Centralne (perspektivne) projekcije.

U centralnim projekcijama, lica prikazanog objekta, paralelna sa ravninom slike, prikazana su bez izobličenja oblika, ali sa izobličenjem veličine.

Slika 24 Centralne projekcije kocke: a) jednotačkaste, b) dvotačke, c) trotačke.

Centralne projekcije bilo kojeg skupa paralelnih pravih koje nisu paralelne s ravninom slike će se konvergirati na tačka nestajanja. Tačka nestajanja linija paralelnih s jednom od koordinatnih osa se zove glavna tačka nestajanja. Jer postoje tri koordinatne ose, onda ne može biti više od tri glavne tačke nestajanja.

U zavisnosti od položaja koordinatnih osi i ravni slike, jedna, dve i tri tačke centralne projekcije.

jedna tačka projekcija se dobija kada se ravan slike poklopi sa jednom od koordinatnih ravni (ili paralelno sa njom). To jest, samo jedna koordinatna osa nije paralelna sa ravninom slike i ima glavnu tačku nestajanja.

tačka na tačku projekcija se dobija kada je samo jedna od koordinatnih osa paralelna sa ravninom slike. Druge dvije koordinatne ose nisu paralelne s ravninom slike i imaju dvije glavne tačke nestajanja. Prilikom prikazivanja objekata koji se nalaze na površini zemlje najčešće se koristi projekcija u dvije tačke, u kojoj je ravan slike paralelna sa vertikalna osa koordinate. Obe glavne tačke nestajanja nalaze se na istoj horizontalnoj liniji - liniji horizonta (slika 6.5). At tri boda sve tri projekcije koordinatne ose nisu paralelne sa ravninom slike i stoga imaju tri glavne tačke nestajanja.

Razmotrimo detaljnije slučaj projekcije tačke u jednoj tački R u avion z= 0 sa projekcijskim centrom OD ležeći na osi z(Sl. 25).

Dot A projektovan na ekran kao A. Udaljenost od posmatrača do ravni projekcije je k. Potrebno je odrediti koordinate tačke A na ekranu. Označimo ih x e i y e. Iz sličnosti trouglova A y A z N i y uh ON nalazimo to

(x.9)

slično za x:

. (x.10)

Rice. 25. Izvođenje formula centralne projekcije.

Rice. 26. Drugi način izračunavanja koordinata tačaka u centralnoj perspektivnoj projekciji.

Podsjetimo da je k udaljenost i da je posmatrač u tački N= (0,0,-k). Ako je tačka posmatranja postavljena na ishodištu koordinata, a ravan projekcije na udaljenosti a, kao što je prikazano na slici 26, zatim formule za x uh i y e će poprimiti oblik:

,
(x.11)

Formule (x.10) su pogodnije kada je potrebno na jednostavan način približiti ili udaljiti posmatrača od ravni projekcije. Formulama (x.11) je potrebno manje vremena za izračunavanje zbog odsustva operacije sabiranja.

Razmotrimo tačku u trodimenzionalnom prostoru ( a, b, c). Ako ovu tačku predstavimo kao homogeni prikaz tačke u dvodimenzionalnom prostoru, tada će njene koordinate biti ( a/ c, b/ c). Upoređujući ove koordinate sa drugom vrstom formula izvedenih za centralnu perspektivnu projekciju, lako je vidjeti da je dvodimenzionalni prikaz tačke sa koordinatama ( a, b, c) izgleda kao njegova projekcija na ravan z= 1, kao što je prikazano na sl. 27.

Rice. 27. Tačkasta projekcija ( a, b, c) na ravan z = 1.

Slično, s obzirom na upotrebu homogenih koordinata za vektore trodimenzionalnog prostora, trodimenzionalni prostor se može predstaviti kao projekcija četverodimenzionalnog prostora na hiperravninu w= 1 ako ( x, y, z)(wx, wy, wz, w) = (x, y, z, 1). .

U homogenim koordinatama, transformacija centralne perspektive može se odrediti matričnom operacijom. Ova matrica se piše kao:

Pokažimo da ova matrica određuje transformaciju tačke objekta date u homogenim koordinatama u tačku projekcije perspektive (također u homogenim koordinatama). Neka str= (x, y, z) je tačka u tri dimenzionalni prostor. Njegova uniformna reprezentacija v= (wx, wy, wz, w). Pomnoži v sa P:

ovo tačno ponavlja formule (x.10) izvedene za centralnu perspektivu.

Zbog specifičnosti ljudskog vida, bolje je koristiti perspektivnu projekciju za udaljene objekte, ortografsku ili aksonometrijsku projekciju za prilično bliske objekte (na dužini ruke), a obrnutu perspektivnu projekciju za još bliže objekte.

Za stvaranje stereo slike koriste se dvije centralne projekcije čiji se centri poklapaju sa lokacijom očiju hipotetičkog posmatrača, tj. nalaze se na određenoj udaljenosti jedna od druge na pravoj liniji koja je paralelna sa ravninom slike. Nakon projekcije dobijaju se dvije slike objekta - za lijevo i desno oko. Izlazni uređaj mora pružiti ove slike svakom oku korisnika posebno. Za to se može koristiti sistem filtera u boji ili polarizacije. Sofisticiraniji izlazni uređaji (kao što su šlemovi) prikazuju svaku sliku na odvojenim ekranima za svako oko.

Sve gore razmatrane projekcije pripadaju klasi ravnih geometrijskih projekcija, jer projekcija je napravljena na ravan (a ne na zakrivljenu površinu) i pomoću snopa pravih linija (a ne krivih). Ova klasa projekcija najčešće se koristi u kompjuterskoj grafici. Nasuprot tome, kartografija često koristi neplanarne ili negeometrijske projekcije.

Za detaljan opis metoda praćenja karakteristika tačke, kalibracije kamere i rekonstrukcije trodimenzionalnih objekata, potrebno je uvesti model perspektivnog projektovanja i opisati geometrijska svojstva ovu transformaciju. Unutar su tačke nekoliko perspektivnih projekcijskih slika poseban odnos međusobno, koji su opisani epipolarnom geometrijom. Modele ovih odnosa treba detaljno razmotriti, jer. gotovo sve metode 3D rekonstrukcije zahtijevaju evaluaciju odgovarajućih modela i oslanjaju se na njihova svojstva.

Posebno je potrebno napomenuti pretpostavku da sve originalne slike snimaju istu scenu, tj. svaka slika je prikaz scene sa određene kamere. Stoga se radi lakšeg opisa uvodi pojam pogleda, kao slika s pridruženim modelom kamere iz koje je dobivena.

perspektivna projekcija

Model perspektivne projekcije odgovara idealnoj kameri obskuri. Ovaj model prilično odgovara procesu snimanja u većini modernih fotoaparata i kamkordera. Međutim, zbog ograničenja moderne optike, stvarni proces se donekle razlikuje od modela camera obscura. Razlike između stvarnog procesa i modela nazivaju se distorzije i modeliraju se zasebno.

Model najjednostavnije camera obscure je zgodan jer je u potpunosti opisan centrom projekcije i položajem ravni slike. Stoga se projekcija bilo koje tačke scene na slici može naći kao presek zraka koji povezuje centar projekcije i tačku scene sa ravninom slike.

Najjednostavniji model projekcije perspektive

Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada je centar projekcije (fokus) kamere postavljen u ishodište koordinatnog sistema, a ravan slike se poklapa sa ravninom Z=1. Neka su (X,Y,Z) koordinate tačke u 3-dimenzionalnom prostoru, a (x,y) projekcija ove tačke na sliku I. Perspektivna projekcija u ovom slučaju je opisana sledećim jednačinama:

U matričnom obliku, koristeći homogene koordinate, ove jednačine se prepisuju na sljedeći način:

(2.2)

Ravan koja se nalazi na udaljenosti od 1 od centra projekcije i okomita na optičku os naziva se idealna ravan slike. Optička os siječe idealnu ravan slike u tački c, koja se naziva glavna tačka. Ilustracija najjednostavnijeg slučaja perspektivne projekcije prikazana je na sl. jedan.

Interna kalibracija kamere

Najjednostavniji slučaj perspektivne projekcije gotovo uvijek ne odgovara stvarnoj kameri. Udaljenost od centra projekcije do ravni slike, tj. žižna daljina, označena sa f, obično nije jednaka 1. Takođe, koordinate tačke u ravni slike možda se ne poklapaju sa apsolutnim koordinatama. Kada se koristi digitalna kamera, odnos između koordinata tačke na slici i apsolutnih koordinata tačke na idealnoj ravni je određen oblikom i veličinom matričnih piksela.

Označimo dimenzije piksela matrice digitalnog fotoaparata kao p x , p y , ugao nagiba piksela kao α, a glavnu tačku kao , Sl.2. Tada su koordinate tačke (x, y) na slici koja odgovara tački (x R, y R) na idealnoj ravni određene izrazom:

(2.3)

Ako f x ,f y označavaju žižnu daljinu f mjerenu širinama i visinama piksela, a označavaju tan(α)*f/p y kao s, tada se formula 2.3 pretvara u:

(2.4)

K matrica se naziva matrica za kalibraciju interne kamere. U većini slučajeva, za prave digitalne kamere, ugao nagiba piksela je blizak direktnom, tj. parametar s=0, a širina i visina piksela su jednake. Osnovna tačka se obično nalazi u centru slike. Prema tome, matrica K se može napisati kao:

(2.5)

Ova pretpostavka o obliku matrice K se široko koristi za pojednostavljenje algoritama za određivanje unutrašnje kalibracije kamere, kao i za sintetičko modeliranje slike, neophodnog za procenu kvaliteta i efikasnosti metoda 3D rekonstrukcije.

Kalibracija eksterne kamere

Neka je M tačka scene u 3-dimenzionalnom prostoru. Svako kretanje je euklidska transformacija prostora, pa se u homogenim koordinatama izražava kao:

(2.6)

gdje je R matrica rotacije, T= T je translacijski vektor.

Kretanje kamere u odnosu na scenu je ekvivalentno obrnutom kretanju tačaka scene u odnosu na kameru, stoga je jednako:

(2.7)

gdje su R, T matrica rotacije i vektor kretanja kamere u odnosu na scenu. Matrica C se naziva matrica eksterna kalibracija kamere. Matrica C -1 se naziva matrica pokreti kamere. Dakle, matrica eksterne kalibracije kamere prevodi koordinate tačaka scene iz koordinatnog sistema scene u koordinatni sistem povezan sa kamerom.

Model pune perspektivne projekcije

Iz izraza 2.1, 2.4, 2.7 može se izvesti izraz za proizvoljnu perspektivnu projekciju za bilo koju kameru sa proizvoljnom orijentacijom i pozicijom u prostoru:

U kraćem obliku, uzimajući u obzir prethodnu notaciju, ova formula se može napisati kao:

Matrica P se naziva matrica projekcije kamere.

Analogno općoj transformaciji perspektive, prvo razmotrimo najjednostavniji slučaj transformacije ravni perspektive. Neka se ravan p poklapa sa ravninom Z=0, tada je homogena 3D koordinate bilo koja od njegovih tačaka M=. Za bilo koju kameru sa matricom projekcije P, perspektivna transformacija ravnine je opisana matricom 3*3:

Budući da se bilo koja ravan u 3-dimenzionalnom prostoru može prevesti u ravan Z = 0 euklidskom transformacijom rotacije i translacije, što je ekvivalentno množenju matrice kamere P sa matricom transformacije L, perspektivno preslikavanje proizvoljne ravni u prostoru je opisan od strane linearna transformacija sa matricom dimenzije 3*3.

Transformacija perspektivne ravni se takođe naziva homografija. U matričnom obliku, transformacija perspektivne ravni se zapisuje kao m=HM.

Geometrija dvije slike

Scena utisnuta na svim izvornim slikama smatra se nepomičnom, tako da se relativni položaj projekcija tačaka scene na različitim kadrovima ne može proizvoljno mijenjati. Ograničenja nametnuta na lokaciju projekcija tačaka očito zavise od parametara kamera i njihove pozicije jedna u odnosu na drugu. Stoga, definicija modela takvih ograničenja pruža neke informacije o relativnu poziciju kamere sa kojih su snimljene slike.

Transformacija perspektivne ravni

Ako se centri dviju kamera poklapaju, tada se tačke na ravni slike obje kamere pretvaraju jedna u drugu perspektivnom transformacijom ravnine. U ovom slučaju, transformacija tačaka između slika ne zavisi od oblika 3D scene, već samo od relativnog položaja ravni slike.

Ako je cijela scena ili njen dio avion, onda su njegove slike uključene različite vrste sa neusklađenim centrima kamere mogu se konvertovati jedan u drugi homografskom transformacijom. Neka je p posmatrana ravan, H 1 homografska transformacija između ravni p i slike I 1, H 2 - homografska transformacija između ravni p i slike I 2. Zatim homografska transformacija H 12 između slika I 1 i I 2 može se ispisati ovako:

H 12 ne zavisi od parametrizacije ravni p, pa prema tome ne zavisi od koordinatnog sistema u prostoru

Većina metoda za određivanje koordinata 3D tačaka iz njihovih projekcija i metoda za rekonstrukciju 3D scene zasnivaju se na pretpostavci da se centar kamere kreće između pogleda. Stoga, ako se centri kamera nekoliko tipova podudaraju, ove metode će dati pogrešne rezultate. Takve konfiguracije kamera moraju biti otkrivene i njima se rukuje na poseban način.

Kako je homografska transformacija zapisana u homogenim koordinatama, matrica H je definirana do razmjera. Ima 8 stupnjeva slobode i parametrizira se sa 8 varijabli. Svaki poznati par odgovarajućih tačaka m 1 i m2 na prvoj i drugoj slici daje 2 linearne jednačine na elementima matrice H. Dakle, 4 poznata para odgovarajućih tačaka su dovoljna da se sastavi sistem linearnih jednačina od 8 jednačina sa 8 nepoznatih. Prema ovom sistemu, homografija H može se jednoznačno odrediti ako nijedna tri tačke ne leže na istoj pravoj.

Fundamental Matrix

Razmotrimo slučaj kada se centri dvije vrste kamera ne poklapaju. Neka C1 i C2- centri dvije kamere, M - 3-dimenzionalna tačka scene, m 1 i m2- projekcije tačke M na prvu i drugu sliku, respektivno. Neka je P ravan koja prolazi kroz tačku M i centre kamera C1 i C2. Ravan P siječe ravnine slike prve i druge, vidi se duž pravih linija l 1 i l 2. Jer zraci C 1 M i C 2 M leže u ravni P, očigledno je da tačke m 1 i m2 lezi na pravim linijama l 1 i l 2 respektivno. Moguće je dati opštiju izjavu da projekcije bilo koje tačke M, koja leži u ravni P, na obe slike moraju ležati na pravim linijama l 1 i l 2. Ove linije se nazivaju epipolarne linije. P ravan se naziva epipolarna ravan.

Dva prikaza iste scene nazivaju se stereopar i segment C 1 C 2, koji povezuje centre kamera, naziva se baza stereo para (osnovna linija) ili stereo baza. Bilo koja epipolarna ravan prolazi kroz segment C 1 C 2. Neka C 1 C 2 siječe prvu i drugu sliku u tačkama e 1 i e 2 respektivno. bodova e 1 i e 2 nazivaju se epipolarne tačke ili epipoli. Sve epipolarne linije se sijeku u tačkama e 1 i e 2 na prvoj i drugoj slici, respektivno. Skup epipolarnih ravni je snop koji se siječe duž stereobaze C 1 C 2. Mnoge epipolarne linije na obje slike također predstavljaju snopove pravih linija koje se seku na e 1 i e 2 .

bodova m 1 i m2 nazivaju se odgovarajućim ako su projekcije iste tačke scene M. Epipolarne linije l 1 i l 2 nazivaju se odgovarajućim ako leže u istoj epipolarnoj ravni P. Ako epipolarna ravan P prolazi kroz tačku m 1, zatim epipolarne linije l 1 i l 2 koji leže u njemu nazivaju se odgovarajućim tačkama m 1.

Ograničenje položaja odgovarajućih tačaka m 1 i m2, koji slijedi iz epipolarne geometrije, može se formulirati na sljedeći način: tačka m2 odgovara m 1, mora ležati na epipolarnoj liniji l 2 odgovarajući m 1. Ovo stanje se naziva epipolarno ograničenje. U homogenim koordinatama, uslov da je tačka m leži na liniji l napisano kao l T m=0. Epipolarna linija također prolazi kroz epipolarnu tačku. Jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačke m 1 i e 1 može se napisati kao:

l 1 ∼ x m 1,

gdje x je antisimetrična matrica 3*3 takva da, x m 1- vektorski proizvod m 1 i e 1.

Za odgovarajuće epipolarne linije l 1 i l 2 desno:

gdje P+- pseudo-inverzija matrice P.

Matrica F se naziva fundamentalna matrica. To je linearni operator koji preslikava svaku tačku m 1 odgovarajuća epipolarna linija l 2. Za svaki par odgovarajućih tačaka m 1 i m2 u pravu

m T 2 Fm 1 =0

Ovo je formulacija epipolarnog ograničenja u smislu osnovne matrice.

Osnovna matrica ima 7 stupnjeva slobode. Svaki par odgovarajućih tačaka m 1 i m2 specificira jednu linearnu jednačinu po elementima matrice, tako da se može izračunati iz poznatih 7 parova odgovarajućih tačaka.

Epipolarno ograničenje vrijedi za bilo koji par odgovarajućih tačaka smještenih na dvije vrste idealnih ravni. Ako su poznate interne kalibracione matrice K1 i K2 kamere oba tipa, tada se epipolarno ograničenje za odgovarajuće tačke na idealnim ravnima piše kao:

Matrica E se zove značajan matrica. Može se pokazati da se bitna matrica može dobiti i iz relativnih položaja kamera.

Neka P 1 =(I|0) i P 2 =(R|-RT)- dvije projekcijske matrice sa kalibracijom K = I. Tada se projekcijske jednadžbe na idealnoj ravni obje komore zapisuju kao:

Pronađite epipolarnu liniju u drugom pogledu koja odgovara tački m" 1 na prvom. Da biste to učinili, dovoljno je projicirati na drugi pogled dvije tačke koje leže na zraku (C 1 ,m" 1) na drugi pogled, na primjer centar prve kamere (0,0,0,1) T i tačka na ravni beskonačnosti (x" 1 ,y" 1 ,z" 1 ,0) T. Projekcije ovih tačaka će biti -RT, i R(x" 1 ,y" 1 ,z" 1 ,0) T. Epipolarna linija jednadžbe l 2 prolaz kroz obje ove točke je dat kao vektorski proizvod:

l 2 =RT×R(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T =R(T×(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T)

U matričnom obliku, vektorski proizvod T×(x" 1,y" 1,z" 1) T može se napisati pomoću matrice S:

Tada se epipolarno ograničenje na tačke u idealnoj ravni piše kao:

Izraz esencijalne matrice u smislu parametara eksterne kalibracije dvije kamere koristi se za izračunavanje relativnih položaja kamera.

Geometrijska svojstva tri ili više slika

Neka C1,C2 i C3- centri triju pogleda na istu trodimenzionalnu scenu. U ovom slučaju, epipolarna ograničenja se nameću na odgovarajuće tačke bilo kog para pogleda. Ako su poznate projekcije dvije tačke m 1 i m2 na prvom i drugom pogledu, tada se pozicija projekcije na trećoj slici može naći kao sjecište dva epipolarna pogleda koja odgovaraju tačkama m 1 i m2.

Prema dvije poznate projekcije m 1 i m2 dvije slike sa poznatom kalibracijom mogu se koristiti za određivanje položaja tačke M u prostoru. Stoga, ako je kalibracija treće slike poznata, onda se projekcija tačke M na treći pogled može odrediti jednostavnom projekcijom.

Ograničenja nametnuta na položaj odgovarajućih tačaka više od dvije slike također se mogu napisati u linearnom obliku. Za tri pogleda, ova ograničenja su napisana u obliku trifokalnog tenzora, za četiri pogleda - u obliku kvadrifokalnog tenzora. Međutim, izračunavanje ovih ograničenja je ekvivalentno izračunavanju kalibra sve tri ili četiri vrste u projektivnom prostoru. U ovom radu se ove vrste ograničenja ne koriste, stoga se ne razmatraju detaljnije.

Višegodišnji radovi. Voloshin Maximilian. HRABOST PESNIKA. 1. Uredite pjesmu kao tekst prekomorske depeše: Suvoća, jasnoća, pritisak - svaka riječ je na oprezu.

Slovo za slovom koje treba rezati na tvrdom i skučenom kamenu: Što su riječi škrtije, to je njihova snaga intenzivnija. Voljni naboj misli jednak je prešućenim strofama.

Izbriši iz rječnika riječi "Ljepota", "Inspiracija" - Podli žargon rimova Pjesniku - razumijevanje: Istina, konstrukcija, plan, ekvivalencija, sažetost i tačnost. U trezvenom, čvrstom zanatu - nadahnuće i čast pesnika: U gluhonemoj supstanci izoštri transcendentalnu budnost. Voloshin M.A. Biblioteka: Regionalna naučna univerzalna javna biblioteka Oryol. I.A. Bunin. - M.,; Izabrana djela: U 2 toma.

M., ; Crveni dim: Priče. - M.,; Gladyshev iz izviđanja: Priče. - M.,; Echelon; Neminovnost: romani. Napravio je mnogo prijevoda marijskih i udmurtskih pjesnika. S vremena na vrijeme okušao se i u prozi. Op. Maksimilijan Aleksandrovič Vološin () je jedan od najvećih pesnika prve trećine 20. veka. Riječ je o talentiranom umjetniku, višestrukom liričaru, koji je od simbolističkih, ezoteričnih pjesama prošao put do građansko-novinarske i naučno-filozofske poezije, preko antropozofskih sklonosti – do „ideala Grada Božjeg“.

Predloženo izdanje omogućava čitatelju da se upozna ne samo s najboljim poetskim djelima Vološina, već i sa njegovim najzanimljivijim radovima o estetici, memoarskoj prozi, publicistici i pismima vezanim za dramatične događaje u životu zemalja. Autor. Voloshin Maximilian. Sve pesme autora. Posao. Hrabrost pesnika. 2. Zvijezde. Kreirajte odabrane zbirke autora i pjesama!

Razgovarajte sa istomišljenicima! Pišite recenzije, sudjelujte u poetskim duelima i takmičenjima! Pridružite se najboljima! Hvala vam što ste se pridružili Poembuku! E-mail sa podacima za pristup nalogu je poslan na Vašu email adresu!

Morate se prijaviti u roku od 24 sata. U suprotnom, račun će biti izbrisan! Registrovani korisnici dobijaju mnogo pogodnosti: Objavljujte poeziju - ostvarite svoj talenat! Kreirajte odabrane zbirke autora i pjesama! Razgovarajte sa istomišljenicima! Pišite recenzije, sudjelujte u poetskim duelima i takmičenjima!. Maksimilijan Vološin. Opis. Maksimilijan Aleksandrovič Vološin je jedan od najvećih pesnika prve trećine 20. veka.

Riječ je o talentiranom umjetniku, višeznačnom liričaru, koji je od simbolističkih, ezoteričnih pjesama prošao put do građansko-novinarske i naučno-filozofske poezije, preko antropozofskih sklonosti – do „ideala Grada Božjeg“. Predloženo izdanje omogućava čitatelju da se upozna ne samo s najboljim poetskim djelima Vološina, već i sa njegovim najzanimljivijim radovima o estetici, memoarskoj prozi, publicistici i pismima vezanim za dramu.

Odabrani radovi i pisma. M. A. Voloshin. Cijena. rub. Maksimilijan Aleksandrovič Vološin je jedan od najvećih pesnika prve trećine 20. veka. Riječ je o talentiranom umjetniku, višeznačnom liričaru, koji je od simbolističkih, ezoteričnih pjesama prošao put do građansko-novinarske i naučno-filozofske poezije, preko antropozofskih sklonosti – do „ideala Grada Božjeg“.

Vološin M.A., Odvažnost pesnika: Izabrana dela i pisma. serija: Nova biblioteka ruskih klasika: obavezan primerak Parada, g., str. Opis knjige. Maksimilijan Aleksandrovič Vološin () je jedan od najvećih pesnika prve trećine 20. veka. Riječ je o talentiranom umjetniku, višestrukom liričaru, koji je od simbolističkih, ezoteričnih pjesama prošao put do građansko-novinarske i naučno-filozofske poezije, preko antropozofskih sklonosti – do „ideala Grada Božjeg“.

kategorije Post navigacija

perspektivne projekcije

Ravna perspektivna projekcija je jedinstveno određena položajem tačke posmatranja i rastojanjem od nje do ravni projekcije (d). Položaj tačke posmatranja može se odrediti kao vektor V, koji povezuje tačku posmatranja i ishodište trodimenzionalnog koordinatnog sistema iz kojeg se vrši projekcija. 3D koordinatni sistem iz kojeg projektujete naziva se svjetski koordinatni sistem.

Vector V može se navesti u jednom od dva oblika (slika 6.2-1):

1) u polarnom koordinatnom sistemu kroz parametre:

R je modul vektora V;

Q - ugao između koordinatne ose X i projekcije vektora V na XY koordinatnu ravan svjetskog koordinatnog sistema;

J - ugao između vektora V i Z-osa svjetskog koordinatnog sistema;

2) u Dekartovom koordinatnom sistemu kroz projekcije vektora V na koordinatne ose svjetskog koordinatnog sistema:

V x - vektorska projekcija V na x-osi;

V y – vektorska projekcija V na x-osi;

V z - vektorska projekcija V na x-osu.

Rice.6.2 ‑ 1

Zadatak projektovanja grafičkog objekta, u krajnjoj liniji, svodi se na određivanje X ,Y koordinata pojedinih tačaka objekta na ravni projekcije, koje su inicijalno date sa tri koordinate u svjetskom koordinatnom sistemu.

Određivanje koordinata tačke na ravni projekcije

Razbijmo opći problem projekcije perspektive na dva problema transformacije koordinata:

Transformacija u promjenu iz svjetskog koordinatnog sistema u prikaz koordinatnog sistema

Transformacije za prijelaz iz koordinatnog sistema pogleda u koordinate na ravni projekcije.

Prijelaz na koordinatni sistem pogleda

Prelazak na koordinatni sistem pogleda je ilustrovan na donjoj slici (Slika 6.2-2).

Koordinatni sistem pogleda je takav trodimenzionalni koordinatni sistem sa koordinatnim osa X in , Y in , Z in , koji je "pogodan" za datu projekciju, tj. iz koje se najjednostavnije vrši prijelaz na dvodimenzionalni sistem na ravni projekcije (na primjer, platno). Za ovu vrstu perspektivne projekcije, ishodište koordinatnog sistema pogleda mora biti u tački E, njegova Z os mora se poklapati sa vektorom projekcije V, njena X-osa u mora biti projektovana na X-osu e, a njena Y-osa u mora biti projektovana na Y-os e.

Rice.6.2 ‑ 2

Na osnovu toga se može izvršiti prijelaz iz svjetskog koordinatnog sistema u pogled jedan slijedećim redoslijedom osnovnih transformacija:

1) prijenos svjetskog koordinatnog sistema na vektor V, što rezultira koordinatnim sistemom sa ishodištem u tački E i koordinatnim osama X 1 , Y 1 , Z 1 (implementirano matricom T -1 (-V x , -V y , -V z ));

2) rotacija rezultujućeg sistema pod uglom (-(90 0 -q)) u odnosu na njegovu koordinatnu osu Z 1, usled čega će se dobiti sistem sa koordinatnim osama X 2, Y 2, Z 2 (implementirano matricom R z -1 (-( 90 0 -q)) , u kojoj je vektor V je u koordinatnom prostoru Y 2 , Z 2 ;

3) rotacija rezultujućeg sistema E, X 1, Y 1, Z 1 za ugao ((180 0 - j)) u odnosu na njegovu koordinatnu osu X 2, usled čega je sistem sa koordinatnim osama X 3, Y 3, dobiće se Z 3 čiji je početak u tački E , (realizovana matricom R x -1 (180 0 - j)) , u kojoj se vektor V nalazi na osi Z 3;

4) promeniti pravac X 3 koordinatne ose, usled čega će se dobiti željeni koordinatni sistem pogleda sa koordinatnim osovinama X in, Y in, Z in (realizovano matricom R (-x)).

Dakle, s obzirom na četiri osnovne transformacije koordinata, da biste otišli na koordinatni sistem pogleda, morate koristiti sljedeći matrični proizvod:

Da bismo specificirali korištene matrice, sve njihove elemente predstavljamo u terminima trigonometrijskih funkcija sin j , cos j , sin q , cos q i uvodimo notaciju:

cosj= a ; sin j = b ; cos q = c; sin q = d;

u x = -r bc ; u y = -r bd ; u z =-r a .

U tu svrhu predstavljamo matrice navedene u gornjem izrazu u sljedećem obliku.

Transfer matrica:

T -1 (u x , u y , u z )= T (-u x , -u y , -u z ).

Takva reprezentacija je legitimna, jer je inverzna matrica prijenosa za vektor ekvivalentna matrici direktnog prijenosa za isti vektor u suprotnom smjeru.

Uzimajući u obzir uvedenu notaciju, imat ćemo:

Matrice rotacije oko Z-ose 1:

R z -1 (-(90 0 -Q)) = R z (90 0 -Q),

i, s obzirom da je sin (90 0 -a)= cos a, možemo napisati:

Matrice rotacije u odnosu na koordinatnu osu X 2:

R x -1 ((180 0 -j))= R x (-(180 0 -j)) ,

i, s obzirom da je sin (-(180 0 -j)) =- sin j, cos (-(180 0 -j)) =- cos j, imamo:

Matrica preokreta osi X 2 izgleda ovako:

Nađimo matricu transformacije pogleda R u:

Odredimo red množenja matrice prema zagradama u notaciji:

Nađimo R1:

Pronađimo proizvod:

Prilikom pronalaženja matrice transformacije pogleda R in, uzimamo u obzir potrebu proširenja matrice R 2 sa dimenzije 3 * 3 na dimenziju 4 * 4:

Dakle, matrica transformacije pogleda izgleda ovako:

(6.2-1)

Prijelaz sa sistema pogleda na koordinate na ravni projekcije.

Da biste izvršili ovaj korak, koristite sliku ispod (sl. 6.2-3).

Na slici se koriste sljedeće oznake:

E – ishodište koordinatnog sistema pogleda sa koordinatnim osa X in , Y in , Z in ;

T1 – tačka u koordinatnom sistemu pogleda, koja se nalazi na koordinatnoj ravni X u Z u ;

T2 je tačka u koordinatnom sistemu pogleda koja se nalazi na koordinatnoj ravni Y u Z u ;

D - udaljenost od početka koordinatnog sistema pogleda do ravni projekcije;

Xuh, Yuh- osi koordinatnog sistema na ravni projekcije (na ekranu).

Iz donje slike se može vidjeti da:

To podrazumijeva sljedeću zavisnost koordinata tačke na ekranu od koordinata ove tačke u koordinatnom sistemu pogleda:

(6.2-2)

Dakle, korišćenjem matrice transformacije pogleda R u definisanoj izrazom (6.2-1), i omjera prema izrazima (6.2-2), moguće je izračunati koordinate datih tačaka na ravni perspektivne projekcije.

Tačke i linije koje nestaju

Kod perspektivne projekcije, tačka nestajanja prave AA’ naziva se ona tačka na ravni projekcije, do koje projekcija tačke „beži“ u beskonačnost duž prave AA’. Da biste predstavili geometrijsko značenje tačaka nestajanja, razmotrite sliku ispod (sl. 6.2-4).

Na slici se koriste sljedeći simboli:

E - početak koordinatnog sistema pogleda;

"pp" - ravan projekcije (platno) sa koordinatnim osama X i Y.

Rice.6.2 ‑ 4

Povučemo pravu liniju Ea' kroz tačku E, okomitu na ravan projekcije. Ova prava se seče sa ravninom projekcije u tački a p, koja će biti tačka projekcije svih tačaka prave linije Ea ', uključujući tačku koja ide duž ove prave u beskonačnost. Prema tome, tačka a p je tačka nestajanja za pravu Ea'.

Uzmimo neku tačku b p na projekcijskoj ravni i povucimo pravu b p b 'kroz nju, paralelnu pravoj Ea'. Nacrtaj kroz prave Ea’ i bpb’ ravan koja se siječe s ravninom projekcije duž prave bp a p. Uzmite tačku b b na pravoj b p b ‘ i pustite je da ide duž prave do beskonačnosti.

Kako se trkaća tačka kreće duž prave linije do beskonačnosti, njena projekcija b bp će se kretati duž prave linije b p a p , težeći tački a p dok tačka b p teži ka beskonačnosti. Dakle, tačka a p će biti tačka nestajanja za pravu b p b '.

Jedini uslov za odabir prave bb ' bio je da je paralelna sa pravom Ea '. Prema tome, za sve prave paralelne sa Ea’, ista tačka a p će biti tačka nestajanja.

Povučemo pravu liniju u ravni projekcije kroz tačku a p paralelnu sa X-osi projekcijske ravni i uzmimo na njoj proizvoljnu tačku d p. Povucite pravu liniju kroz tačke E i d p . Zatim uzmemo drugu proizvoljnu tačku c p na ravni projekcije i kroz nju povučemo pravu c p c u koordinatnom sistemu pogleda paralelnu pravoj E d P .

Kroz dobijene paralelne prave crtamo ravan koja seče ravan projekcije duž prave d p c p . Uzmimo tačku c b na pravoj c p c i pustimo je u beskonačnost. Kao što se vidi sa slike, kao tačka c b. do beskonačnosti, njegova projekcija će se kretati duž prave c p d p. , težeći tački d p . Iz toga slijedi da je tačka d p tačka nestajanja za pravu c p s.

Raspravljajući na sličan način, lako je pokazati da će za sve prave paralelne ravnini koja prolazi kroz tačku E i pravu d p a p , tačke nestajanja biti na pravoj koja prolazi kroz tačke d p a p .

Iz prethodnog proizilazi da je prava d p a p nestajuća linija za sve horizontalne ravni. Ova linija se zove linija horizonta.

Iz prethodnog se takođe može zaključiti da sve paralelne prave, bez obzira na njihov položaj, imaju jednu tačku nestajanja. Ovo se također odnosi na vertikalne linije koje imaju jednu tačku nestajanja tzv zenit point.

Argumentirajući na sličan način, može se pokazati da sve paralelne ravni imaju jednu liniju koja nestaje.

Koncept tačaka i linija nestajanja koristi se prilikom konstruisanja projekcija trodimenzionalnih objekata. Pogledajmo ovo na konkretnom primjeru.

Neka je potrebno konstruisati projekciju paralelepipeda sa vertikalnim bočnim stranama, čija je gornja strana definisana referentnim tačkama 1, 2, 3, 4, a donja strana definisana tačkama sidrenja 5, 6, 7, 8 (Sl. 6.2‑5).

Imajte na umu da su iz svojstava datog objekta ivice definisane čvornim tačkama 1,2; 3.4; 5.6; 7.8, paralelne, pa se prave linije koje ih nose konvergiraju u jednoj tački (tačka Tc1). Ravna, noseća bočna rebra 3,7; 4.8; 2.6 i 1.5 takođe imaju istu tačku nestajanja (tačka T3). Isto se može reći i za rebra 1,3; 2.4; 5.7; 6.8 - prave linije koje ih nose paralelne su jedna s drugom i stoga imaju jednu tačku nestajanja (tačka Tc2).

Da bi se nedvosmisleno konstruisala projekcija datog objekta, dovoljno je odrediti gornje tri tačke nestajanja (T3, Tc1, Tc2) na projekciji i projekcije tačaka 2,5,6,8 (sl. 6.2‑6) .

Rice.6.2 ‑ 5

Izgradnja projekcije može se izvesti u sljedećem redoslijedu.

Kroz tačke 5 i Tc2 povlačimo pravu liniju koja nosi ivice 5,7. Njegov presek sa pravom koja prolazi kroz tačke Tc1 i 8 (prava,

Rice.6.2 ‑ 6

nosivo rebro 7.8) je tačka 7. Ležajevi za bočna rebra 3.7; 4.8; 2.6 i 1.5 će se dobiti povlačenjem pravih linija kroz zenitnu tačku T3 i već postojeće četiri čvorne tačke donje strane paralelepipeda (prave T3.6; T3.7; T3.8; T3.5).

Zatim crtamo prave linije Tc1,2. Tačka njenog preseka sa pravom linijom T3.5 biće tačka 1. Nacrtajmo prave Tc1.4. Tačka njegovog preseka sa pravom T 3,7 biće tačka 3.

Tako će se naći projekcije svih čvornih tačaka objekta specificiranog za projekciju, pomoću kojih je moguće jednoznačno konstruisati čitav projektovani paralelepiped na ravni projekcije.

Da bi se prilikom projekcije dobila slika objekta koja je bliska onome kako ga subjektivno percipira osoba, potrebno je ograničiti ugao projekcije (ugao gledanja trodimenzionalnog objekta od strane posmatrača iz posmatranja tačka, odnosno od tačke početka koordinatnog sistema pogleda). Generalno, prihvatljiv rezultat projekcije se dobija kada ugao projekcije ne prelazi 30-40 stepeni.

Razmatrana metoda projekcije je prihvatljiva samo za relativno jednostavne objekte.