Видове уравнения и методи за тяхното решаване. Линейни уравнения

Министерството на общото и професионално образование RF

Общинска образователна институция

Гимназия No12

писане

на тема: Уравнения и начини за решаването им

Завършен: ученик 10 "А" клас

Крутко Евгений

Проверено: учителят по математика Исхакова Гюлсум Акрамовна

Тюмен 2001г

План................................................... ................................................. .............................. един

Въведение ................................................. ................................................ .. ...................... 2

Главна част................................................ ................................................. .............. 3

Заключение................................................................ ................................................. ................ 25

Приложение ................................................. ................................................. ............... 26

Списък с референции ................................................ .............................................................. ... 29

Планирайте.

Въведение.

Справка по история.

Уравнения. Алгебрични уравнения.

а) Основни определения.

б) Линейно уравнение и как да го решим.

в) Квадратни уравнения и методи за решаването им.

г) Двучленни уравнения, начин за решаването им.

д) Кубични уравнения и методи за тяхното решаване.

д) Биквадратно уравнениеи как да го реша.

ж) Уравнения от четвърта степен и методи за решаването им.

ж) Уравнения от високи степени и методи от решението.

з) Рационално алгебрично уравнение и неговият метод

и) Ирационални уравненияи начини за решаването му.

j) Уравнения, съдържащи неизвестното под знака.

абсолютна стойност и как да я решим.

Трансцендентални уравнения.

а) експоненциални уравненияи как да ги реша.

б) Логаритмични уравненияи как да ги реша.

Въведение

Образование по математика, получено в общообразователно училище, е основен компонент общо образованиеи обща култура съвременен човек. Почти всичко, което заобикаля съвременния човек, е свързано по един или друг начин с математиката. НО последните постижениявъв физиката, технологиите и информационни технологиине оставяйте съмнение, че нещата ще останат същите и в бъдеще. Следователно решаването на много практически проблеми се свежда до решаване различни видовеуравнения, за да научите как да решавате.

Настоящата работа е опит за обобщаване и систематизиране на изучавания материал по горната тема. Подредил съм материала според степента на неговата сложност, започвайки от най-простото. Тя включва както видовете уравнения, познати ни от училищния курс по алгебра, така и допълнителен материал. В същото време се опитах да покажа видовете уравнения, които не се изучават училищен курс, но знанието за което може да е необходимо при влизане в по-висок образователна институция. В работата си, когато решавах уравнения, не се ограничавах само до реално решение, а посочих и сложно, тъй като смятам, че в противен случай уравнението просто не се решава. В крайна сметка, ако в уравнението няма реални корени, това не означава, че то няма решения. За съжаление поради липса на време не успях да представя целия материал, с който разполагам, но дори и с материала, който е представен тук, може да възникнат много въпроси. Надявам се, че познанията ми са достатъчни, за да отговоря на повечето въпроси. И така, ще ви представя материала.

Математиката... разкрива реда

симетрия и сигурност,

и това е най-важните видовекрасив.

Аристотел.

Справка по история

В онези далечни времена, когато мъдреците за първи път започнаха да мислят за равенства, съдържащи неизвестни количества, вероятно все още нямаше монети или портфейли. Но от друга страна имаше купища, както и гърнета, кошници, които бяха идеални за ролята на тайници-магазини, съдържащи неизвестен брой предмети. „Търсим купчина, която, заедно с две трети от нея, половина и една седма, е 37 ...“, – учи той през II хилядолетие пр.н.е. нова ераЕгипетски писар Ахмес. В древността математически проблемиМесопотамия, Индия, Китай, Гърция, неизвестни количества изразяват броя на пауните в градината, броя на биковете в стадото, съвкупността от неща, взети предвид при разделянето на собствеността. Писари, чиновници и свещеници, посветени в тайни знания, добре обучени в науката за броене, се справяха доста успешно с подобни задачи.

Дошлите до нас източници показват, че древните учени са притежавали някои общи методи за решаване на задачи с неизвестни количества. Въпреки това, нито един папирус, нито една глинена таблетка не дава описание на тези техники. Авторите само от време на време снабдяват своите числени изчисления със средни коментари като: „Вижте!“, „Направете го!“, „Намерихте, че е правилно“. В този смисъл изключение прави „Аритметика“ на гръцкия математик Диофант Александрийски (III век) – сборник от задачи за съставяне на уравнения със систематично представяне на техните решения.

Въпреки това, работата на багдадския учен от 9-ти век се превърна в първото ръководство за решаване на проблеми, което стана широко известно. Мохамед бин Муса ал-Хорезми. Думата "al-jabr" от арабското заглавие на този трактат - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Книгата за възстановяване и контраст") - с течение на времето се превърна в думата "алгебра", добре позната на всички, и самата работа на ал-Хорезми послужи като отправна точка в развитието на науката за решаване на уравнения.

уравнения. Алгебрични уравнения

Основни определения

В алгебрата се разглеждат два вида равенства – тъждества и уравнения.

самоличносте равенство, което важи за всички (допустими) стойности на буквите). Да напише самоличността заедно със знака

знакът също се използва.

Уравнението- това е равенство, което е изпълнено само за някои стойности на буквите, включени в него. Буквите, включени в уравнението, според условието на задачата, могат да бъдат неравни: някои могат да вземат всичките си разрешени стойности(те се наричат параметриили коефициентиуравнения и обикновено се означават с първите букви латинската азбука:

, , ... – или същите букви, снабдени с индекси: , , ... или , , ...); други, чиито стойности трябва да бъдат намерени, се наричат неизвестен(обикновено се обозначават с последните букви на латинската азбука: , , , ... - или със същите букви, снабдени с индекси: , , ... или , , ...).

AT общ изгледуравнението може да се запише така:

(, , ..., ).

В зависимост от броя неизвестно уравнениенаречено уравнение с една, две и т.н. неизвестни.

Уравнението е математически израз, който е уравнение, съдържащо неизвестно. Ако равенството е вярно за всички допустими стойности на неизвестните, включени в него, тогава то се нарича идентичност; например: релация като (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) важи за всички стойности на x.

Ако уравнение, съдържащо неизвестен x, важи само за определени стойности на x, а не за всички стойности на x, както в случая на идентичност, тогава може да е полезно да се определят онези стойности на x, за които уравнението е валидно. Такива стойности на x се наричат ​​корени или решения на уравнението. Например числото 5 е коренът на уравнението 2x + 7= 17.

В клона на математиката, наречен теория на уравненията, основният предмет на изследване са методите за решаване на уравнения. В училищния курс по алгебра много внимание се отделя на уравненията.

Историята на изучаването на уравненията датира от много векове. Най-известните математици, допринесли за развитието на теорията на уравненията, са:

Архимед (около 287-212 г. пр. н. е.) - древногръцки учен, математик и механик. При изследването на един проблем, който се свежда до кубично уравнение, Архимед открива ролята на характеристиката, която по-късно става известна като дискриминант.

Франсоа Виет е живял през 16 век. Той направи голям принос в изследването различни проблемиматематика. По-специално, той въведе буквалното обозначение за коефициентите на уравнение и установи връзка между корените на квадратно уравнение.

Леонхард Ойлер (1707 - 1783) - математик, механик, физик и астроном. Авторът на Св. 800 статии по математически анализ, диференциални уравнения, геометрия, теория на числата, приблизителни изчисления, небесна механика, математика, оптика, балистика, корабостроене, теория на музиката и др. Той оказва значително влияние върху развитието на науката. Той изведе формули (формули на Ойлер), изразяващи тригонометрични функциипроменлива x чрез експоненциална функция.

Лагранж Джоузеф Луи (1736 - 1813), френски математики механик. Той притежава изключителни изследвания, сред които изследвания по алгебра (симетричната функция на корените на уравнение, върху диференциалните уравнения (теорията на сингулярните решения, методът на вариация на константите).

Ж. Лагранж и А. Вандермонд – френски математици. През 1771 г. за първи път се използва методът за решаване на системи от уравнения (методът на заместването).

Гаус Карл Фридрих (1777 -1855) - немски математик. Написа книга, която очертава теорията на уравненията за разделяне на кръг (т.е. уравнения xn - 1 = 0), която в много отношения е прототип на теорията на Галоа. Освен от общи методирешавайки тези уравнения, установява връзка между тях и конструирането на правилни многоъгълници. Той, за първи път след древногръцките учени, направи значителна крачка напред в този въпрос, а именно: той намери всички онези стойности на n, за които обикновен n-ъгълникможе да се изгради с пергел и линийка. Научих как да добавя. Той заключи, че системите от уравнения могат да се добавят, разделят и умножават помежду си.

О. И. Сомов - обогати различни части от математиката с важни и многобройни трудове, сред които теорията на някои алгебрични уравнения по-високи степени.

Галоа Еварист (1811-1832), френски математик. Основната му заслуга е формулирането на набор от идеи, до които стига във връзка с продължаването на изследванията върху разрешимостта на алгебричните уравнения, започнати от Ж. Лагранж, Н. Абел и др., създава теорията на алгебричните уравнения на висшите градуса с едно неизвестно.

А. В. Погорелов (1919 - 1981) - В неговата работа геометричните методи се свързват с аналитични методитеория на диференциалните уравнения с частни производни. Неговите трудове също оказват значително влияние върху теорията на нелинейните диференциални уравнения.

П. Руфини – италиански математик. Той посвети редица работи на доказването на нерешимостта на уравнението от 5-та степен, систематично използва затвореността на набора от замествания.

Въпреки факта, че учените изучават уравнения от дълго време, науката не знае как и кога хората са получили нуждата да използват уравнения. Известно е само, че проблемите, водещи до решаването на най-простите уравнения, се решават от хората от времето, когато са станали хора. Още 3 - 4 хиляди години пр.н.е. д. египтяните и вавилонците знаели как да решават уравнения. Правилото за решаване на тези уравнения съвпада със съвременното, но не е известно как са стигнали дотук.

AT Древен Египети Вавилон е използван методът на фалшивата позиция. Уравнение от първа степен с едно неизвестно винаги може да се сведе до вида ax + b = c, в който a, b, c са цели числа. Според правилата аритметични операциибрадва \u003d c - b,

Ако b > c, тогава c b е отрицателно число. Отрицателни числаса били непознати за египтяните и много други по-късни народи (на равна нога с положителни числате започват да се използват в математиката едва през XVII век). За да разрешим проблемите, които сега решаваме с уравнения от първа степен, беше изобретен методът на фалшивото положение. В папируса на Ахмес 15 проблема са решени по този метод. Египтяните са имали специален знак за неизвестно число, което доскоро се четеше "как" и се превеждаше с думата "хийп" ("куп" или "неизвестен брой" единици). Сега те четат малко по-малко неточно: „аха“. Методът на решението, използван от Ахмес, се нарича метод на една фалшива позиция. С помощта на този метод се решават уравнения от вида ax = b. Този метод се състои в разделяне на всяка страна на уравнението на a. Използван е както от египтяните, така и от вавилонците. В различни народиизползван е методът на две фалшиви позиции. Арабите механизираха този метод и получиха формата, в която той премина в учебниците на европейските народи, включително в Аритметиката на Магнитски. Магнитски нарича метода за решаване на „фалшивото правило“ и пише в частта от книгата си, в която излага този метод:

Zelo bo хитра е тази част, Като че можеш да сложиш всичко с нея. Не само това, което е в гражданството, Но и висшите науки в космоса, Дори са изброени в сферата на небето, Като мъдрите има нужда.

Съдържанието на стихотворенията на Магнитски може да се обобщи по следния начин: тази част от аритметиката е много трудна. С негова помощ можете да изчислите не само това, което е необходимо в ежедневната практика, но и решава „по-висшите“ въпроси, пред които са изправени „мъдрите“. Магнитски използва „фалшиво правило“ във формата, дадена му от арабите, наричайки го „аритметика на две грешки“ или „метод на тежестите“. Индийските математици често давали задачи в стихове. Lotus предизвикателство:

Над тихото езеро, на половин мярка над водата, се виждаше лотосов цвят. Той израсна сам, а вятърът на вълна го наведе настрани и вече не

Цветя над водата. Намерил е рибарското му око. Две мерки от мястото, където е израснал. Колко езера са дълбоки тук? Ще ви предложа въпрос.

Видове уравнения

Линейни уравнения

Линейните уравнения са уравнения от вида: ax + b = 0, където a и b са някои константи. Ако a не е равно на нула, тогава уравнението има един единствен корен: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a).

Например: решете линейно уравнение: 4x + 12 = 0.

Решение: T. до a = 4, и b = 12, след това x = - 12: 4; х = - 3.

Проверка: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Тъй като k 0 = 0, тогава -3 е коренът на оригиналното уравнение.

Отговор. х = -3

Ако a е нула и b е нула, тогава коренът на уравнението ax + b = 0 е произволно число.

Например:

0 = 0. Тъй като 0 е 0, тогава коренът на уравнението 0x + 0 = 0 е произволно число.

Ако a е нула и b не е нула, тогава уравнението ax + b = 0 няма корени.

Например:

0 \u003d 6. Тъй като 0 не е равно на 6, тогава 0x - 6 = 0 няма корени.

Системи от линейни уравнения.

Система от линейни уравнения е система, в която всички уравнения са линейни.

Да решиш една система означава да намериш всички нейни решения.

Преди да решите система от линейни уравнения, можете да определите броя на нейните решения.

Нека е дадена системата от уравнения: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

Ако a1, разделено на a2, не е равно на b1, разделено на b2, тогава системата има едно единствено решение.

Ако a1, разделено на a2, е равно на b1, разделено на b2, но равно на c1, разделено на c2, тогава системата няма решения.

Ако a1, разделено на a2, е равно на b1, разделено на b2, и равно на c1, разделено на c2, тогава системата има безкрайно много решения.

Система от уравнения, която има поне едно решение, се нарича последователна.

Ставната система се нарича определена, ако има краен бройрешения и неопределено, ако множеството от неговите решения е безкрайно.

Система, която няма едно решение, се нарича непоследователна или непоследователна.

Начини за решаване на линейни уравнения

Има няколко начина за решаване на линейни уравнения:

1) Метод на избор. Това е най-много най-простият начин. Той се крие във факта, че всички валидни стойности на неизвестното се избират чрез изброяване.

Например:

Решете уравнението.

Нека x = 1. Тогава

4 = 6. Тъй като 4 не е равно на 6, тогава нашето предположение, че x = 1 е неправилно.

Нека х = 2.

6 = 6. Тъй като 6 е равно на 6, тогава нашето предположение, че x = 2, е правилно.

Отговор: x = 2.

2) Начин за опростяване

Този метод се състои във факта, че всички членове, съдържащи неизвестното, се прехвърлят в лявата страна, а известните в дясната с противоположен знак, дайте подобни и разделете двете страни на уравнението на коефициента на неизвестното.

Например:

Решете уравнението.

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Отговор. х = 5.

3) Графичен начин.

Състои се във факта, че се изгражда графика на функциите дадено уравнение. Тъй като в линейното уравнение y \u003d 0, графиката ще бъде успоредна на оста y. Точката на пресичане на графиката с оста x ще бъде решението на това уравнение.

Например:

Решете уравнението.

Нека y = 7. Тогава y = 2x + 3.

Нека построим графика на функциите на двете уравнения:

Начини за решаване на системи от линейни уравнения

В седми клас се изучават три начина за решаване на системи от уравнения:

1) Метод на заместване.

Този метод се състои в това, че в едно от уравненията едно неизвестно се изразява чрез друго. Полученият израз се замества с друго уравнение, което след това се превръща в уравнение с едно неизвестно, след което се решава. Получената стойност на това неизвестно се замества във всяко уравнение на оригиналната система и се намира стойността на втората неизвестна.

Например.

Решете системата от уравнения.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

Заменете получения израз с друго уравнение:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Заменете получената стойност в уравнението 3x + y \u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.

Преглед.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Отговор: x = 1; y = 1.

2) Метод на добавяне.

Този метод е, че ако тази системасе състои от уравнения, които при добавяне на член по член образуват уравнение с едно неизвестно, след което чрез решаването на това уравнение ще получим стойността на едно от неизвестните. Получената стойност на това неизвестно се замества във всяко уравнение на оригиналната система и се намира стойността на втората неизвестна.

Например:

Решете системата от уравнения.

/ 3y - 2x \u003d 5,

\5x - 3y \u003d 4.

Нека решим полученото уравнение.

3x = 9; : (3) x = 3.

Нека заместим получената стойност в уравнението 3y - 2x = 5.

3y - 2 3 = 5;

3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Така че х = 3; y = 3 2/3.

Преглед.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

Отговор. х = 3; y = 3 2/3

3) Графичен начин.

Този метод се основава на факта, че графиките на уравненията се начертават в една координатна система. Ако графиките на уравнението се пресичат, тогава координатите на пресечната точка са решението на тази система. Ако графиките на едно уравнение са успоредни прави, тогава дадената система няма решения. Ако графиките на уравненията се слеят в една права линия, тогава системата има безкрайно много решения.

Например.

Решете системата от уравнения.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3y \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Изграждаме графики на функции y = 2x - 5 и y = 3 - 6x в една и съща координатна система.

Графиките на функциите y = 2x - 5 и y = 3 - 6x се пресичат в точка A (1; -3).

Следователно решението на тази система от уравнения ще бъде x = 1 и y = -3.

Преглед.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Отговор. х = 1; y = -3.

Заключение

Въз основа на всичко казано по-горе можем да заключим, че уравненията са необходими в съвременен святне само за решаване на практически проблеми, но и като научен инструмент. Следователно толкова много учени са проучили този въпрос и продължават да изучават.

Текстът на творбата е поставен без изображения и формули.
Пълна версияработата е достъпна в раздела "Работни файлове" в PDF формат

ВЪВЕДЕНИЕ

„Уравнението е златният ключ, който отключва целия математически сусам“

С. Ковал

Математическото образование, получено в училище, е много Главна частживот на съвременния човек. Почти всичко, което ни заобикаля, е свързано по един или друг начин с математиката. Решаването на много практически задачи се свежда до решаване на различни видове уравнения.

Уравненията са най-обемната тема от целия курс по алгебра. В минало академична годинав уроците по алгебра се запознахме с квадратните уравнения. Квадратните уравнения намират широко приложение при решаването на различни задачи, както в областта на математиката, така и в областта на физиката и химията.

В училищния курс по математика, осн решенияквадратни уравнения. Съществуват обаче и други методи за решаване на квадратни уравнения, някои от които ви позволяват бързо и рационално да ги решите.

Проведохме анкета сред 84 ученици от 8-9 клас по два въпроса:

Какви методи за решаване на квадратни уравнения познавате?

Кои от тях използвате най-много?

Въз основа на резултатите от проучването бяха получени следните резултати:

След анализ на резултатите стигнахме до извода, че повечето студенти използват коренни формули при решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта и не са добре запознати как се решават квадратни уравнения.

Следователно избраната от нас тема е актуална.

Поставихме пред себе си цел: изследвай нетрадиционни начинирешаване на квадратни уравнения, за запознаване на учениците от 8 и 9 клас в различни начинирешения, развиват способността за избор на рационален начин за решаване на квадратно уравнение.

За да постигнете тази цел, трябва да решите следното задачи:

събира информация за различни начини за решаване на квадратни уравнения,

да овладеят намерените решения,

напишете програма за решаване на квадратни уравнения, използвайки формулите на корените на квадратно уравнение в Excel,

развиват дидактически материалза урок или извънкласни дейности за нестандартни методирешаване на квадратни уравнения,

провеждат урок "Необичайни начини за решаване на квадратни уравнения" с ученици от 8-9 клас.

Обект на изследване: квадратни уравнения.

Предмет на изследване: различни начини за решаване на квадратни уравнения.

Ние вярваме в това практическо значениеработата се състои във възможността за използване на набор от техники и методи за решаване на квадратни уравнения в математиката и извънкласни дейности, както и при запознаване на учениците от 8-9 клас с този материал.

ГЛАВА 1. НЕОБИЧАЙНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ

1. 1. СВОЙСТВА НА КОЕФИЦИЕНТИ (a,b,c)

Методът се основава на свойствата на коефициентите a,b,c:

Ако a+b+c=0,тогава = 1, =

пример:

-6x 2 + 2x +4=0,тогава = 1, = = .

Ако a-b+c=0,тогава = -1, = -

пример:

2017x 2 + 2001x +16 = 0,тогава = -1, -.

1. 1. ЗАВИСИМИ НА КОЕФИЦИЕНТИТЕ (a,b,c)

Валидни са следните зависимости на коефициентите a,b,c:

Ако b=a 2 +1, c=a, тогава x 1 =-a; x 2 \u003d -.

Ако b=-(a 2 +1), a=c, тогава x 1 =a; х 2 =.

Ако b=a 2 -1, c=-a, тогава x 1 =-a; х 2 = .

Ако b=-(a 2 -1), -a=c, тогава x 1 =a; x 2 \u003d -.

Нека решим следните уравнения:

5x 2 + 26x + 5 = 0

х 1 = -5

х 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

х 1 =13 х 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

х 1 = - 14 х 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

х 1 =10 х 2 =-0,1.

1. 1. „ОБРАЩАНЕ” НА ГЛАВНИЯ КОЕФИЦИЕНТ

Коефициент асе умножава по свободния термин, сякаш се „прехвърля“ към него, поради което се нарича метод на „прехвърляне“. Освен това корените се намират от теоремата на Виета. Намерените корени се разделят на предварително прехвърления коефициент, благодарение на който намираме корените на уравнението.

пример:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

Нека "прехвърлим" коефициент 2 към свободния член, в резултат получаваме уравнението

в 2 - 3y + 2 = 0.

Според теоремата на Виета

в 1 = 2, х 1 = 2/2, х 1 = 1,

в 2 = 1; х 2 = 1/2; х 2 = 0,5.

Отговор: 0,5; един.

1. 1. ГРАФИЧЕН МЕТОД НА РЕШЕНИЕ

Ако в уравнение а х 2 + bx + c= 0 преместете втория и третия член на правилната страна, тогава получаваме a х 2 = -bx-° С .

Нека изградим графики на зависимости в= брадва 2 и в= -bx-° Св една координатна система.

Графиката на първата зависимост е парабола, минаваща през началото. Графиката на втората зависимост е права линия.

Възможни са следните случаи:

права линия и парабола могат да се пресичат в две точки, абсцисите на пресечните точки са корените на квадратно уравнение;

права и парабола могат да се докосват (само една обща точка), т.е. уравнението има едно решение;

права линия и парабола нямат общи точки, т.е. квадратното уравнение няма корени.

Нека решим следните уравнения:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 \u003d - 2x + 3

В една координатна система изграждаме графика на функцията y \u003d x 2 и графика на функцията y = 2x + 3. Означавайки абсцисите на пресечните точки, получаваме отговора.

Отговор: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 \u003d - 6x - 9

В една координатна система изграждаме графика на функцията y = x 2 и графика на функцията y = -6x - 9. Означавайки абсцисата на точката на допир, получаваме отговора.

Отговор: x = - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

В една координатна система изграждаме графика на функцията y \u003d 2x 2 и графика на функцията

Параболата y = 2x 2 и правата линия y = 4x - 7 нямат общи точки, следователно уравнението няма корени.

Отговор: няма корени.

1. 1. РЕШАВАНЕ НА КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩТА НА КОМПАСА И ЛИНИЙКАТА

Решаваме уравнението ax 2 + bx + c \u003d 0:

Нека построим точките S(-b:2a,(a+c):2a) - центърът на окръжността и точката A(0,1).

Начертайте окръжност с радиус SA.

Абсцисите на точките на пресичане с оста Ox са корените на оригиналното уравнение.

В този случай са възможни три случая:

1) Радиусът на окръжността е по-голям от ординатата на центъра ( AS>SK, или R>), окръжността пресича оста охв две точки..B( х 1 ; 0) и D(x 2 ;0), където х 1 и х 2 - корени на квадратното уравнение ох 2 + bx + c = 0.

2) Радиусът на окръжността е равен на ординатата на центъра ( AS = SВ, или R=), кръгът докосва оста охв точка Б( х 1 ; 0), където х 1 е коренът на квадратното уравнение.

3) Радиусът на окръжността е по-малък от ординатата на центъра ( КАТО< SВ , или Р< ), кръгът няма общи точки с оста x, в който случай уравнението няма решение.

а) AS > SВили R >, б) AS = SВили R=в) КАТО< SВ, или Р< .

Две решения х 1 и х 2 . Едно Решение х 1.. Няма решение.

Пример 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

решение:

Нека начертаем кръг с радиус SA,където НО (0;1).

Отговор: x 1 = 1, x 2 = 3.

Пример 2:х 2 - 6x + 9 = 0.

Решение: Намерете координатите S: x=3, y=5.

Отговор: x=3.

Пример 3:х 2 + 4 х + 5 = 0.

решение:Координати на центъра на окръжността: x= - 2 и y = 3.

Отговор: няма корени

1. 1. НОМОГРАМНО РЕШЕНИЕ

Номограма (от гръцки "nomos" - закон и грам), графично представянефункции на няколко променливи, което позволява използването на прост геометрични операции(например прилагане на линийка) изследва функционалните зависимости без изчисления. Например, решавайте квадратно уравнение, без да използвате формули.

Стар е и сега забравен начинрешение на квадратни уравнения, поместено на стр. 83 от сборника: Bradis V.M. „Четиримерни математически таблици“. - М., "ДРОФА", 2000. Таблица XXII. Номограма за решаване на уравнения z 2 + pz + q = 0(виж Приложение 1).

Тази номограма позволява, без да се решава квадратното уравнение, да се определят корените на уравнението чрез неговите коефициенти.

Криволинейната скала на номограмата се изгражда по формулите: ОВ= , АБ =

Предполагайки OS = p, ED = q, OE = a(всички в см), от подобни триъгълници САНи CDFполучаваме пропорцията, откъдето след замествания и опростявания следва уравнението z 2 + pz + q = 0, а буквата z означава етикета на всяка точка от криволинейната скала.

Пример 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

На скалата p намираме знака -9, а на скалата q знака 8. През тези знаци начертаваме права линия, която пресича кривата на номограмната скала при марки 1 и 8. Следователно корените на уравнение 1 и 8.

Отговор: 1; осем.

Именно това уравнение е решено в таблицата на Брейдис на страница 83 (вижте Приложение 1).

Пример 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделяме коефициентите на това уравнение на 2, получаваме уравнението:

z 2 - 4,5z + 1 = 0.Номограмата дава корени z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Отговор: 4; 0,5

Пример 3:х 2 - 25x + 66 = 0

Коефициентите p и q са извън мащаба. Нека извършим замяната x=5z, получаваме уравнението:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

което се решава с помощта на номограма.

Вземете z 1 = 0,6 и z 2 = 4,4,

където х 1 = 5z 1 = 3,0 и х 2 = 5z 2 = 22,0.

Отговор: 3; 22.

Пример 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , а отрицателен кореннамерете чрез изваждане положителен коренвън -стр , тези. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Отговор: 1; -6.

Пример 5: z 2 - 2z - 8 = 0,номограмата дава положителен корен от z 1 =4, и отрицателно е z 2 =-p-4=

= 2 - 4= -2.

Отговор: 4; -2.

ГЛАВА 2

Решихме да напишем програма за решаване на квадратно уравнение с използвайки Excel- разпространено е компютърна програма. Необходим е за извършване на изчисления, съставяне на таблици и диаграми, изчисляване на прости и сложни функции. Той е част от пакета на Microsoft Office.

Лист Excel програми, където се показват формулите:

Показва се лист в Excel конкретен примеррешаване на квадратно уравнение х 2 - 14x - 15 = 0:

ГЛАВА 3

Формула на корените на квадратно уравнение, използвайки дискриминантите D и D1	Универсалност, т.к може да се използва за решаване на абсолютно всички квадратни уравнения	Тромавият дискриминант не е включен в таблицата с квадратите
Теоремата на Виета	Бързо решение в определени случаи и спестяване на време	Ако дискриминантът не е идеалният квадрат на цяло число. Нецелочислени коефициенти b и c.
Избор пълен квадрат	С правилното преобразуване към квадрата на бинома получаваме непълно квадратно уравнение и следователно корените се намират по-бързо	Трудността при избора на пълен квадрат, когато дробни коефициентиуравнения
Метод на групиране	Може да се реши без да се знаят формулите	Не винаги е възможно да се декомпозира средният термин на подходящи термини за групиране
Графичен начин	Не се изискват формули. Можете бързо да разберете броя на корените на уравнение	Апроксимация на решението
Имоти коефициенти a,b,c	Скорост на вземане на решение. За уравнения с големи коефициенти	Подходящ само за някои уравнения
"Reroll" на основния коефициент	Скорост на решението, ако корените са цели числа	Същото като използването на теоремата на Виета
Номограма	видимост Всичко, което е необходимо за решаване, е номограма	Не винаги имате номограма със себе си. Неточност на решението
Намиране на корени с пергел и линейка	видимост	Ако координатите на центъра са нецели числа. Намиране на корените на уравнения с големи коефициенти

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

„Често е по-полезно за студент по алгебра да решава една и съща задача по три различни начина, отколкото да решава три или четири различни задачи. Решаване на един проблем различни методи, можете да разберете чрез сравнение кой е по-кратък и по-ефективен. Така се създава опитът."

Уолтър Уоруик Сойер

В хода на работата събрахме материал и изучавахме методи за решаване (намиране на корени) на квадратни уравнения. Решението на уравнения по различни начини е представено в Приложение 2.

изучаване различни начинирешавайки квадратни уравнения, стигнахме до заключението, че за всяко уравнение можете да изберете най-ефективния и рационален начин за намиране на корените. Всяко едно от решенията е уникално и удобно в определени случаи. Някои методи за решаване спестяват време, което е важно при решаване на задачи за OGE, други помагат за решаването на уравнението с много големи коефициенти. Опитахме се да сравним различни решения, като съставихме таблица, която отразява плюсовете и минусите на всеки от методите.

Ние сме се развили Раздаване. Можете да се запознаете с банката от задачи по темата в Приложение 3.

Използвайки Microsoft Excel, съставихме електронна таблица, което ви позволява автоматично да изчислявате корените на квадратно уравнение с помощта на коренните формули.

Имахме урок необичайни начинирешаване на квадратни уравнения, за ученици от 9 клас. Учениците много харесаха методите, те отбелязаха, че придобитите знания ще им бъдат полезни по-нататъшно образование. Резултатът от урока беше работата на учениците, в която те се представиха различни опциирешаване на квадратни уравнения (виж Приложение 4).

Материалът на работата може да бъде използван от любителите на математиката и тези, които искат да знаят повече за математиката.

ЛИТЕРАТУРА

Брадис В. М. „Четирицифрени математически таблици за гимназия“, М.: Дропла, 2000 г.

Виленкин Н.Я. "Алгебра за 8 клас", М .: Образование, 2000.

Галицки М.Л. "Сборник със задачи по алгебра", М .: Образование 2002.

Glazer G.I. "История на математиката в училище", М .: Образование, 1982.

Zvavich L.I. "Алгебра 8 клас", Москва: Мнемозина, 2002.

Макаричев Ю.Н. „Алгебра 8 клас“, Москва: Образование, 2015.

Плужников И. "10 начина за решаване на квадратни уравнения" // Математика в училище. - 2000.- бр.40.

Пресман А.А. „Решение на квадратно уравнение с помощта на пергел и линийка”//М., Квант, No 4/72, с.34.

Савин А.П. " енциклопедичен речникмлад математик,

Москва: Педагогика, 1989.

Интернет ресурси:

http://revolution.allbest.ru/

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

"КОЛЕКЦИЯ НА БРАДИС В.М."

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

"РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЕТО ПО ВСИЧКИ НАЧИНИ"

Първоначално уравнение:4x 2 +3x -1 = 0.

1.Формула на корените на квадратно уравнение с помощта на дискриминанта D

4x 2 +3x -1 = 0

D=б 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>уравнението има два корена

х 1,2 =

х 1 ==

х 2 ==-1

2. Теорема на Виета

4x 2 +3x -1 = 0,разделете уравнението на 4, за да го намалите

х 2 +x -=0

х 1 = -1

х 2 =

3. Метод за избор на пълен квадрат

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2x *+)-1=0

(2x+) 2 -=0

(2x + -) (2x + +) = 0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

х 1 = х 2 = -1

4. Метод на групиране

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,продукт = 0, когато един от факторите = 0

(4x-1)=0 (x+1)=0

х 1 = х 2 = -1

5. Свойства на коефициентите

4x 2 +3x -1 = 0

Ако a - b+c=0, тогава = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Методът на "прехвърляне" на основния коефициент

4x 2 +3x -1 = 0

г 2 +3y - 4 = 0

Теоремата на Виета:

г 1 = -4

г 2 = 1

Разделяме намерените корени на основния коефициент и получаваме корените на нашето уравнение:

х 1 = -1

х 2 =

7. Метод за решаване на квадратни уравнения с помощта на пергел и линийка

4x 2 +3x -1 = 0

Определете координатите на точката на центъра на окръжността по формулите:

х 1 = -1

х 2 =

8. Графично решение

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

В една координатна система изграждаме графика на функцията y = 4x 2 и графиката на функцията

y \u003d - 3x + 1.Означавайки абсцисите на пресечните точки, получаваме отговора:

х 1 = -1

9. Използване на номограма

4x 2 +3x -1 = 0,разделяме коефициентите на уравнението 1/на 4, получаваме уравнението

х 2 +x -= 0.

Номограмата дава положителен корен = ,

а отрицателният корен се намира, като положителният корен се извади от - p , тези.

х 2 = - p -=- -= -1.

10. Решение на това уравнение в EXCEL

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

„ДИДАКТИЧЕСКИ МАТЕРИАЛ ПО ТЕМАТА

“РЕШЕНИЕ НА КВАДРАТИВНИ УРАВНЕНИЯ” »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0,3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0,01

5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0,8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1,5

55x 2 -44x -11= 0 1 -0,2

6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1,5

4x 2 -17x-15 = 0 -0,75,5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0,2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2,5, 3

4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1,5, 0,5

5x 2 -12x + 7 = 0 1,4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

СТУДЕНТСКИ РАБОТИ

Знам училищна математика, детето чува термина "уравнение" за първи път. Какво е това, нека се опитаме да го разберем заедно. В тази статия ще разгледаме видовете и методите за решаване.

математика. Уравнения

Като начало предлагаме да се справим със самата концепция, какво е то? Както казват много учебници по математика, уравнението е някакъв израз, между който винаги има знак за равенство. Тези изрази съдържат букви, така наречените променливи, чиято стойност трябва да бъде намерена.

Това е системен атрибут, който променя стойността си. добър примерпроменливите са:

• температура на въздуха;
• ръст на детето;
• тегло и така нататък.

В математиката те се обозначават с букви, например x, a, b, c ... Обикновено задачата по математика е следната: намерете стойността на уравнението. Това означава, че трябва да намерите стойността на тези променливи.

Сортове

Уравнението (какво е, обсъдихме в предишния параграф) може да бъде в следния вид:

• линеен;
• квадрат;
• кубичен;
• алгебрични;
• трансцендентен.

За по-подробно запознаване с всички видове ще разгледаме всеки поотделно.

Линейно уравнение

Това е първият вид, с който учениците се запознават. Решават се доста бързо и просто. И така, какво е линейно уравнение? Това е израз от формата: ax=s. Не е много ясно, затова нека дадем няколко примера: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.

Нека разгледаме примери за уравнения. За да направим това, трябва да съберем всички известни данни от една страна и неизвестни данни от друга: x=26/2; х=40/5; х=6/1.2. Използва се тук елементарни правиламатематика: a*c=e, от това c=e/a; a=e/s. За да завършим решението на уравнението, извършваме едно действие (в нашия случай деление) x=13; х=8; х=5. Това бяха примери за умножение, сега нека разгледаме изваждането и събирането: x + 3 = 9; 10x-5=15. Прехвърляме познатите данни в една посока: x=9-3; х=20/10. Извършваме последното действие: x=6; х=2.

Възможни са и варианти на линейни уравнения, при които се използва повече от една променлива: 2x-2y=4. За да решим, е необходимо да добавим 2y към всяка част, получаваме 2x-2y + 2y = 4-2y, както забелязахме, от лявата страна на знака за равенство -2y и +2y са намалени, докато ние имат: 2x \u003d 4 -2u. Последната стъпка е да разделим всяка част на две, получаваме отговора: x е равно на две минус y.

Проблеми с уравненията се срещат дори на папирусите на Ахмес. Ето един от проблемите: числото и четвъртата част от него дават 15. За да го решим, пишем следното уравнение: x плюс една четвърт от x е равно на петнадесет. Виждаме още един пример като резултат от решението, получаваме отговора: x=12. Но този проблем може да бъде решен по друг начин, а именно египетския или, както го наричат ​​по друг начин, метода на предположението. Използва се в папирус следващото решение: вземете четири и четвъртата му част, тоест една. Общо дават пет, сега петнадесет трябва да се разделят на сумата, получаваме три, с последното действие умножаваме три по четири. Получаваме отговора: 12. Защо делим петнадесет на пет в решението? Така че откриваме колко пъти петнадесет, тоест резултатът, който трябва да получим, е по-малък от пет. През Средновековието проблемите се решават по този начин, става известен като методът на фалшивата позиция.

Квадратни уравнения

В допълнение към примерите, разгледани по-рано, има и други. Какво точно? Какво е квадратно уравнение? Те изглеждат като брадва 2 +bx+c=0. За да ги разрешите, трябва да се запознаете с някои понятия и правила.

Първо, трябва да намерите дискриминанта, като използвате формулата: b 2 -4ac. Има три възможни решения:

• дискриминанта Над нулата;
• по-малко от нула;
• равно на нула.

При първия вариант можем да получим отговор от два корена, които се намират по формулата: -b + - коренът на дискриминанта, разделен на удвоения първи коефициент, тоест 2a.

Във втория случай уравнението няма корени. В третия случай коренът се намира по формулата: -b / 2a.

Помислете за пример за квадратно уравнение за по-подробно запознаване: три x на квадрат минус четиринадесет x минус пет е равно на нула. Като начало, както беше написано по-рано, търсим дискриминанта, в нашия случай това е 256. Имайте предвид, че полученото число е по-голямо от нула, следователно трябва да получим отговор, състоящ се от два корена. Заместваме получения дискриминант във формулата за намиране на корените. В резултат на това имаме: x е равно на пет и минус една трета.

Специални случаи в квадратни уравнения

Това са примери, в които някои стойности са нула (a, b или c) и вероятно повече от едно.

Например, нека вземем следното уравнение, което е квадратно: две x на квадрат са равни на нула, тук виждаме, че b и c са нула. Нека се опитаме да го решим, за това разделяме двете части на уравнението на две, имаме: x 2 = 0. В резултат получаваме x=0.

Друг случай е 16x 2 -9=0. Тук само b=0. Решаваме уравнението, прехвърляме свободния коефициент в дясната страна: 16x 2 = 9, сега разделяме всяка част на шестнадесет: x 2 = девет шестнадесети. Тъй като имаме x на квадрат, коренът от 9/16 може да бъде отрицателен или положителен. Пишем отговора, както следва: x е равно на плюс / минус три четвърти.

Възможен е и такъв отговор, тъй като уравнението изобщо няма корени. Нека разгледаме този пример: 5x 2 +80=0, тук b=0. За да решите свободния член, хвърлете го от дясната страна, след тези действия получаваме: 5x 2 = -80, сега разделяме всяка част на пет: x 2 = шестнадесет. Ако някое число е на квадрат, тогава отрицателно значениеняма да получим. Следователно нашият отговор звучи така: уравнението няма корени.

Триномиално разширение

Заданието за квадратни уравнения може да звучи по друг начин: декомпозира квадратен триномза множители. Това може да стане с помощта на следната формула: a (x-x 1) (x-x 2). За това, както в друга версия на задачата, е необходимо да се намери дискриминанта.

Помислете за следния пример: 3x 2 -14x-5, разложете на множители тричлена. Намираме дискриминанта, като използваме вече познатата ни формула, той се оказва 256. Веднага отбелязваме, че 256 е по-голямо от нула, следователно уравнението ще има два корена. Намираме ги, както в предишния параграф, имаме: x = пет и минус една трета. Нека използваме формулата за разлагане на тричлена на множители: 3(x-5)(x+1/3). Във втората скоба получихме знак за равенство, тъй като формулата съдържа знак минус, а коренът също е отрицателен, използвайки елементарни познания по математика, в сбора имаме знак плюс. За да опростим, умножаваме първия и третия член на уравнението, за да се отървем от дроба: (x-5) (x + 1).

Квадратни уравнения

AT този параграфнаучете се да решавате повече сложни уравнения. Нека започнем веднага с пример:

(x 2 - 2x) 2 - 2 (x 2 - 2x) - 3 = 0. Можем да забележим повтарящите се елементи: (x 2 - 2x), за нас е удобно да го заменим с друга променлива за решението и след това решете обичайното квадратно уравнение, веднага отбелязваме, че в такава задача ще получим четири корена, това не трябва да ви плаши. Означаваме повторението на променливата a. Получаваме: a 2 -2a-3=0. Следващата ни стъпка е да намерим дискриминанта на новото уравнение. Получаваме 16, намираме два корена: минус едно и три. Спомняме си, че направихме замяната, заместваме тези стойности, в резултат на което имаме уравненията: x 2 - 2x \u003d -1; x 2 - 2x=3. Решаваме ги в първия отговор: x равно на едно, във втория: x е равно на минус едно и три. Пишем отговора, както следва: плюс / минус едно и три. По правило отговорът се изписва във възходящ ред.

Кубични уравнения

Нека разгледаме друго възможен вариант. Ще бъдеотносно кубични уравнения. Те изглеждат така: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Ще разгледаме примери за уравнения по-долу, но първо малко теория. Те могат да имат три корена, има и формула за намиране на дискриминанта за кубично уравнение.

Помислете за пример: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Как да го реша? За да направите това, просто изваждаме x от скобите: x(3x 2 +4x+2)=0. Всичко, което ни остава да направим, е да изчислим корените на уравнението в скоби. Дискриминантът на квадратното уравнение в скоби е по-малък от нула, така че изразът има корен: x=0.

алгебра. Уравнения

Да преминем към следващ вид. Сега ще прегледаме накратко алгебрични уравнения. Една от задачите е следната: разложете на множители 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Най-удобният начин би бил следното групиране: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Обърнете внимание, че ние представихме 8x2 от първия израз като сбор от 3x2 и 5x2. Сега изваждаме от всяка скоба общия фактор 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Виждаме, че имаме общ фактор: x на квадрат плюс едно, изваждаме го от скобите: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). По-нататъшното разширяване е невъзможно, тъй като и двете уравнения имат отрицателен дискриминант.

Трансцендентални уравнения

Предлагаме да се справим със следния тип. Това са уравнения, които съдържат трансцендентални функции, а именно логаритмични, тригонометрични или експоненциални. Примери: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 и т.н. Как се решават ще научите от курса по тригонометрия.

Функция

Последната стъпка е да разгледаме концепцията за уравнение на функция. За разлика от предишните опции, даден типне се решава, но върху него се изгражда графика. За да направите това, уравнението трябва да се анализира добре, да се намерят всички необходими точки за изграждане, да се изчислят минималните и максималните точки.

Уравнение, което е квадратен трином, обикновено се нарича квадратно уравнение. От гледна точка на алгебрата, той се описва с формулата a*x^2+b*x+c=0. В тази формула x е неизвестната, която трябва да се намери (нарича се свободна променлива); a, b и c са числови коефициенти. По отношение на компонентите на това има редица ограничения: например, коефициентът a не трябва да бъде равен на 0.

Решаване на уравнението: концепцията за дискриминанта

Стойността на неизвестното x, при която квадратното уравнение се превръща в истинско равенство, се нарича корен на такова уравнение. За да решите квадратно уравнение, първо трябва да намерите стойността на специален коефициент - дискриминанта, който ще покаже броя на корените на разглежданото равенство. Дискриминантът се изчислява по формулата D=b^2-4ac. В този случай резултатът от изчислението може да бъде положителен, отрицателен или равен на нула.

В този случай трябва да се има предвид, че концепцията изисква само коефициентът a да бъде строго различен от 0. Следователно коефициентът b може да бъде равен на 0, а самото уравнение в този случай е a*x^2+ c=0. В такава ситуация във формулите за изчисляване на дискриминанта и корените трябва да се използва стойността на коефициента, равна на 0. Така че, дискриминантът в този случай ще бъде изчислен като D=-4ac.

Решение на уравнението с положителен дискриминант

Ако дискриминантът на квадратното уравнение се окаже положителен, от това можем да заключим, че това равенство има два корена. Тези корени могат да бъдат изчислени по следната формула: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. По този начин, за да се изчисли стойността на корените на квадратното уравнение за положителна стойностизползван дискриминант известни стойностиналични коефициенти в . Благодарение на използването на сумата и разликата във формулата за изчисляване на корените, резултатът от изчисленията ще бъдат две стойности, които превръщат въпросното равенство в правилното.

Решение на уравнението с нула и отрицателен дискриминант

Ако дискриминантът на квадратното уравнение се окаже равен на 0, можем да заключим, че казаното уравнениеима един корен. Строго погледнато, в тази ситуация уравнението все още има два корена, но поради нулевия дискриминант те ще бъдат равни един на друг. В този случай x=-b/2a. Ако в хода на изчисленията стойността на дискриминанта се окаже отрицателна, трябва да се заключи, че разглежданото квадратно уравнение няма корени, тоест такива стойности на x, при които то се превръща в истинско равенство.