KORISTITI za 4? Zar ne prštiš od sreće?

Pitanje je, kako kažu, zanimljivo... Možeš, možeš proći 4! I u isto vrijeme, nemojte pucati... Glavni uslov je redovno vježbanje. Evo osnovne pripreme za ispit iz matematike. Uz sve tajne i misterije Jedinstvenog državnog ispita, o kojima nećete čitati u udžbenicima... Proučite ovaj odjeljak, riješite više zadataka iz raznih izvora - i sve će uspjeti! Pretpostavlja se da je osnovna rubrika "Dosta ti i troje!" ne stvara vam nikakve probleme. Ali ako iznenada... Pratite linkove, ne budite lijeni!

I počećemo sa sjajnom i strašnom temom.

Trigonometrija

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova tema učenicima zadaje dosta problema. Smatra se jednim od najtežih. Šta je sinus i kosinus? Šta je tangenta i kotangens? Šta je brojčani krug? Vrijedi postaviti ova bezazlena pitanja, jer osoba blijedi i pokušava skrenuti razgovor na stranu ... Ali uzalud. Ovo su jednostavni koncepti. I ova tema nije teža od drugih. Vi samo trebate jasno razumjeti odgovore na ova pitanja od samog početka. To je veoma važno. Ako ste to shvatili, svidjet će vam se trigonometrija. dakle,

Šta je sinus i kosinus? Šta je tangenta i kotangens?

Pođimo od antičkih vremena. Ne brinite, proći ćemo svih 20 vekova trigonometrije za 15 minuta i, neprimetno za sebe, ponovićemo deo geometrije iz 8. razreda.

Nacrtajte pravougaoni trougao sa stranicama a, b, c i ugao X. Evo jednog.

Da vas podsjetim da se stranice koje formiraju pravi ugao nazivaju noge. a i c- klizaljke. Ima ih dvoje. Druga strana se zove hipotenuza. With- hipotenuza.

Trougao i trougao, razmislite o tome! Šta da radim s njim? Ali stari ljudi su znali šta da rade! Ponovimo njihove radnje. Izmjerimo stranu in. Na slici su ćelije posebno nacrtane, kao što se to dešava u zadacima ispita. Side in jednaka je četiri ćelije. UREDU. Izmjerimo stranu a. Tri ćelije.

Sada podijelimo dužinu stranice a po dužini strane in. Ili, kako kažu, uzmimo omjer a to in. a/c= 3/4.

Alternativno, možete dijeliti in on a. Dobijamo 4/3. Može in podijeliti po With. hipotenuza With ne brojimo po ćelijama, ali je jednako 5. Dobijamo a/c= 4/5. Ukratko, možete podijeliti dužine stranica jedna s drugom i dobiti neke brojeve.

Pa šta? Šta je smisao ove zanimljive aktivnosti? Za sada nijedan. Glup posao, da budem iskren.)

A sada uradimo ovo. Povećajmo trougao. Proširimo strane do i od, ali tako da trokut ostane pravokutni. Ugao X, naravno, ne menja. Da biste je vidjeli, postavite pokazivač miša preko slike ili je dodirnite (ako imate tablet). Zabave a, b i c pretvoriti u m, n, k, i, naravno, dužine stranica će se promijeniti.

Ali njihova veza nije!

Stav a/c bio: a/c= 3/4, postao m/n= 6/8 = 3/4. Odnosi drugih relevantnih strana takođe neće se promijeniti . Možete proizvoljno promijeniti dužine stranica u pravokutnom trokutu, povećati, smanjiti, bez promjene ugla x – odnos odnosnih strana se neće promeniti . Možete provjeriti, ili možete vjerovati na riječ drevnih ljudi.

Sada je ovo veoma važno! Omjeri strana u pravokutnom trokutu ni na koji način ne zavise od dužina stranica (za isti ugao). To je toliko važno da su odnosi stranaka zaslužili svoja posebna imena. Njihova imena, da tako kažem.) Upoznajte se.

Koliki je sinus ugla x ? Ovo je omjer suprotnog kraka i hipotenuze:

sinx = klima

Koliki je kosinus ugla x ? Ovo je omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Withosx= a/c

Koliki je tangent ugla x ? Ovo je omjer suprotne noge i susjedne:

tgx=a/c

Koliki je kotangens ugla x ? Ovo je omjer susjedne noge i suprotnosti:

ctgx = in/a

Sve je vrlo jednostavno. Sinus, kosinus, tangent i kotangens su neki brojevi. Bez dimenzija. Samo brojevi. Za svaki kutak - svoj.

Zašto se ponavljam tako dosadno? Šta je onda treba zapamtiti. Ironično se sećam. Pamćenje se može olakšati. Fraza "Počnimo izdaleka..." je poznata? Zato počnite izdaleka.

Sinus ugao je odnos udaljeni od ugla kateta do hipotenuze. Kosinus je omjer najbližeg prema hipotenuzi.

Tangenta ugao je odnos udaljeni od ugla katetera do najbližeg. Kotangens- obrnuto.

Već lakše, zar ne?

Pa, ako se sjetite da samo noge sjede u tangenti i kotangensu, a hipotenuza se pojavljuje u sinusu i kosinusu, onda će sve postati prilično jednostavno.

Cijela ova slavna porodica - sinus, kosinus, tangent i kotangens se također naziva trigonometrijske funkcije.

A sada pitanje za razmatranje.

Zašto kažemo sinus, kosinus, tangent i kotangens kutak? Govorimo o odnosu stranaka, kao... Kakve to veze ima kutak?

Pogledajmo drugu sliku. Potpuno isti kao i prvi.

Zadržite pokazivač miša preko slike. Promenio sam ugao X. uvećao od x do x. Svi odnosi su se promenili! Stav a/c bio je 3/4, a odgovarajući odnos t/in postao 6/4.

I svi ostali odnosi su postali drugačiji!

Dakle, omjeri strana ni na koji način ne ovise o njihovim dužinama (pod jednim uglom x), već oštro zavise od samog ovog ugla! I to samo od njega. Stoga se termini sinus, kosinus, tangenta i kotangens odnose na ugao. Ugao je ovdje glavni.

Mora se ironično shvatiti da je ugao neraskidivo povezan sa svojim trigonometrijskim funkcijama. Svaki ugao ima svoj sinus i kosinus. I skoro svako ima svoju tangentu i kotangens. Važno je. Vjeruje se da ako nam je zadan ugao, onda njegov sinus, kosinus, tangenta i kotangens mi znamo ! I obrnuto. Dati sinus ili bilo koju drugu trigonometrijsku funkciju, tada znamo ugao.

Postoje posebne tabele u kojima su za svaki ugao zapisane njegove trigonometrijske funkcije. Zovu se Bradys stolovi. Rade se jako dugo. U vreme kada nije bilo ni kalkulatora ni kompjutera...

Naravno, trigonometrijske funkcije svih uglova ne mogu se zapamtiti. Trebate ih poznavati samo iz nekoliko uglova, više o tome kasnije. Ali čini Znam ugao, tako da znam njegove trigonometrijske funkcije" - uvijek radi!

Pa smo ponovili dio geometrije iz 8. razreda. Da li nam treba za ispit? Neophodno. Evo tipičnog problema sa ispita. Za čije rešenje je dovoljan 8. razred. Slika data:

Sve. Nema više podataka. Moramo pronaći dužinu kraka BC.

Ćelije malo pomažu, trougao je nekako pogrešno lociran....Namjerno, valjda... Iz podatka je dužina hipotenuze. 8 ćelija. Iz nekog razloga je dat ugao.

Ovdje se odmah moramo sjetiti trigonometrije. Postoji ugao, tako da znamo sve njegove trigonometrijske funkcije. Koju funkciju od četiri treba sprovesti u delo? Hajde da vidimo šta znamo, hoćemo li? Znamo hipotenuzu, ugao, ali moramo pronaći susjedni do ovog ugla catet! Jasno je da kosinus treba sprovesti u akciju! Evo lansiramo. Mi samo pišemo, po definiciji kosinusa (omjer susjedni krak do hipotenuze):

cosC = BC/8

Ugao C je 60 stepeni, a kosinus mu je 1/2. Ovo morate znati, bez ikakvih tablica! To je:

1/2 = sunce/8

Elementarna linearna jednadžba. nepoznato - Ned. Ko je zaboravio rješavati jednačine, prošetajte na linku, ostalo riješite:

sunce = 4

Kada su stari ljudi shvatili da svaki ugao ima svoj skup trigonometrijskih funkcija, postavili su razumno pitanje. Nisu li sinus, kosinus, tangenta i kotangens nekako međusobno povezani? Dakle, znajući jednu funkciju ugla, možete pronaći ostatak? Bez izračunavanja samog ugla?

Tako su bili nemirni...)

Veza između trigonometrijskih funkcija jednog ugla.

Naravno, sinus, kosinus, tangent i kotangens istog ugla su povezani. Svaka veza između izraza je u matematici data formulama. U trigonometriji postoji ogroman broj formula. Ali ovdje ćemo pogledati one najosnovnije. Ove formule se zovu: osnovni trigonometrijski identiteti. Evo ih:

Ove formule moraju poznavati željezo. Bez njih, u trigonometriji se uopšte nema šta raditi. Iz ovih osnovnih identiteta slijede još tri pomoćna identiteta:

Odmah vas upozoravam da posljednje tri formule brzo ispadaju iz pamćenja. Iz nekog razloga.) Možete, naravno, izvesti ove formule iz prve tri. Ali, u teškom trenutku... Razumete.)

U standardnim zadacima kao što su oni ispod, postoji način da se zaobiđu ove formule koje se mogu zaboraviti. I drastično smanjiti greške iz zaborava, a i u proračunima. Ova praksa je u Odjeljku 555, lekcija "Odnos između trigonometrijskih funkcija jednog ugla."

U kojim zadacima i kako se koriste osnovni trigonometrijski identiteti? Najpopularniji zadatak je pronaći neku funkciju ugla, ako je zadana druga. Na ispitu je takav zadatak prisutan iz godine u godinu.) Na primjer:

Pronađite vrijednost sinx ako je x oštar ugao i cosx=0,8.

Zadatak je gotovo elementaran. Tražimo formulu u kojoj postoje sinus i kosinus. Evo te formule:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Ovdje zamjenjujemo poznatu vrijednost, naime, 0,8 umjesto kosinusa:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Pa, smatramo, kao i obično:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x \u003d 1 - 0,64

Evo, skoro sve. Izračunali smo kvadrat sinusa, ostaje da izvučemo kvadratni korijen i odgovor je spreman! Koren od 0,36 je 0,6.

Zadatak je gotovo elementaran. Ali riječ "skoro" ovdje nije uzalud ... Činjenica je da je odgovor sinx = - 0,6 također prikladan ... (-0,6) 2 će također biti 0,36.

Dobijaju se dva različita odgovora. I treba ti jedan. Drugi je pogrešan. Kako biti!? Da, kao i obično.) Pažljivo pročitajte zadatak. Iz nekog razloga piše... ako je x oštar ugao... A u zadacima svaka riječ ima značenje, da... Ova fraza je dodatna informacija za rješenje.

Oštar ugao je ugao manji od 90°. I to pod takvim uglovima Svi trigonometrijske funkcije - i sinus i kosinus, i tangenta s kotangensom - pozitivno. One. mi jednostavno odbacujemo negativan odgovor ovdje. Imamo pravo.

Zapravo, učenicima osmog razreda takve suptilnosti nisu potrebne. Oni rade samo s pravokutnim trokutima, gdje uglovi mogu biti samo oštri. I ne znaju, sretni oni, da postoje negativni uglovi, i uglovi od 1000°... A svi ti košmarni uglovi imaju svoje trigonometrijske funkcije i sa plusom i sa minusom...

Ali za srednjoškolce bez uzimanja u obzir znaka - nikako. Mnogo znanja umnožava tugu, da...) A za ispravno rješenje zadatak mora sadržavati dodatne informacije (ako je potrebno). Na primjer, može se dati kao:

Ili na neki drugi način. Vidjet ćete u primjerima ispod.) Da biste riješili takve primjere, morate znati u koju četvrtinu pada dati ugao x i koji predznak ima željena trigonometrijska funkcija u ovoj četvrtini.

O ovim osnovama trigonometrije se govori u lekcijama šta je trigonometrijski krug, brojanje uglova na ovoj kružnici, radijanska mjera ugla. Ponekad je potrebno znati i tablicu sinusa kosinusa tangenta i kotangensa.

Dakle, napomenimo najvažnije:

Praktični savjeti:

1. Zapamtite definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Veoma korisno.

2. Jasno asimilujemo: sinus, kosinus, tangenta i kotangens su čvrsto povezani uglovima. Znamo jedno, pa znamo nešto drugo.

3. Jasno asimilujemo: sinus, kosinus, tangent i kotangens jednog ugla međusobno su povezani osnovnim trigonometrijskim identitetima. Znamo jednu funkciju, što znači da možemo (ako imamo potrebne dodatne informacije) izračunati sve ostale.

A sada da odlučimo, kao i obično. Prvo, zadaci iz sveske 8. razreda. Ali srednjoškolci također mogu...)

1. Izračunajte vrijednost tgA ako je ctgA = 0,4.

2. β - ugao u pravokutnom trokutu. Pronađite vrijednost tgβ ako je sinβ = 12/13.

3. Odredite sinus oštrog ugla x ako je tgx \u003d 4/3.

4. Pronađite vrijednost izraza:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Pronađite vrijednost izraza:

(1-cosx)(1+cosx), ako je sinx = 0,3

Odgovori (odvojeni tačkom i zarezom, u neredu):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Desilo se? Odlično! Učenici osmog razreda već mogu pratiti svoje petice.)

Zar nije sve uspjelo? Zadaci 2 i 3 nekako nisu baš...? Nema problema! Postoji jedna lijepa tehnika za takve zadatke. Sve se odlučuje, praktično, bez formula! I, dakle, bez grešaka. Ova tehnika je opisana u lekciji: "Odnos između trigonometrijskih funkcija jednog ugla" u odjeljku 555. Tu se rastavljaju i svi ostali zadaci.

To su bili problemi poput Jedinstvenog državnog ispita, ali u skraćenoj verziji. UPOTREBA - svjetlo). A sada gotovo isti zadaci, ali u punopravnom obliku. Za srednjoškolce opterećene znanjem.)

6. Naći vrijednost tgβ ako je sinβ = 12/13 i

7. Odrediti sinx ako je tgx = 4/3, a x pripada intervalu (- 540°; - 450°).

8. Pronađite vrijednost izraza sinβ cosβ ako je ctgβ = 1.

Odgovori (u neredu):

0,8; 0,5; -2,4.

Ovde, u zadatku 6, ugao je dat nekako ne baš jednoznačno... Ali u zadatku 8 on uopšte nije postavljen! Namerno). Dodatne informacije se uzimaju ne samo iz zadatka, već i iz glave.) Ali ako se odlučite, jedan ispravan zadatak je zagarantovan!

Šta ako niste odlučili? Um... Pa, Odjeljak 555 će pomoći ovdje. Tamo su rješenja za sve ove zadatke detaljno opisana, teško je ne razumjeti.

U ovoj lekciji dat je vrlo ograničen koncept trigonometrijskih funkcija. U okviru 8. razreda. Seniori imaju pitanja...

Na primjer, ako je kut X(pogledajte drugu sliku na ovoj stranici) - učiniti glupim!? Trougao će se raspasti! A kako biti? Neće biti noge, hipotenuze... Sinus je nestao...

Da drevni ljudi nisu našli izlaz iz ove situacije, sada ne bismo imali mobilne telefone, TV, niti struju. Da da! Teorijska osnova svih ovih stvari bez trigonometrijskih funkcija je nula bez štapa. Ali drevni ljudi nisu razočarali. Kako su izašli - u sledećoj lekciji.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

1. Trigonometrijske funkcije su elementarne funkcije čiji je argument ugao. Trigonometrijske funkcije opisuju odnos između stranica i oštrih uglova u pravokutnom trokutu. Područja primjene trigonometrijskih funkcija su izuzetno raznolika. Tako se, na primjer, svaki periodični proces može predstaviti kao zbir trigonometrijskih funkcija (Fourierov red). Ove funkcije se često pojavljuju pri rješavanju diferencijalnih i funkcionalnih jednadžbi.

2. Trigonometrijske funkcije uključuju sljedećih 6 funkcija: sinus, kosinus, tangenta,kotangens, secant i kosekans. Za svaku od ovih funkcija postoji inverzna trigonometrijska funkcija.

3. Pogodno je uvesti geometrijsku definiciju trigonometrijskih funkcija pomoću jedinični krug. Na slici ispod prikazana je kružnica poluprečnika r=1. Tačka M(x,y) je označena na kružnici. Ugao između radijus vektora OM i pozitivnog smjera ose Ox je α.

4. sinus ugao α je omjer ordinate y tačke M(x,y) i poluprečnika r:
sinα=y/r.
Pošto je r=1, onda je sinus jednak ordinati tačke M(x,y).

5. kosinus ugao α je omjer apscise x tačke M(x,y) i poluprečnika r:
cosα=x/r

6. tangenta ugao α je omjer ordinate y tačke M(x,y) i njene apscise x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens ugao α je omjer apscise x tačke M(x,y) i njene ordinate y:
cotα=x/y,y≠0

8. Secant ugao α je omjer polumjera r i apscise x tačke M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekans ugao α je omjer polumjera r i ordinate y tačke M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. U jediničnom krugu projekcije x, y, tačke M(x, y) i poluprečnik r formiraju pravougaoni trougao, u kome su x, y katete, a r hipotenuza. Stoga su gornje definicije trigonometrijskih funkcija primijenjene na pravokutni trokut formulirane na sljedeći način:
sinus ugao α je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.
kosinus ugao α je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
tangenta ugao α naziva se suprotan krak od susjednog.
Kotangens ugao α naziva se susedni krak naspram suprotnog.
Secant ugao α je omjer hipotenuze i susjednog kraka.
Kosekans ugao α je omjer hipotenuze i suprotnog kraka.

11. graf sinusne funkcije
y=sinx, domen: x∈R, domen: −1≤sinx≤1

12. Grafikon kosinusne funkcije
y=cosx, domen: x∈R, opseg: −1≤cosx≤1

13. graf tangentne funkcije
y=tanx, domen: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domen: −∞

14. Grafikon kotangens funkcije
y=cotx, domen: x∈R,x≠kπ, domen: −∞

15. Grafikon funkcije sekansa
y=secx, domen: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domen: secx∈(−∞,−1]∪∪ODZ [-1; 1] sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Zcos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Zcos x = 1, za x = 2πk, gdje je k ϵ Z sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Zcos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z sin (-x) = - sin x, tj. neparna funkcijacos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna funkcija je periodična, najmanji period je 2π sin x › 0, pri čemu x pripada četvrtinama I i II ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)cos x › 0, pri čemu x pripada četvrtinama I i IV ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) sin x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtinama III i IV ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)cos x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtima II i III ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) raste na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk] opada na intervalima [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]smanjuje se u intervalima izvod (sin x)' = cos xizvod (cos x)’ = - sin x

Određivanje da li je funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znacima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na osu OX. Ako su predznaci isti, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje glavnih svojstava sinusoidnog i kosinusnog vala omogućavaju nam da donesemo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti gledanjem u tabele ili praćenjem krivulja funkcija za date vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangenoida

Grafovi tangentne i kotangensne funkcije značajno se razlikuju od sinusoidnog i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna drugoj.

1. Y = tgx.
2. Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne dostiže.
3. Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povećava.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivat (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Razmotrite grafički prikaz kotangentoida ispod u tekstu.

Glavna svojstva kotangentoida:

1. Y = ctgx.
2. Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
3. Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne dostiže.
4. Najmanji pozitivni period kotangtoida je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se smanjuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Predavanje: Sinus, kosinus, tangent, kotangens proizvoljnog ugla

Sinus, kosinus proizvoljnog ugla

Da bismo razumjeli šta su trigonometrijske funkcije, okrenimo se krugu s jediničnim polumjerom. Ova kružnica je centrirana u ishodištu na koordinatnoj ravni. Da bismo odredili date funkcije, koristit ćemo radijus vektor ILI, koji počinje u centru kruga, i tačku R je tačka na kružnici. Ovaj radijus vektor formira ugao alfa sa osom OH. Pošto krug ima poluprečnik jednak jedan, onda ILI = R = 1.

Ako iz tačke R ispusti okomicu na osu OH, tada dobijamo pravougao trougao sa hipotenuzom jednakom jedan.

Ako se radijus vektor kreće u smjeru kazaljke na satu, onda se ovaj smjer naziva negativan, ali ako se kreće suprotno od kazaljke na satu - pozitivno.

Sinus ugla ILI, je ordinata tačke R vektori na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost sinusa datog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinatu At na površini.

Kako je dobijena ova vrijednost? Pošto znamo da je sinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne katete i hipotenuze, dobijamo da je

I od tada R=1, onda sin(α) = y 0 .

U jediničnom krugu vrijednost ordinate ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Sinus je pozitivan u prvoj i drugoj četvrtini jediničnog kruga, a negativan u trećoj i četvrtoj.

Kosinus ugla dati krug formiran radijus vektorom ILI, je apscisa tačke R vektori na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost kosinusa datog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinate X na površini.

Kosinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze, dobivamo da

I od tada R=1, onda cos(α) = x 0 .

U jediničnom krugu vrijednost apscise ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Kosinus je pozitivan u prvom i četvrtom kvadrantu jediničnog kruga, a negativan u drugom i trećem.

tangentaproizvoljan ugao izračunava se omjer sinusa i kosinusa.

Ako uzmemo u obzir pravokutni trokut, onda je to omjer suprotne noge i susjedne. Ako govorimo o jediničnom krugu, onda je to omjer ordinate i apscise.

Sudeći po ovim odnosima, može se shvatiti da tangenta ne može postojati ako je vrijednost apscise nula, odnosno pod uglom od 90 stepeni. Tangenta može poprimiti sve druge vrijednosti.

Tangenta je pozitivna u prvoj i trećoj četvrtini jedinične kružnice, a negativna u drugoj i četvrtoj.