Случайната променлива се дава от функцията на разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x)

За разлика от дискретната случайна променлива, непрекъснатите случайни променливи не могат да бъдат посочени под формата на таблица на нейния закон за разпределение, тъй като е невъзможно да се изброят и изпишат всички нейни стойности в определена последователност. Един възможен начин за дефиниране на непрекъсната случайна променлива е използването на функция на разпределение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцията на разпределение е функция, която определя вероятността една случайна променлива да приеме стойност, която е изобразена на реалната ос от точка вляво от точката x, т.е.

Понякога вместо термина "Функция на разпределение" се използва терминът "Интегрална функция".

Свойства на функцията на разпределение:

1. Стойността на функцията на разпределение принадлежи на сегмента: 0F(x)1
2. F(x) е ненамаляваща функция, т.е. F(x 2)F(x 1), ако x 2 >x 1

Следствие 1. Вероятността една случайна променлива да приеме стойност, съдържаща се в интервала (a,b), е равна на увеличението на функцията на разпределение на този интервал:

P(aX

Пример 9. Случайна променлива X е дадена чрез функция на разпределение:

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (0; 2): P(0

Решение: Тъй като в интервала (0;2) по условие, F(x)=x/4+1/4, тогава F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Така че P(0

Следствие 2. Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме една определена стойност е равна на нула.

Следствие 3. Ако възможните стойности на случайна променлива принадлежат към интервала (a;b), то: 1) F(x)=0 за xa; 2) F(x)=1 за xb.
Валидни са следните гранични отношения:

Графиката на функцията на разпределение се намира в лентата, ограничена от прави линии y=0, y=1 (първото свойство). С нарастването на x в интервала (a;b), който съдържа всички възможни стойности на случайната променлива, графиката се "издига нагоре". За xa ординатите на графиката са равни на нула; при xb ординатите на графиката са равни на едно:

Снимка 1

Пример 10. Дискретна случайна променлива X е дадена от таблица на разпределение:

х	1	4	8
П	0.3	0.1	0.6

Намерете функцията на разпределение и изградете нейната графика.
Решение: Функцията на разпределение може да бъде аналитично написана, както следва:

Фигура-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива X е функцията f (x) - първата производна на функцията на разпределение F (x): f (x) \u003d F "(x)

От тази дефиниция следва, че функцията на разпределение е първоизводната на плътността на разпределението.

Теорема. Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (a; b), е равна на определен интеграл от плътността на разпределение, взет в диапазона от a до b:

(8)

Свойства на плътността на вероятността:

1. Плътността на вероятността е неотрицателна функция: f(x)0.
2. Определеният интеграл от -∞ до +∞ на плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива е равен на 1: f(x)dx=1.
3. Определеният интеграл от -∞ до x на плътността на разпределение на вероятностите на непрекъсната случайна променлива е равен на функцията на разпределение на тази променлива: f(x)dx=F(x)

Пример 11. Дадена е плътността на разпределението на вероятностите на случайна променлива X

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (0,5; 1).

Решение: Желана вероятност:

Нека разширим дефиницията на числените характеристики на дискретни величини до непрекъснати величини. Нека една непрекъсната случайна променлива X е дадена чрез плътността на разпределение f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат към сегмента, се нарича определен интеграл:

M(x)=xf(x)dx (9)

Ако възможните стойности принадлежат на цялата ос x, тогава:

M(x)=xf(x)dx (10)

Режимът M 0 (X) на непрекъсната случайна променлива X е нейната възможна стойност, която съответства на локалния максимум на плътността на разпределението.

Медианата M e (X) на непрекъсната случайна променлива X е нейната възможна стойност, която се определя от равенството:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсията на непрекъсната случайна променлива е математическото очакване на квадрата на нейното отклонение. Ако възможните стойности на X принадлежат към сегмента, тогава:

D(x)=2 f(x)dx (11)
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Ако възможните стойности принадлежат на цялата ос x, тогава.

Случайна величина е променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от различни обстоятелства и случайната променлива се нарича непрекъсната , ако може да приеме произволна стойност от някакъв ограничен или неограничен интервал. За непрекъсната случайна променлива е невъзможно да се уточнят всички възможни стойности, поради което се обозначават интервалите на тези стойности, които са свързани с определени вероятности.

Примери за непрекъснати случайни променливи са: диаметър на част, обърната до даден размер, височина на човек, обсег на снаряд и др.

Тъй като за непрекъснати случайни променливи функцията Е(х), За разлика от дискретни случайни променливи, няма скокове никъде, тогава вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е равна на нула.

Това означава, че за непрекъсната случайна променлива няма смисъл да се говори за разпределение на вероятностите между нейните стойности: всяка от тях има нулева вероятност. Въпреки това, в известен смисъл, сред стойностите на непрекъсната случайна променлива има "повече и по-малко вероятни". Например, малко вероятно е някой да се съмнява, че стойността на случайна променлива - височината на случайно срещнат човек - 170 см - е по-вероятна от 220 см, въпреки че едната и другата стойност могат да се случат на практика.

Функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива и плътност на вероятността

Като закон за разпределение, който има смисъл само за непрекъснати случайни променливи, се въвежда концепцията за плътност на разпределение или плътност на вероятността. Нека подходим към него, като сравним значението на функцията на разпределение за непрекъсната случайна променлива и за дискретна случайна променлива.

И така, функцията на разпределение на случайна променлива (както дискретна, така и непрекъсната) или интегрална функциясе нарича функция, която определя вероятността стойността на случайна променлива хпо-малко или равно на граничната стойност х.

За дискретна случайна променлива в точките на нейните стойности х1 , х 2 , ..., хаз,...концентрирани маси от вероятности стр1 , стр 2 , ..., страз,..., а сумата от всички маси е равна на 1. Нека прехвърлим тази интерпретация към случая на непрекъсната случайна променлива. Представете си, че маса, равна на 1, не е концентрирана в отделни точки, а е непрекъснато "размазана" по оста x волс известна неравномерна плътност. Вероятността за попадение на произволна променлива на който и да е сайт Δ хще се тълкува като масата, която се приписва на този участък, а средната плътност в този участък - като отношение на масата към дължината. Току-що въведохме важно понятие в теорията на вероятностите: плътността на разпределението.

Плътност на вероятността f(х) на непрекъсната случайна променлива е производната на нейната функция на разпределение:

.

Познавайки функцията на плътността, можем да намерим вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива да принадлежи към затворения интервал [ а; b]:

вероятността непрекъсната случайна променлива хще вземе всяка стойност от интервала [ а; b], е равен на определен интеграл от неговата плътност на вероятността в диапазона от апреди b:

.

В този случай общата формула на функцията Е(х) вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива, което може да се използва, ако функцията на плътността е известна f(х) :

.

Графиката на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива се нарича нейната крива на разпределение (фиг. по-долу).

Площта на фигурата (защрихована на фигурата), ограничена от крива, прави линии, изтеглени от точки аИ bперпендикулярна на абсцисната ос, и оста о, показва графично вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива хе в рамките на апреди b.

Свойства на функцията за плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива

1. Вероятността случайна променлива да вземе всяка стойност от интервала (и областта на фигурата, която е ограничена от графиката на функцията f(х) и ос о) е равно на едно:

2. Функцията за плътност на вероятността не може да приема отрицателни стойности:

и извън съществуването на разпределението стойността му е нула

Плътност на разпространение f(х), както и функцията на разпределение Е(х), е една от формите на закона за разпределение, но за разлика от функцията на разпределение, тя не е универсална: плътността на разпределението съществува само за непрекъснати случайни променливи.

Нека споменем двата най-важни в практиката типа разпределение на непрекъсната случайна променлива.

Ако функцията за плътност на разпределение f(х) непрекъсната случайна променлива в някакъв краен интервал [ а; b] приема постоянна стойност ° С, а извън интервала приема стойност, равна на нула, тогава това разпределението се нарича равномерно .

Ако графиката на функцията за плътност на разпределението е симетрична спрямо центъра, средните стойности се концентрират близо до центъра, а когато се отдалечават от центъра, се събират повече различни от средните стойности (графиката на функцията прилича на разрез на звънец), тогава това разпределението се нарича нормално .

Пример 1Функцията на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива е известна:

Намерете функция f(х) плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива. Начертайте графики и за двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 4 до 8: .

Решение. Получаваме функцията за плътност на вероятността, като намерим производната на функцията за разпределение на вероятностите:

Функционална графика Е(х) - парабола:

Функционална графика f(х) - права:

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 4 до 8:

Пример 2Функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива се дава като:

Изчислете коефициента ° С. Намерете функция Е(х) вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива. Начертайте графики и за двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5: .

Решение. Коефициент ° Снамираме, използвайки свойство 1 на функцията за плътност на вероятността:

По този начин функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива е:

Интегрирайки, намираме функцията Е(х) вероятностни разпределения. Ако х < 0 , то Е(х) = 0 . Ако 0< х < 10 , то

.

х> 10 тогава Е(х) = 1 .

По този начин пълният запис на функцията за разпределение на вероятностите е:

Функционална графика f(х) :

Функционална графика Е(х) :

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5:

Пример 3Плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива хсе дава от равенство , докато . Намерете коефициент А, вероятността непрекъсната случайна променлива хприема някаква стойност от интервала ]0, 5[, функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива х.

Решение. По условие стигаме до равенството

Следователно откъде. Така,

.

Сега намираме вероятността една непрекъсната случайна променлива хще вземе всяка стойност от интервала]0, 5[:

Сега получаваме функцията на разпределение на тази случайна променлива:

Пример 4Намерете плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива х, която приема само неотрицателни стойности, и нейната функция на разпределение .

Глава 1. Дискретна случайна променлива

§ 1. Концепцията за случайна променлива.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива.

Определение : Случайна е величина, която в резултат на теста приема само една стойност от възможен набор от нейни стойности, неизвестни предварително и зависещи от случайни причини.

Има два вида случайни променливи: дискретни и непрекъснати.

Определение : Извиква се случайната променлива X отделен (прекъснат), ако наборът от неговите стойности е краен или безкраен, но изброим.

С други думи, възможните стойности на дискретна случайна променлива могат да бъдат преномерирани.

Можете да опишете случайна променлива, като използвате нейния закон за разпределение.

Определение : Законът за разпределение на дискретна случайна променлива нарича съответствието между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X може да бъде даден под формата на таблица, в първия ред на която са посочени всички възможни стойности на случайната променлива във възходящ ред, а във втория ред съответните вероятности от тези стойности, т.е.

където р1+ р2+…+ рn=1

Такава таблица се нарича серия от разпределение на дискретна случайна променлива.

Ако множеството от възможни стойности на случайна променлива е безкрайно, тогава серията р1+ р2+…+ рn+… се събира и нейната сума е равна на 1.

Законът за разпределение на дискретна случайна величина X може да се изобрази графично, за което се построява многоъгълна линия в правоъгълна координатна система, свързваща последователно точки с координати (xi;pi), i=1,2,…n. Получената линия се нарича разпределителен полигон (Фиг. 1).

Органична химия "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> на органичната химия са съответно 0,7 и 0,8. Съставете закона за разпределение на случайната променлива X - броя на изпитите, които студентът ще пас.

Решение. В резултат на изпита разглежданата случайна променлива X може да приеме една от следните стойности: x1=0, x2=1, x3=2.

Нека намерим вероятността за тези стойности.Означим събитията:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

И така, законът за разпределение на случайната променлива X е даден от таблицата:

Контрола: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Разпределителна функция

Пълно описание на случайна променлива също се дава от функцията на разпределение.

определение: Функцията на разпределение на дискретна случайна променлива X се извиква функцията F(x), която определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x:

F(x)=P(X<х)

Геометрично, функцията на разпределение се интерпретира като вероятността случайната променлива X да приеме стойността, която е изобразена на числовата ос от точка вляво от точката x.

1)0≤F(x)≤1;

2) F(x) е ненамаляваща функция върху (-∞;+∞);

3) F(x) - непрекъсната отляво в точките x= xi (i=1,2,…n) и непрекъсната във всички останали точки;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Ако законът за разпределение на дискретна случайна променлива X е даден под формата на таблица:

тогава функцията на разпределение F(x) се определя по формулата:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 за x≤ x1,

p1 при x1< х≤ x2,

F(x)= p1 + p2 при x2< х≤ х3

1 за x> xn.

Неговата графика е показана на фиг. 2:

§ 3. Числени характеристики на дискретна случайна величина.

Математическото очакване е една от важните числови характеристики.

Определение: Математическо очакване M(X) Дискретната случайна променлива X е сумата от продуктите на всички нейни стойности и съответните им вероятности:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математическото очакване служи като характеристика на средната стойност на случайна променлива.

Свойства на математическото очакване:

1)M(C)=C, където C е постоянна стойност;

2) M (C X) \u003d C M (X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), където X, Y са независими случайни променливи;

5)M(X±C)=M(X)±C, където C е постоянна стойност;

За да характеризираме степента на дисперсия на възможните стойности на дискретна случайна променлива около нейната средна стойност, използваме дисперсия.

Определение: дисперсия д ( х ) случайната променлива X е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване:

Дисперсионни свойства:

1)D(C)=0, където C е постоянна стойност;

2)D(X)>0, където X е случайна променлива;

3)D(C X)=C2 D(X), където C е постоянна стойност;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), където X, Y са независими случайни променливи;

За да се изчисли дисперсията, често е удобно да се използва формулата:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

където М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Дисперсията D(X) има размерността на квадрата на случайна променлива, което не винаги е удобно. Следователно стойността √D(X) се използва и като индикатор за дисперсията на възможните стойности на случайна променлива.

определение: Стандартно отклонение σ(X) случайната променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията:

Задача номер 2.Дискретната случайна променлива X е дадена от закона за разпределение:

Намерете P2, функцията на разпределение F(x) и начертайте нейната графика, както и M(X), D(X), σ(X).

Решение: Тъй като сумата от вероятностите на възможните стойности на случайната променлива X е равна на 1, тогава

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

Намерете функцията на разпределение F(x)=P(X

Геометрично това равенство може да се тълкува по следния начин: F(x) е вероятността една случайна променлива да приеме стойността, която е изобразена на реалната ос от точка вляво от x.

Ако x≤-1, тогава F(x)=0, тъй като няма нито една стойност на тази случайна променлива върху (-∞;x);

Ако -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Ако 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) падат две стойности x1=-1 и x2=0;

Ако 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Ако 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Ако x>3, тогава F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0.3+0.2+0.3=1, тъй като четири стойности x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 попадат в интервала (-∞;x) и x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 за x≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 на 2<х≤3,

1 за x>3

Нека представим функцията F(x) графично (фиг. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Биномиален закон на разпределение

дискретна случайна променлива, закон на Поасон.

определение: Бином наречен закон за разпределение на дискретна случайна променлива X - броят на появяванията на събитие A в n независими повторени опита, във всяко от които събитие A може да се случи с вероятност p или да не се случи с вероятност q = 1-p. Тогава Р(Х=m)-вероятността за възникване на събитие А точно m пъти в n опита се изчислява по формулата на Бернули:

P(X=m)=Сmnpmqn-m

Математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна величина X, разпределени по бинарен закон, се намират съответно по формулите:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Вероятността за събитие А - "получаване на пет" във всеки тест е една и съща и равна на 1/6, т.е. P(A)=p=1/6, тогава P(A)=1-p=q=5/6, където

- "капките не са пет."

Случайната променлива X може да приема стойности: 0;1;2;3.

Ние намираме вероятността за всяка от възможните стойности на X, използвайки формулата на Бернули:

P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216;

P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Че. законът за разпределение на случайната променлива X има формата:

Контрол: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Нека намерим числените характеристики на случайната променлива X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Задача номер 4.Автоматична машина щампова части. Вероятността произведената част да бъде дефектна е 0,002. Намерете вероятността сред 1000 избрани части да има:

а) 5 дефектни;

б) поне един е дефектен.

Решение: Числото n=1000 е голямо, вероятността за производство на дефектна част p=0,002 е малка, а разглежданите събития (частта се оказва дефектна) са независими, така че се прилага формулата на Поасон:

Рn(m)= д- λ λm

Нека намерим λ=np=1000 0,002=2.

а) Намерете вероятността да има 5 дефектни части (m=5):

P1000(5)= д-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Намерете вероятността да има поне една дефектна част.

Събитие A - "поне една от избраните части е дефектна" е обратното на събитието - "всички избрани части не са дефектни". Следователно P (A) \u003d 1-P (). Следователно желаната вероятност е равна на: Р(А)=1-Р1000(0)=1- д-2 20 \u003d 1-e-2 \u003d 1-0,13534≈0,865.

Задачи за самостоятелна работа.

1.1

1.2. Диспергираната случайна променлива X се дава от закона за разпределение:

Намерете p4, функцията на разпределение F(X) и начертайте нейната графика, както и M(X), D(X), σ(X).

1.3. В кутията има 9 флумастера, 2 от които вече не пишат. На случаен принцип вземете 3 флумастера. Случайна променлива X - броят на пишещите флумастери сред взетите. Съставете закона за разпределение на случайна променлива.

1.4. На рафта в библиотеката има произволно поставени 6 учебника, 4 от които са подвързани. Библиотекарката взима произволно 4 учебника. Случайна променлива X е броят на подвързаните учебници сред взетите. Съставете закона за разпределение на случайна променлива.

1.5. Билетът има две задачи. Вероятността за правилно решаване на първата задача е 0,9, втората е 0,7. Случайната променлива X е броят на правилно решените задачи в билета. Съставете закон за разпределение, изчислете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива, а също така намерете функцията на разпределение F (x) и изградете нейната графика.

1.6. Трима стрелци стрелят по мишена. Вероятността за попадение в целта с един изстрел за първия стрелец е 0,5, за втория - 0,8, за третия - 0,7. Случайната променлива X е броят на попаденията в мишената, ако стрелците направят по един изстрел. Намерете закона за разпределение, M(X),D(X).

1.7. Баскетболист хвърля топката в коша с вероятност за попадение при всяко хвърляне 0,8. За всяко попадение той получава 10 точки, а при пропуск не му се присъждат точки. Съставете закона за разпределение на случайната величина Х-брой получени точки баскетболен играчза 3 хвърляния. Намерете M(X),D(X), а също и вероятността той да получи повече от 10 точки.

1.8. На картите са написани букви, само 5 гласни и 3 съгласни. Избират се 3 карти на случаен принцип и всяка взета карта се връща обратно. Случайна променлива X е броят на гласните сред взетите. Съставете закон за разпределение и намерете M(X),D(X),σ(X).

1.9. Средно при 60% от договорите застрахователната компания изплаща застрахователни суми във връзка с настъпване на застрахователно събитие. Съставете закон за разпределение на случайна променлива X - броят на договорите, за които е изплатена застрахователната сума между четири произволно избрани договора. Намерете числените характеристики на това количество.

1.10. Радиостанцията на определени интервали изпраща позивни (не повече от четири), докато се установи двупосочна комуникация. Вероятността за получаване на отговор на позивна е 0,3. Произволна променлива X-брой на изпратените позивни. Съставете закона за разпределение и намерете F(x).

1.11. Има 3 ключа, от които само един пасва на ключалката. Съставете закон за разпределение на случайната променлива X-брой опити за отваряне на ключалката, ако опитаният ключ не участва в следващите опити. Намерете M(X),D(X).

1.12. Провеждат се последователни независими тестове на три устройства за надеждност. Всяко следващо устройство се тества само ако предишното се е оказало надеждно. Вероятността за преминаване на теста за всеки инструмент е 0,9. Съставете закона за разпределение на случайната променлива X-брой на тестваните устройства.

1.13 .Дискретната случайна променлива X има три възможни стойности: x1=1, x2, x3 и x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блокът на електронното устройство съдържа 100 еднакви елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент за времето T е равна на 0,002. Елементите работят независимо. Намерете вероятността не повече от два елемента да се повредят за време T.

1.15. Учебникът е издаден в 50 000 екземпляра. Вероятността учебникът да е подвързан неправилно е 0,0002. Намерете вероятността циркулацията да съдържа:

а) четири дефектни книги,

б) по-малко от две дефектни книги.

1 .16. Броят на повикванията, пристигащи в телефонната централа всяка минута, се разпределя по закона на Поасон с параметър λ=1,5. Намерете вероятността след минута да има:

а) две обаждания;

б) поне едно обаждане.

1.17.

Намерете M(Z),D(Z), ако Z=3X+Y.

1.18. Дадени са законите на разпределение на две независими случайни променливи:

Намерете M(Z),D(Z), ако Z=X+2Y.

Отговори:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. р3=0,4; 0 за x≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 на 2<х≤5,

1 за x>5

1.2. р4=0,1; 0 за x≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 на 2<х≤3,

1 за x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 за x≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 за x>2

М(Х)=2; D(X)=0,62

М(Х)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

М(Х)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

М(Х)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22e-0,2≈0,999

1.15. а) 0,0189; б) 0,00049

1.16. а) 0,0702; б) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Глава 2 Непрекъсната случайна променлива

определение: непрекъснато назовете стойността, всички възможни стойности на която напълно запълват крайния или безкраен интервал на числовата ос.

Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

Непрекъсната случайна променлива може да бъде определена с помощта на функция на разпределение.

определение:Е разпределителна функция непрекъсната случайна променлива X е функция F(x), която определя за всяка стойност xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R

Функцията на разпределение понякога се нарича кумулативна функция на разпределение.

Свойства на функцията на разпределение:

1)1≤F(x)≤1

2) За непрекъсната случайна променлива функцията на разпределение е непрекъсната във всяка точка и диференцируеминавсякъде освен може би отделни точки.

3) Вероятността случайна променлива X да попадне в един от интервалите (a; b), [a; b), [a; b], е равна на разликата между стойностите на функцията F (x) в точки a и b, т.е. P(a<Х

4) Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме една единствена стойност е 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Задаването на непрекъсната случайна променлива с помощта на функция на разпределение не е единственото. Нека въведем концепцията за плътност на разпределение на вероятностите (плътност на разпределение).

Определение : Плътност на вероятността f ( х ) непрекъснатата случайна променлива X е производната на нейната функция на разпределение, т.е.:

Разпределението на вероятностната плътност понякога се нарича диференциалфункция на разпределение или диференциален закон на разпределение.

Извиква се графиката на плътността на вероятностното разпределение f(x). крива на разпределение на вероятностите .

Свойства на плътността на вероятността:

1) f(x) ≥0, когато xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" височина ="62 src="> 0 за x≤2,

f(x)= c(x-2) при 2<х≤6,

0 за x>6.

Намерете: а) стойността на c; б) функцията на разпределение F(x) и построете нейната графика; в) Р(3≤х<5)

Решение:

+ ∞

а) Намерете стойността на c от условието за нормализиране: ∫ f(x)dx=1.

Следователно, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

ако 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 за x≤2,

F (x) \u003d (x-2) 2/16 при 2<х≤6,

1 за x>6.

Графиката на функцията F(x) е показана на фиг.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 за x≤0,

F (x) \u003d (3 arctg x) / π при 0<х≤√3,

1 за x>√3.

Намерете диференциалната функция на разпределение f(x)

Решение: Тъй като f (x) \u003d F '(x), тогава

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Всички свойства на математическото очакване и дисперсията, разгледани по-рано за диспергирани случайни променливи, са валидни и за непрекъснатите.

Задача номер 3.Случайната променлива X е дадена от диференциалната функция f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Задачи за самостоятелно решаване.

2.1. Непрекъсната случайна променлива X се дава от функция на разпределение:

0 за x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤ π/6,

F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 за x> π/3.

Намерете диференциалната функция на разпределение f(x) и също

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 за x≤2,

f(x)= с x при 2<х≤4,

0 за x>4.

2.4. Непрекъсната случайна променлива X се дава от плътността на разпределение:

0 за x≤0,

f(х)= с √х при 0<х≤1,

0 за x>1.

Намерете: а) числото c; б) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> за x,

0 при x.

Намерете: а) F(x) и начертайте графиката му; б) M(X),D(X), σ(X); в) вероятността в четири независими опита стойността X да приеме точно 2 пъти стойността, принадлежаща на интервала (1; 4).

2.6. Плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива X е дадена:

f (x) \u003d 2 (x-2) за x,

0 при x.

Намерете: а) F(x) и начертайте графиката му; б) M(X),D(X), σ(X); в) вероятността при три независими теста стойността X да приеме точно 2 пъти стойността, принадлежаща на интервала.

2.7. Функцията f(x) е дадена като:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Функцията f(x) е дадена като:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Намерете: а) стойността на константата c, при която функцията ще бъде плътността на вероятността на някаква случайна величина X; б) функция на разпределение F(x).

2.9. Случайната величина Х, концентрирана върху интервала (3;7), се задава от функцията на разпределение F(х)= . Намерете вероятността, че

случайната променлива X ще приеме стойност: а) по-малко от 5, б) не по-малко от 7.

2.10. Случайна променлива X, концентрирана върху интервала (-1; 4),

даден от функцията на разпределение F(x)= . Намерете вероятността, че

случайната променлива X ще приеме стойност: а) по-малко от 2, б) не по-малко от 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Намерете: а) числото c; b) M(X); в) вероятност P(X > M(X)).

2.12. Случайната променлива се дава от диференциалната функция на разпределение:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Намерете: а) M(X); б) вероятност Р(Х≤М(Х))

2.13. Разпределението на времето се дава от плътността на вероятността:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> за x ≥0.

Докажете, че f(x) наистина е разпределение на плътността на вероятностите.

2.14. Плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива X е дадена:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src="> (фиг.4) (фиг.5)

2.16. Случайната величина X се разпределя по закона на “правоъгълния триъгълник” в интервала (0; 4) (фиг. 5). Намерете аналитичен израз за плътността на вероятността f(x) върху цялата реална ос.

Отговори

0 за x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,

0 за x> π/3. Непрекъсната случайна променлива X има равномерен закон на разпределение на определен интервал (a; b), към който принадлежат всички възможни стойности на X, ако плътността на разпределението на вероятността f(x) е постоянна на този интервал и е равна на 0 извън него, т.е.

0 за x≤a,

f(x)= за a<х

0 за x≥b.

Графиката на функцията f(x) е показана на фиг. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 за x≤a,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=.

Задача номер 1.Случайната променлива X е равномерно разпределена на отсечката. Намирам:

а) плътността на разпределение на вероятността f(x) и построяване на нейната графика;

б) функцията на разпределение F(x) и построете нейната графика;

в) M(X),D(X), σ(X).

Решение: Използвайки формулите, обсъдени по-горе, с a=3, b=7, намираме:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7,

0 за x>7

Нека изградим неговата графика (фиг. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 за x≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">фиг.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 за x<0,

f(х)= λе-λх при х≥0.

Функцията на разпределение на случайна променлива X, разпределена по експоненциален закон, се дава по формулата:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(X)=

По този начин математическото очакване и стандартното отклонение на експоненциалното разпределение са равни едно на друго.

Вероятността X да попадне в интервала (a;b) се изчислява по формулата:

Р(а<Х

Задача номер 2.Средното време на работа на устройството е 100 часа. Ако приемем, че времето на работа на устройството има експоненциален закон на разпределение, намерете:

а) плътност на разпределението на вероятностите;

б) разпределителна функция;

в) вероятността времето за безотказна работа на устройството да надвишава 120 часа.

Решение: По условие, математическото разпределение M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 за x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x за x≥0.

b) F(x)= 0 за x<0,

1-e -0,01x при x≥0.

в) Намираме желаната вероятност с помощта на функцията на разпределение:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1.2)=e-1.2≈0.3.

§ 3. Нормален закон на разпределение

определение: Непрекъсната случайна променлива X има нормален закон на разпределение (закон на Гаус), ако неговата плътност на разпределение има формата:

,

където m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Кривата на нормалното разпределение се нарича нормална или гаусова крива (фиг.7)

Нормалната крива е симетрична по отношение на правата x=m, има максимум при x=a равен на .

Функцията на разпределение на случайна величина X, разпределена по нормалния закон, се изразява чрез функцията на Лаплас Ф (х) по формулата:

,

където е функцията на Лаплас.

коментар: Функцията Ф(х) е нечетна (Ф(-х)=-Ф(х)), освен това, ако x>5, можем да считаме Ф(х) ≈1/2.

Графиката на функцията на разпределение F(x) е показана на фиг. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Вероятността абсолютната стойност на отклонението да е по-малка от положително число δ се изчислява по формулата:

По-специално, за m=0 равенството е вярно:

"Правилото на трите сигми"

Ако случайната величина X има нормален закон на разпределение с параметрите m и σ, то практически е сигурно, че нейната стойност е в интервала (a-3σ; a+3σ), т.к.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

б) Да използваме формулата:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Според таблицата със стойностите на функцията Ф(х) намираме Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Така че желаната вероятност е:

P(28

Задачи за самостоятелна работа

3.1. Случайната величина X е равномерно разпределена в интервала (-3;5). Намирам:

б) функция на разпределение F(x);

в) числени характеристики;

г) вероятност P(4<х<6).

3.2. Случайната променлива X е равномерно разпределена на отсечката. Намирам:

а) плътност на разпределение f(x);

б) функция на разпределение F(x);

в) числени характеристики;

г) вероятност Р(3≤х≤6).

3.3. На магистралата е монтиран автоматичен светофар, в който зелената светлина свети за 2 минути за превозни средства, жълта за 3 секунди и червена за 30 секунди и т.н. Автомобилът преминава по магистралата в произволно време. Намерете вероятността колата да премине покрай светофара без да спре.

3.4. Влаковете на метрото се движат редовно на интервали от 2 минути. Пътникът влиза в платформата в произволен момент. Каква е вероятността пътникът да чака повече от 50 секунди за влака? Намерете математическото очакване на случайна променлива X - времето за чакане на влака.

3.5. Намерете дисперсията и стандартното отклонение на експоненциалното разпределение, дадено от функцията на разпределение:

F(x)= 0 при x<0,

1-e-8x за x≥0.

3.6. Непрекъсната случайна променлива X се дава от плътността на разпределението на вероятностите:

f(x)=0 при x<0,

0,7 e-0,7x при x≥0.

а) Назовете закона за разпределение на разглежданата случайна величина.

б) Намерете функцията на разпределение F(X) и числените характеристики на случайната променлива X.

3.7. Случайната променлива X се разпределя според експоненциалния закон, даден от плътността на разпределение на вероятностите:

f(x)=0 при x<0,

0,4 e-0,4 x при x≥0.

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност от интервала (2,5; 5).

3.8. Непрекъсната случайна променлива X се разпределя според експоненциалния закон, даден от функцията на разпределение:

F(x)= 0 при x<0,

1-во-0,6x при x≥0

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност от интервала .

3.9. Математическото очакване и стандартното отклонение на нормално разпределена случайна променлива са съответно 8 и 2. Намерете:

а) плътност на разпределение f(x);

б) вероятността в резултат на теста X да приеме стойност от интервала (10;14).

3.10. Случайната променлива X обикновено се разпределя със средна стойност 3,5 и дисперсия 0,04. Намирам:

а) плътност на разпределение f(x);

б) вероятността в резултат на теста X да приеме стойност от интервала .

3.11. Случайната променлива X обикновено се разпределя с M(X)=0 и D(X)=1. Кое от събитията: |X|≤0.6 или |X|≥0.6 има по-голяма вероятност?

3.12. Случайната променлива X обикновено се разпределя с M(X)=0 и D(X)=1.От кой интервал (-0,5;-0,1) или (1;2) в един тест ще приеме стойност с по-голяма вероятност?

3.13. Текущата цена на акция може да се моделира с нормално разпределение с M(X)=10den. единици и σ (X)=0,3 ден. единици Намирам:

а) вероятността текущата цена на акцията да бъде от 9,8 ден. единици до 10,4 ден. единици;

б) използване на "правилото на трите сигми" за намиране на границите, в които ще се намира текущата цена на акциите.

3.14. Веществото се претегля без систематични грешки. Случайните грешки при претеглянето се подчиняват на нормалния закон със средноквадратичното съотношение σ=5r. Намерете вероятността при четири независими експеримента грешката при три претегляния да не се появи в абсолютна стойност 3r.

3.15. Случайната променлива X е нормално разпределена с M(X)=12,6. Вероятността случайна променлива да попадне в интервала (11.4;13.8) е 0.6826. Намерете стандартното отклонение σ.

3.16. Случайната променлива X е нормално разпределена с M(X)=12 и D(X)=36.Намерете интервала, в който с вероятност 0,9973 ще попадне случайната променлива X в резултат на теста.

3.17. Част, произведена от автоматична машина, се счита за дефектна, ако отклонението X на нейния контролиран параметър от номиналната стойност надвишава 2 по модул единици. Приема се, че случайната променлива X е нормално разпределена с M(X)=0 и σ(X)=0,7. Какъв процент дефектни части издава машината?

3.18. Подробният параметър X обикновено се разпределя с математическо очакване 2, равно на номиналната стойност, и стандартно отклонение от 0,014. Намерете вероятността отклонението на X от номиналната стойност по модул да не надвишава 1% от номиналната стойност.

Отговори

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 за x≤-3,

F(x)=ляво">

3.10. a)f(x)= ,

б) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

Пример 2.1.Случайна стойност хдаден от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на теста хще приема стойности между (2,5; 3,6).

Решение: хв интервала (2.5; 3.6) може да се определи по два начина:

Пример 2.2.При какви стойности на параметрите АИ INфункция Е(х) = A + Be - xможе да бъде функция на разпределение за неотрицателни стойности на случайна променлива х.

Решение:Тъй като всички възможни стойности на случайната променлива хпринадлежат на интервала , тогава за да може функцията да бъде функция на разпределение за х, имотът трябва да съдържа:

.

Отговор: .

Пример 2.3.Случайната променлива X е дадена от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на четири независими опита стойността хточно 3 пъти ще приеме стойност, принадлежаща на интервала (0,25; 0,75).

Решение:Вероятност за достигане на стойност хв интервала (0,25; 0,75) намираме по формулата:

Пример 2.4.Вероятността топката да удари коша при едно хвърляне е 0,3. Начертайте закона за разпределение на броя на ударите в три хвърляния.

Решение:Случайна стойност х- броят на ударите в коша с три хвърляния - може да приема стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятностите, че х

х:

Пример 2.5.Двама стрелци правят един изстрел в целта. Вероятността да го уцелите от първия стрелец е 0,5, втория - 0,4. Запишете закона за разпределение на броя на попаденията в целта.

Решение:Намерете закона за разпределение на дискретна случайна променлива х- броят на попаденията в целта. Нека събитието е попадение в целта от първия стрелец, и - попадение от втория стрелец, и - съответно техните пропуски.

Нека съставим закона за разпределение на вероятностите на SV х:

Пример 2.6.Тестват се 3 елемента, работещи независимо един от друг. Продължителностите на време (в часове) на безотказна работа на елементите имат функции на плътност на разпределение: за първия: Е 1 (T) =1-д- 0,1 T, за второто: Е 2 (T) = 1-д- 0,2 T, за третото: Е 3 (T) =1-д- 0,3 T. Намерете вероятността, че в интервала от 0 до 5 часа: само един елемент ще се повреди; само два елемента ще се повредят; и трите елемента се провалят.

Решение:Нека използваме дефиницията на генериращата функция на вероятностите:

Вероятността, че в независими опити, в първия от които вероятността за настъпване на събитие Ае равно на , във второто и т.н., събитието Асе появява точно веднъж, е равен на коефициента при в разлагането на генериращата функция по степени на . Да намерим вероятностите за повреда и неповреда съответно на първия, втория и третия елемент в интервала от 0 до 5 часа:

Нека създадем генерираща функция:

Коефициентът при е равен на вероятността събитието Аще се появи точно три пъти, тоест вероятността от повреда и на трите елемента; коефициентът при е равен на вероятността точно два елемента да се повредят; коефициентът при е равен на вероятността само един елемент да се повреди.

Пример 2.7.Като се има предвид плътност на вероятността f(х) случайна величина х:

Намерете функцията на разпределение F(x).

Решение:Използваме формулата:

.

Така функцията на разпределение има формата:

Пример 2.8.Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Съставете закона за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент.

Решение:Случайна стойност х- броят на елементите, които са се провалили в един експеримент - може да приеме стойностите: 0, 1, 2, 3. Вероятности, че хприема тези стойности, намираме по формулата на Бернули:

По този начин получаваме следния закон за разпределение на вероятността на случайна променлива х:

Пример 2.9.Има 4 стандартни части в партида от 6 части. 3 елемента бяха избрани на случаен принцип. Съставете закона за разпределение на броя на стандартните части между избраните.

Решение:Случайна стойност х- броя на стандартните части сред избраните - може да приема стойности: 1, 2, 3 и има хипергеометрично разпределение. Вероятностите, че х

Където -- броя на частите в партидата;

-- броя на стандартните части в партидата;

– брой избрани части;

-- броя на стандартните части сред избраните.

.

.

.

Пример 2.10.Случайната променлива има плътност на разпределение

където и не са известни, но , a и . Намерете и.

Решение:В този случай случайната променлива хима триъгълно разпределение (разпределение на Симпсън) на интервала [ а, б]. Числени характеристики х:

следователно . Решавайки тази система, получаваме две двойки стойности: . Тъй като, според условието на проблема, накрая имаме: .

Отговор: .

Пример 2.11.Средно при 10% от договорите застрахователната компания изплаща застрахователните суми във връзка с настъпването на застрахователно събитие. Изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на такива договори сред четири произволно избрани.

Решение:Математическото очакване и дисперсията могат да бъдат намерени с помощта на формулите:

.

Възможни стойности на SV (брой договори (от четири) с настъпване на застрахователно събитие): 0, 1, 2, 3, 4.

Използваме формулата на Бернули, за да изчислим вероятностите за различен брой договори (от четири), за които са изплатени застрахователните суми:

.

Серията за разпределение на CV (броят на договорите с настъпване на застрахователно събитие) има формата:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Отговор: , .

Пример 2.12.От петте рози две са бели. Напишете закон за разпределение на случайна променлива, изразяваща броя на белите рози сред две, взети едновременно.

Решение:В проба от две рози може или да няма бяла роза, или да има една или две бели рози. Следователно, случайната променлива хможе да приема стойности: 0, 1, 2. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

Където -- брой рози;

-- брой бели рози;

– броят на едновременно взетите рози;

-- броя на белите рози сред взетите.

.

.

.

Тогава законът за разпределение на случайна променлива ще бъде както следва:

Пример 2.13.От 15-те сглобени единици 6 се нуждаят от допълнително смазване. Начертайте закона за разпределение на броя на единиците, нуждаещи се от допълнително смазване, между пет произволно избрани от общия брой.

Решение:Случайна стойност х- брой звена, които се нуждаят от допълнително смазване сред петте избрани - може да приема стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и има хипергеометрично разпределение. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

Където -- броя на сглобените единици;

-- брой единици, изискващи допълнително смазване;

– броя на избраните агрегати;

-- броя на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване сред избраните.

.

.

.

.

.

.

Тогава законът за разпределение на случайна променлива ще бъде както следва:

Пример 2.14.От постъпилите за ремонт 10 часовника 7 имат нужда от генерално почистване на механизма. Часовниците не са сортирани по вид ремонт. Майсторът, който иска да намери часовник, който се нуждае от почистване, ги преглежда един по един и след като намери такъв часовник, спира по-нататъшното гледане. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя гледани часове.

Решение:Случайна стойност х- броя на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване сред петте избрани - може да приеме следните стойности: 1, 2, 3, 4. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

.

.

.

.

Тогава законът за разпределение на случайна променлива ще бъде както следва:

Сега нека изчислим числените характеристики на количеството:

Отговор: , .

Пример 2.15.Абонатът е забравил последната цифра от телефонния номер, от който се нуждае, но помни, че е нечетен. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя набирания, които е направил, преди да удари желаното число, ако набере последната цифра на случаен принцип и не набере набраната цифра в бъдеще.

Решение:Случайната променлива може да приема стойности: . Тъй като абонатът не набира набраната цифра в бъдеще, вероятностите за тези стойности са равни.

Нека съставим серия на разпределение на случайна променлива:

	0,2

Нека изчислим математическото очакване и дисперсията на броя опити за набиране:

Отговор: , .

Пример 2.16.Вероятността от повреда по време на тестовете за надеждност за всяко устройство от серията е равна на стр. Определете математическото очакване на броя устройства, които са се повредили, ако са тествани нуреди.

Решение:Дискретната случайна променлива X е броят на повредените устройства ннезависими тестове, при всеки от които вероятността за провал е равна на п,разпределени по биномния закон. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността събитие да се случи в едно изпитване:

Пример 2.17.Дискретна случайна променлива хприема 3 възможни стойности: с вероятност ; с вероятност и с вероятност . Намерете и знаейки, че M( х) = 8.

Решение:Ние използваме дефинициите на математическото очакване и закона за разпределение на дискретна случайна променлива:

Намираме: .

Пример 2.18.Отделът за технически контрол проверява продуктите за стандартност. Вероятността артикулът да е стандартен е 0,9. Всяка партида съдържа 5 елемента. Намерете математическото очакване на случайна променлива х- броя на партидите, всяка от които съдържа точно 4 стандартни продукта, ако 50 партиди подлежат на проверка.

Решение:В този случай всички проведени експерименти са независими и вероятностите всяка партида да съдържа точно 4 стандартни продукта са еднакви, следователно математическото очакване може да се определи по формулата:

,

къде е броят на партиите;

Вероятността една партида да съдържа точно 4 стандартни елемента.

Намираме вероятността с помощта на формулата на Бернули:

Отговор: .

Пример 2.19.Намерете дисперсията на случайна променлива х– брой появявания на събитието Ав две независими изпитвания, ако вероятностите за настъпване на събитие в тези изпитвания са еднакви и е известно, че М(х) = 0,9.

Решение:Проблемът може да се реши по два начина.

1) Възможни стойности на CB х: 0, 1, 2. Използвайки формулата на Бернули, ние определяме вероятностите за тези събития:

, , .

След това законът за разпределение хизглежда като:

От дефиницията на математическото очакване определяме вероятността:

Нека намерим дисперсията на SW х:

.

2) Можете да използвате формулата:

.

Отговор: .

Пример 2.20.Математическо очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива хса съответно 20 и 5. Намерете вероятността в резултат на теста хще приеме стойността, съдържаща се в интервала (15; 25).

Решение:Вероятност за попадение на нормална случайна променлива хна участъка от до се изразява чрез функцията на Лаплас:

Пример 2.21.Дадена функция:

При каква стойност на параметъра ° Стази функция е плътността на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива х? Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна променлива х.

Решение:За да бъде функцията плътност на разпределение на някаква случайна променлива, тя трябва да е неотрицателна и трябва да отговаря на свойството:

.

Следователно:

Изчислете математическото очакване по формулата:

.

Изчислете дисперсията по формулата:

Т е стр. Необходимо е да се намери математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.

Решение:Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X - броят на случаите на събитие в независими опити, при всяко от които вероятността за възникване на събитие е , се нарича бином. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността за настъпване на събитие А в едно изпитване:

.

Пример 2.25.Произвеждат се три независими изстрела по целта. Вероятността за уцелване на всеки удар е 0,25. Определете стандартното отклонение на броя на попаденията с три изстрела.

Решение:Тъй като се извършват три независими опита и вероятността за възникване на събитието A (попадение) във всяко изпитание е една и съща, ще приемем, че дискретната случайна променлива X - броят на попаденията в целта - е разпределена според бинома закон.

Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението на броя опити и вероятностите за настъпване и ненастъпване на събитие в едно изпитване:

Пример 2.26.Средният брой клиенти, посещаващи застрахователната компания за 10 минути, е трима. Намерете вероятността поне един клиент да пристигне през следващите 5 минути.

Среден брой клиенти, пристигащи за 5 минути: . .

Пример 2.29.Времето за изчакване на приложение в опашката на процесора се подчинява на експоненциален закон на разпределение със средна стойност 20 секунди. Намерете вероятността следващата (произволна) заявка да изчака процесора повече от 35 секунди.

Решение:В този пример очакването , а степента на отказ е .

Тогава желаната вероятност е:

Пример 2.30.Група от 15 студенти провежда среща в зала с 20 реда по 10 места. Всеки ученик заема произволно място в залата. Каква е вероятността не повече от трима души да са на седмо място в редицата?

Решение:

Пример 2.31.

Тогава според класическата дефиниция на вероятността:

Където -- броя на частите в партидата;

-- броя на нестандартните части в партидата;

– брой избрани части;

-- броя на нестандартните части сред избраните.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва.