Уроци: Тригонометрия. Тригонометрията стана проста и ясна. Научаване на тригонометрия

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

1. Въведение.

Приближавайки се до училището, чувам гласовете на момчетата от физкултурния салон, продължавам напред - те пеят, рисуват... емоциите и чувствата са навсякъде. Моят кабинет, урок по алгебра, десетокласници. Ето нашия учебник, в който курсът по тригонометрия заема половината от обема му и в него има две отметки - това са местата, където намерих думи, които не са свързани с теорията на тригонометрията.

Сред малкото са учениците, които обичат математиката, усещат нейната красота и не се питат защо е необходимо да се изучава тригонометрия, къде се прилага наученото? Повечето са тези, които просто изпълняват задачи, за да не получат лоша оценка. И ние твърдо вярваме, че приложната стойност на математиката е да придобиете знания, достатъчни за успешно полагане на Единния държавен изпит и влизане в университет (запишете се и забравете).

Основната цел на представения урок е да покаже приложното значение на тригонометрията в различни области на човешката дейност. Дадените примери ще помогнат на учениците да видят връзката между този раздел от математиката и другите предмети, изучавани в училище. Съдържанието на този урок е елемент от професионалната подготовка на учениците.

Разкажете нещо ново за един на пръв поглед отдавна известен факт. Покажете логическа връзка между това, което вече знаем, и това, което предстои да научим. Отворете малко вратата и погледнете отвъд училищната програма. Необичайни задачи, връзки с днешните събития - това са техниките, които използвам, за да постигна целите си. В крайна сметка училищната математика като предмет допринася не толкова за ученето, колкото за развитието на индивида, неговото мислене и култура.

2. Обобщение на урока по алгебра и принципи на анализа (10 клас).

Организационно време:Подредете шест маси в полукръг (модел на транспортир), работни листове за ученици върху масите (Приложение 1).

Обявяване на темата на урока: „Тригонометрията е проста и ясна.“

В хода на алгебрата и елементарния анализ започваме да изучаваме тригонометрията; бих искал да говоря за приложното значение на този раздел от математиката.

Теза на урока:

„Великата книга на природата може да бъде прочетена само от тези, които знаят езика, на който е написана, а този език е математиката.“
(Г. Галилей).

В края на урока ще помислим заедно дали успяхме да надникнем в тази книга и да разберем езика, на който е написана.

Тригонометрия на остър ъгъл.

Тригонометрия е гръцка дума и в превод означава „измерване на триъгълници“. Възникването на тригонометрията се свързва с измерванията на земята, строителството и астрономията. И първото ви запознанство с него се случи, когато взехте транспортир. Забелязахте ли как са разположени масите? Помислете за това наум: ако вземем една маса като хорда, тогава каква е градусната мярка на дъгата, която тя обхваща?

Нека си припомним мярката на ъглите: 1 ° = 1/360част от окръжност („градус“ - от латинското град - стъпка). Знаете ли защо окръжността е разделена на 360 части, защо не е разделена на 10, 100 или 1000 части, както се случва например при измерване на дължини? Ще ви кажа една от версиите.

Преди това хората вярваха, че Земята е центърът на Вселената и е неподвижна, а Слънцето прави едно завъртане около Земята на ден, геоцентричната система на света, "гео" - Земята ( Фигура №1). Вавилонските свещеници, които извършват астрономически наблюдения, откриват, че в деня на равноденствието Слънцето, от изгрев до залез, описва полукръг в небесния свод, в който видимият диаметър (диаметър) на Слънцето се вписва точно 180 пъти, 1 ° - следа от Слънцето. ( Фигура № 2).

Дълго време тригонометрията беше чисто геометрична по природа. В продължавате въведението си в тригонометрията чрез решаване на правоъгълни триъгълници. Научавате, че синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към хипотенузата, косинусът е отношението на съседната страна към хипотенузата, тангенсът е отношението на срещуположната страна към съседната страна и котангенсът е отношението на съседната страна към противоположната. И не забравяйте, че в правоъгълен триъгълник с даден ъгъл съотношението на страните не зависи от размера на триъгълника. Научете синусовата и косинусовата теорема за решаване на произволни триъгълници.

През 2010 г. московското метро навърши 75 години. Всеки ден слизаме в метрото и не забелязваме, че...

Задача No1.Ъгълът на наклона на всички ескалатори в московското метро е 30 градуса. Знаейки това, броя на лампите на ескалатора и приблизителното разстояние между лампите, можете да изчислите приблизителната дълбочина на станцията. На ескалатора на станция Цветной булевард има 15 лампи, а на станция Пражская - 2 лампи. Изчислете дълбочината на тези станции, ако разстоянията между лампите от входа на ескалатора до първата лампа и от последната лампа до изхода на ескалатора са 6 m ( Фигура №3). Отговор: 48 m и 9 m

Домашна работа. Най-дълбоката станция на московското метро е Паркът на победата. Каква е дълбочината му? Предлагам ви самостоятелно да намерите липсващите данни, за да решите проблема си с домашното.

Имам лазерна показалка в ръцете си, която е и далекомер. Да измерим например разстоянието до дъската.

Китайският дизайнер Huan Qiaokun се досети да комбинира два лазерни далекомера и транспортир в едно устройство и получи инструмент, който ви позволява да определите разстоянието между две точки в равнина ( Фигура № 4). Каква теорема според вас решава този проблем? Спомнете си формулировката на косинусовата теорема. Съгласни ли сте с мен, че знанията ви вече са достатъчни, за да направите такова изобретение? Решавайте геометрични задачи и правете малки открития всеки ден!

Сферична тригонометрия.

В допълнение към плоската геометрия на Евклид (планиметрия), може да има други геометрии, в които свойствата на фигурите се разглеждат не в равнина, а на други повърхности, например върху повърхността на топка ( Фигура № 5). Първият математик, който постави основите за развитието на неевклидови геометрии, беше Н.И. Лобачевски - "Коперник на геометрията". От 1827 г. в продължение на 19 години е ректор на Казанския университет.

Сферичната тригонометрия, която е част от сферичната геометрия, разглежда връзките между страните и ъглите на триъгълници върху сфера, образувана от дъги от големи кръгове върху сфера ( Фигура № 6).

В исторически план сферичната тригонометрия и геометрия възникват от нуждите на астрономията, геодезията, навигацията и картографията. Помислете коя от тези области получи толкова бързо развитие през последните години, че резултатите от нея вече се използват в съвременните комуникатори. ... Модерно приложение на навигацията е сателитна навигационна система, която ви позволява да определите местоположението и скоростта на обект по сигнал от неговия приемник.

Глобална навигационна система (GPS). За да се определи географската ширина и дължина на приемника, е необходимо да се приемат сигнали от поне три сателита. Получаването на сигнал от четвъртия сателит позволява да се определи височината на обекта над повърхността ( Фигура № 7).

Компютърът на приемника решава четири уравнения с четири неизвестни, докато се намери решение, което чертае всички кръгове през една точка ( Фигура № 8).

Познанията по остроъгълната тригонометрия се оказват недостатъчни за решаване на по-сложни практически задачи. При изучаване на ротационни и кръгови движения стойността на ъгъла и кръговата дъга не са ограничени. Възникна необходимостта да се премине към тригонометрията на обобщен аргумент.

Тригонометрия на обобщен аргумент.

Кръгът ( Фигура № 9). Положителните ъгли се изобразяват обратно на часовниковата стрелка, отрицателните ъгли се изобразяват по посока на часовниковата стрелка. Запознат ли сте с историята на такова споразумение?

Както знаете, механичните и слънчевите часовници са проектирани по такъв начин, че стрелките им да се въртят „покрай слънцето“, т.е. в същата посока, в която виждаме видимото движение на Слънцето около Земята. (Спомнете си началото на урока – геоцентричната система на света). Но с откритието на Коперник за истинското (положително) движение на Земята около Слънцето, движението на Слънцето около Земята, което виждаме (т.е. видимо), е фиктивно (отрицателно). Хелиоцентрична система на света (хелио - Слънце) ( Фигура № 10).

Загрявка.

Изпънете дясната си ръка пред себе си, успоредно на повърхността на масата, и извършете кръгово въртене на 720 градуса.
Изпънете лявата си ръка пред себе си, успоредно на повърхността на масата, и извършете кръгово въртене на (–1080) градуса.
Поставете ръцете си на раменете и направете 4 кръгови движения напред и назад. Каква е сумата от ъглите на завъртане?

През 2010 г. се проведоха Зимните олимпийски игри във Ванкувър; научаваме критериите за оценяване на упражнението на скейтъра чрез решаване на проблема.

Задача No2.Ако скейтърът направи завой от 10 800 градуса, докато изпълнява упражнението „винт“ за 12 секунди, тогава той получава оценка „отличен“. Определете колко оборота ще направи скейтърът през това време и скоростта на неговото въртене (обороти в секунда). Отговор: 2,5 оборота/сек.

Домашна работа. Под какъв ъгъл се завърта скейтърът, получил „незадоволителна“ оценка, ако при същото време на въртене скоростта му е 2 оборота в секунда.

Оказа се, че най-удобната мярка за дъги и ъгли, свързани с въртеливи движения, е мярката радиан (радиус), като по-голяма единица за измерване на ъгъл или дъга ( Фигура № 11). Тази мярка за ъгли навлиза в науката чрез забележителните трудове на Леонхард Ойлер. Швейцарец по произход, той е живял в Русия 30 години и е член на Академията на науките в Санкт Петербург. На него дължим „аналитичното“ тълкуване на цялата тригонометрия, той изведе формулите, които сега изучавате, въведе единни знаци: грях х,защото х, tg х,ctg х.

Ако до 17-ти век развитието на учението за тригонометричните функции е изградено на геометрична основа, то от 17-ти век тригонометричните функции започват да се прилагат за решаване на проблеми в механиката, оптиката, електричеството, за описание на колебателни процеси и вълни размножаване. Навсякъде, където трябва да се занимаваме с периодични процеси и колебания, тригонометричните функции намират приложение. Функциите, изразяващи законите на периодичните процеси, имат специално свойство, присъщо само на тях: те повтарят стойностите си през същия интервал на промяна в аргумента. Промените във всяка функция се предават най-ясно на нейната графика ( Фигура № 12).

Вече сме се обръщали към нашето тяло за помощ при решаване на проблеми, свързани с въртене. Да чуем сърдечния си ритъм. Сърцето е независим орган. Мозъкът контролира всички наши мускули, с изключение на сърцето. Има собствен контролен център - синусовия възел. При всяко свиване на сърцето електрически ток се разпространява в цялото тяло - започвайки от синусовия възел (с размер на просено зърно). Може да се запише с помощта на електрокардиограф. Той прави електрокардиограма (синусоида) ( Фигура № 13).

Сега да поговорим за музика. Математиката е музика, тя е съюз на интелигентност и красота.
Музиката е математика в изчислението, алгебра в абстракция, тригонометрия в красота. Хармонично трептене (хармонично) е синусоидално трептене. Графиката показва как се променя налягането на въздуха върху тъпанчето на слушателя: нагоре и надолу в дъга, периодично. Въздухът притиска ту по-силно, ту по-слабо. Силата на удара е много малка и вибрациите възникват много бързо: стотици и хиляди удари всяка секунда. Ние възприемаме такива периодични вибрации като звук. Добавянето на два различни хармоника дава вибрация с по-сложна форма. Сумата от три хармоници е още по-сложна и естествените звуци и звуците на музикални инструменти са съставени от голям брой хармоници. ( Фигура № 14.)

Всеки хармоник се характеризира с три параметъра: амплитуда, честота и фаза. Честотата на трептенията показва колко удара на въздушното налягане възникват за една секунда. Високите честоти се възприемат като „високи“, „тънки“ звуци. Над 10 KHz – скърцане, свирене. Малките честоти се възприемат като „ниски“, „басови“ звуци, тътен. Амплитудата е обхватът на вибрациите. Колкото по-голям е обхватът, толкова по-голямо е въздействието върху тъпанчето и толкова по-силен е звукът, който чуваме ( Фигура № 15). Фазата е изместването на трептенията във времето. Фазата може да се измерва в градуси или радиани. В зависимост от фазата нулевата точка на графиката се измества. За да зададете хармоник, достатъчно е да посочите фазата от –180 до +180 градуса, тъй като при големи стойности трептенето се повтаря. Два синусоидални сигнала с еднаква амплитуда и честота, но различни фази, се добавят алгебрично ( Фигура № 16).

Обобщение на урока.Мислите ли, че успяхме да прочетем няколко страници от Великата книга на природата? След като научихте за приложното значение на тригонометрията, стана ли ви по-ясна нейната роля в различни сфери на човешката дейност, разбрахте ли изложения материал? След това си спомнете и избройте областите на приложение на тригонометрията, които сте срещнали днес или сте знаели преди. Надявам се, че всеки от вас е намерил нещо ново и интересно в днешния урок. Може би това ново нещо ще ви подскаже пътя при избора на бъдеща професия, но независимо кой ще станете, вашето математическо образование ще ви помогне да станете професионалист и интелектуално развит човек.

Домашна работа. Прочетете резюмето на урока (

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

- -
Обикновено, когато искат да изплашат някого със СТРАШНА МАТЕМАТИКА, дават за пример какви ли не синуси и косинуси, като нещо много сложно и отвратително. Но всъщност това е красив и интересен участък, който може да бъде разбран и решен.
Темата започва от 9 клас и не винаги всичко е ясно от първия път, има много тънкости и трикове. Опитах се да кажа нещо по темата.

Въведение в света на тригонометрията:
Преди да се впуснете стремглаво във формулите, трябва да разберете от геометрията какво е синус, косинус и т.н.
Синус от ъгъл- отношението на срещуположната (ъглова) страна към хипотенузата.
Косинус- отношението на съседните към хипотенузата.
Допирателна- противоположна страна към съседна страна
Котангенс- съседен на противоположния.

Сега разгледайте окръжност с единичен радиус върху координатната равнина и маркирайте някакъв ъгъл алфа върху нея: (снимките могат да се кликват, поне някои)
-
-
Тънките червени линии са перпендикулярът от точката на пресичане на окръжността и правия ъгъл върху оста ox и oy. Червените x и y са стойността на координатите x и y върху осите (сивите x и y са само за да покажат, че това са координатни оси, а не само линии).
Трябва да се отбележи, че ъглите се изчисляват от положителната посока на оста на вола обратно на часовниковата стрелка.
Нека намерим синуса, косинуса и т.н. за него.
sin a: противоположната страна е равна на y, хипотенузата е равна на 1.
sin a = y / 1 = y
За да стане напълно ясно откъде вземам y и 1, за по-голяма яснота, нека подредим буквите и да разгледаме триъгълниците.
- -
AF = AE = 1 - радиус на окръжността.
Следователно AB = 1 като радиус. AB - хипотенуза.
BD = CA = y - като стойността за oh.
AD = CB = x - като стойността според ох.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Следва косинусът:
cos a: съседна страна - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Ние също извеждаме тангенс и котангенс.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
Изведнъж сме извели формулата за тангенс и котангенс.

Е, нека да разгледаме конкретно как се решава това.
Например a = 45 градуса.
Получаваме правоъгълен триъгълник с един ъгъл от 45 градуса. За някои веднага става ясно, че това е равностранен триъгълник, но все пак ще го опиша.
Нека намерим третия ъгъл на триъгълника (първият е 90, вторият е 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Ако два ъгъла са равни, то и страните им са равни, така звучеше.
И така, оказва се, че ако добавим два такива триъгълника един върху друг, получаваме квадрат с диагонал, равен на радиус = 1. По питагоровата теорема знаем, че диагоналът на квадрат със страна a е равен на корен от две.
Сега мислим. Ако 1 (хипотенузата, известна още като диагонал) е равно на страната на квадрата по корен от две, тогава страната на квадрата трябва да е равна на 1/sqrt(2) и ако умножим числителя и знаменателя на тази дроб по корен от две, получаваме sqrt(2)/2. И тъй като триъгълникът е равнобедрен, тогава AD = AC => x = y
Намиране на нашите тригонометрични функции:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Трябва да работите с останалите стойности на ъглите по същия начин. Само триъгълниците няма да са равнобедрени, но страните могат да бъдат намерени също толкова лесно с помощта на Питагоровата теорема.
По този начин получаваме таблица със стойности на тригонометрични функции от различни ъгли:
-
-
Освен това тази маса е измамна и много удобна.
Как да го съставите сами без никакви проблеми:Начертайте подобна таблица и напишете числата 1 2 3 в квадратчетата.
-
-
Сега от тези 1 2 3 вадиш корен и делиш на 2. Получава се така:
-
-
Сега задраскваме синуса и записваме косинуса. Неговите стойности са огледалният синус:
-
-
Тангенсът е също толкова лесен за извличане - трябва да разделите стойността на синусовата линия на стойността на косинусовата линия:
-
-
Стойността на котангенса е обърнатата стойност на тангенса. В резултат на това получаваме нещо подобно:
- -

Забележкатази допирателна не съществува в P/2, например. Помислете защо. (Не можете да делите на нула.)

Какво трябва да запомните тук:синус е стойността на y, косинусът е стойността на x. Тангенсът е отношението на y към x, а котангенсът е обратното. така че, за да определите стойностите на синусите/косинусите, достатъчно е да начертаете таблицата, която описах по-горе, и кръг с координатни оси (удобно е да гледате стойностите под ъгли от 0, 90, 180, 360).
- -

Е, надявам се, че можете да различите четвъртинки:
- -
Знакът на неговия синус, косинус и т.н. зависи от това в коя четвърт е ъгълът. Въпреки това, абсолютно примитивното логическо мислене ще ви доведе до верния отговор, ако вземете предвид, че във втората и третата четвърт x е отрицателно, а y е отрицателно в третата и четвъртата. Нищо страшно и страшно.

Мисля, че няма да е излишно да спомена формули за намаляванеала призраци, както всички чуват, в което има зрънце истина. Няма формули като такива, тъй като те са ненужни. Самият смисъл на цялото това действие: Лесно намираме стойностите на ъглите само за първата четвърт (30 градуса, 45, 60). Тригонометричните функции са периодични, така че можем да преместим всеки голям ъгъл в първата четвърт. Тогава веднага ще намерим значението му. Но просто плъзгане не е достатъчно - трябва да запомните за знака. За това са формулите за намаляване.
И така, имаме голям ъгъл, или по-скоро повече от 90 градуса: a = 120. И трябва да намерим неговите синус и косинус. За да направим това, ще разложим 120 на ъгли, с които можем да работим:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Виждаме, че този ъгъл лежи във втората четвърт, синусът там е положителен, следователно знакът + пред синуса се запазва.
За да се отървем от 90 градуса, променяме синуса на косинус. Е, това е правило, което трябва да запомните:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Или можете да си го представите по друг начин:
грях 120 = грях (180 - 60)
За да се отървем от 180 градуса, не променяме функцията.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Получихме същата стойност, така че всичко е правилно. Сега косинусът:
cos 120 = cos (90 + 30)
Косинусът във втората четвърт е отрицателен, така че поставяме знак минус. И променяме функцията на противоположната, тъй като трябва да премахнем 90 градуса.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
Или:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Какво трябва да знаете, да можете да правите и да правите, за да прехвърлите ъгли към първата четвърт:
- разложете ъгъла на смилаеми термини;
-отчитате в коя четвърт е ъгълът и поставяте съответния знак, ако функцията в тази четвърт е отрицателна или положителна;
-отървете се от ненужните неща:
*ако трябва да се отървете от 90, 270, 450 и останалите 90+180n, където n е цяло число, тогава функцията се обръща (синус към косинус, тангенс към котангенс и обратно);
*ако трябва да се отървете от 180 и останалите 180+180n, където n е цяло число, тогава функцията не се променя. (Тук има една особеност, но е трудно да се обясни с думи, но добре).
Това е всичко. Не мисля, че е необходимо да запомняте самите формули, когато можете да запомните няколко правила и да ги използвате лесно. Между другото, тези формули са много лесни за доказване:
-
-
И те също съставят тромави таблици, тогава знаем:
-
-

Основни уравнения на тригонометрията:трябва да ги знаете много, много добре, наизуст.
Фундаментално тригонометрично тъждество(равенство):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Ако не вярвате, по-добре проверете сами и се уверете. Заменете стойностите на различни ъгли.
Тази формула е много, много полезна, винаги я помнете. като го използвате, можете да изразите синус през косинус и обратно, което понякога е много полезно. Но, както всяка друга формула, трябва да знаете как да боравите с нея. Винаги помнете, че знакът на тригонометричната функция зависи от квадранта, в който се намира ъгълът. Ето защо когато извличате корена, трябва да знаете четвъртината.

Тангенс и котангенс:Вече изведохме тези формули в самото начало.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Произведение на тангенс и котангенс:
tg a * ctg a = 1
защото:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - дробите се отменят.

Както можете да видите, всички формули са игра и комбинация.
Ето още две, получени от разделянето на косинус квадрат и синус квадрат на първата формула:
-
-
Моля, имайте предвид, че последните две формули могат да се използват с ограничение на стойността на ъгъл a, тъй като не можете да разделите на нула.

Формули за добавяне:се доказват с помощта на векторна алгебра.
- -
Използван рядко, но точно. В сканирането има формули, но те може да са нечетливи или цифровата форма е по-лесна за възприемане:
- -

Формули за двоен ъгъл:
Те се получават на базата на формули за събиране, например: косинусът на двоен ъгъл е cos 2a = cos (a + a) - напомня ли ви нещо? Просто смениха бета с алфа.
- -
Двете следващи формули са получени от първото заместване sin^2(a) = 1 - cos^2(a) и cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Синусът на двоен ъгъл е по-прост и се използва много по-често:
- -
И специални перверзни могат да изведат тангенса и котангенса на двоен ъгъл, като се има предвид, че tan a = sin a / cos a и т.н.
-
-

За горепосочените лица Формули за троен ъгъл:те се извличат чрез добавяне на ъгли 2a и a, тъй като вече знаем формулите за двойни ъгли.
-
-

Формули за половин ъгъл:
- -
Не знам как са получени, или по-точно, как да го обясня... Ако напишете тези формули, като замените основната тригонометрична идентичност с a/2, тогава отговорът ще се сближи.

Формули за събиране и изваждане на тригонометрични функции:
-
-
Получават се от формули за добавяне, но на никой не му пука. Не се случват често.

Както разбирате, все още има куп формули, изброяването на които е просто безсмислено, защото няма да мога да напиша нещо адекватно за тях, а сухите формули могат да бъдат намерени навсякъде и те са игра с предишни съществуващи формули. Всичко е страшно логично и точно. Просто ще ти кажа накрая относно метода на спомагателния ъгъл:
Преобразуването на израза a cosx + b sinx във формата Acos(x+) или Asin(x+) се нарича метод за въвеждане на допълнителен ъгъл (или допълнителен аргумент). Методът се използва при решаване на тригонометрични уравнения, при оценка на стойностите на функции, при екстремални задачи, като е важно да се отбележи, че някои задачи не могат да бъдат решени без въвеждане на спомагателен ъгъл.
Без значение как се опитахте да обясните този метод, нищо не излезе от него, така че ще трябва да го направите сами:
-
-
Страшно нещо, но полезно. Ако решите проблемите, трябва да се получи.
От тук, например: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Следват графики на тригонометрични функции. Но това е достатъчно за един урок. Имайки предвид, че в училище това учат шест месеца.

Напишете въпросите си, решавайте задачи, поискайте сканирания на някои задачи, разберете го, опитайте.
Винаги твой, Дан Фарадей.

Синус, косинус, тангенс - когато произнасяте тези думи в присъствието на гимназисти, можете да сте сигурни, че две трети от тях ще загубят интерес към по-нататъшния разговор. Причината се крие във факта, че основите на тригонометрията в училище се преподават в пълна изолация от реалността и затова учениците не виждат смисъл да изучават формули и теореми.

Всъщност, при по-внимателно разглеждане, тази област на знанието се оказва много интересна, както и приложна - тригонометрията се използва в астрономията, строителството, физиката, музиката и много други области.

Нека се запознаем с основните понятия и да назовем няколко причини да изучаваме този клон на математическата наука.

История

Не е известно в кой момент човечеството е започнало да създава бъдещата тригонометрия от нулата. Въпреки това е документирано, че още през второто хилядолетие пр. н. е. египтяните са били запознати с основите на тази наука: археолозите открили папирус със задача, в която се изисквало да се намери ъгълът на наклона на пирамидата от две известни страни.

По-сериозни успехи постигнаха учените от Древен Вавилон. През вековете, изучавайки астрономията, те усвоиха редица теореми, въведоха специални методи за измерване на ъгли, които, между другото, използваме днес: градуси, минути и секунди бяха заимствани от европейската наука в гръко-римската култура, в която тези единици идват от вавилонците.

Предполага се, че известната Питагорова теорема, отнасяща се до основите на тригонометрията, е била известна на вавилонците преди почти четири хиляди години.

Име

Буквално терминът "тригонометрия" може да се преведе като "измерване на триъгълници". Основният обект на изследване в този раздел на науката в продължение на много векове е правилният триъгълник или по-точно връзката между величините на ъглите и дължините на страните му (днес изучаването на тригонометрията от нулата започва с този раздел) . В живота често има ситуации, когато е практически невъзможно да се измерят всички необходими параметри на даден обект (или разстоянието до обекта) и тогава става необходимо да се получат липсващите данни чрез изчисления.

Например в миналото хората не можеха да измерват разстоянието до космическите обекти, но опитите за изчисляване на тези разстояния се случиха много преди настъпването на нашата ера. Тригонометрията също играе решаваща роля в навигацията: с известни познания капитанът винаги може да се ориентира по звездите през нощта и да коригира курса.

Основни понятия

Овладяването на тригонометрията от нулата изисква разбиране и запомняне на няколко основни термина.

Синусът на определен ъгъл е отношението на противоположната страна към хипотенузата. Нека изясним, че противоположният катет е страната, лежаща срещу ъгъла, който разглеждаме. По този начин, ако един ъгъл е 30 градуса, синусът на този ъгъл винаги, за всеки размер на триъгълника, ще бъде равен на ½. Косинусът на ъгъл е отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът е съотношението на срещуположната страна към съседната страна (или, което е същото, съотношението на синус към косинус). Котангенс е единицата, разделена на тангенса.

Заслужава да се спомене известното число Пи (3,14...), което е половината от дължината на окръжност с радиус една единица.

Етимология на думата "синус"

Историята на думата "синус" е наистина необичайна. Факт е, че буквалният превод на тази дума от латински означава „кух“. Това е така, защото правилното разбиране на думата се губи по време на превода от един език на друг.

Имената на основните тригонометрични функции произхождат от Индия, където понятието синус се обозначава с думата "струна" на санскрит - факт е, че сегментът, заедно с дъгата на окръжността, върху която лежи, изглеждаше като лък . По време на разцвета на арабската цивилизация индийските постижения в областта на тригонометрията са заимствани и терминът преминава в арабски като транскрипция. Случи се така, че този език вече имаше подобна дума, обозначаваща депресия, и ако арабите разбраха фонетичната разлика между родната и заета дума, тогава европейците, превеждайки научни трактати на латински, погрешно буквално превеждаха арабската дума, която нямаше нищо свързано с понятието синус. Използваме го и до ден днешен.

Таблици със стойности

Има таблици, които съдържат числени стойности за синуси, косинуси и тангенси на всички възможни ъгли. По-долу представяме данни за ъгли от 0, 30, 45, 60 и 90 градуса, които трябва да се научат като задължителен раздел от тригонометрията за "манекени"; за щастие, те са доста лесни за запомняне.

Ако се случи така, че числовата стойност на синуса или косинуса на даден ъгъл „излезе от главата ви“, има начин да го извлечете сами.

Геометрично представяне

Нека начертаем окръжност и да прекараме абсцисната и ординатната ос през нейния център. Абсцисната ос е хоризонтална, ординатната ос е вертикална. Те обикновено се подписват съответно с "X" и "Y". Сега ще начертаем права линия от центъра на кръга, така че да се получи ъгълът, от който се нуждаем, между нея и оста X. Накрая, от точката, където правата линия пресича окръжността, пускаме перпендикуляр към оста X. Дължината на получения сегмент ще бъде равна на числената стойност на синуса на нашия ъгъл.

Този метод е много подходящ, ако сте забравили необходимата стойност, например по време на изпит, и нямате под ръка учебник по тригонометрия. По този начин няма да получите точно число, но определено ще видите разликата между ½ и 1,73/2 (синус и косинус на ъгъл от 30 градуса).

Приложение

Някои от първите експерти, които използваха тригонометрията, бяха моряци, които нямаха друга отправна точка в открито море, освен небето над главите си. Днес капитаните на кораби (самолети и други видове транспорт) не търсят най-краткия път по звездите, а активно прибягват до GPS навигация, което би било невъзможно без използването на тригонометрията.

В почти всеки раздел на физиката ще намерите изчисления, използващи синуси и косинуси: било то прилагане на сила в механиката, изчисления на пътя на обектите в кинематиката, вибрации, разпространение на вълни, пречупване на светлината - просто не можете без основна тригонометрия в формулите.

Друга професия, която е немислима без тригонометрия, е геодезист. С помощта на теодолит и нивелир или по-сложен уред - оборотомер, тези хора измерват разликата във височината между различните точки на земната повърхност.

Повторяемост

Тригонометрията се занимава не само с ъглите и страните на триъгълника, въпреки че оттук започва своето съществуване. Във всички области, където има цикличност (биология, медицина, физика, музика и т.н.), ще срещнете графика, чието име вероятно ви е познато - това е синусоида.

Такава графика е кръг, разгънат по времевата ос и прилича на вълна. Ако някога сте работили с осцилоскоп в час по физика, знаете за какво говорим. Както музикалният еквалайзер, така и пулсомерът използват в работата си тригонометрични формули.

Накрая

Когато мислят как да научат тригонометрия, повечето ученици от средното и средното училище започват да го смятат за трудна и непрактична наука, тъй като се запознават само със скучна информация от учебник.

Що се отнася до непрактичността, вече видяхме, че в една или друга степен умението да се борави със синуси и тангенси е необходимо в почти всяка сфера на дейност. Що се отнася до сложността... Помислете: ако хората са използвали това знание преди повече от две хиляди години, когато един възрастен е имал по-малко знания от днешния гимназист, реалистично ли е вие лично да изучавате тази област на науката на основно ниво? Няколко часа обмислена практика за решаване на проблеми - и ще постигнете целта си, като изучавате основния курс, така наречената тригонометрия за манекени.

Още през 1905 г. руските читатели можеха да прочетат в книгата на Уилям Джеймс „Психология“ неговите разсъждения относно „защо ученето наизуст е толкова лош начин за учене?“

„Знанията, придобити чрез просто наизустяване, почти неизбежно се забравят напълно без следа. Напротив, умственият материал, усвояван от паметта постепенно, ден след ден, във връзка с различни контексти, свързван асоциативно с други външни събития и многократно подложен на обсъждане, образува такава система, влиза в такава връзка с другите аспекти на нашето интелектът, лесно се възстановява в паметта от множество външни поводи, което остава трайна придобивка за дълго време.

Оттогава минаха повече от 100 години, а тези думи остават удивително актуални. В това се убеждавате всеки ден, когато работите с ученици. Огромните пропуски в знанията са толкова големи, че може да се твърди: училищният курс по математика в дидактически и психологически план не е система, а вид устройство, което насърчава краткосрочната памет и изобщо не се интересува от дългосрочната памет .

Познаването на училищния курс по математика означава да овладеете материала от всяка област на математиката и да можете да актуализирате всеки от тях по всяко време. За да постигнете това, трябва систематично да контактувате с всеки от тях, което понякога не винаги е възможно поради голямото натоварване в урока.

Има и друг начин за дългосрочно запаметяване на факти и формули - това са референтни сигнали.

Тригонометрията е един от големите раздели на училищната математика, изучаван в курса по геометрия в 8 и 9 клас и в курса по алгебра в 9 клас, алгебра и елементарен анализ в 10 клас.

Най-големият обем изучаван материал по тригонометрия се пада на 10. клас. По-голямата част от този материал по тригонометрия може да бъде научен и запомнен тригонометричен кръг(окръжност с единичен радиус с център в началото на правоъгълната координатна система). Приложение 1.ppt

Това са следните тригонометрични концепции:

дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл;
измерване на радиан ъгъл;
област на дефиниция и диапазон от стойности на тригонометрични функции
стойности на тригонометрични функции за някои стойности на числения и ъглов аргумент;
периодичност на тригонометричните функции;
четност и нечетност на тригонометричните функции;
нарастващи и намаляващи тригонометрични функции;
формули за намаляване;
стойности на обратни тригонометрични функции;
решаване на прости тригонометрични уравнения;
решаване на прости неравенства;
основни формули на тригонометрията.

Нека разгледаме изучаването на тези концепции върху тригонометричната окръжност.

1) Дефиниция на синус, косинус, тангенс и котангенс.

След въвеждане на концепцията за тригонометрична окръжност (окръжност с единичен радиус с център в началото), началния радиус (радиуса на окръжността по посока на оста Ox) и ъгъла на завъртане, учениците самостоятелно получават определения за синус, косинус, тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност, използвайки дефинициите от геометрията на курса, т.е. разглеждайки правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на 1.

Косинусът на ъгъл е абсцисата на точка от окръжност, когато първоначалният радиус се завърти на даден ъгъл.

Синусът на ъгъл е ординатата на точка от окръжност, когато първоначалният радиус се завърти на даден ъгъл.

2) Радианно измерване на ъгли върху тригонометрична окръжност.

След въвеждане на радианната мярка за ъгъл (1 радиан е централният ъгъл, който съответства на дължината на дъгата, равна на дължината на радиуса на окръжността), учениците заключават, че радианното измерване на ъгъла е числената стойност на ъгълът на завъртане на окръжността, равен на дължината на съответната дъга, когато началният радиус се завърти на даден ъгъл. .

Тригонометричният кръг е разделен на 12 равни части от диаметрите на кръга. Като знаете, че ъгълът е в радиани, можете да определите измерването на радиани за ъгли, които са кратни на .

И радианните измервания на ъгли, кратни, се получават по подобен начин:

3) Домейн на дефиниция и диапазон от стойности на тригонометрични функции.

Ще бъде ли функция съответствието между ъглите на въртене и стойностите на координатите на точка от окръжност?

Всеки ъгъл на въртене съответства на една точка от кръга, което означава, че това съответствие е функция.

Получаване на функциите

На тригонометричната окръжност можете да видите, че домейнът на дефиниране на функциите е множеството от всички реални числа, а обхватът на стойностите е .

Нека въведем понятията за прави на тангенси и котангенти върху тригонометрична окръжност.

1) Нека Нека въведем спомагателна права линия, успоредна на оста Oy, върху която се определят допирателните за произволен числен аргумент.

2) По същия начин получаваме линия от котангенси. Нека y=1, тогава . Това означава, че стойностите на котангенса се определят на права линия, успоредна на оста Ox.

На тригонометричен кръг можете лесно да определите домейна на дефиниция и обхвата на стойностите на тригонометричните функции:

за допирателна -

за котангенс -

4) Стойности на тригонометрични функции върху тригонометрична окръжност.

Кракът срещу ъгъла в е равен на половината от хипотенузата, тоест другият крак според питагоровата теорема:

Това означава, че като дефинирате синус, косинус, тангенс, котангенс, можете да определите стойности за ъгли, които са кратни или радиани. Стойностите на синуса се определят по оста Oy, косинусът по оста Ox, а стойностите на тангенса и котангенса могат да бъдат определени с помощта на допълнителни оси, успоредни съответно на осите Oy и Ox.

Табличните стойности на синуса и косинуса са разположени на съответните оси, както следва:

Таблични стойности на тангенса и котангенса -

5) Периодичност на тригонометричните функции.

На тригонометричния кръг можете да видите, че стойностите на синуса и косинуса се повтарят на всеки радиан, а на тангенса и котангенса - на всеки радиан.

6) Четност и нечетност на тригонометричните функции.

Това свойство може да се получи чрез сравняване на стойностите на положителните и противоположните ъгли на въртене на тригонометричните функции. Разбираме това

Това означава, че косинусът е четна функция, всички други функции са нечетни.

7) Нарастващи и намаляващи тригонометрични функции.

Тригонометричният кръг показва, че функцията синус нараства и намалява

Разсъждавайки по подобен начин, получаваме интервалите на нарастващи и намаляващи функции на косинус, тангенс и котангенс.

8) Формули за редукция.

За ъгъл вземаме по-малката стойност на ъгъла върху тригонометричната окръжност. Всички формули се получават чрез сравняване на стойностите на тригонометричните функции на краката на избрани правоъгълни триъгълници.

Алгоритъм за прилагане на формули за намаляване:

1) Определете знака на функцията при завъртане на даден ъгъл.

При завиване на ъгъл функцията се запазва, при завъртане на ъгъл - цяло число, нечетно число, кофункцията (

9) Стойности на обратни тригонометрични функции.

Нека въведем обратни функции за тригонометрични функции, използвайки дефиницията на функция.

Всяка стойност на синус, косинус, тангенс и котангенс върху тригонометричната окръжност съответства само на една стойност на ъгъла на завъртане. Това означава, че за функция домейнът на дефиниция е , диапазонът от стойности е - За функцията домейнът на дефиниция е , диапазонът от стойности е . По същия начин получаваме домейна на дефиниция и обхвата на стойностите на обратните функции за косинус и котангенс.

Алгоритъм за намиране на стойностите на обратни тригонометрични функции:

1) намиране на стойността на аргумента на обратната тригонометрична функция на съответната ос;

2) намиране на ъгъла на въртене на първоначалния радиус, като се вземе предвид диапазонът от стойности на обратната тригонометрична функция.

Например:

10) Решаване на прости уравнения върху тригонометрична окръжност.

За да решим уравнение от формата , намираме точки на окръжността, чиито ординати са равни, и записваме съответните ъгли, като вземем предвид периода на функцията.

За уравнението намираме точки на окръжността, чиито абциси са равни, и записваме съответните ъгли, като вземем предвид периода на функцията.

По същия начин за уравнения от формата Стойностите се определят по линиите на тангенси и котангенси и се записват съответните ъгли на завъртане.

Всички понятия и формули на тригонометрията се научават от самите ученици под ясното ръководство на учителя с помощта на тригонометричен кръг. В бъдеще този „кръг“ ще им служи като референтен сигнал или външен фактор за възпроизвеждане в паметта на концепциите и формулите на тригонометрията.

Изучаването на тригонометрия върху тригонометричен кръг помага:

избор на оптимален стил на общуване за даден урок, организиране на учебно сътрудничество;
целите на урока стават лично значими за всеки ученик;
новият материал се основава на личния опит на ученика за действие, мислене и чувства;
урокът включва разнообразни форми на работа и начини за получаване и усвояване на знания; има елементи на взаимно и самообучение; самоконтрол и взаимоконтрол;
има бърза реакция при неразбиране и грешка (съвместно обсъждане, съвети за поддръжка, взаимни консултации).