Šta je hipotenuza. Kako pronaći hipotenuzu, znajući krak i ugao

Kao što znate, geometrija je teška nauka koja zahtijeva posebnu tačnost i tačnost u rješavanju problema. Mnogi izrazi i formule koje ćemo kasnije koristiti u složenijim proračunima navedeni su u udžbenicima matematike za 6-7 razred. Kako bismo proces učenja trigonometrijskih funkcija učinili lakšim i ugodnijim, u ovom članku ćemo pogledati nekoliko kratkih načina izračunavanja hipotenuze. pravougaonog trougla.

Kako pronaći hipotenuzu na nogama?

Prisjetimo se malo teorije: pravougli trokut se zove ravna figura, koji ima tri ugla. Jedna od njih ima vrijednost 90º, a stranice se nazivaju kracima i hipotenuzom. Strana koja je suprotna pravi ugao, i postoji hipotenuza, a druge dvije su susjedne noge. Glavna igra partija se manifestuje u Pitagorinoj teoremi, prema kojoj je hipotenuza jednaka zbiru kvadrata kateta. Međutim, ovo samo izgleda zbunjujuće, jer je u stvari sve mnogo jednostavnije.

Svojstva geometrijske figure

Prije nego što pronađete hipotenuzu trokuta, morate shvatiti koje karakteristike ima ova figura. Razmotrimo glavne:

U pravokutnom trokutu, oba oštra ugla su zbir 90º.
Noga koja leži nasuprot ugla od 30º bit će jednaka ½ hipotenuze.
Ako je krak jednak ½ vrijednosti hipotenuze, onda će drugi ugao imati istu vrijednost - 30º.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje hipotenuze u pravokutnom trokutu. po najviše jednostavno rješenje je proračun kroz noge. Recimo da znate vrijednosti kateta stranica A i B. Tada u pomoć dolazi Pitagorina teorema koja nam govori da ako kvadriramo svaku vrijednost kraka i zbrojimo dobivene podatke, saznat ćemo kolika je hipotenuza je. Dakle, samo trebamo izdvojiti vrijednost kvadratnog korijena:

Na primjer, ako je krak A = 3 cm i krak B = 4 cm, onda bi izračun bio sljedeći pogled:

Kako pronaći hipotenuzu kroz ugao?

Drugi način da se sazna koliko je hipotenuza u pravokutnom trokutu jednaka je izračunavanje kroz dati ugao. Da bismo to učinili, trebamo izvesti vrijednost kroz formulu sinusa. Pretpostavimo da znamo vrijednost kraka (A) i vrijednost suprotnog ugla (α). Tada je cijelo rješenje u jednoj formuli: S=A/sin(α).

Na primjer, ako je dužina kateta 40 cm, a kut 45°, tada se dužina hipotenuze može izvesti na sljedeći način:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Također možete odrediti željenu vrijednost kroz kosinus dati ugao. Pretpostavimo da znamo vrijednost jedne noge (B) i oštrog uključenog ugla (α). Tada je potrebna jedna formula za rješavanje problema: S=V/ cos(α).

Na primjer, ako je dužina noge 50 cm, a kut je 45°, tada se hipotenuza može izračunati na sljedeći način:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Stoga smo ispitali glavne načine za pronalaženje hipotenuze u trokutu. U toku rješavanja zadatka važno je fokusirati se na dostupne podatke, tada će pronalaženje nepoznate vrijednosti biti prilično jednostavno. Potrebno je znati samo nekoliko formula i proces rješavanja problema će postati jednostavan i ugodan.

Postoje tri opcije za rješavanje ovog problema. Prvi je ako je u uslovima zadatka dato da su noge jednake (zapravo imamo pravougaonik jednakokraki trougao). Drugi - ako je zadan neki drugi ugao (osim ugla od 45%, onda imamo isti jednakokraki trokut i vraćamo se na prvu opciju). I treće - kada se zna jedna od nogu. Razmotrimo ove opcije detaljnije.

Kako pronaći jednake noge, sa poznatom hipotenuzom

prvi krak (označimo ga slovom "a") jednak je drugom kraku ((označimo ga slovom "b"): a=b;

veličina nogu;

U ovoj verziji, rješenje problema se zasniva na korištenju Pitagorine teoreme. Primjenjuje se na pravokutne trokute i njegova osnovna verzija zvuči kao: „Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata nogu". Pošto su nam noge jednake, obje noge možemo označiti istim karakterom: a = b, što znači - a = a.

Zameni naše konvencije u teoremu (uzimajući u obzir gore navedeno):
c^2=a^2+a^2,
Zatim pojednostavljujemo formulu što je više moguće:
s^2=2*(a^2) - grupa,
c \u003d √ 2 * a - oba dijela jednadžbe dovodimo do kvadratnog korijena,
a=c/√2 - izvadite željeno.
Zamena datu vrijednost hipotenuzu i dobijamo rešenje:
a=x/√2

Kako pronaći noge, sa poznatom hipotenuzom i uglom

hipotenuza (označena slovom "c") je jednaka x cm: c=x;
ugao β jednak q: β=q;

veličina nogu;

Za rješavanje ovog problema potrebno je koristiti trigonometrijske funkcije. Najpopularnije dvije od njih su:

funkcija sinusa - sinus željenog kuta jednak je omjeru suprotne noge i hipotenuze;
kosinusna funkcija - kosinus željenog ugla jednak je omjeru susjedne noge i hipotenuze;

Možete koristiti bilo koje. Navest ću primjer koristeći prvi. Neka su noge označene simbolima "a" (pored ugla) i "b" (nasuprot uglu). Prema tome, naš ugao leži između kraka "a" i hipotenuze.

Odabrane simbole zamjenjujemo u formulu:
sinβ = b/c
Izvodimo katetu:
b=c*sinβ
Zamijenimo naše podatke i imamo jednu nogu.
b=c*sinq

Drugi krak možete pronaći pomoću druge trigonometrijske funkcije ili prijeđite na treću opciju.

Kako pronaći jedan krak ako su hipotenuza i drugi krak poznati

hipotenuza (označena slovom "c") je jednaka x cm: c=x;
krak (označimo ga slovom "b") jednak je y cm: b=y;

veličina druge noge (označimo je slovom "a");

U ovoj varijanti rješenje problema, kao i u prvoj, je korištenje Pitagorine teoreme.

Zamjena naših konvencija u teoremu:
c^2=a^2+b^2,
Vadimo potrebnu nogu:
a^2=c^2-b^2
Obje strane jednačine dovodimo do kvadratnog korijena:
a=√(c^2-b^2)
Zamijenimo ove vrijednosti i imamo rješenje:
a=√(x^2-y^2)

Geometrija nije jednostavna nauka. Ona zahteva posebnu pažnju i poznavanje tačnih formula. Ova vrsta matematike je došla kod nas Ancient Greece pa čak ni nakon nekoliko hiljada godina ne gubi na svojoj važnosti. Nemojte uzalud misliti da je ovo beskorisna tema koja puni glavu studentima i školarcima. Zapravo, geometrija je primjenjiva u mnogim područjima života. Bez njenog znanja iz geometrije, nije izgrađena ni jedna. arhitektonska struktura, automobili se ne stvaraju, svemirski brodovi i avione. Složene i ne baš razmjene puteva i staza - za sve su to potrebni geometrijski proračuni. Da, čak i ponekad ne možete napraviti popravke u svojoj sobi bez poznavanja elementarnih formula. Zato nemojte podcijeniti važnost ove teme. Proučavamo najčešće formule koje moramo koristiti u mnogim odlukama u školi. Jedan od njih je pronalaženje hipotenuze u pravokutnom trokutu. Da biste ovo razumjeli, pročitajte u nastavku.

Prije nego što počnemo, počnimo s osnovama i definirajmo što je hipotenuza u pravokutnom trokutu.

Hipotenuza je jedna od stranica pravouglog trougla koja je nasuprot ugla od 90 stepeni (pravog ugla) i uvek je najduža.

Postoji nekoliko načina da se pronađe dužina željene hipotenuze u datom pravokutnom trokutu.

U slučaju kada su nam katete već poznate, koristimo Pitagorinu teoremu, gdje dodajemo zbir kvadrata dva kraka, koji će biti jednak kvadratu hipotenuze.

a i b su katete, c je hipotenuza.

U našem slučaju, za pravokutni trokut, formula će biti sljedeća:

Ako zamenimo poznati brojevi noge a i b, neka je a=3 i b=4, zatim c=√32+42, onda dobijamo c=√25, c=5

Kada znamo dužinu samo jedne noge, tada se formula može transformisati da bi se pronašla dužina druge. izgleda ovako:

U slučaju kada, prema uslovima zadatka, znamo krak A i hipotenuzu C, tada možemo izračunati pravi ugao trougla, nazovimo ga α.

Da bismo to učinili, koristimo formulu:

Neka drugi ugao koji trebamo izračunati bude β. S obzirom da znamo zbir uglova trougla, koji iznosi 180°, onda je: β= 180°-90°-α

U slučaju kada znamo vrijednosti kateta, možemo koristiti formulu da pronađemo vrijednost oštrog ugla trokuta:

U zavisnosti od poznatih konvencionalnih vrednosti, stranice pravougaonika se mogu naći iz skupa različite formule. Evo nekih od njih:

Prilikom rješavanja problema s pronalaženjem nepoznanica u pravokutnom trokutu, vrlo je važno fokusirati se na vrijednosti koje već poznajete i na osnovu toga ih zamijeniti u željenu formulu. Bit će ih teško odmah zapamtiti, pa vam savjetujemo da napravite mali rukom pisani savjet i zalijepite ga u svoju bilježnicu.

Kao što vidite, ako se udubite u sve suptilnosti ove formule, lako ćete je shvatiti. Preporučujemo da pokušate riješiti nekoliko problema na osnovu ove formule. Nakon što vidite svoj rezultat, bit će vam jasno da li ste razumjeli ovu temu ili ne. Pokušajte ne zapamtiti, već udubite se u gradivo, bit će mnogo korisnije. Nazubljeni materijal se zaboravlja nakon prve kontrole, a ovu formulu ćete sretati prilično često, pa je prvo shvatite, a onda zapamtite. Ako ove preporuke nisu dale pozitivan učinak, onda ima smisla ekstra časovi ovu temu. I zapamtite: učenje je svjetlost, a ne učenje je tama!

U životu se često moramo suočiti matematički problemi: u školi, na fakultetu, a zatim pomoći svom djetetu oko zadaća. Ljudi određenih profesija svakodnevno će se susresti sa matematikom. Stoga je korisno zapamtiti ili prisjetiti se matematička pravila. U ovom članku ćemo analizirati jedan od njih: pronalaženje kraka pravokutnog trokuta.

Šta je pravougli trougao

Prvo, prisjetimo se šta je pravougli trougao. Pravougli trougao je geometrijska figura od tri segmenta koji spajaju tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji, a jedan od uglova ove figure je 90 stepeni. Stranice koje tvore pravi ugao nazivaju se katetama, a strana koja leži nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza.

Pronalaženje kraka pravouglog trougla

Postoji nekoliko načina da saznate dužinu noge. Želio bih ih detaljnije razmotriti.

Pitagorina teorema za pronalaženje kraka pravouglog trougla

Ako znamo hipotenuzu i katet, onda možemo pronaći dužinu nepoznatog kraka pomoću Pitagorine teoreme. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta." Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b su katete. Transformišemo formulu i dobijamo: a²=c²-b².

Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a katet 3 cm Transformišemo formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Zatim odlučujemo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometrijski odnosi za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Također je moguće pronaći nepoznatu nogu ako bilo koju drugu stranu i bilo koju oštri ugao pravougaonog trougla. Postoje četiri opcije za pronalaženje kraka pomoću trigonometrijskih funkcija: sinusom, kosinusom, tangentom, kotangensom. Za rješavanje problema pomoći će nam donja tabela. Hajde da razmotrimo ove opcije.

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći sinus

Sinus ugla (sin) je omjer suprotnog kraka i hipotenuze. Formula: sin \u003d a / c, gdje je a krak nasuprot datom kutu, a c hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a=sin*c.

Primjer. Hipotenuza je 10 cm, a ugao A je 30 stepeni. Prema tabeli, izračunavamo sinus ugla A, on je jednak 1/2. Zatim, koristeći transformiranu formulu, rješavamo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kosinus

Kosinus ugla (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos \u003d b / c, gdje je b krak koji je susjedan datom kutu, a c je hipotenuza. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: b=cos*c.

Primjer. Ugao A je 60 stepeni, hipotenuza je 10 cm. Prema tabeli izračunavamo kosinus ugla A, on je jednak 1/2. Zatim rješavamo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Pomoću tangente pronađite krak pravokutnog trokuta

Tangent ugla (tg) je omjer suprotnog kraka i susjednog. Formula: tg \u003d a / b, gdje je a noga nasuprot uglu, a b susjedna. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: a=tg*b.

Primjer. Ugao A je 45 stepeni, hipotenuza je 10 cm Prema tabeli računamo tangens ugla A, jednak je Reši: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kotangens

Kotangens ugla (ctg) je omjer susjednog kraka i suprotnog kraka. Formula: ctg \u003d b / a, gdje je b noga koja se nalazi uz ugao, a suprotna je. Drugim riječima, kotangens je "obrnuta tangenta". Dobijamo: b=ctg*a.

Primjer. Ugao A je 30 stepeni, suprotni krak 5 cm Prema tabeli tangenta ugla A je √3. Izračunajte: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Dakle, sada znate kako pronaći nogu u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.

Nogama se nazivaju dvije stranice pravokutnog trougla, koje tvore pravi ugao. Najduža stranica trokuta naspram pravog ugla naziva se hipotenuza. Da biste pronašli hipotenuzu, morate znati dužinu kateta.

Uputstvo

1. Dužine kateta i hipotenuze povezane su omjerom koji je opisan Pitagorinom teoremom. Algebarska formulacija: "U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta." Pitagorina formula izgleda ovako: c2 = a2 + b2, gdje je c dužina hipotenuze, a i b su dužine kateta.

2. Poznavajući dužine nogu, prema Pitagorinoj teoremi, moguće je pronaći hipotenuzu pravokutnog trokuta: c \u003d ? (a2 + b2).

3. Primjer. Dužina jednog kraka je 3 cm, dužine drugog 4 cm. Zbir njihovih kvadrata je 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? \u003d 25 cm?. Dužina hipotenuze u našem slučaju jednaka je kvadratnom korijenu od 25 cm? - 5 cm Dakle, dužina hipotenuze je 5 cm.

Hipotenuza je stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kuta od 90 stepeni. Da bi se izračunala njegova dužina, dovoljno je znati dužinu jedne od kateta i vrijednost jednog od oštrih uglova trokuta.

Uputstvo

1. Sa poznatom nogom i oštrim kutom pravokutnog trokuta, tada veličina hipotenuze može biti jednaka omjeru kateta i kosinusa / sinusa ovog kuta, ako je ovaj kut suprotan / susjedan njemu: h = C1 (ili C2) / sin ?; h = C1 (ili C2)/cos?. Primjer: Neka je pravokutni trougao ABC sa hipotenuzom AB i pravim uglom C. Neka je ugao B 60 stepeni, a ugao A 30 stepeni. Dužina kraka BC je 8 cm.Treba pronaći dužinu hipotenuze AB. Da biste to učinili, možete koristiti bilo koju od gore predloženih metoda: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenuza je najduža stranica pravougaonika trougao. Nalazi se nasuprot pravog ugla. Metoda za određivanje hipotenuze pravougaonika trougao ovisi o tome koje početne podatke posjedujete.

Uputstvo

1. Ako znamo noge pravougaonika trougao, zatim dužina hipotenuze pravougaonika trougao može se naći uz pomoć Pitagorine teoreme - kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta: c2 = a2 + b2, gdje su a i b dužine kateta od pravougaonika trougao .

2. Ako vodimo jedan od krakova i oštar ugao, tada će formula za pronalaženje hipotenuze zavisiti od toga koji je dati ugao u odnosu na vođenu nogu susjedan (nalazi se u blizini kraka) ili suprotan (nalazi se nasuprot njemu. U slučaju uključeni ugao, hipotenuza je jednaka omjeru kateta i kosinusa ovog ugla: c = a/cos?; E je suprotni ugao, hipotenuza je jednaka omjeru kateta i sinusa ugla : c = a/sin?

Povezani video zapisi

Hipotenuza je stranica pravokutnog trokuta koja leži nasuprot pravog ugla. To je najduža stranica pravouglog trougla. Može se izračunati pomoću Pitagorine teoreme ili uz podršku formula trigonometrijske funkcije.

Uputstvo

1. Nogama se nazivaju stranice pravokutnog trougla koje su susjedne pravom kutu. Na slici su noge označene kao AB i BC. Neka su date dužine oba kraka. Označimo ih sa |AB| i |BC|. Da bismo pronašli dužinu hipotenuze |AC|, koristimo Pitagorinu teoremu. Prema ovoj teoremi, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze, tj. u notaciji našeg crteža |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Iz formule dobijamo da se dužina hipotenuze AC nalazi kao |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Pogledajmo primjer. Neka su dužine kateta |AB| = 13, |BC| = 21. Prema Pitagorinoj teoremi, dobijamo da je |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Da biste dobili dužinu hipotenuze, morate izvući Kvadratni korijen iz zbira kvadrata kateta, tj. od broja 610: |AC| = ?610. Koristeći tablicu kvadrata cijelih brojeva, saznajemo da broj 610 nije savršen kvadrat nijednog cijelog broja. Da bismo dobili konačnu vrijednost dužine hipotenuze, pokušajmo prenijeti pun kvadrat ispod znaka korena. Da bismo to učinili, razlažemo broj 610 na faktore. 610 = 2 * 5 * 61. Prema tabeli primitivnih brojeva, vidimo da je 61 primitivan broj. Shodno tome, naknadno smanjenje broja 610 je nerealno. Dobijamo konačni rezultat|AC| = ?610 Ako je kvadrat hipotenuze, na primjer, 675, onda je ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. U slučaju da je slična varijanta važeća, izvršite obrnutu provjeru - kvadrirajte ukupnu vrijednost i uporedite s početnom vrijednošću.

3. Javite nam jednu nogu i ugao uz nju. Za određenost, neka je krak |AB| i ugao? Tada možemo koristiti formulu za trigonometrijska funkcija kosinus - kosinus ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze. One. u našoj notaciji cos ? = |AB| / |AC|. Odavde dobijamo dužinu hipotenuze |AC| = |AB| / cos ?. Ako znamo nogu |BC| i ugao?, tada koristimo formulu za izračunavanje sinusa ugla - sinus ugla je jednak omjeru suprotnog kraka prema hipotenuzi: sin? = |BC| / |AC|. Dobijamo da se dužina hipotenuze nalazi kao |AC| = |BC| /cos?.

4. Radi jasnoće, pogledajmo primjer. Neka je dužina kraka |AB| = 15. A ugao? = 60°. Dobijamo |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Hajde da vidimo kako možete provjeriti svoj rezultat koristeći Pitagorinu teoremu. Da bismo to uradili, moramo izračunati dužinu drugog kraka |BC|. Koristeći formulu za tangentu ugla tg ? = |BC| / |AC|, dobijamo |BC| = |AB| * tg ? \u003d 15 * tg 60 ° \u003d 15 *? 3. Zatim primjenjujemo Pitagorinu teoremu, dobijamo 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Provjera je obavljena.

Korisni savjeti
Nakon izračunavanja hipotenuze, provjerite da li rezultirajuća vrijednost zadovoljava Pitagorinu teoremu.