Кога се използва формулата на Бернули? Числени характеристики на случайна величина, разпределени по биномен закон

1

1. Боголюбов А.Н. Математика. Механика: биографичен справочник. - Киев: Наукова думка, 1983.

2. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка на приоритета на разделите на математическите дисциплини, изучавани от студенти по икономически специалности аграрни университети// Бюлетин на агропромишления комплекс на Ставропол. - 2013. - № 1 (9). - С. 6-10.

3. Долгополова A.F., Gulay T.A., Литвин D.B. Перспективи за приложение математически методи V икономически изследвания// Аграрна наука, творчество, растеж. - 2013. - С. 255-257.

В математиката доста често има задачи, в които има голям бройповторения на едно и също състояние, тест или експеримент. Резултатът от всеки тест ще се счита за напълно различен резултат от предишния. Зависимост в резултатите също няма да се наблюдава. Като резултат от теста могат да се разграничат няколко възможности за елементарни последствия: настъпване на събитие (А) или настъпване на събитие, което допълва А.

Тогава нека се опитаме да приемем, че вероятността за настъпване на събитието Р(А) е регулярна и равна на р (0<р<1).

Примери за такова предизвикателство могат да бъдат голям брой задачи, като хвърляне на монета, изваждане на черни и бели топки от тъмна торба или раждане на черни и бели зайци.

Такъв експеримент се нарича повтаряща се независима тестова конфигурация или схема на Бернули.

Якоб Бернули е роден в семейство на фармацевт. Бащата се опитва да насочи сина си към медицината, но Й. Бернули сам започва да се интересува от математиката и по-късно тя става негова професия. Притежава различни трофеи в трудове по теми от теорията на вероятностите и числата, редовете и диференциалното смятане. След като изучава теорията на вероятностите от едно от произведенията на Хюйгенс „За изчисленията в хазарта“, Джейкъб се интересува от това. В тази книга дори нямаше ясна дефиниция на понятието „вероятност“. Дж. Бернули е този, който въвежда повечето от съвременните концепции на теорията на вероятностите в математиката. Бернули беше и първият, който изрази своята версия на закона за големите числа. Името на Джейкъб се носи от различни трудове, теореми и схеми: "Числа на Бернули", "Полином на Бернули", "Диференциално уравнение на Бернули", "Разпределение на Бернули" и "Уравнение на Бернули".

Да се ​​върнем на повторението. Както вече беше споменато по-горе, в резултат на различни тестове са възможни два резултата: или ще се появи събитие А, или обратното на това събитие. Самата схема на Бернули означава производството на n-тия брой типични безплатни експерименти и във всеки от тези експерименти може да се появи събитието А, от което се нуждаем (вероятността за това събитие е известна: P (A) \u003d p), вероятността за събитие, противоположно на събитие А, се обозначава с q \u003d P ( A)=1-p. Изисква се да се определи вероятността при тестване на неизвестно число събитие А да се случи точно k пъти.

Важно е да запомните основното условие при решаването на проблеми с помощта на схемата на Бернули е постоянството. Без него схемата губи всякакъв смисъл.

Тази схема може да се използва за решаване на проблеми с различни нива на сложност: от прости (една и съща монета) до сложни (лихва). Въпреки това, по-често схемата на Бернули се използва при решаването на такива проблеми, които са свързани с контрола на свойствата на различни продукти и доверието в различни механизми. Само за решаване на проблема, преди да започнете работа, всички условия и стойности трябва да бъдат известни предварително.

Не всички проблеми в теорията на вероятностите се свеждат до постоянство при условия. Дори ако вземем за пример черни и бели топки в тъмна торба: когато една топка бъде изтеглена, съотношението на броя и цветовете на топките в торбата се е променило, което означава, че самата вероятност се е променила.

Въпреки това, ако нашите условия са постоянни, тогава можем точно да определим изискваната от нас вероятност събитието А да се случи точно k пъти от n възможни.

Този факт е компилиран от Якоб Бернули в теорема, която по-късно става известна като негово име. „Теоремата на Бернули“ е една от основните теореми в теорията на вероятностите. Публикуван е за първи път в труда на Й. Бернули "Изкуството на предположенията". Каква е тази теорема? „Ако вероятността p за настъпване на събитие А във всеки опит е постоянна, тогава вероятността Pk,n събитието да се случи k пъти в n опита, които са независими едно от друго, е равна на: , където q=1-p .”

В доказателството за ефективността на формулата могат да се дават задачи.

Задача №1:

От n стъклени буркана за месец на съхранение, k се счупват. На случаен принцип взех m кутии. Намерете вероятността сред тези буркани l да не се счупи. n=250, k=10, m=8, l=4.

Решение: Имаме схема на Бернули със стойности:

p=10/250=0.04 (вероятност банките да се счупят);

n=8 (брой опити);

k=8-4=4 (брой счупени буркани).

Използваме формулата на Бернули

Има:

Отговор: 0,0141

Задача #2:

Вероятността за производство на дефектен продукт в производството е 0,2. Намерете вероятността от 10 продукта, произведени в това производствено съоръжение, точно k да са в добро състояние. Изпълнете решение за k = 0, 1, 10.

Интересуваме се от събитие А - производство на годни за експлоатация части, което се случва веднъж на час с вероятност p=1-0.2=0.8. Трябва да намерим вероятността даденото събитие да се случи k пъти. Събитие А е противоположно на събитието "не А", т.е. производство на дефектен продукт.

Следователно имаме: n=10; р=0,8; q=0,2.

В резултат на това намираме вероятността, че от 10 произведени продукта всички продукти са дефектни (k=0), че един продукт е в добро състояние (k=1), че изобщо няма дефектни (k=10) :

В заключение бих искал да отбележа, че в днешно време много учени се опитват да докажат, че "формулата на Бернули" не е в съответствие със законите на природата и че проблемите могат да бъдат решени, без да се прилага. Разбира се, това е възможно, повечето проблеми в теорията на вероятностите могат да бъдат изпълнени без формулата на Бернули, най-важното е да не се бъркате в големи обеми числа.

Библиографска връзка

Хомутова Е.А., Калиниченко В.А. ФОРМУЛАТА НА БЕРНУЛИ В ТЕОРИЯТА НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ // Международен студентски научен бюлетин. - 2015. - № 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (дата на достъп: 12.03.2019 г.). Предлагаме на Вашето внимание списанията, издавани от издателство "Естествонаучна академия"

Кратка теория

Теорията на вероятностите се занимава с експерименти, които могат да се повтарят (поне на теория) неограничен брой пъти. Нека някой експеримент се повтори веднъж и резултатите от всяко повторение не зависят от резултатите от предишни повторения. Такива серии от повторения се наричат ​​независими опити. Специален случай на такива тестове са независими опити на Бернули, които се характеризират с две условия:

1) резултатът от всеки тест е един от два възможни резултата, наречени съответно „успех“ или „неуспех“.

2) вероятността за "успех" във всеки следващ тест не зависи от резултатите от предишни тестове и остава постоянна.

Теорема на Бернули

Ако се направи поредица от независими опити на Бернули, във всеки от които "успехът" се случва с вероятност, тогава вероятността "успехът" в опитите да се случи точно веднъж се изразява с формулата:

къде е вероятността от провал.

- броят на комбинациите от елементи по (вижте основните формули на комбинаториката)

Тази формула се нарича Формула на Бернули.

Формулата на Бернули ви позволява да се отървете от голям брой изчисления - събиране и умножение на вероятности - с достатъчно голям брой тестове.

Тестовата схема на Бернули се нарича още биномна схема, а съответните вероятности се наричат ​​биномни, което се свързва с използването на биномни коефициенти.

Разпределението според схемата на Бернули позволява по-специално да се намери най-вероятният брой на възникване на събитие.

Ако броят на опитите нстрахотно, тогава се наслаждавайте:

Пример за решение на проблем

Задачата

Кълняемостта на семената на дадено растение е 70%. Каква е вероятността от 10 засети семена: 8, поне 8; поне 8?

Решението на проблема

Нека използваме формулата на Бернули:

В нашия случай

Нека събитието - от 10 семена покълнат 8:

Нека събитието - нарасне поне 8 (това означава 8, 9 или 10)

Нека събитието се покачи поне 8 (това означава 8,9 или 10)

Отговор

Среденцената на решаването на контролната работа е 700 - 1200 рубли (но не по-малко от 300 рубли за цялата поръчка). Цената се влияе силно от спешността на решението (от дни до няколко часа). Цената на онлайн помощ в изпита / теста - от 1000 рубли. за решението за билети.

Приложението може да бъде оставено директно в чата, като предварително сте изхвърлили условието на задачите и сте информирали за крайните срокове за решаването му. Времето за реакция е няколко минути.

Повтарящите се независими опити се наричат ​​опити на Бернули, ако всеки опит има само два възможни резултата и вероятностите за резултати остават еднакви за всички опити.

Обикновено тези два изхода се наричат ​​"успех" (S) или "неуспех" (F) и съответните вероятности се обозначават стрИ р. Това е ясно стр 0, р³ 0 и стр+р=1.

пространство елементарни събитияВсеки опит се състои от две събития Y и H.

Пространство на елементарни събития нИзпитания на Бернули Ω съдържа 2 нелементарни събития, които са последователности (вериги) от нсимволи Y и H. Всяко елементарно събитие е един от възможните резултати от последователността нИзпитания на Бернули. Тъй като тестовете са независими, тогава, съгласно теоремата за умножение, вероятностите се умножават, т.е. вероятността за всяка конкретна последователност е продуктът, получен чрез заместване на символите U и H с стрИ рсъответно, тоест например: Р( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Имайте предвид, че резултатът от теста на Бернули често се означава с 1 и 0, а след това елементарното събитие в последователността нТестове на Бернули - има верига, състояща се от нули и единици. Например:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Опитите на Бернули са най-важната схема, разглеждана в теорията на вероятностите. Тази схема е кръстена на швейцарския математик Й. Бернули (1654-1705), който изучава този модел задълбочено в своите трудове.

Основният проблем, който ще ни интересува тук е: каква е вероятността от събитието, което в нПроцесите на Бернули се случиха муспех?

Ако тези условия са изпълнени, вероятността по време на независими тестове събитие ще се спазва точно м пъти (без значение в кои експерименти), се определя от Формула на Бернули:

(21.1)

Където - вероятност за възникване във всеки тест и
е вероятността в дадено преживяване събитие Не се случи.

Ако вземем предвид П н (м)като функция м, то дефинира вероятностно разпределение, което се нарича биномно. Нека проучим тази връзка П н (м)от м, 0£ м£ н.

събития бм ( м = 0, 1, ..., н), състоящ се от различен брой повторения на събитието А V нтестове, са несъвместими и образуват пълна група. следователно
.

Помислете за съотношението:

=
=
=
.

Оттук следва, че П н (m+1)>П н (м),Ако (н- m)p> (m+1)q, т.е. функция П н (м) се увеличава, ако м< np- р. по същия начин, П н (m+1)< П н (м),Ако (н- m)p< (m+1)q, т.е. П н (м)намалява, ако м> np- р.

Така има число м 0, при което П н (м)достига най-високата си стойност. Да намерим м 0 .

Според значението на числото м 0 имаме П н (м 0)³ П н (м 0 -1) и П н (м 0) ³ П н (м 0 +1), следователно

, (21.2)

. (21.3)

Решаване на неравенства (21.2) и (21.3) по отношение на м 0, получаваме:

стр/ м 0 ³ р/(н- м 0 +1) Þ м 0 £ np+ стр,

р/(н- м 0 ) ³ стр/(м 0 +1) Þ м 0 ³ np- р.

Така желаното число м 0 удовлетворява неравенствата

np- р£ м 0 £ np+p. (21.4)

защото стр+р=1, тогава дължината на интервала, определен от неравенство (21.4), е равна на единица и има поне едно цяло число м 0, удовлетворяващ неравенствата (21.4):

1) ако np - ре цяло число, тогава има две стойности м 0, а именно: м 0 = np - рИ м 0 = np - р + 1 = np + стр;

2) ако np - р- дробно, тогава има едно число м 0, а именно единственото цяло число, оградено между дробни числаполучено от неравенство (21.4);

3) ако npе цяло число, тогава има едно число м 0, а именно м 0 = np.

Номер м 0 се нарича най-вероятната или най-вероятната стойност (число) за настъпване на събитието Ав поредица от ннезависими тестове.

В този урок ще намерим вероятността за възникване на събитие в независими опити, когато опитите се повтарят. . Опитите се наричат ​​​​независими, ако вероятността за един или друг резултат от всяко изпитание не зависи от това какви резултати са имали други изпитания. . Независими тестове могат да се провеждат както при едни и същи условия, така и при различни условия. В първия случай вероятността за възникване на събитие във всички опити е една и съща; във втория случай тя варира от опит до опит.

Примери за независими повторни тестове :

• един от възлите на устройството или два или три възела ще се повредят и повредата на всеки възел не зависи от другия възел и вероятността за повреда на един възел е постоянна във всички тестове;
• произведени в някои постоянни технологични условияедна част или три, четири, пет части ще бъдат нестандартни и една част може да бъде нестандартна, независимо от всяка друга част, и вероятността частта да бъде нестандартна е постоянна във всички тестове;
• от няколко изстрела по мишената, един, три или четири изстрела уцелват мишената, независимо от резултата на други изстрели и вероятността за попадение в мишената е постоянна във всички опити;
• когато монетата бъде поставена, машината ще работи правилно един, два или друг брой пъти, независимо от това какви други вмъквания на монети са имали, и вероятността машината да работи правилно е постоянна във всички опити.

Тези събития могат да бъдат описани с една схема. Всяко събитие се случва във всеки опит с еднаква вероятност, която не се променя, ако резултатите от предишни опити станат известни. Такива тестове се наричат ​​независими, а схемата се нарича Схема на Бернули . Предполага се, че такива тестове могат да се повтарят толкова пъти, колкото желаете.

Ако вероятността стрсъбитие Ае постоянна във всеки опит, тогава вероятността, че в ннезависимо тестово събитие Аще дойде мпъти, намиращи се на Формула на Бернули :

(Където р= 1 – стр- вероятността събитието да не се случи)

Нека поставим задачата - да намерим вероятността събитие от този тип в нще дойдат независими изпитания мведнъж.

Формула на Бернули: примери за решаване на проблеми

Пример 1Намерете вероятността от пет произволно избрани части две да са стандартни, ако вероятността всяка част да е стандартна е 0,9.

Решение. Вероятност на събитието А, състоящ се в това, че част, взета на случаен принцип, е стандартна стр=0,9 , а вероятността да е нестандартен е р=1–стр=0,1. Събитието, посочено в условието на задачата (означаваме го с IN) възниква, ако например първите две части са стандартни, а следващите три са нестандартни. Но събитието INвъзниква и ако първата и третата част са стандартни, а останалите са нестандартни, или ако втората и петата част са стандартни, а останалите са нестандартни. Има и други възможности за настъпване на събитието. IN. Всеки от тях се характеризира с факта, че от пет взети части, две, заемащи произволни места от пет, ще се окажат стандартни. следователно общ бройразлични възможности за настъпване на дадено събитие INе равен на броя на възможностите за поставяне на две стандартни части на пет места, т.е. е равно на броя на комбинациите от пет елемента по две и .

Вероятността за всяка възможност, съгласно теоремата за умножение на вероятностите, е равна на произведението от пет фактора, от които два, съответстващ на външния видстандартни части са равни на 0,9, а останалите три, съответстващи на външния вид на нестандартните части, са равни на 0,1, т.е. тази вероятност е. Тъй като тези десет възможности са несъвместими събития, според теоремата за добавяне, вероятността от събитие IN, което обозначаваме

Пример 2Вероятността машината да изисква вниманието на работник в рамките на един час е 0,6. Ако приемем, че повредите на машините са независими, намерете вероятността в продължение на един час вниманието на работника да бъде изисквано от някоя от четирите машини, обслужвани от него.

Решение. Използвайки Формула на Бернулипри н=4 , м=1 , стр=0,6 и р=1–стр=0,4, получаваме

Пример 3За нормалната работа на автобазата трябва да има най-малко осем вагона на линията, а те са десет. Вероятността за неизлизане на всяка кола от линията е равна на 0,1. Намерете вероятността за нормална работа на депото през следващия ден.

Решение. Autobase ще работи добре (събитие Е), ако едно или осем ще влязат в реда (събитието А), или девет (събитие IN), или събитие на всички десет автомобила (събитие ° С). Според теоремата за добавяне на вероятности,

Намираме всеки термин според формулата на Бернули. Тук н=10 , м=8; 10 и стр\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, тъй като стртрябва да означава вероятността кола да влезе в линията; Тогава р=0,1. В резултат на това получаваме

Пример 4Нека вероятността клиентът да се нуждае от мъжка обувка с размер 41 е 0,25. Намерете вероятността от шестима купувачи поне двама да се нуждаят от обувки с размер 41.

Дефиниция на повторни независими тестове. Формули на Бернули за изчисляване на вероятността и най-вероятното число. Асимптотични формули за формулата на Бернули (локални и интегрални, теореми на Лаплас). Използване на интегралната теорема. Формула на Поасон за малко вероятни случайни събития.

Повтарящи се независими тестове

На практика трябва да се справят с такива задачи, които могат да бъдат представени като многократно повтарящи се тестове, в резултат на всеки от които събитието А може да се появи или да не се появи. В същото време резултатът не от всеки „индивидуален тест, а обща сумавъзникване на събитие А в резултат на определен брой опити. При такива проблеми човек трябва да може да определи вероятността за произволен брой m настъпвания на събитие А в резултат на n опита. Разгледайте случая, когато опитите са независими и вероятността за възникване на събитие А във всеки опит е постоянна. Такива тестове се наричат повтарящи се независими.

Пример за независимо тестване би било тестването на годността на продукти, взети от една от няколко партиди. Ако тези партиди имат еднакъв процент дефекти, тогава вероятността избраният продукт да бъде дефектен във всеки случай е постоянно число.

Формула на Бернули

Нека използваме концепцията трудно събитие, което означава комбинацията от няколко елементарни събития, състояща се в появата или неявяването на събитие А в i -тия тест. Нека бъдат проведени n независими опита, във всяко от които събитие А може или да се появи с вероятност p, или да не се появи с вероятност q=1-p. Да разгледаме събитието B_m, което се състои в това, че събитието A в тези n опита ще се случи точно m пъти и следователно няма да се случи точно (n-m) пъти. Обозначете A_i~(i=1,2,\lточки,(n))настъпване на събитие A , a \overline(A)_i - ненастъпване на събитие A в i-тото изпитване. Поради постоянството на условията на теста имаме

Събитие А може да се появи m пъти в различни последователности или комбинации, редувайки се с противоположно събитие\overline(A) . Номер възможни комбинацииот този вид е равно на броя на комбинациите от n елемента по m, т.е. C_n^m. Следователно събитието B_m може да бъде представено като сума от сложни събития, които са несъвместими едно с друго, а броят на членовете е равен на C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

където събитие А се появява във всеки продукт m пъти, а \overline(A) - (n-m) пъти.

Вероятността за всяко сложно събитие, включено във формула (3.1), съгласно теоремата за умножение на вероятността за независими събитияе равно на p^(m)q^(n-m) . Тъй като общият брой такива събития е равен на C_n^m, тогава, използвайки теоремата за добавяне на вероятности за несъвместими събития, получаваме вероятността на събитието B_m (означаваме го с P_(m,n) )

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Формула (3.2) се извиква Формула на Бернули, а повторните опити, които отговарят на условието за независимост и постоянство на вероятностите за настъпване на събитието А във всяко от тях, се наричат Изпитания на Бернули, или схемата на Бернули.

Пример 1. Вероятността за излизане извън полето на толеранс при обработка на части на струг е 0,07. Определете вероятността от пет части, произволно избрани по време на смяната, един от размерите на диаметъра да не отговаря на определения толеранс.

Решение. Условието на задачата удовлетворява изискванията на схемата на Бернули. Следователно, ако приемем n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, по формула (3.2) получаваме

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\приблизително 0,\!262.

Пример 2. Наблюденията установяват, че в някои райони през септември има 12 дъждовни дни. Каква е вероятността от 8 произволно взети дни този месец 3 дни да са дъждовни?

Решение.

P_(3;8)=C_8^3(\вляво(\frac(12)(30)\вдясно)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Най-вероятният брой повторения на събитието

Най-вероятен външен видсъбитие A в n независими опити е такова число m_0, за което вероятността, съответстваща на това число, е по-голяма или поне не по-малка от вероятността за всеки от другите възможни числа за поява на събитие A. За да се определи най-вероятното число, не е необходимо да се изчисляват вероятностите за възможния брой повторения на събитието, достатъчно е да се знае броят на опитите n и вероятността за възникване на събитието А в отделно изпитване. Нека P_(m_0,n) означава вероятността, съответстваща на най-вероятното число m_0. Използвайки формула (3.2), записваме

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Съгласно дефиницията на най-вероятното число, вероятностите събитието А да се случи m_0+1 и m_0-1 пъти, съответно, не трябва поне да надвишава вероятността P_(m_0,n) , т.е.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\квад P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Като заместим стойността P_(m_0,n) и изразите за вероятностите P_(m_0+1,n) и P_(m_0-1,n) в неравенствата, получаваме

Решавайки тези неравенства за m_0, получаваме

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Комбинирайки последните неравенства, получаваме двойно неравенство, който се използва за определяне на най-вероятното число:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Тъй като дължината на интервала, определен от неравенството (3.4), е равна на единица, т.е.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

и дадено събитие може да се случи в n опита само цял брой пъти, тогава трябва да се има предвид, че:

1) ако np-q е цяло число, тогава има две стойности на най-вероятното число, а именно: m_0=np-q и m"_0=np-q+1=np+p ;

2) ако np-q е дробно число, то има едно най-вероятно число, а именно: единственото цяло число между дробните числа, получено от неравенство (3.4);

3) ако np е цяло число, тогава има едно най-вероятно число, а именно: m_0=np .

При големи стойности n Неудобно е да се използва формула (3.3) за изчисляване на вероятността, съответстваща на най-вероятното число. Ако в равенство (3.3) заместим формулата на Стърлинг

N!\приблизително(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

валидни за достатъчно голямо n и вземем най-вероятното число m_0=np, тогава получаваме формула за приблизително изчисляване на вероятността, съответстваща на най-вероятното число:

P_(m_0,n)\приблизително\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Пример 2. Известно е, че \frac(1)(15) някои от продуктите, доставени от завода на търговската база, не отговарят на всички изисквания на стандарта. В базата е доставена партида продукти в размер на 250 броя. Намерете най-вероятния брой продукти, които отговарят на изискванията на стандарта, и изчислете вероятността тази партида да съдържа най-вероятния брой продукти.

Решение. По условие n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Съгласно неравенството (3.4) имаме

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

където 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Следователно най-вероятният брой продукти, които отговарят на изискванията на стандарта в партида от 250 броя. е равно на 234. Замествайки данните във формула (3.5), изчисляваме вероятността да имаме най-вероятния брой елементи в партидата:

P_(234 250)\приблизително\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\приблизително0,\!101

Локална теорема на Лаплас

Използването на формулата на Бернули за големи стойности на n е много трудно. Например ако n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, тогава за намиране на вероятността P_(30,50) е необходимо да се изчисли стойността на израза

P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Естествено възниква въпросът: възможно ли е да се изчисли вероятността от лихва, без да се използва формулата на Бернули? Оказва се, че можете. Локална теоремаЛаплас дава асимптотична формула, която ви позволява приблизително да намерите вероятността за възникване на събития точно m пъти в n опити, ако броят на опитите е достатъчно голям.

Теорема 3.1. Ако вероятността p за възникване на събитие A във всяко изпитание е постоянна и различна от нула и единица, тогава вероятността P_(m,n), че събитие A ще се появи в n изпитания точно m пъти, е приблизително равна (колкото по-точно, по-голямо n ) към стойността на функцията

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))при .

Има таблици, които съдържат стойности на функции \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), съответстващи на положителни стойности на аргумента x . За отрицателни стойностисъщите таблици използват аргумента, тъй като функцията \varphi(x) е четна, т.е. \varphi(-x)=\varphi(x).

И така, приблизително вероятността събитие А да се появи в n опита точно m пъти,

P_(m,n)\приблизително\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x),Където x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Пример 3. Намерете вероятността събитие А да се случи точно 80 пъти в 400 опита, ако вероятността събитие А да се случи във всеки опит е 0,2.

Решение. По условие n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Използваме асимптотичната формула на Лаплас:

P_(80 400)\приблизително\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (х).

Нека изчислим стойността x, определена от данните на проблема:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Според таблицата adj, 1 намираме \varphi(0)=0,\!3989. Желана вероятност

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Формулата на Бернули води до приблизително същия резултат (изчисленията са пропуснати поради тяхната тромавост):

P_(80,100)=0,\!0498.

Интегрална теорема на Лаплас

Да предположим, че са проведени n независими опита, във всяко от които вероятността за настъпване на събитието A е постоянна и равна на p . Необходимо е да се изчисли вероятността P_((m_1,m_2),n), че събитие А ще се появи в n опита поне m_1 и най-много m_2 пъти (за краткост ще кажем "от m_1 до m_2 пъти"). Това може да се направи с помощта на интегралната теорема на Лаплас.

Теорема 3.2. Ако вероятността p за възникване на събитие A във всеки опит е постоянна и различна от нула и едно, тогава приблизително вероятността P_((m_1,m_2),n), че събитие A ще се появи в опити от m_1 до m_2 пъти,

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,Където .

При решаване на задачи, които изискват прилагането на интегралната теорема на Лаплас, се използват специални таблици, тъй като неопределен интеграл \int(e^(-x^2/2)\,dx)не се изразява чрез елементарни функции. Интегрална маса \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzдадено в ап. 2, където са дадени стойностите на функцията \Phi(x). положителни стойности x, за x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 може да приеме \Phi(x)=0,\!5 .

И така, приблизително вероятността събитие А да се появи в n независими опита от m_1 до m_2 пъти,

P_((m_1,m_2),n)\приблизително\Phi(x"")-\Phi(x"),Където x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Пример 4. Вероятност дадена част да е произведена в нарушение на стандартите, p=0,\!2 . Намерете вероятността сред 400 произволно избрани нестандартни части да има от 70 до 100 части.

Решение. По условие p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Нека използваме интегралната теорема на Лаплас:

P_((70,100),400)\приблизително\Phi(x"")-\Phi(x").

Нека изчислим границите на интегриране:

нисък

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

горен

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

По този начин

P_((70,100),400)\приблизително\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

Според таблицата ап. 2 намерете

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Желана вероятност

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Приложение на интегралната теорема на Лаплас

Ако числото m (броят повторения на събитие A в n независими опита) ще се промени от m_1 на m_2, тогава частта \frac(m-np)(\sqrt(npq))ще се промени от \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"преди \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Следователно интегралната теорема на Лаплас може да бъде записана и по следния начин:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Нека поставим задачата да намерим вероятността, че отклонението на относителната честота \frac(m)(n) от постоянната вероятност p в абсолютна стойностне надвишава даденото число \varepsilon>0 . С други думи, намираме вероятността за неравенството \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, което е същото -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Тази вероятност ще бъде означена по следния начин: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Като вземем предвид формула (3.6), за тази вероятност получаваме

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\надясно).

Пример 5. Вероятността частта да е нестандартна, p=0,\!1 . Намерете вероятността сред произволно избрани 400 части относителната честота на поява на нестандартни части да се отклонява от вероятността p=0,\!1 по абсолютна стойност с не повече от 0,03.

Решение. По условие n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Трябва да намерим вероятността P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Използвайки формула (3.7), получаваме

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

Според таблицата ап. 2 намираме \Phi(2)=0,\!4772 , следователно 2\Phi(2)=0,\!9544 . Така че желаната вероятност е приблизително равна на 0,9544. Значението на получения резултат е следното: ако вземем достатъчно голям брой проби от 400 части всяка, тогава приблизително в 95,44% от тези проби отклонението на относителната честота от постоянната вероятност p=0,\!1 в абсолютната стойност няма да надвишава 0,03.

Формула на Поасон за малко вероятни събития

Ако вероятността p за настъпване на събитие в отделен опит е близка до нула, тогава дори за големи числатестове n, но при малка стойност на произведението np вероятностите P_(m, n), получени по формулата на Лаплас, не са достатъчно точни и има нужда от друга приблизителна формула.

Теорема 3.3. Ако вероятността p за настъпване на събитие A във всеки опит е постоянна, но малка, броят на независимите опити n е достатъчно голям, но стойността на продукта np=\lambda остава малка (не повече от десет), тогава вероятността че събитие А се случва m пъти в тези опити,

P_(m,n)\приблизително\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

За да се опростят изчисленията с помощта на формулата на Поасон, е съставена таблица със стойности на функцията на Поасон \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(вижте приложение 3).

Пример 6. Нека вероятността за производство на нестандартна част е 0,004. Намерете вероятността сред 1000 части да има 5 нестандартни.

Решение. Тук n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. И трите числа отговарят на изискванията на теорема 3.3, така че за да намерим вероятността за желаното събитие P_(5,1000), използваме формулата на Поасон. Съгласно таблицата със стойностите на функцията на Поасон (прил. 3) с \lambda=4;m=5 получаваме P_(5,1000)\приблизително 0,\!1563.

Нека намерим вероятността за същото събитие, използвайки формулата на Лаплас. За да направим това, първо изчисляваме стойността x, съответстваща на m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\приблизително\frac(1)(1,\!996)\приблизително0 ,\!501.

Следователно, според формулата на Лаплас, желаната вероятност

P_(5,1000)\приблизително\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\приблизително\frac(0,\!3519)(1,\!996)\приблизително0,\ !1763

и според формулата на Бернули точната му стойност

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\приблизително 0,\!1552.

По този начин, относителна грешкаизчисляването на вероятностите P_(5,1000) с помощта на приблизителната формула на Лаплас е

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\приблизително 0,\!196, или 13,\!6\%

и според формулата на Поасон -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\приблизително 0,\!007, или 0,\!7\%

Тоест в пъти по-малко.
Преминете към следващия раздел
Едномерни случайни променливи Javascript е деактивиран във вашия браузър.
ActiveX контролите трябва да са активирани, за да се правят изчисления!