Хипотеза: Ако изследвате движението на графиката по време на формирането на уравнение на функции, ще забележите, че всички графики се подчиняват на общи закони, така че е възможно да се формулират общи закони независимо от функциите, което не само ще улесни изграждането на графики на различни функции, но и да ги използват при решаване на задачи.

Цел: Да се ​​изследва движението на графики на функции:

1) Задачата е изучаване на литература

2) Научете се да изграждате графики на различни функции

3) Научете се да трансформирате графики на линейни функции

4) Обмислете въпроса за използването на графики при решаване на проблеми

Обект на изследване: Функционални графики

Предмет на изследване: Движения на функционални графики

Уместност: Изграждането на графики на функции, като правило, отнема много време и изисква внимание от страна на ученика, но знаейки правилата за преобразуване на графики на функции и графики на основни функции, можете бързо и лесно да конструирате графики на функции , което ще ви позволи не само да изпълнявате задачи за конструиране на графики на функции, но и да решавате проблеми, свързани с него (да намерите максимума (минималната височина на времето и точката на среща))

Този проект е полезен за всички ученици в училището.

Литературен преглед:

В литературата се обсъждат методи за конструиране на графики на различни функции, както и примери за трансформиране на графики на тези функции. Графиките на почти всички основни функции се използват в различни технически процеси, което ви позволява по-ясно да визуализирате потока на процеса и да програмирате резултата

Постоянна функция. Тази функция се дава по формулата y = b, където b е определено число. Графиката на постоянна функция е права линия, успоредна на абсцисата и минаваща през точката (0; b) на ординатата. Графиката на функцията y = 0 е оста x.

Видове функции 1Пряка пропорционалност. Тази функция се дава по формулата y = kx, където коефициентът на пропорционалност k ≠ 0. Графиката на правата пропорционалност е права линия, минаваща през началото.

Линейна функция. Такава функция се дава с формулата y = kx + b, където k и b са реални числа. Графиката на линейна функция е права линия.

Графиките на линейните функции могат да се пресичат или да са успоредни.

Така линиите на графиките на линейните функции y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 се пресичат, ако k 1 ≠ k 2 ; ако k 1 = k 2, тогава правите са успоредни.

2Обратната пропорционалност е функция, която се дава по формулата y = k/x, където k ≠ 0. K се нарича коефициент на обратна пропорционалност. Графиката на обратната пропорционалност е хипербола.

Функцията y = x 2 се представя с графика, наречена парабола: на интервала [-~; 0] функцията намалява, на интервала функцията нараства.

Функцията y = x 3 нараства по цялата числова ос и е графично представена с кубична парабола.

Степенна функция с естествен показател. Тази функция се дава по формулата y = x n, където n е естествено число. Графиките на степенна функция с естествен показател зависят от n. Например, ако n = 1, тогава графиката ще бъде права линия (y = x), ако n = 2, тогава графиката ще бъде парабола и т.н.

Степенна функция с отрицателен показател за цяло число се представя с формулата y = x -n, където n е естествено число. Тази функция е дефинирана за всички x ≠ 0. Графиката на функцията също зависи от показателя n.

Степенна функция с положителен дробен показател. Тази функция е представена с формулата y = x r, където r е положителна несъкратима дроб. Тази функция също не е нито четна, нито нечетна.

Линейна графика, която показва връзката между зависимите и независимите променливи в координатната равнина. Графиката служи за визуално показване на тези елементи

Независима променлива е променлива, която може да приеме произволна стойност в областта на дефиницията на функцията (където тази функция има значение (не може да бъде разделена на нула))

За да изградите графика на функциите, от които се нуждаете

1) Намерете VA (диапазон от приемливи стойности)

2) вземете няколко произволни стойности за независимата променлива

3) Намерете стойността на зависимата променлива

4) Построете координатна равнина и маркирайте тези точки върху нея

5) Свържете техните линии, ако е необходимо, разгледайте получената графика на графики на елементарни функции.

Преобразуване на графики

В чистата си форма основните елементарни функции, за съжаление, не са толкова често срещани. Много по-често трябва да се справяте с елементарни функции, получени от основни елементарни чрез добавяне на константи и коефициенти. Графиките на такива функции могат да бъдат конструирани чрез прилагане на геометрични трансформации към графиките на съответните основни елементарни функции (или преминаване към нова координатна система). Например формулата на квадратичната функция е формула на квадратна парабола, компресирана три пъти спрямо ординатната ос, симетрично показана спрямо абсцисната ос, изместена срещу посоката на тази ос с 2/3 единици и изместена по ординатната ос с 2 единици.

Нека разберем тези геометрични трансформации на графиката на функция стъпка по стъпка, като използваме конкретни примери.

Използвайки геометрични трансформации на графиката на функцията f(x), може да се построи графика на всяка функция от формулата на формата, където формулата е коефициентът на компресия или разтягане по осите oy и ox, съответно, знаците минус отпред на формулата и коефициентите на формулата показват симетрично показване на графиката спрямо координатните оси, а и b определят изместването съответно спрямо абсцисната и ординатната ос.

По този начин има три вида геометрични трансформации на графиката на функция:

Първият тип е мащабиране (компресия или разтягане) по абсцисната и ординатната ос.

Необходимостта от мащабиране се обозначава с коефициенти на формула, различни от 1, тогава графиката се компресира спрямо oy и се разтяга спрямо ox; ако числото е по-голямо от 1, тогава се разтяга по ординатната ос и се компресират по абсцисната ос.

Вторият тип е симетричен (огледален) дисплей спрямо координатните оси.

Необходимостта от тази трансформация се обозначава със знаците минус пред коефициентите на формулата (в този случай показваме графиката симетрично спрямо оста на вол) и формулата (в този случай показваме графиката симетрично спрямо oy ос). Ако няма знаци минус, тази стъпка се пропуска.

В зависимост от условията на физическите процеси, някои количества приемат постоянни стойности и се наричат ​​константи, други се променят при определени условия и се наричат ​​променливи.

Внимателното изследване на околната среда показва, че физическите величини са зависими една от друга, тоест промяната в едни количества води до промяна в други.

Математическият анализ се занимава с изучаване на количествени връзки между взаимно променящи се величини, абстрахирайки се от конкретния физически смисъл. Едно от основните понятия на математическия анализ е понятието функция.

Разгледайте елементите на множеството и елементите на множеството
(фиг. 3.1).

Ако се установи някакво съответствие между елементите на множествата
И под формата на правило , тогава те отбелязват, че функцията е дефинирана
.

Определение 3.1. Кореспонденция , който се свързва с всеки елемент не е празен набор
някакъв добре дефиниран елемент не е празен набор , наречена функция или картографиране
V .

Символично показване
V се записва по следния начин:

.

В същото време мн
се нарича област на дефиниране на функцията и се обозначава
.

На свой ред мн се нарича диапазон от стойности на функцията и се обозначава
.

Освен това трябва да се отбележи, че елементите на комплекта
се наричат ​​независими променливи, елементите на множеството се наричат ​​зависими променливи.

Методи за задаване на функция

Функцията може да бъде зададена по следните основни начини: табличен, графичен, аналитичен.

Ако въз основа на експериментални данни се съставят таблици, които съдържат стойностите на функцията и съответните стойности на аргумента, тогава този метод за определяне на функцията се нарича табличен.

В същото време, ако някои изследвания на експерименталния резултат се показват на записващо устройство (осцилоскоп, записващо устройство и т.н.), тогава се отбелязва, че функцията е посочена графично.

Най-често срещаният е аналитичният начин за задаване на функция, т.е. метод, при който независима и зависима променлива се свързват с помощта на формула. В този случай домейнът на дефиниция на функцията играе важна роля:

различни, въпреки че са дадени от едни и същи аналитични отношения.

Ако посочите само формулата на функцията
, тогава считаме, че домейнът на дефиниция на тази функция съвпада с набора от тези стойности на променливата , за които изразът
има значението. В това отношение проблемът за намиране на областта на дефиниция на функция играе специална роля.

Задача 3.1. Намерете домейна на функция

Решение

Първият член приема реални стойности, когато
, а вторият при. По този начин, за да се намери областта на дефиниция на дадена функция, е необходимо да се реши системата от неравенства:

В резултат на това решението за такава система е. Следователно областта на дефиниране на функцията е сегментът
.

Най-простите трансформации на графики на функции

Изграждането на функционални графики може да бъде значително опростено, ако използвате добре познатите графики на основни елементарни функции. Следните функции се наричат ​​основни елементарни функции:

1) степенна функция
Където
;

2) експоненциална функция
Където
И
;

3) логаритмична функция
, Където - всяко положително число, различно от едно:
И
;

4) тригонометрични функции




;
.

5) обратни тригонометрични функции
;
;
;
.

Елементарните функции са функции, които се получават от основни елементарни функции с помощта на четири аритметични операции и суперпозиции, приложени краен брой пъти.

Простите геометрични трансформации също позволяват да се опрости процеса на конструиране на графика на функции. Тези трансформации се основават на следните твърдения:

Графиката на функцията y=f(x+a) е графиката y=f(x), изместена (за a >0 наляво, за a< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Графиката на функцията y=f(x) +b е графиката на y=f(x), изместена (при b>0 нагоре, при b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Графиката на функцията y = mf(x) (m0) е графиката на y = f(x), разтегната (при m>1) m пъти или компресирана (при 0

Графиката на функцията y = f(kx) е графиката на y = f(x), компресирана (за k >1) k пъти или разтегната (за 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.

Коя от тези функции има обратна? За такива функции намерете обратни функции:

4.12. а)	y = x ;					б) y = 6 −3 x ;
г) у =						д) y = 2 x 3 +5;
4.13. а)	y = 4 x − 5;						y = 9 − 2 x − x 2 ;
	y = знак x ;						y =1 + log(x + 2) ;

	y = 2 x 2 +1;
			x − 2
						при х< 0
в) y =		−x
						за x ≥ 0

Разберете кои от тези функции са монотонни, кои са строго монотонни и кои са ограничени:

4.14. а)

f (x) = c, c R ;

b) f (x) = cos 2 x;

c) f (x) = arctan x;

г) f (x) = e 2 x;

д) f (x) = −x 2 + 2 x;

д) f (x) =

2x+5

y = ctg7 x.

4.15. а)

f(x) = 3− x

б) f(x) =

f(x)=

х+3

х+6

х< 0,

3x+5

г) f (x) = 3 x 3 − x;

− 10 ат

f(x)=

д) f (x) =

х 2 ат

x ≥ 0;

х+1

f (x) = tan(sin x).

4.2. Елементарни функции. Преобразуване на функционални графики

Припомнете си, че графиката на функцията f (x) в декартовата правоъгълна координатна система Oxy е множеството от всички точки на равнината с координати (x, f (x)).

Често графиката на функцията y = f (x) може да бъде конструирана с помощта на трансформации (преместване, разтягане) на графиката на някаква вече известна функция.

По-специално, от графиката на функцията y = f (x) се получава графиката на функцията:

1) y = f (x) + a – изместване по оста Oy с единици (нагоре, ако a > 0, и надолу, ако a< 0 ;

2) y = f (x −b) – изместване по оста Ox с b единици (надясно, ако b > 0,

и наляво, ако b< 0 ;

3) y = kf (x) – разтягане по оста Oy k пъти;

4) y = f (mx) – компресия по оста Ox с m пъти;

5) y = − f (x) – симетрично отражение спрямо оста Ox;

6) y = f (−x) – симетрично отражение спрямо оста Oy;

7) y = f (x), както следва: част от графиката не се намира

под оста Ox, остава непроменена, а „долната“ част на графиката се отразява симетрично спрямо оста Ox;

8) y = f (x), както следва: дясната страна на графиката (за x ≥ 0)

остава непроменена, а вместо „лявата“ се изгражда симетрично отражение на „дясната“ спрямо оста Oy.

Основните елементарни функции се наричат:

1) постоянна функция y = c;

2) степенна функция y = x α , α R ;

3) експоненциална функция y = a x, a ≠ 0, a ≠1;

4) логаритмиченфункция y = log a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) тригонометриченфункции y = sin x, y = cos x, y = tan x,

y = ctg x, y = sec x (където sec x = cos 1 x), y = cosec x (където cosec x = sin 1 x);

6) обратни тригонометрични функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Елементарни функциисе наричат ​​функции, получени от основни елементарни функции с помощта на краен брой аритметични операции (+, −, ÷) и композиции (т.е. формирането на сложни функции f g).

Пример 4.6. Графика на функцията

1) y = x 2 + 6 x + 7 ; 2) y = −2sin 4 x .

Решение: 1) чрез избиране на пълен квадрат функцията се преобразува във формата y = (x +3) 2 − 2, следователно графиката на тази функция може да се получи от графиката на функцията y = x 2. Достатъчно е първо да преместите параболата y = x 2 три единици наляво (получаваме графика на функцията y = (x +3) 2), а след това две единици надолу (фиг. 4.1);

	стандартен	синусоида						y = sinx	четири пъти по оста		вол,
получаваме графика на функцията y = sin 4 x (фиг. 4.2).
										y=sin4x
										y=sin x

Като разтегнем получената графика два пъти по оста Oy, получаваме графика на функцията y = 2sin 4 x (фиг. 4.3). Остава да изведем последната графика спрямо оста Ox. Резултатът ще бъде желаната графика (виж Фиг. 4.3).

						y=2sin4x

y=– 2sin4 x

Проблеми за самостоятелно решаване

Постройте графики на следните функции въз основа на графиките на основните елементарни функции:

4.16. а) y = x 2 −6 x +11 ;

4.17. а) y = −2sin(x −π ) ;

4.18. а) y = − 4 x −1 ;

4.19. а) y = log 2 (−x);

4.20. а) y = x +5 ;

4.21. а) y = tg x ;

4.22. а) y = знак x;

4.23. а) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 − 2 x − x 2 .

y = 2cos 2 x.

, Конкурс "Презентация към урока"

Презентация към урока

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Целта на урока:Определете моделите на трансформация на функционални графики.

Задачи:

Образователни:

• Научете учениците да конструират графики на функции чрез трансформиране на графиката на дадена функция, като използват паралелна транслация, компресия (разтягане) и различни видове симетрия.

Образователни:

• Да се ​​култивират личните качества на учениците (умение да слушат), добронамереност към другите, внимателност, точност, дисциплина и способност за работа в група.
• Култивирайте интерес към предмета и необходимост от придобиване на знания.

Развитие:

• Да развие пространственото въображение и логическото мислене на учениците, способността за бързо ориентиране в околната среда; развиват интелигентност, находчивост и тренират паметта.

Оборудване:

• Мултимедийна инсталация: компютър, проектор.

Литература:

1. Башмаков, М. И. Математика [Текст]: учебник за институции нач. и сряда проф. образование / М.И. Башмаков - 5-то изд., преработ. – М.: Издателски център „Академия”, 2012. – 256 с.
2. Башмаков, М. И. Математика. Проблемник [Текст]: учеб. надбавка за образование институции рано и сряда проф. образование / М. И. Башмаков – М.: Издателски център „Академия”, 2012. – 416 с.

План на урока:

1. Организационен момент (3 мин.).
2. Актуализиране на знанията (7 мин).
3. Обяснение на нов материал (20 минути).
4. Консолидиране на нов материал (10 минути).
5. Обобщение на урока (3 минути).
6. Домашна работа (2 мин.).

По време на часовете

1. Орг. момент (3 минути).

Проверка на присъстващите.

Съобщете целта на урока.

Основните свойства на функциите като зависимости между променливи величини не трябва да се променят значително при промяна на метода за измерване на тези величини, т.е. при промяна на мащаба на измерване и референтната точка. Въпреки това, поради по-рационален избор на метода за измерване на променливи количества, обикновено е възможно да се опрости записването на връзката между тях и да се приведе този запис в някаква стандартна форма. На геометричен език промяната на начина на измерване на стойностите означава някои прости трансформации на графики, които ще изучаваме днес.

2. Актуализиране на знанията (7 мин).

Преди да говорим за трансформации на графики, нека прегледаме материала, който разгледахме.

Устна работа. (Слайд 2).

Дадени функции:

3. Опишете графиките на функциите: , , , .

3. Обяснение на нов материал (20 минути).

Най-простите трансформации на графите са техният паралелен трансфер, компресия (разтягане) и някои видове симетрия. Някои трансформации са представени в таблицата (Приложение 1), (Слайд 3).

Работа в групи.

Всяка група построява графики на дадени функции и представя резултата за обсъждане.

функция	Преобразуване на графиката на функция	Примери за функции	пързалка
	OUНа Аединици нагоре ако А>0 и на |A| единици надолу, ако А<0.	,	(Слайд 4)
	Паралелен трансфер по оста оНа Аединици вдясно ако А>0 и на - Аединици вляво ако А<0.	,	(Слайд 5)
,

Експоненциална функцияе обобщение на произведението от n числа, равно на a:
г (n) = a n = a·a·a···a,
към множеството от реални числа x:
г (x) = брадва.
Тук a е фиксирано реално число, което се нарича основа на експоненциалната функция.
Експоненциална функция с основа а също се нарича показател към основа а.

Обобщението се извършва по следния начин.
За естествено x = 1, 2, 3,... , експоненциалната функция е произведение на х фактори:
.
Освен това има свойства (1.5-8) (), които следват от правилата за умножаване на числа. За нулеви и отрицателни стойности на цели числа експоненциалната функция се определя с помощта на формули (1.9-10). За дробни стойности x = m/n рационални числа, , се определя по формула (1.11). За real , експоненциалната функция се дефинира като границата на последователността:
,
където е произволна последователност от рационални числа, сходни към x: .
С тази дефиниция експоненциалната функция е дефинирана за всички и удовлетворява свойства (1.5-8), както за естествено x.

Строга математическа формулировка на дефиницията на експоненциална функция и доказателството на нейните свойства е дадена на страницата „Дефиниция и доказателство на свойствата на експоненциална функция“.

Свойства на експоненциалната функция

Експоненциалната функция y = a x има следните свойства в множеството от реални числа ():
(1.1) определени и непрекъснати, за , за всички ;
(1.2) за ≠ 1 има много значения;
(1.3) стриктно нараства при , стриктно намалява при ,
е постоянен при ;
(1.4) в ;
в ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Други полезни формули.
.
Формула за преобразуване в експоненциална функция с различна основа на експонента:

Когато b = e, получаваме израза на експоненциалната функция чрез експоненциала:

Частни ценности

, , , , .

Фигурата показва графики на експоненциалната функция
г (x) = брадва
за четири стойности степени основи: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и а = 1/8 . Вижда се, че за a > 1 експоненциалната функция нараства монотонно. Колкото по-голяма е основата на степента a, толкова по-силен е растежът. При 0 < a < 1 експоненциалната функция намалява монотонно. Колкото по-малък е показателят a, толкова по-силно е намалението.

Възходящо, низходящо

Експоненциалната функция за е строго монотонна и следователно няма екстремуми. Основните му свойства са представени в таблицата.

	y = a x , a > 1	y = брадва, 0 < a < 1
Домейн	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Диапазон от стойности	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонен	монотонно нараства	монотонно намалява
Нули, y = 0	Не	Не
Пресечни точки с ординатната ос, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратна функция

Обратната на експоненциална функция с основа а е логаритъмът при основа а.

Ако, тогава
.
Ако, тогава
.

Диференциране на експоненциална функция

За да се диференцира експоненциална функция, нейната основа трябва да се редуцира до числото e, да се приложи таблицата с производните и правилото за диференциране на сложна функция.

За да направите това, трябва да използвате свойството на логаритмите
и формулата от таблицата с производни:
.

Нека е дадена експоненциална функция:
.
Пренасяме го в базата e:

Нека приложим правилото за диференциране на сложни функции. За да направите това, въведете променливата

Тогава

От таблицата с производни имаме (заменете променливата x с z):
.
Тъй като е константа, производната на z по отношение на x е равна на
.
Според правилото за диференциране на сложна функция:
.

Производна на експоненциална функция

.
Производна от n-ти ред:
.
Извличане на формули >>>

Пример за диференциране на експоненциална функция

Намерете производната на функция
y = 3 5 х

Решение

Нека изразим основата на експоненциалната функция чрез числото e.
3 = e ln 3
Тогава
.
Въведете променлива
.
Тогава

От таблицата на производните намираме:
.
Тъй като 5ln 3е константа, тогава производната на z по отношение на x е равна на:
.
Според правилото за диференциране на сложна функция имаме:
.

Отговор

Интеграл

Изрази с комплексни числа

Разгледайте функцията за комплексно число z:
f (z) = a z
където z = x + iy; аз 2 = - 1 .
Нека изразим комплексната константа a чрез модул r и аргумент φ:
a = r e i φ
Тогава


.
Аргументът φ не е еднозначно дефиниран. Общо взето
φ = φ 0 + 2 πn,
където n е цяло число. Следователно функцията f (z)също не е ясно. Често се разглежда основното му значение
.

Разширяване на серията

.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.