Na Vaš zahtjev!

1. Uklonite iracionalnost u nazivniku:

3. Riješite eksponencijalnu jednačinu:

4. Riješite nejednačinu:

Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja i uvijek se izražava nenegativnim brojem, pa će ova nejednakost važiti za sve X, koji zadovoljava uslov: 2-h≥0. Odavde dobijamo: x≤2. Odgovor zapisujemo kao numerički interval: (-∞; 2).

5. Riješite nejednačinu: 7 x > -1.

Po definiciji: eksponencijalna funkcija naziva se funkcija oblika y = a x, gdje je a > 0, a ≠ 1, x bilo koji broj. Opseg eksponencijalne funkcije je skup svih pozitivnih brojeva, budući da će pozitivan broj na bilo koji stepen biti pozitivan. Zato je 7 x >0 za bilo koji x, a još više 7 x > -1, tj. nejednakost je tačna za sve x ∈ (-∞; +∞).

6. Pretvori u proizvod:

Primjenjujemo formulu za zbir sinusa: zbir sinusa dvaju uglova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbira ovih uglova i kosinusa njihove polurazlike.

8. Poznato je da je f(x) = -15x+3. Za koje vrijednosti x, f(x)=0?

Zamjenjujemo broj 0 umjesto f (x) i rješavamo jednačinu:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . U prvoj i drugoj legurama bakar i cink su u omjeru 5:2 i 3:4. Koliko od svake legure treba uzeti da se dobije 28 kg nove legure sa jednakim sadržajem bakra i cinka.

Razumijemo da će nova legura sadržavati 14 kg bakra i 14 kg cinka. Svi slični problemi se rješavaju na isti način: čine jednačinu u lijevom i desnom dijelu čiji je jednaka količina tvari (uzmimo bakar), napisana na različite načine (na osnovu specifičnih uslova zadatka). Imamo 14 kg bakra u novoj leguri će se sastojati od bakra iz obe ove legure. Neka masa prve legure X kg, tada je masa druge legure ( 28)kg. U prvoj leguri ima 5 delova bakra i 2 dela cinka, pa će bakar biti (5/7) od x kg. Da biste pronašli razlomak broja, pomnožite taj razlomak datim brojem. U drugoj leguri 3 dijela bakra i 4 dijela cinka, tj. bakar sadrži (3/7) od (28's) kg. dakle:

12. Riješite jednačinu: log 2 8 x = -1.

Po definiciji logaritma:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Naći derivaciju funkcije f(x) = -ln cosx 2 .

20. Pronađite vrijednost izraza:

Modul broja može se izraziti samo kao nenegativan broj. Ako se ispod znaka modula nalazi negativan izraz, tada se pri otvaranju zagrada modula svi pojmovi pišu sa suprotnim predznacima.

22. Riješite sistem nejednačina:

Prvo rješavamo svaku nejednačinu posebno.

Imajte na umu da će najmanji zajednički period za ove funkcije biti 2π, dakle, i lijeva i desna su pripisana 2πn. Odgovor C).

23. Pronađite površinu figure ograničenu grafikom funkcije y=3-|x-3| i prava y=0.

Graf ove funkcije će se sastojati od dvije poluprave koje izlaze iz jedne tačke. Napišimo jednačine pravih. Za x≥3 širimo modularne zagrade i dobijamo: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. Za x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Trokut omeđen grafikom funkcije i segmentom x-ose je lik čija se površina mora pronaći. Naravno, ovdje ćemo proći bez integrala. Površinu trokuta nalazimo kao polovinu proizvoda njegove osnove i visine povučene ovoj osnovici. Naša osnova je jednaka 6 jediničnih segmenata, a visina povučena do ove osnove jednaka je 3 jedinična segmenta. Površina će biti 9 kvadratnih metara. jedinice

24. Naći kosinus ugla A trougla sa vrhovima u tačkama A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2).

Da biste pronašli koordinate vektora date koordinatama njegovih krajeva, morate oduzeti koordinate početka od koordinata kraja.

Ugao A formiraju vektori:

25. U kutiji se nalaze 23 lopte: crvena, bijela i crna. Bijelih loptica ima 11 puta više nego crvenih. Koliko crnih kuglica?

Neka bude u kutiji X crvene lopte. Zatim belci 11x lopte.

Crveno-bijelo x+11x= 12x lopte. Dakle, crne lopte 23-12h. Pošto je ovo ceo broj loptica, jedina moguća vrednost je x=1. Ispada: 1 crvena lopta, 11 bijelih loptica i 11 crne lopte.

Uputstvo

Neka su na ravni data dva vektora različita od nule, nacrtana iz jedne tačke: vektor A sa koordinatama (x1, y1) B sa koordinatama (x2, y2). Ugao između njih je označeno kao θ. Da biste pronašli mjeru stepena ugla θ, trebate koristiti definiciju skalarnog proizvoda.

Skalarni proizvod dva vektora različita od nule je broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih, odnosno (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Sada treba da izrazite kosinus ugla iz ovoga: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalarni proizvod se takođe može naći pomoću formule (A,B)=x1*x2+y1*y2, pošto je proizvod dva vektora različita od nule jednak zbiru proizvoda odgovarajućih vektora. Ako je skalarni proizvod vektora koji nisu nula jednak nuli, tada su vektori okomiti (ugao između njih je 90 stepeni) i dalja izračunavanja se mogu izostaviti. Ako je skalarni proizvod dva vektora pozitivan, onda je ugao između njih vektori oštar, a ako je negativan, onda je ugao tup.

Sada izračunajte dužine vektora A i B koristeći formule: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Dužina vektora se izračunava kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.

Zamijenite pronađene vrijednosti skalarnog proizvoda i dužine vektora u formulu za ugao dobijen u koraku 2, odnosno, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Sada, znajući vrijednost , pronaći stepen mjera ugla između vektori trebate koristiti Bradisovu tabelu ili uzeti iz ovoga: θ=arccos(cos(θ)).

Ako su vektori A i B dati u trodimenzionalnom prostoru i imaju koordinate (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2), respektivno, tada se pri pronalaženju kosinusa ugla dodaje još jedna koordinata. U ovom slučaju kosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Korisni savjeti

Ako dva vektora nisu nacrtana iz jedne tačke, onda da biste pronašli ugao između njih paralelnim prevođenjem, morate kombinovati početke ovih vektora.
Ugao između dva vektora ne može biti veći od 180 stepeni.

Izvori:

• kako izračunati ugao između vektora
• Ugao između prave i ravni

Za rješavanje mnogih problema, kako primijenjenih, tako i teorijskih, u fizici i linearnoj algebri, potrebno je izračunati ugao između vektora. Ovaj naizgled jednostavan zadatak može uzrokovati mnogo poteškoća ako ne razumijete jasno suštinu skalarnog proizvoda i koja vrijednost se pojavljuje kao rezultat ovog proizvoda.

Uputstvo

Ugao između vektora u linearnom vektorskom prostoru je minimalni ugao na , pri kojem se postiže kosmjer vektora. Jedan od vektora se nosi oko svoje početne tačke. Iz definicije postaje očigledno da vrijednost ugla ne može biti veća od 180 stepeni (pogledajte korak).

U ovom slučaju, sasvim se ispravno pretpostavlja da se u linearnom prostoru, kada se vektori prenose paralelno, ugao između njih ne menja. Stoga, za analitički proračun ugla, prostorna orijentacija vektora nije bitna.

Rezultat dot proizvoda je broj, inače skalar. Zapamtite (ovo je važno znati) kako biste spriječili greške u daljim proračunima. Formula za skalarni proizvod, koji se nalazi na ravni ili u prostoru vektora, ima oblik (pogledajte sliku za korak).

Ako se vektori nalaze u prostoru, izvršite proračun na sličan način. Jedino će se pojaviti termin u dividendi - to je termin za prijavu, tj. treća komponenta vektora. U skladu s tim, pri izračunavanju modula vektora mora se uzeti u obzir i z komponenta, a zatim se za vektore smještene u prostoru posljednji izraz transformiše na sljedeći način (vidi sliku 6. korak).

Vektor je segment linije sa datim smjerom. Ugao između vektora ima fizičko značenje, na primjer, kada se pronađe dužina projekcije vektora na osu.

Uputstvo

Ugao između dva vektora različita od nule koristeći izračunavanje dot proizvoda. Po definiciji, proizvod je jednak proizvodu dužina i ugla između njih. S druge strane, izračunava se unutrašnji proizvod za dva vektora a sa koordinatama (x1; y1) i b sa koordinatama (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Od ova dva načina, tačkasti proizvod je lako postaviti ugao između vektora.

Pronađite dužine ili module vektora. Za naše vektore a i b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Pronađite unutrašnji proizvod vektora množenjem njihovih koordinata u parovima: ab = x1x2 + y1y2. Iz definicije tačkastog proizvoda ab = |a|*|b|*cos α, gdje je α ugao između vektora. Tada dobijamo da je x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Tada je cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Pronađite ugao α koristeći Bradysove tablice.

Povezani video zapisi

Bilješka

Skalarni proizvod je skalarna karakteristika dužina vektora i ugla između njih.

Ravan je jedan od osnovnih pojmova u geometriji. Ravan je površina za koju je tvrdnja tačna - svaka prava linija koja spaja dvije njene tačke u potpunosti pripada ovoj površini. Ravnine se obično označavaju grčkim slovima α, β, γ, itd. Dvije ravni se uvijek seku u pravoj liniji koja pripada objema ravnima.

Uputstvo

Razmotrimo poluravnine α i β formirane na presjeku . Ugao formiran od prave a i dvije poluravnine α i β od diedralnog ugla. U ovom slučaju, poluravnine koje formiraju diedarski ugao po plohama, prava a duž koje se ravnine seku naziva se ivica diedarskog ugla.

Diedarski ugao, kao ravan ugao, u stepenima. Da bi se napravio diedarski ugao, potrebno je na njegovom licu izabrati proizvoljnu tačku O. U oba su dva zraka a povučena kroz tačku O. Rezultirajući ugao AOB naziva se linearni ugao diedralnog ugla a.

Dakle, neka su vektor V = (a, b, c) i ravan A x + B y + C z = 0, gdje su A, B i C koordinate normale N. Tada je kosinus ugla α između vektora V i N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Da biste izračunali vrijednost ugla u stepenima ili radijanima, morate izračunati funkciju inverznu kosinusu iz rezultirajućeg izraza, tj. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Primjer: nađi ugao između vektor(5, -3, 8) i avion, dato opštom jednačinom 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rješenje: zapisati koordinate vektora normale ravni N = (2, -5, 3). Zamijenite sve poznate vrijednosti u gornju formulu: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Povezani video zapisi

Napišite jednačinu i iz nje izolirajte kosinus. Prema jednoj formuli, skalarni proizvod vektora jednak je njihovim dužinama pomnoženim jedna s drugom i kosinusom ugao, a s druge - zbir proizvoda koordinata duž svake od osi. Izjednačavajući obje formule, možemo zaključiti da je kosinus ugao mora biti jednak omjeru zbira proizvoda koordinata i proizvoda dužina vektora.

Zapišite rezultirajuću jednačinu. Da bismo to učinili, moramo označiti oba vektora. Recimo da su date u 3D kartezijanskom sistemu i njihove početne tačke su u mreži. Smjer i veličina prvog vektora će biti dati tačkom (X₁,Y₁,Z₁), drugog - (X₂,Y₂,Z₂), a ugao će biti označen slovom γ. Tada dužine svakog od vektora mogu biti, na primjer, prema Pitagorinoj teoremi za formirane njihovim projekcijama na svaku od koordinatnih osa: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) i √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Zamenite ove izraze u formulu formulisanu u prethodnom koraku i dobićete jednakost: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Koristite činjenicu da je zbir na kvadrat sinus and co sinus od ugao jedna vrijednost uvijek daje jednu. Dakle, podizanjem onoga što je dobijeno u prethodnom koraku za co sinus kvadrirati i oduzeti od jedinice, a zatim

Ugao između dva vektora, :

Ako je ugao između dva vektora oštar, onda je njihov dot proizvod pozitivan; ako je ugao između vektora tup, tada je skalarni proizvod ovih vektora negativan. Skalarni proizvod dva vektora različita od nule jednak je nuli ako i samo ako su ovi vektori ortogonalni.

Vježbajte. Pronađite ugao između vektora i

Rješenje. Kosinus željenog ugla

16. Izračunavanje ugla između pravih linija, prave i ravni

Ugao između prave i ravni koji siječe ovu pravu a ne okomit na nju je ugao između prave i njene projekcije na ovu ravan.

Određivanje ugla između prave i ravni nam omogućava da zaključimo da je ugao između prave i ravni ugao između dve prave koje se seku: same prave i njene projekcije na ravan. Dakle, ugao između prave i ravni je oštar ugao.

Ugao između okomite i ravnine smatra se jednakim, a ugao između paralelne linije i ravnine ili nije određen uopće, ili se smatra jednakim .

§ 69. Računanje ugla između pravih.

Problem izračunavanja ugla između dve prave u prostoru rešava se na isti način kao i u ravni (§ 32). Označite sa φ ugao između linija l 1 i l 2 , a kroz ψ - ugao između vektora pravca a i b ove prave linije.

Onda ako

ψ 90° (Sl. 206.6), tada φ = 180° - ψ. Očigledno je da je u oba slučaja tačna jednakost cos φ = |cos ψ|. Po formuli (1) § 20 imamo

shodno tome,

Neka su linije zadane njihovim kanonskim jednadžbama

Tada se ugao φ između linija određuje pomoću formule

Ako je jedna od linija (ili obje) data nekanonskim jednadžbama, tada za izračunavanje kuta morate pronaći koordinate vektora smjera ovih linija, a zatim koristiti formulu (1).

17. Paralelne prave, Teoreme o paralelnim pravima

Definicija. Zovu se dvije prave u ravni paralelno ako nemaju zajedničke tačke.

Zovu se dvije linije u tri dimenzije paralelno ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.

Ugao između dva vektora.

Iz definicije tačkastog proizvoda:

.

Uslov ortogonalnosti dva vektora:

Uslov kolinearnosti za dva vektora:

.

Slijedi iz definicije 5 - . Zaista, iz definicije proizvoda vektora brojem, to slijedi. Stoga, na osnovu pravila vektorske jednakosti, pišemo , , , što implicira . Ali vektor koji nastaje množenjem vektora brojem je kolinearan vektoru.

Vektor-vektorska projekcija:

.

Primjer 4. Dati bodovi , , , .

Pronađite skalarni proizvod.

Rješenje. nalazimo po formuli skalarnog proizvoda vektora datih njihovim koordinatama. Zbog

, ,

Primjer 5 Dati bodovi , , , .

Pronađite projekciju.

Rješenje. Zbog

, ,

Na osnovu formule za projekciju imamo

.

Primjer 6 Dati bodovi , , , .

Pronađite ugao između vektora i .

Rješenje. Imajte na umu da vektori

, ,

nisu kolinearni, jer njihove koordinate nisu proporcionalne:

.

Ovi vektori također nisu okomiti, budući da je njihov dot proizvod .

hajde da nađemo,

Ugao pronađite iz formule:

.

Primjer 7 Odrediti za koje vektore i kolinearno.

Rješenje. U slučaju kolinearnosti, odgovarajuće koordinate vektora i mora biti proporcionalan, tj.

.

Odavde i .

Primjer 8. Odredi pri kojoj vrijednosti vektora i su okomite.

Rješenje. Vector i okomite su ako je njihov dot proizvod jednak nuli. Iz ovog uslova dobijamo: . To je, .

Primjer 9. Nađi , ako , , .

Rješenje. Zbog svojstava skalarnog proizvoda imamo:

Primjer 10. Pronađite ugao između vektora i , gdje i - jedinične vektore i ugao između vektora i jednak je 120o.

Rješenje. Imamo: , ,

Konačno imamo: .

5 B. vektorski proizvod.

Definicija 21.vektorska umjetnost vektor prema vektoru naziva se vektor ili , definisan sa sljedeća tri uslova:

1) Modul vektora je , gdje je ugao između vektora i , tj. .

Iz toga slijedi da je modul križnog proizvoda brojčano jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima i kao na stranicama.

2) Vektor je okomit na svaki od vektora i ( ; ), tj. okomito na ravninu paralelograma izgrađenog na vektorima i .

3) Vektor je usmjeren tako da ako se gleda s njegovog kraja, tada bi najkraći okret od vektora do vektora bio u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (vektori , , formiraju desnu trojku).

Kako izračunati uglove između vektora?

Prilikom proučavanja geometrije postavljaju se mnoga pitanja na temu vektora. Učenik ima posebne poteškoće kada je potrebno pronaći uglove između vektora.

Osnovni pojmovi

Prije razmatranja uglova između vektora, potrebno je upoznati se sa definicijom vektora i pojmom ugla između vektora.

Vektor je segment koji ima pravac, odnosno segment za koji su definisani njegov početak i kraj.

Ugao između dva vektora na ravni koji imaju zajedničko ishodište je manji od uglova za koji se traži da se jedan od vektora pomeri oko zajedničke tačke, do položaja gde im se pravci poklapaju.

Formula rješenja

Kada shvatite šta je vektor i kako se određuje njegov ugao, možete izračunati ugao između vektora. Formula rješenja za to je prilično jednostavna, a rezultat njene primjene bit će vrijednost kosinusa kuta. Po definiciji, jednak je količniku skalarnog proizvoda vektora i proizvoda njihovih dužina.

Skalarni proizvod vektora se smatra zbirom odgovarajućih koordinata vektora množenja međusobno pomnoženih. Dužina vektora, ili njegov modul, izračunava se kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.

Nakon što ste primili vrijednost kosinusa kuta, možete izračunati vrijednost samog ugla pomoću kalkulatora ili pomoću trigonometrijske tablice.

Primjer

Nakon što shvatite kako izračunati ugao između vektora, rješenje odgovarajućeg problema postaje jednostavno i jednostavno. Kao primjer, razmotrite jednostavan problem pronalaženja veličine ugla.

Prije svega, bit će zgodnije izračunati vrijednosti dužina vektora i njihovog skalarnog proizvoda potrebnih za rješavanje. Koristeći gornji opis, dobijamo:

Zamjenom dobijenih vrijednosti u formulu, izračunavamo vrijednost kosinusa željenog ugla:

Ovaj broj nije jedna od pet uobičajenih kosinusnih vrijednosti, pa da biste dobili vrijednost ugla, morat ćete koristiti kalkulator ili Bradisovu trigonometrijsku tablicu. Ali prije nego što dobijete ugao između vektora, formula se može pojednostaviti da se riješi dodatnog negativnog predznaka:

Konačni odgovor možete ostaviti u ovom obliku kako biste zadržali tačnost, ili možete izračunati vrijednost ugla u stepenima. Prema Bradisovoj tabeli, njegova vrijednost će biti približno 116 stepeni i 70 minuta, a kalkulator će pokazati vrijednost od 116,57 stepeni.

Proračun ugla u n-dimenzionalnom prostoru

Kada se razmatraju dva vektora u trodimenzionalnom prostoru, mnogo je teže razumjeti o kojem kutu je riječ ako ne leže u istoj ravni. Da biste pojednostavili percepciju, možete nacrtati dva segmenta koji se ukrštaju koji čine najmanji ugao između njih, a on će biti željeni. Unatoč prisutnosti treće koordinate u vektoru, proces izračunavanja uglova između vektora neće se promijeniti. Izračunajte skalarni proizvod i module vektora, arkosinus njihovog kvocijenta i to će biti odgovor na ovaj problem.

U geometriji se često javljaju problemi sa prostorima koji imaju više od tri dimenzije. Ali za njih algoritam za pronalaženje odgovora izgleda slično.

Razlika između 0 i 180 stepeni

Jedna od uobičajenih grešaka pri pisanju odgovora na problem dizajniran za izračunavanje ugla između vektora je odluka da se zapiše da su vektori paralelni, odnosno da je željeni ugao bio 0 ili 180 stepeni. Ovaj odgovor je netačan.

Nakon što smo dobili vrijednost ugla od 0 stepeni kao rezultat rješenja, tačan odgovor bi bio označiti vektori kao kosmjerne, odnosno vektori će imati isti smjer. U slučaju dobijanja 180 stepeni, vektori će biti u prirodi suprotnih smerova.

Specifični vektori

Pronalaženjem uglova između vektora može se pronaći jedan od specijalnih tipova, pored kousmjerenih i suprotno usmjerenih gore opisanih.

• Nekoliko vektora paralelnih jednoj ravni naziva se komplanarnim.
• Vektori koji su iste dužine i smjera nazivaju se jednaki.
• Vektori koji leže na istoj pravoj liniji, bez obzira na smjer, nazivaju se kolinearni.
• Ako je dužina vektora nula, odnosno njegov početak i kraj se poklapaju, onda se naziva nula, a ako je jedan, onda se naziva jedan.

Kako pronaći ugao između vektora?

pomozi mi molim te! Znam formulu, ali ne mogu da je shvatim
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Aleksandar Titov

Ugao između vektora zadanih njihovim koordinatama nalazi se prema standardnom algoritmu. Prvo morate pronaći skalarni proizvod vektora a i b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Ovdje zamjenjujemo koordinate ovih vektora i razmatramo:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Zatim određujemo dužine svakog od vektora. Dužina ili modul vektora je kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata:
|a| = korijen od (x1^2 + y1^2 + z1^2) = korijen od (8^2 + 10^2 + 4^2) = korijen od (64 + 100 + 16) = korijen od 180 = 6 korijena od 5
|b| = kvadratni korijen od (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadratni korijen od (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadratni korijen od (25 + 400 + 100 ) = kvadratni korijen od 525 = 5 korijena od 21.
Ove dužine množimo. Dobijamo 30 korijena od 105.
I konačno, dijelimo skalarni proizvod vektora sa proizvodom dužina ovih vektora. Dobijamo -200 / (30 korijena od 105) ili
- (4 korijena od 105) / 63. Ovo je kosinus ugla između vektora. A sam ugao je jednak ark kosinusu ovog broja
f \u003d arccos (-4 korijena od 105) / 63.
Ako sam dobro izbrojao.

Kako izračunati sinus ugla između vektora iz koordinata vektora

Mikhail Tkachev

Ove vektore množimo. Njihov proizvod je jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih.
Ugao nam je nepoznat, ali su koordinate poznate.
Zapišimo to matematički ovako.
Neka su dati vektori a(x1;y1) i b(x2;y2)
Onda

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Svađamo se.
a*b-skalarni proizvod vektora jednak je zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata koordinata ovih vektora, odnosno jednak x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-proizvod dužina vektora jednak je √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Dakle, kosinus ugla između vektora je:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Poznavajući kosinus ugla, možemo izračunati njegov sinus. Hajde da razgovaramo o tome kako to učiniti:

Ako je kosinus ugla pozitivan, onda ovaj ugao leži u 1 ili 4 četvrtine, pa je njegov sinus pozitivan ili negativan. Ali pošto je ugao između vektora manji ili jednak 180 stepeni, onda je njegov sinus pozitivan. Slično tvrdimo ako je kosinus negativan.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To je to)))) sretno u shvaćanju)))

Dmitry Levishchev

Činjenica da je nemoguće direktno sinusirati nije istina.
Pored formule:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Postoji i ovaj:
||=|a|*|b|*sin A
To jest, umjesto skalarnog proizvoda, možete uzeti modul vektorskog proizvoda.

Tačkasti proizvod vektora

Nastavljamo da se bavimo vektorima. Na prvoj lekciji Vektori za lutke razmatrali smo koncept vektora, radnje s vektorima, vektorske koordinate i najjednostavnije probleme s vektorima. Ako ste prvi put došli na ovu stranicu iz tražilice, toplo preporučujem da pročitate gornji uvodni članak, jer da biste asimilirali materijal, morate se voditi terminima i notama koje koristim, imati osnovno znanje o vektorima i biti u stanju da reši elementarne probleme. Ova lekcija je logičan nastavak teme iu njoj ću detaljno analizirati tipične zadatke koji koriste skalarni proizvod vektora. Ovo je VEOMA VAŽAN posao.. Pokušajte da ne preskačete primjere, oni dolaze s korisnim bonusom - vježba će vam pomoći da konsolidirate obrađeni materijal i "dođete do ruke" u rješavanju uobičajenih problema analitičke geometrije.

Dodavanje vektora, množenje vektora brojem... Bilo bi naivno misliti da matematičari nisu smislili nešto drugo. Pored već razmatranih radnji, postoji niz drugih operacija s vektorima, i to: tačkasti proizvod vektora, unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora poznat nam je iz škole, druga dva proizvoda tradicionalno su vezana za kurs više matematike. Teme su jednostavne, algoritam za rješavanje mnogih problema je stereotipan i razumljiv. Jedina stvar. Postoji pristojna količina informacija, pa je nepoželjno pokušavati savladati i riješiti SVE I ODJEDNOM. Ovo posebno važi za lutke, vjerujte mi, autor apsolutno ne želi da se osjeća kao Čikatilo iz matematike. Pa ne iz matematike, naravno, ni iz matematike =) Spremniji učenici mogu koristiti materijale selektivno, u određenom smislu, da „steknu“ nedostajuće znanje, za tebe ću biti bezopasni grof Drakula =)

Na kraju, otvorimo malo vrata i pogledajmo šta se dešava kada se dva vektora sretnu...

Definicija skalarnog proizvoda vektora.
Svojstva skalarnog proizvoda. Tipični zadaci

Koncept tačkastog proizvoda

Prvo o ugao između vektora. Mislim da svi intuitivno razumiju koliki je ugao između vektora, ali za svaki slučaj, malo više. Razmotrite slobodne vektore koji nisu nula i . Ako ove vektore odložimo iz proizvoljne tačke, onda ćemo dobiti sliku koju su mnogi već mentalno predstavili:

Priznajem, ovdje sam opisao situaciju samo na nivou razumijevanja. Ako vam je potrebna stroga definicija ugla između vektora, pogledajte udžbenik, ali za praktične zadatke nam, u principu, nije potrebna. Takođe OVDE I DALJE, ponekad ću zanemariti nulte vektore zbog njihovog malog praktičnog značaja. Rezervisao sam posebno za napredne posetioce sajta, koji mi mogu zameriti teoretsku nepotpunost nekih od sledećih izjava.

može uzeti vrijednosti od 0 do 180 stepeni (od 0 do radijana) uključujući. Analitički, ova činjenica je zapisana kao dvostruka nejednakost: ili (u radijanima).

U literaturi se ikona ugla često izostavlja i jednostavno se piše.

definicija: Skalarni proizvod dva vektora je BROJ jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih:

To je prilično stroga definicija.

Fokusiramo se na bitne informacije:

Oznaka: skalarni proizvod je označen sa ili jednostavno .

Rezultat operacije je BROJ: Pomnožite vektor sa vektorom da dobijete broj. Zaista, ako su dužine vektora brojevi, kosinus ugla je broj, tada je njihov proizvod takođe će biti broj.

Samo par primjera za zagrijavanje:

Primjer 1

Rješenje: Koristimo formulu . U ovom slučaju:

odgovor:

Vrijednosti kosinusa se mogu naći u trigonometrijska tabela. Preporučujem da ga odštampate - biće potreban u skoro svim delovima tornja i biće potreban mnogo puta.

Čisto sa matematičke tačke gledišta, skalarni proizvod je bezdimenzionalan, odnosno rezultat je u ovom slučaju samo broj i to je to. Sa stanovišta problema fizike, skalarni proizvod uvijek ima određeno fizičko značenje, odnosno nakon rezultata mora biti naznačena jedna ili druga fizička jedinica. Kanonski primjer izračunavanja rada sile može se naći u bilo kojem udžbeniku (formula je upravo tačkasti proizvod). Rad sile se mjeri u džulima, stoga će odgovor biti napisan sasvim konkretno, na primjer,.

Primjer 2

Pronađite ako , a ugao između vektora je .

Ovo je primjer za samoodlučivanje, odgovor je na kraju lekcije.

Ugao između vektora i vrijednosti dot proizvoda

U primjeru 1, skalarni proizvod je bio pozitivan, au primjeru 2 negativan. Hajde da saznamo o čemu zavisi predznak skalarnog proizvoda. Pogledajmo našu formulu: . Dužine vektora koji nisu nula su uvijek pozitivne: , tako da predznak može ovisiti samo o vrijednosti kosinusa.

Bilješka: Za bolje razumijevanje informacija u nastavku, bolje je proučiti kosinusni graf u priručniku Grafovi i svojstva funkcija. Pogledajte kako se kosinus ponaša na segmentu.

Kao što je već napomenuto, ugao između vektora može varirati unutar , a mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako ugao između vektora ljuto: (od 0 do 90 stepeni), zatim , i tačkasti proizvod će biti pozitivan co-directed, tada se ugao između njih smatra nula, a skalarni proizvod će također biti pozitivan. Budući da je , tada je formula pojednostavljena: .

2) Ako ugao između vektora glupo: (od 90 do 180 stepeni), zatim , i shodno tome, tačkasti proizvod je negativan: . Poseban slučaj: ako su vektori usmerena suprotno, tada se razmatra ugao između njih raspoređeno: (180 stepeni). Skalarni proizvod je također negativan, jer

Tačne su i suprotne tvrdnje:

1) Ako je , tada je ugao između ovih vektora oštar. Alternativno, vektori su kosmjerni.

2) Ako je , tada je ugao između ovih vektora tup. Alternativno, vektori su usmjereni suprotno.

Ali treći slučaj je od posebnog interesa:

3) Ako ugao između vektora ravno: (90 stepeni) zatim i dot proizvod je nula: . Obratno je također istinito: ako , onda . Kompaktna izjava je formulirana na sljedeći način: Skalarni proizvod dva vektora je nula ako i samo ako su dati vektori ortogonalni. Kratka matematička notacija:

! Bilješka : ponoviti osnove matematičke logike: ikona dvostrane logičke posljedice obično se čita "ako i samo tada", "ako i samo ako". Kao što vidite, strelice su usmjerene u oba smjera - "iz ovoga slijedi ovo, i obrnuto - iz ovoga slijedi ovo." U čemu je, inače, razlika od ikone za jednosmjerno praćenje? Ikona tvrdi samo to da "iz ovoga sledi ovo", a ne činjenica da je obrnuto. Na primjer: , ali nije svaka životinja panter, tako da se ikona ne može koristiti u ovom slučaju. Istovremeno, umjesto ikone mogu koristite jednostranu ikonu. Na primjer, rješavajući problem, saznali smo da smo zaključili da su vektori ortogonalni: - takav zapis će biti tačan, pa čak i prikladniji od .

Treći slučaj je od velike praktične važnosti., jer vam omogućava da provjerite da li su vektori ortogonalni ili ne. Ovaj problem ćemo riješiti u drugom dijelu lekcije.

Svojstva točkastih proizvoda

Vratimo se na situaciju kada su dva vektora co-directed. U ovom slučaju, kut između njih je nula, , i formula skalarnog proizvoda ima oblik: .

Šta se dešava ako se vektor pomnoži sam sa sobom? Jasno je da je vektor ko-usmjeren sam sa sobom, pa koristimo gornju pojednostavljenu formulu:

Broj je pozvan skalarni kvadrat vektor , i označeni su kao .

Na ovaj način, skalarni kvadrat vektora jednak je kvadratu dužine datog vektora:

Iz ove jednakosti možete dobiti formulu za izračunavanje dužine vektora:

Iako se čini nejasnim, ali zadaci lekcije će sve staviti na svoje mjesto. Za rješavanje problema i nama je potrebno svojstva tačkastog proizvoda.

Za proizvoljne vektore i bilo koji broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) - pomični ili komutativno skalarni zakon proizvoda.

2) - distribucija ili distributivni skalarni zakon proizvoda. Jednostavno rečeno, možete otvoriti zagrade.

3) - kombinacija ili asocijativni skalarni zakon proizvoda. Konstanta se može izvaditi iz skalarnog proizvoda.

Često, svakakva svojstva (koje takođe treba dokazati!) studenti doživljavaju kao nepotrebno smeće, koje treba samo zapamtiti i sigurno zaboraviti odmah nakon ispita. Čini se da ono što je ovdje bitno, svi već od prvog razreda znaju da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora:. Moram vas upozoriti da je u višoj matematici sa takvim pristupom lako zabrljati stvari. Tako, na primjer, komutativno svojstvo ne vrijedi za algebarske matrice. To nije istina za unakrsni proizvod vektora. Stoga je barem bolje da se udubite u sva svojstva koja ćete sresti u toku više matematike kako biste razumjeli šta se može, a šta ne može učiniti.

Primjer 3

.

Rješenje: Prvo, razjasnimo situaciju s vektorom. o čemu se radi? Zbir vektora i je dobro definiran vektor, koji je označen sa . Geometrijska interpretacija radnji s vektorima može se naći u članku Vektori za lutke. Isti peršun s vektorom je zbir vektora i .

Dakle, prema uslovu, potrebno je pronaći skalarni proizvod. U teoriji, morate primijeniti radnu formulu , ali problem je što ne znamo dužine vektora i ugao između njih. Ali u uslovu su dati slični parametri za vektore, pa ćemo ići drugim putem:

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Otvaramo zagrade po pravilu množenja polinoma, vulgarna zverkalica se može naći u članku Kompleksni brojevi ili Integracija frakciono-racionalne funkcije. Neću se ponavljati =) Inače, distributivno svojstvo skalarnog proizvoda nam omogućava da otvorimo zagrade. Imamo pravo.

(3) U prvom i posljednjem pojmu kompaktno zapisujemo skalarne kvadrate vektora: . U drugom terminu koristimo komutabilnost skalarnog proizvoda: .

(4) Evo sličnih pojmova: .

(5) U prvom terminu koristimo formulu skalarnog kvadrata, koja je nedavno spomenuta. U zadnjem mandatu, odnosno, radi ista stvar: . Drugi pojam se proširuje prema standardnoj formuli .

(6) Zamijenite ove uslove , i PAŽLJIVO izvršite završne proračune.

odgovor:

Negativna vrijednost dot proizvoda navodi činjenicu da je ugao između vektora tup.

Zadatak je tipičan, evo primjera za samostalno rješenje:

Primjer 4

Nađite skalarni proizvod vektora i , ako je poznato da .

Sada još jedan uobičajen zadatak, samo za novu formulu dužine vektora. Oznake će se ovdje malo preklapati, pa ću je radi jasnoće prepisati drugim slovom:

Primjer 5

Pronađite dužinu vektora if .

Rješenje bit će kako slijedi:

(1) Dajemo vektorski izraz .

(2) Koristimo formulu dužine: , dok kao vektor "ve" imamo cjelobrojni izraz.

(3) Za kvadrat zbira koristimo školsku formulu. Obratite pažnju na to kako to čudno funkcionira ovdje: - u stvari, ovo je kvadrat razlike, i, zapravo, tako je. Oni koji žele mogu da preurede vektore na mesta: - ispalo je isto do prestrojavanja pojmova.

(4) Ono što slijedi već je poznato iz dva prethodna problema.

odgovor:

Pošto je riječ o dužini, ne zaboravite navesti dimenziju - "jedinice".

Primjer 6

Pronađite dužinu vektora if .

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Nastavljamo da cijedimo korisne stvari iz skalarnog proizvoda. Pogledajmo ponovo našu formulu . Po pravilu proporcije vraćamo dužine vektora na nazivnik lijeve strane:

Zamenimo delove:

Šta je značenje ove formule? Ako su poznate dužine dva vektora i njihov skalarni proizvod, onda se može izračunati kosinus ugla između ovih vektora, a samim tim i sam ugao.

Da li je skalarni proizvod broj? Broj. Da li su vektorske dužine brojevi? Brojevi. Dakle, razlomak je takođe broj. A ako je poznat kosinus ugla: , tada je pomoću inverzne funkcije lako pronaći sam ugao: .

Primjer 7

Pronađite ugao između vektora i , Ako je poznato da je .

Rješenje: Koristimo formulu:

U završnoj fazi proračuna korištena je tehnika - eliminacija iracionalnosti u nazivniku. Da bih eliminisao iracionalnost, pomnožio sam brojilac i imenilac sa .

Sta ako , zatim:

Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija mogu se pronaći pomoću trigonometrijska tabela. Iako se to retko dešava. U zadacima analitičke geometrije mnogo se češće pojavljuje neki nespretni medvjedić, a vrijednost ugla se mora približno pronaći pomoću kalkulatora. U stvari, ovu sliku ćemo viđati iznova i iznova.

odgovor:

Opet, ne zaboravite navesti dimenziju - radijane i stupnjeve. Osobno, da bih namjerno „uklonio sva pitanja“, radije naznačim oba (osim ako se, naravno, po uslovu ne traži odgovor samo u radijanima ili samo u stepenima).

Sada ćete moći sami da se nosite sa težim zadatkom:

Primjer 7*

Date su dužine vektora i ugao između njih. Pronađite ugao između vektora , .

Zadatak nije toliko težak koliko višesmjeran.
Analizirajmo algoritam rješenja:

1) Prema uvjetu, potrebno je pronaći ugao između vektora i , tako da morate koristiti formulu .

2) Nalazimo skalarni proizvod (vidi primjere br. 3, 4).

3) Odrediti dužinu vektora i dužinu vektora (vidi primjere br. 5, 6).

4) Završetak rješenja poklapa se sa primjerom br. 7 - znamo broj , što znači da je lako pronaći sam ugao:

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Drugi dio lekcije posvećen je istom tačkastom proizvodu. Koordinate. Biće još lakše nego u prvom delu.

Tačkasti proizvod vektora,
dat koordinatama u ortonormalnoj bazi

odgovor:

Nepotrebno je reći da je rad s koordinatama mnogo ugodniji.

Primjer 14

Pronađite skalarni proizvod vektora i if

Ovo je "uradi sam" primjer. Ovdje možete koristiti asocijativnost operacije, odnosno ne brojite, već odmah izvadite trojku iz skalarnog proizvoda i pomnožite s njom zadnji. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Na kraju pasusa, provokativan primjer izračunavanja dužine vektora:

Primjer 15

Pronađite dužine vektora , ako

Rješenje: opet se metoda iz prethodnog odjeljka nameće sama po sebi: ali postoji još jedan način:

Nađimo vektor:

I njegova dužina prema trivijalnoj formuli:

Skalarni proizvod ovdje uopće nije relevantan!

Koliko je van posla kada se računa dužina vektora:
Stani. Zašto ne iskoristiti prednosti očigledne dužine vektora? Šta se može reći o dužini vektora? Ovaj vektor je 5 puta duži od vektora. Smjer je suprotan, ali to nije bitno, jer govorimo o dužini. Očigledno, dužina vektora je jednaka proizvodu modul brojeva po dužini vektora:
- znak modula "jede" mogući minus broja.

Na ovaj način:

odgovor:

Formula za kosinus ugla između vektora koji su dati koordinatama

Sada imamo kompletnu informaciju tako da je prethodno izvedena formula za kosinus ugla između vektora izraziti u terminima vektorskih koordinata:

Kosinus ugla između ravnih vektora i , dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:
.

Kosinus ugla između vektora prostora, dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:

Primjer 16

Zadata su tri vrha trougla. Pronađite (ugao vrha).

Rješenje: Pod uslovom, crtež nije potreban, ali ipak:

Potreban ugao je označen zelenim lukom. Odmah se prisjećamo školske oznake ugla: - posebna pažnja na srednji slovo - ovo je vrh ugla koji nam je potreban. Radi kratkoće, moglo bi se napisati i jednostavno.

Iz crteža je sasvim očito da se kut trokuta poklapa sa uglom između vektora i , drugim riječima: .

Poželjno je naučiti kako se mentalno izvodi analiza.

Nađimo vektore:

Izračunajmo skalarni proizvod:

I dužine vektora:

Kosinus ugla:

Upravo ovaj redoslijed zadatka preporučujem lutkama. Napredniji čitaoci mogu da napišu izračune "u jednom redu":

Evo primjera "loše" kosinusne vrijednosti. Dobijena vrijednost nije konačna, tako da nema puno smisla da se riješimo iracionalnosti u nazivniku.

Nađimo ugao:

Ako pogledate crtež, rezultat je prilično uvjerljiv. Za provjeru kuta se može mjeriti i kutomjerom. Nemojte oštetiti premaz monitora =)

odgovor:

U odgovoru to ne zaboravite pitao o uglu trougla(a ne o kutu između vektora), ne zaboravite navesti tačan odgovor: i približnu vrijednost ugla: pronađeno pomoću kalkulatora.

Oni koji su uživali u procesu mogu izračunati uglove i uvjeriti se da je kanonska jednakost istinita

Primjer 17

Trokut je u prostoru dat koordinatama njegovih vrhova. Pronađite ugao između stranica i

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Mali završni dio bit će posvećen projekcijama, u koje je "uključen" i skalarni proizvod:

Projekcija vektora na vektor. Vektorska projekcija na koordinatne ose.
Kosinus smjera vektora

Razmotrimo vektore i :

Projektiramo vektor na vektor , za to izostavljamo početak i kraj vektora okomite po vektoru (zelene isprekidane linije). Zamislite da zraci svjetlosti padaju okomito na vektor. Tada će segment (crvena linija) biti "sjena" vektora. U ovom slučaju, projekcija vektora na vektor je DUŽINA segmenta. To jest, PROJEKCIJA JE BROJ.

Ovaj BROJ je označen na sljedeći način: , "veliki vektor" označava vektor WHCH THE projekta, "mali indeksni vektor" označava vektor NA koji je projektovan.

Sam unos glasi ovako: „projekcija vektora „a” na vektor „be””.

Šta se dešava ako je vektor "be" "prekratak"? Crtamo pravu liniju koja sadrži vektor "be". I vektor "a" će već biti projektovan u smjeru vektora "biti", jednostavno - na pravoj liniji koja sadrži vektor "be". Ista stvar će se dogoditi ako se vektor "a" ostavi po strani u tridesetom kraljevstvu - i dalje će se lako projektovati na liniju koja sadrži vektor "be".

Ako je ugao između vektora ljuto(kao na slici), onda

Ako vektori ortogonalno, zatim (projekcija je tačka čije se dimenzije pretpostavljaju nulte).

Ako je ugao između vektora glupo(na slici mentalno preuredite strelicu vektora), zatim (iste dužine, ali uzeto sa znakom minus).

Odvojite ove vektore iz jedne tačke:

Očigledno, kada se pomjera vektor, njegova projekcija se ne mijenja

Prilikom proučavanja geometrije postavljaju se mnoga pitanja na temu vektora. Učenik ima posebne poteškoće kada je potrebno pronaći uglove između vektora.

Osnovni pojmovi

Prije razmatranja uglova između vektora, potrebno je upoznati se sa definicijom vektora i pojmom ugla između vektora.

Vektor je segment koji ima pravac, odnosno segment za koji su definisani njegov početak i kraj.

Ugao između dva vektora na ravni koji imaju zajedničko ishodište je manji od uglova za koji se traži da se jedan od vektora pomeri oko zajedničke tačke, do položaja gde im se pravci poklapaju.

Formula rješenja

Kada shvatite šta je vektor i kako se određuje njegov ugao, možete izračunati ugao između vektora. Formula rješenja za to je prilično jednostavna, a rezultat njene primjene bit će vrijednost kosinusa kuta. Po definiciji, jednak je količniku skalarnog proizvoda vektora i proizvoda njihovih dužina.

Skalarni proizvod vektora se smatra zbirom odgovarajućih koordinata vektora množenja međusobno pomnoženih. Dužina vektora, ili njegov modul, izračunava se kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.

Nakon što ste primili vrijednost kosinusa kuta, možete izračunati vrijednost samog ugla pomoću kalkulatora ili pomoću trigonometrijske tablice.

Primjer

Nakon što shvatite kako izračunati ugao između vektora, rješenje odgovarajućeg problema postaje jednostavno i jednostavno. Kao primjer, razmotrite jednostavan problem pronalaženja veličine ugla.

Prije svega, bit će zgodnije izračunati vrijednosti dužina vektora i njihovog skalarnog proizvoda potrebnih za rješavanje. Koristeći gornji opis, dobijamo:

Zamjenom dobijenih vrijednosti u formulu, izračunavamo vrijednost kosinusa željenog ugla:

Ovaj broj nije jedna od pet uobičajenih kosinusnih vrijednosti, pa da biste dobili vrijednost ugla, morat ćete koristiti kalkulator ili Bradisovu trigonometrijsku tablicu. Ali prije nego što dobijete ugao između vektora, formula se može pojednostaviti da se riješi dodatnog negativnog predznaka:

Konačni odgovor možete ostaviti u ovom obliku kako biste zadržali tačnost, ili možete izračunati vrijednost ugla u stepenima. Prema Bradisovoj tabeli, njegova vrijednost će biti približno 116 stepeni i 70 minuta, a kalkulator će pokazati vrijednost od 116,57 stepeni.

Proračun ugla u n-dimenzionalnom prostoru

Kada se razmatraju dva vektora u trodimenzionalnom prostoru, mnogo je teže razumjeti o kojem kutu je riječ ako ne leže u istoj ravni. Da biste pojednostavili percepciju, možete nacrtati dva segmenta koji se ukrštaju koji čine najmanji ugao između njih, a on će biti željeni. Unatoč prisutnosti treće koordinate u vektoru, proces izračunavanja uglova između vektora neće se promijeniti. Izračunajte skalarni proizvod i module vektora, arkosinus njihovog kvocijenta i to će biti odgovor na ovaj problem.

U geometriji se često javljaju problemi sa prostorima koji imaju više od tri dimenzije. Ali za njih algoritam za pronalaženje odgovora izgleda slično.

Razlika između 0 i 180 stepeni

Jedna od uobičajenih grešaka pri pisanju odgovora na problem dizajniran za izračunavanje ugla između vektora je odluka da se zapiše da su vektori paralelni, odnosno da je željeni ugao bio 0 ili 180 stepeni. Ovaj odgovor je netačan.

Nakon što smo dobili vrijednost ugla od 0 stepeni kao rezultat rješenja, tačan odgovor bi bio označiti vektori kao kosmjerne, odnosno vektori će imati isti smjer. U slučaju dobijanja 180 stepeni, vektori će biti u prirodi suprotnih smerova.

Specifični vektori

Pronalaženjem uglova između vektora može se pronaći jedan od specijalnih tipova, pored kousmjerenih i suprotno usmjerenih gore opisanih.

• Nekoliko vektora paralelnih jednoj ravni naziva se komplanarnim.
• Vektori koji su iste dužine i smjera nazivaju se jednaki.
• Vektori koji leže na istoj pravoj liniji, bez obzira na smjer, nazivaju se kolinearni.
• Ako je dužina vektora nula, odnosno njegov početak i kraj se poklapaju, onda se naziva nula, a ako je jedan, onda se naziva jedan.