3. Ето как блондинките решават уравнения!

4. Математиката през огледалото

Този надпис, който направих преди няколко години, е може би най-краткото доказателство, че ... 2 = 3. Поставете огледало върху него (или го погледнете през светлината) и ще видите как "две" се обръщат на "три".

5. Бъркалка за букви

Друга необичайна формула:

единадесет + две = дванадесет + едно.

Оказва се, че на английски равенството 11 + 2 = 12 + 1 е вярно, дори и да е написано с думи - "сумата" на буквите отляво и отдясно е една и съща! Това означава, че дясната страна на това равенство е анаграма на лявата, тоест тя се получава от нея чрез пренареждане на буквите.

Подобни, макар и по-малко интересни буквени равенства могат да се получат и на руски език:

петнадесет + шест = шестнадесет + пет.

6. Пи...или не Пи?..

От 1960 до 1970 г. осн национална напитка, наречена "Moscow Special Vodka" струва: половин литър 2,87, а четвърт 1,49. Тези цифри вероятно са били известни на почти цялото възрастно население на СССР. съветски математицизабелязал, че ако цената на половин литър се повиши до степен, равна на цената на една четвърт, тогава ще се получи числото "Пи":

1,49 2,87 ??

(Докладва Б.С. Горобец).

Още след публикуването на първото издание на книгата, доцентът от Химическия факултет на Московския държавен университет Леензон И. А. ми изпрати такъв любопитен коментар за тази формула: „... преди много години, когато нямаше калкулатори, и ние във Физическия факултет издържахме труден тест по логаритмична линейка (!) (колко пъти трябва да местите подвижната линийка надясно и наляво?), с помощта на най-точните таблици на баща ми (той беше геодезист, цял живот е мечтал за изпити по висша геодезия), че рупия четиридесет и девет на степен две осемдесет и седем е равно на 3 1408. Не ме удовлетворяваше. Нашият съветски Госплан не можеше да действа толкова грубо. Консултациите в Министерството на търговията на Кировская показаха, че всички изчисления на цените в национален мащаб са направени до най-близката стотна от копейката. Но име точни числаОтказаха ми, позовавайки се на секретност (тогава бях изненадан - каква тайна може да бъде в десети и стотни от стотинката). В началото на 90-те години успях да получа точни цифри от архивите за цената на водката, която по това време беше разсекретена със специален указ. И ето какво се оказа: една четвърт: 1 рубла 49,09 копейки. В продажба - 1,49 рубли. Поллитровка: 2 рубли 86,63 копейки. В продажба - 2,87 рубли. С помощта на калкулатор лесно установих, че в този случай една четвърт на степен половин литър дава (след закръгляване до 5 значещи цифри) само 3,1416! Остава само да се чудим математически способностислужители на Съветския държавен комитет за планиране, които (не се съмнявам нито за секунда в това) умишлено коригираха прогнозната цена на най-популярната напитка до предварително определена известен резултат».

Кой математик, познат от училище, е шифрован в този ребус?

8. Теория и практика

Математик, физик и инженер получиха следната задача: „Млад мъж и момиче стоят на срещуположните стени на залата. В един момент те започват да вървят към приятел и на всеки десет секунди изминават половината от разстоянието между тях. Въпросът е колко време ще им отнеме да стигнат един до друг?“

Математикът отговори без колебание:

Никога.

След кратък размисъл физикът каза:

През безкрайно време.

Инженерът след дълги изчисления издаде:

След около две минути те ще бъдат достатъчно близо за всякакви практически цели.

9. Формула за красота от Landau

Следната пикантна формула, приписвана на Ландау, голям любител на нежния пол, беше представена на вниманието ми от добре познатия ландоведски професор Горобец.

Както ни информира доцентът на MSUIE А. И. Зюлков, той чу, че Ландау е извел следната формула за индикатора женска привлекателност:

където К- бюстна обиколка; М- на бедрата; н- на талията T- височина, всички в см; П- тегло в кг.

Така че, ако приемем параметрите за модела (1960) приблизително: 80-80-60-170-60 (в горната последователност от стойности), тогава според формулата получаваме 5. Ако приемем параметрите на " антимодел", например: 120 -120-120-170-60, тогава получаваме 2. Тук в този интервал училищни оценкии, грубо казано, „формулата на Ландау“ работи.

(Цитат от книгата: Горобец Б. кръг на Ландау. Животът на един гений. М .: Издателство LKI / URSS, 2008.)

10. Да знаеш това разстояние ...

Друг научен аргумент за женската привлекателност, приписван на Dow.

Ние определяме привлекателността на една жена като функция на разстоянието до нея. При безкрайна стойност на аргумента тази функция изчезва. От друга страна, в нулевата точка също е равно на нула ( говорим сиза външната привлекателност, а не за тактилната). Според теоремата на Лагранж, неотрицателна непрекъсната функция, който заема в краищата на сегмента нулеви стойности, има максимум на този интервал. Следователно:

1. Има разстояние, от което жената е най-привлекателна.

2. За всяка жена това разстояние е различно.

3. Спазвайте дистанция от жените.

11 Доказателство за кон

Теорема: Всички коне са с еднакъв цвят.

Доказателство. Нека докажем по индукция твърдението на теоремата.

При н= 1, тоест за множеството, състоящо се от един кон, твърдението очевидно е вярно.

Нека твърдението на теоремата е вярно за н = к. Нека докажем, че е вярно за н = к+ 1. За да направите това, разгледайте произволен набор от к+ 1 кон. Ако премахнете един кон от него, те ще останат к. Според индукционната хипотеза всички те са с един и същи цвят. Сега нека върнем отстранения кон на мястото му и вземем друг. Отново, чрез хипотезата на индукция, тези костаналите коне от същия цвят. Но след това всичко к+ 1 коне ще бъдат от същия цвят.

Следователно, според принципа математическа индукция, всички коне са с еднакъв цвят. Теоремата е доказана.

12. Малко за крокодилите

Още една страхотна илюстрация на приложението математически методикъм зоологията.

Теорема: Крокодилът е по-дълъг, отколкото широк.

Доказателство. Взимаме произволен крокодил и доказваме две спомагателни леми.

Лема 1: Крокодилът е по-дълъг от зеления.

Доказателство. Да погледнем крокодила отгоре - той е дълъг и зелен. Нека погледнем крокодила отдолу - той е дълъг, но не толкова зелен (всъщност е тъмно сив).

Следователно лема 1 е доказана.

Лема 2: Крокодилът е по-зелен, отколкото широк.

Доказателство.Нека отново погледнем крокодила отгоре. Той е зелен и широк. Нека погледнем крокодила отстрани: той е зелен, но не широк. Това доказва лема 2.

Твърдението на теоремата очевидно следва от доказаните леми.

Обратната теорема („Крокодилът е по-широк, отколкото е дълъг“) се доказва по подобен начин.

На пръв поглед и от двете теореми следва, че крокодилът е квадратен. Но тъй като неравенствата в техните формулировки са строги, истинският математик ще направи единственото правилно заключение: КРОКОДИЛИ НЕ СЪЩЕСТВУВАТ!

13. Отново индукция

Теорема: Всички естествени числа са равни.

Доказателство. Необходимо е да се докаже, че за всеки две естествени числа Аи бравенство А = б. Нека го преформулираме по следния начин: за всяка н> 0 и всякакви Аи ботговарящи на равенството max( А, б) = н, равенството А = б.

Нека го докажем чрез индукция. Ако н= 1, тогава Аи б, тъй като са естествени, и двете са равни на 1. Следователно А = б.

Нека сега приемем, че твърдението е доказано за някаква стойност к. Да вземем Аи бтака че max( А, б) = к+ 1. Тогава max( А–1, б–1) = к. Чрез индуктивната хипотеза това означава, че ( А–1) = (б-един). означава, А = б.

14. Всички обобщения са грешни!

Любителите на лингвистични и математически пъзеливероятно знаете за рефлексивни или самоописателни (не мислете нищо лошо), самореферентни думи, фрази и числа. Последните, например, включват числото 2100010006, в което първата цифра е равна на броя на единиците в записа на това число, втората - на броя на двойките, третата - на броя на тройките, .. ., десетата - до броя на нулите.

Самоописателните думи включват, да речем, думата двадесет и една букваИзмислих преди няколко години. Всъщност има 21 букви!

Има много самоописателни фрази. Един от първите примери на руски е измислен преди много години от известния карикатурист и словесен умник Вагрич Бахчанян: Това изречение има тридесет и две букви.. Ето няколко други, които се появиха много по-късно: 1. Седемнадесет букви. 2. Има грешка в това изречение в края на. 3. Това изречение би било седем думи, ако беше със седем думи по-кратко. 4. Вие сте под мой контрол, тъй като ще ме четете, докато стигнете до края.. 5. ...Това изречение започва и завършва с три точки..

Има и по-сложни дизайни. Полюбувайте се например на това чудовище тук (вижте бележката на С. Табачников „Свещеникът имаше куче“ в сп. „Квант“, № 6, 1989 г.): В тази фраза думата „in“ се среща два пъти, думата „this“ се среща два пъти, думата „phrase“ се среща два пъти, думата „meets“ се среща четиринадесет пъти, думата „word“ се среща четиринадесет пъти, думата „time“ ” се среща шест пъти, думата „раза” се среща девет пъти, думата „две” се среща седем пъти, думата „четиринадесет” се среща три пъти, думата „три” се среща три пъти, думата „девет” се среща два пъти, думата "седем" се среща два пъти, думата "шест" се среща два пъти.

Година след публикацията в Kvant И. Акулич излезе със самоописателна фраза, която описва не само думите, включени в нея, но и препинателните знаци: Фразата, която четете, съдържа: две думи „фраза“, две думи „които“, две думи „ти“, две думи „прочетете“, две думи „съдържа“, двадесет и пет думи „думи“, две думи „думи“ , две думи "двоеточие", две думи "запетая", две думи "от", две думи "наляво", две думи "и", две думи "вдясно", две думи "кавички", две думи "а", две думи "също", две думи "точка", две думи "едно", две думи "едно", двадесет и две думи "две", три думи "три", две думи "четири", три думи "пет", четири думи "двадесет", две думи "тридесет", едно двоеточие, тридесет запетаи, двадесет и пет леви и десни кавички и една точка.

Накрая, няколко години по-късно, в същия "Quantum", се появи бележката на А. Ханян, в която беше дадена фраза, която стриктно описва всичките му букви: Има дванадесет B, две E, седемнадесет T, три O, две Y, две F, седем R, четиринадесет A, две 3, дванадесет E, шестнадесет D, седем H, седем C, тринадесет L, осем C, шест M, пет I, две H, две S, три I, три W, две P.

„Ясно се усеща, че липсва още една фраза - която би разказала за всичките й букви и препинателни знаци“, пише в лично писмо до мен И. Акулич, който роди едно от чудовищата, цитирани по-рано. Може би някой от нашите читатели ще реши тази много трудна задача.

15. "И геният е приятел на парадоксите..."

В продължение на предишната тема си струва да споменем рефлексивните парадокси.

Във вече споменатата книга на J. Littlewood "Mathematical Mixture" правилно се казва, че "всички рефлексивни парадокси са, разбира се, отлични шеги". Има и две от тях, които си позволявам да цитирам:

1. Трябва да има (положителни) цели числа, които не могат да бъдат дадени от фрази с по-малко от шестнадесет думи. Всеки набор от положителни цели числа съдържа най-малкото число, и следователно има число н, "най-малкото цяло число, което не може да бъде дадено от фраза с по-малко от шестнадесет думи." Но тази фраза съдържа 15 думи и дефинира н.

2. В списание зрителбеше обявен конкурс на тема „Какво бихте искали да прочетете с най-голямо удоволствие, отваряйки сутрешния вестник?“ Първата награда получи отговора:

Второто ни състезание

Първата награда във втория конкурс за тази година отиде при г-н Артър Робинсън, чийто остроумен отговор без преувеличение трябва да се счита за най-добър. Неговият отговор на въпроса: „Какво бихте прочели най-много, ако отворите сутрешния си вестник?“ беше озаглавен „Нашето второ състезание“, но поради ограничения на хартията не можем да го отпечатаме целия.

16. Палиндроматичен

Има и такива невероятни фрази, които се четат по един и същ начин отляво надясно и отдясно наляво. Едно нещо, което всеки знае със сигурност: И розата падна върху лапата на Азор. Именно тя беше помолена да пише в диктовката на невежия Пинокио ​​от капризната Малвина. Такива взаимно обратни фрази се наричат ​​палиндроми, което на гръцки означава „бягане назад, връщане“. Ето още няколко примера: 1. Лилипут изряза сом на моста. 2. отивам до тоалетната. 3. Той легна на храма, а архангелът е чуден и невидим. 4. Бутна глигана върху патладжана. 5. Муза, ранена от шило на опита, ще се молиш за ума. (Д. Авалиани). 6. Рядко държа фас от цигара в ръката си... (Б. Голдщайн) 7. Миришейки на мляко, ще измяукам. (Г. Лукомников). осем. Той е върба, а тя е дънер. (S.F.)

Чудя се има ли палиндроми в математиката? За да отговорим на този въпрос, нека се опитаме да прехвърлим идеята за реципрочно, симетрично четене на числа и формули. Оказва се, че не е толкова трудно. Нека се запознаем само с няколко характерни примера от тази палиндромна математика, палиндроматика. Оставяйки палиндромните числа настрана - напр. 1991 , 666 и т.н. Нека се обърнем към симетричните формули.

Нека първо се опитаме да решим следната задача: намерете всички двойки от такива двуцифрени числа

(х 1 - първа цифра г 1 - втора цифра) и

така че резултатът от събирането им да не се променя в резултат на четене на сбора отдясно наляво, т.е.

Например 42 + 35 = 53 + 24.

Проблемът се решава тривиално: сумата от първите цифри на всички такива двойки числа е равна на сумата от техните втори цифри. Сега можете лесно да строите подобни примери: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 и така нататък.

Като се спори по подобен начин, човек лесно може да реши същия проблем за останалите аритметични операции.

При разлика, т.е.

получават се следните примери: 41 - 32 \u003d 23 -14, 46 - 28 \u003d 82 - 64, ... - сумите на цифрите на такива числа са равни ( х 1 +y 1 = х 2 +y 2 ).

В случай на умножение имаме: 63 48 \u003d 84 36, 82 14 \u003d 41 28, ... - докато произведението на първите цифри на числата н 1 и н 2 е равно на произведението на вторите им цифри ( х 1 х 2 =г 1 г 2 ).

И накрая, за разделяне получаваме следните примери:

В този случай произведението на първата цифра на числото н 1 до втората цифра н 2 е равно на произведението на другите им две цифри, т.е. х 1 г 2 = х 2 г 1 .

17. Антисъветска теорема

Доказателството на следната "теорема", появила се в епохата на "неразвития социализъм", се основава на популярните от онези години тези за ролята на комунистическата партия.

Теорема. Ролята на партията е отрицателна.

Доказателство. Добре известно е, че:

1. Ролята на партията непрекъснато нараства.

2. При комунизма, в едно безкласово общество, ролята на партията ще бъде нулева.

Така имаме непрекъснато нарастваща функция, клоняща към 0. Следователно тя е отрицателна. Теоремата е доказана.

18. На деца под шестнадесет години е забранено да решават

Въпреки привидната абсурдност на следния проблем, той все пак има напълно строго решение.

Задача.Майка по-голям от синав продължение на 21 години. След шест години тя ще бъде пет пъти по-възрастна от него. Въпросът е: КЪДЕ Е ТАТО?!

Решение. Позволявам х- възрастта на сина и Y- възрастта на майката. Тогава условието на задачата се записва като система от две прости уравнения:

Заместване Y = х+ 21 във второто уравнение, получаваме 5 х + 30 = х+ 21 + 6, откъдето х= -3/4. Така сега синът е минус 3/4 от годината, т.е. минус 9 месеца. Това означава, че татко този моменте на мама!

19. Неочаквано заключение

Известен е ироничният израз „Ако си толкова умен, защо си толкова беден?“, който, уви, е приложим за много хора. Оказва се, че този тъжен феномен има строга математическа обосновка, основана на също толкова безспорни истини.

А именно, нека започнем с два добре познати постулата:

Постулат 1: Знание = Сила.

Постулат 2: Време = Пари.

Освен това всеки ученик знае това

Разстояние s = Скорост x Време = Работа: Сила,

Работа: Време = Сила x Скорост (*)

Замествайки стойностите за "време" и "сила" от двата постулата в (*), получаваме:

Работа: (Знания x Скорост) = Пари (**)

От полученото равенство (**) се вижда, че като насочваме „знанието“ или „бързината“ към нула, можем да получим произволно големи пари за всяка „работа“.

Оттук и заключението: колкото по-глупави и по-мързелив човек, теми повече паритой може да спечели.

20. Математическа игра Ландау

Преди няколко години в списание "Наука и живот" (№ 1, 2000 г.) беше публикувана бележка на проф. Б. Горобец, която предизвика голям интерес сред читателите, посветена на една прекрасна пъзел игра, която академик Ландау изобретил, за да да не скучаете, докато пътувате в кола. Играйте тази игра, в която сензорът произволни числаслужеха като номера на колите, които минаваха (тогава тези номера се състоеха от две букви и две двойки цифри), той често предлагаше на спътниците си. Същността на играта беше да се използват знаци на аритметични операции и символи на елементарни функции (т.е. +, -, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg и т.н.), за да се стигне до едно и също имайки предвид тези двете двуцифрени числаот номера на преминаващ автомобил. В този случай е позволено да се използва факториел ( н! = 1 x 2 x ... x н), но използването на секанс, косеканс и диференциране не е разрешено.

Например за двойката 75–33 желаното равенство се постига, както следва:

и за двойката 00–38, така:

Не всички числа обаче се решават толкова просто. Някои от тях (например 75–65) не се поддадоха на автора на играта Ландау. Следователно възниква въпросът за всеки универсален подход, някаква единична формула, която ви позволява да "решите" всяка двойка числа. Същият въпрос беше зададен от Ландау и неговия ученик проф. Каганов. Ето какво пише той по-специално: „Винаги ли е възможно да се направи равенство от регистрационен номер?“ — попитах Ландау. "Не", отговори той съвсем категорично. - "Доказал ли си теоремата за несъществуването?" - Бях изненадан. - Не - убедено каза Лев Давидович, - но не всички числа ми се получиха.

Но такива решения бяха намерени и едно от тях беше още приживе на самия Ландау.

Харковският математик Ю. Палант предложи формулата за изравняване на двойки числа

което позволява, в резултат на многократно приложение, да изрази всяка фигура чрез всяка по-малка. „Дадох доказателството на Ландау“, пише Каганов за това решение. „Много му хареса... и ние полу на шега, полусериозно обсъдихме дали да го публикуваме в някое научно списание.“

Формулата на Palant обаче използва вече „забранения“ секанс (повече от 20 години той не е бил включен в училищна програма) и следователно не може да се счита за задоволително. Въпреки това успях да поправя това лесно с модифицирана формула

Получената формула (отново, ако е необходимо, трябва да се приложи няколко пъти) ни позволява да изразим всяка цифра чрез всяка голяма цифра, без да използваме други цифри, което очевидно изчерпва проблема на Ландау.

1. Нека няма нули сред числата. Нека направим две числа аби cd, (това, разбира се, не е продукт). Нека покажем това кога н ? 6:

грях[( аб)!]° = грях[( cd)!]° = 0.

Наистина грях( н!)° = 0 ако н? 6, тъй като sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Освен това всеки факториел се получава чрез умножаване на 6! към следващите цели числа: 7! = 6! х7,8! = 6! x 7 x 8 и т.н., давайки кратно на 360° в аргумента синус, правейки го (и тангенса също) равен на нула.

2. Нека в някаква двойка цифри има нула. Умножаваме го по следващото число и го приравняваме към синуса на факториела в градуси, взет от числото в другата част на числото.

3. Нека и в двете части на числото има нули. Когато се умножат по съседни цифри, те дават тривиалното равенство 0 = 0.

Разделянето на общото решение на три точки с умножение по нула в точки 2 и 3 се дължи на факта, че sin( н!)° ? 0 ако н < 6».

Разбира се, такива общи решениялишават играта на Ландау от първоначалния й чар, представлявайки само абстрактен интерес. Затова се опитайте да играете с отделни трудни числа, без да използвате универсални формули. Ето някои от тях: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

21. Гадаене по определители

22. 9 знака

Повече за детерминантите.

Казаха ми, че по едно време сред студентите от първа година на мехмата е била популярна играта „определител“ за пари. Двама играчи теглят детерминанта 3 x 3 върху хартия с празни клетки. След това на свой ред в празните клетки се вмъкват числата от 1 до 9. Когато всички клетки са попълнени, се разглежда детерминантата - отговорът, като се вземе предвид знакът, е печалбата (или загубата) на първия играч , изразено в рубли. Тоест, ако например числото е -23, тогава първият играч плаща на втория 23 рубли, а ако, да речем, 34, тогава, напротив, вторият играч плаща на първия 34 рубли.

Въпреки че правилата на играта са прости като ряпа, е много трудно да се измисли правилната печеливша стратегия.

23. Как учените решиха проблема

Тази бележка ми беше изпратена от математика и писател А. Жуков, автор на прекрасната книга „Вездесъщото Пи“.

Професор Борис Соломонович Горобец, който преподава математика в два московски университета, написа книга за великия физик Лев Давидович Ландау (1908–1968) - Кръгът на Ландау. Ето какво любопитна история, свързан с един въвеждащ проблем във Физико-техническия институт, ни каза той.

Случи се така, че през 1959 г. съратникът на Ландау и неговият съавтор на курс от десет тома по теоретична физика, академик Евгений Михайлович Лифшиц (1915–1985), помогнаха на възпитаника на училището Боря Горобец да се подготви за допускане до един от водещите физически университетиМосква.

На писмения изпит по математика в Московския физико-математически институт беше предложена следната задача: „В основата на пирамидата SABC лежи правоъгълник равнобедрен триъгълник ABC, с ъгъл C = 90°, страна AB = l. Странични лицаформа с основната равнина двустенни ъгли?, ?, ?. Намерете радиуса на сферата, вписана в пирамидата.

Тогава бъдещият професор не се справи със задачата, но си спомни състоянието й и по-късно съобщи на Евгений Михайлович. Той, след като се занимаваше с проблема в присъствието на ученика, не можа да го реши веднага и го взе вкъщи със себе си, а вечерта се обади и каза, че след като не го е преодолял за един час, той предложи този проблем на Лев Давидович.

Ландау обичаше да решава проблеми, които създаваха трудности за другите. Скоро той се обади на Лифшиц и доволен каза: „Реших проблема. Решено точно един час. Обадих се на Зелдович, сега той решава. За пояснение: Яков Борисович Зелдович (1914–1987), известен учен, смятащ себе си за ученик на Ландау, през онези години беше главният теоретичен физик в строго секретния съветски атомен проект (който, разбира се, малко хората знаеха тогава). Около час по-късно Е. М. Лифшиц се обади отново и каза: Зелдович току-що му се обади и каза не без гордост: „Реших проблема ви. Реших за четиридесет минути!“

Колко време ще ви отнеме да изпълните тази задача?

24. Проблем

В остроумната колекция от физико-технически хумор „Засаучен хумор“ (М., 2000) има много математически вицове. Ето само един от тях.

При тестване на един продукт възникна един отказ. Каква е вероятността за безпроблемна работа на продукта?

Теорема. Всички естествени числа са интересни.

Доказателство. Да приемем обратното. Тогава трябва да съществува най-малкото безинтересно естествено число. Ха, това е адски интересно!

26. Висша аритметика

1 + 1 = 3, когато стойността на 1 е достатъчно голяма.

27. Формула на Айнщайн-Питагор

E \u003d m c 2 \u003d m (a 2 + b 2).

28. За ползите от theorver

Тази забавна история от моя Студентски животе напълно възможно да се предложи на семинари по теория на вероятностите като задача.

През лятото с мои приятели ходехме на поход в планината. Бяхме четирима: Володя, двама Олеги и аз. Имахме палатка и три спални чувала, единият от които беше двойно легло за нас с Володя. Със същите спални чували, или по-скоро с разположението им в палатката, се получи закачалката. Факт е, че валеше, палатката беше тясна, течеше отстрани, а тези, които лежаха на ръба, не бяха много удобни. Затова предложих да се реши този проблем "справедливо", с помощта на партиди.

Виж - казах на Олег, - нашият двойник с Володя може да бъде или на ръба, или в центъра. Затова ще хвърлим монета: ако „орелът“ изпадне, нашият двойник ще бъде на ръба, ако „опашките“ ще бъдат в центъра.

Олегите се съгласиха, но след няколко нощи на ръба (лесно е да се изчисли по формулата пълна вероятностче за всеки от нас с Володя вероятността да спим не на ръба на палатката е 0,75) Олег заподозря, че нещо не е наред и предложи да преразгледаме договора.

Наистина - казах аз - шансовете бяха неравни. Всъщност има три възможности за нашия двойник: от левия ръб, от десния и в центъра. Затова всяка вечер ще дърпаме една от трите пръчки - ако извадим къса, тогава нашият двойник ще бъде в центъра.

Олег отново се съгласи, въпреки че този път шансовете ни да пренощуваме не на ръба (сега вероятността е 0,66, по-точно две трети) бяха за предпочитане пред всеки от тях. След две нощувки на ръба (имахме най-добри шансове плюс късмет на наша страна), Олег отново разбра, че са били измамени. Но тогава, за щастие, дъждовете свършиха и проблемът изчезна от само себе си.

Но всъщност, всъщност, нашият двойник винаги трябваше да е на ръба и ние с Володя всеки път щяхме да определяме с помощта на монета кой има късмет. Олег щеше да направи същото. В този случай шансовете да спите на ръба биха били еднакви за всички и равни на 0,5.

Бележки:

Понякога подобна история се разказва за Жан Шарл Франсоа Щурм.

Тази страница съдържа всички формули, необходими за преминаване на контрол и самостоятелна работа, изпити по алгебра, геометрия, тригонометрия, плътна геометрия и други клонове на математиката.

Тук можете да изтеглите или гледате онлайн всички основни тригонометрични формули, формула за площ на окръжност, формула за съкратено умножение, формула за обиколка, формули за намаляване и много други.

Можете също така да отпечатате необходимите колекции от математически формули.

Успех в обучението!

Аритметични формули:

Алгебрични формули:

Геометрични формули:

Аритметични формули:

Закони за операции с числа

Комутативен закон за събиране: a + b = b + a.

Асоциативен закон за добавяне: (a + b) + c = a + (b + c).

Комутативен закон за умножение: ab=ba.

Асоциативен закон за умножение: (ab)c = a(bc).

Законът за разпределение на умножението по отношение на събирането: (a + b)c = ac + bc.

Законът за разпределение на умножението по отношение на изваждането: (a - b)c \u003d ac - bc.

Някои математически обозначения и съкращения:

Признаци на делимост

Признаци за делимост на "2"

Нарича се число, делящо се на 2 без остатък дори, неделим - странно. Едно число се дели на "2" без остатък, ако последната му цифра е четна (2, 4, 6, 8) или нула

Знаци за делимост на "4"

Числото се дели на "4" без остатък, ако последните две от цифрите му са нули или в сумата образуват число, което се дели без остатък на "4"

Знаци за делимост на "8"

Едно число се дели на "8" без остатък, ако последните му три цифри са нула или в сумата образуват число, което се дели без остатък на "8" (пример: 1000 - последните три цифри са "00", а разделянето на 1000 на 8 дава 125; 104 - последните две цифри на "12" се делят на 4, а при разделянето на 112 на 4 се получава 28; и т.н.)

Знаци за делимост на "3" и "9"

Без остатък на "3" се делят само онези числа, в които сумата от цифрите се дели без остатък на "3"; с "9" - само тези, в които сборът от цифрите се дели без остатък на "9"

Знаци за делимост на "5"

Без остатък числата се делят на "5", като последната цифра е "0" или "5"

Знаци за делимост на "25"

Без остатък числата се делят на "25", последните две цифри от които са нули или в сумата образуват число, делимо без остатък на "25" (т.е. числа, завършващи на "00", "25", "50" ", "75 »

Знаци за делимост на "10", "100" и "1000"

Без остатък само онези числа, чиято последна цифра е нула, се делят на "10", само онези числа, чиито последни две цифри са нули, се делят на "100", само онези числа, чиито последни три цифри са нули, се делят на "1000"

Знаци за делимост на "11"

Без остатък на "11" се делят само онези числа, в които сумата от цифрите, заемащи нечетни места, е равна на сумата от цифрите, заемащи четни места, или се различава от нея с число, делящо се на "11"

Абсолютна стойност - формули (модул)

|а| ? 0, и |a| = 0 само ако a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, какво ще кажете за b? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|

Формули Действия с дроби

Формулата за преобразуване на крайна десетична дроб в рационална дроб:

Пропорции

Образуват се две равни съотношения пропорция:

Основно свойство на пропорцията

Намиране на условията на пропорцията

Пропорции, еквивалентен пропорции : Производна пропорция- следствие от това пропорциикато

Средни стойности

Средно аритметично

Два размера: нстойности:

Средно геометрично (средно пропорционално)

Два размера: нстойности:

RMS

Два размера: нстойности:

хармонично средно

Два размера: нстойности:

Някои крайни числа

Свойства на числените неравенства

1) Ако а< b , след това за всякакви ° С: a + c< b + с .

2) Ако а< b и c > 0, тогава като< bс .

3) Ако а< b и ° С< 0 , тогава ac > bc.

4) Ако а< b , аи bедин знак тогава 1/a > 1/b.

5) Ако а< b и ° С< d , тогава a + c< b + d , а - г< b — c .

6) Ако а< b , ° С< d , а > 0, b > 0, c > 0, d > 0, тогава ак< bd .

7) Ако а< b , а > 0, b > 0, тогава

8) Ако , тогава

• Формули за прогресиране:

• 

• Производна

• Логаритми:
• Координати и вектори

  1. Разстоянието между точките A1(x1;y1) и A2(x2;y2) се намира по формулата:

  2. Координатите (x;y) на средата на отсечката с краища A1(x1;y1) и A2(x2;y2) се намират по формулите:

  

  3. Уравнение на права с фактор на наклонаи началната ордината е:

  Наклонът k е стойността на тангенса на ъгъла, образуван от правата с положителната посока на оста Ox, а началната ордината q е стойността на ординатата на точката на пресичане на правата с оста Oy.

  4. Общо уравнениеправата има формата: ax + by + c = 0.

  5. Уравненията на прави линии, успоредни съответно на осите Oy и Ox, имат формата:

  Ax + by + c = 0.

  6. Условията на паралелност и перпендикулярност на правите съответно y1=kx1+q1 и y2=kx2+q2 имат формата:

  

  7. Уравнения на окръжности с радиус R и с център съответно в точките O(0;0) и C(xo;yo) имат вида:

  8. Уравнение:

  е уравнението на парабола с връх в точка, чиято абциса

• Правоъгълна картезианска системакоординати в пространството

  1. Разстоянието между точките A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) се намира по формулата:

  2. Координатите (x;y;z) на средата на отсечката с краища A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) се намират по формулите:

  3. Модулът на вектор, даден от неговите координати, се намира по формулата:

  

  4. При добавяне на вектори се събират съответните им координати, а при умножаване на вектор по число всички негови координати се умножават по това число, т.е. формулите са валидни:

  5. Единичният вектор, съпосочен с вектора, се намира по формулата:

  6. Скаларното произведение на векторите е число:

  

  където е ъгълът между векторите.

  7. Скаларно произведениевектори

  

  8. Косинусът на ъгъла между векторите и се намира по формулата:

  9. Необходими и достатъчно условиеперпендикулярност на векторите и има формата:

  10. Общо уравнение на равнината, перпендикулярен на вектораизглежда като:

  Ax + by + cz + d = 0.

  11. Уравнението на равнината, перпендикулярна на вектора и минаваща през точката (xo; yo; zo), има формата:

  A(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

  12. Уравнението на сфера с център O(0;0;0) се записва като

Образованието е това, което остава, след като всичко, което е преподавано в училище, е забравено.

Игор Хмелински, новосибирски учен, който сега работи в Португалия, доказва, че без директно запаметяване на текстове и формули развитието на абстрактната памет при децата е трудно. Ето откъси от неговата статияУроци образователни реформив Европа и страните от бившия СССР"

Учене наизуст и дългосрочна памет

Непознаването на таблицата за умножение има по-сериозни последици от невъзможността да се открият грешки в изчисленията на калкулатора. Нашата дългосрочна памет работи на принципа на асоциативна база данни, т.е. определени елементи от информацията, когато се запомнят, се свързват с други въз основа на асоциациите, установени в момента на запознаване с тях. Следователно, за да се формира база от знания във всеки предметна област, например в аритметиката първо трябва да научите поне нещо наизуст. Освен това новопостъпилата информация ще дойде от краткотрайна паметв дългосрочен, ако в рамките на кратък период от време (няколко дни) го срещнем много пъти и за предпочитане при различни обстоятелства (което допринася за създаването на полезни асоциации). Въпреки това, при липса на знания от аритметиката в постоянната памет, новопостъпилите елементи на информация се свързват с елементи, които нямат нищо общо с аритметиката - например личността на учителя, времето на улицата и др. Очевидно такова запаметяване няма да донесе никаква реална полза за ученика - тъй като асоциациите водят далеч от тази предметна област, ученикът няма да може да си спомни никакви знания, свързани с аритметиката, с изключение на неясни идеи, че той изглежда има нещо по въпроса Бях чул. За такива ученици обикновено се играе ролята на липсващи асоциации различен видподсказки - копирайте от колега, използвайте насочващи въпроси в самото контролно, формули от списъка с формули, които са разрешени за използване и др. AT истинския живот, без подкана, такъв човек се оказва напълно безпомощен и неспособен да приложи знанията, които са в главата му.

Формиране математически апарат, в който формулите не се запомнят, е по-бавно от другото. Защо? Първо, новите свойства, теореми, връзки между математически обекти почти винаги използват някои характеристики на предварително изучени формули и понятия. Ще бъде по-трудно да се съсредоточи вниманието на ученика върху нов материал, ако тези характеристики не могат да бъдат извлечени от паметта за кратък период от време. Второ, непознаването на формули наизуст пречи на търсенето на решения на значими проблеми с голямо количествомалки операции, при които се изисква не само да се извършат определени трансформации, но и да се идентифицира последователността на тези ходове, като се анализира прилагането на няколко формули две или три стъпки напред.

Практиката показва, че интелектуалните и математическо развитиедете, формирането на неговата база от знания и умения, се случва много по-бързо, ако повечето отизползваната информация (свойства и формули) е в главата. И колкото по-силно и по-дълго се държи там, толкова по-добре.

Един от най сложни типове set е набор от математически формули. Формулиса текстове, които включват шрифтове на руска, латинска и гръцка основа, директен и курсив, светъл, удебелен, с Голям бройматематически и други знаци, индекси на горния и долния ред на шрифта и различни знаци с голям размер. Обхватът на шрифтовете за въвеждане на формули е най-малко 2000 знака. Таблицата със знаци в WORD-98 включва 1148 знака.

Основната разлика между набора от формули и всички други видове набори е, че наборът от формули в класическия си вид не е направен в успоредни линии, а заема определена част от площта на лентата.

Формула- математически или химичен израз, в който с помощта на числа, символи и специални знаци връзката между определени количества се изразява в условна форма.

Числа- знаци, които обозначават или изразяват числа (количества). Цифрите са арабски и римски.

арабски цифри: 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Арабските цифри променят значението си в зависимост от мястото, което заемат в поредица от цифрови знаци. Арабските цифри се разделят на два класа - 1-ви - единици, десетици, стотици; 2-ро - хиляди, десетки хиляди, стотици хиляди и т.н.

Римски цифри. Има седем основни цифрови знака: I - едно, V - пет, X - десет, L - петдесет, C - сто, D - петстотин, M - хиляда. Римските цифри имат постоянна стойност, така че числата се получават чрез добавяне или изваждане на цифрови знаци. Например: 28 = XXVIII (10 + 10 + 5 + 1 + 1+ 1); 29 \u003d XXIX (10 + 10 -1 + 10); 150=CL(100+50); 200 = SS (100 + 100); 1980 = MDCCCCLXXX (1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10); 2002 = MMII (1000 + 1000 + 1 + 1).

Римските цифри обикновено означават векове (XV1 век), номера на томове (том IX), глави (глава VII), части (част II) и т.н.

Символи - буквални изрази, които са част от формулата (напр. математически символи: l - дължина, λ - степен на отказ (свиване), π - съотношение на обиколката към диаметъра и др.; химически символи: Al - алуминий, Pb - олово, H - водород и др.).

Коефициенти- числа преди символи, например 2H 2 O; 4sinx. Символите и числата често имат горен индекс (на горния ред) и долен индекс (на долния ред), които или обясняват значението на индексите (например λ c - линейно свиване, G T - теоретична масаотливки, C f - действителната маса на отливката); или посочвайте математически операции (например x 2, y 3, z -2 и т.н.); или посочете броя на атомите в молекулата и броя на йонните заряди в нея химични формули(например СН 4). Във формулите има и индекси към индекси: горен индекс към горен индекс - горен индекс супраиндекс, долен надпис - горен индекс подиндекс, горен индекс към долен индекс - долен супраиндекс и долен индекс към долен индекс - долен подиндекс.

Знаци на математически действия и съотношения - събиране "+", изваждане "-", равенство "=", умножение "х"; действието на разделяне се обозначава с хоризонтална линийка, която ще се нарича дробна или разделителна линийка.

(9.12)

Основна линия- ред, в който са поставени основните знаци на математически операции и съотношения.

Класификация на формулата.

Математически формулисе разделят според сложността на набора, в зависимост от състава на формулата (едноредова, двуредова, многоредова) и нейната наситеност с различни математически знаци и символи, индекси, подиндекси, надиндекси и афикси. Според сложността на набора всички математически формули могат условно да се разделят на четири основни групи и една допълнителна:

1 група. Едноредови формули (9.13-9.16);

2 група. Двуредови формули (9.17-9.19). Всъщност тези f-ly се състоят от 3 реда;

3-та група. Триредови формули (9.20-9.23). Всъщност тези f-ly се състоят от 5 реда;

4 група. Многоредови формули (9.24-9.26);

Допълнителна група (9.27-9.29).

При разпределянето на формулите в групи по сложност бяха взети предвид сложността на въвеждане и времето, прекарано за въвеждане.

II група. Двуредови формули:

(9.29)

Правила за въвеждане на математически формули.

При въвеждане на математически текст трябва да се спазват следните основни правила.

Набиране числавъв формули с латински шрифт, например 2ax; зоологическа градина.

Съкратени тригонометрични и математически термини, например sin, cos, tg, ctg, arcsin. Ig, лими т.н., напишете шрифт латиницаправ светъл контур.

Съкратени думи в индексанапишете на руски латински шрифт на долния ред.

Съкращения за физически, метрични и инженерни единици, обозначени с буквите от руската азбука, въведете текста в обикновен шрифт без точки, напр. 127 V, 20 kW. Същите имена, обозначени с буквите от латинската азбука, трябва да се изписват и на латински шрифт без точки, напр. 120 V, 20 kWосвен ако не е посочено друго в оригинала.

Символи (или числа и символи), следващи един след друг и не разделени с никакви знаци, набиране без прекъсване, например 2xy; 4 г.

Препинателни знацивъв формулите пишете с директен светъл шрифт. Запетайките във формулата трябва да бъдат отделени от следващия елемент на формулата с 3 стр.; запетаята не се отделя от предходния елемент на формулата; от предходния индекс, запетаята е отбита от 1 стр.

многоточиена долния ред, наберете с точки, разбити на половин щифтове. От предишните и следващите елементи на формулата точките също трябва да бъдат отбити с половин щифт, например:

(9.30)

Символи(или числа и символи), следващи един след друг, не се разделят, а се въвеждат без прекъсване.

Знаци на математически операции и съотношения, както и знаци на геометрични изображения, като, = ,< ,> , + , - , победете от предишните и следващите елементи на формулата с 2 p

Съкратени математически терминипобедете от предишните и следващите елементи на формулата с 2 p.

експонента, следващ непосредствено след математическия член, въведете близо до него и направете прекъсване след експонента.

Писма "d" (което означава "диференциал"), δ (в смисъла на „частична производна“) и ∆ (в смисъла на „увеличение“) се отдръпват от предишния елемент на формулата с 2 p., от следващия символ посочени белезине отвръщай на удара.

Съкратени наименования на физически и технически мерни единиции метрични мерки във формулите, победете с 3 точки от числата и символите, за които се отнасят.

Знаци ° , " , " се отклоняват от следващия знак (или число) с 2 точки, посочените знаци не се отклоняват от предишния знак.

Пунктуация след формула, не се отървавайте от него.

Ред от изтичаниявъв формулите те се въвеждат с точки, като между тях се използва полущифт.

Формули, въведени в селекцията с текста, избиват предишния и следващите полу-щифт текстове; тази подложка не намалява, а се увеличава, когато линията е изключена. Изключете и формулите, които следват една след друга в селекцията с текста.

Няколко формули, поставени в един ред, изключени в центъра, се разбиват една друга с интервал не по-малък от карфица и не повече от 1/2 квадрат.

Малките обяснителни формули, въведени на един и същи ред с основната формула, трябва да бъдат изключени до десния край на реда или отделени с две карфици от основния израз (освен ако не е указано друго в оригинала).

Редни числаформули, въведете числа със същия размер като едноредовите формули и изключете надясно, например:

X+Y=2 (9.31)

Ако формулата не се побира във формата на реда и не може да бъде прехвърлена, е позволено да я въведете в по-малък размер.

Сричкопренасянето във формулите е нежелателно. За да се избегне сричкопренасянето, е позволено да се намалят интервалите между елементите на формулата. Ако чрез намаляване на интервалите не е възможно формулата да се приведе в желания формат на реда, тогава се допускат тирета:

1) върху признаците на връзката между ляво и десни частиформули ( = ,>,< );

2) върху знаци за събиране или изваждане (+, - );

3) върху знаците за умножение (x). В този случай следващият ред започва със знака, на който е завършила формулата в предишния ред. При прехвърляне на формули е необходимо да се гарантира, че прехвърлената част не е много малка, изразите, затворени в скоби, изразите, свързани със знаците на корена, интеграла, сумата, не са нарушени; не се допуска разделяне на индекси, показатели, дроби.

При номерираните формули номерът на формулата, в случай на нейното прехвърляне, се поставя на нивото на централната линия на пренесената част от формулата. Ако серийната номерация не се побира в реда, тя се поставя в следващия и се изключва до десния край. Формули, чиито числител или знаменател не се побират в зададения формат, се изписват с по-малък размер шрифт или със същия размер, но на два реда с прериване.

Ако по време на прехвърлянето на формулата разделителната линийка или линийката на корена е счупена, тогава мястото на счупване на всяка линийка се обозначава със стрелки.

Стрелките не могат да се поставят близо до математически символи.

Без повече приказки, ето го:

Обикновено се нарича идентичност на Ойлер на името на великия швейцарски математик Леонхард Ойлер (1707-1783). Може да се види на тениски и чаши за кафе, а няколко анкети сред математици и физици го удостояват с титлата „най-великото уравнение“ (Крейз, Робърт П., „Най-великите уравнения някога“).

Усещането за красота и елегантност на идентичността идва от факта, че съчетава в проста форма петте най- важни числаматематически константи: - база натурален логаритъм, — Корен квадратенот и . Разглеждайки го внимателно, повечето хора мислят за степента: какво означава да повдигнеш число на въображаема степен? Търпение, търпение, ще стигнем.

За да обясним откъде идва тази формула, първо трябва да получим по-общата формула, открита от Ойлер, и след това да покажем, че нашето равенство е само частен случай на тази формула. Обща формулаудивителен сам по себе си и има много прекрасни приложения в математиката, физиката и инженерството.

Първата стъпка в нашето пътуване е да разберем, че повечето функции в математиката могат да бъдат представени като безкрайна сумапо силата на аргумента. Това е пример:

Измерва се в радиани, а не в градуси. Можем да получим добро приближение за определена стойност на , като използваме само първите няколко члена от серията. Това е пример за редица на Тейлър и е сравнително лесно да се извлече тази формула с помощта на смятане. Тук не предполагам знания математически анализзатова моля читателя да го приеме на вяра.

Съответната формула за косинус е:

Числото е константа, равна на , а Ойлер е първият, който признава фундаменталното му значение в математиката и извежда последната формула (предишните две са открити от Исак Нютон). За числото са написани книги (например Maor, E. (1994). e, историята на число. Принстънския университетНатиснете), можете също да прочетете за него.

Около 1740 г. Ойлер разглежда тези три формули, подредени приблизително така, както ги виждаме тук. Веднага става ясно, че всеки член в третата формула се появява и във всяка предишна. Половината от членовете в първото равенство обаче са отрицателни, докато всеки член в последното е положителен. Повечето хора биха го оставили така, но Ойлер видя модел във всичко това. Той беше първият, който добави първите две формули:

Обърнете внимание на последователността от знаци в тази серия: , тя се повтаря в групи от 4. Ойлер забеляза, че същата последователност от знаци се получава, когато повдигнем въображаемата единица на цели степени:

Това означаваше, че можете да замените в последната формула с и да получите:

Сега знаците съответстват на знаците в предишната формула и новата серия е същата като предишната, с изключение на това, че членовете на разширението се умножават по . Тоест получаваме точно

Това е удивителен и мистериозен резултат, той показва наличието на тясна връзка между числото и синусите и косинусите в тригонометрията, въпреки че е известно само от проблеми, които не са свързани с геометрия или триъгълници. Освен нейната елегантност и странност обаче, трудно би било да се надцени значението на тази формула в математиката, което се е увеличило след нейното откриване. Появява се навсякъде и наскоро беше публикувана книга от около 400 страници (Nahin P. Dr. Euler's Fabulous Formula, 2006), описваща някои от приложенията на тази формула.

Обърнете внимание, че старият въпрос за въображаемите показатели вече е решен: за да повдигнете на въображаема степен, просто поставете въображаемото число във формулата на Ойлер. Ако основата е число, различно от , е необходима само лека промяна.