Analiza rezultata direktnih mjerenja. Teorija greške

Procjena pouzdanosti rezultata mjerenja

Zašto nastaju greške?

Klasifikacija greške

Proračun grešaka direktnih mjerenja

Tačne prirodne nauke su zasnovane na merenjima. Prilikom mjerenja vrijednosti veličina izražavaju se u obliku brojeva koji označavaju koliko je puta izmjerena veličina veća ili manja od druge veličine, čija se vrijednost uzima kao jedinica. Numeričke vrijednosti različitih veličina dobivene kao rezultat mjerenja mogu ovisiti jedna o drugoj. Odnos između takvih veličina izražava se u obliku formula koje pokazuju kako se numeričke vrijednosti nekih veličina mogu pronaći iz brojčanih vrijednosti drugih.

Greške se neizbežno javljaju tokom merenja. Potrebno je ovladati metodama koje se koriste u obradi rezultata dobijenih mjerenjem. To će vam omogućiti da naučite kako iz skupa mjerenja dobiti rezultate koji su najbliži istini, blagovremeno uočiti nedosljednosti i greške, inteligentno organizirati sama mjerenja i ispravno procijeniti tačnost dobijenih vrijednosti.

Ako se mjerenje sastoji od poređenja date veličine s drugom, homogenom veličinom uzetom kao jedinica, tada se mjerenje u ovom slučaju naziva direktnim.

Direktna (direktna) mjerenja- to su mjerenja u kojima se dobija numerička vrijednost mjerene veličine ili direktnim poređenjem sa mjerom (etalonom), ili uz pomoć instrumenata baždarenih u jedinicama mjerene veličine.

Međutim, takvo poređenje nije uvijek direktno. U većini slučajeva, ne mjeri se veličina koja nas zanima, već druge veličine povezane s njom određenim odnosima i obrascima. U ovom slučaju, za mjerenje tražene količine, potrebno je prvo izmjeriti nekoliko drugih veličina čija vrijednost izračunavanjem određuje vrijednost željene količine. Ovo mjerenje se naziva indirektno.

Indirektna mjerenja sastoje se od direktnih mjerenja jedne ili više veličina povezanih s količinom koja se određuje kvantitativnom zavisnošću i izračunavanja količine koja se određuje iz ovih podataka.

Mjerenja uvijek uključuju mjerne instrumente, koji dovode jednu vrijednost u korespondenciju s drugom povezanom s njom, dostupnim kvantitativnoj procjeni uz pomoć naših osjetila. Na primjer, jačina struje je usklađena s kutom otklona strelice na graduiranoj skali. U ovom slučaju moraju biti ispunjena dva glavna uslova procesa mjerenja: nedvosmislenost i ponovljivost rezultata. ova dva uslova su uvek samo približno zadovoljena. Zbog toga Proces mjerenja sadrži, uz pronalaženje željene vrijednosti, i procjenu nepreciznosti mjerenja.

Savremeni inženjer mora biti u stanju da proceni grešku rezultata merenja uzimajući u obzir potrebnu pouzdanost. Stoga se velika pažnja poklanja obradi rezultata mjerenja. Poznavanje osnovnih metoda izračunavanja grešaka jedan je od glavnih zadataka laboratorijske radionice.

Postoji mnogo razloga za pojavu grešaka u mjerenju. Nabrojimo neke od njih.

· procesi koji se dešavaju tokom interakcije uređaja sa mernim objektom neizbežno menjaju izmerenu vrednost. Na primjer, mjerenje dimenzija dijela pomoću čeljusti dovodi do kompresije dijela, odnosno do promjene njegovih dimenzija. Ponekad se uticaj uređaja na izmerenu vrednost može učiniti relativno malim, ali ponekad je uporediv ili čak prevazilazi samu izmerenu vrednost.

· Svaki uređaj ima ograničene mogućnosti za nedvosmisleno određivanje izmjerene vrijednosti zbog nesavršenosti dizajna. Na primjer, trenje između različitih dijelova u bloku pokazivača ampermetra dovodi do činjenice da promjena struje za neki mali, ali konačan iznos neće uzrokovati promjenu ugla skretanja kazaljke.

· U sve procese interakcije uređaja sa objektom mjerenja uvijek je uključeno vanjsko okruženje čiji se parametri mogu mijenjati i to često na nepredvidiv način. Ovo ograničava ponovljivost uslova mjerenja, a time i rezultata mjerenja.

· Prilikom vizuelnog uzimanja očitavanja instrumenta, može doći do nejasnoća u očitavanju očitavanja instrumenta zbog ograničenih mogućnosti našeg okommera.

· Većina količina se određuje indirektno na osnovu našeg znanja o odnosu željene količine sa drugim veličinama direktno merenim instrumentima. Očigledno, greška indirektnog mjerenja ovisi o greškama svih direktnih mjerenja. Osim toga, greškama u indirektnom mjerenju doprinose ograničenja našeg znanja o mjerenom objektu, pojednostavljenje matematičkog opisa odnosa između veličina i zanemarivanje utjecaja onih veličina čiji se utjecaj u procesu mjerenja smatra beznačajnim.

Vrijednost greške mjerenja određene veličine obično se karakterišu:

1. Apsolutna greška - razlika između eksperimentalno pronađene (izmjerene) i prave vrijednosti određene količine

. (1)

Apsolutna greška pokazuje koliko griješimo kada mjerimo određenu vrijednost X.

2. Relativna greška jednaka odnosu apsolutne greške i prave vrijednosti izmjerene vrijednosti X

Relativna greška pokazuje za koji dio prave vrijednosti X griješimo.

Kvaliteta rezultate mjerenja neke veličine karakteriše relativna greška. Vrijednost se može izraziti u postocima.

Iz formula (1) i (2) proizilazi da za pronalaženje apsolutne i relativne greške mjerenja moramo znati ne samo izmjerenu, već i pravu vrijednost veličine koja nas zanima. Ali ako je prava vrijednost poznata, onda nema potrebe za mjerenjem. Svrha mjerenja je uvijek da se otkrije nepoznata vrijednost određene veličine i da se pronađe, ako ne njena prava vrijednost, onda barem vrijednost koja se prilično malo razlikuje od nje. Stoga formule (1) i (2), koje određuju veličinu grešaka, nisu prikladne u praksi. U praktičnim mjerenjima greške se ne izračunavaju, već procjenjuju. Procjene uzimaju u obzir eksperimentalne uslove, tačnost metodologije, kvalitet instrumenata i niz drugih faktora. Naš zadatak: naučiti kako konstruirati eksperimentalnu metodologiju i ispravno koristiti podatke dobivene iz iskustva kako bismo pronašli vrijednosti mjerenih veličina koje su dovoljno bliske pravim vrijednostima i razumno procijenile greške mjerenja.

Govoreći o greškama mjerenja, prije svega treba spomenuti velike greške (promašaji) koji nastaju zbog nadzora eksperimentatora ili neispravnosti opreme. Treba izbjegavati ozbiljne greške. Ako se utvrdi da su se dogodila, odgovarajuća mjerenja se moraju odbaciti.

Eksperimentalne greške koje nisu povezane s grubim greškama dijele se na slučajne i sistematske.

Withslučajne greške. Ponavljajući ista mjerenja više puta, možete primijetiti da često njihovi rezultati nisu potpuno jednaki jedni drugima, već „plešu“ oko nekog prosjeka (slika 1). Greške koje mijenjaju veličinu i predznak od eksperimenta do eksperimenta nazivaju se slučajnim. Eksperimentator nehotice unosi slučajne greške zbog nesavršenosti osjetila, slučajnih vanjskih faktora itd. Ako je greška svakog pojedinačnog mjerenja u osnovi nepredvidiva, onda one nasumično mijenjaju vrijednost mjerene veličine. Ove greške se mogu proceniti samo statističkom obradom višestrukih merenja željene veličine.

Sistematično greške može biti povezano sa greškama instrumenta (nepravilna skala, neravnomerno rastegnuta opruga, nejednak mikrometarski korak zavrtnja, nejednake balansne ruke, itd.) i sa samim eksperimentom. Oni zadržavaju svoju veličinu (i predznak!) tokom eksperimenta. Kao rezultat sistematskih grešaka, eksperimentalni rezultati rasuti zbog slučajnih grešaka ne fluktuiraju oko prave vrijednosti, već oko određene pristrasne vrijednosti (slika 2). greška svakog mjerenja željene veličine može se unaprijed predvidjeti, znajući karakteristike uređaja.

Sistematske greške. Sistematske greške prirodno mijenjaju vrijednosti mjerene veličine. Greške koje instrumenti unose u mjerenja najlakše se procjenjuju ako su povezane sa konstrukcijskim karakteristikama samih instrumenata. Ove greške su naznačene u pasošima za uređaje. Greške nekih uređaja mogu se procijeniti bez pozivanja na tehnički list. Za mnoge električne mjerne instrumente, njihova klasa tačnosti je naznačena direktno na skali.

Klasa tačnosti instrumenta- ovo je omjer apsolutne greške uređaja i maksimalne vrijednosti mjerene veličine, koja se može odrediti pomoću ovog uređaja (ovo je sistematska relativna greška ovog uređaja, izražena kao postotak ocjene na skali).

Tada je apsolutna greška takvog uređaja određena relacijom:

Za električne mjerne instrumente uvedeno je 8 klasa tačnosti: 0,05; 0,1; 0,5; 1.0; 1.5; 2.0; 2.5; 4.

Što je izmjerena vrijednost bliža nominalnoj vrijednosti, to će rezultat mjerenja biti tačniji. Maksimalna tačnost (tj. najmanja relativna greška) koju dati uređaj može pružiti jednaka je klasi tačnosti. Ova se okolnost mora uzeti u obzir kada se koriste instrumenti sa više skala. Skala mora biti odabrana na takav način da izmjerena vrijednost, dok ostane unutar skale, bude što je moguće bliža nominalnoj vrijednosti.

Ako klasa tačnosti za uređaj nije navedena, tada se moraju poštovati sljedeća pravila:

· Apsolutna greška instrumenata sa noniusom jednaka je tačnosti nonija.

· Apsolutna greška instrumenata sa fiksnim nagibom strelice jednaka je vrijednosti podjele.

· Apsolutna greška digitalnih uređaja jednaka je jednoj minimalnoj cifri.

· Za sve ostale instrumente, pretpostavlja se da je apsolutna greška jednaka polovini vrijednosti podjele.

Slučajne greške. Ove greške su statističke prirode i opisane su teorijom vjerovatnoće. Utvrđeno je da se sa veoma velikim brojem merenja verovatnoća dobijanja jednog ili drugog rezultata u svakom pojedinačnom merenju može odrediti korišćenjem Gausove normalne raspodele. Sa malim brojem mjerenja, matematički opis vjerovatnoće dobivanja jednog ili drugog rezultata mjerenja naziva se Studentova distribucija (više o tome možete pročitati u priručniku „Greške mjerenja fizičkih veličina“).

Kako procijeniti pravu vrijednost mjerene veličine?

Pretpostavimo da smo prilikom mjerenja određene vrijednosti dobili N rezultata: . Aritmetička sredina serije mjerenja bliža je pravoj vrijednosti mjerene veličine nego većina pojedinačnih mjerenja. Da bi se dobio rezultat mjerenja određene vrijednosti, koristi se sljedeći algoritam.

1). Izračunato prosjek serija N direktnih mjerenja:

2). Izračunato apsolutna slučajna greška svakog mjerenja je razlika između aritmetičke sredine serije N direktnih mjerenja i ovog mjerenja:

3). Izračunato srednja kvadratna apsolutna greška:

4). Izračunato apsolutna slučajna greška. Uz mali broj mjerenja, apsolutna slučajna greška se može izračunati kroz srednju kvadratnu grešku i određeni koeficijent koji se naziva Studentov koeficijent:

Student koeficijent zavisi od broja merenja N i koeficijenta pouzdanosti (Tabela 1 pokazuje zavisnost Studentovog koeficijenta od broja merenja pri fiksnoj vrednosti koeficijenta pouzdanosti).

Faktor pouzdanosti je vjerovatnoća s kojom prava vrijednost izmjerene vrijednosti pada unutar intervala povjerenja.

Interval povjerenja je numerički interval u koji prava vrijednost mjerene veličine pada sa određenom vjerovatnoćom.

Dakle, Student koeficijent je broj kojim se srednja kvadratna greška mora pomnožiti da bi se osigurala određena pouzdanost rezultata za dati broj mjerenja.

Što je veća pouzdanost potrebna za dati broj mjerenja, veći je Student koeficijent. S druge strane, što je veći broj mjerenja, to je niži Student koeficijent za datu pouzdanost. U laboratorijskom radu naše radionice pretpostavit ćemo da je pouzdanost data i jednaka 0,9. Numeričke vrijednosti Studentovih koeficijenata za ovu pouzdanost za različite brojeve mjerenja date su u tabeli 1.

Tabela 1

Broj mjerenja N

Studentov koeficijent

5). Izračunato totalna apsolutna greška. U svakom mjerenju postoje i slučajne i sistematske greške. Izračunavanje ukupne (ukupne) apsolutne greške mjerenja nije lak zadatak, jer su te greške različite prirode.

Za inženjerska mjerenja, ima smisla sumirati sistematske i nasumične apsolutne greške

Radi jednostavnosti proračuna, uobičajeno je da se ukupna apsolutna greška procijeni kao zbir apsolutnih slučajnih i apsolutnih sistematskih (instrumentalnih) grešaka, ako su greške istog reda veličine, a da se zanemari jedna od grešaka ako je više od reda veličine (10 puta) manje od drugog.

6). Greška i rezultat su zaokruženi. S obzirom da je rezultat mjerenja predstavljen kao interval vrijednosti, čija je vrijednost određena ukupnom apsolutnom greškom, važno je ispravno zaokruživanje rezultata i greške.

Zaokruživanje počinje apsolutnom greškom!!! Broj značajnih cifara koji ostaje u vrijednosti greške, općenito govoreći, zavisi od koeficijenta pouzdanosti i broja mjerenja. Međutim, čak i za vrlo precizna mjerenja (na primjer, astronomska), u kojima je važna tačna vrijednost greške, ne ostavljajte više od dvije značajne brojke. Veći broj brojeva nema smisla, jer sama definicija greške ima svoju grešku. Naša ordinacija ima relativno mali koeficijent pouzdanosti i mali broj mjerenja. Stoga se pri zaokruživanju (sa viškom) ukupna apsolutna greška ostavlja na jednu značajnu cifru.

Cifra značajne cifre apsolutne greške određuje cifru prve sumnjive cifre u vrijednosti rezultata. Shodno tome, vrijednost samog rezultata mora biti zaokružena (sa korekcijom) na onu značajnu cifru čija se cifra poklapa sa cifrom značajne cifre greške. Formulirano pravilo treba primijeniti iu slučajevima kada su neki od brojeva nuli.

Ako je rezultat dobiven mjerenjem tjelesne težine , tada je potrebno upisati nule na kraju broja 0,900. Snimak bi značio da se ništa ne zna o sljedećim značajnim ciframa, dok su mjerenja pokazala da su nula.

7). Izračunato relativna greška.

Prilikom zaokruživanja relativne greške dovoljno je ostaviti dvije značajne brojke.

R rezultat niza mjerenja određene fizičke veličine predstavljen je u obliku intervala vrijednosti, što ukazuje na vjerovatnoću da prava vrijednost padne u ovaj interval, odnosno rezultat se mora napisati u obliku:

Ovdje je ukupna apsolutna greška, zaokružena na prvu značajnu cifru, i prosječna vrijednost izmjerene vrijednosti, zaokružena uzimajući u obzir već zaokruženu grešku. Prilikom snimanja rezultata mjerenja, morate naznačiti mjernu jedinicu vrijednosti.

Pogledajmo nekoliko primjera:

1. Pretpostavimo da smo prilikom mjerenja dužine segmenta dobili sljedeći rezultat: cm i cm Kako ispravno zapisati rezultat mjerenja dužine segmenta? Prvo zaokružujemo apsolutnu grešku sa viškom, ostavljajući jednu značajnu cifru, vidi značajnu cifru greške. Zatim, uz korekciju, zaokružujemo prosječnu vrijednost na najbližu stotinu, odnosno na značajnu cifru čija se cifra poklapa sa cifrom značajne cifre greške pogledajte Izračunajte relativnu grešku

cm; ; .

2. Pretpostavimo da smo pri izračunavanju otpora provodnika dobili sljedeći rezultat: I . Prvo zaokružujemo apsolutnu grešku, ostavljajući jednu značajnu cifru. Zatim zaokružujemo prosjek na najbliži cijeli broj. Izračunajte relativnu grešku

Rezultat mjerenja zapisujemo na sljedeći način:

; ; .

3. Pretpostavimo da smo prilikom izračunavanja mase tereta dobili sljedeći rezultat: kg i kg. Prvo zaokružujemo apsolutnu grešku, ostavljajući jednu značajnu cifru kg. Zatim zaokružujemo prosek na najbliže desetice kg. Izračunajte relativnu grešku

. .

Pitanja i zadaci iz teorije grešaka

1. Šta znači mjeriti fizičku veličinu? Navedite primjere.

2. Zašto dolazi do grešaka u mjerenju?

3. Šta je apsolutna greška?

4. Šta je relativna greška?

5. Koja greška karakteriše kvalitet mjerenja? Navedite primjere.

6. Šta je interval povjerenja?

7. Definirajte pojam “sistematske greške”.

8. Koji su uzroci sistematskih grešaka?

9. Koja je klasa tačnosti mjernog uređaja?

10. Kako se određuju apsolutne greške različitih fizičkih instrumenata?

11. Koje greške se nazivaju slučajnim i kako nastaju?

12. Opišite proceduru za izračunavanje srednje kvadratne greške.

13. Opišite postupak za izračunavanje apsolutne slučajne greške direktnih mjerenja.

14. Šta je „faktor pouzdanosti“?

15. Od kojih parametara i kako zavisi Student koeficijent?

16. Kako se izračunava ukupna apsolutna greška direktnih mjerenja?

17. Napišite formule za određivanje relativne i apsolutne greške indirektnih mjerenja.

18. Formulirajte pravila za zaokruživanje rezultata sa greškom.

19. Odredite relativnu grešku u mjerenju dužine zida pomoću mjerne trake s vrijednošću podjele od 0,5 cm. Izmjerena vrijednost iznosila je 4,66 m.

20. Prilikom mjerenja dužine stranica A i B pravougaonika napravljene su apsolutne greške ΔA i ΔB, respektivno. Napišite formulu za izračunavanje apsolutne greške ΔS dobijene prilikom određivanja površine iz rezultata ovih mjerenja.

21. Mjerenje dužine ivice kocke L imalo je grešku ΔL. Napišite formulu za određivanje relativne greške volumena kocke na osnovu rezultata ovih mjerenja.

22. Tijelo koje se kreće ravnomjerno ubrzano iz stanja mirovanja. Da bismo izračunali ubrzanje, izmjerili smo put S koji je prešlo tijelo i vrijeme njegovog kretanja t. Apsolutne greške ovih direktnih mjerenja bile su ΔS i Δt, respektivno. Izvedite formulu za izračunavanje greške relativnog ubrzanja iz ovih podataka.

23. Prilikom izračunavanja snage uređaja za grijanje prema podacima mjerenja dobijene su vrijednosti Pav = 2361,7893735 W i ΔR = 35,4822 W. Zabilježite rezultat kao interval povjerenja, zaokružujući po potrebi.

24. Prilikom izračunavanja vrijednosti otpora na osnovu podataka mjerenja, dobijene su sljedeće vrijednosti: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Zabilježite rezultat kao interval povjerenja, zaokružujući po potrebi.

25. Prilikom izračunavanja koeficijenta trenja na osnovu mjernih podataka dobijene su vrijednosti μav = 0,7823735 i Δμ = 0,03348. Zabilježite rezultat kao interval povjerenja, zaokružujući po potrebi.

26. Struja od 16,6 A određena je pomoću uređaja s klasom tačnosti 1,5 i ocjenom skale od 50 A. Pronađite apsolutnu instrumentalnu i relativnu grešku ovog mjerenja.

27. U seriji od 5 mjerenja perioda oscilovanja klatna dobijene su sljedeće vrijednosti: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Nađite apsolutnu slučajnu grešku u određivanju perioda iz ovih podataka.

28. Eksperiment spuštanja tereta sa određene visine ponovljen je 6 puta. U ovom slučaju dobijene su sljedeće vrijednosti vremena pada opterećenja: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Naći relativnu grešku u određivanju vremena pada.

Vrijednost podjele je izmjerena vrijednost koja uzrokuje odstupanje pokazivača za jedno podjeljenje. Vrijednost podjele se određuje kao omjer gornje granice mjerenja uređaja prema broju podjela skale.

U opštem slučaju, postupak obrade rezultata direktnih merenja je sledeći (pretpostavlja se da nema sistematskih grešaka).

Slučaj 1. Broj dimenzija je manji od pet.

1) Koristeći formulu (6) nalazi se prosječan rezultat x, definisan kao aritmetička sredina rezultata svih mjerenja, tj.

2) Pomoću formule (12) izračunavaju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja

3) Pomoću formule (14) utvrđuje se prosječna apsolutna greška

4) Pomoću formule (15) izračunava se prosječna relativna greška rezultata mjerenja

5) Zapišite konačni rezultat u sljedećem obliku:

, at
.

Slučaj 2. Broj dimenzija je veći od pet.

1) Koristeći formulu (6) nalazi se prosječan rezultat

2) Pomoću formule (12) određuju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja

3) Koristeći formulu (7), izračunava se srednja kvadratna greška jednog mjerenja

4) Standardna devijacija za prosječnu vrijednost izmjerene vrijednosti izračunava se prema formuli (9).

5) Konačni rezultat se bilježi u sljedećem obliku

Ponekad slučajne greške mjerenja mogu biti manje od vrijednosti koju mjerni uređaj (instrument) može registrirati. U ovom slučaju se dobija isti rezultat za bilo koji broj mjerenja. U takvim slučajevima, kao prosječna apsolutna greška
prihvati polovinu vrijednosti podjele skale uređaja (instrumenta). Ova vrijednost se ponekad naziva maksimalnom ili greškom instrumenta i označava se
(za instrumente sa noniusom i štopericu
jednaka preciznosti uređaja).

Mjerenje br.

5.4. Proračun ukupne greške

Apsolutna greška

; .

5. Relativna greška, odnosno tačnost mjerenja

; E = 0,5%.

6. Zabilježite konačni rezultat

Konačni rezultat za vrijednost koja se proučava upisuje se u obrazac

Bilješka. U konačnom snimku, broj cifara rezultata i apsolutna greška moraju biti isti.

6. Grafički prikaz rezultata mjerenja

Rezultati fizičkih mjerenja se vrlo često prikazuju u grafičkom obliku. Grafovi imaju niz važnih prednosti i vrijednih svojstava:

a) omogućavaju određivanje vrste funkcionalne zavisnosti i granica u kojima ona važi;

b) omogućiti jasno poređenje eksperimentalnih podataka sa teorijskom krivom;

c) pri konstruisanju grafa izglađuju skokove u toku funkcije koji nastaju usled slučajnih grešaka;

d) omogućavaju određivanje određenih veličina ili vršenje grafičke diferencijacije, integracije, rješavanja jednačina itd.

Grafovi se, po pravilu, izrađuju na posebnom papiru (milimetarskom, logaritamskom, polulogaritamskom). Uobičajeno je da se nezavisna varijabla crta duž vodoravne ose, odnosno vrijednosti čiju vrijednost postavlja sam eksperimentator, a duž vertikalne ose - vrijednost koju on odredi. Treba imati na umu da se presek koordinatnih osa ne mora podudarati sa nultim vrednostima x i y. Prilikom odabira ishodišta koordinata treba se voditi činjenicom da je cijelo područje crteža u potpunosti iskorišteno (slika 2.).

Na koordinatnim osama grafikona nisu naznačeni samo nazivi ili simboli veličina, već i njihove mjerne jedinice. Razmjer duž koordinatnih osa treba odabrati tako da se mjerene točke nalaze na cijeloj površini lista. U ovom slučaju, skala bi trebala biti jednostavna tako da prilikom crtanja tačaka na grafikonu ne morate u glavi praviti aritmetičke proračune.

Eksperimentalne tačke na grafikonu moraju biti prikazane tačno i jasno. Korisno je iscrtati tačke dobijene u različitim eksperimentalnim uslovima (na primjer, grijanje i hlađenje) u različitim bojama ili različitim simbolima. Ako je greška eksperimenta poznata, onda je umjesto točke bolje prikazati križ ili pravokutnik čije dimenzije duž osi odgovaraju ovoj grešci. Ne preporučuje se spajanje eksperimentalnih točaka jedna s drugom isprekidanom linijom. Krivu na grafikonu treba nacrtati glatko, vodeći računa da se eksperimentalne tačke nalaze i iznad i ispod krive, kao što je prikazano na slici 3.

Prilikom konstruisanja grafova, pored koordinatnog sistema sa uniformnom skalom, koriste se i takozvane funkcionalne skale. Odabirom odgovarajućih funkcija x i y, možete dobiti jednostavniju liniju na grafu nego kod konvencionalne konstrukcije. Ovo je često neophodno kada se bira formula za dati graf za određivanje njegovih parametara. Funkcionalne skale se također koriste u slučajevima kada je potrebno rastegnuti ili skratiti bilo koji dio krivulje na grafikonu. Najčešće korištena funkcionalna skala je logaritamska skala (slika 4).

U svakom eksperimentu, broj mjerenja fizičke veličine je uvijek ograničen iz ovog ili onog razloga. Due With Ovo može predstavljati zadatak procjene pouzdanosti dobivenog rezultata. Drugim riječima, odredite s kojom vjerovatnoćom se može reći da greška napravljena u ovom slučaju ne prelazi unaprijed određenu vrijednost ε. Ova vjerovatnoća se obično naziva vjerovatnoća povjerenja. Označimo to slovom.

Može se postaviti i inverzni problem: odrediti granice intervala
, tako da sa datom vjerovatnoćom moglo bi se tvrditi da je prava vrijednost mjerenja količine neće ići dalje od navedenog, takozvanog intervala povjerenja.

Interval pouzdanosti karakterizira tačnost dobivenog rezultata, a vjerovatnoća pouzdanosti njegovu pouzdanost. Metode za rješavanje ove dvije grupe problema su dostupne i posebno su razvijene za slučaj kada se greške mjerenja distribuiraju po normalnom zakonu. Teorija vjerovatnoće također pruža metode za određivanje broja eksperimenata (ponovljenih mjerenja) koji osiguravaju specificiranu tačnost i pouzdanost očekivanog rezultata. U ovom radu ove metode se ne razmatraju (ograničićemo se samo na njihovo spominjanje), jer se takvi zadaci obično ne postavljaju prilikom izvođenja laboratorijskih radova.

Od posebnog je interesa, međutim, slučaj procjene pouzdanosti rezultata mjerenja fizičkih veličina sa vrlo malim brojem ponovljenih mjerenja. Na primjer,
. To je upravo slučaj sa kojim se često susrećemo prilikom izvođenja laboratorijskih radova iz fizike. Prilikom rješavanja ovog tipa problema preporučuje se korištenje metode zasnovane na Studentskoj raspodjeli (zakon).

Radi praktičnosti primjene dotične metode, postoje tabele pomoću kojih možete odrediti interval pouzdanosti
, što odgovara datoj vjerovatnoći pouzdanosti ili riješiti inverzni problem.

Ispod su oni dijelovi navedenih tabela koji mogu biti potrebni pri ocjenjivanju rezultata mjerenja u laboratorijskim časovima.

Neka se, na primjer, proizvede ekvivalentna (pod identičnim uslovima) merenja neke fizičke veličine i izračunata je njegova prosječna vrijednost . Moramo pronaći interval povjerenja , što odgovara datoj vjerovatnoći povjerenja . Problem se općenito rješava na sljedeći način.

Koristeći formulu uzimajući u obzir (7) izračunavaju

Zatim za date vrijednosti n i pronađite iz tabele (tabela 2) vrijednost . Potrebna vrijednost se izračunava na osnovu formule

(16)

Prilikom rješavanja inverznog problema parametar se prvo izračunava pomoću formule (16). Željena vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti uzima se iz tabele (Tabela 3) za dati broj i izračunati parametar .

Tabela 2. Vrijednost parametra za dati broj eksperimenata

i vjerovatnoća povjerenja

Tabela 3 Vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti za dati broj eksperimenata n i parametar ε

U opštem slučaju, postupak obrade rezultata direktnih merenja je sledeći (pretpostavlja se da nema sistematskih grešaka).

Slučaj 1. Broj dimenzija je manji od pet.

x, definisan kao aritmetička sredina rezultata svih mjerenja, tj.

2) Pomoću formule (12) izračunavaju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja

3) Pomoću formule (14) utvrđuje se prosječna apsolutna greška

4) Pomoću formule (15) izračunava se prosječna relativna greška rezultata mjerenja

5) Zapišite konačni rezultat u sljedećem obliku:

Slučaj 2. Broj dimenzija je veći od pet.

1) Koristeći formulu (6) nalazi se prosječan rezultat

2) Pomoću formule (12) određuju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja

3) Koristeći formulu (7), izračunava se srednja kvadratna greška jednog mjerenja

4) Standardna devijacija za prosječnu vrijednost izmjerene vrijednosti izračunava se prema formuli (9).

5) Konačni rezultat se bilježi u sljedećem obliku

Ponekad slučajne greške mjerenja mogu biti manje od vrijednosti koju mjerni uređaj (instrument) može registrirati. U ovom slučaju se dobija isti rezultat za bilo koji broj mjerenja. U takvim slučajevima se kao prosječna apsolutna greška uzima polovina vrijednosti podjele skale uređaja (instrumenta). Ova vrijednost se ponekad naziva maksimalnom ili greškom instrumenta i označava se (za instrumente s noniusom i štopericu jednaka je točnosti instrumenta).

Procjena pouzdanosti rezultata mjerenja

U svakom eksperimentu, broj mjerenja fizičke veličine je uvijek ograničen iz ovog ili onog razloga. S tim u vezi, može se postaviti zadatak da se proceni pouzdanost dobijenog rezultata. Drugim riječima, odredite s kojom vjerovatnoćom se može reći da greška napravljena u ovom slučaju ne prelazi unaprijed određenu vrijednost ε. Ova vjerovatnoća se obično naziva vjerovatnoća povjerenja. Označimo ga slovom .

Može se postaviti i inverzni problem: odrediti granice intervala tako da se sa datom vjerovatnoćom može konstatovati da prava vrijednost mjerenja veličine neće ići dalje od navedenog, takozvanog intervala povjerenja.

Od posebnog je interesa, međutim, slučaj procjene pouzdanosti rezultata mjerenja fizičkih veličina sa vrlo malim brojem ponovljenih mjerenja. Na primjer, . To je upravo slučaj sa kojim se često susrećemo prilikom izvođenja laboratorijskih radova iz fizike. Prilikom rješavanja ovog tipa problema preporučuje se korištenje metode zasnovane na Studentskoj raspodjeli (zakon).

Radi praktičnosti primjene metode koja se razmatra, postoje tabele pomoću kojih možete odrediti interval pouzdanosti koji odgovara datoj vjerovatnoći pouzdanosti ili riješiti inverzni problem.

Ispod su oni dijelovi navedenih tabela koji mogu biti potrebni pri ocjenjivanju rezultata mjerenja u laboratorijskim časovima.

Pretpostavimo, na primjer, da se izvrši jednaka preciznost (pod identičnim uslovima) mjerenja neke fizičke veličine i izračuna se njena prosječna vrijednost. Potrebno je pronaći interval povjerenja koji odgovara datoj vjerovatnoći povjerenja. Problem se općenito rješava na sljedeći način.

Koristeći formulu uzimajući u obzir (7) izračunavaju

Zatim za date vrijednosti n i pronađite vrijednost iz tabele (tabela 2). Potrebna vrijednost se izračunava na osnovu formule

Tabela 2. Vrijednost parametra za dati broj eksperimenata

i vjerovatnoća povjerenja

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Tabela 3 Vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti za dati broj eksperimenata n i parametar ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
b	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Obrada indirektnih rezultata mjerenja

Vrlo rijetko se sadržaj laboratorijskog rada ili naučnog eksperimenta svodi na dobijanje rezultata direktnog mjerenja. Uglavnom, količina koja se traži je funkcija nekoliko drugih veličina.

Zadatak obrade eksperimenata u indirektnim mjerenjima je izračunavanje najvjerovatnije vrijednosti željene vrijednosti i procjena greške indirektnih mjerenja na osnovu rezultata direktnih mjerenja određenih veličina (argumenata) povezanih sa željenom vrijednošću određenim funkcionalnim odnosom.

Postoji nekoliko načina za rukovanje indirektnim mjerenjima. Razmotrimo sljedeće dvije metode.

Neka se određena fizička veličina odredi metodom indirektnih mjerenja.

Rezultati direktnih mjerenja njegovih argumenata x, y, z dati su u tabeli. 4.

Tabela 4

Broj iskustva	x	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Prvi način obrade rezultata je sljedeći. Koristeći proračunsku formulu (17), na osnovu rezultata svakog eksperimenta izračunava se željena vrijednost

(17)

Opisani način obrade rezultata je u principu primjenjiv u svim slučajevima indirektnih mjerenja bez izuzetka. Međutim, najpoželjnije ga je koristiti kada je broj ponovljenih mjerenja argumenata mali, a formula za izračunavanje indirektno izmjerene vrijednosti je relativno jednostavna.

U drugoj metodi obrade eksperimentalnih rezultata prvo izračunavaju, koristeći rezultate direktnih mjerenja (tabela 4), srednje aritmetičke vrijednosti svakog od argumenata, kao i greške u njihovom mjerenju. Zamena , , ,... u formulu za proračun (17) odrediti najvjerovatnije vrijednost mjerene veličine

(17*)

Procjena grešaka rezultata mjerenja

Greške mjerenja i njihove vrste

Sva mjerenja se uvijek vrše uz neke greške povezane sa ograničenom preciznošću mjernih instrumenata, pogrešnim izborom i greškom metode mjerenja, fiziologijom eksperimentatora, karakteristikama objekata koji se mjere, promjenama uslova mjerenja itd. Stoga, mjerni zadatak uključuje pronalaženje ne samo same vrijednosti, već i greške mjerenja, odnosno intervala u kojem se najvjerovatnije nalazi prava vrijednost mjerene veličine. Na primjer, kada mjerimo vremenski period t štopericom sa vrijednošću podjele od 0,2 s, možemo reći da je njegova prava vrijednost u intervalu sa https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131 .gif" width="85 " height="23 src=">s..gif" width="16" height="17 src="> i X su prave i izmjerene vrijednosti količine koja se proučava, respektivno. Količina se zove apsolutna greška(greška) mjerenja i izraz , koji karakteriše tačnost merenja, naziva se relativna greška.

Sasvim je prirodno da eksperimentator želi da izvrši svako merenje sa najvećom mogućom preciznošću, ali takav pristup nije uvek preporučljiv. Što preciznije želimo da izmerimo ovu ili onu veličinu, što su instrumenti složeniji koje moramo da koristimo, to će ta merenja zahtevati više vremena. Stoga, tačnost konačnog rezultata mora odgovarati svrsi eksperimenta. Teorija grešaka daje preporuke kako treba vršiti mjerenja i kako obraditi rezultate tako da greška bude minimalna.

Sve greške koje nastanu tokom mjerenja obično se dijele na tri tipa – sistematske, nasumične i promašene, odnosno grube greške.

Sistematske greške uzrokovane su ograničenom preciznošću izrade uređaja (greške instrumenta), nedostacima odabrane metode mjerenja, nepreciznošću proračunske formule, pogrešnom ugradnjom uređaja itd. Dakle, sistematske greške su uzrokovane faktorima koji djeluju na isti način kada ista mjerenja se ponavljaju mnogo puta. Veličina ove greške se sistematski ponavlja ili mijenja prema određenom zakonu. Neke sistematske greške se mogu eliminisati (u praksi je to uvek lako postići) promenom metode merenja, uvođenjem korekcija u očitavanja instrumenta i uzimanjem u obzir stalnog uticaja spoljašnjih faktora.

Iako sistematska (instrumentalna) greška u ponovljenim mjerenjima daje odstupanje izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti u jednom smjeru, nikada ne znamo u kom smjeru. Zbog toga se greška instrumenta piše dvostrukim predznakom

Slučajne greške uzrokovane su velikim brojem nasumičnih uzroka (promjene temperature, pritiska, podrhtavanje zgrade, itd.), čiji su efekti na svako mjerenje različiti i ne mogu se unaprijed uzeti u obzir. Nasumične greške se javljaju i zbog nesavršenosti osjetila eksperimentatora. Slučajne greške također uključuju greške uzrokovane svojstvima mjerenog objekta.

Nemoguće je isključiti slučajne greške u pojedinačnim mjerenjima, ali je moguće smanjiti utjecaj ovih grešaka na konačni rezultat izvođenjem više mjerenja. Ako se pokaže da je slučajna greška znatno manja od instrumentalne (sistemske), onda nema smisla dalje smanjivati vrijednost slučajne greške povećanjem broja mjerenja. Ako je slučajna greška veća od greške instrumenta, tada treba povećati broj merenja kako bi se smanjila vrednost slučajne greške i učinila manjom od ili istog reda veličine kao greška instrumenta.

Greške ili greške- radi se o pogrešnim očitanjima na uređaju, pogrešnom snimanju očitanja itd. U pravilu su greške uzrokovane navedenim razlozima jasno uočljive, budući da se odgovarajuća očitanja oštro razlikuju od ostalih očitanja. Promašaji se moraju otkloniti kontrolnim mjerenjima. Dakle, širina intervala u kojem leže prave vrijednosti izmjerenih veličina će biti određena samo slučajnim i sistematskim greškama.

2. Procjena sistematske (instrumentalne) greške

Za direktna mjerenja vrijednost izmjerene veličine se računa direktno na skali mjernog uređaja. Greška u očitavanju može doseći nekoliko desetina podjela skale. Obično se u takvim mjerenjima sistematska greška smatra jednakom polovini podjele skale mjernog instrumenta. Na primjer, kada se mjeri kaliperom s vrijednošću podjele od 0,05 mm, vrijednost greške mjerenja instrumenta uzima se jednakom 0,025 mm.

Digitalni mjerni instrumenti daju vrijednost veličina koje mjere sa greškom koja je jednaka vrijednosti jedne jedinice posljednje cifre na skali instrumenta. Dakle, ako digitalni voltmetar pokazuje vrijednost od 20,45 mV, tada je apsolutna greška mjerenja jednaka mV.

Sistematske greške također nastaju kada se koriste konstantne vrijednosti određene iz tabela. U takvim slučajevima, pretpostavlja se da je greška jednaka polovini posljednje značajne znamenke. Na primjer, ako je u tabeli vrijednost gustoće čelika data kao 7,9∙103 kg/m3, tada je apsolutna greška u ovom slučaju jednaka https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">koristi se formula

, (1)

gdje su https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24">, parcijalni derivati funkcije u odnosu na varijablu https://pandia. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Parcijalni derivati u odnosu na varijable d I h biće jednaki

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Dakle, formula za određivanje apsolutne sistematske greške pri mjerenju zapremine cilindra u skladu sa ima sljedeći oblik

gdje su i greške instrumenta pri mjerenju prečnika i visine cilindra

3. Procjena slučajne greške.

Interval povjerenja i vjerovatnoća povjerenja

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - funkcija raspodjele slučajnih grešaka (greške), koja karakteriše vjerovatnoću greške, σ – srednja kvadratna greška.

Količina σ nije slučajna varijabla i karakterizira proces mjerenja. Ako se uslovi mjerenja ne mijenjaju, onda σ ostaje konstantna vrijednost. Kvadrat ove veličine se zove mjerna disperzija.Što je manja disperzija, to je manji raspon pojedinačnih vrijednosti i veća je točnost mjerenja.

Tačna vrijednost srednje kvadratne greške σ, kao i prava vrijednost izmjerene vrijednosti, nije poznata. Postoji takozvana statistička procjena ovog parametra, prema kojoj je srednja kvadratna greška jednaka srednjoj kvadratnoj grešci aritmetičke sredine. čija je vrijednost određena formulom

, (3)

gdje je https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> aritmetička sredina dobivenih vrijednosti; n– broj mjerenja.

Što je veći broj mjerenja, to je manje https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src=">, a slučajna apsolutna greška, rezultat mjerenja će biti zabilježen u obliku https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> do , koji sadrži pravu vrijednost izmjerene količine μ se zove interval povjerenja. Budući da je https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> blizu σ. Da biste pronašli interval povjerenja i vjerovatnoću povjerenja sa koristi se mali broj mjerenja kojima se bavimo tokom laboratorijskog rada Studentska raspodjela vjerovatnoće. Ovo je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable koja se zove Studentov koeficijent, daje vrijednost intervala povjerenja u dijelovima srednje kvadratne greške aritmetičke sredine.

Distribucija vjerovatnoće ove veličine ne zavisi od σ2, ali značajno zavisi od broja eksperimenata n. Sa povećanjem broja eksperimenata n Studentova raspodjela teži Gausovoj raspodjeli.

Funkcija distribucije je tabelarno (Tablica 1). Vrijednost Studentovog koeficijenta je u preseku prave koja odgovara broju merenja n, i stupac koji odgovara vjerovatnoći pouzdanosti α

Tabela 1.

Koristeći podatke tabele, možete:

1) odrediti interval poverenja, s obzirom na određenu verovatnoću;

2) odabrati interval pouzdanosti i odrediti vjerovatnoću povjerenja.

Za indirektna mjerenja, srednja kvadratna greška aritmetičke srednje vrijednosti funkcije izračunato po formuli

. (5)

Interval pouzdanosti i vjerovatnoća povjerenja određuju se na isti način kao iu slučaju direktnih mjerenja.

Procjena ukupne greške mjerenja. Zabilježite konačni rezultat.

Ukupna greška rezultata mjerenja vrijednosti X će biti određena kao srednja kvadratna vrijednost sistematske i slučajne greške

, (6)

Gdje δh – greška instrumenta, Δ X– slučajna greška.

X može biti direktno ili indirektno mjerena veličina.

, α=…, E=… (7)

Treba imati na umu da same formule teorije greške vrijede za veliki broj mjerenja. Stoga se vrijednost slučajne, a samim tim i ukupne greške, određuje pri maloj n sa velikom greškom. Prilikom izračunavanja Δ X sa brojem mjerenja, preporučuje se ograničiti jednu značajnu cifru ako je veća od 3 i dvije ako je prva značajna cifra manja od 3. Na primjer, ako je Δ X= 0,042, tada odbacujemo 2 i pišemo Δ X=0,04, a ako je Δ X=0,123, tada pišemo Δ X=0,12.

Broj cifara rezultata i ukupna greška moraju biti isti. Stoga bi aritmetička sredina greške trebala biti ista. Stoga se prvo izračunava aritmetička sredina za jednu cifru više od mjerenja, a pri snimanju rezultata njena vrijednost se pročišćava na broj cifara ukupne greške.

4. Metodologija za izračunavanje mjernih grešaka.

Greške direktnih mjerenja

Prilikom obrade rezultata direktnih mjerenja preporučuje se usvajanje sljedećeg redoslijeda operacija.

Izvode se mjerenja datog fizičkog parametra n puta pod istim uslovima, a rezultati se zapisuju u tabelu. Ako se rezultati nekih mjerenja značajno razlikuju u vrijednosti od drugih mjerenja, onda se odbacuju kao promašaji ako nisu potvrđeni nakon verifikacije. Izračunava se aritmetička sredina n identičnih mjerenja. Uzima se kao najvjerovatnija vrijednost mjerene veličine

Izračunavaju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja (Δ X i)2 Određuje se srednja kvadratna greška aritmetičke sredine

Postavlja se vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti α. U radioničkim laboratorijama uobičajeno je postaviti α=0,95. Student koeficijent se nalazi za datu vjerovatnoću povjerenja α i broj mjerenja (vidi tabelu).

Ukupna greška se utvrđuje

Procjenjuje se relativna greška rezultata mjerenja

Konačni rezultat je upisan u formular

C α=… E=…%.

5. Greška indirektnih mjerenja

Prilikom procjene prave vrijednosti indirektno izmjerene vrijednosti https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24">, mogu se koristiti dvije metode.

Prvi način koristi se ako je vrijednost y određena u različitim eksperimentalnim uslovima. U ovom slučaju, za svaku od vrijednosti se izračunava , a zatim se određuje aritmetička sredina svih vrijednosti yi

Sistematska (instrumentalna) greška se nalazi na osnovu poznatih instrumentalnih grešaka svih merenja korišćenjem formule. Slučajna greška se u ovom slučaju definiše kao greška direktnog merenja.

Drugi način primjenjuje se ako ova funkcija y određen više puta istim mjerenjima..gif" width="75" height="24">. U našoj laboratorijskoj praksi češće se koristi druga metoda određivanja indirektno mjerene veličine y. Sistematska (instrumentalna) greška, kao i kod prve metode, nalazi se na osnovu poznatih instrumentalnih grešaka svih merenja pomoću formule

. (10)

Da bi se pronašla slučajna greška indirektnog mjerenja, prvo se izračunavaju srednje kvadratne greške aritmetičke sredine pojedinačnih mjerenja. Tada se pronalazi srednja kvadratna greška vrijednosti y. Postavljanje vjerovatnoće pouzdanosti α, pronalaženje Studentovog koeficijenta https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">, sa α=… E=…% .

6. Primjer dizajna laboratorijskog rada

Laboratorijski rad br.1

ODREĐIVANJE ZAPREMINE CILINDRA

Dodaci:čeljust s vrijednošću podjele 0,05 mm, mikrometar sa vrijednošću podjele 0,01 mm, cilindrično tijelo.

Cilj rada: upoznavanje sa najjednostavnijim fizičkim merenjima, određivanje zapremine cilindra, izračunavanje grešaka u direktnim i indirektnim merenjima.

Izmjerite prečnik cilindra najmanje 5 puta pomoću čeljusti, a njegovu visinu mikrometrom.

Formula za proračun za izračunavanje zapremine cilindra

gdje je d prečnik cilindra; h – visina.

Rezultati mjerenja

Tabela 2.