Ъгъл между две прави. Ъгъл между прави в равнина

Този материале посветен на такова понятие като ъгъла между две пресичащи се прави линии. В първия параграф ще обясним какво представлява и ще го покажем в илюстрации. След това ще анализираме как можете да намерите синуса, косинуса на този ъгъл и самия ъгъл (отделно ще разгледаме случаите с равнина и триизмерно пространство), даваме необходимите формулии показват примери как се прилагат на практика.

Yandex.RTB R-A-339285-1

За да разберем какво представлява ъгълът, образуван при пресичането на две прави, трябва да си припомним самата дефиниция на ъгъл, перпендикулярност и пресечна точка.

Определение 1

Наричаме две прави пресичащи се, ако имат една обща точка. Тази точка се нарича точка на пресичане на двете прави.

Всяка линия е разделена от точката на пресичане на лъчи. В този случай и двете прави образуват 4 ъгъла, от които два са вертикални и два са съседни. Ако знаем мярката на един от тях, тогава можем да определим останалите останали.

Да кажем, че знаем, че един от ъглите е равен на α. В такъв случай ъгълът, който е вертикален спрямо него, също ще бъде равен на α. За да намерим останалите ъгли, трябва да изчислим разликата 180 ° - α . Ако α е равно на 90 градуса, тогава всички ъгли ще бъдат прави. Линиите, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат перпендикулярни (отделна статия е посветена на концепцията за перпендикулярност).

Разгледайте снимката:

Нека преминем към формулирането на основното определение.

Определение 2

Ъгълът, образуван от две пресичащи се прави, е мярката на по-малкия от 4-те ъгъла, които образуват тези две прави.

От дефиницията трябва да се направи важен извод: размерът на ъгъла в този случай ще бъде изразен с произволен реално числов интервала (0 , 90 ] . Ако линиите са перпендикулярни, тогава ъгълът между тях във всеки случай ще бъде равен на 90 градуса.

Способността да се намери мярката на ъгъла между две пресичащи се прави е полезна за решаването на много практически проблеми. Методът на решение може да бъде избран от няколко опции.

За начало можем да вземем геометрични методи. Ако знаем нещо за допълнителни ъгли, тогава можем да ги свържем с ъгъла, от който се нуждаем, използвайки свойствата на равни или подобни форми. Например, ако знаем страните на триъгълник и трябва да изчислим ъгъла между линиите, на които са разположени тези страни, тогава косинусовата теорема е подходяща за решаване. Ако имаме в състоянието правоъгълен триъгълник, тогава за изчисления ще ни трябват и знания за синуса, косинуса и тангенса на ъгъла.

Координатният метод също е много удобен за решаване на задачи от този тип. Нека обясним как да го използвате правилно.

Имаме правоъгълна (декартова) координатна система O x y с две прави линии. Нека ги обозначим с буквите a и b. В този случай правите линии могат да бъдат описани с помощта на всякакви уравнения. Оригиналните линии имат пресечна точка M . Как да определим желания ъгъл (нека го обозначим с α) между тези прави?

Нека започнем с формулирането на основния принцип за намиране на ъгъл при дадени условия.

Знаем, че такива понятия като насочване и нормален вектор са тясно свързани с концепцията за права линия. Ако имаме уравнението на някаква права линия, можем да вземем координатите на тези вектори от нея. Можем да направим това за две пресичащи се прави наведнъж.

Ъгълът, образуван от две пресичащи се прави, може да се намери, като се използва:

ъгъл между насочващите вектори;
ъгъл между нормалните вектори;
ъгълът между нормалния вектор на едната права и вектора на посоката на другата.

Сега нека разгледаме всеки метод поотделно.

1. Да предположим, че имаме права a с насочващ вектор a → = (a x , a y) и права b с насочващ вектор b → (b x , b y) . Сега нека отделим два вектора a → и b → от пресечната точка. След това ще видим, че всеки от тях ще бъде разположен на своя собствена линия. Тогава имаме четири варианта за тях относителна позиция. Вижте илюстрацията:

Ако ъгълът между два вектора не е тъп, тогава това ще бъде ъгълът, от който се нуждаем между пресичащите се прави a и b. Ако е тъп, тогава желаният ъгъл ще бъде равен на ъгъла, съседен на ъгъл a → , b → ^ . Така α = a → , b → ^ ако a → , b → ^ ≤ 90 ° , и α = 180 ° - a → , b → ^ ако a → , b → ^ > 90 ° .

Въз основа на факта, че косинусите на еднакви ъгли са равни, можем да пренапишем получените равенства, както следва: cos α = cos a → , b → ^ ако a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ако a → , b → ^ > 90 ° .

Във втория случай бяха използвани формули за редукция. По този начин,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Нека запишем последната формула с думи:

Определение 3

Косинусът на ъгъла, образуван от две пресичащи се прави, е равен на модулакосинус на ъгъла между неговите насочващи вектори.

Общата форма на формулата за косинуса на ъгъла между два вектора a → = (a x, a y) и b → = (b x, b y) изглежда така:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

От него можем да изведем формулата за косинус на ъгъла между две дадени прави:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Тогава самият ъгъл може да се намери по следната формула:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Тук a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) са насочващите вектори на дадените прави.

Нека дадем пример за решаване на проблема.

Пример 1

В правоъгълна координатна система на равнината са дадени две пресичащи се прави a и b. Те могат да бъдат описани с параметрични уравнения x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R и x 5 = y - 6 - 3 . Изчислете ъгъла между тези прави.

Решение

Имаме в състояние параметрично уравнение, което означава, че за тази права можем веднага да запишем координатите на нейния насочващ вектор. За да направим това, трябва да вземем стойностите на коефициентите при параметъра, т.е. правата x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R ще има насочващ вектор a → = (4 , 1) .

Вторият ред е описан с помощта на канонично уравнение x 5 = y - 6 - 3 . Тук можем да вземем координатите от знаменателите. Така тази права има насочващ вектор b → = (5 , - 3) .

След това пристъпваме директно към намирането на ъгъла. За да направите това, просто заменете наличните координати на двата вектора в горната формула α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Получаваме следното:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Отговор: Тези линии образуват ъгъл от 45 градуса.

Можем да решим подобна задача, като намерим ъгъла между нормалните вектори. Ако имаме права a с нормален вектор n a → = (n a x , n a y) и права b с нормален вектор n b → = (n b x , n b y) , тогава ъгълът между тях ще бъде равен на ъгъла между n a → и n b → или ъгълът, който ще бъде съседен на n a → , n b → ^ . Този метод е показан на снимката:

Формулите за изчисляване на косинуса на ъгъла между пресичащите се линии и самия този ъгъл, използвайки координатите на нормалните вектори, изглеждат така:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Тук n a → и n b → означават нормалните вектори на две дадени прави.

Пример 2

Две прави линии са дадени в правоъгълна координатна система с помощта на уравненията 3 x + 5 y - 30 = 0 и x + 4 y - 17 = 0 . Намерете синуса, косинуса на ъгъла между тях и големината на самия ъгъл.

Решение

Оригиналните прави линии са дадени с помощта на нормални уравнениялиния от формата A x + B y + C = 0 . Означаваме нормалния вектор n → = (A , B) . Намерете координатите на първия нормален векторза една права и ги запишете: n a → = (3 , 5) . За втория ред x + 4 y - 17 = 0 нормалният вектор ще има координати n b → = (1 , 4) . Сега добавете получените стойности към формулата и изчислете общата сума:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ако знаем косинуса на ъгъл, тогава можем да изчислим неговия синус, като използваме основния тригонометрична идентичност. Тъй като ъгълът α, образуван от прави линии, не е тъп, тогава sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

В този случай α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Отговор: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Да анализираме последен случай- намиране на ъгъла между правите, ако знаем координатите на насочващия вектор на едната права и нормалния вектор на другата.

Да приемем, че правата a има насочващ вектор a → = (a x , a y) , а правата b има нормален вектор n b → = (n b x , n b y) . Трябва да отложим тези вектори от пресечната точка и да разгледаме всички варианти за тяхното взаимно разположение. Вижте снимката:

Ако ъгълът между дадени векторине повече от 90 градуса, оказва се, че ще допълни ъгъла между a и b до прав ъгъл.

a → , n b → ^ = 90 ° - α ако a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ако е по-малко от 90 градуса, тогава получаваме следното:

a → , n b → ^ > 90 ° , тогава a → , n b → ^ = 90 ° + α

Използвайки правилото за равенство на косинусите на равни ъгли, пишем:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α за a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α при a → , n b → ^ > 90 ° .

По този начин,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Нека формулираме заключение.

Определение 4

За да намерите синуса на ъгъла между две прави, пресичащи се в равнина, трябва да изчислите модула на косинуса на ъгъла между насочващия вектор на първата линия и нормалния вектор на втората.

Нека запишем необходимите формули. Намиране на синуса на ъгъл:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Намиране на самия ъгъл:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Тук a → е насочващият вектор на първата линия, а n b → е нормалният вектор на втората.

Пример 3

Две пресичащи се прави са дадени от уравненията x - 5 = y - 6 3 и x + 4 y - 17 = 0 . Намерете ъгъла на пресичане.

Решение

Вземаме координатите на насочващия и нормален вектор от дадените уравнения. Оказва се, че a → = (- 5 , 3) и n → b = (1 , 4) . Взимаме формулата α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 и разглеждаме:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Обърнете внимание, че взехме уравненията от предишния проблем и получихме абсолютно същия резултат, но по различен начин.

Отговор:α = a r c sin 7 2 34

Ето още един начин за намиране желан ъгълизползвайки коефициентите на наклона на дадените линии.

Имаме права a, която е дефинирана в правоъгълна координатна система с помощта на уравнението y = k 1 · x + b 1, и права b, дефинирана като y = k 2 · x + b 2. Това са уравнения на прави с наклон. За да намерите ъгъла на пресичане, използвайте формулата:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , където k 1 и k 2 са наклоните на дадените прави. За да се получи този запис, бяха използвани формули за определяне на ъгъла през координатите на нормалните вектори.

Пример 4

Има две прави, пресичащи се в равнина, дадени чрез уравнения y = - 3 5 x + 6 и y = - 1 4 x + 17 4 . Изчислете ъгъла на пресичане.

Решение

Наклоните на нашите линии са равни на k 1 = - 3 5 и k 2 = - 1 4 . Нека ги добавим към формулата α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 и изчислим:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Отговор:α = a r c cos 23 2 34

В заключенията на този параграф трябва да се отбележи, че формулите за намиране на ъгъла, даден тук, не трябва да се учат наизуст. За да направите това, е достатъчно да знаете координатите на направляващите и/или нормалните вектори на дадените линии и да можете да ги определите от различни видовеуравнения. Но формулите за изчисляване на косинуса на ъгъл е по-добре да запомните или запишете.

Как да изчислим ъгъла между пресичащите се прави в пространството

Изчисляването на такъв ъгъл може да се сведе до изчисляването на координатите на векторите на посоката и определянето на големината на ъгъла, образуван от тези вектори. За такива примери използваме същите разсъждения, които дадохме преди.

Да кажем, че имаме правоъгълна системакоординати, разположени на триизмерно пространство. Съдържа две прави a и b с пресечна точка M . За да изчислим координатите на насочващите вектори, трябва да знаем уравненията на тези линии. Означаваме насочващите вектори a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . За да изчислим косинуса на ъгъла между тях, използваме формулата:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

За да намерим самия ъгъл, имаме нужда от тази формула:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Пример 5

Имаме права линия, дефинирана в 3D пространство с помощта на уравнението x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Известно е, че тя се пресича с оста O z. Изчислете ъгъла на пресичане и косинуса на този ъгъл.

Решение

Нека означим ъгъла, който трябва да се изчисли, с буквата α. Нека запишем координатите на насочващия вектор за първата права - a → = (1 , - 3 , - 2) . За приложената ос можем да вземем координатния вектор k → = (0 , 0 , 1) като ориентир. Получихме необходимите данни и можем да ги добавим към желаната формула:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

В резултат на това получихме, че ъгълът, от който се нуждаем, ще бъде равен на a r c cos 1 2 = 45 °.

Отговор: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ще бъде полезно за всеки ученик, който се готви за изпита по математика, да повтори темата „Намиране на ъгъл между прави“. Както показва статистиката, при преминаване на сертификационен тест, задачи за този разделстереометрията създава затруднения за Голям бройстуденти. В същото време задачи, изискващи намиране на ъгъла между прави линии, се намират в USE както основни, така и ниво на профил. Това означава, че всеки трябва да може да ги реши.

Акценти

Има 4 вида взаимно разположение на линиите в пространството. Те могат да съвпадат, да се пресичат, да са успоредни или да се пресичат. Ъгълът между тях може да бъде остър или прав.

За да намерят ъгъла между линиите в Единния държавен изпит или, например, в решението, учениците в Москва и други градове могат да използват няколко метода за решаване на задачи в този раздел на стереометрията. Можете да изпълните задачата чрез класически конструкции. За да направите това, си струва да научите основните аксиоми и теореми на стереометрията. Ученикът трябва да може логически да изгражда разсъждения и да създава чертежи, за да доведе задачата до планиметричен проблем.

Можете също да използвате метода на векторните координати, като приложите прости формули, правила и алгоритми. Основното нещо в този случай е правилното извършване на всички изчисления. Усъвършенствайте уменията си за решаване на проблеми по стереометрия и други теми училищен курсще ви помогне образователен проект"Школково".

Инструкция

Забележка

месечен цикъл тригонометрична функциятангенсът е равен на 180 градуса, което означава, че ъглите на наклона на правите линии не могат по модул да надвишават тази стойност.

Полезен съвет

Ако фактори на наклонаса равни една на друга, тогава ъгълът между тези линии е равен на 0, тъй като такива линии или съвпадат, или са успоредни.

За да се определи ъгълът между пресичащите се линии, е необходимо двете линии (или една от тях) да се прехвърлят на нова позиция по метода на успоредно прехвърляне към пресечната точка. След това трябва да намерите ъгъла между получените пресичащи се линии.

Ще имаш нужда

Линийка, правоъгълен триъгълник, молив, транспортир.

Инструкция

И така, нека са дадени векторът V = (a, b, c) и равнината A x + B y + C z = 0, където A, B и C са координатите на нормалата N. Тогава косинусът на ъгъла α между векторите V и N е: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

За да изчислите стойността на ъгъла в градуси или радиани, трябва да изчислите функцията, обратна на косинуса от получения израз, т.е. аркосинус: α \u003d arcos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Пример: намери ъгълмежду вектор(5, -3, 8) и самолет, дадено общо уравнение 2 x - 5 y + 3 z = 0. Решение: запишете координатите на нормалния вектор на равнината N = (2, -5, 3). Заместете всичко известни стойностив горната формула: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Подобни видеа

Права линия, която има една с кръг обща точка, е допирателна към окръжността. Друга особеност на допирателната е, че тя винаги е перпендикулярна на радиуса, начертан до точката на контакт, тоест допирателната и радиусът образуват права линия ъгъл. Ако две допирателни към окръжността AB и AC са прекарани от една точка A, то те винаги са равни една на друга. Определение на ъгъла между тангентите ( ъгъл ABC) се получава с помощта на Питагоровата теорема.

Инструкция

За да определите ъгъла, трябва да знаете радиуса на окръжността OB и OS и разстоянието на началната точка на допирателната от центъра на окръжността - O. И така, ъглите ABO и ACO са равни, радиусът OB , например 10 см, а разстоянието до центъра на окръжността AO е 15 см. Определете дължината на допирателната по формула в съответствие с Питагоровата теорема: AB = Корен квадратенот AO2 - OB2 или 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Ще бъда кратък. Ъгълът между две прави е равен на ъгъла между техните насочващи вектори. Така, ако успеете да намерите координатите на насочващите вектори a \u003d (x 1; y 1; z 1) и b \u003d (x 2; y 2; z 2), можете да намерите ъгъла. По-точно, косинусът на ъгъла по формулата:

Нека да видим как работи тази формула на конкретни примери:

Задача. Точките E и F са отбелязани в куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - средите съответно на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Тъй като ръбът на куба не е посочен, задаваме AB = 1. Въвеждаме стандартна координатна система: началото е в точка A, а осите x, y, z са насочени съответно по AB, AD и AA 1 . Единичният сегмент е равен на AB = 1. Сега нека намерим координатите на насочващите вектори за нашите линии.

Намерете координатите на вектора AE. За да направим това, имаме нужда от точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Тъй като точката E е средата на отсечката A 1 B 1 , нейните координати са равни на средноаритметичната стойност на координатите на краищата. Обърнете внимание, че началото на вектора AE съвпада с началото, така че AE = (0,5; 0; 1).

Сега нека се заемем с вектора BF. По подобен начин анализираме точките B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), тъй като F - средата на сегмента B 1 C 1 . Ние имаме:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

И така, векторите на посоката са готови. Косинусът на ъгъла между линиите е косинусът на ъгъла между насочващите вектори, така че имаме:

Задача. В правилна тристенна призма ABCA 1 B 1 C 1 , всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките D и E - средите съответно на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете ъгъла между правите AD и BE.

Въвеждаме стандартна координатна система: началото е в точка A, оста x е насочена по AB, z - по AA 1 . Насочваме оста y така, че равнината OXY да съвпада с равнина ABC. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Намерете координатите на насочващите вектори за желаните прави.

Първо, нека намерим координатите на вектора AD. Разгледайте точките: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), тъй като D - средата на сегмента A 1 B 1 . Тъй като началото на вектора AD съвпада с началото, получаваме AD = (0,5; 0; 1).

Сега нека намерим координатите на вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) е лесна за изчисляване. С точка E - средата на сегмента C 1 B 1 - малко по-трудно. Ние имаме:

Остава да намерим косинуса на ъгъла:

Задача. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките K и L - средите на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1, съответно. Намерете ъгъла между правите AK и BL.

Въвеждаме стандартна координатна система за призма: поставяме началото на координатите в центъра на долната основа, насочваме оста x по FC, оста y през средните точки на сегменти AB и DE и оста z вертикално нагоре. Единичният сегмент отново е равен на AB = 1. Нека напишем координатите на точките, които ни интересуват:

Точките K и L са средите съответно на отсечките A 1 B 1 и B 1 C 1, така че техните координати се намират чрез средноаритметичното. Познавайки точките, намираме координатите на насочващите вектори AK и BL:

Сега нека намерим косинуса на ъгъла:

Задача. В дясно четириъгълна пирамида SABCD, всички ръбове на който са равни на 1, отбелязани са точките E и F - средите съответно на страните SB и SC. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Въвеждаме стандартна координатна система: началото е в точка А, осите x и y са насочени съответно по AB и AD, а оста z е насочена вертикално нагоре. Единичният сегмент е равен на AB = 1.

Точките E и F са средите съответно на отсечките SB и SC, така че техните координати се намират като средноаритметично на краищата. Записваме координатите на точките, които ни интересуват:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Познавайки точките, намираме координатите на насочващите вектори AE и BF:

Координатите на вектора AE съвпадат с координатите на точка E, тъй като точка A е началото. Остава да намерим косинуса на ъгъла: