

Нека означим = z, тогава =.

Първото уравнение ще приеме формата z + = , то е еквивалентно на 6z – 13 + 6 = 0. След като решим полученото уравнение, имаме z = ; z =. Тогава = или =, с други думи, първото уравнение се разделя на две уравнения, следователно имаме две системи:

X + y = 5 x + y = 5

Решенията на тези системи са решенията на дадената система.

Решението на първата система е двойката: (2; 3), а втората е двойката (3; 2).

Следователно решенията на системата + = , x + y = 5

Двойките са (2; 3); (3; 2)

Пример #2:

Нека = X, a = Y.

X = , 5 * - 2Y = 1

5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7,5U – 2U = 1

X = , -9,5U = -19

5 * - 2U = 1 U = 2

Ние ще направим обратна замяна.

2 x = 1, y = 0,5

Отговор: (1; 0,5).

Симетрични системи уравнения.

Система с n неизвестни се нарича симетрична, ако не се променя, когато неизвестните се пренаредят.

Симетрична система от две уравнения с две неизвестни x и y се решава чрез заместване на u = x + y, v = xy. Обърнете внимание, че изразите, срещани в симетрични системи, се изразяват чрез u и v. Нека дадем няколко такива примера, които са от безспорен интерес за решаване на много симетрични системи: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v и т.н.

Симетрична система от три уравнения за неизвестните x y, z се решават чрез заместване на x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Ако са намерени u, v, w, тогава се съставя кубично уравнение t2 – ut2 + vt – w = 0, чиито корени t1, t2, t3 в различни пермутации са решения на оригиналната система. Най-често срещаните изрази в такива системи се изразяват чрез u, v, w, както следва: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Пример №1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Нека x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Ние ще направим обратна замяна.

Отговор: (1; 3); (3; 1).

Пример № 2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Нека x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 – 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Ние ще направим обратна замяна.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Отговор: (1; 3); (3; 1).

Пример № 3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Нека x =y = u, xy =v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Ние ще направим обратна замяна.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Отговор: (1; 3); (3; 1).

Пример № 4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Нека x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Ние ще направим обратна замяна.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Отговор: (4; 1); (14).

Пример № 5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Нека направим промяна на неизвестните, системата ще приеме формата u2 + v = 49, u + v = 23

Събирайки тези уравнения, получаваме u2 + u – 72 = 0 с корени u1 = 8, u2 = -9. Съответно v1 = 15, v2 = 32. Остава да се реши множеството от системи x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

Система x + y = 8, има решения x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

Системата x + y = -9 няма реални решения.

Отговор: (3; 5), (5; 3).

Пример №6. Решете система от уравнения.

2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Използвайки основните симетрични полиноми u = y + x и v = xy, получаваме следната система от уравнения

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

Като заместим израза v = -3 – u от второто уравнение на системата в първото уравнение, получаваме следното уравнение 2u2 + 7u + 5 = 0, корените на което са u1 = -1 и u2 = -2,5; и съответно стойностите v1 = -2 и v2 = -0,5 се получават от v = -3 – u.

Сега остава да решим следния набор от системи x + y = -1 и x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5

Решенията на този набор от системи и следователно на оригиналната система (поради тяхната еквивалентност) са както следва: (1; -2), (-2; 1), (;).

Пример #7:

3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,

2x – 3xy + 2y + 8 = 0

Използвайки основни симетрични полиноми, системата може да бъде записана в следната форма

3uv – 2v = 78,

Изразявайки u = от второто уравнение и замествайки го в първото уравнение, получаваме 9v2 – 28v – 156 = 0. Корените на това уравнение v1 = 6 и v2 = - ни позволяват да намерим съответните стойности u1 = 5, u2 = - от израза u =.

Нека сега решим следния набор от системи x + y = 5 и x + y = -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y и y = -x -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y и y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.

x = 5 – y и y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 и x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Отговор: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Заключение.

В процеса на писане на статията се запознах с различни видове системи от алгебрични уравнения. Обобщена научна информация по темата „Системи от уравнения“.

Разбрах го и се научих да решавам чрез въвеждане на нови променливи;

Преглед на основните теории, свързани със симетричните системи от уравнения

Научи се да решава симетрични системи от уравнения.

Цели на урока:

образователен:обучение за решаване на системи от уравнения, съдържащи еднородно уравнение, симетрични системи от уравнения;
развиващи се: развитие на мисленето, вниманието, паметта, способността да се подчертае основното;
образователен:развитие на комуникативни умения.

Тип урок:урок за изучаване на нов материал.

Използвани технологии за обучение:

работа в групи;
метод на проектиране.

Оборудване:компютър, мултимедиен проектор.

Седмица преди урока учениците получават теми за творчески задачи (според вариантите).
I опция. Симетрични системи уравнения. Решения.
Вариант II. Системи, съдържащи еднородно уравнение. Решения.

Всеки ученик, използвайки допълнителна учебна литература, трябва да намери подходящия учебен материал, да избере система от уравнения и да я реши.
По един ученик от всеки вариант създава мултимедийни презентации по темата на творческата задача. При необходимост преподавателят дава консултации на учениците.

I. Мотивация за учебната дейност на учениците

Встъпително слово на учителя
В предишния урок разгледахме решаването на системи от уравнения чрез заместване на неизвестни. Няма общо правило за избор на нови променливи. Въпреки това могат да се разграничат два вида системи от уравнения, когато има разумен избор на променливи:

симетрични системи уравнения;
системи от уравнения, едното от които е хомогенно.

II. Учене на нов материал

Учениците във вариант 2 докладват за домашната си работа.

1. Демонстрация на слайдове от мултимедийната презентация „Системи, съдържащи хомогенно уравнение” (презентация 1).

2. Работа по двойки ученици, седнали на едно бюро: ученик от вариант 2 обяснява на своя съсед по бюро решението на система, съдържаща хомогенно уравнение.

Студентски доклад по вариант 1.

1. Демонстрация на слайдове от мултимедийната презентация „Симетрични системи от уравнения” (презентация 2).

Учениците записват в тетрадките си: