Сумата от първите 100 числа от аритметична прогресия. Формулата за сбора на членовете на крайна аритметична прогресия

В този урок ще изведем формулата за сумата от членовете на крайна аритметична прогресия и ще решим някои задачи с помощта на тази формула.

Тема: Прогресии

Урок: Формулата за сбора на членовете на крайна аритметична прогресия

1. Въведение

Разгледайте задачата: намерете сбора на естествените числа от 1 до 100 включително.

Дадени са: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

Намерете: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Решение: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Отговор: 5050.

Редицата от естествени числа 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 е аритметична прогресия: a1=1, d=1.

Намерихме сумата на първите сто естествени числа, т.е. сумата на първите n членове на аритметична прогресия.

Разглежданото решение е предложено от великия математик Карл Фридрих Гаус, живял през 19 век. Проблемът е решен от него на 5-годишна възраст.

Историческа справка:Йохан Карл Фридрих Гаус (1777 - 1855) - немски математик, механик, физик и астроном. Смятан за един от най-великите математици на всички времена, „краля на математиците“. Лауреат на медала Копли (1838), чуждестранен член на Шведската (1821) и Руската (1824) академии на науките, на Английското кралско общество. Според легендата, училищен учител по математика, за да занимава децата за дълго време, им предложил да изчислят сбора на числата от 1 до 100. Младият Гаус забелязал, че сумите по двойки от противоположности към противоположности са еднакви: 1+100 =101, 2+99=101 и т.н. и незабавно получих резултата: 101x50=5050.

2. Извеждане на формулата за сумата от първите n члена на аритметичната прогресия

Помислете за подобен проблем за произволна аритметична прогресия.

Намерете: сумата от първите n членове на аритметична прогресия.

Нека покажем, че всички изрази в скоби са равни един на друг, а именно на израза . Нека d е разликата на аритметична прогресия. Тогава:

И т. н. Следователно можем да напишем:

Откъде намираме формулата за сбора на първите n членове на аритметична прогресия:

3. Решаване на задачи за прилагане на формулата за сумата от първите n членове на аритметичната прогресия

1. Решете задачата за сумата на естествените числа от 1 до 100, като използвате формулата за сумата на първите n членове на аритметична прогресия:

Решение: a1=1, d=1, n=100.

Обща формула:

В нашия случай:.

Отговор: 5050.

Обща формула:

. Нека намерим по формулата n-тия член на аритметичната прогресия: .

В нашия случай:.

За да намерите, първо трябва да намерите.

Това може да стане с помощта на общата формула .Първо, приложете тази формула, за да намерите разликата на аритметична прогресия.

т.е. . Средства .

Сега можем да намерим.

Използване на формулата за сумата от първите n членове на аритметична прогресия

, да намерим .

4. Извеждане на втората формула за сумата от първите n члена на аритметична прогресия

Получаваме втората формула за сумата от първите n членове на аритметична прогресия, а именно: доказваме, че .

Доказателство:

Във формулата за сумата от първите n членове на аритметична прогресия нека заместим израза за , а именно . Получаваме: , т.е. . Q.E.D.

Нека анализираме получените формули. За изчисления по първата формула трябва да знаете първия член, последния член и n по втората формула - трябва да знаете първия член, разликата и n.

И накрая, имайте предвид, че във всеки случай Sn е квадратична функция на n, защото .

5. Решаване на задачи за прилагане на втората формула за сумата от първите n членове на аритметичната прогресия

Обща формула:

В нашия случай:.

Отговор: 403.

2. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, кратни на 4.

(12; 16; 20; ...; 96) - набор от числа, които удовлетворяват условието на задачата.

Така че имаме аритметична прогресия.

n намерете от формулата за:.

т.е. . Средства .

Използване на втората формула за сумата от първите n члена на аритметична прогресия

, да намерим .

Изисква се да се намери сумата на всички членове от 10-ти до 25-ти включително.

Един от начините за решаването му е следният:

Следователно,.

6. Обобщение на урока

И така, извели сме формули за сумата от членове на крайна аритметична прогресия. Тези формули са използвани за решаване на някои проблеми.

В следващия урок ще се запознаем с характерното свойство на аритметичната прогресия.

1. Макаричев Ю. Н. и др. Алгебра 9 клас (учебник за средно училище).-М .: Образование, 1992.

2. Макаричев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра за 9 клас със задълбочаване. проучване математика.-М .: Мнемозина, 2003.

3. Макаричев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Допълнителни глави към училищния учебник по алгебра 9 клас.-М .: Образование, 2002.

4. Галицки М. Л., Голдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задачи по алгебра за 8-9 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика). - М .: Образование, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 клас, учебник за общообразователни институции. - М .: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г., Мишутина Т. Н., Тулчинская Е. Е. Алгебра 9 клас, книга с проблеми за образователни институции. - М .: Мнемозина, 2002.

7. Глейзър Г. И. История на математиката в училище. 7-8 клас (ръководство за учители).-М .: Просвещение, 1983.

1. Колежна секция. ru по математика.

2. Портал за природни науки.

3. Експоненциален. ru Образователен математически сайт.

1. № 362, 371, 377, 382 (Макаричев Ю. Н. и др. Алгебра 9 клас).

2. № 12.96 (Галицки М. Л., Голдман А. М., Звавич Л. И. Сборник от проблеми по алгебра за 8-9 клас).

При изучаването на алгебра в средното училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови редици, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се даде определение на разглежданата прогресия, както и да се дадат основните формули, които ще бъдат използвани по-нататък при решаването на проблеми.

Аритметична или алгебрична прогресия е такъв набор от подредени рационални числа, всеки член на който се различава от предходния с някаква постоянна сума. Тази стойност се нарича разлика. Тоест, познавайки всеки член на подредена серия от числа и разликата, можете да възстановите цялата аритметична прогресия.

Да вземем пример. Следващата последователност от числа ще бъде аритметична прогресия: 4, 8, 12, 16, ..., тъй като разликата в този случай е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но наборът от числа 3, 5, 8, 12, 17 вече не може да се припише на разглеждания тип прогресия, тъй като разликата за него не е постоянна стойност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега даваме основните формули, които ще са необходими за решаване на проблеми с помощта на аритметична прогресия. Нека n означава n-тия член на редицата, където n е цяло число. Разликата се обозначава с латинската буква d. Тогава са верни следните изрази:

За определяне на стойността на n-тия член е подходяща формулата: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
За да се определи сумата от първите n члена: S n = (a n + a 1)*n/2.

За да разберете всички примери за аритметична прогресия с решение в 9 клас, достатъчно е да запомните тези две формули, тъй като всички проблеми от разглеждания тип се основават на тяхното използване. Освен това не забравяйте, че разликата в прогресията се определя по формулата: d = a n - a n-1 .

Пример #1: Намиране на неизвестен член

Даваме прост пример за аритметична прогресия и формулите, които трябва да се използват за решаване.

Нека е дадена редицата 10, 8, 6, 4, ..., необходимо е да се намерят пет члена в нея.

От условията на задачата вече следва, че първите 4 члена са известни. Петият може да се дефинира по два начина:

Нека първо изчислим разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. По подобен начин може да се вземат всеки два други термина, стоящи един до друг. Например d = 4 - 6 = -2. Тъй като е известно, че d \u003d a n - a n-1, тогава d \u003d a 5 - a 4, откъдето получаваме: a 5 \u003d a 4 + d. Заменяме известните стойности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Вторият метод също изисква познаване на разликата във въпросната прогресия, така че първо трябва да я определите, както е показано по-горе (d = -2). Знаейки, че първият член a 1 = 10, използваме формулата за числото n на редицата. Имаме: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Като заместим n = 5 в последния израз, получаваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Както можете да видите, и двете решения водят до един и същ резултат. Обърнете внимание, че в този пример разликата d на прогресията е отрицателна. Такива последователности се наричат намаляващи, защото всеки следващ член е по-малък от предходния.

Пример #2: разлика в прогресията

Сега нека усложним малко задачата, дайте пример как

Известно е, че в някои първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Заменяме известните данни от условието в него, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) / 6 = 2. Така първата част от задачата е решена.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 и 7 = 18.

Пример #3: извършване на прогресия

Нека усложним още повече условието на задачата. Сега трябва да отговорите на въпроса как да намерите аритметична прогресия. Можем да дадем следния пример: дадени са две числа, например 4 и 5. Необходимо е да се направи алгебрична прогресия, така че между тях да се поберат още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, е необходимо да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като ще има още три термина между тях, след това 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. След като установихме това, преминаваме към задача, подобна на предишната. Отново за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. От: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Тук разликата не е цяло число, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, което съвпадаше с условието на задачата.

Пример #4: Първият член на прогресията

Продължаваме да даваме примери за аритметична прогресия с решение. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега разгледайте задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери от кое число започва тази редица.

Формулите, които са използвани досега, предполагат познаване на 1 и d. За тези числа в условието на задачата не се знае нищо. Въпреки това, нека напишем изразите за всеки член, за който имаме информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Посочената система е най-лесна за решаване, ако изразите 1 във всяко уравнение и след това сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, откъдето разликата d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (дадени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ако има съмнения относно резултата, можете да го проверите, например да определите 43-ия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Малка грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример #5: Сума

Сега нека да разгледаме някои примери с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии този проблем може да бъде решен, тоест последователно да се съберат всички числа, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопитно е да се отбележи, че тази задача се нарича "Гаусова", тъй като в началото на 18 век известният германец, едва 10-годишен, успява да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сумата на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако съберете двойки числа, разположени в краищата на редицата, винаги получавате един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава, за да получите правилния отговор, е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример #6: сбор от членове от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите каква ще бъде сумата от нейните членове от 8 до 14.

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това последователното им сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е достатъчно трудоемък. Въпреки това се предлага да се реши този проблем чрез втория метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебрична прогресия между членове m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая записваме два израза за сумата:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че сумата 2 включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), тогава получаваме необходимия отговор на проблема. Имаме: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаването на израза за n-тия член и формулата за сумата от множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво искате да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпроса, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например в примера за аритметична прогресия с решение № 6 може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и разбийте общата задача на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако има съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Разбрахме как да намерим аритметична прогресия. След като го разберете, не е толкова трудно.

Сумата от аритметична прогресия.

Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От елементарно до доста солидно.

Първо, нека да разгледаме значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мъка. За да намерите сумата на една аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много или много ... добавянето е досадно.) В този случай формулата спестява.

Формулата за сумиране е проста:

Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много.

S n е сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всичкочленове, с първиНа последно.Важно е. Съберете точно всичкочленове подред, без пропуски и скокове. И точно, започвайки от първи.При проблеми като намирането на сумата от третия и осмия член или сбора от членовете от пет до двадесети, директното прилагане на формулата ще бъде разочароващо.)

а 1 - първиятчлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.

a n- последночлен на прогресията. Последното число на реда. Името не е много познато, но приложено към количеството е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.

н е номерът на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените членове.

Нека дефинираме понятието последночлен a n. Въпрос за попълване: какъв член ще последно,ако е дадено безкраенаритметична прогресия?

За уверен отговор трябва да разберете елементарното значение на аритметичната прогресия и ... прочетете внимателно заданието!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе ограничена, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение какъв вид прогресия е дадена: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: чрез поредица от числа или чрез формулата на n-тия член.

Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. н, се определя единствено от задачата. В задачата цялата тази ценна информация често е криптирана, да ... Но нищо, в примерите по-долу ще разкрием тези тайни.)

Примерни задачи за сбор от аритметична прогресия.

Първо полезна информация:

Основната трудност при задачите за сумата от аритметична прогресия е правилното определяне на елементите на формулата.

Авторите на задачите шифроват тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека да разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.

Добра работа. Лесно.) За да определим количеството по формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния термин н.

Къде да вземем последния членски номер н? Да, на същото място, в състоянието! Пише намерете сумата първите 10 членове.Ами кой номер ще е последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nще заместим във формулата а 10, но вместо това н- десет. Отново, номерът на последния член е същият като броя на членовете.

Остава да се определи а 1и а 10. Това се изчислява лесно по формулата на n-тия член, която е дадена в постановката на задачата. Не знаете как да го направите? Посетете предишния урок, без този - нищо.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Открихме значението на всички елементи на формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава да ги замените и да преброите:

Това е всичко. Отговор: 75.

Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:

2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; a 1 \u003d 2.3. Намерете сумата на първите 15 члена.

Веднага записваме формулата за сумата:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член по неговия номер. Търсим проста замяна:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Остава да заменим всички елементи във формулата за сумата от аритметична прогресия и да изчислим отговора:

Отговор: 423.

Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nпросто заместваме формулата на n-тия член, получаваме:

Даваме подобни, получаваме нова формула за сбора на членовете на аритметична прогресия:

Както можете да видите, n-тият член не е необходим тук. a n. В някои задачи тази формула помага много, да ... Можете да запомните тази формула. И можете просто да го изтеглите в точното време, както тук. В крайна сметка формулата за сумата и формулата за n-тия член трябва да се запомнят по всякакъв начин.)

Сега задачата под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сбора на всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.

Как! Без първи член, без последен, без прогресия изобщо... Как да живея!?

Ще трябва да помислите с главата си и да извадите от условието всички елементи на сумата на аритметичната прогресия. Какво представляват двуцифрените числа - знаем. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще първи? 10, вероятно.) последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...

Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят равномерно на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да напишете серия според условието на проблема:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Разбира се! Всеки термин се различава от предишния строго с три. Ако 2 или 4 се добави към термина, да речем, резултатът, т.е. ново число вече няма да се дели на 3. Можете веднага да определите разликата на аритметичната прогресия към купчината: d = 3.Полезен!)

Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:

Какъв ще е номерът нпоследен член? Който си мисли, че 99, греши фатално... Числата – те винаги вървят подред, а нашите членове прескачат тройката. Те не съвпадат.

Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да нарисувате прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако формулата се приложи към нашия проблем, получаваме, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.

Разглеждаме формулата за сумата от аритметична прогресия:

Гледаме и се радваме.) Извадихме всичко необходимо за изчисляване на сумата от условието на проблема:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Остава елементарна аритметика. Заменете числата във формулата и изчислете:

Отговор: 1665

Друг вид популярни пъзели:

4. Дадена е аритметична прогресия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четвърти.

Гледаме формулата на сумата и ... сме разстроени.) Формулата, нека ви напомня, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.

Можете, разбира се, да нарисувате цялата прогресия в ред и да поставите членовете от 20 до 34. Но ... някак си се оказва глупаво и за дълго време, нали?)

Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще от първия мандат до деветнадесетия.Втора част - двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го добавим към сбора на членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. Като този:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Това показва, че за намиране на сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Разглеждат се и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Започваме ли?

Извличаме параметрите на прогресията от условието на задачата:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Преброяваме ги по формулата на n-ия член, както в задача 2:

а 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

а 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Нищо не остана. Извадете сбора на 19 члена от сбора на 34 члена:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Отговор: 262,5

Една важна забележка! Има много полезна функция за решаване на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме какво, изглежда, не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляйки ненужното от пълния резултат. Такъв „финт с ушите“ често спестява в зли пъзели.)

В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)

Практически съвети:

Когато решавате каквато и да е задача за сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.

Формула на n-тия член:

Тези формули веднага ще ви кажат какво да търсите, в каква посока да мислите, за да разрешите проблема. Помага.

А сега задачите за самостоятелно решаване.

5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.

Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия се дава от условието: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.

Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива пъзели често се срещат в GIA.

7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на най-любимия човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден и похарчете с 50 рубли повече на всеки следващ ден, отколкото на предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?

Трудно ли е?) Ще помогне допълнителна формула от задача 2.

Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Тип урок:изучаване на нов материал.

Цели на урока:

разширяване и задълбочаване на представите на учениците за задачи, решавани с помощта на аритметична прогресия; организация на търсещата дейност на учениците при извеждане на формулата за сумата от първите n членове на аритметична прогресия;
развитие на умения за самостоятелно придобиване на нови знания, използване на вече придобити знания за постигане на задачата;
развитие на желанието и потребността от обобщаване на получените факти, развитие на независимост.

Задачи:

обобщават и систематизират съществуващите знания по темата „Аритметична прогресия“;
извежда формули за изчисляване на сумата от първите n членове на аритметична прогресия;
научи как да прилага получените формули при решаване на различни проблеми;
насочете вниманието на учениците към процедурата за намиране на стойността на числов израз.

Оборудване:

карти със задачи за работа в групи и по двойки;
оценителна хартия;
представяне„Аритметична прогресия“.

I. Актуализиране на опорни знания.

1. Самостоятелна работа по двойки.

1-ви вариант:

Дефинирайте аритметична прогресия. Запишете рекурсивна формула, която дефинира аритметична прогресия. Дайте пример за аритметична прогресия и посочете нейната разлика.

2-ри вариант:

Запишете формулата за n-тия член на аритметична прогресия. Намерете 100-ия член на аритметична прогресия ( a n}: 2, 5, 8 …
В това време двама ученика на гърба на дъската подготвят отговори на едни и същи въпроси.
Учениците оценяват работата на партньора, като я сравняват с дъската. (Връчват се листовки с отговори).

2. Игрови момент.

Упражнение 1.

Учител.Замислих някаква аритметична прогресия. Задайте ми само два въпроса, така че след отговорите да можете бързо да посочите 7-ия член на тази прогресия. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Въпроси от студенти.

Какъв е шестият член на прогресията и каква е разликата?
Какъв е осмият член на прогресията и каква е разликата?

Ако няма повече въпроси, тогава учителят може да ги стимулира - „забрана“ на d (разлика), тоест не е позволено да питате каква е разликата. Можете да задавате въпроси: какъв е 6-ият член на прогресията и какъв е 8-ият член на прогресията?

Задача 2.

На дъската са написани 20 числа: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Учителят стои с гръб към дъската. Учениците казват номера на номера, а учителят веднага извиква самия номер. Обяснете как мога да го направя?

Учителят помни формулата на n-тия член a n \u003d 3n - 2и, замествайки дадените стойности на n, намира съответните стойности a n .

II. Постановка на учебната задача.

Предлагам да разрешим един стар проблем, датиращ от 2-ро хилядолетие пр.н.е., намерен в египетски папируси.

Задача:„Нека ви се каже: разделете 10 мери ечемик между 10 души, разликата между всеки човек и неговия съсед е 1/8 от мярката.“

Как този проблем е свързан с темата за аритметичната прогресия? (Всеки следващ човек получава 1/8 от мярката повече, така че разликата е d=1/8, 10 души, така че n=10.)
Какво мислите, че означава числото 10? (Сумата от всички членове на прогресията.)
Какво друго трябва да знаете, за да можете лесно и лесно да разделите ечемика според състоянието на проблема? (Първият член на прогресията.)

Цел на урока- получаване на зависимостта на сумата от членовете на прогресията от техния брой, първия член и разликата и проверка дали задачата е решена правилно в древността.

Преди да изведем формулата, нека видим как древните египтяни са решили проблема.

И го решиха така:

1) 10 мерки: 10 = 1 мярка - среден дял;
2) 1 такта ∙ = 2 такта - удвоено средно аритметичнодял.
удвоени средно аритметичноделът е сбор от дяловете на 5-то и 6-то лице.
3) 2 такта - 1/8 такт = 1 7/8 такт - удвоен дял на петото лице.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - делът на петата; и така нататък, можете да намерите дела на всеки предишен и следващ човек.

Получаваме последователността:

III. Решението на задачата.

1. Работа в групи

1-ва група:Намерете сбора на 20 последователни естествени числа: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Общо взето

II група:Намерете сбора на естествените числа от 1 до 100 (Легенда за малкия Гаус).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Заключение:

III група:Намерете сбора на естествените числа от 1 до 21.

Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Заключение:

IV група:Намерете сбора на естествените числа от 1 до 101.

Заключение:

Този метод за решаване на разглежданите проблеми се нарича "метод на Гаус".

2. Всяка група представя решението на задачата на дъската.

3. Обобщение на предложените решения за произволна аритметична прогресия:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Намираме тази сума, като аргументираме по подобен начин:

4. Решихме ли задачата?(Да.)

IV. Първично разбиране и прилагане на получените формули при решаване на задачи.

1. Проверка на решението на стара задача по формулата.

2. Приложение на формулата при решаване на различни задачи.

3. Упражнения за формиране на способност за прилагане на формулата при решаване на задачи.

А) № 613

дадено :( и n) -аритметична прогресия;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Намирам: S 1500

Решение: , и 1 = 1 и 1500 = 1500,

B) Като се има предвид: ( и n) -аритметична прогресия;
(и n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Намирам: н
Решение:

V. Самостоятелна работа с взаимопроверка.

Денис отиде да работи като куриер. През първия месец заплатата му беше 200 рубли, през всеки следващ месец се увеличаваше с 30 рубли. Колко спечели за една година?

дадено :( и n) -аритметична прогресия;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Намирам: S 12
Решение:

Отговор: Денис получи 4380 рубли за годината.

VI. Инструкция за домашна работа.

стр. 4.3 - научете извеждането на формулата.
№№ 585, 623 .
Съставете задача, която ще бъде решена с помощта на формулата за сумата от първите n члена на аритметична прогресия.

VII. Обобщаване на урока.

1. Лист с резултати

2. Продължете изреченията

Днес в час научих...
Научени формули...
Мисля, че …

3. Можете ли да намерите сбора на числата от 1 до 500? Какъв метод ще използвате за решаване на този проблем?

Библиография.

1. Алгебра 9 клас. Учебник за образователни институции. Изд. Г.В. Дорофеева.Москва: Просвещение, 2009 г.

ЧИСЛОВИ ПОРЕДИЦИ VI

§ 144. Сборът от членовете на аритметична прогресия

Казват, че веднъж учител в началното училище, който искаше да заеме класа за дълго време със самостоятелна работа, даде на децата „трудна“ задача - да изчислят сумата от всички естествени числа от 1 до 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Един от учениците веднага предложи решение. Ето го.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 пъти

Това беше Карл Гаус, който по-късно стана един от най-известните математици в света*.

*Подобен случай с Гаус наистина имаше. Тук обаче е много опростено. Предложените от учителя числа бяха петцифрени и представляваха аритметична прогресия с трицифрена разлика.

Идеята за такова решение може да се използва за намиране на сумата от членовете на всяка аритметична прогресия.

Лема.Сборът от два члена на крайна аритметична прогресия, еднакво отдалечени от краищата, е равен на сбора от екстремните членове.

Например в крайна аритметична прогресия

1, 2, 3.....98, 99, 100

членове 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97 и т.н. са на еднакво разстояние от краищата на тази прогресия. Следователно техните сборове 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 са равни на сбора от крайните членове 1 + 100.

Доказателство на лемата. Пуснете крайна аритметична прогресия

а 1 , а 2 , ..., а н - 1 , а н

всеки два члена са еднакво отдалечени от краищата. Да приемем, че един от тях е такъв к -ти член отляво, т.е а к , и другият - к тия термин отдясно, т.е. а н -k+ един . Тогава

а к + а н -k+ 1 =[а 1 + (к - 1)д ] + [а 1 + (n - k )д ] = 2а 1 + (н - 1)д .

Сборът от най-крайните членове на тази прогресия е равен на

а 1 + а н = а 1 + [а 1 + (н - 1)д ] = 2а 1 + (н - 1)д .

По този начин,

а к + а н -k+ 1 = а 1 + а н

Q.E.D.

Използвайки току-що доказаната лема, е лесно да се получи обща формула за сумата П членове на всяка аритметична прогресия.

С н = а 1 +а 2 + ...+ а н - 1 + а н

С н = а н + а н - 1 + ... + а 2 + а 1 .

Събирайки тези две равенства член по член, получаваме:

2S н = (а 1 +а н ) + (а 2 +а н - 1)+...+(а н - 1 +а 2) + (а н +а 1)

а 1 +а н = а 2 +а н - 1 = а 3 +а н - 2 =... .

2S н = н (а 1 +а н ),

Сумата от членовете на крайна аритметична прогресия е равна на произведението на половината от сумата на крайните членове и броя на всички членове.

По-специално,

Упражнения

971. Намерете сбора на всички нечетни трицифрени числа.

972. Колко удара ще направи часовникът за един ден, ако отбива само броя цели часове?

973. Какъв е сборът на първия П естествени числа?

974. Изведете формулата за дължината на пътя, изминат от тялото при равномерно ускорено движение:

където v 0 - начална скорост в м/сек , а - ускорение в м/сек 2 , T - време за пътуване сек.

975. Намерете сумата от всички несъкратими дроби със знаменател 3 между цели положителни числа T и П (T< п ).

976. Един работник поддържа 16 стана, които работят автоматично. Производителност на машина а м/ч. Работникът пуснал първата машина в 7 ч, а всеки следващ по 5 минпо-късно от предишния. Разберете изхода в метри за първите 2 чработа.

977. Решете уравнения:

а) 1 + 7 + 13 + ... + х = 280;

б) ( х + 1) + (х + 4) + (х + 7) +...+ (х + 28) = 155

978. От 1 юли до 12 юли включително температурата на въздуха се повишава дневно средно с 1/2 градуса. Като знаете, че средната температура през това време се оказа 18 3/4 градуса, определете каква е била температурата на въздуха на 1 юли.

979. Намерете аритметична прогресия, чиято средна аритметична П първите условия за всеки П равен на техния брой.

980. Намерете сумата от първите двадесет члена на аритметична прогресия, в която

а 6 + а 9 + а 12 + а 15 = 20.