Същността на метода на Симпсън е да апроксимира интегранта върху отсечка чрез интерполиращ полином от втора степен p2(x), т.е. апроксимация на графиката на функция върху отсечка с парабола. Три точки се използват за интерполиране на интегранта.

Нека разгледаме произволен интеграл. Нека използваме промяна на променлива, така че вместо това границите на интеграционния сегмент да станат [-1,1]. За да направите това, въведете променливата z:

Нека разгледаме проблема с интерполирането на интегранта с помощта на три равноотдалечени възлови точки z = -1, z = 0, z = +1 като възли (стъпката е 1, дължината на интеграционния сегмент е 2). Нека обозначим съответните стойности на интегранта в интерполационните възли:

Системата от уравнения за намиране на коефициентите на полином, минаващ през три точки (-1, f-1), (0, f0) и (1, f-+1), ще приеме формата:

Коефициентите могат лесно да бъдат получени:

Нека сега изчислим стойността на интеграла на интерполационния полином:

Чрез обратна промяна на променливата се връщаме към първоначалния интеграл. Нека вземем предвид, че:

отговаря

отговаря

отговаря

Получаваме формулата на Симпсън за произволен интервал на интегриране:

Получената стойност съвпада с площта на криволинейния трапец, ограничен от оста x, прави линии x = x0, x = x2 и парабола, минаваща през точките

Ако е необходимо, първоначалният интеграционен сегмент може да бъде разделен на N двойни сегмента, към всеки от които се прилага формулата на Симпсън. Стъпката на интерполация ще бъде:

За първия сегмент на интегриране интерполационните възли ще бъдат точки a, a+h, a+2h, за втория a+2h, a+3h, a+4h, за третия a+4h, a+5h, a +6 часа и т.н. Приблизителната стойност на интеграла се получава чрез сумиране на N области:

числен метод на интегриране Симпсън

Тази сума включва идентични членове (за вътрешни възли с четна стойност на индекса - 2i). Следователно можем да пренаредим членовете в тази сума, както следва:

Като вземем предвид това, което получаваме:

Нека сега оценим грешката на интегриране, използвайки формулата на Симпсън. Ще приемем, че функция на интервал има непрекъснати производни. Нека направим разликата:

Чрез последователно прилагане на теоремата за средната стойност към тази разлика и диференциране на R(h), получаваме грешката на метода на Симпсън:

Грешката на метода намалява пропорционално на дължината на стъпката на интегриране на четвърта степен, т.е. Когато броят на интервалите се удвои, грешката намалява 16 пъти.

Предимства и недостатъци

Формулите на Симпсън и Нютон-Коутс са добър инструмент за изчисляване на определен интеграл достатъчен брой пъти за непрекъснато диференцируема функция. По този начин, при условие че четвъртата производна не е твърде голяма, методът на Симпсън позволява да се получи доста висока точност. В същото време неговият алгебричен ред на точност е 3, а формулата на Симпсън е точна за полиноми със степен не по-висока от три.

Също така, методите на Нютон-Котс и по-специално методът на Симпсън ще бъдат най-ефективни в случаите, когато няма априорна информация за гладкостта на интегранта, т.е. когато интегралната функция е дадена в таблица.

За да се намери определения интеграл по трапецовиден метод, площта на криволинейния трапец също се разделя на n правоъгълни трапеца с височини h и основи 1, 2, 3,..у n, където n е номерът на правоъгълния трапец . Интегралът ще бъде числено равен на сумата от площите на правоъгълни трапеци (Фигура 4).

Ориз. 4

n - брой дялове

Грешката на трапецовидната формула се оценява с числото

Грешката на формулата на трапеца намалява по-бързо с растежа, отколкото грешката на формулата на правоъгълника. Следователно трапецовидната формула позволява по-голяма точност от метода на правоъгълника.

Формулата на Симпсън

Ако за всяка двойка сегменти построим полином от втора степен, след това го интегрираме върху сегмента и използваме свойството на адитивност на интеграла, получаваме формулата на Симпсън.

В метода на Симпсън, за да се изчисли определен интеграл, целият интервал на интегриране се разделя на подинтервали с еднаква дължина h=(b-a)/n. Броят на разделителните сегменти е четно число. След това, на всяка двойка съседни подинтервали, интегралната функция f(x) се заменя с полином на Лагранж от втора степен (Фигура 5).

Ориз. 5 Функцията y=f(x) върху сегмента се заменя с полином от 2-ри ред

Нека разгледаме подинтегралната функция върху сегмент. Нека заменим този интегранд с интерполационен полином на Лагранж от втора степен, съвпадащ с y= в точките:

Нека интегрираме в сегмента:

Нека въведем промяна на променливите:

Като се имат предвид формулите за заместване,

След като извършим интегрирането, получаваме формулата на Симпсън:

Получената стойност за интеграла съвпада с площта на криволинейния трапец, ограничен от ос, прави линии и парабола, минаваща през точки, формулата на Симпсън ще изглежда така:

Във формулата на параболата стойността на функцията f(x) в нечетни точки на дяла x 1, x 3, ..., x 2n-1 има коефициент 4, в четни точки x 2, x 4, . .., x 2n-2 - коефициент 2 и в две гранични точки x 0 =a, x n =b - коефициент 1.

Геометричното значение на формулата на Симпсън: площта на криволинейния трапец под графиката на функцията f (x) върху сегмент се заменя приблизително със сумата от площите на фигурите, лежащи под параболите.

Ако функцията f(x) има непрекъсната производна от четвърти ред, тогава абсолютната стойност на грешката на формулата на Симпсън е не повече от

където M е най-голямата стойност на сегмента. Тъй като n 4 нараства по-бързо от n 2, грешката на формулата на Симпсън намалява с увеличаване на n много по-бързо от грешката на трапецовидната формула.

Нека изчислим интеграла

Този интеграл е лесен за изчисляване:

Нека вземем n равно на 10, h=0,1, изчислим стойностите на интегранта в точките на разделяне, както и полуцелите точки.

Използвайки формулата на средните правоъгълници, получаваме I прав = 0,785606 (грешката е 0,027%), използвайки формулата на трапеца I trap = 0,784981 (грешката е около 0,054. Когато използваме метода на десния и левия правоъгълник, грешката е повече от 3%.

За да сравним точността на приблизителните формули, нека изчислим отново интеграла

но сега по формулата на Симпсън с n=4. Нека разделим отсечката на четири равни части по точки x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 и изчислим приблизително стойностите на функцията f(x)=1/( 1+x) в тези точки: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Използвайки формулата на Симпсън, получаваме

Нека оценим грешката на получения резултат. За функцията интегранд f(x)=1/(1+x) имаме: f (4) (x)=24/(1+x) 5, което означава, че на отсечката . Следователно можем да приемем M=24 и грешката на резултата не надвишава 24/(2880 4 4)=0,0004. Сравнявайки приблизителната стойност с точната, заключаваме, че абсолютната грешка на резултата, получен с помощта на формулата на Симпсън, е по-малка от 0,00011. Това е в съответствие с оценката на грешката, дадена по-горе, и в допълнение показва, че формулата на Симпсън е много по-точна от трапецовидната формула. Следователно формулата на Симпсън се използва по-често за приблизително изчисляване на определени интеграли, отколкото формулата на трапеца.

Остатъчният член на квадратурната формула на Симпсън е равен на , където ξ∈(x 0 ,x 2) или

Цел на услугата. Услугата е предназначена за изчисляване на определен интеграл с помощта на формулата на Симпсън онлайн.

Инструкции. Въведете интегралната функция f(x), щракнете върху Решаване. Полученото решение се записва във файл на Word. Създава се и шаблон за решение в Excel.

Правила за въвеждане на функция

Примери за правилен правопис F(x):
1) 10 x e 2x ≡ 10*x*exp(2*x)
2) x e -x +cos(3x) ≡ x*exp(-x)+cos(3*x)
3) x 3 -x 2 +3 ≡ x^3-x^2+3

Извеждане на формулата на Симпсън

От формулата
при н= 2 получаваме

защото x 2 -x 0 = 2h, тогава имаме . (10)
Това Формулата на Симпсън. Геометрично това означава, че заместваме кривата y=f(x) с парабола y=L 2 (x), минаваща през три точки: M 0 (x 0 ,y 0), M 1 (x 1 ,y 1), M2 (x2,y2).

Остатъкът от формулата на Симпсън е равен на

Да приемем, че y∈C (4) . Нека получим ясен израз за R. Фиксирайки средната точка x 1 и разглеждайки R=R(h) като функция от h, ще имаме:
.
Следователно, диференциране последователно три пъти по отношение на ч, получаваме






Най-накрая имаме
,
където ξ 3 ∈(x 1 -h,x 1 +h). Освен това имаме: R(0) = 0, R"(0)=0. R""(0)=0. Сега, последователно интегрирайки R"""(h), използвайки теоремата за средната стойност, получаваме


Така остатъчният член на квадратурната формула на Симпсън е равен на
, където ξ∈(x 0 ,x 2). (единадесет)
Следователно формулата на Симпсън е точна за полиноми не само от втора, но и от трета степен.
Сега получаваме формулата на Симпсън за произволен интервал [ а,b]. Позволявам н = 2мима четен брой възли на мрежата (x i), x i =a+i·h, i=0,...,n, и y i =f(x i). Прилагане на формулата на Симпсън (10) към всеки двоен интервал , ,..., дължина 2 ч, ще има


От това получаваме общата формула на Симпсън
.(12)
Грешката за всеки удвоен интервал (k=1,...,m) се дава по формула (11).

защото броят на двойните интервали е равен на м, Че

Като се вземе предвид непрекъснатостта на y IV на [ а,b], можем да намерим точка ε такава, че .
Следователно ще имаме
. (13)
Ако е дадена максималната допустима грешка ε, тогава, обозначавайки , трябва да определим стъпката ч
.
На практика изчислението Ризползването на формула (13) може да бъде трудно. В този случай можете да направите следното. Изчисляваме интеграла I(h)=I 1 със стъпка h, I(2h)=I 2 със стъпка 2h и т.н. и изчислете грешката Δ:
Δ = |I k -I k-1 | ≤ ε. (14)
Ако неравенство (14) е изпълнено (ε е определената грешка), тогава I k = I(k·h) се приема като оценка на интеграла.
Коментирайте.Ако решетката е неравномерна, тогава формулата на Симпсън приема следната форма (получете я сами)
.
Нека броят на възлите n = 2m (четен). Тогава

където h i =x i -x i-1.

Пример №1. Използвайки формулата на Симпсън, изчислете интеграла, като вземете н = 10.
Решение:Имаме 2 м= 10. Следователно . Резултатите от изчислението са дадени в таблицата:

аз	x i	y2i-1	y2i
0	0		y 0 = 1,00000
1	0.1	0.90909
2	0.2		0.83333
3	0.3	0.76923
4	0.4		0.71429
5	0.5	0.66667
6	0.6		0.62500
7	0.7	0.58824
8	0.8		0.55556
9	0.9	0.52632
10	1.0		y n =0,50000
∑		σ 1	σ 2

Използвайки формула (12), получаваме .
Нека изчислим грешката R=R 2. защото , Че .
Следователно max|y IV |=24 за 0≤x≤1 и, следователно, . Така I = 0,69315 ± 0,00001.

Пример №2. В задачите изчислете приблизително определения интеграл по формулата на Симпсън, като разделите интегралната отсечка на 10 равни части. Изчисленията трябва да бъдат закръглени до четвъртия знак след десетичната запетая.

Разделяме интеграционния сегмент на четен брой елементарни сегменти с еднаква дължина по точки със стъпка
(
). На всеки сегмент
Ние приближаваме интегранта с полином от втора степен, който на този сегмент има формата
. забележи това азтук приема само нечетни стойности от 1 до
. Така интегралната функция се апроксимира чрез набор от квадратни полиноми или сплайн от втора степен.

Нека изчислим произволен интеграл от дясната страна.

Коефициенти ,И може да се намери от условието за интерполация, тоест от уравненията

,

Имайте предвид, че точката е средата на сегмента
, следователно
. Нека заместим този израз във второто интерполационно уравнение:

.

Нека умножим това уравнение по 4 и го добавим към останалите:

Последният израз съвпада точно с израза в квадратни скоби на формула (5.1). следователно

Което означава

Така формулата на Симпсън изглежда така:

Оценка на грешката на квадратурни формули.

Нека оценим грешката, когато използваме метода на средния правоъгълник при допускането, че функцията
безкрайно диференцируеми.

Нека разширим функцията интегранд
в серия на Тейлър в близост до точка ,
.

Последният ред съдържа само нечетни правомощия х. Тогава

С малък размер на стъпката чосновен принос за грешката Рще допринесе за стойността
, наречен водещ член на грешката Р.

Нека приложим метода на средните правоъгълници към функцията
на сегмента
на стъпки ч. Тогава

.

Така,
, Където
– постоянна стойност. Грешка в приблизителното равенство
е безкрайно малко количество от по-висок порядък в сравнение с при
.

Стъпка степен ч, на който остатъкът е пропорционален Р, се нарича ред на точност на метода на интегриране. Методът на средния правоъгълник има точност от втори ред.

Нека оценим грешката при използване на трапецовиден метод също при допускането, че функцията
безкрайно диференцируеми.

Нека разширим интегранта в ред на Тейлър в близост до точката (
).

Термин за водеща грешка Р:

.

Прилагане на метода на левия правоъгълник към функция
на сегмента
на стъпки ч, получаваме

.

Така че трапецовидният метод също има точност от втори ред.

По подобен начин може да се покаже, че методите на левия и десния правоъгълник имат първи, а методът на Симпсън - четвърти ред на точност.

Лекция 17.

„Правилото на Рунге за оценка на практическата грешка.

Концепцията за адаптивни алгоритми.

Специални случаи на числено интегриране.

Клетъчен метод. Изчисляване на многократни интеграли."

Правилото на Рунге за оценка на практическата грешка.

Нека някакъв метод на интегриране има ред на точност к, това е
, Където – грешка, А– коефициент в зависимост от метода на интегриране и подинтегралната функция, ч– преградна стъпка. Тогава

и когато стъпиш

,

Изведената формула се нарича първата формула на Рунге. Има голямо практическо значение. Ако трябва да изчислите интеграла с точност  , тогава трябва да изчислим приблизителните стойности на интеграла, удвоявайки броя на елементарните сегменти, докато постигнем неравенството

Тогава, пренебрегвайки безкрайно малките количества, можем да приемем, че

Ако искаме да получим по-точна стойност на желания интеграл, тогава за прецизираната стойност Джможем да приемем вместо това
количество

.

Това е втората формула на Рунге. За съжаление, несигурността на тази прецизирана стойност остава несигурна, но обикновено е с порядък по-голям от точността на оригиналния метод (когато стойността е Джприемаме
).

Например, разгледайте метода на трапеца. Както е показано по-горе, редът на точност кот този метод е равно на 2.

Където
. Според втората формула на Рунге

Където
е приблизителната стойност на интеграла, намерена по метода на Симпсън със стъпка. Тъй като редът на този метод е 4, в този пример използването на втората формула на Рунге увеличи реда на точност с 2.

Този метод предлага да се апроксимира интегралната функция на частичен сегмент чрез парабола, минаваща през точките
(x j, f(x j)), Където й = аз-1; аз-0.5; аз, тоест ние приближаваме функцията интегранд чрез интерполационен полином на Лагранж от втора степен:

След извършване на интеграцията получаваме:

Това е, което е Формулата на Симпсън или параболичната формула. На сегмента
[а, б] Формулата на Симпсън приема формата

Графично представяне на метода Симпсън е показано на фиг. 2.4.

Ориз. 10.4.Метод на Симпсън

Нека се отървем от дробните индекси в израз (2.16), като преназначим променливите:

Тогава формулата на Симпсън приема формата

Грешката на формула (2.18) се оценява със следния израз:

Където h·n = б-а, . По този начин грешката на формулата на Симпсън е пропорционална на О(ч 4).

Коментирайте.Трябва да се отбележи, че във формулата на Симпсън интеграционният сегмент задължително се разделя на дориброй интервали.

10.5. Изчисляване на определени интеграли чрез методи
Монте Карло

Обсъдените по-рано методи се наричат детерминистичен , тоест лишен от елемента на случайност.

Методи Монте Карло(MMK) са числени методи за решаване на математически проблеми с помощта на моделиране на случайни променливи. MMC позволяват успешно решаване на математически проблеми, причинени от вероятностни процеси. Освен това, когато решавате проблеми, които не са свързани с никакви вероятности, можете изкуствено да излезете с вероятностен модел (и дори повече от един), който ви позволява да решавате тези проблеми. Разгледайте изчислението на определения интеграл

Когато изчислявате този интеграл с помощта на формулата на правоъгълника, интервалът [ а, б] се разделят на нидентични интервали, в средата на които са изчислени стойностите на интегранта. Чрез изчисляване на стойностите на функцията в произволни възли можете да получите по-точен резултат:

Тук γ i е произволно число, равномерно разпределено в интервала
. Грешката при изчисляване на MMC интеграла е ~ , което е значително по-голямо от това на предишните изследвани детерминистични методи.

На фиг. Фигура 2.5 представя графична реализация на метода Монте Карло за изчисляване на единичен интеграл със случайни възли (2.21) и (2.22).

(2.23)

Ориз. 10.6.Интегриране по метода Монте Карло (2-ри случай)

Както може да се види на фиг. 2.6, интегралната крива лежи в единичния квадрат и ако можем да получим двойки произволни числа, равномерно разпределени в интервала, тогава получените стойности (γ 1, γ 2) могат да се интерпретират като координати на точка в единичния квадрат. След това, ако се получат доста от тези двойки числа, можем приблизително да приемем това
. Тук Се броят на двойките точки, попадащи под кривата, и н– общият брой двойки числа.

Пример 2.1.Изчислете следния интеграл:

Проблемът беше решен с различни методи. Получените резултати са обобщени в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Коментирайте.Изборът на табличен интеграл ни позволи да сравним грешката на всеки метод и да разберем ефекта от броя на дяловете върху точността на изчисленията.

11 ПРИБЛИЖЕНО РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНА
И ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ