Типове функции и техните свойства. Основни понятия и свойства на функциите

Определение: Числовата функция е съответствие, което се съпоставя с всяко число x от дадено множество единствено числог.

Обозначаване:

където x е независима променлива (аргумент), y е зависима променлива (функция). Наборът от стойности x се нарича домейн на функцията (обозначава се D(f)). Наборът от стойности y се нарича обхват на функцията (обозначен с E(f)). Графиката на функция е набор от точки в равнината с координати (x, f(x))

Начини за задаване на функция.

аналитичен метод (с използване на математическа формула);
табличен метод (с помощта на таблица);
описателен метод (с използване на словесно описание);
графичен метод (с помощта на графика).

Основни свойствафункции.

1. Четни и нечетни

Функция се извиква дори ако
– областта на дефиниране на функцията е симетрична спрямо нулата
f(-x) = f(x)

Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста 0 г

Функция се нарича странна ако
– областта на дефиниране на функцията е симетрична спрямо нулата
– за всяко x от областта на дефиницията f(-x) = -f(x)

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

2. Периодичност

Функцията f(x) се нарича периодична с период if за всяко x от областта на дефиниция f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

График периодична функциясе състои от безкрайно повтарящи се еднакви фрагменти.

3. Монотонност (увеличаване, намаляване)

Функцията f(x) нараства върху множеството P, ако за всяко x 1 и x 2 от това множество, така че x 1

Функцията f(x) е намаляваща в множеството P, ако за всяко x 1 и x 2 от това множество, така че x 1 f(x 2) .

4. Крайности

Точката X max се нарича максимална точка на функцията f (x), ако за всички x от някакъв квартал X max е изпълнено неравенството f (x) f (X max).

Стойността Y max =f(X max) се нарича максимум на тази функция.

X max - максимална точка
Макс има максимум

Точката X min се нарича минимална точка на функцията f (x), ако за всички x от някакъв квартал X min е изпълнено неравенството f (x) f (X min).

Стойността на Y min =f(X min) се нарича минимум на тази функция.

X min - минимална точка
Y min - минимум

X min , X max - точки на екстремум
Y min , Y max - екстремуми.

5. Функционални нули

Нулата на функцията y = f(x) е стойността на аргумента x, при която функцията изчезва: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 са нули на функцията y = f(x).

Задачи и тестове по темата "Основни свойства на функция"

Функционални свойства - Числови функции 9 клас
Уроци: 2 Задачи: 11 Тестове: 1
Свойства на логаритмите - демонстративни и логаритмична функция 11 клас
Уроци: 2 Задачи: 14 Тестове: 1
Функция квадратен корен, нейните свойства и графика - Функция корен квадратен. Свойства на корен квадратен 8 клас
Уроци: 1 Задачи: 9 Тестове: 1
Степенни функции, техните свойства и графики - Степени и корени. Силови функции 11 клас
Уроци: 4 Задачи: 14 Тестове: 1
Функции - Важни темиза повторение на изпитаматематика
Задачи: 24

След като сте изучили тази тема, трябва да можете да намерите областта на дефиниране на различни функции, да определите интервалите на монотонност на функция с помощта на графики и да изследвате функциите за четни и нечетни. Помислете за решението на такива проблеми на следните примери.

Примери.

1. Намерете домейна на функцията.

Решение:обхватът на функцията се намира от условието

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Обхватът и обхватът на функцията.В елементарната математика функциите се изучават само на множеството реални числа Р.Това означава, че аргументът на функцията може да приема само онези реални стойности, за които е дефинирана функцията, т.е. също така приема само реални стойности. Много хвсички валидни валидни стойности на аргумента х, за които функцията г= f(х) се дефинира, нарича се функционален обхват. Много Yвсички реални стойности гкоето функцията приема се извиква функционален диапазон. Сега можете да дадете повече точно определениеХарактеристика: правило(закон) за съответствие между множествата X и Y, по който за всеки елемент от множествотоX може да намери един и само един елемент от множеството Y, се нарича функция.

От това определение следва, че дадена функция се счита за дадена, ако:

Обхватът на функцията е зададен х ;

Обхватът на функцията е зададен Y ;

Правилото (законът) на съответствието е известно и такова, че за всеки

Само една функционална стойност може да бъде намерена за стойност на аргумент.

Това изискване за уникалност на функцията е задължително.

монотонна функция.Ако за всеки две стойности на аргумента х 1 и х 2 от условието х 2 > х 1 следва f(х 2) > f(х 1), след това функцията f(х) е наречен повишаване на; ако има х 1 и х 2 от условието х 2 > х 1 следва f(х 2) < f(х 1), след това функцията f(х) е наречен намаляващ. Извиква се функция, която само нараства или само намалява монотонен.

Ограничени и неограничени функции.Функцията се извиква ограниченако има такъв положително число Мкакво | f(х) | Мза всички стойности х .Ако не съществува такъв номер, тогава функцията е неограничен.

ПРИМЕРИ.

Функцията, изобразена на фиг. 3, е ограничена, но не е монотонна. Функцията на фигура 4 е точно обратното, монотонна, но неограничена. (Моля, обяснете това!)

Непрекъснати и прекъснати функции.функция г = f (х) е наречен непрекъснато в точкатах = а, ако:

1) функцията е дефинирана за х = а, т.е. f (а) съществува;

2) съществува краенлимит лим f (х) ;

х→а

(Вижте "Ограничения на функциите")

3) f (а) = lim f (х) .

х→а

Ако поне едно от тези условия не е изпълнено, тогава функцията се извиква прекъснатв точката х = а.

Ако функцията е непрекъсната в всичко точки от неговата област на дефиниране, тогава се нарича непрекъсната функция.

Четни и нечетни функции.Ако за всякакви х f(- х) = f (х), тогава функцията се извиква дори; ако стане: f(- х) = - f (х), тогава функцията се извиква странно. График дори функциясиметричен спрямо оста Y(фиг.5), графика странна функция Simпоказател за произхода(фиг. 6).

Периодична функция.функция f (х) - периодично изданиеако има такъв ненулевномер Tза какво всякакви хот обхвата на дефиницията на функцията се извършва: f (х + T) = f (х). Такива най-малкономерът се нарича функционален период. всичко тригонометрични функцииса периодични.

ПРИМЕР 1. Докажи този грях хима период от 2.

РЕШЕНИЕ Ние знаем, че грехът ( x+ 2н) = грях х, където н= 0, ± 1, ± 2, …

Следователно добавянето на 2 нкъм аргумента синус

Променя стойността си. Има ли друг номер с това

Същият имот?

Нека се преструваме, че П- такова число, т.е. равенство:

грях ( x+P) = грях х,

Валиден за всяка стойност х. Но тогава има

Местоположение и х= / 2 , т.е.

грях (/2 + П) = грях / 2 = 1.

Но според формулата за редукция sin ( / 2 + П) = cos П. Тогава

От последните две равенства следва, че cos П= 1, но ние

Знаем, че това е вярно само когато П = 2н. От най-малката

Ненулево число от 2 не 2, тогава това число

И има период на грях х. По подобен начин се доказва, че 2от не , така че това е периодът sin 2 х.

Функция нула.Извиква се стойността на аргумента, за която функцията е равна на 0 нула (root) функции. Една функция може да има няколко нули.Например функцията г = х (х + 1) (х-3) има три нули: х= 0, х= -1, х= 3. Геометрично функция нула - е абсцисата на пресечната точка на графиката на функцията с оста х .

Фигура 7 показва графиката на функцията с нули: х= а, х = bи х= ° С.

Асимптота.Ако графиката на функция се приближава до определена права линия за неопределено време, докато се отдалечава от началото, тогава тази права линия се нарича асимптота.

Функционални нули
Нулата на функцията е стойността х, при което функцията става 0, тоест f(x)=0.

Нулите са точките на пресичане на графиката на функцията с оста о

Функционален паритет
Функция се извиква дори и за всяка хот областта на дефиницията, равенството f(-x) = f(x)

Четната функция е симетрична спрямо оста OU

Странна функция
Една функция се нарича нечетна, ако за всяка хот областта на дефиницията е изпълнено равенството f(-x) = -f(x).

Нечетната функция е симетрична по отношение на началото.
Функция, която не е нито четна, нито нечетна, се нарича обща функция.

Увеличение на функцията
Функцията f(x) се нарича нарастваща ако по-голяма стойностаргумент съответства на по-голямата стойност на функцията, т.е.

Намаляваща функция
Функцията f(x) се нарича намаляваща, ако на по-голямата стойност на аргумента съответства по-малката стойност на функцията, т.е.

Извикват се интервалите, на които функцията или само намалява, или само нараства интервали на монотонност. Функцията f(x) има 3 интервала на монотонност:

Намерете интервали на монотонност, като използвате услугата Интервали на нарастващи и намаляващи функции

Местен максимум
Точка х 0наречена точка локален максимум, ако има такива хот съседство на точка х 0важи следното неравенство: f(x 0) > f(x)

Местен минимум
Точка х 0наречена точка местен минимум, ако има такива хот съседство на точка х 0важи следното неравенство: f(x 0)< f(x).

Локалните максимални точки и локалните минимални точки се наричат локални екстремни точки.

локални екстремни точки.

Функция Периодичност
Функцията f(x) се нарича периодична, с период T, ако има такива х f(x+T) = f(x) .

Интервали на постоянство
Интервалите, на които функцията е или само положителна, или само отрицателна, се наричат интервали с постоянен знак.

Непрекъснатост на функцията
Функция f(x) се нарича непрекъсната в точка x 0, ако границата на функцията при x → x 0 е равно на стойносттафункции в този момент, т.е. .

точки на прекъсване
Точките, в които се нарушава условието за непрекъснатост, се наричат точки на прекъсване на функцията.

x0- до точката на пречупване.