Koji je modul broja 2. Modul broja (apsolutna vrijednost broja), definicije, primjeri, svojstva

Modul broja je udaljenost od ovog broja do nule na koordinatnoj liniji.

Modul je označen simbolom: | |.

Zapis |6| čitati kao "modul broja 6", ili "modul od šest".
Zapis |8| glasi "modul 8".

Modul pozitivnog broja jednak je samom broju. Na primjer, |2| = 2. Modul negativnog broja jednak je suprotnom broju<=>|-3| = 3. Modul nule je jednak nuli, odnosno |0| = 0. Moduli suprotnih brojeva su jednaki, odnosno |-a| = |a|.

Za bolje razumijevanje teme: “modul broja”, predlažemo korištenje metode asocijacije.

Zamislimo da je modul broja kupka, a znak minus prljavština.

Nalazeći se pod znakom modula (to jest, u „kupi“), negativni broj se „ispere“ i izlazi bez znaka „minus“ - čist.

U kadi se mogu "prati" (odnosno stajati pod znakom modula) i negativni, i pozitivni brojevi, i broj nula. Međutim, budući da su „čisti“ pozitivni brojevi, i nula ne mijenjaju svoj predznak kada napuštaju „kupku“ (odnosno ispod znaka modula)!

Istorija modula broja ili 6 zanimljivih činjenica o modulu broja

1. Riječ "modul" dolazi od latinskog naziva modulus, što u prijevodu znači riječ "mjera".
2. Ovaj termin je uveo učenik Isaka Njutna, engleski matematičar i filozof Rodžer Kotes (1682 - 1716).
3. Veliki njemački fizičar, pronalazač, matematičar i filozof Gottfried Leibniz u svojim djelima i spisima koristio je funkciju modula koju je označio mod x.
4. Oznaku modula uveo je 1841. godine njemački matematičar
Karl Weierstrass (1815 - 1897).
5. Kod pisanja modula on se označava simbolom: | |.
6. Još jednu verziju termina "modul" uveli su Francuzi 1806. godine
matematičar po imenu Jean Robert Argan (1768-1822). Ali nije tako.
Matematičar s početka devetnaestog stoljeća Jean Robert Argán (1768 - 1822)
i Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) uveo je koncept "modula kompleksnog broja",
koji se izučava na predmetu više matematike.

Rješavanje zadataka na temu "Modul brojeva"

Zadatak broj 1. Rasporedite izraze: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 uzlaznim redom.

— | 12 | = — 12
| — (— 2) | = 2

17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Odgovor: -17< -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Zadatak broj 2. Potrebno je urediti izraze: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
u opadajućem redosledu.

Prvo, otvorimo zagrade i module:

— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9

16 > 9 > -14 > - 21 > - 30 što će biti ekvivalentno:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.

Odgovor: |-16| > | -(-9) | > - | — 14| > — 21 > — |30|

U ovom članku ćemo detaljno analizirati apsolutnu vrijednost broja. Dat ćemo različite definicije modula broja, uvesti notaciju i dati grafičke ilustracije. U ovom slučaju razmatramo različite primjere pronalaženja modula broja po definiciji. Nakon toga navodimo i obrazlažemo glavna svojstva modula. Na kraju članka ćemo govoriti o tome kako se određuje i pronalazi modul kompleksnog broja.

Navigacija po stranici.

Modul broja - definicija, notacija i primjeri

Prvo se upoznajemo oznaka modula. Modul broja a pisaćemo kao , odnosno lijevo i desno od broja stavićemo okomite linije koje čine znak modula. Navedimo par primjera. Na primjer, modulo -7 se može napisati kao ; modul 4,125 se piše kao , a modul se piše kao .

Sljedeća definicija modula se odnosi na, dakle, na, i na cijele brojeve, te na racionalne i iracionalne brojeve, kao na sastavne dijelove skupa realnih brojeva. Govorit ćemo o modulu kompleksnog broja u.

Definicija.

Modul od a je ili sam broj a, ako je a pozitivan broj, ili broj −a, suprotan broju a, ako je a negativan broj, ili 0, ako je a=0.

Zvučna definicija modula broja često se piše u sljedećem obliku , ova notacija znači da ako je a>0, ako je a=0, i ako je a<0 .

Zapis se može predstaviti u kompaktnijem obliku . Ova notacija znači da ako (a je veće ili jednako 0), i ako je a<0 .

Postoji i zapis . Ovdje treba posebno objasniti slučaj kada je a=0. U ovom slučaju imamo , ali −0=0, jer se nula smatra brojem koji je suprotan samom sebi.

Hajde da donesemo primjeri nalaženja modula broja sa datom definicijom. Na primjer, pronađimo module brojeva 15 i . Počnimo sa pronalaženjem. Pošto je broj 15 pozitivan, njegov modul je, po definiciji, jednak samom ovom broju, odnosno, . Koliki je modul broja? Pošto je negativan broj, onda je njegov modul jednak broju suprotnom broju, odnosno broju . Na ovaj način, .

U zaključku ovog paragrafa dajemo jedan zaključak, koji je vrlo pogodan za primjenu u praksi pri pronalaženju modula broja. Iz definicije modula broja proizilazi da modul broja jednak je broju pod znakom modula, bez obzira na njegov predznak, a iz gore navedenih primjera to je vrlo jasno vidljivo. Izražena izjava objašnjava zašto se naziva i modul broja apsolutnu vrijednost broja. Dakle, modul broja i apsolutna vrijednost broja su jedno te isto.

Modul broja kao udaljenost

Geometrijski, modul broja može se tumačiti kao razdaljina. Hajde da donesemo određivanje modula broja u smislu udaljenosti.

Definicija.

Modul od a je udaljenost od početka na koordinatnoj liniji do tačke koja odgovara broju a.

Ova definicija je u skladu sa definicijom modula broja datom u prvom paragrafu. Hajde da objasnimo ovu tačku. Udaljenost od početka do tačke koja odgovara pozitivnom broju jednaka je ovom broju. Nula odgovara referentnoj tački, stoga je udaljenost od referentne tačke do tačke sa koordinatom 0 jednaka nuli (nije potreban nijedan segment niti segment koji čini bilo koji dio jednog segmenta da bi se došlo od tačke O do tačke sa koordinata 0). Udaljenost od ishodišta do tačke sa negativnom koordinatom jednaka je broju suprotnom od koordinate date tačke, jer je jednaka udaljenosti od ishodišta do tačke čija je koordinata suprotan broj.

Na primjer, modul broja 9 je 9, jer je udaljenost od početka do tačke sa koordinatom 9 devet. Uzmimo još jedan primjer. Tačka sa koordinatom −3,25 nalazi se na udaljenosti 3,25 od tačke O, dakle .

Zvučna definicija modula broja je poseban slučaj definisanja modula razlike dva broja.

Definicija.

Modul razlike dva broja a i b je jednako rastojanju između tačaka koordinatne linije sa koordinatama a i b.

To jest, ako su date tačke na koordinatnoj liniji A(a) i B(b), tada je udaljenost od tačke A do tačke B jednaka modulu razlike između brojeva a i b. Ako uzmemo tačku O (referentnu tačku) kao tačku B, onda ćemo dobiti definiciju modula broja datu na početku ovog pasusa.

Određivanje modula broja kroz aritmetički kvadratni korijen

Ponekad se nađe određivanje modula kroz aritmetički kvadratni korijen.

Na primjer, izračunajmo module brojeva −30 i na osnovu ove definicije. Imamo . Slično, izračunavamo modul od dvije trećine: .

Definicija modula broja u smislu aritmetičkog kvadratnog korijena je također u skladu sa definicijom datom u prvom stavu ovog člana. Hajde da to pokažemo. Neka je a pozitivan broj, a −a negativan. Onda i , ako je a=0 , onda .

Svojstva modula

Modul ima niz karakterističnih rezultata - svojstva modula. Sada ćemo dati glavne i najčešće korištene od njih. Prilikom potkrepljivanja ovih svojstava oslanjat ćemo se na definiciju modula broja u smislu udaljenosti.

Počnimo s najočiglednijim svojstvom modula − modul broja ne može biti negativan broj. U doslovnom obliku, ovo svojstvo ima oblik za bilo koji broj a . Ovo svojstvo je vrlo lako opravdati: modul broja je udaljenost, a udaljenost se ne može izraziti kao negativan broj.

Pređimo na sljedeće svojstvo modula. Modul broja je jednak nuli ako i samo ako je ovaj broj nula. Modul nule je nula po definiciji. Nula odgovara ishodištu, nijedna druga tačka na koordinatnoj liniji ne odgovara nuli, pošto je svaki realan broj povezan sa jednom tačkom na koordinatnoj liniji. Iz istog razloga, bilo koji broj osim nule odgovara tački koja nije ishodište. A udaljenost od početka do bilo koje tačke osim tačke O nije jednaka nuli, budući da je udaljenost između dvije tačke jednaka nuli ako i samo ako se ove tačke poklapaju. Gornje rezonovanje dokazuje da je samo modul nule jednak nuli.

Pomakni se. Suprotni brojevi imaju jednake module, odnosno za bilo koji broj a . Zaista, dvije tačke na koordinatnoj liniji, čije su koordinate suprotni brojevi, nalaze se na istoj udaljenosti od početka, što znači da su moduli suprotnih brojeva jednaki.

Sljedeće svojstvo modula je: modul proizvoda dva broja jednak je proizvodu modula ovih brojeva, to je, . Po definiciji, modul proizvoda brojeva a i b je ili a b ako je , ili −(a b) ako je . Iz pravila množenja realnih brojeva slijedi da je proizvod modula brojeva a i b jednak ili a b , , ili −(a b) , ako je , što dokazuje razmatrano svojstvo.

Modul količnika dijeljenja a sa b jednak je količniku dijeljenja modula a sa modulom b, to je, . Hajde da opravdamo ovo svojstvo modula. Budući da je količnik jednak proizvodu, onda . Na osnovu prethodnog svojstva, imamo . Ostaje samo koristiti jednakost , koja vrijedi zbog definicije modula broja.

Sljedeće svojstvo modula je zapisano kao nejednakost: , a , b i c su proizvoljni realni brojevi. Napisana nejednakost nije ništa drugo do nejednakost trougla. Da ovo bude jasno, uzmimo tačke A(a), B(b), C(c) na koordinatnoj pravoj i razmotrimo degenerisani trougao ABC, čiji vrhovi leže na istoj pravoj. Po definiciji, modul razlike jednak je dužini odsječka AB, - dužini odsječka AC, i - dužini odsječka CB. Kako dužina bilo koje stranice trokuta ne prelazi zbir dužina druge dvije stranice, nejednakost , dakle, vrijedi i nejednakost.

Upravo dokazana nejednakost je mnogo češća u obliku . Napisana nejednakost se obično posmatra kao zasebno svojstvo modula sa formulacijom: “ Modul zbira dva broja ne prelazi zbir modula ovih brojeva". Ali nejednakost direktno proizlazi iz nejednakosti , ako u nju stavimo −b umjesto b i uzmemo c=0 .

Kompleksni broj modula

Hajde da damo određivanje modula kompleksnog broja. Neka nam bude dato kompleksni broj, napisan u algebarskom obliku , gdje su x i y neki realni brojevi, koji predstavljaju realni i imaginarni dio datog kompleksnog broja z, i predstavlja imaginarnu jedinicu.

Apsolutna vrijednost broja a je udaljenost od početka do tačke ALI(a).

Da bismo razumjeli ovu definiciju, zamjenjujemo umjesto varijable a bilo koji broj, na primjer 3 i pokušajte ga ponovo pročitati:

Apsolutna vrijednost broja 3 je udaljenost od početka do tačke ALI(3 ).

Postaje jasno da modul nije ništa više od uobičajene udaljenosti. Pokušajmo vidjeti udaljenost od početka do tačke A( 3 )

Udaljenost od početka koordinata do tačke A( 3 ) je jednako 3 (tri jedinice ili tri koraka).

Modul broja označen je sa dvije okomite linije, na primjer:

Modul broja 3 označava se na sljedeći način: |3|

Modul broja 4 označava se na sljedeći način: |4|

Modul broja 5 označava se na sljedeći način: |5|

Tražili smo modul broja 3 i saznali da je on jednak 3. Pa pišemo:

Čita se kao: "Modul tri je tri"

Pokušajmo sada pronaći modul broja -3. Opet se vraćamo na definiciju i zamjenjujemo broj -3 u nju. Samo umjesto tačke A koristite novu tačku B. Poenta A već smo koristili u prvom primjeru.

Modul broja je 3 nazovite udaljenost od početka do tačke B(—3 ).

Udaljenost od jedne tačke do druge ne može biti negativna. Stoga, modul bilo kojeg negativnog broja, budući da je udaljenost, također neće biti negativan. Modul broja -3 će biti broj 3. Udaljenost od početka do tačke B(-3) je takođe jednaka tri jedinice:

Čita se kao: "Modul broja minus tri je tri"

Modul broja 0 je 0, pošto se tačka sa koordinatom 0 poklapa sa ishodištem, tj. udaljenost od početka do tačke O(0) jednako nuli:

"Modul nule je nula"

Izvlačimo zaključke:

Modul broja ne može biti negativan;
Za pozitivan broj i nulu, modul je jednak samom broju, a za negativan, suprotnom broju;
Suprotni brojevi imaju jednake module.

Suprotni brojevi

Pozivaju se brojevi koji se razlikuju samo po znacima suprotno. Na primjer, brojevi −2 i 2 su suprotni. Razlikuju se samo po znakovima. Broj −2 ima znak minus, a 2 znak plus, ali ga ne vidimo, jer se plus, kao što smo ranije rekli, tradicionalno ne piše.

Još primjera suprotnih brojeva:

Suprotni brojevi imaju jednake module. Na primjer, pronađimo module za −2 i 2

Slika pokazuje da je udaljenost od početka do tačaka A(−2) i B(2) jednaka dva koraka.

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj Vkontakte grupi i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Uputstvo

Ako je modul predstavljen kao kontinuirana funkcija, tada vrijednost njegovog argumenta može biti pozitivna ili negativna: |h| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Lako je vidjeti da sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva slijede isto pravilo kao sabiranje i .

Proizvod dva kompleksna broja je:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Pošto je i^2 = -1, krajnji rezultat je:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Operacije podizanja na stepen i vađenja korijena za kompleksne brojeve definirane su na isti način kao i za realne. Međutim, u kompleksnoj domeni, za bilo koji broj, postoji tačno n brojeva b takvih da je b^n = a, odnosno n korijena n-tog stepena.

Konkretno, to znači da svaka algebarska jednadžba n-tog stepena u jednoj varijabli ima tačno n kompleksnih korijena, od kojih neki mogu biti i .

Povezani video zapisi

Izvori:

Predavanje "Kompleksni brojevi" 2019

Korijen je ikona koja označava matematičku operaciju pronalaženja takvog broja, čijim podizanjem na stepen naznačen prije znaka korijena treba dobiti broj koji je naveden pod samim ovim znakom. Često, za rješavanje problema u kojima postoje korijeni, nije dovoljno samo izračunati vrijednost. Moramo izvršiti dodatne operacije, od kojih je jedna uvođenje broja, varijable ili izraza pod predznakom korijena.

Uputstvo

Odredite eksponent korijena. Indikator je cijeli broj koji ukazuje na stepen na koji se rezultat izračunavanja korijena mora podići da bi se dobio korijenski izraz (broj iz kojeg se ovaj korijen izdvaja). Eksponent korijena, naveden kao superskript prije korijenske ikone. Ako ovo nije specificirano, to je kvadratni korijen čiji je stepen dva. Na primjer, korijenski eksponent √3 je dva, eksponent ³√3 je tri, korijenski eksponent ⁴√3 je četiri, i tako dalje.

Podignite broj koji želite da dodate pod znakom korena na stepen jednak eksponentu ovog korena, koji ste odredili u prethodnom koraku. Na primjer, ako trebate unijeti broj 5 pod znakom korijena ⁴√3, tada je eksponent korijena četiri i potreban vam je rezultat podizanja 5 na četvrti stepen 5⁴=625. To možete učiniti na bilo koji način koji vam odgovara - u mislima, koristeći kalkulator ili odgovarajuće objavljene usluge.

Unesite vrijednost dobivenu u prethodnom koraku pod predznakom korijena kao množitelj izraza radikala. Za primjer korišten u prethodnom koraku sa dodavanjem ispod korijena ⁴√3 5 (5*⁴√3), ova akcija se može učiniti ovako: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Pojednostavite rezultirajući radikalni izraz, ako je moguće. Za primjer iz prethodnih koraka, ovo je da samo trebate pomnožiti brojeve ispod predznaka korijena: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Ovim se završava operacija dodavanja broja ispod korijena.

Ako u problemu postoje nepoznate varijable, tada se gore opisani koraci mogu izvesti na opći način. Na primjer, ako želite uvesti nepoznatu varijablu x pod korijen četvrtog stepena, a korijenski izraz je 5/x³, onda se cijeli niz akcija može napisati na sljedeći način: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Izvori:

kako se zove korijenski znak

Realni brojevi nisu dovoljni za rješavanje bilo koje kvadratne jednačine. Najjednostavnija kvadratna jednadžba koja nema korijen među realnim brojevima je x^2+1=0. Prilikom rješavanja ispada da je x=±sqrt(-1) i prema zakonima elementarne algebre izdvojiti korijen parnog stepena iz negativnog brojevi zabranjeno je.