Всичко, което трябва да знаете за призмата, за да преминете успешно Единния държавен изпит по математика (2020 г.). Триъгълна призма всички формули и примери за задачи Права триъгълна призма

Учениците, които се готвят да положат Единния държавен изпит по математика, определено трябва да се научат как да решават задачи за намиране на площта на права и правилна призма. Дългогодишната практика потвърждава факта, че много ученици смятат подобни геометрични задачи за доста трудни.

В същото време учениците от гимназията с всякакво ниво на подготовка трябва да могат да намерят площта и обема на правилна и права призма. Само в този случай те ще могат да разчитат на получаване на конкурентни оценки въз основа на резултатите от полагането на Единния държавен изпит.

Ключови моменти, които трябва да запомните

• Ако страничните ръбове на призмата са перпендикулярни на основата, тя се нарича права линия. Всички странични лица на тази фигура са правоъгълници. Височината на права призма съвпада с нейния ръб.
• Правилна призма е тази, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата, в която се намира правилният многоъгълник. Страничните стени на тази фигура са равни правоъгълници. Правилната призма винаги е права.

Подготовката за единния държавен изпит заедно с Школково е ключът към вашия успех!

За да направите часовете си лесни и възможно най-ефективни, изберете нашия математически портал. Тук ще намерите всички необходими материали, които ще ви помогнат да се подготвите за преминаване на сертификационния тест.

Специалистите от образователния проект Школково предлагат да се премине от просто към сложно: първо даваме теория, основни формули, теореми и елементарни задачи с решения, а след това постепенно да преминем към задачи на експертно ниво.

Основната информация е систематизирана и ясно представена в раздел „Теоретична информация“. Ако вече сте успели да повторите необходимия материал, препоръчваме ви да практикувате решаване на задачи за намиране на площта и обема на права призма. Разделът „Каталог“ представя голям избор от упражнения с различна степен на трудност.

Опитайте се да изчислите площта на права и правилна призма или точно сега. Анализирайте всяка задача. Ако това не създава затруднения, можете спокойно да преминете към упражнения на експертно ниво. И ако възникнат определени трудности, препоръчваме ви редовно да се подготвяте за Единния държавен изпит онлайн заедно с математическия портал Школково и задачите по темата „Права и правилна призма“ ще бъдат лесни за вас.

Геометричните фигури в пространството са обект на изучаване на стереометрията, чийто курс се изучава от ученици в гимназията. Тази статия е посветена на такъв перфектен полиедър като призма. Нека да разгледаме по-подробно свойствата на призмата и да представим формули, които служат за тяхното количествено описание.

Какво е това - призма?

Всеки си представя как изглежда паралелепипед или куб. И двете фигури са призми. Класът на призмите обаче е много по-разнообразен. В геометрията на тази фигура е дадено следното определение: призма е всеки многостен в пространството, който е образуван от две успоредни и еднакви многоъгълни страни и няколко успоредника. Еднаквите успоредни ръбове на една фигура се наричат ​​нейни основи (горна и долна). Паралелограмите са страничните лица на фигура, които свързват страните на основата една с друга.

Може да се интересувате от:

Ако основата е представена от n-ъгълник, където n е цяло число, тогава фигурата ще се състои от 2+n лица, 2*n върха и 3*n ръба. Лицата и ръбовете принадлежат към един от двата типа: или принадлежат към страничната повърхност, или към основите. Що се отнася до върховете, всички те са равни и се отнасят към основите на призмата.

Видове фигури от изучавания клас

Когато изучавате свойствата на призмата, трябва да изброите възможните типове на тази фигура:

• Изпъкнал и вдлъбнат. Разликата между тях е формата на многоъгълната основа. Ако е вдлъбната, тогава обемната фигура също ще бъде такава и обратно.
• Прави и наклонени. Правата призма има странични лица, които са или правоъгълници, или квадрати. В наклонена фигура страничните лица са паралелограми от общ тип или ромби.
• Грешно и правилно. За да бъде изследваната фигура правилна, тя трябва да е права и да има правилната основа. Пример за последното са такива плоски фигури като равностранен триъгълник или квадрат.

Името на призмата се формира, като се вземе предвид изброената класификация. Например споменатият по-горе паралелепипед с прави ъгли или куб се нарича правилна четириъгълна призма. Правилните призми, поради високата си симетрия, са удобни за изучаване. Техните свойства се изразяват под формата на специфични математически формули.

Област на призмата

Когато разглеждаме такова свойство на призма като нейната площ, имаме предвид общата площ на всички нейни лица. Най-лесният начин да си представите тази стойност е да разгънете фигурата, тоест да поставите всички лица в една равнина. Фигурата по-долу показва пример за развитие на две призми.

За произволна призма формулата за нейната зона на развитие може да бъде записана в общ вид, както следва:

S = 2*So + b*Psr.

Нека обясним нотацията. Стойността So е площта на една основа, b е дължината на страничния ръб, Psr е периметърът на разреза, който е перпендикулярен на страничните паралелограми на фигурата.

Писмената формула често се използва за определяне на площите на наклонени призми. В случай на правилна призма изразът за S ще приеме специфична форма:

S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*b*a.

Първият член в израза представлява площта на двете основи на правилна призма, вторият член е площта на страничните правоъгълници. Тук a е дължината на страната на правилен n-ъгълник. Обърнете внимание, че дължината на страничния ръб b за правилна призма също е нейната височина h, така че във формулата b може да бъде заменено с h.

Как да изчислим обема на фигура?

Призмата е сравнително прост полиедър с висока симетрия. Следователно, за да се определи обемът му, има много проста формула. Изглежда така:

Изчисляването на основната площ и височина може да бъде трудно, когато се има предвид наклонена неправилна фигура. Този проблем се решава с помощта на последователен геометричен анализ, използващ информация за двустенните ъгли между страничните успоредници и основата.

Ако призмата е правилна, тогава формулата за V приема много специфична форма:

V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h.

Както можете да видите, площта S и обемът V за правилна призма се определят еднозначно, ако са известни нейните два линейни параметъра.

Правилна триъгълна призма

Нека завършим статията, като разгледаме свойствата на правилната триъгълна призма. Образува се от пет лица, три от които са правоъгълници (квадрати), а две са равностранни триъгълници. Призмата има шест върха и девет ръба. За тази призма формулите за обем и повърхност са написани по-долу:

S3 = √3/2*a2 + 3*h*a

V3 = √3/4*a2*h.

В допълнение към тези свойства също е полезно да се даде формула за апотема на основата на фигурата, която представлява височината ha на равностранен триъгълник:

Страните на призмата са еднакви правоъгълници. Дължините на техните диагонали d са равни:

d = √(a2 + h2).

Познаването на геометричните свойства на триъгълна призма е от не само теоретичен, но и практически интерес. Факт е, че тази фигура, изработена от оптично стъкло, се използва за изследване на емисионния спектър на телата.

Преминавайки през стъклена призма, светлината се разлага на редица съставни цветове в резултат на явлението дисперсия, което създава условия за изследване на спектралния състав на електромагнитния поток.

Правилна триъгълна призма- призма, в основата на която има два правилни триъгълника, а всички странични лица са строго перпендикулярни на тези основи.

Наименования

• $ABCA_1B_1C_1$ - правилна триъгълна призма
• $a$ - дължина на страната на основата на призмата
• $h$ - дължина на страничния ръб на призмата
• $S_(\text(base))$ - площ на основата на призмата
• $V_(\text(prisms))$ - обем на призмата

Основна площ на призмата

В основата на правилна триъгълна призма има правилен триъгълник със страна $a$. Според свойствата на правилен триъгълник $$ S_(\text(main))=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 $$ Така се оказва, че $S_(ABC)= S_(A_1B_1C_1 )=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2$.

Обем на призмата

Обемът на призмата се изчислява като произведение на площта на нейната основа и нейната височина. Височината на правилна призма е всеки от нейните странични ръбове, например ръб $AA_1$. В основата на правилна триъгълна призма има правилен триъгълник, чиято площ е известна на нас. Получаваме $$ V_(\text(prisms))=S_(\text(main))\cdot AA_1=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 \cdot h $$

Намиране на BD

BD е височината на правилен триъгълник със страна $a$, лежаща в основата на призмата. Съгласно свойствата на правилен триъгълник $$ BD=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a $$ По същия начин стигаме до заключението, че дължините на всички други диагонали на основите на призмата са равно на $\frac(\sqrt(3)) (2)\cdot a$.

Намерете $BD_1$

В триъгълник $DBD_1$:

• $DB=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a$ - както току-що разбрахме
• $DD_1=h$
• $\angle BDD_1=90^(\circ)$ - защото правата $DD_1$ е перпендикулярна на равнината $ABC$

Така се оказва, че триъгълникът $DBD_1$ е правоъгълен. Чрез свойствата на правоъгълен триъгълник $$ BD_1=\sqrt(h^2+\frac(3)(4)\cdot a^2) $$ Ако $h=a$, тогава $$ BD_1=\frac(\ sqrt( 7))(2)\cdot a $$

Намерете $BC_1$

В триъгълник $CBC_1$:

• $CB=a$
• $CC_1=h$
• $\angle BCC_1=90^(\circ)$ - защото правата $CC_1$ е перпендикулярна на равнината $ABC$

Така се оказва, че триъгълникът $CBC_1$ е правоъгълен. По свойствата на правоъгълен триъгълник $$ BC_1=\sqrt(h^2+a^2) $$ Ако $h=a$, тогава $$ BC_1=\sqrt(2)\cdot a $$ По подобен начин идваме до заключението, че дължините на всички други диагонали на страничните стени на призмата са равни на $\sqrt(h^2+a^2)$.

Във всички училища гимназистите преминават курс по стереометрия, който изследва характеристиките на различни пространствени фигури. Тази статия е посветена на изучаването на свойствата на една от тези фигури. Нека да разгледаме какво представлява правилната триъгълна призма.

Призма в геометрията

Според стереометрията това е триизмерна фигура, състояща се от n успоредника и две еднакви n-ъгълни основи, където n е положително цяло число. И двете основи са разположени в успоредни равнини, а паралелограмите свързват страните им по двойки в една фигура.

Всяка призма може да се получи по следния начин: вземете плосък n-ъгълник и го преместете успоредно на себе си в друга равнина. В процеса на преместване на върховете на n-ъгълника ще бъдат начертани n сегмента, които ще бъдат страничните ръбове на призмата.

Призмите могат да бъдат изпъкнали и вдлъбнати, прави и наклонени, правилни и неправилни. Всички тези видове фигури се различават една от друга по формата на n-ъгълниците в основата, както и по разположението им спрямо перпендикулярния на тях сегмент, чиято дължина е височината на призмата. Фигурата по-долу показва набор от призми с различен брой ъгли в основата и брой странични лица.

Правилна триъгълна призма

Първата призма на снимката по-горе е правилна триъгълна. Състои се от два еднакви равностранни триъгълника и три правоъгълника. Правоъгълникът е специален случай на успоредник, така че въпросната фигура отговаря на стереометричната дефиниция, очертана по-рано.

В допълнение към пет лица, триъгълна призма се образува от шест върха, които принадлежат на двете основи, и девет ръба, три от които са странични.

Важно свойство на правилната триъгълна призма е, че нейната височина съвпада с дължината на страничния ръб. Всички тези ръбове са равни един на друг, а страничните правоъгълници пресичат основите под прав ъгъл. Обърнете внимание, че правите линии между основите и страничните стени карат паралелограмите на наклонената призма да станат правоъгълници в права фигура. Очевидно при определени дължини на ръбовете правоъгълниците могат да станат квадрати.

Важни свойства на всяка триизмерна фигура са нейната повърхност и обемът на пространството, съдържащо се в нея. Изследваната призма не е изключение, така че нека разгледаме подробните й характеристики.

Площ

Площта на правилна триъгълна призма се формира от площите на всичките й пет лица. Известно е, че площта на пространствените фигури е по-лесна за разглеждане и изучаване на равнина, така че е удобно да се направи развитие на призма. Показано е по-долу.

Развитието е представено от пет фигури от два вида, които в призмата са били лица.

За да определим площта на всички тези фигури, въвеждаме следната нотация: приемаме, че дължината на страната на основата е равна на a, а височината (дължината на страничния ръб) е равна на h. Като вземем предвид нотацията, получаваме площта на един триъгълник:

При писането на тази формула е използван стандартният израз за площта на триъгълник. Площта на един правоъгълник е:

Като вземем предвид броя на триъгълниците и правоъгълниците (вижте сканирането по-горе), получаваме формула за общата площ на изследваната геометрична фигура:

S = 2 × S 3 + 3 × S 4 = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h

Тук първият член от дясната страна на равенството описва площта на двете основи, вторият член ви позволява да изчислите повърхността на страничната.

Спомнете си, че получената формула за S е валидна само за права правилна триъгълна призма. Ако разглеждахме наклонена фигура, тогава изразът за S щеше да има различна форма.

Формула за определяне обема на фигура

Обемът на всяка пространствена фигура е тази част от пространството, която е ограничена от ръбовете на полиедъра. Обемът на всяка призма, независимо от формата на нейната основа и страни, може да се определи по следната формула:

Тоест, достатъчно е да умножите площта на една основа по височината на цялата фигура, за да получите желаната стойност на обема.

За случая на триъгълна правилна призма получаваме следния израз за V:

V = S 0 × h = S 3 × h = √3 / 4 × a 2 × h

Написаната формула за V, както и изразът за S в предходния параграф, зависят само от два параметъра на фигурата: дължини a и h. Тоест познаването на всеки два линейни параметъра ви позволява да изчислите всички свойства на изследваната призма.

Решението на проблема

Във физиката често се използва триъгълна правилна призма, изработена от масивно стъкло, за разлагане на електромагнитния поток във видимата област на спектъра на редица честоти с цел тяхното изследване. Необходимо е да се определи колко стъкло ще е необходимо, за да се направи призма с повърхност 300 cm2 и дължина на основната страна 10 cm.

Първо определяме височината на призмата h. Използвайки формулата за S, имаме:

S = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h =>

h = (S - √3 / 2 × a 2) / (3 × a) = (300 - √3 / 2 × 10 2) / (3 × 10) = 7,11 cm

Тъй като знаем стойностите на a и h, за да определим обема на призмата, ще използваме формулата за V:

V = √3 / 4 × a 2 × h = √3 / 4 × 10 2 × 7,11 = 307,87 cm 3

По този начин, за да направите описаната призма, ще ви трябва около 308 cm 3 стъкло.