Запишете основната система от решения на диференциални уравнения. Хомогенни системи линейни алгебрични уравнения

вижте също Решаване на линейни диференциални уравнения онлайн
Търсене фундаментална системарешения в общ случайе доста трудна задача. Има обаче клас уравнения, за които този проблем може да бъде решен доста лесно. Сега започваме да изучаваме този клас.
(*)

Линеен диференциално уравнение(*) ще се нарича уравнение с постоянни коефициенти, ако коефициентите в това уравнение са постоянни, тоест a i (x)=const. Тогава съответното хомогенно уравнение L(y)=0 ще има формата
. (6)
Ще търсим решение на уравнение (6) във формата y = erx. Тогава y" = r e rx, y"" = r 2 e rx,…, y (n) = r n e rx. Замествайки в (6), получаваме

Тъй като e rx не изчезва никъде, тогава
. (7)
Уравнение (7) се нарича характеристично уравнение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти.
Така доказахме следната теорема. Теорема.Функцията y = e rx е решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти (6) тогава и само ако r е коренът на характеристичното уравнение (7).
Възможни са следните случаи.
1. Всички корени на характеристичния полином са реални и различни. Нека ги обозначим с r 1 ,r 2 ,…,r n . Тогава получаваме n различни решения
y 1 = e r1x, y 2 = e r2x,…, y n = e rnx (8)
уравнение (6). Нека докажем, че получената система от решения е линейно независима. Нека разгледаме неговата детерминанта на Вронски

.

Коефициентът e (r 1+ r 2+..+ rn) x от дясната страна на W(e r 1 x, e r 2 x,…, e rnx) не изчезва никъде. Следователно остава да се покаже, че вторият фактор (детерминанта) не е равен на нула. Да приемем, че

Тогава редовете на този детерминант са линейно зависими, т.е. съществуват такива числа α 1, α 2, ..., α n, че
Така получаваме, че r i, i = 1,2,..,n е n различни корениполином от (n-1)-та степен, което е невъзможно. Следователно детерминантата от дясната страна W(e r 1 x, e r 2 x,…, e rnx) не е равна на нула и системата от функции (8) образува фундаментална система от решения на уравнение (6) в случай, че когато корените на характеристичното уравнение са различни.

Пример. За уравнението y""-3y" + 2y=0 корените на характеристичното уравнение r 2 - 3r + 2 = 0 са равни на r 1 = 1, r 2 = 2 (корените са намерени чрез услугата за намиране дискриминантът). Следователно фундаменталната система от решения се състои от функциите y 1 = e x , y 2 = e 2 x и общо решениезаписано като y = C 1 e x + C 2 e 2 x.
2. Сред корените на характеристичното уравнение има кратни. Да предположим, че r 1 има кратност α и всички останали са различни. Нека първо разгледаме случая r 1 = 0. Тогава характеристично уравнениеизглежда като

тъй като в противен случай не би бил корен от кратността α. Следователно диференциалното уравнение има формата
тоест не съдържа производни от ред под α. Това уравнение се удовлетворява от всички функции, чиито производни от порядък α и по-високи са равни на нула. По-специално, това са всички полиноми със степен не по-висока от α-1, например,
1, x, x 2, …, x α-1. (9)
Нека покажем това тази системалинейно независими. След като съставихме детерминанта на Вронски на тази система от функции, получаваме

.

Това е определящото триъгълен на видс ненулеви елементи на главния диагонал. Следователно тя е различна от нула, което доказва линейната независимост на системата от функции (9). Обърнете внимание, че в един от примерите в предходния параграф доказахме линейната независимост на системата от функции (9) по различен начин. Нека сега коренът на характеристичното уравнение за кратност α е числото r 1 ≠0. Нека направим замяната y = z r 1 x = z exp(r 1 x) в уравнение (6) L(y) = 0. Тогава

и така нататък. Замествайки получените стойности на производните в първоначалното уравнение, отново получаваме линейно хомогенно уравнение с постоянни коефициенти
(0)
с характеристично уравнение
. (1)
Обърнете внимание, че ако k е коренът на характеристичното уравнение (1), тогава z = e kx е решение на уравнение (0), а y = y r 1 x = e (k + r 1) x е решение на уравнение ( 6). Тогава r=k+r 1 е коренът на характеристичното уравнение (7). От друга страна, уравнение (6) може да се получи от уравнение (0) чрез обратното заместване z = ye - r 1 x и следователно всеки корен на характеристичното уравнение (7) съответства на корена k = r - r 1 на характеристичното уравнение (1). По този начин е установено съответствие едно към едно между корените на характеристичните уравнения (7) и (1), а различните корени на едно уравнение съответстват на различни коренидруг. Тъй като r = r 1 е коренът на кратността α на уравнение (7), тогава уравнение (1) има k=0 като корен на кратността α. Според това, което беше доказано по-рано, уравнение (0) има α линейно независими решения
които съответстват на α линейно независими решения
(2)
уравнение (7). Чрез добавяне на получената система от решения (2) към n-α решенията, съответстващи на останалите корени на характеристичното уравнение, получаваме фундаментална система от решения за линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случай на наличие на множество корени.
Пример. За уравнението y"""-4y""+4y" = 0, характеристичното уравнение r 3 -4r 2 + 4r = 0 има корени r=0 на кратно 1 и r=2 на кратно 2, тъй като r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2, следователно фундаменталната система от решения на първоначалното уравнение е системата от функции y 1 = 1, y 2 = e 2 x, y 3 = xe 2 x и общото решение има формата y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x .
3. Сред корените на характеристичното уравнение има комплексни корени. Можете да разглеждате сложни решения, но за уравнения с реални коефициенти това не е много удобно. Нека намерим реални решения, съответстващи на комплексни корени. Тъй като разглеждаме уравнение с реални коефициенти, тогава за всеки комплексен корен r j = a+bi от кратност α на характеристичното уравнение, неговото комплексно спрегнато число r k = a-bi също е корен от кратност α на това уравнение. Двойките решения, съответстващи на тези корени, са функциите и , l=0,1,.., α-1. Вместо тези решения, разгледайте техните линейни комбинации 3. За уравнението y (4) + 8y"" + 16y =0, характеристичното уравнение r 4 +8r 2 +16=0 има r 1 = 2i, r 2 = -2i с кратност 2, тъй като r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2, следователно фундаменталната система от решения на оригиналното уравнение е системата от функции y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x , y 4 = xsin2x и общото решение има формата y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x.

Линейни диференциални уравнения от втори ред

Диференциалното уравнение от втори ред има формата .

Определение.Общо решение на уравнение от втори ред е функция, която за всяка стойност е решение на това уравнение.

Определение.Линейно хомогенно уравнение от втори ред се нарича уравнение. Ако коефициентите са постоянни, т.е. не зависят от , то това уравнение се нарича уравнение с постоянни коефициенти и се записва по следния начин: .

Уравнението ще го наречем линейно нехомогенно уравнение.

Определение.Уравнение, което се получава от линейно хомогенно уравнениезаместването на функция с единица и и със съответните степени се нарича характеристично уравнение.

Известно е, че квадратното уравнение има решение в зависимост от дискриминанта: , т.е. ако , тогава корените и са реални различни числа. Ако, тогава. Ако, т.е. , тогава ще бъде имагинерно число, а корените и - комплексни числа. В този случай се съгласяваме да означим .

Пример 4.Решете уравнението.

Решение.Дискриминантът на това квадратно уравнение, Ето защо .

Ще покажем как да намерим общото решение на хомогенно линейно уравнение от втори ред, като използваме формата на корените на характеристичното уравнение.

Ако са реалните корени на характеристичното уравнение, тогава .

Ако корените на характеристичното уравнение са еднакви, т.е. , тогава общото решение на диференциалното уравнение се търси с помощта на формулата или .

Ако характеристичното уравнение има комплексни корени, тогава.

Пример 5.Намерете общото решение на уравнението.

Решение.Нека създадем характеристично уравнение за това диференциално уравнение: . Корените му са валидни и различни. Следователно общото решение .

Фундаментална система от решения на линейно хомогенно диференциално уравнение. Теорема за структурата на общото решение на решенията на линейно хомогенно диференциално уравнение. В този раздел ще докажем, че основата на линейното пространство на частични решения на хомогенно уравнение може да бъде всяко множество от н неговите линейно независими решения.
Деф. 14.5.5.1. фундаментална система от решения. Фундаментална система от решениялинейно хомогенно диференциално уравнение н -ти ред е всеки линеен независима система г 1 (х ), г 2 (х ), …, y n (х ) неговият н частни решения.
Теорема 14.5.5.1.1 за структурата на общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение. Общо решение г (х ) на линейно хомогенно диференциално уравнение е линейна комбинация от функции от основната система от решения на това уравнение:
г (х ) = ° С 1 г 1 (х ) + ° С 2 г 2 (х ) + …+ C n y n (х ).
Документ. Позволявам г 1 (х ), г 2 (х ), …, y n (х ) е фундаментална система от решения на линейно хомогенно диференциално уравнение. Изисква се да се докаже, че всяко конкретно решение г Какво ( х ) на това уравнение се съдържа във формулата г (х ) = ° С 1 г 1 (х ) + ° С 2 г 2 (х ) + …+ C n y n (х ) за определен набор от константи ° С 1 , ° С 2 , …, Cn . Нека вземем произволна точка, изчислим числата в тази точка и намерим константите ° С 1 , ° С 2 , …, Cn като решение на линеен хомогенна система алгебрични уравнения

Такова решение съществува и е единствено, тъй като детерминантата на тази система е равна на . Помислете за линейната комбинация г (х ) = ° С 1 г 1 (х ) + ° С 2 г 2 (х ) + …+ C n y n (х ) функции от фундаменталната система от решения с тези стойности на константите ° С 1 , ° С 2 , …, Cn и го сравнете с функцията г Какво ( х ). Функции г (х ) И г Какво ( х ) отговарят на едно и също уравнение начални условияв точката х 0, следователно, поради уникалността на решението на проблема на Коши, те съвпадат: г Какво ( х ) = ° С 1 г 1 (х ) + ° С 2 г 2 (х ) + … + C n y n (х ). Теоремата е доказана.
От тази теорема следва, че размерността на линейното пространство на частични решения на хомогенно уравнение с непрекъснати коефициенти не надвишава н . Остава да се докаже, че тази размерност не е по-малка от н .
Теорема 14.5.5.1.2 за съществуването на фундаментална система от решения на линейно хомогенно диференциално уравнение. Всяко линейно хомогенно диференциално уравнение н ти ред с непрекъснати коефициенти има фундаментална система от решения, т.е. система от н линейно независими решения.
Документ. Нека вземем произволна числова детерминанта н -ти ред, не е равен на нула

Ще продължим да усъвършенстваме нашата технология елементарни трансформации На хомогенна система линейни уравнения .
Въз основа на първите параграфи материалът може да изглежда скучен и посредствен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното развитие техникище има много нова информация, затова се опитайте да не пренебрегвате примерите в тази статия.

Какво е хомогенна система от линейни уравнения?

Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всекиуравнението на системата е нула. Например:

Това е абсолютно ясно хомогенната система винаги е последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, това, което хваща окото е т.нар тривиаленрешение . Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава без показност. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ...Защо да се лутаме, нека да разберем дали тази система има други решения:

Пример 1

Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го доведе до стъпаловиден изглед. Моля, обърнете внимание, че тук не е необходимо да записвате вертикалната лента и нулевата колона с безплатни термини - в крайна сметка, без значение какво правите с нули, те ще останат нули:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –3.

(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.

Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.

В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система , и, прилагане обратен ходМетодът на Гаус е лесно да се провери, че решението е уникално.

Отговор:

Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има само тривиално решение , Ако ранг на системната матрица(В в такъв случай 3) равна на броя на променливите (в случая – 3 броя).

Нека загреем и настроим нашето радио на вълната от елементарни трансформации:

Пример 2

Решете хомогенна система от линейни уравнения

За да консолидираме окончателно алгоритъма, нека анализираме последната задача:

Пример 7

Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма.

Решение: нека напишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма:

(1) Променен е знакът на първия ред. Още веднъж обръщам внимание на техника, която е била срещана много пъти, което ви позволява значително да опростите следващото действие.

(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към 4-тия ред.

(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са премахнати.

Резултатът е стандартен стъпкова матрица, а решението продължава по набраздения път:

– основни променливи;
– свободни променливи.

Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи. От второто уравнение:

– заместване в 1-вото уравнение:

Така че общото решение е:

Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.

Нека заместим тройка от стойности в общото решение и да получим вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е силно препоръчително да проверявате всеки получен вектор - няма да отнеме много време, но напълно ще ви предпази от грешки.

За тройка ценности намерете вектора

И накрая за тримата получаваме третия вектор:

Отговор: , Където

Желаещите да избегнат дробни стойностиможе да обмисли тризнаци и да получите отговор в еквивалентна форма:

Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата и нека се запитаме: възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В крайна сметка тук първо изразихме основната променлива чрез дроби, след това чрез дроби основната променлива и, трябва да кажа, този процес не беше най-простият и не най-приятният.

Второ решение:

Идеята е да се опита изберете други базисни променливи. Нека погледнем матрицата и забележим две единици в третата колона. Така че защо да няма нула в горната част? Нека извършим още една елементарна трансформация:

LDE от n-ти ред - ur-e, линеен по отношение на неизвестната функция и нейните производни и има формата

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +...+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) ур-е в дадената форма

*ако y 1 е решение на LOU, тогава C y 1, където C е произволна константа, също е решение на това уравнение.

*Сумата от y 1 + y 2 решения на LOE е решение от същото ниво.

1 0 Линейна комбинация с произволни константи на решение y 1 , y 2 ,…, y m LOU е решение на същото уравнение.

*ако LOU (1) с реални коефициенти p i (x)∈R има цялостно решение y(x)=u(x)+iv(x), тогава реалната част на това решение Rey=u(x) и неговата имагинерна част Imy=v(x) са отделни решения на едно и също уравнение.

Извикват се функциите y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x). линейно зависимина някакъв интервал (a,b), ако има такива константи a1,a2,…,an≠0, така че за всички x от интервала (a,b) идентичността a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + е вярно a n y n (x)=0. Ако функциите са линейно зависими, то поне една от тях е линейна комбинация от останалите.

Ако идентичността е валидна само за a1=a2=…=an=0, тогава функциите y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) се наричат линейно независимина интервала (a,b).

*ако функциите y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) линейно зависимина интервала (a,b), след това детерминантата (остров Вронски)

W(x)=W= =0 на този интервал.

Състояние линейна независимостчастни решения:

* ако линейно независими функции y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) са решения на LOE (1) с коефициенти p i (x), непрекъснати в интервала (a, b), тогава се компилира за тях детерминантата на Wronski не е = 0 в нито една точка от интервала (a,b).

Общото решение на LOU (1) с непрекъснати коефициенти p i (x) върху (a,b) (i=1,2,...,n) е линейна комбинация y oo = n линейно независими частични решения y i върху същото интервал с произволни постоянни коефициенти .

1 0 максималният брой линейно независими решения на LOU е равен на неговия ред.

FSR-всякакви n независими частични решаващи LOU от n-ти ред.

*y на =y oo +y chn

Структура на общото решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение. Метод на вариация на произволни константи за намиране на конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от n-ти ред.

LPDE се решават чрез метода на вариране на произволни константи. Първо се намира общото решение хомогенно уравнение , със същата лява страна като оригинала нехомогенно уравнение. Тогава решението на уравнението се намира във формата, т.е. Приема се, че константите C са f-mi на независимата променлива x. В този случай функциите C 1 (x) и C 2 (x) могат да бъдат получени като решение на системата

U той = u oo + u chn

максималният брой решения на едно уравнение е равен на неговия ред.

общо решение

44*. Линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Характеристичен полином и характеристично уравнение. Изграждане на фундаментална система от решения в случая прости коренихарактеристичен полином (реален и комплексен).

Уравнение във формата y"+p(x)y=f(x), където p(x), f(x) са непрекъснати функции на интервала a

Ако f(x)= 0, тогава уравнението се нарича хомогенно.

Ако в LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

Всички коефициенти pi са постоянни, тогава неговите частични решения могат да бъдат намерени във формата y=e kx, където k е константа. Заместване в ур

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

Намалявайки с e kx получаваме т.нар Характерно ниво

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

Това уравнение от n-та степен определя онези стойности на k, при които y= e kx е решение на оригиналното диференциално уравнение с постоянни коефициенти.

1.k 1 , k 2 ,…,k n – реални и различни

FSR: e k 1 x, e k 2 x,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ ,

k ~ - m - кратен корен на ur-i, а всички останали n- m корени са различни

FSR: e k ~ x,x e k ~ x,…, x m -1 e k ~ x, e km +1 x, e k n x

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем!!!

За да разбере какво е фундаментална система за вземане на решенияможете да гледате видео урок за същия пример, като щракнете. Сега нека да преминем към същинското описание на цялата необходима работа. Това ще ви помогне да разберете по-подробно същността на този въпрос.

Как да намерим основната система от решения на линейно уравнение?

Да вземем за пример следната система от линейни уравнения:

Нека намерим решението на тази линейна система от уравнения. Да започнем с това, ние трябва да напишете матрицата на коефициента на системата.

Нека трансформираме тази матрица в триъгълна.Пренаписваме първия ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(11)$, трябва да бъдат направени нули. За да направите нула на мястото на елемента $a_(21)$, трябва да извадите първия от втория ред и да напишете разликата във втория ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, трябва да извадите първия от третия ред и да напишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(41)$, трябва да извадите първото умножено по 2 от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, трябва да извадите първото умножено по 2 от петия ред и да запишете разликата в петия ред.

Пренаписваме първия и втория ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(22)$, трябва да бъдат направени нули. За да направите нула на мястото на елемента $a_(32)$, трябва да извадите второто умножено по 2 от третия ред и да запишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(42)$, трябва да извадите второто, умножено по 2, от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(52)$, трябва да извадите секундата, умножена по 3, от петия ред и да запишете разликата в петия ред.

Виждаме това последните три реда са еднакви, така че ако извадите третото от четвъртото и петото, те ще станат нула.

Според тази матрица напишете нова система от уравнения.

Виждаме, че имаме само три линейно независими уравнения и пет неизвестни, така че фундаменталната система от решения ще се състои от два вектора. Така че ние трябва да преместим последните две неизвестни надясно.

Сега започваме да изразяваме тези неизвестни, които са от лявата страна, чрез тези, които са от дясната страна. Започваме с последното уравнение, първо изразяваме $x_3$, след това заместваме получения резултат във второто уравнение и изразяваме $x_2$, а след това в първото уравнение и тук изразяваме $x_1$. Така изразихме всички неизвестни, които са от лявата страна, чрез неизвестните, които са от дясната страна.

Тогава вместо $x_4$ и $x_5$ можем да заменим произволни числа и да намерим $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Всеки пет от тези числа ще бъдат корените на нашата оригинална система от уравнения. За да намерите векторите, които са включени в FSRтрябва да заменим 1 вместо $x_4$ и да заменим 0 вместо $x_5$, да намерим $x_1$, $x_2$ и $x_3$ и след това обратното $x_4=0$ и $x_5=1$.