Средни стойности в статистиката. Средни стойности

Средните стойности се отнасят до обобщаващи статистически показатели, които дават обобщена (окончателна) характеристика на масовите социални явления, тъй като те са изградени на базата на Голям брой индивидуални ценностипроменлив знак. За да се изясни същността на средната стойност, е необходимо да се разгледат особеностите на формирането на стойностите на знаците на тези явления, според които се изчислява средната стойност.

Известно е, че единици от всяка масово явлениеимат множество функции. Който и от тези знаци да вземем, неговите стойности за отделните единици ще бъдат различни, те се променят или, както се казва в статистиката, варират от една единица към друга. Така например заплатата на служителя се определя от неговата квалификация, естеството на работата, трудовия стаж и редица други фактори и следователно варира в много широк диапазон. Кумулативното влияние на всички фактори определя размера на доходите на всеки служител, но можем да говорим за средните месечни заплати на работниците в различни сектори на икономиката. Тук работим с типичен характерна стойностпроменлив атрибут, отнасящ се до единица от голяма популация.

Средната стойност отразява това общ,което е характерно за всички единици от изследваната съвкупност. В същото време той балансира влиянието на всички фактори, действащи върху величината на атрибута на отделните единици от съвкупността, като че ли взаимно ги отменя. Нивото (или размерът) на всяко социално явление се определя от действието на две групи фактори. Някои от тях са общи и основни, постоянно действащи, тясно свързани с естеството на изучаваното явление или процес и формират, че типиченза всички единици от изследваната съвкупност, което се отразява в средната стойност. Други са индивидуален,тяхното действие е по-слабо изразено и е епизодично, случаен характер. Оперират в обратна посока, предизвикват различия между количествените характеристики на отделните единици от съвкупността, опитвайки се да се променят постоянна стойностизучавани черти. Действието на отделните признаци се погасява в средната стойност. В кумулативното влияние на типични и индивидуални фактори, което се балансира и взаимно неутрализира в обобщаващи характеристики, то се проявява в общ изгледизвестен от математическа статистикафундаментален закон големи числа.

В съвкупността отделните стойности на характеристиките се сливат в общо теглои някак се разтварят. Следователно и средна стойност действа като "безлично", което може да се отклони от индивидуалните стойности на характеристиките, количествено не съвпадащи с нито една от тях. Средната стойност отразява общото, характерно и типично за цялата съвкупност поради взаимното премахване в нея на случайни, нетипични разлики между знаците на отделните й единици, тъй като нейната стойност се определя, така да се каже, от общия резултат на всички причини.

Въпреки това, за да може средната стойност да отразява най-типичната стойност на даден признак, тя не трябва да се определя за каквито и да е популации, а само за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици. Това изискване е основното условие за научно обосновано прилагане на средни стойности и имплицити тясна връзкаметодът на средните величини и методът на групировките при анализа на социално-икономическите явления. Следователно средната стойност е обобщаващ показател, който характеризира типично нивопроменлив признак за единица от хомогенна популация в специфични условия на място и време.

Определяйки по този начин същността на средните стойности, трябва да се подчертае, че правилното изчисляване на всяка средна стойност предполага изпълнението на следните изисквания:

качествена хомогенност на популацията, върху която се изчислява средната стойност. Това означава, че изчисляването на средните стойности трябва да се основава на метода на групиране, който осигурява избор на хомогенни, еднотипни явления;
изключване на влиянието върху изчисляването на средната стойност на случайни, чисто индивидуални причини и фактори. Това се постига, когато изчисляването на средната стойност се основава на достатъчно масивен материал, в който се проявява действието на закона за големите числа и всички инциденти взаимно се компенсират;
при изчисляване на средната стойност е важно да се установи целта на нейното изчисляване и т.нар определящ показател-тел(имот), към който следва да бъде ориентиран.

Определящият индикатор може да действа като сума от стойностите на осреднената характеристика, сумата от нейните реципрочни стойности, произведението на неговите стойности и т.н. Връзката между определящия индикатор и средната стойност се изразява по следния начин: ако всички стойности на осреднения атрибут се заменят със средната стойност, тогава тяхната сума или продукт в този случай няма промяна на определящия индикатор. На базата на тази връзка на определящия показател със средната стойност се изгражда изходно количествено съотношение за директно изчисляване на средната стойност. Способността на средните стойности да запазват свойствата на статистическите съвкупности се нарича определящ имот.

Средната стойност, изчислена за съвкупността като цяло, се нарича обща авария;средни стойности, изчислени за всяка група - групови средни стойности.Общата средна стойност отразява Общи чертина изследваното явление, средната група характеризира явлението, което се развива при специфичните условия на дадената група.

Методите за изчисление могат да бъдат различни, следователно в статистиката се разграничават няколко вида средна стойност, основните от които са средната аритметична, средната хармонична и средната геометрична.

AT икономически анализизползването на средни стойности е основният инструмент за оценка на резултатите научно-техническия прогрес, социални събития, търсене на резерви за икономическо развитие. В същото време трябва да се помни, че прекомерно угажданесредните стойности могат да доведат до пристрастни заключения при извършване на икономически и статистически анализ. Това се дължи на факта, че средните стойности, като обобщаващи показатели, отменят и игнорират онези различия в количествените характеристики на отделните единици от съвкупността, които реално съществуват и могат да представляват независим интерес.

Видове средни стойности

В статистиката те използват различни видовесредни стойности, които са разделени на два големи класа:

средни мощности (средно хармонично, средно геометрично, средно аритметично, средно квадратично, средно кубично);
структурни средни (мода, медиана).

Да изчисля мощни средстватрябва да се използват всички налични характерни стойности. Модаи Медианасе определят само от структурата на разпространение, поради което се наричат структурни, позиционни средни. Медианата и режимът често се използват като средна характеристикав тези популации, където изчисляването на средната мощност е невъзможно или непрактично.

Най-често срещаният тип средна стойност е средната аритметична. Под средноаритметичносе разбира като стойността на атрибута, който всяка единица от съвкупността би имала, ако Общият резултатот всички стойности на атрибута се разпределят равномерно между всички единици на съвкупността. Изчисляването на тази стойност се свежда до сумиране на всички стойности на променливия атрибут и разделяне на получената сума на обща сумаагрегатни единици. Например петима работници са изпълнили поръчка за производство на части, докато първият е произвел 5 части, вторият - 7, третият - 4, четвъртият - 10, петият - 12. Тъй като в първоначалните данни стойността на всеки вариант се появи само веднъж, за да се определи средната производителност на един работник, трябва да се приложи простата формула за средно аритметично:

т.е. в нашия пример средната продукция на един работник е равна на

Наред с простото средно аритметично те учат средноаритметично претеглено.Например, нека изчислим средна възрастстуденти в група от 20, чиято възраст варира от 18 до 22, където xi- варианти на осреднената характеристика, фи- честота, която показва колко пъти се среща i-тостойност в съвкупността (Таблица 5.1).

Таблица 5.1

Средна възраст на учениците

Прилагайки формулата за средноаритметично претеглено, получаваме:

Има определено правило за избор на среднопретеглена аритметична стойност: ако има поредица от данни за два показателя, за един от които е необходимо да се изчисли

средната стойност и в същото време числените стойности на знаменателя на неговата логическа формула са известни, а стойностите на числителя са неизвестни, но могат да бъдат намерени като продукт на тези показатели, тогава средната стойност трябва да се изчисли с помощта на формулата за среднопретеглена аритметична стойност.

В някои случаи естеството на първоначалните статистически данни е такова, че изчисляването на средноаритметичното губи смисъл и единственият обобщаващ показател може да бъде само друг вид средна стойност - среден хармоник.Понастоящем изчислителните свойства на средната аритметична стойност са загубили своето значение при изчисляването на обобщаващи статистически показатели поради широкото въвеждане на електронни компютри. голям практическа стойностпридоби средно хармонична стойност, което също е просто и претеглено. Ако числените стойности на числителя на логическата формула са известни, а стойностите на знаменателя са неизвестни, но могат да бъдат намерени като частно деление на един показател с друг, тогава средната стойност се изчислява чрез претеглената хармонична средна формула.

Например нека се знае, че първите 210 км колата е изминала със скорост 70 км/ч, а останалите 150 км със скорост 75 км/ч. Невъзможно е да се определи средната скорост на автомобила през цялото пътуване от 360 км, като се използва средноаритметичната формула. Тъй като опциите са включени скорости отделни секции xj= 70 км/ч и x2= 75 km/h, а теглата (fi) се считат за съответните сегменти от пътя, тогава продуктите на опциите по тегла няма да имат нито физически, нито икономически смисъл. AT този случайзначението се придобива от дробите на разделянето на сегментите от пътя на съответните скорости (опции xi), т.е. времето, изразходвано за преминаване на отделни участъци от пътя (fi / xi). Ако сегментите от пътя са означени с fi, тогава целият път се изразява като Σfi, а времето, прекарано по целия път, се изразява като Σ fi / xi , Тогава Средната скоростможе да се намери като частното от общия път, разделено на общото прекарано време:

В нашия пример получаваме:

Ако при използване на средното хармонично тегло на всички опции (f) са равни, тогава вместо претегленото можете да използвате просто (непретеглено) хармонично средно:

където xi - индивидуални опции; н- броят на вариантите на осреднения признак. В примера със скорост може да се приложи проста хармонична средна стойност, ако сегментите от пътя, изминат с различни скорости, са равни.

Всяка средна стойност трябва да се изчислява така, че когато замества всеки вариант на осреднения признак, стойността на някакъв краен, обобщаващ показател, който е свързан с осреднения показател, да не се променя. Така че, когато се заменят действителните скорости на отделни участъци от пътя с тяхната средна стойност (средна скорост), общото разстояние не трябва да се променя.

Формата (формулата) на средната стойност се определя от естеството (механизма) на връзката на този краен показател с осреднения, следователно крайният показател, чиято стойност не трябва да се променя, когато опциите се заменят с тяхната средна стойност , е наречен определящ индикатор.За да изведете средната формула, трябва да съставите и решите уравнение, като използвате връзката на осреднения показател с определящия. Това уравнение се съставя чрез замяна на вариантите на осреднения признак (показател) с тяхната средна стойност.

Освен средната аритметична и средната хармонична в статистиката се използват и други видове (форми) на средната стойност. Всички те са специални случаи. средна степен.Ако изчислим всички видове степенни средни стойности за едни и същи данни, тогава стойностите

те ще бъдат еднакви, тук важи правилото майорствосреден. С нарастването на показателя на средната стойност нараства и самата средна стойност. Най-често използваните в практически изследванияформулите за изчисляване на различни видове средни мощности са представени в таблица. 5.2.

Таблица 5.2

Прилага се средната геометрична стойност, когато е налична. нфактори на растежа, докато индивидуалните стойности на признака като правило са относителни стойности на динамиката, изградени под формата на верижни стойности, като съотношение към предишното ниво на всяко ниво в динамичната серия. Следователно средната стойност характеризира среден коефрастеж. средно геометрично простоизчислено по формулата

Формула средногеометрично претегленоима следната форма:

Горните формули са идентични, но едната се прилага при текущи коефициенти или темпове на растеж, а втората - при абсолютни стойности на нивата на серията.

корен квадратенизползва се при пресмятане с количества квадратни функции, се използва за измерване на степента на флуктуация на отделните стойности на даден признак около средноаритметичната стойност в серията на разпределение и се изчислява по формулата

Средно квадратно претегленоизчислено по друга формула:

Среден кубизползва се при пресмятане с количества кубични функциии се изчислява по формулата

среднопретеглен кубичен:

Всички горепосочени средни стойности могат да бъдат представени като обща формула:

къде е средната стойност; - индивидуална стойност; н- броя на единиците от изследваната съвкупност; к- експонента, която определя вида на средната стойност.

Когато използвате едни и същи изходни данни, толкова повече кв обща формуласредна мощност, толкова по-голяма е средната. От това следва, че има редовна връзка между стойностите на средствата за мощност:

Описаните по-горе средни стойности дават обобщена представа за изследваната популация и от тази гледна точка тяхното теоретично, приложно и когнитивно значение е безспорно. Но се случва средната стойност да не съвпада с нито една от реалните съществуващи опции, следователно, в допълнение към разглежданите средни стойности, при статистически анализ е препоръчително да се използват стойностите на конкретни опции, които заемат добре дефинирана позиция в подредена (класирана) серия от характерни стойности. Сред тези количества най-често използваните са структурен,или описателен, среден- режим (Mo) и медиана (Me).

Мода- стойността на признака, който най-често се среща в тази популация. По отношение на вариационната серия, модата е най-често срещаната стойност на класираната серия, т.е. вариантът с най-висока честота. Модата може да се използва за определяне на най-посещаваните магазини, най-често срещаната цена за всеки продукт. Той показва размера на признака, характерен за значителна част от населението, и се определя по формулата

където x0 е долната граница на интервала; ч- интервална стойност; FM- интервална честота; fm_ 1 - честота на предишния интервал; fm+ 1 - честота на следващия интервал.

Медианаизвиква се вариантът, разположен в центъра на класирания ред. Медианата разделя серията на две равни части по такъв начин, че от двете й страни да има еднакъв брой единици съвкупност. В същото време в половината от единиците на съвкупността стойността на променливия атрибут е по-малка от медианата, а в другата половина е по-голяма от нея. Медианата се използва, когато се изследва елемент, чиято стойност е по-голяма или равна на или едновременно по-малка или равна на половината от елементите на серията на разпределение. Медианата дава Главна идеяза това къде са концентрирани стойностите на характеристиката, с други думи, къде се намира техният център.

Описателният характер на медианата се проявява във факта, че тя характеризира количествената граница на стойностите на променливия атрибут, които се притежават от половината единици на съвкупността. Проблемът с намирането на медианата за дискретна вариационна серия се решава просто. Ако са дадени всички единици от серията поредни номера, тогава поредният номер на медианния вариант се определя като (n + 1) / 2 с нечетен брой термини n. Ако броят на термините в серията е четно число, тогава медианата ще бъде средната стойност на две варианти със серийни номера н/ 2 и н / 2 + 1.

При определяне на медианата в интервални вариационни серии първо се определя интервалът, в който тя се намира (средният интервал). Този интервал се характеризира с факта, че неговата натрупана сума от честоти е равна или надвишава половината от сумата от всички честоти на серията. Изчисляването на медианата на интервалната вариационна серия се извършва по формулата

където X0- долната граница на интервала; ч- интервална стойност; FM- интервална честота; f- броя на членовете на серията;

∫m-1 - сумата от натрупаните членове на серията, предхождаща тази.

Заедно с медианата за повече пълни характеристикиструктурите на изследваната съвкупност използват и други стойности на опциите, които заемат съвсем определена позиция в класираната серия. Те включват квартилии децили.Квартилите разделят серията от сумата на честотите на 4 равни части, а децилите - на 10 равни части. Има три квартила и девет децила.

Медианата и модата, за разлика от средната аритметична стойност, не се анулират индивидуални различияв стойностите на променлив атрибут и следователно са допълнителни и много важни характеристикистатистическа съвкупност. В практиката те често се използват вместо средно или заедно с него. Изчисляването на медианата и модата е особено целесъобразно в случаите, когато изследваната съвкупност съдържа определен брой единици с много голяма или много малка стойност на променливия атрибут. Тези стойности на опциите, които не са много характерни за съвкупността, макар и да влияят на стойността на средноаритметичната стойност, не влияят на стойностите на медианата и модата, което прави последните много ценни показатели за икономически и статистически анализи .

Вариационни индикатори

цел статистически изследванияе разкриващо основни свойстваи модели на изследваната статистическа съвкупност. В процес на обработка на консолидирани данни статистическо наблюдениестроят разпределителни линии.Различават се два вида редове на разпределение - атрибутивни и вариационни, в зависимост от това дали признакът, който е в основата на групирането, е качествен или количествен.

вариационеннаречена серия на разпределение, изградена на количествена основа. Стойностите на количествените характеристики за отделните единици от съвкупността не са постоянни, повече или по-малко се различават една от друга. Тази разлика в стойността на една черта се нарича вариации.Отделно числови стойностибелези, които се срещат в изследваната популация, се наричат опции за стойност.Наличието на вариация в отделните единици от съвкупността се дължи на влиянието Голям бройфактори върху формирането на ниво черта. Проучването на естеството и степента на вариация на признаците в отделните единици от популацията е критичен проблемвсяко статистическо изследване. Индикаторите за вариация се използват за описание на мярката за вариабилност на признака.

Друг важна задачастатистическото изследване е да се определи ролята на отделни фактори или техните групи в изменението на определени признаци на съвкупността. За да разрешите този проблем в статистиката, специални методиизследвания на вариации, базирани на използването на карта с показатели, която измерва вариациите. На практика изследователят се сблъсква с достатъчно голямо количествоопции за стойностите на атрибута, което не дава представа за разпределението на единиците по стойност на атрибута в съвкупността. За да направите това, всички варианти на стойностите на атрибута са подредени във възходящ или низходящ ред. Този процес се нарича ред класиране.Класираната поредица веднага дава обща представа за стойностите, които функцията приема в съвкупността.

Недостатъчността на средната стойност за изчерпателна характеристика на популацията налага допълването на средните стойности с показатели, които позволяват да се оцени типичността на тези средни стойности чрез измерване на флуктуацията (вариацията) на изследваната черта. Използването на тези показатели за вариация дава възможност статистическият анализ да бъде по-пълен и съдържателен и по този начин да се разбере по-добре същността на изследваните социални явления.

от най-много прости знацивариациите са минимуми максимум -е най-малкият и най-висока стойностчерта в съвкупността. Извиква се броят на повторенията на отделните варианти на стойностите на характеристиките честота на повторение.Нека обозначим честотата на повторение на стойността на признака фи,сумата от честотите, равна на обема на изследваната популация, ще бъде:

където к- брой варианти на стойностите на атрибутите. Удобно е да замените честотите с честоти - w.i. Честота- индикатор за относителна честота - може да се изрази в части от единица или процент и ви позволява да сравнявате вариационни серии с различен номернаблюдения. Формално имаме:

За измерване на вариацията на признак, различни абсолютни и относителна производителност. Абсолютните показатели за вариация включват средно линейно отклонение, диапазон на вариация, дисперсия, средна стандартно отклонение.

Вариация на обхвата(R) е разликата между максималните и минималните стойности на признака в изследваната популация: Р= Xmax - Xmin. Този индикатор дава само най-общата представа за колебанията на изследваната черта, тъй като показва разликата само между граничните стойности на опциите. Той е напълно несвързан с честотите във вариационните серии, т.е. с характера на разпределението и неговата зависимост може да му придаде нестабилен, случаен характер само от екстремни стойностизнак. Диапазонът на вариация не дава информация за особеностите на изследваните популации и не ни позволява да оценим степента на типичност на получените средни стойности. Обхватът на този показател е ограничен до сравнително хомогенни популации, по-точно, той характеризира вариацията на черта, индикатор, основан на отчитане на променливостта на всички стойности на чертата.

За да се характеризира вариацията на черта, е необходимо да се обобщят отклоненията на всички стойности от всяка стойност, типична за изследваната популация. Такива показатели

вариациите, като средното линейно отклонение, дисперсията и стандартното отклонение, се основават на отчитането на отклоненията на стойностите на атрибута на отделните единици от съвкупността от средната аритметична стойност.

Средно линейно отклонениее средноаритметичната стойност на абсолютните стойности на отклоненията на отделните опции от тяхната средна аритметична стойност:

Абсолютна стойност(модул) отклонение на варианта от средноаритметичното; е-честота.

Първата формула се прилага, ако всяка от опциите се среща съвкупно само веднъж, а втората - в серии с неравномерни честоти.

Има и друг начин за осредняване на отклоненията на опциите от средната аритметична стойност. Този метод, който е много разпространен в статистиката, се свежда до изчисляване на квадратните отклонения на опциите от средната стойност и след това тяхното осредняване. В този случай получаваме нов индикатор за вариация - дисперсията.

дисперсия(σ 2) - средната стойност на квадратните отклонения на вариантите на стойностите на характеристиките от тяхната средна стойност:

Втората формула се използва, ако вариантите имат собствени тегла (или честоти на вариационните серии).

В икономическия и статистически анализ е обичайно да се оценява вариацията на даден атрибут най-често с помощта на стандартното отклонение. Стандартно отклонение(σ) е корен квадратен от дисперсията:

Средните линейни и средни квадратни отклонения показват доколко стойността на атрибута варира средно за единиците от изследваната популация и се изразяват в същите единици като вариантите.

В статистическата практика често се налага да се сравняват вариациите на различни характеристики. Например, голям интереспредставя сравнение на вариациите във възрастта на персонала и неговата квалификация, трудов стаж и заплати и др. такива сравненияпоказателите за абсолютната променливост на знаците - средното линейно и стандартното отклонение - не са подходящи. Всъщност е невъзможно да се сравни колебанието на трудовия стаж, изразено в години, с колебанието на заплатите, изразено в рубли и копейки.

Когато се сравнява променливостта на различни признаци в съвкупността, е удобно да се използват относителни показатели за вариация. Тези показатели се изчисляват като отношение абсолютни показателикъм средната аритметична (или медиана). Като се използва като абсолютен индикатор за вариация обхвата на вариация, средното линейно отклонение, стандартното отклонение, се получават относителните показатели на флуктуацията:

Най-често използваният показател за относителна волатилност, характеризиращ хомогенността на съвкупността. Наборът се счита за хомогенен, ако коефициентът на вариация не надвишава 33% за разпределения, близки до нормалните.

Средната стойност е най-ценната от аналитична гледна точка и универсална форма за изразяване на статистически показатели. Най-често срещаната средна стойност - средната аритметична - има редица математически свойства, които могат да се използват при изчисляването му. В същото време, когато се изчислява конкретна средна стойност, винаги е препоръчително да се разчита на нейната логическа формула, която е съотношението на обема на атрибута към обема на популацията. За всяка средна стойност има само едно истинско референтно съотношение, което в зависимост от наличните данни може да е необходимо различни формисреден. Във всички случаи обаче, когато естеството на осреднената стойност предполага наличието на тегла, е невъзможно да се използват техните непретеглени формули вместо формулите за среднопретеглената стойност.

Средната стойност е най-характерната стойност на признака за съвкупността и размерът на признака на съвкупността, разпределен в равни части между единиците на съвкупността.

Характеристиката, за която се изчислява средната стойност, се нарича осреднено .

Средната стойност е показател, изчислен чрез сравняване на абсолютни или относителни стойности. Средната стойност е

Средната стойност отразява влиянието на всички фактори, влияещи върху изследваното явление, и е резултатна за тях. С други думи, чрез премахване на индивидуалните отклонения и елиминиране на влиянието на случаите, средната стойност, отразяваща общата мярка на резултатите от това действие, действа общ моделфеномен, който се изучава.

Условия за използване на средни стойности:

Ø хомогенност на изследваната популация. Ако някои елементи от популацията, подложени на влиянието на случаен фактор, имат значително различни стойности на изследваната черта от останалите, тогава тези елементи ще повлияят на размера на средната стойност за тази популация. В този случай средната стойност няма да изрази най-типичната стойност на признака за популацията. Ако изследваното явление е разнородно, то е необходимо да се раздели на групи, съдържащи еднородни елементи. В този случай се изчисляват групови средни - групови средни, изразяващи най-характерната стойност на явлението във всяка група, а след това се изчислява общата средна стойност за всички елементи, характеризираща явлението като цяло. Изчислява се като средна стойност на груповите средни стойности, претеглени от броя на елементите на съвкупността, включени във всяка група;

Ø достатъчен брой единици в съвкупността;

Ø максимално и минимална стойностчерта в изследваната популация.

Средна стойност (индикатор)- това е обобщена количествена характеристика на признак в систематична популация при определени условия на място и време.

Използва се в статистиката следните форми(видове) средни стойности, наречени силови и структурни:

Ø средноаритметично(прости и претеглени);

просто

Най-разпространената форма на статистически показатели е средната стойност, която е обобщена количествена характеристиказнак в статистическата съвкупност в конкретни условия на място и време. Индикаторът под формата на средна стойност изразява типични характеристикии дава обобщено описание на еднотипни явления според един от вариращите признаци. Широкото разпространение на средните стойности се обяснява с факта, че те имат редица положителни свойства, които ги правят незаменим инструмент за анализ на явления и процеси в икономиката.

Най-важното свойствосредната стойност се крие във факта, че тя отразява общото, което е присъщо на всички единици от изследваната популация. Стойностите на атрибута на отделните единици от съвкупността се колебаят в една или друга посока под влияние на много фактори, сред които могат да бъдат както основни, така и случайни. Например, цената на акциите на една корпорация се определя главно от финансовите резултати от нейната дейност. В същото време, в определени дни и на определени фондови борси, поради преобладаващите обстоятелства, тези акции могат да бъдат продадени на по-висок или по-нисък курс. Същността на средната се състои в това, че тя анулира отклоненията на стойностите на признака на отделни единици от съвкупността, дължащи се на действието на случайни фактори, и отчита промените, причинени от действието на основни фактори. Това позволява на средната стойност да отразява типичното ниво на характеристиката и да се абстрахира от нея индивидуални особеностиотделни единици.

Типичността на средната стойност е пряко свързана с хомогенността на съвкупността. Средната стойност ще отразява типичното ниво на атрибута само когато се изчислява от качествено хомогенна популация. Така че, ако изчислим средния курс за акциите на всички предприятия, продадени в даден ден на дадена борса, получаваме фиктивна средна стойност. Това ще се обясни с факта, че популацията, използвана за изчислението, е изключително разнородна. В този и подобни случаи методът на средната стойност се използва в комбинация с метода на групиране: ако съвкупността е разнородна, общите средни стойности трябва да бъдат заменени или допълнени с групови средни стойности, т.е. средно, изчислено според качествените еднородни групи.

В теорията на средните стойности се използват следните конвенции.

1. Знакът, по който се определя средната стойност, се нарича осреднена характеристикаи се обозначава.

2. Стойността на осреднения признак за всяка единица от съвкупността се нарича нейна индивидуална стойности се обозначава.

3. Повторяемостта на отделните стойности се нарича честота и се обозначава f .

4. Означена е общата стойност на характеристиката У .

Всякакви количествен признакстатистическата популация има една средна стойност. Може да се изчисли различни начинив зависимост от формата на изразяване на осреднения признак (абсолютен, относителен и среден) и наличната информация. В зависимост от степента к получават се различни видове средни стойности.

1.просто аритметично средно - най-често срещаният тип среда

к =1

2.Средно аритметично претеглено – използва се, ако са известни индивидуалните стойности на признака и техните честоти f . Всяка опция е "претеглена" по своята честота, т.е. умножете по него. Честоти f се наричат статистически тегла или просто тегла на средните .

Пример.Въз основа на наличните данни изчисляваме средния трудов стаж на служителите

3.Средно хармонично просто се използва, ако е необходимо сумата от реципрочните стойности на отделните стойности на атрибута да остане непроменена по време на осредняването.

където е сумата от реципрочните стойности на характеристиката.

Пример. Автомобил с товар от предприятието до склада се е движил със скорост 40 км/ч, а обратно празен със скорост 60 км/ч. Каква е средната скорост на автомобила за двете пътувания?

Нека транспортното разстояние е S km. S не играе никаква роля при изчисляването на средната скорост. При промяна на индивидуалните стойности на скоростта до средната стойност е необходимо времето, прекарано и в двете пътувания, да остане непроменено, в противен случай средната скорост може да бъде всичко - от скоростта на костенурка до скоростта на светлината. Времето за пътуване е същото. Така,

Намалявайки всички членове на равенството с S, получаваме т.е. условието на хармоничната средна е изпълнено. Замествайки и , получаваме

Средно аритметичното от 50 км/ч не е вярно, т.к води до различно време на движение от това, което е в действителност. Ако разстоянието е 96 км, тогава реално времедвижение ще бъде

В статистическата практика по-често се използва хармоничната среднопретеглена стойност.

4.Средно хармонично претеглено се използва, ако индивидуалните стойности на характеристиката са известни и общи стойностизнак.

Пример

5.Среден агрегат се използва, ако общите стойности на признака и техните честоти са известни.

Пример. Дефинирайте средна ценапродукти, ако са известни.

6.корен квадратен използва се за изчисляване на стандартното отклонение, което е индикатор за вариация, както и в инженерството

к =2

Средно квадратно претеглено

7.Средна геометрична използва се за изчисляване на средния темп на растеж според верижната схема k= 0

При k= 1 получаваме средното аритметично, k= 2 - квадратна, с k= 3 - кубичен, с k= 0 - геометрични, k= -1 е средната хармонична стойност. Колкото по-висок е показателят к , теми повече стойностсреден размер. Ако всички начални стойности на характеристика са равни, тогава всички средни стойности са равни на const. Така че имаме следната връзка, която се нарича правилото за мажоритарността на средствата :

Използвайки това правило, статистиката може, в зависимост от настроението и желанието на своя „експерт“, да „удави“ или да „спаси“ ученик, получил 2 и 5 оценки на сесия. Какъв е неговият среден резултат?

Съдейки по средноаритметичната стойност, средният резултат е 3,5. Но ако деканът иска да „удави“ нещастния човек и изчислява средната хармонична стойност, тогава студентът остава средно губещ, който не е достигнал челната тройка.

Студентският съвет обаче може да възрази на декана и да представи средната кубатура . Студентът вече изглежда "добре" и дори кандидатства за стипендия.

Структурните средни стойности - мода и медиана - за разлика от средните мощности, които до голяма степен са абстрактна характеристика на популацията, действат като конкретни количества, които съвпадат с определени опцииинертни материали. Това ги прави незаменими при решаването на практически проблеми.

Мода- това е най-често срещаната стойност на атрибута в единици от тази съвкупност. За дискретна сериярежимът на разпределение се определя без изчисление, като се гледа колоната за честота и съответства на стойността на характеристиката с най-висока честота. От пример #1 най-висока честота f=20, което отговаря на 4-ти тарифен разряд, следователно М о =4.

За серия с интервално разпределение режимът се определя по формулата

където е долната граница на модалния интервал;

– стойността на модалния интервал;

– честоти на интервала, съответно предхождащ модалния, модален и следващ модалния.

Модалът съответства на интервала с най-висока честота.

Нека изчислим режима за пример № 2. Модалът съответства на интервала 130-140. За него , = 140-130=10, =20,

Най-често производителността на работниците е 134%, най-често планът е преизпълнен с 34%.

Медиана- стойността на характеристиката, която се намира в средата на класираната серия и я разделя наполовина. Класирана серия - серия, подредена във възходящ или низходящ ред на характеристика. За дискретни вариационна сериямедианата не се изчислява, а се определя чрез разглеждане на серията. Например за петима работници дневната норма на производство на части е съответно 10, 12, 15, 16 и 18 броя. аз е продукцията на третия служител и е равна на 15 части. При четен брой стойности на атрибути, медианата се приема като полусума от стойностите на атрибутите, заемащи средната стойност. Например, при 10 стойности, полусумата от 5-та и 6-та стойност на атрибута.

За интервална серия медианата се определя по формулата

където – долната граница на средния интервал;

– стойността на средния интервал;

– полусума от обема на вариационния ред;

– акумулирана честота на интервала, предхождащ медианата;

– честота на средния интервал.

Медианата е интервалът, съответстващ на половината от обема на серията. За да се намери средният интервал, е необходимо да се натрупват честоти, докато се намери интервал, съдържащ половината от обема на серията.

Нека изчислим медианата за пример № 2. Средният интервал е 120-130, т.к. кумулативната честота, съответстваща на него, съдържа половината от обема на серията. За него

– Половината от работниците отговарят на производителност под 129%, а другата половина от работниците изпълняват производителност над 129%.

Средната стойност отразява общото, което е характерно за всички единици от изследваната съвкупност. В същото време той балансира влиянието на всички фактори, действащи върху величината на атрибута на отделните единици от съвкупността, като че ли взаимно ги отменя.

Въпреки това, за да може средната стойност да отразява най-типичната стойност на даден признак, тя не трябва да се определя за каквито и да е популации, а само за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици. Това изискване е основното условие за научно обосновано прилагане на средните стойности на количествата и предполага тясна връзка между метода на средните стойности и метода на групирането при анализа на социално-икономическите явления.

Средната стойност е обобщаващ показател, който характеризира типичното ниво на променлив признак на единица от хомогенна съвкупност в конкретни условия на място и време.

Средната стойност, изчислена за съвкупността като цяло, се нарича обща средна стойност, средните стойности, изчислени за всяка група, се наричат групови средни стойности. Общата средна отразява общите черти на изследваното явление, груповата средна дава характеристика на размера на явлението, което се развива в специфичните условия на тази група.

В статистиката се използват различни видове средни стойности, които са разделени на два големи класа:

1) средни мощности (средно хармонично, средно геометрично, средно аритметично, средно квадратно, средно кубично);

2) структурни средни (мода, медиана).

Най-често срещаният тип средна стойност е средната аритметична. Проста формула за средна аритметична стойност:

Средно аритметично претеглено:

където x аз– варианти на осреднения признак; f - честота, която показва колко пъти i-тата стойност се среща в популацията.

Проста хармонична средна формула:

където x аз- отделни опции; n е броят на вариантите на осреднения признак. Средната проста геометрична стойност се изчислява по формулата:

Формулата за средното геометрично претеглено е:

Формула за среден квадрат:

Формула за среднопретеглен квадрат:

Средна кубична формула:

Средно кубично тегло:

3. Структурни средни: мода и медиана

Режимът е стойността на характеристика, която се среща най-често в дадена популация. По отношение на вариационните серии модата е най-често срещаната стойност на класираните серии. Той показва размера на признака, характерен за значителна част от населението, и се определя по формулата:

h е стойността на интервала;

f м– интервална честота;

f m-1– честота на предходния интервал;

f m+1– честота на следващия интервал.

Медианата е вариантът, разположен в центъра на класираната серия. Медианата разделя серията на две равни части по такъв начин, че от двете й страни да има еднакъв брой единици съвкупност. В същото време в половината от единиците на съвкупността стойността на променливия признак е по-малка от медианата, а в другата половина е по-голяма.

При определяне на медианата в интервални вариационни серии първо се определя интервалът, в който тя се намира (средният интервал). Този интервал се характеризира с факта, че неговата натрупана сума от честоти е равна или надвишава половината от сумата от всички честоти на серията. Изчисляването на медианата на интервалните вариационни серии се извършва по формулата:

където x0 е долната граница на интервала;

h е стойността на интервала;

f м– интервална честота;

f е броят на членовете на серията;

см- 1 - сумата от натрупаните членове на серията, предхождаща тази.

Наред с медианата, за по-пълно характеризиране на структурата на изследваната популация, се използват и други стойности на опциите, които заемат доста определена позиция в класираната серия. Те включват квартили и децили. Квартилите разделят серията от сумата от честотите на четири равни части, а децилите - на десет равни части. Има три квартила и девет децила.

Медианата и режимът, за разлика от средната аритметична стойност, не гасят индивидуалните разлики в стойностите на променлив атрибут и следователно са допълнителни и много важни характеристики на статистическа съвкупност. В практиката те често се използват вместо средно или заедно с него. Изчисляването на медианата и модата е особено целесъобразно в случаите, когато изследваната съвкупност съдържа определен брой единици с много голяма или много малка стойност на променливия атрибут.

Относителните размери на конструкцията са съотношението между размерите на частта и цялото. Те характеризират състава, структурата на населението. Форма за представяне - специфично теглоили проценти. Сумата от относителните стойности на структурата е равна на 1 или 100%. Разликата между съответните дялове на двете популации се нарича процентен пункт.

Абсолютни стойности в статистиката са броят на единиците и сумите за групи и за цялата съвкупност, които са пряк резултат от обобщаване и групиране на данни.

Абсолютните стойности са наименувани числа, тоест те имат свои собствени мерни единици (например парчета, тонове, гривни). Като част от абсолютните показатели се разграничават показатели за размера на съвкупността (брой предприятия) и обема на характеристиките (продукти, печалби). Има три групи измервателни уреди на функции - натурални, трудови и стойностни.

натурални метри отразяват присъщите явления физични свойства(мерки за тегло, дължина, време). Понякога се използват комбинирани единици, които са продукт на стойности с различни измерения (производство на електроенергия в kWh).

Не винаги е възможно да се получат абсолютни стойности директно чрез сумиране на стойностите на атрибута за отделни единици. В този случай отделните членове, включени в абсолютната стойност, водят до сравним израз. За това те често използват условно натурални метри. Така например, когато се изчислява количеството изразходвано гориво, различните му видове, в съответствие с тяхната калоричност, се изразяват в единици стандартно гориво, чиято калоричност е 7000 cal / kg.

Трудови метри (човек-час, човек-смяна) се използват при измерване на разходите за труд за производството на продукти или за изпълнението на индивидуални произведения, за определяне на производителността на труда и за измерване на трудовите ресурси.

Разходомери дават възможност за обобщаване и сравняване на различни явления. Те се използват при определяне ключови показатели, като оборот, печалба, капиталовложения.

Често абсолютната стойност на индикатора се изчислява по определено правило въз основа на други показатели. Например, брутната печалба се изчислява като разликата между брутния доход и брутните разходи.

Много абсолютни стойности са представени под формата на баланс, който предвижда изчисляването на показателя в два раздела: по източници на формиране (приходна част на баланса) и по направления на използване (разходна част). Възможно е и представяне на абсолютни показатели във вид на динамичен баланс. Например увеличението на броя на оборудването в едно предприятие за една година може да бъде представено като разликата между броя на оборудването в края и началото на годината или може да бъде представено като разликата между брой единици нововъведено и изведено от експлоатация оборудване.

Глава 4.3. Относителни стойности.

Показване на относителни стойности количествени отношениясоциално-икономически явления. Алгебрична форматова е частното от деленето на две количества с еднакви или противоположни имена. Знаменателят на съотношението се счита за база за сравнение или база на относителната стойност.

Базата за сравнение може да бъде 100, 1000, 10 000 или 100 000 единици. След това относителната стойност ще бъде изразена съответно като процент (%), в ppm (% o), продецимил (% oo), просантимил (% ooo).

Използват се относителни стойности с различно съдържание и характер.

Връзка между различни имена абсолютни стойностидава относителна стойностинтензивност . Това е наименована стойност, която съчетава единиците на числителя и знаменателя. Например производство на глава от населението. Стойностите на относителната интензивност характеризират степента на разпространение или развитие на дадено явление в определена среда. Те включват и демографски коефициенти (раждаемост, смъртност, интензивност на миграционните потоци), които се изчисляват чрез отношението на броя на събитията (смърт, раждане) за определен период от време към средно населениенаселение през същия период.

Сравнение съименник стойности ви позволява да изберете следните видовеотносителни стойности: структура, координация, динамика, планова задача, изпълнение на плана, сравнение на характеристиките на обекта.

Относителни стойности на координацията - това са връзките между отделните части на цялото или отношението на отделните части от съвкупността към една от тях, взети за база за сравнение. Например, броят на градските жители на 100 селски; броят на жените на 100 мъже. Тези стойности се изразяват като проценти, ppm или кратни (например има 114 жени на 100 мъже).

За да оцените интензивността на развитие, използвайте относителната величина на динамиката, което се изчислява като съотношение на нивата на изследваното явление за два периода.

Относителни сравнителни стойности се изчисляват като съотношения на сходни показатели, характеризиращи различни обекти или територии и имащи еднаква времева сигурност.

Някои процеси се планират и за показателите, които ги отразяват, се поставят планови цели. Чрез сравняване на планираните и действителните стойности на показателите се изчисляват относителните стойности: цел на плана и изпълнение на плана.

Ако обозначим действителното ниво на текущия период y1, база y0и планирано ниво ypl, след това относителната стойност:

Kd= y1 / y0,

2) планирана задача

Kpz \u003d ypl / y0,

3) изпълнение на плана

Kvp \u003d y1 / ypl .

Глава 4.4. Видове и форми на средните стойности.

Средна стойностНаречен статистика, което дава обобщено описание на вариращия признак на еднородни единици от съвкупността в конкретни условия на място и време. Стойността на средната характеризира цялата съвкупност и я характеризира по отношение на даден признак.

средна стойностотразява общото, което е присъщо на всички единици от изследваната съвкупност.

Така например средната заплатадава обобщаваща количествена характеристика на състоянието на заплащане на разглежданата съвкупност от работници.

Същността на средатасе крие във факта, че взаимно се изплаща случайни отклоненияхарактерни стойности и отчита промените, причинени от основния фактор.

Статистическа обработкаметодът на средните стойности е да се заменят отделните стойности на променливия атрибут с някаква балансирана средна стойност X.

Например, индивидуалната продукция на 5 оператора на търговска банка на ден е 136, 140, 154 и 162 операции. За да получите средния брой транзакции на ден, извършени от един касиер, трябва да съберете тези индивидуални показатели и да разделите получената сума на броя на касиерите:

Както се вижда от горния пример, средният брой транзакции не съвпада с нито една от отделните, тъй като нито един оператор не е направил 150 транзакции. Но ако си представим, че всеки оператор е извършил 150 операции, тогава те обща суманяма да се промени, но също ще бъде равно на 750. Така стигнахме до основното свойство на средните стойности: сумата от отделните стойности на атрибута е равна на сумата от средните стойности.

Това свойство още веднъж подчертава, че средната стойност е обобщаваща характеристика на цялата статистическа съвкупност.

Средните стойности са разделени на два големи класа:

Средни мощности:

Аритметика

хармоничен

Геометричен

квадратна

Структурни средни стойности:

Мода

Медиана

Най-често срещаният тип средна стойност е средната аритметична стойност:

просто аритметично средно

Средно аритметично претеглено

Средно аритметично за интервална серия.

Средно просто аритметичнопредставлява средният термин, при определянето на който общият обем на даден атрибут в набора от данни е равномерно разпределен между всички единици, включени в този.

И така, средната годишна продукция на работник е количеството продукция, която би паднала на всеки служител, ако целият обем продукция беше равномерно разпределен между всички служители на организацията. Средноаритметичната проста стойност се изчислява по формулата.