Таблица със степенни функции на свойства и графики. Силова функция

Функция къде х- променлива, А- извиква се даден номер степенна функция .

Ако then е линейна функция, нейната графика е права линия (вижте Раздел 4.3, Фигура 4.7).

Ако then е квадратична функция, нейната графика е парабола (вижте Раздел 4.3, Фигура 4.8).

Ако тогава неговата графика е кубична парабола (вижте Раздел 4.3, Фигура 4.9).

Силова функция

Това е обратната функция за

1. Домейн:

2. Множество стойности:

3. Четно и нечетно:странна функция.

4. Периодичност на функцията:непериодични.

5. Функционални нули: х= 0 е единствената нула.

6. Функцията няма максимална или минимална стойност.

8. Функционална графикаСиметрична на графиката на кубична парабола спрямо права линия Y=хи показано на фиг. 5.1.

Силова функция

1. Домейн:

2. Множество стойности:

3. Четно и нечетно:функцията е четна.

4. Периодичност на функцията:непериодични.

5. Функционални нули:единична нула х = 0.

6. Най-големите и най-малките стойности на функцията:приема най-малката стойност за х= 0, то е равно на 0.

7. Възходящи и низходящи интервали:функцията е намаляваща на интервала и нарастваща на интервала

8. Функционална графика(за всеки н Î н) "изглежда" като графика на квадратна парабола (графиките на функциите са показани на фиг. 5.2).

Силова функция

1. Домейн:

2. Множество стойности:

3. Четно и нечетно:странна функция.

4. Периодичност на функцията:непериодични.

5. Функционални нули: х= 0 е единствената нула.

6. Максимални и минимални стойности:

7. Възходящи и низходящи интервали:функцията нараства в цялата област на дефиниция.

8. Функционална графика(за всеки ) "изглежда" като графика на кубична парабола (функционалните графики са показани на фиг. 5.3).

Силова функция

1. Домейн:

2. Множество стойности:

3. Четно и нечетно:странна функция.

4. Периодичност на функцията:непериодични.

5. Функционални нули:няма нули.

6. Най-големите и най-малките стойности на функцията:функцията няма най-големите и най-малките стойности за никоя

7. Възходящи и низходящи интервали:функцията е намаляваща в областта на дефиниция.

8. Асимптоти:(ос OU) е вертикалната асимптота;

(ос о) е хоризонталната асимптота.

9. Функционална графика(за всеки н) "изглежда" като графика на хипербола (графиките на функциите са показани на фиг. 5.4).

Силова функция

1. Домейн:

2. Множество стойности:

3. Четно и нечетно:функцията е четна.

4. Периодичност на функцията:непериодични.

5. Най-големите и най-малките стойности на функцията:функцията няма най-големите и най-малките стойности за никоя

6. Възходящи и низходящи интервали:функцията нараства на и намалява на

7. Асимптоти: х= 0 (ос OU) е вертикалната асимптота;

Y= 0 (ос о) е хоризонталната асимптота.

8. Функционални графикиСа квадратни хиперболи (фиг. 5.5).

Силова функция

1. Домейн:

2. Множество стойности:

3. Четно и нечетно:функцията няма свойството четно и нечетно.

4. Периодичност на функцията:непериодични.

5. Функционални нули: х= 0 е единствената нула.

6. Най-големите и най-малките стойности на функцията:най-малката стойност, равна на 0, функцията приема в точката х= 0; няма най-голямо значение.

7. Възходящи и низходящи интервали:функцията нараства в цялата област на дефиниция.

8. Всяка такава функция с определен индикатор е обратна на предоставената функция

9. Функционална графика"изглежда" като графика на функция за всяка ни показано на фиг. 5.6.

Силова функция

1. Домейн:

2. Множество стойности:

3. Четно и нечетно:странна функция.

4. Периодичност на функцията:непериодични.

5. Функционални нули: х= 0 е единствената нула.

7. Възходящи и низходящи интервали:функцията нараства в цялата област на дефиниция.

8. Функционална графикаПоказано на фиг. 5.7.

Степенна функция, нейните свойства и графика Демонстрационен материал Урок-лекция Понятие за функция. Функционални свойства. Степенна функция, нейните свойства и графика. 10 клас Всички права запазени. Авторско право с Авторско право със

Ход на урока: Повторение. функция. Функционални свойства. Учене на нов материал. 1. Дефиниция на степенна функция Дефиниция на степенна функция. 2. Свойства и графики на степенни функции Свойства и графики на степенни функции. Затвърдяване на изучения материал. Устно броене. Устно броене. Обобщение на урока. Домашни. Домашни.

Домейн и диапазон на функцията Всички стойности на независимата променлива формират домейна на функцията x y=f(x) f Домейн на функцията Домейн на функцията Всички стойности, които зависимата променлива приема, формират домейна на функцията функция. Функционални свойства

Графика на функция Нека е дадена функция, където xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Графиката на функция е множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абциси са равни на стойностите на аргумента, и ординатите са равни на съответните стойности на функцията. функция. Функционални свойства

Y x Област на дефиниция и обхват на функцията 4 y=f(x) Област на функцията: Област на функцията: Функция. Функционални свойства

Четна функция y x y=f(x) Графиката на четна функция е симетрична по отношение на оста y Функцията y=f(x) се извиква дори ако f(-x) = f(x) за всяко x от домейна на функцията Функция. Функционални свойства

Нечетна функция y x y \u003d f (x) Графиката на нечетната функция е симетрична спрямо началото O (0; 0) Функцията y = f (x) се нарича нечетна, ако f (-x) \u003d -f (x ) за всяко x от дефинициите на регионалната функция Функция. Функционални свойства

Дефиниция на степенна функция Функция, където p е дадено реално число, се нарича степенна функция. p y \u003d x p P \u003d x y 0 Напредък на урока

Степенна функция x y 1. Домейнът на дефиниция и домейнът на стойностите на степенните функции от формата, където n е естествено число, са всички реални числа. 2. Тези функции са странни. Тяхната графика е симетрична спрямо началото. Свойства и диаграми на степенна функция

Степенни функции с рационален положителен показател Областта на дефиниция са всички положителни числа и числото 0. Обхватът на функциите с такъв показател също е всички положителни числа и числото 0. Тези функции не са нито четни, нито нечетни. y x Свойства и графики на степенната функция

Степенна функция с рационален отрицателен показател. Домейнът на дефиниция и диапазонът на такива функции са всички положителни числа. Функциите не са нито четни, нито нечетни. Такива функции намаляват в цялата им област на дефиниране. y x Свойства и графики на степенната функция Ход на урока

Припомнете си свойствата и графиките на степенните функции с цяло отрицателно число.

За четно n, :

Пример за функция:

Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;1). Характеристика на функции от този тип е тяхната четност, графиките са симетрични по отношение на оста op-y.

Ориз. 1. Графика на функция

За нечетно n, :

Пример за функция:

Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;-1). Характеристика на функциите от този тип е тяхната нечетност, графиките са симетрични по отношение на произхода.

Ориз. 2. Функционална графика

Нека си припомним основното определение.

Степента на неотрицателно число a с рационален положителен показател се нарича число.

Степента на положително число a с рационален отрицателен показател се нарича число.

За важи следното равенство:

Например: ; - изразът не съществува по дефиниция на степен с отрицателен рационален показател; съществува, тъй като показателят е цяло число,

Нека се обърнем към разглеждането на степенни функции с рационален отрицателен показател.

Например:

За да начертаете тази функция, можете да направите таблица. Ние ще направим друго: първо ще изградим и проучим графиката на знаменателя - ние го знаем (Фигура 3).

Ориз. 3. Графика на функция

Графиката на функцията знаменател минава през фиксирана точка (1;1). При конструирането на графика на оригиналната функция тази точка остава, когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 4).

Ориз. 4. Функционална графика

Помислете за още една функция от семейството на изследваните функции.

Важно е, че по дефиниция

Разгледайте графиката на функцията в знаменателя: , знаем графиката на тази функция, тя нараства в своята област на дефиниране и преминава през точката (1; 1) (Фигура 5).

Ориз. 5. Функционална графика

При конструирането на графика на оригиналната функция остава точката (1; 1), когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 6).

Ориз. 6. Функционална графика

Разгледаните примери помагат да се разбере как върви графиката и какви са свойствата на изследваната функция - функция с отрицателен рационален показател.

Графиките на функции от това семейство минават през точката (1;1), функцията намалява по цялата област на дефиниция.

Обхват на функцията:

Функцията не е ограничена отгоре, а е ограничена отдолу. Функцията няма нито максимална, нито минимална стойност.

Функцията е непрекъсната, приема всички положителни стойности от нула до плюс безкрайност.

Функция Convex Down (Фигура 15.7)

На кривата се вземат точки A и B, през тях се прекарва сегмент, цялата крива е под сегмента, това условие е изпълнено за произволни две точки на кривата, следователно функцията е изпъкнала надолу. Ориз. 7.

Ориз. 7. Изпъкналост на функция

Важно е да се разбере, че функциите на това семейство са ограничени отдолу с нула, но те нямат най-малката стойност.

Пример 1 - намерете максимума и минимума на функция в интервала \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Графика (фиг. 2).

Фигура 2. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n)$

Свойства на степенна функция с естествен нечетен показател
Областта на дефиниция са всички реални числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ е странна функция.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазонът е изцяло реални числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

$f\left(x\right)0$, за $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Функцията е вдлъбната за $x\in (-\infty ,0)$ и изпъкнала за $x\in (0,+\infty)$.

Графика (фиг. 3).

Фигура 3. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Степенна функция с цяло число
Като начало въвеждаме концепцията за степен с цяло число.
Определение 3

Степента на реално число $a$ с цяло число $n$ се определя по формулата:

Фигура 4
Помислете сега за степенна функция с цяло число, нейните свойства и графика.
Определение 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарича степенна функция с цяло число.
Ако степента е по-голяма от нула, тогава стигаме до случай на степенна функция с естествен показател. Вече го обсъдихме по-горе. За $n=0$ получаваме линейна функция $y=1$. Разглеждането му оставяме на читателя. Остава да разгледаме свойствата на степенна функция с отрицателен цяло число
Свойства на степенна функция с цяло отрицателно число
Обхватът е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако показателят е четен, тогава функцията е четна; ако е нечетен, тогава функцията е нечетна.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазон на стойността:

Ако показателят е четен, тогава $(0,+\infty)$, ако е нечетен, тогава $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако показателят е нечетен, функцията намалява като $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. За четен показател функцията намалява като $x\in (0,+\infty)$. и нараства като $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ над целия домейн