Уравнение на равнината. Как да напиша уравнение за равнина? Взаимно разположение на равнините

В самата общ случайнормалата към повърхността представлява нейната локална кривина, а оттам и посоката на огледалното отражение (Фигура 3.5). Във връзка с нашите познания можем да кажем, че нормалата е векторът, който определя ориентацията на лицето (фиг. 3.6).

Ориз. 3.5 Фиг. 3.6

Много алгоритми за премахване на скрити линии и повърхности използват само ръбове и върхове, така че, за да ги комбинирате с модела на осветление, трябва да знаете приблизителната стойност на нормалата на ръбовете и върховете. Нека са дадени уравненията на равнините на многоъгълни лица, тогава нормалата към общия им връх е равна на средната стойност на нормалите към всички многоъгълници, събиращи се към този връх. Например на фиг. 3.7 посока на приблизителната нормала в точка V 1 има:

н v1 = (а 0 + а 1 + а 4 )i + (b 0 +б 1 +б 4 )j + (c 0 +c 1 +c 4 )к, (3.15)

където а 0 , а 1 , а 4 ,б 0 ,б 1 ,б 4 , ° С 0 , ° С 1 , ° С 4 - коефициенти на уравненията на равнините на три многоъгълника П 0 , П 1 , П 4 , околните V 1 . Имайте предвид, че ако искате да намерите само посоката на нормалата, тогава не е необходимо да разделяте резултата на броя на лицата.

Ако уравненията на равнините не са дадени, тогава нормалата към върха може да се определи чрез осредняване на векторните продукти на всички ръбове, пресичащи се във върха. Още веднъж, като се има предвид горната част V 1 на фиг. 3.7, намерете посоката на приблизителната нормала:

н v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 +V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Ориз. 3.7 - Апроксимация на нормалата към многоъгълна повърхност

Имайте предвид, че са необходими само външни нормали. Освен това, ако полученият вектор не е нормализиран, тогава неговата стойност зависи от броя и площта на конкретни многоъгълници, както и от броя и дължината на конкретни ръбове. Влиянието на полигоните с по-голяма площи по-дълги ребра.

Когато нормалата на повърхността се използва за определяне на интензитета и се извършва трансформация на перспектива върху изображението на обект или сцена, тогава нормалата трябва да се изчисли преди разделянето на перспективата. В противен случай посоката на нормалата ще бъде изкривена и това ще доведе до неправилно определяне на интензитета, определен от модела на осветление.

Ако аналитичното описание на равнината (повърхността) е известно, тогава нормалата се изчислява директно. Познавайки уравнението на равнината на всяко лице на полиедъра, можете да намерите посоката на външната нормала.

Ако уравнението на равнината е:

тогава нормалният вектор към тази равнина се записва по следния начин:

, (3.18)

където
- единични вектори на оси x,y,zсъответно.

Стойност дсе изчислява с помощта на произволна точка, принадлежаща на равнината, например за точка (
)

Пример. Да разгледаме 4-странен плосък многоъгълник, описан от 4 върха V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) и V4(1,1,1) (виж Фиг. 3.7).

Уравнението на равнината има формата:

x + y + z - 1 = 0.

Нека получим нормалата към тази равнина, като използваме векторния продукт на двойка вектори, които са съседни ръбове на един от върховете, например V1:

Много алгоритми за премахване на скрити линии и повърхности използват само ръбове или върхове, така че, за да ги комбинирате с модела на осветление, трябва да знаете приблизителната стойност на нормалата на ръбовете и върховете.

Нека са дадени уравненията на равнините на лицата на полиедъра, тогава нормалата към общия им връх е равна на средната стойност на нормалите към всички лица, събиращи се в този връх.

А именно за това, което виждате в заглавието. По същество това е "пространствен аналог" проблеми с намирането на допирателнаи нормалникъм графиката на функция на една променлива и следователно не трябва да възникват трудности.

Нека започнем с основни въпроси: КАКВО Е допирателна равнина и КАКВО Е нормал? Мнозина са наясно с тези понятия на ниво интуиция. Най-простият модел, който идва на ум, е топка, върху която лежи тънък плосък картон. Картонът е разположен възможно най-близо до сферата и я докосва в една точка. Освен това в точката на контакт се фиксира с игла, стърчаща право нагоре.

На теория има доста остроумна дефиниция на допирателната равнина. Представете си произволен повърхности точката, която му принадлежи. Очевидно е, че през точката минава много. пространствени линиикоито принадлежат на тази повърхност. Кой какви асоциации има? =) …Аз лично представих октопода. Да предположим, че всяка такава линия има пространствена допирателнав точка .

Определение 1: допирателна равнинана повърхността в точка е самолет, съдържаща допирателните към всички криви, които принадлежат на дадената повърхнина и минават през точката .

Определение 2: нормалнона повърхността в точка е правминаваща през дадената точка перпендикулярно на допирателната равнина.

Просто и елегантно. Между другото, за да не умрете от скука от простотата на материала, малко по-късно ще споделя с вас една елегантна тайна, която ви позволява да забравите за тъпченето с различни определения ВЕДНЪЖ ЗАВИНАГИ.

Ще се запознаем директно с работещите формули и алгоритъма за решение конкретен пример. В по-голямата част от задачите се изисква да се състави както уравнението на допирателната равнина, така и уравнението на нормалата:

Пример 1

Решение: ако повърхността е дадена от уравнението (т.е. имплицитно), тогава уравнението на допирателната равнина към дадена повърхност в точка може да се намери по следната формула:

Обръщам специално внимание на необичайни частични производни - техните не трябва да се бъркас частни производни на неявно дефинирана функция (въпреки че повърхността е имплицитно дефинирана). При намирането на тези производни трябва да се ръководи от правила за диференциране на функция на три променливи, тоест при диференциране по отношение на която и да е променлива, другите две букви се считат за константи:

Без да се отклоняваме от касовия апарат, намираме частичната производна в точката:

По същия начин:

Това беше най-неприятният момент от решението, в който грешка, ако не се допуска, постоянно се измисля. Съществува обаче ефективен приемтест, за който говорих в урока Производна по посока и градиент.

Всички „съставки“ са намерени и сега предстои внимателна замяна с допълнителни опростявания:

– общо уравнениежеланата допирателна равнина.

Горещо препоръчвам да проверите този етап от решението. Първо трябва да се уверите, че координатите на точката на докосване наистина отговарят на намереното уравнение:

- истинско равенство.

Сега "премахваме" коефициентите общо уравнениеравнина и ги проверете за съвпадение или пропорционалност със съответните стойности. AT този случайпропорционален. Както си спомняте от курс по аналитична геометрия, - това е нормален вектордопирателна равнина, а той - водещ векторнормална права линия. Да композираме канонични уравнениянормали по вектор на точка и посока:

По принцип знаменателите могат да се намалят с "двойка", но няма особена нужда от това.

Отговор:

Не е забранено уравненията да се обозначават с някакви букви, но отново - защо? Тук и така е много ясно какво е какво.

Следващите два примера за независимо решение. Една малка "математична говоречка":

Пример 2

Намерете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността в точката .

И една интересна от техническа гледна точка задача:

Пример 3

Съставете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността в точка

В точката.

Има всички шансове не само да се объркате, но и да се сблъскате с трудности при писане. канонични уравнения на правата. И нормалните уравнения, както вероятно разбирате, обикновено се записват в тази форма. Въпреки че поради забрава или непознаване на някои нюанси, параметричната форма е повече от приемлива.

Примери за довършителни решения в края на урока.

Има ли допирателна равнина в някоя точка на повърхността? Като цяло, разбира се, че не. Класически пример- това е конична повърхност и точка - допирателните в тази точка директно образуват конична повърхност, и, разбира се, не лежат в една и съща равнина. Лесно е да се провери разногласието и аналитично: .

Друг източник на проблеми е фактът несъществуваненякаква частична производна в точка. Това обаче не означава, че в дадена точка няма единична допирателна равнина.

Но това беше по-скоро популярна наука, отколкото практически значима информация, и се връщаме към неотложни въпроси:

Как да напишем уравненията на допирателната равнина и нормалата в точка,
ако повърхността е дадена от явна функция?

Нека го пренапишем имплицитно:

И по същите принципи намираме частични производни:

Така формулата за допирателната равнина се трансформира в следното уравнение:

И съответно, канонични уравнениянормални:

Както е лесно да се досетите - Истинско е" частни производни на функция на две променливив точката , която обозначавахме с буквата "Z" и намерихме 100500 пъти.

Имайте предвид, че в тази статия е достатъчно да запомните първата формула, от която, ако е необходимо, е лесно да извлечете всичко останало. (разбира се, имайки базово нивообучение). Това е подходът, който трябва да се използва при учене точни науки, т.е. от минимум информация трябва да се стремим да „извадим“ максимум изводи и последствия. "Soobrazhalovka" и вече съществуващите знания в помощ! Този принцип е полезен и защото е много вероятно да ви спаси в критична ситуация, когато знаете много малко.

Нека разработим "модифицираните" формули с няколко примера:

Пример 4

Съставете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността в точка .

Тук се получи малко наслагване със символи - сега буквата обозначава точка от равнината, но какво можете да направите - такава популярна буква ....

Решение: ще съставим уравнението на желаната допирателна равнина по формулата:

Нека изчислим стойността на функцията в точката:

Изчислете частни производни от 1-ви редв този момент:

По този начин:

внимателно, не бързайте:

Нека напишем каноничните уравнения на нормалата в точката:

Отговор:

И последен пример за решение „направи си сам“:

Пример 5

Съставете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността в точката.

Последното е, защото всъщност обясних всички технически моменти и няма какво специално да добавя. Дори самите функции, предлагани в тази задача, са скучни и еднообразни - на практика почти гарантирано ще попаднете на "полином", и в този смисъл Пример No2 с показателя изглежда като "черна овца". Между другото, много по-вероятно е да се срещне с повърхността, дадено от уравнениетои това е още една причина, поради която функцията беше включена в статията "втори номер".

И накрая, обещаната тайна: как да избегнем тъпченето с дефиниции? (разбира се, нямам предвид ситуацията, когато студентът трескаво тъпче нещо преди изпита)

Дефиницията на всяко понятие/явление/обект, на първо място, дава отговор на следващ въпрос: КАКВО Е? (кой/такъв/такъв/такъв). Съзнателноотговаря на този въпрос, трябва да се опитате да отразите значителнознаци, определеноидентифициране на това или онова понятие/явление/обект. Да, в началото се оказва донякъде езиково, неточно и излишно (учителят ще коригира =)), но с течение на времето се развива доста достойна научна реч.

Практикувайте върху най-абстрактните обекти, например отговорете на въпроса: кой е Чебурашка? Не е толкова просто ;-) Това е " приказен геройс големи уши, очи и кафява коса"? Далеч и много далеч от определението - никога не знаеш, че има герои с такива характеристики .... Но това е много по-близо до определението: „Чебурашка е герой, измислен от писателя Едуард Успенски през 1966 г., който ... (изброява основните отличителни белези)» . Обърнете внимание колко добре сте започнали

Може да се задава различни начини(една точка и вектор, две точки и вектор, три точки и т.н.). Имайки предвид това, уравнението на равнината може да има различни видове. Също така при определени условия равнините могат да бъдат успоредни, перпендикулярни, пресичащи се и т.н. Ще говорим за това в тази статия. Ще се научим да пишем общото уравнение на равнината и не само.

Нормална форма на уравнението

Да кажем, че има пространство R 3, което има правоъгълна координатна система XYZ. Задаваме вектора α, който ще бъде освободен от началната точка O. През края на вектора α начертаваме равнината P, която ще бъде перпендикулярна на него.

Означаваме с P произволна точка Q=(x, y, z). Ще подпишем радиус вектора на точката Q с буквата p. Дължината на вектора α е p=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

то единичен вектор, който е насочен встрани, подобно на вектора α. α, β и γ са ъглите, образувани съответно между вектора Ʋ и положителните посоки на пространствените оси x, y, z. Проекцията на някаква точка QϵП върху вектора Ʋ е постоянна стойност, което е равно на p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Това уравнение има смисъл, когато p=0. Единственото нещо е, че равнината P в този случай ще пресича точката O (α=0), която е началото, а единичният вектор Ʋ, освободен от точката O, ще бъде перпендикулярен на P, независимо от посоката си, което означава че векторът Ʋ се определя от с точност до знак. Предишното уравнение е уравнението на нашата P равнина, изразено във векторна форма. Но в координати ще изглежда така:

P тук е по-голямо или равно на 0. Намерихме уравнението на равнина в пространството в нейната нормална форма.

Общо уравнение

Ако умножим уравнението в координати по всяко число, което не е равно на нула, получаваме уравнение, еквивалентно на даденото, което определя същата тази равнина. Ще изглежда така:

Тук A, B, C са числа, които едновременно са различни от нула. Това уравнение се нарича общо уравнение на равнината.

Равнинни уравнения. Особени случаи

Уравнение в общ изгледмогат да бъдат променяни при допълнителни условия. Нека разгледаме някои от тях.

Да приемем, че коефициентът A е 0. Това означава, че дадената равнина е успоредна на дадената ос Ox. В този случай формата на уравнението ще се промени: Ву+Cz+D=0.

По същия начин формата на уравнението ще се промени при следните условия:

• Първо, ако B = 0, тогава уравнението ще се промени на Ax + Cz + D = 0, което ще покаже успоредност на оста Oy.
• Второ, ако С=0, то уравнението се трансформира в Ах+Ву+D=0, което ще покаже паралелност на дадената ос Oz.
• Трето, ако D=0, уравнението ще изглежда като Ax+By+Cz=0, което ще означава, че равнината пресича O (началото).
• Четвърто, ако A=B=0, тогава уравнението ще се промени на Cz+D=0, което ще се окаже успоредно на Oxy.
• Пето, ако B=C=0, тогава уравнението става Ax+D=0, което означава, че равнината на Oyz е успоредна.
• Шесто, ако A=C=0, тогава уравнението ще приеме формата Ву+D=0, тоест ще отчете паралелност на Oxz.

Вид уравнение в сегменти

В случай, че числата A, B, C, D са различни от нула, формата на уравнение (0) може да бъде както следва:

x/a + y/b + z/c = 1,

в който a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Получаваме като резултат Струва си да се отбележи, че тази равнина ще пресича оста Ox в точка с координати (a,0,0), Oy - (0,b,0) и Oz - (0,0,c) .

Като се вземе предвид уравнението x/a + y/b + z/c = 1, е лесно да се представи визуално разположението на равнината спрямо дадена координатна система.

Нормални векторни координати

Нормалният вектор n към равнината P има координати, които са коефициентите на общото уравнение на дадената равнина, тоест n (A, B, C).

За да се определят координатите на нормалата n, е достатъчно да се знае общото уравнение на дадена равнина.

Когато се използва уравнението в сегменти, което има формата x/a + y/b + z/c = 1, както и когато се използва общото уравнение, могат да се запишат координатите на всеки нормален вектор на дадена равнина: (1 /a + 1/b + 1/ С).

Трябва да се отбележи, че нормалният вектор помага за решаването на различни проблеми. Най-често срещаните са задачи, които се състоят в доказване на перпендикулярност или успоредност на равнини, задачи за намиране на ъгли между равнини или ъгли между равнини и прави.

Изглед на уравнението на равнината според координатите на точката и нормалния вектор

Ненулев вектор n, перпендикулярен на дадена равнина, се нарича нормален (нормален) за дадена равнина.

Да предположим, че в координатното пространство (правоъгълна координатна система) са дадени Oxyz:

• точка Mₒ с координати (xₒ,yₒ,zₒ);
• нулев вектор n=A*i+B*j+C*k.

Необходимо е да се състави уравнение за равнина, която ще минава през точката Mₒ перпендикулярно на нормалата n.

В пространството избираме произволна точка и я обозначаваме с M (x y, z). Нека радиус векторът на всяка точка M (x, y, z) е r=x*i+y*j+z*k, а радиус векторът на точката Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Точката M ще принадлежи на дадената равнина, ако векторът MₒM е перпендикулярен на вектора n. Записваме условието за ортогоналност, като използваме скаларния продукт:

[MₒM, n] = 0.

Тъй като MₒM \u003d r-rₒ, векторното уравнение на равнината ще изглежда така:

Това уравнение може да приеме друга форма. За това се използват свойствата на скаларното произведение и лявата странауравнения. = - . Ако се означи като c, тогава ще се получи следното уравнение: - c \u003d 0 или \u003d c, което изразява постоянството на проекциите върху нормалния вектор на радиус векторите на дадените точки, които принадлежат на равнината.

Сега можете да получите координатен изгледелементи на векторното уравнение на нашата равнина = 0. Тъй като r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k и n = A*i+B*j +C* k, имаме:

Оказва се, че имаме уравнение за равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на нормалата n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Изглед на уравнението на равнината според координатите на две точки и вектор, колинеарен на равнината

Дефинираме две произволни точки M′ (x′,y′,z′) и M″ (x″,y″,z″), както и вектора a (a′,a″,a‴).

Сега можем да съставим уравнение за дадена равнина, която ще минава през наличните точки M′ и M ″, както и всяка точка M с координати (x, y, z) успоредно даден вектора.

В този случай векторите M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) и M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) трябва да са копланарни с вектора a=(a′,a″,a‴), което означава, че (M′M, M″M, a)=0.

И така, нашето уравнение на равнина в пространството ще изглежда така:

Вид на уравнението на равнина, пресичаща три точки

Да предположим, че имаме три точки: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), които не принадлежат на една и съща права линия. Необходимо е да се напише уравнението на равнината, минаваща през дадените три точки. Теорията на геометрията твърди, че този вид равнина наистина съществува, само че е единствената и неподражаема. Тъй като тази равнина пресича точката (x′, y′, z′), формата на нейното уравнение ще бъде както следва:

Тук A, B, C са различни от нула едновременно. Освен това дадената равнина пресича още две точки: (x″,y″,z″) и (x‴,y‴,z‴). В тази връзка трябва да бъдат изпълнени следните условия:

Сега можем да композираме хомогенна системас неизвестни u, v, w:

В нашата случай x,yили z стои произволна точка, което удовлетворява уравнение (1). Като се вземат предвид уравнението (1) и системата от уравнения (2) и (3), системата от уравнения, посочена на фигурата по-горе, удовлетворява вектора N (A, B, C), който е нетривиален. Ето защо детерминантата на тази система е равна на нула.

Уравнение (1), което получихме, е уравнението на равнината. Минава точно през 3 точки и това лесно се проверява. За да направим това, трябва да разширим нашата детерминанта върху елементите в първия ред. От съществуващите свойства на детерминантата следва, че нашата равнина пресича едновременно три първоначално дадени точки (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Тоест, ние сме решили поставената пред нас задача.

Двустенен ъгъл между равнините

Двустенният ъгъл е пространствен геометрична фигура, образувана от две полуравнини, които излизат от една права линия. С други думи, това е частта от пространството, която е ограничена от тези полуравнини.

Да кажем, че имаме две равнини със следните уравнения:

Знаем, че векторите N=(A,B,C) и N¹=(A¹,B¹,C¹) са перпендикулярни според дадени самолети. В тази връзка ъгълът φ между векторите N и N¹ е равен на ъгъла (двустен), който е между тези равнини. Скаларно произведениеизглежда като:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

именно защото

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Достатъчно е да се вземе предвид, че 0≤φ≤π.

Всъщност две равнини, които се пресичат, образуват два (двустенни) ъгъла: φ 1 и φ 2 . Тяхната сума е равна на π (φ 1 + φ 2 = π). Що се отнася до техните косинуси, техните абсолютни стойности са равни, но се различават по знаци, т.е. cos φ 1 =-cos φ 2. Ако в уравнение (0) заменим A, B и C съответно с числата -A, -B и -C, тогава уравнението, което получаваме, ще определи същата равнина, единственият ъгъл φ в cos уравнениеφ= NN 1 /|N||N 1 | ще бъде заменен с π-φ.

Уравнение на перпендикулярна равнина

Равнините се наричат ​​перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90 градуса. Използвайки описания по-горе материал, можем да намерим уравнението на равнина, перпендикулярна на друга. Да кажем, че имаме две равнини: Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Можем да твърдим, че те ще бъдат перпендикулярни, ако cosφ=0. Това означава, че NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Уравнение на паралелна равнина

Успоредни са две равнини, които нямат общи точки.

Условието (техните уравнения са същите като в предходния параграф) е векторите N и N¹, които са перпендикулярни на тях, да са колинеарни. А това означава, че следните условияпропорционалност:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ако условията за пропорционалност са разширени - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

това показва, че тези равнини съвпадат. Това означава, че уравненията Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 описват една равнина.

Разстояние до равнина от точка

Да кажем, че имаме равнина P, която е дадена от уравнение (0). Необходимо е да се намери разстоянието до него от точката с координати (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. За да направите това, трябва да приведете уравнението на равнината P в нормална форма:

(ρ,v)=p (p≥0).

В този случай ρ(x,y,z) е радиус векторът на нашата точка Q, разположена върху P, p е дължината на перпендикуляра към P, който е освободен от нулевата точка, v е единичният вектор, който се намира в посоката a.

Разликата ρ-ρº на радиус вектора на някаква точка Q=(x,y,z), принадлежаща на P, както и радиус вектора на дадена точка Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) е такъв вектор, абсолютна стойностчиято проекция върху v е равна на разстоянието d, което трябва да се намери от Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) до P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Така се оказва

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Така ще намерим абсолютна стойностполученият израз, тоест изискваното d.

Използвайки езика на параметрите, получаваме очевидното:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ако дадена точка Q 0 е от другата страна на равнината P, както и началото, тогава между вектора ρ-ρ 0 и v следователно е:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

В случай, че точката Q 0, заедно с началото, се намира от една и съща страна на P, тогава образуваният ъгъл е остър, т.е.

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

В резултат на това се оказва, че в първия случай (ρ 0 ,v)> р, във втория (ρ 0 ,v)<р.

Допирателна равнина и нейното уравнение

Допирателната равнина към повърхността в точката на контакт Mº е равнината, съдържаща всички възможни допирателни към кривите, начертани през тази точка на повърхността.

С тази форма на повърхностното уравнение F (x, y, z) \u003d 0, уравнението на допирателната равнина в допирателната точка Mº (xº, yº, zº) ще изглежда така:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Ако посочите повърхността в ясна форма z=f (x, y), тогава допирателната равнина ще бъде описана от уравнението:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Пресечна точка на две равнини

В координатната система (правоъгълна) се намира Oxyz, дадени са две равнини П′ и П″, които се пресичат и не съвпадат. Тъй като всяка равнина, разположена в правоъгълна координатна система, се определя от общото уравнение, ще приемем, че P′ и P″ са дадени от уравненията A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x +B″y+ С″z+D″=0. В този случай имаме нормалното n′ (A′, B′, C′) на равнината P′ и нормалното n″ (A″, B″, C″) на равнината P″. Тъй като нашите равнини не са успоредни и не съвпадат, тези вектори не са колинеарни. Използвайки езика на математиката, можем да запишем това условие по следния начин: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Нека правата, която лежи в пресечната точка на P′ и P″, бъде означена с буквата a, в този случай a = P′ ∩ P″.

a е права линия, състояща се от набор от всички точки на (общи) равнини П′ и П″. Това означава, че координатите на всяка точка, принадлежаща на правата a, трябва едновременно да отговарят на уравненията A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x+B″y+C″z+D″= 0. Това означава, че координатите на точката ще бъдат конкретно решение на следната система от уравнения:

В резултат на това се оказва, че (общото) решение на тази система от уравнения ще определи координатите на всяка от точките на правата линия, която ще действа като пресечна точка на П′ и П″, и ще определи правата линия a в координатната система Oxyz (правоъгълна) в пространството.

Какво е нормално? С прости думи, нормалата е перпендикуляр. Тоест нормалният вектор на права е перпендикулярен на дадената права. Очевидно е, че всяка права линия има безкраен брой от тях (както и насочващи вектори) и всички нормални вектори на правата линия ще бъдат колинеарни (съпосочни или не - няма значение).

Справянето с тях ще бъде дори по-лесно, отколкото с векторите на посоката:

Ако една права линия е дадена чрез общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е нормалният вектор на тази права линия.

Ако координатите на вектора на посоката трябва внимателно да бъдат „извадени“ от уравнението, тогава координатите на нормалния вектор просто се „премахват“.

Нормалният вектор винаги е ортогонален на вектора на посоката на правата. Нека се уверим, че тези вектори са ортогонални, като използваме скаларното произведение:

Ще дам примери със същите уравнения като за вектора на посоката:

Възможно ли е да се напише уравнение на права линия, като се знае една точка и нормален вектор? Ако нормалният вектор е известен, тогава посоката на най-правата линия също е еднозначно определена - това е „твърда конструкция“ с ъгъл от 90 градуса.

Как да напиша уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор?

Ако са известни точка, принадлежаща на правата, и нормалният вектор на тази права, тогава уравнението на тази права се изразява с формулата:

Съставете уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Решение: Използвайте формулата:

Общото уравнение на правата се получава, нека проверим:

1) "Премахнете" координатите на нормалния вектор от уравнението: - да, наистина, оригиналният вектор се получава от условието (или векторът трябва да е колинеарен на оригиналния вектор).

2) Проверете дали точката удовлетворява уравнението:

Истинско равенство.

След като се убедим, че уравнението е правилно, ще изпълним втората по-лесна част от задачата. Изваждаме вектора на посоката на правата линия:

Отговор:

На чертежа ситуацията е следната:

За целите на обучението подобна задача за самостоятелно решение:

Съставете уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Последният раздел на урока ще бъде посветен на по-рядко срещаните, но също важни видове уравнения на права линия в равнина

Уравнение на права линия в отсечки.
Уравнение на права линия в параметричен вид

Уравнението на права линия в сегменти има формата , където са ненулеви константи. Някои видове уравнения не могат да бъдат представени в тази форма, например пряка пропорционалност (тъй като свободният член е нула и няма начин да се получи едно от дясната страна).

Това е, образно казано, "технически" тип уравнение. Обичайната задача е да се представи общото уравнение на права линия като уравнение на права линия в сегменти. Защо е удобно? Уравнението на права линия в сегменти ви позволява бързо да намерите точките на пресичане на права линия с координатни оси, което е много важно при някои проблеми на висшата математика.

Намерете пресечната точка на правата с оста. Нулираме „y“ и уравнението приема формата . Желаната точка се получава автоматично: .

Същото с оста е точката, в която линията пресича оста y.

Действията, които току-що обясних подробно, се извършват устно.

Дадена е права линия. Съставете уравнението на права линия в сегменти и определете точките на пресичане на графиката с координатните оси.

Решение: Нека приведем уравнението във формата . Първо преместваме свободния термин от дясната страна:

За да получим единица отдясно, разделяме всеки член на уравнението на -11:

Ние правим фракции триетажни:

Точките на пресичане на правата линия с координатните оси са на повърхността:

Отговор:

Остава да прикрепите линийка и да нарисувате права линия.

Лесно е да се види, че тази права линия се определя еднозначно от червените и зелените сегменти, откъдето идва и името - „уравнението на права линия в сегменти“.

Разбира се, точките не са толкова трудни за намиране от уравнението, но задачата все пак е полезна. Разглежданият алгоритъм ще бъде необходим за намиране на точките на пресичане на равнината с координатните оси, за привеждане на уравнението на линията от втори ред до каноничната форма и в някои други проблеми. Следователно, няколко прави линии за независимо решение:

Съставете уравнението на права линия в сегменти и определете точките на нейното пресичане с координатните оси.

Решения и отговори накрая. Не забравяйте, че ако желаете, можете да нарисувате всичко.

Как да напиша параметрични уравнения за права линия?

Параметричните уравнения на права линия са по-подходящи за правите линии в пространството, но без тях нашето резюме ще бъде осиротяло.

Ако са известни някаква точка, принадлежаща на правата, и векторът на посоката на тази права, тогава параметричните уравнения на тази линия се дават от системата:

Съставяне на параметрични уравнения на права чрез точка и насочващ вектор

Решението приключи, преди да започне:

Параметърът "te" може да приеме произволна стойност от "минус безкрайност" до "плюс безкрайност", като всяка стойност на параметъра съответства на определена точка от равнината. Например, ако , тогава получаваме точка .

Обратна задача: как да проверим дали дадена условна точка принадлежи на дадена линия?

Нека заместим координатите на точката в получените параметрични уравнения:

От двете уравнения следва, че , т.е. системата е последователна и има единствено решение.

Нека разгледаме по-смислените задачи:

Съставете параметрични уравнения на права линия

Решение: По условие правата е дадена в общ вид. За да съставите параметричните уравнения на права линия, трябва да знаете нейния насочващ вектор и някаква точка, принадлежаща на тази права линия.

Нека намерим вектора на посоката:

Сега трябва да намерите някаква точка, принадлежаща на линията (всяка ще направи), за тази цел е удобно да пренапишете общото уравнение под формата на уравнение с наклон:

Налага се, разбира се, смисълът

Съставяме параметричните уравнения на правата:

И накрая, малка творческа задача за самостоятелно решение.

Съставете параметрични уравнения на права линия, ако са известни принадлежащата й точка и нормалният вектор

Задачата може да се изпълни по повече от един начин. Една от версиите на решението и отговорът в края.

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: Намерете наклона:

Съставяме уравнението на права линия с точка и наклон:

Отговор:

Пример 4: Решение: Ще съставим уравнението на права линия по формулата:

Отговор:

Пример 6: Решение: Използвайте формулата:

Отговор: (у-ос)

Пример 8: Решение: Нека съставим уравнение на права линия в две точки:

Умножете двете страни по -4:

И разделете на 5:

Отговор:

Пример 10: Решение: Използвайте формулата:

Намаляваме с -2:

Директен вектор на посоката:
Отговор:

Пример 12:
а) Решение: Нека трансформираме уравнението:

По този начин:

Отговор:

б) Решение: Нека трансформираме уравнението:

По този начин:

Отговор:

Пример 15: Решение: Първо, записваме общото уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор :

Умножете по 12:

Умножаваме по 2 повече, така че след отваряне на втората скоба да се отървем от фракцията:

Директен вектор на посоката:
Съставяме параметричните уравнения на правата по точката и вектор на посоката :
Отговор:

Най-прости задачи с права на равнина.
Взаимно подреждане на линиите. Ъгъл между линиите

Продължаваме да разглеждаме тези безкрайни-безкрайни линии.

Как да намерим разстоянието от точка до права?
Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?
Как да намерим ъгъла между две прави?

Взаимно разположение на две прави линии

Помислете за две прави линии, дадени от уравнения в общ вид:

Случаят, когато залата пее в хор. Два реда могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Моля, запомнете математическия знак на кръстовището, той ще се появява много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само ако техните съответни коефициенти са пропорционални, т.е. има такъв брой "ламбда", че равенствата са валидни

Нека разгледаме прави линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалите с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , но .

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Въпреки това е ясно, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти при променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще съставим система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , което означава, че системата е несъгласувана (няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

В практически задачи може да се използва току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност. Но има по-цивилизован пакет:

Разберете относителната позиция на линиите:

Решението се основава на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, така че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.

Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" може да се намери директно чрез съотношението на колинеарни насочени вектори. Възможно е обаче и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число обикновено го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Как да начертаем права, успоредна на дадена?

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Означете неизвестната права с буквата . Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако правите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за построяване на правата "te".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

Аналитичната проверка в повечето случаи се извършва лесно устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат как линиите са успоредни без никакъв чертеж.

Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни.

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Най-краткият път е накрая.

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точката , то нейните координати са решението на системата от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Толкова за геометричния смисъл на система от две линейни уравнения с две неизвестни - това са две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният начин е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата . Всъщност разгледахме графичен метод за решаване на система от линейни уравнения с две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да бъде някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка по аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения.

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример за „направи си сам“. Удобно е проблемът да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор накрая:

Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите

Как да начертаем права, перпендикулярна на дадена?

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.

Решение: По предположение е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разгънем геометричната скица:

Аналитична проверка на решението:

1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и използвайки скаларното произведение на векторите, заключаваме, че линиите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за вербална.

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.

Разстояние от точка до линия

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "p", например: - разстоянието от точката "m" до правата линия "d".

Разстояние от точка до линия се изразява с формулата

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, което трябва да направите, е внимателно да поставите числата във формулата и да направите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача според същия чертеж:

Как да построим точка, симетрична спрямо права?

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиран „малинов“ ъгъл се счита за такъв.

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намираме ъглите, лесно може да се получи отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа за отрицателен ъгъл е задължително да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларното произведение на насочващи вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

С помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса:

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.

Има и трето решение. Идеята е да се изчисли ъгълът между векторите на посоката на линиите:

Тук не говорим за ориентиран ъгъл, а „просто за ъгъл“, тоест резултатът със сигурност ще бъде положителен. Уловката е, че можете да получите тъп ъгъл (не този, от който се нуждаете). В този случай ще трябва да направите уговорка, че ъгълът между линиите е по-малък ъгъл и да извадите получения арккосинус от "пи" радиани (180 градуса).

Намерете ъгъла между линиите.

Това е пример за „направи си сам“. Опитайте се да го решите по два начина.

Решения и отговори:

Пример 3: Решение: Намерете вектора на посоката на правата линия:

Ще съставим уравнението на желаната права линия, използвайки точката и насочващия вектор

Забележка: тук първото уравнение на системата се умножава по 5, след което второто се изважда член по член от 1-вото уравнение.
Отговор:

За да изучавате уравненията на права линия, е необходимо да имате добро разбиране на алгебрата на векторите. Важно е да се намери векторът на посоката и нормалният вектор на линията. Тази статия ще разгледа нормалния вектор на права линия с примери и чертежи, намирайки нейните координати, ако уравненията на правите линии са известни. Ще бъде разгледано подробно решение.

Yandex.RTB R-A-339285-1

За да направите материала по-лесен за смилане, трябва да разберете концепциите за линия, равнина и дефиниции, които са свързани с векторите. Първо, нека се запознаем с концепцията за вектор с права линия.

Определение 1

Вектор с нормална линиясе нарича всеки ненулев вектор, който лежи на произволна права, перпендикулярна на дадената.

Ясно е, че има безкраен набор от нормални вектори, разположени на дадена права. Разгледайте фигурата по-долу.

Получаваме, че правата е перпендикулярна на една от двете дадени успоредни прави, тогава нейната перпендикулярност се простира до втората успоредна права. Оттук получаваме, че наборите от нормални вектори на тези успоредни прави съвпадат. Когато правите a и a 1 са успоредни и n → се счита за нормален вектор на правата a , той също се счита за нормален вектор на правата a 1 . Когато правата a има директен вектор, тогава векторът t · n → е различен от нула за всяка стойност на параметъра t и също е нормален за правата a.

Използвайки определението за нормални и насочващи вектори, може да се заключи, че нормалният вектор е перпендикулярен на посоката. Помислете за пример.

Ако е дадена равнината O x y, тогава множеството от вектори за O x е координатният вектор j → . Той се счита за ненулев и принадлежи на координатната ос O y, перпендикулярна на O x. Целият набор от нормални вектори по отношение на O x може да се запише като t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Правоъгълната система O x y z има нормален вектор i → свързан с правата O z . Векторът j → също се счита за нормален. Това показва, че всеки ненулев вектор, разположен във всяка равнина и перпендикулярен на O z, се счита за нормален за O z.

Координати на нормалния вектор на правата - намиране на координатите на нормалния вектор на правата от известните уравнения на правата

Когато разглеждаме правоъгълна координатна система O x y, откриваме, че уравнението на права линия в равнина съответства на нея и определянето на нормалните вектори се извършва чрез координати. Ако уравнението на права линия е известно, но е необходимо да се намерят координатите на нормалния вектор, тогава е необходимо да се идентифицират коефициентите от уравнението A x + B y + C = 0, които съответстват на координатите на нормалният вектор на дадената права линия.

Пример 1

Дадена е права линия под формата 2 x + 7 y - 4 = 0 _, намерете координатите на нормалния вектор.

Решение

По условие имаме, че правата е дадена от общото уравнение, което означава, че е необходимо да се изпишат коефициентите, които са координатите на нормалния вектор. Следователно координатите на вектора имат стойност 2 , 7 .

Отговор: 2 , 7 .

Има моменти, когато A или B от дадено уравнение е нула. Нека разгледаме решението на такава задача с пример.

Пример 2

Посочете нормалния вектор за дадения ред y - 3 = 0 .

Решение

По условие ни е дадено общото уравнение на права линия, което означава, че го записваме по този начин 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Сега можем ясно да видим коефициентите, които са координатите на нормалния вектор. И така, получаваме, че координатите на нормалния вектор са 0 , 1 .

Отговор: 0 , 1 .

Ако уравнението е дадено в сегменти от формата x a + y b \u003d 1 или уравнение с наклон y \u003d k x + b, тогава е необходимо да се намали до общо уравнение на права линия, където можете да намерите координатите от нормалния вектор на тази права линия.

Пример 3

Намерете координатите на нормалния вектор, ако е дадено уравнението на правата x 1 3 - y = 1.

Решение

Първо трябва да преминете от уравнението в интервалите x 1 3 - y = 1 към общо уравнение. Тогава получаваме, че x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

Това показва, че координатите на нормалния вектор имат стойност 3,-1.

Отговор: 3 , - 1 .

Ако правата е дефинирана от каноничното уравнение на правата в равнината x - x 1 a x = y - y 1 a y или от параметра x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , тогава получаването на координатите става по-сложно. Съгласно тези уравнения може да се види, че координатите на насочващия вектор ще бъдат a → = (a x , a y) . Възможността за намиране на координатите на нормалния вектор n → е възможна поради условието, че векторите n → и a → са перпендикулярни.

Възможно е да се получат координатите на нормален вектор чрез редуциране на каноничните или параметрични уравнения на права линия до общо. Тогава получаваме:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

За решение можете да изберете всеки удобен метод.

Пример 4

Намерете нормалния вектор на дадената права x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Решение

От правата x - 2 7 = y + 3 - 2 е ясно, че векторът на посоката ще има координати a → = (7 , - 2) . Нормалният вектор n → = (n x , n y) на дадената права е перпендикулярен на a → = (7 , - 2) .

Нека разберем на какво е равно скаларното произведение. За да намерим скаларното произведение на вектори a → = (7 , - 2) и n → = (n x , n y) записваме a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .

Стойността на n x е произволна, трябва да намерите n y. Ако n x = 1, тогава получаваме, че 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Следователно нормалният вектор има координати 1 , 7 2 .

Вторият начин за решаване се свежда до факта, че е необходимо да се стигне до общата форма на уравнението от каноничното. За това ние трансформираме

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Резултатът от нормалните векторни координати е 2 , 7 .

Отговор: 2, 7или 1 , 7 2 .

Пример 5

Посочете координатите на нормалния вектор на правата x = 1 y = 2 - 3 · λ .

Решение

Първо трябва да извършите трансформация, за да преминете към общата форма на права линия. Нека да направим:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Това показва, че координатите на нормалния вектор са - 3 , 0 .

Отговор: - 3 , 0 .

Обмислете начини за намиране на координатите на нормален вектор в уравнението на права линия в пространството, дадена от правоъгълна координатна система O x y z.

Когато една права е дадена от уравненията на пресичащи се равнини A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, тогава нормалният вектор на равнината се отнася до A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, тогава получаваме векторите във формата n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

Когато линията е дефинирана с помощта на каноничното уравнение на пространството, имащо формата x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z или параметрично, имащо формата x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z · λ , следователно a x , a y и a z се считат за координатите на насочващия вектор на дадената права линия. Всеки ненулев вектор може да бъде нормален за дадена права и да бъде перпендикулярен на вектора a → = (a x , a y , a z) . От това следва, че намирането на координатите на нормалата с параметрични и канонични уравнения става с помощта на координатите на вектора, който е перпендикулярен на дадения вектор a → = (a x, a y, a z) .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter