Собствени стойности и собствени функции на проекция на ъглов момент.

Нека телесната маса мза някакъв кратък период от време Δ Tдействаща сила Под въздействието на тази сила скоростта на тялото се променя с Следователно през времето Δ Tтялото се движеше с ускорение

От основния закон на динамиката ( Втори закон на Нютон) следва:

Физическо количество, равно на произведениетомасата на тялото към скоростта на движението му се нарича импулс на тялото(или количество движение). Импулсът на тялото е векторна величина. Единицата SI за импулс е килограм метър в секунда (kg m/s).

Нарича се физична величина, равна на произведението на сила и времето на нейното действие импулс на сила . Импулсът на сила също е векторна величина.

В нови условия Втори закон на Нютонможе да се формулира по следния начин:

ИПромяната в импулса на тялото (количеството на движение) е равна на импулса на силата.

Означавайки импулса на тялото с буква, вторият закон на Нютон може да бъде записан във формата

Точно в това общ изгледСамият Нютон формулира втория закон. Силата в този израз представлява резултатната от всички сили, приложени към тялото. Това векторно равенство може да се запише в проекции върху координатните оси:

По този начин промяната в проекцията на импулса на тялото върху всяка от трите взаимно перпендикулярни оси е равна на проекцията на импулса на сила върху същата ос. Да вземем за пример едноизмерендвижение, т.е. движение на тяло по една от координатни оси(например брадви ой). Оставете тялото да пада свободно от начална скоростυ 0 под въздействието на гравитацията; падащото време е T. Нека насочим оста ойвертикално надолу. Гравитационен импулс Е t = мгпо време на Tравно на управление. Този импулс е равен на промяната в импулса на тялото

Този прост резултат съвпада с кинематикатаформулаза бързина равномерно ускорено движение . В този пример силата остава непроменена по големина през целия интервал от време T. Ако силата се променя по големина, тогава средната стойност на силата трябва да бъде заменена в израза за импулса на силата Е cf през периода на неговото действие. Ориз. 1.16.1 илюстрира метода за определяне на зависещия от времето импулс на сила.

Нека изберем малък интервал Δ на времевата ос T, по време на което силата Е (T) остава почти непроменена. Импулсна сила Е (T) Δ Tвъв времето Δ Tще равна на площзасенчена колона. Ако цялата времева ос е в интервала от 0 до Tразделен на малки интервали Δ Tази след това сумирайте импулсите на силата на всички интервали Δ Tаз, тогава общият импулс на сила ще бъде равен на площта, образувана от стъпаловидната крива с времевата ос. В границата (Δ Tаз→ 0) тази площ е равна на площта, ограничена от графиката Е (T) и ос T. Този метод за определяне на импулса на силата от графика Е (T) е общ и приложим към всякакви закони за промяна на силата във времето. Математически проблемът се свежда до интеграцияфункции Е (T) на интервала .

Силовият импулс, чиято графика е представена на фиг. 1.16.1, в интервала от T 1 = 0 s до T 2 = 10 s е равно на:

В този прост пример

В някои случаи средна сила Е cp може да се определи, ако се знае времето на неговото действие и импулса, предаван на тялото. Например силен удар от футболист върху топка с маса 0,415 kg може да му даде скорост υ = 30 m/s. Времето на удара е приблизително 8·10 -3 s.

Пулс стр, придобит от топката в резултат на удар е:

следователно средна сила Есредната стойност, с която кракът на футболиста е действал върху топката по време на удара е:

Това е много голяма сила. То е приблизително равно на теглото на тяло с тегло 160 кг.

Ако движението на тяло при действието на сила става според някои криволинейна траектория, тогава началните и крайните импулси на тялото могат да се различават не само по големина, но и по посока. В този случай е удобно да се използва за определяне на промяната в импулса импулсна диаграма , който изобразява векторите и , както и вектора построен по правилото на успоредника. Като пример на фиг. Фигура 1.16.2 показва диаграма на импулси за топка, отскачаща от грапава стена. Маса на топката мудари стената със скорост под ъгъл α спрямо нормалата (ос ОХ) и отскочи от него със скорост под ъгъл β. По време на контакт със стената върху топката действа определена сила, чиято посока съвпада с посоката на вектора

При нормално падане на топка с маса мна еластична стена със скорост, след отскока топката ще има скорост. Следователно промяната в импулса на топката по време на отскока е равна на

В проекции върху оста ОХтози резултат може да бъде записан в скаларна форма Δ стрх = -2мυ х. ос ОХнасочена встрани от стената (както на фиг. 1.16.2), следователно υ х < 0 и Δстрх> 0. Следователно модулът Δ стрпромяната в импулса е свързана с модула υ на скоростта на топката чрез връзката Δ стр = 2мυ.

Ъглов импулс на частицата Лспрямо произхода ОТНОСНОв класическата механика се определя от векторното произведение [g,r,тези.

Това определение в квантова механиканяма смисъл, тъй като няма състояние, в което и двата вектора ЖИ Римаше определени значения.

Нека разгледаме ъгловия импулс на квантовата частица. В квантовата механика векторното произведение [g,r]съответства на оператора [r, r]. Разширявайки този векторен продукт, ние намираме операторите на проекции на ъглов момент върху координатните оси X, U, Z, например по оста Z:

Чрез тези проекции операторът на вектора на ъгловия момент се изразява като

По-нататък ще използваме оператора за проекция на ъглов момент върху оста Z, но не в декартовата, а в сферичната координатна система (G, 0, ср.):

Операторът на ъгловия момент зависи само от посоката на координатните оси. Затова се нарича още оператор ъглов момент. Собствени стойностиоператорите на проекции на ъглов момент също не зависят от избора на началото.

Можете да проверите и да се уверите, че операторите за проекция на ъглов момент L x, L yИ Lzне пътуват един с друг: L x L y y>^ L y L x y).Следователно няма състояние, в което да са и трите или дори кои да са две от трите проекции L x, L v, L,имаше определени стойности, различни от нула. Имайте предвид, че за разлика от ъгловия импулс, импулсът има три едновременно измерими компонента: r x, r y, r,.

И така, няма състояние на квантова частица, в което векторът на ъгловия импулс да има определена стойност, т.е. ще бъде напълно определен както по величина, така и по посока. Единственото изключение е случаят, когато Л- 0 и трите проекции са равни на нула едновременно: L x = L v = L, = 0.

Модул на ъглов момент. За да се определи квадратът на ъгловия импулс на частица в състояние φ, е необходимо да се реши уравнение от вида (27.5):

където е операторът за ъглов импулс на квадрат Л = Lx + L y + Lz.Засега е възможно

Обърнете внимание, че за собствените стойности на оператора Лсправедлив

Където / - орбитален (азимутален) квантово число. Оттук и модулът на ъгловия момент на движеща се микрочастица

Вижда се, че това количество е дискретно (квантувано).

Оператори L x, L yИ Lz(27.10) пътувам с Л. следователно

възможно е едновременно да се определи големината на ъгловия момент Л(или неговия квадрат Л 2) и една от неговите проекции ( Lx , L yили Л,). Обикновено се разглежда проекцията върху оста Z, тъй като в този случай операторът Lzсе дава с по-проста формула (27.10).

Проекция на ъглов момент Л z. За определяне на собствените стойности и нативни функцииоператор на ъгловия момент на частицата, е необходимо, съгласно израз (27.5), да се реши L-ph уравнение= 1.f, т.е.

Където вълнова функцияе функция на сферичните координати: φ = φ(/*, 0, φ). Заместването φ = Ce af (C = C(/%0)) се получава след редукция с общ множител Se a f към уравнения

Това означава, че решението на уравнение (27.12) е:

Поради необходимата уникалност на φ, при завъртане около оста Z на азимутален ъгъл ср, равен на 2π, вълновата функция не трябва да се променя: φ(φ + 2φ) = φ(φ). Тъй като функцията ве периодичен с период 2n, то съгласно (27.13) това равенство може да бъде изпълнено само при условие

къде е номерът TНаречен магнитно квантово число.Следователно, константата на Планк Пиможе да се разглежда като естествена единица за ъглов момент. Обърнете внимание, че уравнение (27.13) определя спектъра от разрешените стойности на проекцията на ъгловия момент върху избрания ocbZ

Ориз. 27.1. Възможна ориентациявектор на ъглов момент, например електрон, в състояние с квантово число 1 = 2

Равенство (27.13) означава, че тъй като посоката на оста Z е избрана произволно, проекцията на ъгловия момент върху всяка посока се квантува (фиг. 27.1). Разбира се, схематичното изображение не трябва да се приема буквално, тъй като „векторът“ Лпринципно няма определени посоки в пространството. За определена стойност на модула на ъгловия момент и определена стойност на проекцията л,проекции LxИ L yНямам определени стойности(с изключение на случая, когато и трите компонента на ъгловия момент едновременно са равни на нула). Стойности ЛИ лвразлични от (27.11a) и (27.13) не могат да бъдат наблюдавани при никакви условия.

Проекцията на всеки вектор не може да бъде по-голяма от модула на този вектор, т.е. | L z Следователно, в съответствие с формули (27.11a) и (27.13), условието е изпълнено

следователно, максимална стойност Tе равно на / и можем да запишем това

Дадено / число Tприема (21 + 1) стойности:

формиране на проекционния спектър Lz = мбкъм която и да е избрана ос Z (фиг. 27.1).

По този начин квантовото число / определя както модула на ъгловия момент, така и всички възможни стойности на неговата проекция върху оста Z. Така че, например, ако орбиталното квантово число / = 2 (фиг. 27.1), тогава

Получени резултати, определящи възможните стойности ЛИ лвнаречено пространствено квантуване. За по-голяма яснота, пространственото квантуване обикновено се представя графично (фиг. 27.1): по оста Зотложи възможно стойности mb,разглеждайки ги като проекции върху оста Z на вектора Лдължина th L //(/ + 1).

Проблем 1

Тяло с маса се движи по оста Oxм=1 кг при скоростV 0 = 2 m/s. Действа по посока на движениесилаF = 4 N за известно времеt = 2 s. Определете скоростта на тялото след края на тази сила.

За да разрешите този проблем, на първо място е важно да запомните какво е импулсът на тялото.

Ориз. 1. Избор на референтна система

Спомняйки си това импулс на сила– това е изменението на импулса на тялото, пишем следващ израз: .

Сега нека координираме уравнението с избраната референтна система. Силата F, когато се проектира върху оста X, ще има положителен знак, което означава: .

След това, преобразувайки това уравнение, изолирайки от него скоростта, която трябва да се определи, записваме следния израз: .

Отговор: 10 m/s.

Проблем 2

Количка с човек в нея се движи по права линия със скорост 2 m/s. Човек скача от количка в хоризонтална посока, противоположна на посоката на движение на количката, със скорост 1 m/s. Определете скоростта на количката, след като човекът скочи от нея. Масата на човек е 1,5 пъти по-голяма от масата на количката.

Ориз. 2. Проекции на импулса на телата върху оста Х

В първия случай, обърнете внимание, както количката, така и човекът пътуват заедно, което означава, че скоростта им е една и съща, можем да напишем следния израз за тази референтна система, свързана с оста Ox: .

След това, когато човекът скочи от количката, тези две тела могат да бъдат записани по следния начин: .

Знакът минус показва, че скоростта на лицето е насочена към противоположната страна, а скоростта на количката със знак плюс ще бъде насочена в същата посока като началната скорост, т.е. по оста Окс.

След като написах тези изрази за Първоначално състояниеи състояния след взаимодействие, ще използваме закона за запазване на импулса.

от закон за запазване на импулсаимпулсът в първия случай ще бъде равен на импулса във втория случай: P 0x = P x. .

След като записахме тази връзка, ние я пренаписваме и отваряме скобите на изразите: (m 1 +m 2) .V 1 =-м2.V2+m 1.V¢ 1.

Необходимо е да се определи скоростта V¢ 1. Нека изразим масата на човек чрез масата на количката, но така че масата да бъде изразена в същите единици: (m 1 +1,5m 1) .V 1 =-1,5m 1.V2+m 1.V¢ 1.

Можем да извадим масата m 1 от скобата и да я намалим: 2,5 m 1.V 1 =-1,5m 1.V2+m 1.V¢ 1. Когато заместим стойностите за скоростите, получаваме отговора: .

М Този проблем илюстрира добре реактивно задвижване. Човекът, който скочи от количката в обратната посока, увеличи скоростта на самата количка. Не е ли вярно, това върви добре с начина, по който газовете излизат от ракета с определена скорост и придават допълнителна скорост на корпуса, т.е. самата ракета.

Проблем 3

Маса на топката m 1 = 1 килограма. плъзга се по идеално гладка повърхност със скорост v 1 = 4 Госпожицаи абсолютно еластично се сблъсква с топка със същата маса m 2 = 3 килограма. Определете скоростта на топките след удар?
Решение:
Според закона за запазване на импулса при напълно нееластичен удар.

ОХ:

Отговор: 1 Госпожица

Проблем 4

Топка с тегло 70 Ж. пада на пода под ъгъл 60 0 спрямо нормалното и отскача под същия ъгъл без загуба на скорост. Определете импулса на общата сила, действаща върху топката по време на удара, ако нейната скорост е 30 Госпожица.
Решение:
Нека покажем на фигурата промените в скоростта на топката по време на удара:
Нека напишем 2-рия закон на Нютон
Чрез конструкцията определяме това. Големината на импулса на общата сила, действаща върху топката по време на удара, е равна на
Отговор:

Проблем 5

Момче с тегло 40г килограма, стоящ на кънки, хвърля камък с маса 1 килограмана скорост 8 Госпожица. под ъгъл 60° спрямо хоризонталата. Определете скоростта, с която момчето ще започне да се движи по леда в резултат на хвърлянето?

Решение:
Върху системата момче-камък не действат хоризонтални сили. IN инерционна системадоклад, свързан със земята, проекцията на общия импулс на системата върху хоризонталната ос трябва да остане непроменена:
Скоростта на момчето след хвърляне
Отговор: 0,1 Госпожица

Проблем 6 0,04 m/s

Проблем 7

Снарядът в горната точка на траекторията си се разпадна на два фрагмента с масам 1 =3 кг и м 2 =5 кг. Скоростта на снаряда непосредствено преди експлозията е равна наv 0 =600 m/s, скоростта на по-големия фрагмент непосредствено след разкъсването е равна наv 2 =800 m/s, като посоката му съвпада с посоката на движение на снаряда преди взрива. Определете скоростта на малкия фрагмент веднага след разкъсването.

Решение:
Нека изберем положителната посока на скоростта на снарядаv 0 и запишете закона за запазване на импулса.




Това означава, че по-малкият фрагмент е летял в същата посока.
Отговор:

Закон за запазване на импулсае следствие от законите на Нютон и се използва за определяне на моментните скорости на телата след тяхното взаимодействие.

Импулсът на тялото (материална точка) се нарича вектор физическо количестворавна на произведението на масата на тялото и неговата скорост p -> = mϑ -> , където m е масата на тялото, ϑ -> – моментна скорост. Импулсът на система от тела е векторната сума на импулсите на телата p c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + ... + p n -> .

Според първия закон на Нютон, ако телата не взаимодействат, импулсът на всяко тяло и импулсът на няколко тела, включени в системата, се запазват. При взаимодействие в рамките на една система възникват двойки сили между тела, които са еднакви по големина и противоположни по посока, съгласно третия закон на Нютон.

Векторна физическа величина, която е мярка за действието на сила за определен период от време, се нарича импулс на сила и се обозначава F -> Δt.От втория закон на Нютон, в случай на действие на една сила и определението за ускорение, следва, че F -> = ma -> , a -> = ( ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

F -> = m( ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = m ϑ -> – м ϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

Това уравнение е законът за запазване на импулса в импулсна форма.Импулсът на силата (резултантната) е равен на изменението на импулса на тялото (материална точка). В затворена система взаимодействията възникват по двойки и импулсът на едно тяло се променя със стойността F 21 -> Δt, импулсът на второто с F 12 -> Δt, където F 12 -> е силата, действаща от първия тяло върху второто и F 21 -> – сила, действаща от второто тяло върху първото.

Да наречем затворена система от тела, които взаимодействат само помежду си.

Импулсът на първото тяло се променя с количеството F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt, импулсът на второто тяло се променя с количеството F 12 -> Δt, p 2 -> = p 02 -> + F 12 -> Δt. Но импулсът на системата от тела остава постоянен

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 -> , тъй като F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0, тъй като F 12 -> = -F 21 -> .

При всяко взаимодействие на две тела в затворена система, импулсът на цялата система не се променя. Нека формулираме закона за запазване на импулса.

Векторната сума на импулсите на взаимодействащите тела, изграждащи затворената система, остава непроменена.

Когато използваме закона за запазване на импулса в задачата, правим две схематичен чертеж, показващ състоянието на системата от тела преди и след взаимодействие. За решаване на векторни уравнения избираме еднакви координатни системи.

Задача 1. Нееластично въздействие.

Автомобил с тегло 30 т се движи със скорост 4 м/с и се сблъсква със неподвижна платформа с тегло 10 т. Намерете скоростта на автомобила и платформата след задействане на автоматичния съединител.

Решение.

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p 2 ->

M1 ϑ 1 -> = (M1 + M2) ϑ ->

OX: M 1 ϑ 1 = (M 1 + M 2) ϑ

Оттук: ϑ = М 1 ϑ 1 /(M1 + M2);

ϑ = (30 103 4) / (30 103 + 10 103) = 0,75 m/s

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

Отговор. 0,75 m/s

Законът за запазване на импулса може да се приложи и към отворени системи, ако взаимодействието на телата става моментално и скоростите на телата се определят веднага след взаимодействието.

Задача 2. Разделяне на части.

Граната, летяща със скорост 20 m/s, се разпада на два фрагмента с маса 1,2 kg и 1,8 kg. По-големият фрагмент продължава да се движи в същата посока със скорост 50 m/s. Намерете скоростта на по-малкия фрагмент.

Решение.

Системата не е затворена към тялото и нейните части са обект на гравитация, но тъй като разкъсването става мигновено, промяната в импулса на всяка част от гравитацията може да бъде пренебрегната. Нека приложим закона за запазване на импулса във векторна форма.

М ϑ -> = M 1 ϑ -> 1 + M 2 ϑ -> 2

ОХ: М ϑ = М 1 ϑ 1+М2 ϑ 2

Оттук: ϑ 2x = (М ϑ - М 1 ϑ 1)/M2

ϑ 2x = (3 20 – 1,8 50)/1,2 = -25 m/s

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

Отговор.

Законът за запазване на импулса може да се приложи в проекции върху оста, ако проекцията на резултантната външни силина тази ос е равно на O. p x = 0; p 01x + p 02x = p 1x + p 2x.

Задача 3. Изстрел под ъгъл.

От оръдие, монтирано на платформа с маса M, се изстрелва снаряд с маса m под ъгъл a спрямо хоризонталата и със скорост V спрямо земята; определете скоростта на платформата след изстрела.

Решение.

Системата не е затворена, по време на изстрел върху тялото действа допълнителна опорна реакционна сила, която предава импулс на снаряда по протежение на вертикална ос OY, неговата проекция върху хоризонталната ос OX е равна на 0, няма други сили, действащи по оста OX, което означава, че можем да приложим закона за запазване на импулса в проекциите върху оста OX.

p x = p 1x + p 2x

OX: 0 = MU x + m ϑ х

0 = MU x + m ϑ cosα

U x = m ϑcosα/M

[U] = (kg m/s)/kg = m/s

Все още имате въпроси? Не знаете как да решите задачата за закона за запазване на импулса?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.