Методи за решаване на система от уравнения. Решаване на сложни системи от уравнения

Урок и презентация на тема: "Системи от уравнения. Методът на заместване, методът на добавяне, методът за въвеждане на нова променлива"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин "Интеграл" за 9 клас
Симулатор за учебници Атанасян Л.С. Симулатор за учебници Погорелова А.В.

Начини за решаване на системи от неравенства

Момчета, изучавахме системи от уравнения и се научихме как да ги решаваме с помощта на графики. Сега да видим какви други начини за решаване на системи съществуват?
Почти всички начини за решаването им не се различават от тези, които изучавахме в 7 клас. Сега трябва да направим някои корекции според уравненията, които се научихме да решаваме.
Същността на всички методи, описани в този урок, е замяната на системата с еквивалентна система с повече прост изгледи начин за решаване. Момчета, помнете какво е еквивалентна система.

Метод на заместване

Първият начин за решаване на системи от уравнения с две променливи ни е добре известен - това е методът на заместване. Използвахме този метод за решаване на линейни уравнения. Сега да видим как се решават уравнения в общия случай?

Как трябва да се процедира, когато се взема решение?
1. Изразете една от променливите чрез другата. Най-често срещаните променливи, използвани в уравненията, са x и y. В едно от уравненията ние изразяваме една променлива чрез друга. Съвет: Разгледайте добре и двете уравнения, преди да започнете да решавате, и изберете това, при което ще бъде по-лесно да изразите променливата.
2. Заместете получения израз във второто уравнение, вместо променливата, която е изразена.
3. Решете уравнението, което получихме.
4. Заместете полученото решение във второто уравнение. Ако има няколко решения, тогава е необходимо да ги замените последователно, за да не загубите няколко решения.
5. В резултат на това ще получите двойка числа $(x;y)$, която трябва да бъде написана като отговор.

Пример.
Решете система с две променлив методзамествания: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Решение.
Нека разгледаме по-отблизо нашите уравнения. Очевидно е, че изразяването на y чрез x в първото уравнение е много по-лесно.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Заместете първия израз във второто уравнение $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Нека решим второто уравнение отделно:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Получихме две решения на второто уравнение $x_1=2$ и $x_2=3$.
Заместете последователно във второто уравнение.
Ако $x=2$, тогава $y=3$. Ако $x=3$, тогава $y=2$.
Отговорът ще бъде две двойки числа.
Отговор: $(2;3)$ и $(3;2)$.

Алгебричен метод на добавяне

Ние също учехме този метод в 7 клас.
Известно е, че рационално уравнениев две променливи можем да умножим по произволно число, като не забравяме да умножим и двете страни на уравнението. Умножихме едно от уравненията по определено число, така че когато полученото уравнение се добави към второто уравнение на системата, една от променливите се унищожава. След това уравнението беше решено по отношение на останалата променлива.
Този метод все още работи, въпреки че не винаги е възможно да се унищожи една от променливите. Но това позволява значително да се опрости формата на едно от уравненията.

Пример.
Решете системата: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Решение.
Умножете първото уравнение по 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Извадете второто от първото уравнение.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Както можете да видите, формата на полученото уравнение е много по-проста от оригиналната. Сега можем да използваме метода на заместване.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Нека изразим x чрез y в полученото уравнение.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Имаме $y=-1$ и $y=-3$.
Заменете тези стойности последователно в първото уравнение. Получаваме две двойки числа: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.
Отговор: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.

Метод за въвеждане на нова променлива

Ние също изучавахме този метод, но нека го разгледаме отново.

Пример.
Решете системата: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Решение.
Нека въведем замяната $t=\frac(x)(y)$.
Нека пренапишем първото уравнение с нова променлива: $t+\frac(2)(t)=3$.
Нека решим полученото уравнение:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Получих $t=2$ или $t=1$. Нека въведем обратната промяна $t=\frac(x)(y)$.
Получих: $x=2y$ и $x=y$.

За всеки от изразите оригиналната система трябва да се реши отделно:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Получихме четири двойки решения.
Отговор: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Пример.
Решете системата: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

Решение.
Въвеждаме замяната: $z=\frac(2)(x-3y)$ и $t=\frac(3)(2x+y)$.
Нека пренапишем оригиналните уравнения с нови променливи:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Нека използваме метода алгебрично събиране:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Нека въведем обратното заместване:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Нека използваме метода на заместване:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Отговор: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Задачи от системи уравнения за самостоятелно решаване

Решете системи:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ край (случаи)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

система линейни уравненияс две неизвестни - това са две или повече линейни уравнения, за които е необходимо да се намерят всичките им общи решения. Ще разгледаме системи от две линейни уравнения с две неизвестни. Обща формасистема от две линейни уравнения с две неизвестни е показана на фигурата по-долу:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Тук x и y са неизвестни променливи, a1, a2, b1, b2, c1, c2 са някои реални числа. Решение на система от две линейни уравнения с две неизвестни е двойка числа (x, y), така че ако тези числа се заменят в уравненията на системата, тогава всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство. Има няколко начина за решаване на система от линейни уравнения. Помислете за един от начините за решаване на система от линейни уравнения, а именно метода на добавяне.

Алгоритъм за решаване чрез метод на събиране

Алгоритъм за решаване на система от линейни уравнения с два неизвестни метода на събиране.

1. Ако е необходимо, от еквивалентни трансформацииизравнете коефициентите за една от неизвестните променливи в двете уравнения.

2. Добавяне или изваждане на получените уравнения, за да получите линейно уравнение с едно неизвестно

3. Решете полученото уравнение с едно неизвестно и намерете една от променливите.

4. Заместете получения израз в някое от двете уравнения на системата и решете това уравнение, като по този начин получите втората променлива.

5. Проверете решението.

Пример за решение по метода на добавяне

За по-голяма яснота решаваме по метода на добавяне следваща системалинейни уравнения с две неизвестни:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Тъй като нито една от променливите няма еднакви коефициенти, ние изравняваме коефициентите на променливата y. За да направите това, умножете първото уравнение по три, а второто уравнение по две.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Вземете следната система от уравнения:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Сега извадете първото от второто уравнение. Ние представяме като терминии решаване на полученото линейно уравнение.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; х=-6;

Заместваме получената стойност в първото уравнение от нашата оригинална система и решаваме полученото уравнение.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Резултатът е двойка числа x=6 и y=14. Проверяваме. Ние правим замяна.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Както можете да видите, имаме две истински равенства, следователно намерихме правилното решение.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Системите от уравнения се използват широко в икономическа индустрияпри математическо моделиране различни процеси. Например, при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистичните маршрути ( транспортна задача) или разположение на оборудването.

Системите от уравнения се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията, когато се решават задачи за намиране на размера на популацията.

Система от линейни уравнения е термин за две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат ​​линейни. Обозначенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще изглежда като права линия, всички точки на която са решението на полинома.

Видове системи линейни уравнения

Най-простите са примери за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава да се намерят такива стойности (x, y), за които системата става истинско равенство, или да се установи, че няма подходящи стойности на x и y.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или няма решение, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенните системи от линейни уравнения са системи дясна часткоето е равно на нула. Ако дясната част след знака "равно" има стойност или е изразена от функция, такава система не е хомогенна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Изправени пред системи, учениците приемат, че броят на уравненията трябва задължително да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, може да има произволно голям брой от тях.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен начин за решаване подобни системи, всички методи се основават на числени решения. AT училищен курсматематика, такива методи като пермутация, алгебрично събиране, заместване, както и графични и матричен метод, решение по метода на Гаус.

Основната задача при преподаването на методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптимален алгоритъмрешения за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на конкретен метод.

Решаване на примери за системи от линейни уравнения от 7 клас на програмата средно училищедоста просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите курсове на висшите учебни заведения.

Решаване на системи чрез метода на заместване

Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива чрез втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Да дадем пример за система от линейни уравнения от 7-ми клас по метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решение този примерне създава затруднения и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, заместващото решение също е непрактично.

Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение чрез алгебрично събиране

При търсене на решение на системи чрез метода на събиране, почленно събиране и умножение на уравнения по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение с една променлива.

За приложения този методизисква практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения с помощта на метода на събиране с брой променливи 3 или повече. Алгебричното добавяне е полезно, когато уравненията съдържат дроби и десетични числа.

Алгоритъм за действие на решението:

1. Умножете двете страни на уравнението по някакво число. Като резултат аритметична операцияедин от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
2. Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
3. Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартното квадратен тричлен. Можете да разрешите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта по добре позната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са множителите на полинома. AT даден пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът Над нулата, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има само едно решение: x= -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът е да се надгражда координатна осграфики на всяко уравнение, включено в системата. Координатите на точките на пресичане на кривите и ще бъдат общо решениесистеми.

Графичният метод има редица нюанси. Разгледайте няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както може да се види от примера, две точки бяха конструирани за всяка линия, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.

Следният пример трябва да се намери графично решениесистеми от линейни уравнения: 0.5x-y+2=0 и 0.5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но когато се конструират, става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали системата има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за съкращениесистеми от линейни уравнения. Една таблица се нарича матрица. специален видпълни с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица - векторът е матрица от една колона с безкрайност възможен бройлинии. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратната матрица е такава матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в единична, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числа на матрицата, едно уравнение е един ред от матрицата.

Матричен ред се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда не е равен на нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 - обратна матрицаи |K| - матричен детерминант. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, необходимо е само елементите да се умножат диагонално един с друг. За опцията "три по три" има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в продукта.

Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение позволява да се намалят тромавите нотации при решаване на системи с голямо количествопроменливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливите, а b n са свободните членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

AT висша математикаметодът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системи се нарича метод на решение на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране системни променливис много линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решенията за заместване и алгебрично добавяне, но е по-систематичен. В училищния курс се използва решението на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да доведе системата до формата на обърнат трапец. начин алгебрични трансформациии замествания е стойността на една променлива в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, а 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас пример за гаусово решение е описан, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решението на всяко от уравненията ще ви позволи да намерите една от променливите x n.

Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците гимназия, но е един от най-интересните начини за развитие на изобретателността на децата, записани в програмата задълбочено проучванев часовете по математика и физика.

За по-лесно записване на изчисленията е обичайно да се прави следното:

Коефициентите на уравнението и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри означават номерата на уравненията в системата.

Първо те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и продължава да извършва необходимите алгебрични операции, докато се постигне резултатът.

В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до една форма. Не трябва да забравяме да правим изчисления с числата от двете страни на уравнението.

Тази нотация е по-малко тромава и ви позволява да не се разсейвате от изброяване на множество неизвестни.

Безплатното прилагане на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи се прилагат. Някои начини за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват с цел обучение.

С това видео започвам поредица от уроци за системи от уравнения. Днес ще говорим за решаване на системи от линейни уравнения метод на добавяне- е един от най прости начинино и един от най-ефективните.

Методът на добавяне се състои от три прости стъпки:

1. Погледнете системата и изберете променлива, която има еднакви (или противоположни) коефициенти във всяко уравнение;
2. Бягай алгебрично изваждане(за противоположни числа- събиране) на уравнения едно от друго, след което се въвеждат подобни членове;
3. Решете новото уравнение, получено след втората стъпка.

Ако всичко е направено правилно, тогава на изхода ще получим едно уравнение с една променлива- Няма да е трудно да се реши. След това остава само да замените намерения корен в оригиналната система и да получите окончателния отговор.

На практика обаче не е толкова просто. Има няколко причини за това:

• Решаването на уравнения чрез събиране предполага, че всички редове трябва да съдържат променливи с еднакви/противоположни коефициенти. Ами ако това изискване не е изпълнено?
• Не винаги, след добавяне / изваждане на уравнения по този начин, ще получим красива конструкция, която лесно се решава. Възможно ли е по някакъв начин да се опростят изчисленията и да се ускорят изчисленията?

За да получите отговор на тези въпроси и в същото време да се справите с няколко допълнителни тънкости, по които много ученици „падат“, вижте моя видео урок:

С този урок започваме поредица от лекции за системи от уравнения. И ще започнем с най-простите от тях, а именно тези, които съдържат две уравнения и две променливи. Всеки от тях ще бъде линеен.

Системи е материал за 7. клас, но този урок ще бъде полезен и за гимназисти, които искат да опреснят знанията си по тази тема.

Като цяло има два метода за решаване на такива системи:

1. Метод на добавяне;
2. Метод за изразяване на една променлива чрез друга.

Днес ще се занимаваме с първия метод - ще използваме метода на изваждане и събиране. Но за това трябва да разберете следния факт: след като имате две или повече уравнения, можете да вземете произволни две от тях и да ги съберете заедно. Те се добавят термин по термин, т.е. Към „Х“ се добавят „Х“ и се дават подобни;

Резултатите от подобни машинации ще бъдат ново уравнение, което, ако има корени, те със сигурност ще бъдат сред корените на първоначалното уравнение. Така че нашата задача е да направим изваждането или събирането по такъв начин, че $x$ или $y$ да изчезнат.

Как да постигнете това и какъв инструмент да използвате за това - ще говорим за това сега.

Решаване на лесни задачи чрез метода на добавяне

И така, ние се учим да прилагаме метода на добавяне, използвайки примера на два прости израза.

Задача №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Обърнете внимание, че $y$ има коефициент $-4$ в първото уравнение и $+4$ във второто. Те са взаимно противоположни, така че е логично да се предположи, че ако ги съберем, тогава в полученото количество „игрите“ ще се унищожат взаимно. Добавяме и получаваме:

Решаваме най-простата конструкция:

Страхотно, намерихме X. Какво да правя с него сега? Можем да го заместим във всяко от уравненията. Нека го поставим в първия:

\[-4y=12\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

Отговор: $\left(2;-3\right)$.

Задача №2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Тук ситуацията е напълно подобна, само че с Xs. Нека ги съберем заедно:

Получихме най-простото линейно уравнение, нека го решим:

Сега нека намерим $x$:

Отговор: $\left(-3;3\right)$.

Важни моменти

И така, току-що решихме две прости системи от линейни уравнения, използвайки метода на събиране. Още веднъж ключови моменти:

1. Ако има противоположни коефициенти за една от променливите, тогава е необходимо да се съберат всички променливи в уравнението. В този случай един от тях ще бъде унищожен.
2. Заместваме намерената променлива във всяко от уравненията на системата, за да намерим второто.
3. Крайният запис на отговора може да бъде представен по различни начини. Например така - $x=...,y=...$, или под формата на координати на точки - $\left(...;... \right)$. Вторият вариант е за предпочитане. Основното нещо, което трябва да запомните е, че първата координата е $x$, а втората е $y$.
4. Правилото за записване на отговора под формата на координати на точки не винаги е приложимо. Например, не може да се използва, когато ролята на променливите не е $x$ и $y$, а например $a$ и $b$.

В следващите задачи ще разгледаме техниката на изваждане, когато коефициентите не са противоположни.

Решаване на лесни задачи чрез метода на изваждане

Задача №1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Имайте предвид, че тук няма противоположни коефициенти, но има еднакви. Следователно изваждаме второто уравнение от първото уравнение:

Сега заместваме стойността на $x$ във всяко от уравненията на системата. Хайде първо:

Отговор: $\left(2;5\right)$.

Задача №2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Отново виждаме същия коефициент $5$ за $x$ в първото и второто уравнения. Следователно е логично да се предположи, че трябва да извадите второто от първото уравнение:

Изчислихме една променлива. Сега нека намерим втората, например, като заместим стойността на $y$ във втората конструкция:

Отговор: $\left(-3;-2 \right)$.

Нюанси на решението

И така, какво виждаме? По същество схемата не се различава от решението на предишните системи. Единствената разлика е, че не събираме уравнения, а ги изваждаме. Правим алгебрично изваждане.

С други думи, веднага щом видите система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, първото нещо, което трябва да погледнете, са коефициентите. Ако някъде са еднакви, уравненията се изваждат, а ако са противоположни, се прилага методът на събиране. Това винаги се прави така, че една от тях да изчезне и в крайното уравнение, което остава след изваждане, ще остане само една променлива.

Разбира се, това не е всичко. Сега ще разгледаме системи, в които уравненията обикновено са противоречиви. Тези. в тях няма такива променливи, които биха били еднакви или противоположни. В този случай, за решаване на такива системи, допълнителен прием, а именно умножението на всяко от уравненията по специален коефициент. Как да го намерим и как да решим такива системи като цяло, сега ще говорим за това.

Решаване на задачи чрез умножение с коефициент

Пример #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Виждаме, че нито за $x$, нито за $y$ коефициентите не само са взаимно противоположни, но като цяло не корелират по никакъв начин с друго уравнение. Тези коефициенти няма да изчезнат по никакъв начин, дори ако добавяме или изваждаме уравненията едно от друго. Следователно е необходимо да се приложи умножение. Нека се опитаме да се отървем от променливата $y$. За да направим това, умножаваме първото уравнение по коефициента на $y$ от второто уравнение и второто уравнение по коефициента на $y$ от първото уравнение, без да променяме знака. Умножаваме и получаваме нова система:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Нека да го разгледаме: за $y$, противоположни коефициенти. В такава ситуация е необходимо да се приложи методът на добавяне. Нека добавим:

Сега трябва да намерим $y$. За да направите това, заменете $x$ в първия израз:

\[-9y=18\наляво| :\left(-9 \right) \right.\]

Отговор: $\left(4;-2\right)$.

Пример #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Отново, коефициентите за нито една от променливите не са последователни. Нека умножим по коефициентите при $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Нашите нова системае еквивалентен на предишния, но коефициентите при $y$ са взаимно противоположни и следователно е лесно да се приложи методът на добавяне тук:

Сега намерете $y$, като заместите $x$ в първото уравнение:

Отговор: $\left(-2;1\right)$.

Нюанси на решението

Основното правило тук е: винаги умножавайте само по положителни числа- това ще ви спести от глупави и обидни грешки, свързани със смяна на знаци. Като цяло схемата на решение е доста проста:

1. Ние разглеждаме системата и анализираме всяко уравнение.
2. Ако видим, че нито за $y$, нито за $x$ коефициентите са последователни, т.е. те не са нито равни, нито противоположни, тогава правим следното: избираме променливата, от която да се отървем, и след това разглеждаме коефициентите в тези уравнения. Ако умножим първото уравнение по коефициента от второто и умножим второто съответстващо по коефициента от първото, тогава в крайна сметка ще получим система, която е напълно еквивалентна на предишната и коефициентите при $y $ ще бъде последователен. Всички наши действия или трансформации са насочени само към получаване на една променлива в едно уравнение.
3. Намираме една променлива.
4. Заместваме намерената променлива в едно от двете уравнения на системата и намираме второто.
5. Записваме отговора под формата на координати на точки, ако имаме променливи $x$ и $y$.

Но дори такъв прост алгоритъм има своите тънкости, например коефициентите на $x$ или $y$ могат да бъдат дроби и други "грозни" числа. Сега ще разгледаме тези случаи поотделно, защото в тях можете да действате малко по-различно от стандартния алгоритъм.

Решаване на задачи с дробни числа

Пример #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Първо, имайте предвид, че второто уравнение съдържа дроби. Но имайте предвид, че можете да разделите $4$ на $0,8$. Получаваме $5$. Нека умножим второто уравнение по $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Изваждаме уравненията едно от друго:

$n$ намерихме, сега изчисляваме $m$:

Отговор: $n=-4;m=5$

Пример #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ точно.\]

Тук, както и в предишната система, има дробни коефициенти, обаче, за нито една от променливите коефициентите се вписват един в друг с цяло число пъти. Затова използваме стандартния алгоритъм. Отърви се от $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Нека използваме метода на изваждане:

Нека намерим $p$, като заместим $k$ във втората конструкция:

Отговор: $p=-4;k=-2$.

Нюанси на решението

Това е цялата оптимизация. В първото уравнение не умножихме по нищо, а второто уравнение беше умножено по $5$. В резултат на това получихме последователно и дори същото уравнение за първата променлива. Във втората система действахме по стандартния алгоритъм.

Но как да намерите числата, по които трябва да умножите уравненията? В крайна сметка, ако умножите по дробни числа, получаваме нови дроби. Следователно дробите трябва да се умножат по число, което би дало ново цяло число, а след това променливите трябва да се умножат по коефициенти, следвайки стандартния алгоритъм.

В заключение бих искал да обърна внимание на формата на записа за отговор. Както вече казах, тъй като тук нямаме $x$ и $y$, а други стойности, използваме нестандартна нотация на формата:

Решаване на сложни системи от уравнения

Като последен акорд към днешния видео урок, нека да разгледаме няколко наистина сложни системи. Тяхната сложност ще се състои в това, че те ще съдържат променливи както отляво, така и отдясно. Следователно, за да ги решим, ще трябва да приложим предварителна обработка.

Система #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Всяко уравнение носи определена сложност. Следователно, с всеки израз, нека направим както с нормална линейна конструкция.

Като цяло получаваме крайната система, която е еквивалентна на оригиналната:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Нека да разгледаме коефициентите на $y$: $3$ се вписва в $6$ два пъти, така че умножаваме първото уравнение по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Коефициентите на $y$ вече са равни, така че изваждаме второто от първото уравнение: $$

Сега нека намерим $y$:

Отговор: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Система #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Нека трансформираме първия израз:

Нека се заемем с второто:

\[-3\вляво(b-2a \вдясно)-12=2\вляво(a-5 \вдясно)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Като цяло нашата първоначална система ще приеме следната форма:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Разглеждайки коефициентите на $a$, виждаме, че първото уравнение трябва да се умножи по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Изваждаме втората от първата конструкция:

Сега намерете $a$:

Отговор: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Това е всичко. Надявам се този видео урок да ви помогне да разберете тази трудна тема, а именно решаването на системи от прости линейни уравнения. Ще има много повече уроци по тази тема по-нататък: ще анализираме повече сложни примери, където ще има повече променливи, а самите уравнения вече ще бъдат нелинейни. Ще се видим скоро!