Bernulijeva greška Kao što je Fehner dobro razumeo, on nije bio prvi koji je pokušao da pronađe funkciju koja povezuje psihološki intenzitet sa fizičkom snagom stimulusa. Godine 1738. švicarski naučnik Daniel Bernoulli anticipirao je Fehnerova objašnjenja i primijenio ih na odnos između

25. Bernoullijeva jednadžba

25. Bernulijeva jednačina Gromeka jednačina je pogodna za opisivanje kretanja fluida ako komponente funkcije kretanja sadrže neku vrtložnu količinu. Na primjer, ova količina vrtloga sadržana je u komponentama?x,?y,?z ugaone brzine w. Uslov da je kretanje

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Bernoullijeva jednadžba (Bernoullijev integral)

Bernoullijeva jednadžba(Bernoullijev integral) u hidroaeromehanici [[u ime švicarskog naučnika D. Bernoullija], jedna od osnovnih jednadžbi hidromehanike, koja uz ustaljeno kretanje nestišljivog idealnog fluida u jednoličnom gravitacionom polju ima oblik:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
gdje je v brzina tečnosti, ρ je njena gustina, p je pritisak u njoj, h je visina čestice tečnosti iznad određene horizontalne ravni, g je ubrzanje slobodnog pada, C je konstantna vrednost na svakoj strujnoj liniji , ali u općenitom slučaju mijenja svoju vrijednost pri prelasku s jedne strujne linije na drugu.

Zbir prva dva člana na lijevoj strani jednačine (1) jednak je ukupnom potencijalu, a treći član je jednak kinetičkim energijama u jedinicama. mase tečnosti; stoga, cijela jednačina izražava za fluid koji se kreće zakon održanja mehaničke energije i uspostavlja važan odnos između v, p i h. Na primjer, ako se pri konstantnom h brzina protoka duž strujne linije povećava, tada se tlak smanjuje, i obrnuto. Ovaj zakon se koristi pri mjerenju brzine pomoću mjernih cijevi i u drugim aerodinamičkim mjerenjima.

Bernulijeva jednačina je također predstavljena u obliku
h + p/γ + v 2 /2g = C ili
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(gde je γ =ρg specifična težina tečnosti). U 1. jednakosti svi pojmovi imaju dimenziju dužine i nazivaju se odgovarajućim geometrijskim (nivelacijskim), pijezometrijskim i brzinskim visinama, au 2. jednakosti imaju dimenzije tlaka i nazivaju se težinski, statički i dinamički pritisci.

U opštem slučaju, kada je tečnost kompresibilna (gas), ali barotropna, tj. p u njoj zavisi samo od ρ, i kada se njeno kretanje dešava u bilo kom osim potencijalnom polju zapreminskih (masenih) sila (vidi Polje sile), Bernulijeva jednačina se dobija kao posledica Ojlerovih jednačina hidromehanike i ima oblik:
P+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
gdje je P potencijalna energija (potencijal) polja tjelesnih sila, izražena u jedinicama. mase tečnosti. Sa protokom gasova, vrednost P se malo menja duž strujne linije i može se uključiti u konstantu predstavljanjem (3) u obliku:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

U tehničkim primjenama, za strujanje usrednjeno po poprečnom presjeku kanala, tzv. generalizovana Bernoullijeva jednačina: zadržavajući oblik jednačina (1) i (3), lijeva strana uključuje rad sila trenja i savladavanja hidrauličkog otpora, kao i mehanički rad tekućine ili plina (rad kompresora ili turbina ) sa odgovarajućim znakom. Generalizirana Bernoullijeva jednadžba ima široku primjenu u hidraulici pri proračunu protoka tekućina i plinova u cjevovodima i u mašinstvu pri proračunu kompresora, turbina, pumpi i drugih hidrauličnih i plinskih mašina.

Sadržaj članka

HIDROAEROMEHANIKA Nauka o kretanju i ravnoteži tečnosti i gasova. Prilikom planiranja ili izvođenja fizičkih eksperimenata potrebno je kreirati teorijske modele koji ili predviđaju moguće rezultate ovih eksperimenata ili objašnjavaju već dobivene. Samo u bliskoj interakciji teorije i eksperimenta može se razumjeti šta se događa u fizičkom svijetu oko nas. Za stvaranje jednog ili drugog kvantitativnog ili kvalitativnog modela fizičke pojave potrebna je matematička osnova na temelju koje se takvi modeli grade. U ovom slučaju, matematička osnova označava one diferencijalne jednačine i one granične i početne uslove koji bi se mogli koristiti za opisivanje fizičke pojave koja se razmatra. Hidromehanika i nudi modele i aparate za proučavanje pojava koje se javljaju u tečnostima i gasovima.

O hipotezi kontinuiteta medija.

Hidroaeromehanika proučava kretanja tečnosti i gasova u aproksimaciji kada se mogu smatrati kontinuiranim medijima, tj. medija koji kontinuirano ispunjavaju prostor protoka koji se razmatra. Za rješavanje matematičkih zadataka koji se odnose na proračun kretanja različitih objekata (aviona, projektila, brodova, itd.) u zraku ili vodi, uz proučavanje valnih procesa u tekućinama i plinovima, sa njihovim strujanjima kroz cijevi i kanale, itd. , matematički aparat koji opisuje ove pojave. Ovaj aparat su jednadžbe hidroaeromehanike, koje se zasnivaju na hipotezi o kontinuitetu medija, tj. na hipotezi da čestice tečnosti ili gasa neprekidno ispunjavaju deo fizičkog prostora koji zauzimaju.

Postavlja se prirodno pitanje: pod kojim pretpostavkama je ova hipoteza validna? Ako je za tekućine (voda, tekući metali, itd.) ova hipoteza manje-više očigledna, onda za dovoljno rijetke plinove (na primjer, koji zauzimaju svemir, uključujući atmosfere zvijezda, planeta i Sunca), koji se sastoje od pojedinačnih atoma ili molekula, kao i drugih fizičkih objekata na koje je primenljiva aparatura hidroaeromehanike, potrebno je njeno opravdanje. Tako, na primjer, pri izračunavanju usporavanja umjetnih satelita Zemlje nije moguća upotreba matematičkog aparata hidroaeromehanike, dok se upravo taj aparat koristi za izračunavanje usporavanja svemirskih objekata koji ulaze u guste slojeve atmosfere. Zemlje i planeta (na primjer, meteoriti ili svemirske letjelice koje se vraćaju na Zemlju itd.). Na ovo pitanje je lako odgovoriti kada se izvode jednačine. Međutim, iz ovog zaključka proizlazi da hipoteza o kontinuitetu medija vrijedi, posebno u slučaju kada je karakteristična veličina struganog tijela L(na primjer, radijus sfernog satelita) je mnogo veći od srednjeg slobodnog puta atoma ili molekula plina l, tj. dužina između uzastopnih sudara.

Zatvoreni sistem hidroaeromehaničkih jednačina.

Hidroaeromehaničke jednadžbe u svom pojednostavljenom obliku su složen sistem nelinearnih diferencijalnih jednadžbi za masenu gustinu r (masa tekućine ili plina po jedinici volumena), vektor brzine V i pritisak str, koje su, pak, funkcije prostornih koordinata (npr. x, y i z u kartezijanskim koordinatama) i vremenu t. Ne ulazeći u matematičke detalje izvođenja ovih jednačina, možemo razmotriti glavne ideje ovog izvođenja, pogotovo jer su ove jednačine zakoni održanja mase, impulsa i energije poznati čak i iz školskih udžbenika. Za to se uzima u obzir određena fizička zapremina koja se neprekidno puni tekućinom ili plinom. Na sl. 1 prikazuje pokretnu tečnost (ili gas) koja neprekidno ispunjava neki deo fizičkog prostora. Uzmimo malo volumena iz toga. U(ograničena površinom S), koja se tokom čitavog vremena kretanja sastoji od istih čestica fluida (ovaj volumen je osenčen).

Očigledno, tokom njegovog kretanja, masa fluida sadržana u zapremini U, ostaje konstantan (osim ako, naravno, ne postoje dodatni izvori ove mase), iako se sam volumen može jako deformirati, budući da se čestice ne drže čvrsto zajedno, kao u čvrstom stanju. Ako iz razmatranog volumena odaberemo infinitezimalni element D U, onda je očito da će u ovom elementu masa tekućine ili plina biti jednaka rD U. Zatim zakon održanja mase sadržane u dodijeljenoj zapremini U, može se napisati kao

one. masa tečnosti ili gasa sadržanih u datoj zapremini U, ne mijenja se s vremenom. Ovdje se integral preuzima preko dodijeljenog volumena U, koji se mijenja tokom vremena t. Ako koristimo formulu za vremenski izvod integrala u odnosu na pokretni volumen, možemo dobiti jednačinu

Ova jednačina u hidroaeromehanici se obično naziva jednačina kontinuiteta.

Slično, sada možemo napisati zakon održanja impulsa. Impuls jedinice zapremine tečnosti jednak je r V , u osnovnom volumenu rD U, iu dodijeljenom volumenu U –

gdje je p n vektor površinske sile koji djeluje na površinski element S sa jediničnim vektorom normale n. Jedan od glavnih problema hidroaeromehanike, konačno riješen sredinom 19. stoljeća, je eksplicitno određivanje površinskih sila. U okviru takozvanog fenomenološkog pristupa koji se ovdje koristi za dobivanje jednadžbi hidroaeromehanike, površinske sile se određuju empirijski. Diferencirajući s obzirom na vrijeme integral s lijeve strane u jednadžbi zamaha, kao što je učinjeno pri izvođenju jednadžbe kontinuiteta, i prelazeći s površinskog integrala desno na integral volumena, mogu se napisati diferencijalne jednadžbe gibanja za kontinuirane funkcije u obrazac

i količine u, v i w, i također su projekcije vektora brzina V i gradijent pritiska na osi Ox, Oy i Oz respektivno.

Ova jednačina, nazvana Navier-Stokesova jednačina, napisana je u svom najjednostavnijem obliku za nestišljiv fluid, gdje se površinske sile svode na normalan tlak R, a posljednji pojam desno predstavlja "viskozne" sile (m je koeficijent viskoznosti) pod pretpostavkom da je r = konst.

Jednačina kretanja je prvi put izvedena sredinom 18. veka. L. Eulera kada je radio u Sankt Peterburgskoj akademiji nauka. Pošto efekti viskoznosti u tečnosti tada još nisu bili poznati, Euler je dobio ovu jednačinu pri m = 0. U njegovu čast, ove jednačine su nazvane Ojlerove jednačine. Tek 1822. godine francuski inženjer Navier je u Eulerove jednadžbe uveo sile povezane s viskozitetom određene koeficijentom m. U opštem obliku, koji važi za kompresibilni gas, jednačina je dobijena od strane Stokesa i nazvana je Navier-Stokesova jednačina.

Za nestišljiv fluid, diferencijalne jednadžbe kontinuiteta i momenta (jedan skalar i jedan vektor) su zatvoreni sistem jednačina za određivanje vektora brzine V i skalarni pritisak R(r = konst). Ako je r № const, onda je potrebna dodatna jednačina. Ova jednačina se dobija iz zakona održanja energije.

Generalizacija zakona održanja energije na slučaj kretanja tečnosti i gasova dobija se slično generalizaciji Njutnovog drugog zakona, međutim, zbog prisustva toplotnog kretanja u tečnostima i gasovima, energija po jedinici zapremine se sastoji od kinetička energija rV 2 /2 i unutrašnja energija povezana s toplinskim kretanjem čestica plina ili tekućine. Ukupna energija u elementu zapremine D U je jednako r(V 2 /2 + e)D U.

Promjena ukupne energije u dodijeljenoj zapremini U jednak je dotoku toplote kroz površinu S usled toplotne provodljivosti, kao i radu mase i površinskih sila, tj. umjesto zakona održanja impulsa, dobijamo jednačinu

gdje n je jedinični vektor normale na površinu S.

Za savršeni gas e = životopis T, gdje sa v je toplotni kapacitet pri konstantnoj zapremini, T je temperatura, a za vektor toplotnog fluksa se obično usvaja empirijski Fourierov zakon q= –l T(l je koeficijent toplotne provodljivosti). Nakon odgovarajuće diferencijacije s obzirom na vrijeme lijeve strane jednadžbe energije, prijelaza sa površinskih integrala na integrale volumena, te korištenjem jednadžbe kontinuiteta i jednadžbe gibanja, može se dobiti tzv. jednačina toplinskog dobitka za kontinuirane funkcije

Sve ove jednačine, zajedno sa jednadžbom stanja za savršeni gas

p= r R T,

gdje R = (sa p - sa v) je plinska konstanta, i sa str je toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku i Fourierov zakon

Formirati zatvoreni sistem hidroaeromehaničkih jednadžbi za određivanje vektora brzine V, pritisak str, gustina r i temperatura T.

Ako bilo koja fizička pojava malo ovisi o disipativnim procesima (viskoznosti i toplinskoj provodljivosti), onda se ove jednadžbe svode na jednadžbe hidroaeromehanike idealnog fluida. U ovom slučaju, zatvoreni sistem jednačina za određivanje R, r V i T je sistem

Posljednja jednačina je adijabatski zakon, koji se lako svodi na zakon održanja entropije. Ovdje g = sa p/c v je adijabatski indeks, tj. odnos toplotnog kapaciteta pri konstantnom pritisku i toplotnog kapaciteta pri konstantnoj zapremini.

Hidrostatika

je poseban slučaj hidroaeromehanike, koji proučava ravnotežu tečnosti i gasova, tj. njihovo stanje u odsustvu hidrodinamičke brzine ( V= 0). Rezultati i metode hidrostatike su od velikog značaja za mnoge probleme koji su važni kako sa praktične tako i sa opštenaučne tačke gledišta. U hidrostatici se razmatraju problemi vezani za ravnotežu vode u vodenim bazenima, vazduha u Zemljinoj atmosferi, rešavaju se problemi proračuna sila koje deluju na tela uronjena u tečnost ili gas, distribucije pritiska, gustine, temperature u atmosfera planeta, zvijezda, Sunca i postavljeni drugi zadaci.

Hidrostatičke jednačine su dobijene iz jednadžbi hidroaeromehanike za V=0. Konkretno, jednačina održanja impulsa daje

Gdje, posebno, slijedi Pascalov zakon poznat iz školskih udžbenika, prema kojem, u nedostatku vanjskih sila mase ( F= 0) pritisak je svuda konstantan (p = const).

Ravnoteža savršenog gasa u polju gravitacije.

Neka je gas u centralnom gravitacionom polju. Jednačine ravnoteže u sfernom koordinatnom sistemu će u ovom slučaju biti zapisane kao:

Evo r, q i c- odnosno udaljenost do privlačnog centra mase M, postavljen na ishodištu, ugao meren od polarne ose Oz, i ugao u ravni Oxy, G- gravitaciona konstanta, jednaka 6,67×10 -8 din cm 2 g -2.

Iz ovih jednačina se vidi da u centralno simetričnom gravitacionom polju pritisak zavisi samo od udaljenosti do ovog centra (lako je pokazati da pritisak ne zavisi ni od vremena). Takođe je lako pokazati da gustina i temperatura takođe zavise samo od koordinata r. Integracija prve od ovih jednačina dovodi do takozvane barometrijske formule, ako je ispod M razumjeti masu Zemlje, planete, zvijezde, Sunca, itd. Kada se koristi jednadžba stanja, barometrijska formula ima oblik

gdje p0- pritisak na određenoj udaljenosti r = r0 iz privlačnog centra (za Zemlju, na primjer, to može biti pritisak na nivou mora). Ova formula određuje raspodjelu tlaka u atmosferama zvijezda, Zemlje, planeta, Sunca itd., ako je poznata raspodjela temperature T(r), međutim, ova temperatura se često ne može odrediti iz prethodno napisane jednadžbe toplinskog dobitka, jer uzima u obzir samo toplinski dobitak zbog toplinske provodljivosti, dok za navedene atmosfere postoje i drugi izvori topline koji se ne uzimaju u obzir u iznad jednačine. Na primer, atmosfera Sunca se zagreva raznim vrstama talasnih procesa, a atmosfera Zemlje obrađuje energiju sunčevog zračenja itd. Stoga, da se odredi raspodela pritiska u atmosferama nebeskih tela koristeći barometrijsku formulu , često se koriste empirijske zavisnosti T(r).

Moguće je, na primjer, izračunati raspodjelu tlaka u Zemljinoj atmosferi do udaljenosti od 11 km od njene površine. Ako odaberemo kartezijanski koordinatni sistem sa ishodištem na površini Zemlje i usmjerimo osu Oz okomito prema gore, tada u barometrijskoj formuli, umjesto koordinate r, trebate uzeti koordinatu z = r – R E, gde R E je poluprečnik Zemlje. Pošto je ovaj radijus mnogo veći od debljine atmosfere ( z R E), tada se barometrijska formula za ravnu atmosferu može prepisati kao

Ovdje se uvodi oznaka za ubrzanje zemljine gravitacije

gdje je T 0 apsolutna temperatura na površini mora ( z= 0), D je empirijska vrijednost, koja fizički znači smanjenje temperature pri usponu na 100m. Za pravu atmosferu često se uzima D = 0,65, T 0= 288K.

Ako prihvatimo takvu raspodjelu temperature, tada se tlak zapisuje u obliku

Ovo pokazuje da je prihvaćena empirijska linearna zavisnost T(z) neprihvatljivo je za cijelu Zemljinu atmosferu, jer na visinama većim od 44 km tlak postaje negativan. Međutim, prihvatljivo je za visine od velikog praktičnog značaja. Iz eksperimenata provedenih sa satelitima, raketama na velikim visinama, itd., pokazalo se da je na velikim visinama temperatura vrlo složena i nemonotona funkcija visine. Ova nemonotonost je posljedica složenog procesa obrade sunčeve energije od strane gornjih slojeva Zemljine atmosfere, koji se ne uzimaju u obzir u jednadžbi priliva topline.

Ravnoteža nestišljivih tečnosti.

Ako uzmemo u obzir jednostavan primjer ravnoteže nestišljivog fluida u gravitacionom polju Zemlje, onda iz uslova ravnoteže pri r = const ispada da

str = p0– r gz ili R = p0+r gh,

gdje h je dubina tečnosti ispod njene površine, p 0 je pritisak na površini (slika 2). Ova formula, poznata iz školskih udžbenika, pokazuje kako pritisak u tečnosti raste sa njenom dubinom. Koristeći ovu formulu, lako je izračunati pritisak na dnu posude napunjene tekućinom. Zanimljivo je da ovaj pritisak zavisi od dubine, ali ne zavisi od oblika posude. Konkretno, na sl. 3, pritisak na dno posuda 1 i 2 istog područja dna S će biti isti, ili će sila koja djeluje na dno ovih posuda zbog pritiska tekućina biti ista.

Mnoge važne primjene zasnovane su na rješenjima hidrostatičkih jednačina (Arhimedov zakon, stabilnost ravnoteže atmosfera zvijezda i planeta, itd.).

NEKI VAŽNI U PRIMJENI REZULTATI RJEŠENJA JEDNAČINA HIDROAEROMEHANIKE.

1. Model nestišljivog fluida.

Hidroaeromehaničke jednačine za viskozne i toplotno provodljive tečnosti ili gasove u većini problema koji su veoma važni za praksu mogu se rešiti samo numeričkim metodama. Međutim, ove jednadžbe su značajno pojednostavljene pod pretpostavkom da je razmatrani tok nestišljiv (r = const). Iako strogo nestišljive tekućine ili plinovi ne postoje u prirodi, ipak se u mnogim slučajevima, na primjer, kompresibilni plin može smatrati nestišljivom tekućinom, jer se promjena gustoće u mnogim tokovima može zanemariti. U ovom slučaju, jednačina kontinuiteta za nestišljiv fluid ima oblik div=0.

Zajedno sa jednačinom održanja impulsa, čini zatvoreni sistem jednačina za određivanje pritiska R i brzinu v. Dva kriterija određuju mogućnost korištenja modela nestišljivog fluida za, općenito govoreći, kompresibilni plin

gdje M je takozvani Mahov broj, a je brzina širenja zvuka u gasu, V* - karakteristična brzina strujanja (na primjer, brzina kretanja zraka u odnosu na leteći avion), t* je karakteristično vrijeme nestacionarnosti kretanja (na primjer, karakteristično vrijeme pulsiranja parametara zraka ispred letećeg zrakoplova), L je karakteristična veličina problema (na primjer, veličina aerodinamičnog tijela). Za stabilan protok dovoljan je samo prvi kriterijum. Ovi kriterijumi imaju jasno fizičko značenje. Na primjer, kada avioni lete velikim podzvučnim brzinama, model nestišljivog fluida može se koristiti za izračunavanje karakteristika protoka takvog aviona (otpor, podizanje, itd.). Ako avion leti nadzvučnom brzinom, tada se ispred njega formira takozvani udarni val, čija je karakteristična karakteristika oštri skokovi tlaka, brzine, gustoće i temperature u njemu. Formiranje udarnog vala je tipičan znak značajne promjene gustine, tj. tipičan znak kompresibilnosti protoka.

Protok viskoznog fluida u cilindričnoj cijevi (Hagen-Poiseuilleov tok).

Važan problem je razmatranje strujanja viskoznih nestišljivih fluida u cilindričnoj cijevi kružnog poprečnog presjeka polumjera R(Sl. 4) zbog razlike pritisaka na krajevima ove cijevi P = (str 2 – str 1)/L, gdje L- dužina cijevi. Pod pretpostavkom da je dužina cijevi toliko duga da je ulaz gdje je pritisak str 2 , i izlaz tamo gdje je pritisak str 1 (str 2 > str 1) ne utječu na protok u većem dijelu ove cijevi, onda je lako dobiti tačno analitičko rješenje Navier-Stokesove jednadžbe u obliku

gdje u je brzina fluida duž ose X, koji se poklapa sa osom simetrije cijevi, i r je udaljenost od ove ose. Iz ovoga se može vidjeti da je profil brzine u cijevi paraboličan. Na zidovima cijevi brzina nestaje zbog lijepljenja tekućine zbog efekta viskoznosti. Takav kurs se izučavao sredinom 19. veka. Poiseuillea i Hagena na primjeru tokova tekućine u kapilarama i nazvan je Hagen-Poiseuilleov tok.

Očigledno, sa konstantnim protokom (nezavisno od r) tečnosti na ulazu u cev i na njenom početnom preseku, profil brzine se neće poklapati sa gornjim rešenjem. Parabolički profil je postavljen samo na dovoljno velikoj udaljenosti od ulaznog presjeka, zbog čega je za dobivanje rješenja potrebno pretpostaviti da je cijev dovoljno duga, dok se za takve cijevi ovo tačno rješenje dobro slaže s eksperimentalnim podacima. .

Rezultirajuće rješenje opisuje stacionarni, glatki slojevito strujanje, koje se obično naziva laminarno. Međutim, iz prakse je poznato da je ponekad tok u cijevima nestalan, sa pulsiranjem brzine, uz miješanje između slojeva, ovaj tok se obično naziva turbulentnim. Reynoldsovi eksperimenti 1883. su pokazali da za dovoljno velike vrijednosti broja r U L/m, gdje U je prosječna brzina fluida po presjeku cijevi, parabolički profil postaje nestabilan u odnosu na male perturbacije, a daljnjim povećanjem ovog broja tok u cijevi postaje turbulentan. Ovaj broj se zove Reynoldsov broj (Re), koji igra veoma važnu ulogu u raznim problemima hidroaeromehanike. Konkretno, karakteriše omjer inercijalnih sila (lijeva strana jednačine) i viskoznih sila, dok se često viskozne sile mogu zanemariti i hidroaeromehaničke jednadžbe idealnog fluida mogu koristiti samo za Re >> 1.

Tokovi idealnih tečnosti i gasova.

Problemi važni u aplikacijama često se razmatraju na osnovu jednačina hidroaeromehanike idealnog fluida, a ne na osnovu potpunih jednačina. To je zbog činjenice da su matematički jednadžbe idealne hidroaeromehanike mnogo jednostavnije. Ako je potrebno odrediti silu uzgona krila aviona pri malim podzvučnim brzinama, tada su viskozne sile zanemarive i nema potrebe koristiti Navier-Stokesove jednadžbe. Međutim, da bi se odredio otpor takvog krila kada se kreće u zraku, odlučujuće su viskozne sile i potrebno je koristiti složeniji matematički aparat povezan s Navier-Stokesovim jednadžbama.

Bernoulli integral.

Pod određenim pretpostavkama, jednadžbe hidromehanike idealnog fluida mogu se jednom integrirati, imaju rješenja, od kojih je jedno Bernoullijev integral za stacionarna strujanja (nazvan po Ojlerovom savremenom matematičaru Bernuliju, koji je prvi dobio ovaj integral)

gdje P (str) = t dp/r(str) je funkcija pritiska, U je potencijal vanjskih masovnih sila, OD je konstanta duž linije strujanja l (linija strujanja se poklapa sa vektorom brzine protoka V Tako, na primjer, za nestišljiv fluid u gravitacionom polju, ova jednadžba ima oblik

Za adijabatska strujanja, Bernulijev integral u odsustvu spoljnih tjelesnih sila ima oblik

Kao primjer korištenja Bernoullijevog integrala, može se odrediti brzina istjecanja nestišljivog fluida iz posude (slika 5). Kada tečnost iscuri iz ove posude, nivo tečnosti se smanjuje, tj. brzina površine tečnosti, uopšteno govoreći, je različita od nule. Međutim, za dovoljno široku posudu sa uskim izlazom može se pretpostaviti da Vz 1 – z 2). Za kadu sa visinom izlivene vode od oko 0,5 m, brzina oticanja je V 2 » 3,1 m/sec.

Jednačine kretanja idealnog fluida imaju još jedan integral za nestacionarna strujanja, koji se naziva Cauchy-Lagrangeov integral. Vrijedi za tokove u kojima nema vrtloga. Često se koristi, na primjer, kada se razmatraju valna kretanja tekućine ili plina.

Udarni talasi kao jedna od bitnih manifestacija kompresibilnosti gasa.

Matematički gledano, jednačine idealne hidroaeromehanike dopuštaju diskontinuirana rješenja, tj. rješenja koja imaju skokove u parametrima plina (gustina, pritisak, brzina i temperatura). Jedna od takvih manifestacija u prirodi je formiranje udarnog vala u blizini tijela koje leti nadzvučnom brzinom u gustim slojevima Zemljine atmosfere. Na primjer, formiranje udarnog vala u blizini letećeg nadzvučnog zrakoplova ili udarnih valova u blizini meteorita koji napadaju guste slojeve Zemljine atmosfere velikim nadzvučnim brzinama. U svemiru su poznati međuplanetarni udarni valovi, koji su najčešće rezultat aktivnih procesa na Suncu (na primjer, baklji).

Poznato je da se u blizini putničkih aviona, koji uglavnom lete velikim podzvučnim talasima, ne formiraju udarni talasi. Neka postoji sferno tijelo polumjera R(Sl. 6), koji leti u vazduhu nadzvučnom brzinom. Tada se ispred takvog tijela formira udarni val AT, što je granica između regija 1 i 2, koje se razlikuju u vrijednostima parametara plina. U koordinatnom sistemu povezanom sa letećim tijelom. tok gasa ulazi u telo koje miruje. Neka osovina Ox usmjerena duž brzine strujanja, i V 1 , str 1 , r1 i T 1 – brzina, pritisak, gustina i temperatura, respektivno, u strujanju gasa koje telo ne uznemirava (pre udarnog talasa). Perturbacije iz tijela ne spadaju u područje 1, jer se tijelo kreće nadzvučnom brzinom. Pošto je brzina gasa u prednjoj tački tela ALI nestaje, zatim iz tačke ALI do tačke OD na udarnom talasu postoji oblast podzvučne brzine gasa, koja se postiže perturbacijama vazduha od letećeg tela. Fizički smisao formiranja udarnog vala leži u razdvajanju neporemećenog i poremećenog toka gasa. Ako prođe V

To znači da se brzina iza udarnog vala smanjuje, dok se pritisak, gustina i temperatura povećavaju. Snažan porast temperature iza udarnog vala objašnjava topljenje svemirskih letjelica koje se vraćaju na Zemlju i meteorita koji upadaju u atmosferu velikim nadzvučnim brzinama. Takvi udarni talasi se nazivaju kompresijski udarni talasi (gustina gasa se povećava). Zanimljivo je da u prirodi nikada nisu primijećeni udarni valovi razrjeđivanja u kojima opada gustina. Matematički, stvaranje udarnih valova razrjeđivanja je zabranjeno Zemplenovom dobro poznatom teoremom u hidroaeromehanici

Odnosi između parametara sa indeksima "1" i "2" mogu se dobiti iz integralnih zakona održanja mase, impulsa i energije, jer vrijede i za diskontinuirane funkcije. Takve relacije se nazivaju Hugoniot relacije i imaju oblik (u koordinatnom sistemu povezanom sa udarnim valom)

r1 V n 1 = r2 V n 2; r1 V n 1V 1 + str 1 n=r2 V n 2V 2 + str 2 n ;

V n 1 = V n 2.

Zajedno sa jednadžbom stanja, ovi odnosi omogućavaju određivanje vrijednosti parametara plina iza udarnog vala (indeks "2") iz vrijednosti parametara strujanja plina koja nije poremećena udarnim valom ( indeks "1").

Opisani matematički aparat hidroaeromehanike koristi se u mnogim oblastima prirodnih nauka, a za ispravnu upotrebu ovog aparata potrebno je samo ispunjenje kriterijuma kontinuiteta sredine, tj. za plinove, na primjer, srednja slobodna putanja čestica mora biti mnogo manja od karakterističnih dimenzija objekata strujanja koji se razmatraju. Konkretno, u svemirskim uslovima medij je često vrlo razrijeđen. U takvim medijima, naravno, srednja slobodna putanja čestica je vrlo velika, ali se veličine samih objekata proučavanja u mnogim slučajevima ispostavljaju mnogo veće, tj. hidroaeromehaničke metode su također primjenjive na takve objekte.

U biomehanici se, koristeći metode hidromehanike, proučavaju zanimljive karakteristike protoka bioloških fluida kroz posude, au hidrogeologiji, na primjer, proučavaju se problemi dinamike unutrašnjih slojeva Zemlje. Sve ovo svedoči o značaju nauke koja se zove "hidroaeromehanika".

Vladimir Baranov

Bernoullijeva jednadžba jedna od osnovnih jednadžbi hidromehanike, koja pod stalnim kretanjem nestišljivog idealnog fluida u jednoličnom gravitacionom polju ima oblik:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
gdje je v brzina tečnosti, ρ je njena gustina, p je pritisak u njoj, h je visina čestice tečnosti iznad određene horizontalne ravni, g je ubrzanje slobodnog pada, C je vrednost koja je konstantna na svaku strujnu liniju, ali u općem slučaju mijenja svoju vrijednost pri prelasku s jedne strujne linije na drugu.

Zbir prva dva člana na lijevoj strani jednačine (1) jednak je ukupnom potencijalu, a treći član je jednak kinetičkim energijama u jedinicama. mase tečnosti; stoga, cijela jednačina izražava za fluid koji se kreće zakon održanja mehaničke energije i uspostavlja važan odnos između v, p i h. Na primjer, ako se pri konstantnom h brzina protoka duž strujne linije povećava, tada se tlak smanjuje, i obrnuto. Ovaj zakon se koristi pri mjerenju brzine pomoću mjernih cijevi i u drugim aerodinamičkim mjerenjima.

Bernulijeva jednačina je također predstavljena u obliku
h + p/γ + v 2 /2g = C ili
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(gde je γ =ρg specifična težina tečnosti). U 1. jednakosti svi pojmovi imaju dimenziju dužine i nazivaju se odgovarajućim geometrijskim (nivelmanskim), pijezometrijskim i brzinskim visinama, a u 2. - dimenzijama pritiska i nazivaju se težinskim, statičkim i dinamičkim pritiscima.

U opštem slučaju, kada je tečnost kompresibilna (gas), ali barotropna, tj. p u njoj zavisi samo od ρ, i kada se njeno kretanje dešava u bilo kom osim potencijalnom polju zapreminskih (masenih) sila (vidi Polje sile), Bernulijeva jednačina se dobija kao posledica Ojlerovih jednačina hidromehanike i ima oblik:
P+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
gdje je P potencijalna energija (potencijal) polja tjelesnih sila, izražena u jedinicama. mase tečnosti. Sa protokom gasova, vrednost P se malo menja duž strujne linije i može se uključiti u konstantu predstavljanjem (3) u obliku:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

U tehničkim primjenama, za strujanje usrednjeno po poprečnom presjeku kanala, tzv. generalizovana Bernoullijeva jednačina: zadržavajući oblik jednačina (1) i (3), lijeva strana uključuje rad sila trenja i savladavanja hidrauličkog otpora, kao i mehanički rad tekućine ili plina (rad kompresora ili turbina ) sa odgovarajućim znakom. Generalizirana Bernoullijeva jednadžba ima široku primjenu u hidraulici pri proračunu protoka tekućina i plinova u cjevovodima i u mašinstvu pri proračunu kompresora, turbina, pumpi i drugih hidrauličnih i plinskih mašina.