Numeričko rješenje običnih diferencijalnih jednadžbi Ojlerovom metodom. Numeričko rješenje običnih diferencijalnih jednadžbi

Obične diferencijalne jednadžbe nazivaju se takve jednadžbe koje sadrže jedan ili više izvoda željene funkcije y=y (x). Mogu se pisati u obliku

Gdje je x nezavisna varijabla.

Najviši red n izvoda u jednačini naziva se red diferencijalne jednačine.

Metode za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi mogu se podijeliti u sljedeće grupe: grafičke, analitičke, približne i numeričke.

Grafičke metode koriste geometrijske konstrukcije.

Analitičke metode se nalaze u toku diferencijalnih jednačina. Za jednačine prvog reda (sa odvojivim varijablama, homogene, linearne itd.), kao i za neke vrste jednačina višeg reda (npr. linearne sa konstantnim koeficijentima), moguće je dobiti rješenja u obliku formula analitičkim transformacijama.

Približne metode koriste različita pojednostavljenja samih jednadžbi razumnim odbacivanjem nekih od pojmova sadržanih u njima, kao i posebnim izborom klasa željenih funkcija.

Numeričke metode za rješavanje diferencijalnih jednačina su trenutno glavno sredstvo u proučavanju naučnih i tehničkih problema opisanih diferencijalnim jednačinama. Istovremeno, treba naglasiti da su ove metode posebno efikasne u kombinaciji sa upotrebom savremenih računara.

Najjednostavnija numerička metoda za rješavanje Cauchyjevog problema za ODE je Eulerova metoda. Razmotrimo jednačinu u blizini čvorova (i=1,2,3,…) i zamijenimo izvod na lijevoj strani desnom razlikom. U ovom slučaju, vrijednosti funkcije u čvorovima bit će zamijenjene vrijednostima funkcije mreže:

Dobijena aproksimacija DE je prvog reda, jer je dozvoljena greška pri zamjeni sa .

Imajte na umu da to slijedi iz jednačine

Dakle, radi se o približnom pronalaženju vrijednosti funkcije u tački korištenjem proširenja u Taylorov red uz odbacivanje članova drugog i višeg reda. Drugim riječima, pretpostavlja se da je prirast funkcije jednak njenom diferencijalu.

Uz pretpostavku i=0, koristeći relaciju nalazimo vrijednost mrežne funkcije na:

Ovdje potrebna vrijednost je data početnim uvjetom, tj.

Slično, mogu se pronaći vrijednosti funkcije mreže na drugim čvorovima:

Konstruisani algoritam se zove Eulerova metoda

Slika - 19 Ojlerova metoda

Geometrijska interpretacija Ojlerove metode data je na slici. Prikazana su prva dva koraka, tj. ilustrovan je proračun funkcije mreže u tačkama. Integralne krive 0,1,2 opisuju tačna rješenja jednačine. U ovom slučaju, kriva 0 odgovara tačnom rješenju Cauchyjevog problema, budući da prolazi kroz početnu tačku A (x 0, y 0). Tačke B,C su dobijene kao rezultat numeričkog rješenja Cauchyjevog problema Ojlerovom metodom. Njihova odstupanja od krive 0 karakterišu grešku metode. Prilikom izvođenja svakog koraka zapravo dolazimo do druge integralne krive. Segment AB je odsječak tangente na krivu 0 u tački A, čiji je nagib karakteriziran vrijednošću derivacije. Greška se javlja jer je povećanje vrijednosti funkcije tokom prijelaza sa x 0 na x 1 zamijenjeno povećanjem ordinate tangente na krivu 0 u tački A. Tangenta BC je već povučena na drugu integralnu krivu 1 Dakle, greška Eulerove metode dovodi do činjenice da na svakom koraku približno rješenje prelazi na drugu integralnu krivu.

Numeričko rješenje diferencijalnih jednadžbi

Mnogi problemi nauke i tehnologije svode se na rješavanje običnih diferencijalnih jednačina (ODE). ODE su takve jednadžbe koje sadrže jedan ili više izvoda željene funkcije. Općenito, ODE se može napisati na sljedeći način:

Gdje je x nezavisna varijabla, je i-ti izvod željene funkcije. n je red jednačine. Opće rješenje ODE n-og reda sadrži n proizvoljnih konstanti, tj. opšte rešenje ima oblik .

Za odabir jedinstvenog rješenja potrebno je postaviti n dodatnih uslova. Ovisno o tome kako su specificirani dodatni uvjeti, postoje dvije različite vrste problema: Cauchyjev problem i problem graničnih vrijednosti. Ako su dodatni uslovi specificirani u jednom trenutku, onda se takav problem naziva Cauchyjev problem. Dodatni uslovi u Cauchyjevom problemu nazivaju se početni uslovi. Ako su dodatni uslovi navedeni u više od jedne tačke, tj. za različite vrijednosti nezavisne varijable, tada se takav problem naziva granični problem. Sami dodatni uslovi se nazivaju granični ili granični uslovi.

Jasno je da se za n=1 može govoriti samo o Cauchyjevom problemu.

Primjeri postavljanja Cauchyjevog problema:

Primjeri graničnih problema:

Takve probleme je moguće analitički rješavati samo za neke posebne tipove jednadžbi.

Numeričke metode za rješavanje Cauchyjevog problema za ODE prvog reda

Formulacija problema. Pronađite rješenje za ODE prvog reda

Na segmentu pod uslovom

Prilikom pronalaženja približnog rješenja, pretpostavit ćemo da se proračuni izvode s korakom proračuna, a čvorovi proračuna su intervalne točke [ x 0 , x n ].

Cilj je napraviti sto

x i				x n
y i				y n

one. približne vrijednosti y se traže na čvorovima mreže.

Integracijom jednačine na intervalu dobijamo

Sasvim prirodan (ali ne i jedini) način da se dobije numeričko rješenje je da se integral u njemu zamijeni nekom kvadraturnom numeričkom integracijskom formulom. Ako koristimo najjednostavniju formulu lijevog pravokutnika prvog reda

,

onda dobijamo Eulerova eksplicitna formula:

Procedura poravnanja:

Znajući, nalazimo, pa tako dalje.

Geometrijska interpretacija Ojlerove metode:

Iskorištavanje onoga što je u pitanju x 0 poznato rešenje y(x 0)=y 0 i vrijednost njegovog izvoda, možete napisati jednadžbu tangente na graf željene funkcije u tački :. Sa dovoljno malim korakom h ordinata ove tangente, dobijena zamjenom u desnu stranu vrijednosti , trebala bi se malo razlikovati od ordinate y(x 1) rješenja y(x) Cauchyjevog problema. Dakle, tačka preseka tangente sa pravom x = x 1 se otprilike može uzeti kao nova polazna tačka. Kroz ovu tačku ponovo povlačimo pravu liniju, koja približno odražava ponašanje tangente na u tački. Zamjena ovdje (tj. sjecište s pravom x = x 2), dobijamo približnu vrijednost y(x) u tački x 2: itd. Kao rezultat toga, za i tačku, dobijamo Ojlerovu formulu.

Eksplicitna Eulerova metoda ima tačnost ili aproksimaciju prvog reda.

Ako koristimo formulu pravih pravokutnika: , onda dolazimo do metode

Ova metoda se zove implicitna Ojlerova metoda, budući da je za izračunavanje nepoznate vrijednosti iz poznate vrijednosti potrebno riješiti jednačinu, u opštem slučaju, nelinearnu.

Implicitna Eulerova metoda ima tačnost ili aproksimaciju prvog reda.

U ovoj metodi proračun se sastoji od dvije faze:

Ova šema se naziva i prediktorsko-korektorska (prediktivno-korektivna) metoda. U prvoj fazi se približna vrijednost predviđa sa malom tačnošću (h), au drugoj fazi se ovo predviđanje koriguje tako da rezultirajuća vrijednost ima drugi red tačnosti.

Runge-Kutta metode: ideja o konstruisanju eksplicitnih Runge-Kutta metoda str-ti red je da se dobiju aproksimacije vrijednosti y(x i+1) prema formuli obrasca

…………………………………………….

Evo a n ,b nj , str n, su neki fiksni brojevi (parametri).

Prilikom konstruisanja Runge–Kutta metoda, parametri funkcije ( a n ,b nj , str n) biraju se na način da se dobije željeni red aproksimacije.

Runge-Kutta šema četvrtog reda tačnosti:

Primjer. Riješite Cauchyjev problem:

Razmotrimo tri metode: eksplicitnu Eulerovu metodu, modificiranu Eulerovu metodu, Runge-Kutta metodu.

Tačno rješenje:

Formule proračuna za eksplicitnu Eulerovu metodu za ovaj primjer:

Proračunske formule modificirane Eulerove metode:

Formule za proračun Runge-Kutta metode:

y1 je Eulerova metoda, y2 je modificirana Eulerova metoda, y3 je Runge Kutta metoda.

Može se vidjeti da je Runge-Kutta metoda najpreciznija.

Numeričke metode za rješavanje sistema ODE prvog reda

Razmatrane metode mogu se koristiti i za rješavanje sistema diferencijalnih jednačina prvog reda.

Pokažimo ovo za slučaj sistema dvije jednačine prvog reda:

Eksplicitna Eulerova metoda:

Modificirana Eulerova metoda:

Runge-Kutta šema četvrtog reda tačnosti:

Cauchy problemi za jednačine višeg reda se također svode na rješavanje sistema ODE jednačina. Na primjer, razmotrite Cauchyjev problem za jednačinu drugog reda

Hajde da predstavimo drugu nepoznatu funkciju. Tada se problem Cauchyja zamjenjuje sljedećim:

One. u smislu prethodnog problema: .

Primjer. Pronađite rješenje za Cauchyjev problem:

Na rezu.

Tačno rješenje:

stvarno:

Rešimo problem eksplicitnom Ojlerovom metodom, modifikovanom metodom Euler i Runge-Kutta sa korakom h=0,2.

Hajde da predstavimo funkciju.

Tada dobijamo sljedeći Cauchyjev problem za sistem od dva ODE-a prvog reda:

Eksplicitna Eulerova metoda:

Modificirana Eulerova metoda:

Runge-Kutta metoda:

Ojlerova šema:

Modificirana Eulerova metoda:

Runge - Kutta shema:

Max(y-y teorija)=4*10 -5

Metoda konačnih razlika za rješavanje problema graničnih vrijednosti za ODE

Formulacija problema: pronaći rješenje linearne diferencijalne jednadžbe

zadovoljavanje graničnih uslova:. (2)

Teorema. Neka . Tada postoji jedinstveno rješenje problema.

Na primjer, problem određivanja progiba grede, koja je na krajevima zglobna, svodi se na ovaj problem.

Glavne faze metode konačnih razlika:

1) područje kontinuirane promjene argumenta () zamjenjuje se diskretnim skupom tačaka koji se nazivaju čvorovi: .

2) Željena funkcija kontinuiranog argumenta x se približno zamjenjuje funkcijom diskretnog argumenta na datoj mreži, tj. . Funkcija se zove grid.

3) Originalna diferencijalna jednadžba je zamijenjena jednadžbom razlike u odnosu na mrežnu funkciju. Takva zamjena naziva se aproksimacija razlike.

Dakle, rješenje diferencijalne jednadžbe se svodi na pronalaženje vrijednosti mrežne funkcije u čvorovima mreže, koje se nalaze iz rješenja algebarskih jednadžbi.

Aproksimacija derivata.

Da biste aproksimirali (zamijenili) prvi izvod, možete koristiti formule:

- izvod prave razlike,

- izvod lijeve razlike,

Izvod centralne razlike.

tj. moguće je mnogo načina aproksimacije derivacije.

Sve ove definicije proizlaze iz koncepta derivacije kao granice: .

Na osnovu aproksimacije razlike prvog izvoda, možemo konstruisati aproksimaciju razlike drugog izvoda:

Slično, derivati ​​višeg reda se mogu aproksimirati.

Definicija. Greška aproksimacije n-tog izvoda je razlika: .

Za određivanje redoslijeda aproksimacije koristi se proširenje Taylorovog niza.

Razmotrimo pravu razliku aproksimacije prvog izvoda:

One. prava razlika izvod ima prvi od h aproksimacijski red.

Isto vrijedi i za lijevu razliku izvoda.

Izvod centralne razlike ima aproksimacija drugog reda.

Aproksimacija drugog izvoda formulom (3) takođe ima drugi red aproksimacije.

Da bi se aproksimirala diferencijalna jednačina, potrebno je sve izvode u njoj zamijeniti njihovim aproksimacijama. Razmotrimo problem (1), (2) i zamijenimo izvode u (1):

Kao rezultat, dobijamo:

(4)

Red aproksimacije originalnog problema je 2, jer drugi i prvi derivati ​​su zamijenjeni redom 2, a ostali su tačno.

Dakle, umjesto diferencijalnih jednadžbi (1), (2), dobija se sistem linearnih jednačina za određivanje u čvorovima mreže.

Šema se može predstaviti kao:

tj. dobili smo sistem linearnih jednadžbi sa matricom:

Ova matrica je trodijagonalna, tj. svi elementi koji se ne nalaze na glavnoj dijagonali i dvije dijagonale uz nju jednaki su nuli.

Rješavanjem rezultirajućeg sistema jednačina dobijamo rješenje izvornog problema.

Uvod

Prilikom rješavanja naučnih i inženjerskih problema često je potrebno matematički opisati bilo koji dinamički sistem. To je najbolje uraditi u obliku diferencijalnih jednadžbi ( DU) ili sistema diferencijalnih jednačina. Najčešće se takav problem javlja prilikom rješavanja problema vezanih za modeliranje kinetike kemijskih reakcija i raznih fenomena prijenosa (toplota, masa, impuls) - prijenos topline, miješanje, sušenje, adsorpcija, kada se opisuje kretanje makro- i mikročestica.

U nekim slučajevima, diferencijalna jednadžba se može pretvoriti u oblik u kojem je najveća derivacija eksplicitno izražena. Ovaj oblik pisanja naziva se jednačina riješena u odnosu na najvišu derivaciju (u ovom slučaju najveća derivacija je odsutna na desnoj strani jednačine):

Rješenje obične diferencijalne jednadžbe je funkcija y(x) koja, za bilo koji x, zadovoljava ovu jednadžbu u određenom konačnom ili beskonačnom intervalu. Proces rješavanja diferencijalne jednadžbe naziva se integracija diferencijalne jednadžbe.

Istorijski gledano, prvi i najjednostavniji način numeričkog rješavanja Cauchyjevog problema za ODE prvog reda je Eulerova metoda. Zasnovan je na aproksimaciji derivacije omjerom konačnih prirasta zavisnih (y) i nezavisnih (x) varijabli između čvorova uniformne mreže:

gdje je y i+1 tražena vrijednost funkcije u tački x i+1 .

Preciznost Eulerove metode može se poboljšati ako koristimo precizniju integracijsku formulu za aproksimaciju integrala: trapezoidna formula.

Ispostavilo se da je ova formula implicitna u odnosu na y i+1 (ova vrijednost je i na lijevoj i na desnoj strani izraza), odnosno radi se o jednadžbi za y i+1, koja se može riješiti npr. , numerički, pomoću neke iterativne metode (u takvom obliku može se smatrati iterativnom formulom jednostavne iteracijske metode).

Sastav nastavnog rada: Nastavni rad se sastoji iz tri dijela. U prvom dijelu, kratak opis metoda. U drugom dijelu, formulacija i rješenje problema. U trećem dijelu - implementacija softvera na računarskom jeziku

Svrha predmeta: proučavanje dvije metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi - Euler-Cauchy metoda i poboljšane Eulerove metode.

1. Teorijski dio

Numerička diferencijacija

Diferencijalna jednadžba je ona koja sadrži jedan ili više izvoda. U zavisnosti od broja nezavisnih varijabli, diferencijalne jednadžbe se dijele u dvije kategorije.

Obične diferencijalne jednadžbe (ODE)

Parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Obične diferencijalne jednadžbe nazivaju se takve jednadžbe koje sadrže jedan ili više izvoda željene funkcije. Mogu se pisati u obliku

nezavisna varijabla

Najviši red uključen u jednačinu (1) naziva se red diferencijalne jednačine.

Najjednostavniji (linearni) ODE je jednadžba (1) reda riješena s obzirom na izvod

Rješenje diferencijalne jednadžbe (1) je svaka funkcija koja je, nakon što je zamijeni u jednadžbu, pretvara u identitet.

Glavni problem vezan za linearni ODE poznat je kao Kashi problem:

Pronađite rješenje jednadžbe (2) u obliku funkcije koja zadovoljava početni uvjet (3)

Geometrijski, to znači da je potrebno pronaći integralnu krivu koja prolazi kroz tačku ) kada je zadovoljena jednakost (2).

Numerički sa stanovišta Kashi problema znači: potrebno je izgraditi tablicu vrijednosti funkcije koja zadovoljava jednadžbu (2) i početni uvjet (3) na segmentu sa određenim korakom. Obično se pretpostavlja da je, odnosno da je početni uslov dat na lijevom kraju segmenta.

Najjednostavnija od numeričkih metoda za rješavanje diferencijalne jednadžbe je Eulerova metoda. Zasniva se na ideji grafičkog konstruiranja rješenja diferencijalne jednadžbe, ali ova metoda također pruža način da se željena funkcija pronađe u numeričkom obliku ili u tablici.

Neka je jednačina (2) data sa početnim uslovom, odnosno postavljen je Kašijev problem. Prvo riješimo sljedeći problem. Pronađite na najjednostavniji način približnu vrijednost rješenja u nekoj tački gdje je dovoljno mali korak. Jednadžba (2) zajedno sa početnim uvjetom (3) definira smjer tangente željene integralne krive u tački sa koordinatama

Tangentna jednačina ima oblik

Krećući se duž ove tangente, dobijamo približnu vrijednost rješenja u tački:

Imajući približno rješenje u tački, možemo ponoviti postupak opisan ranije: konstruirati pravu liniju koja prolazi kroz ovu tačku s nagibom i koristiti je da pronađemo približnu vrijednost rješenja u tački

. Imajte na umu da ova ravna linija nije tangenta na stvarnu integralnu krivulju, jer nam tačka nije dostupna, međutim, ako je dovoljno mala, onda će rezultirajuće približne biti bliske točnim vrijednostima rješenja.

Nastavljajući ovu ideju, konstruišemo sistem jednako raspoređenih tačaka

Dobivanje tablice vrijednosti željene funkcije

prema Ojlerovoj metodi sastoji se u cikličnoj primjeni formule

Slika 1. Grafička interpretacija Ojlerove metode

Metode za numeričku integraciju diferencijalnih jednadžbi, u kojima se rješenja dobivaju od jednog čvora do drugog, nazivaju se postupno. Ojlerova metoda je najjednostavniji predstavnik metoda korak po korak. Karakteristika svake metode korak po korak je da je, počevši od drugog koraka, početna vrijednost u formuli (5) sama po sebi približna, odnosno da se greška u svakom sljedećem koraku sistematski povećava. Najčešće korištena metoda za procjenu tačnosti metoda korak po korak za približno numeričko rješenje ODE-a je metoda dvostrukog prolaska datog segmenta sa korakom i sa korakom

1.1 Poboljšana Eulerova metoda

Glavna ideja ove metode: sljedeća vrijednost izračunata po formuli (5) bit će tačnija ako se vrijednost derivacije, odnosno nagib prave linije koja zamjenjuje integralnu krivulju na segmentu, ne izračuna duž lijeve ivice (to jest, u tački ), ali duž centra segmenta . Ali pošto se vrednost derivacije između tačaka ne izračunava, onda pređimo na duple preseke centra, u kojima se nalazi tačka, dok jednačina prave linije ima oblik:

I formula (5) poprima oblik

Formula (7) se primjenjuje samo za, dakle, vrijednost se iz nje ne može dobiti, stoga se pronalaze Ojlerovom metodom, dok za dobijanje preciznijeg rezultata rade ovo: od početka, koristeći formulu (5 ), pronađite vrijednost

(8)

U tački i tada se nalazi po formuli (7) sa korakom

(9)

Nakon daljnjih proračuna su pronađeni za proizveden po formuli (7)

Glavna pitanja o kojima se raspravljalo na predavanju:

1. Izjava o problemu

2. Ojlerova metoda

3. Runge-Kutta metode

4. Metode u više koraka

5. Rješenje graničnog problema za linearnu diferencijalnu jednadžbu 2. reda

6. Numeričko rješenje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

1. Izjava o problemu

Najjednostavnija obična diferencijalna jednadžba (ODE) je jednačina prvog reda riješena s obzirom na derivaciju: y " = f (x, y) (1). Glavni problem povezan s ovom jednačinom poznat je kao Cauchyjev problem: pronaći rješenje jednadžbe (1) u obliku funkcije y (x) koja zadovoljava početni uvjet: y (x0) = y0 (2).
n-ti red DE y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)), za koji je Cauchyjev problem pronaći rješenje y = y(x) koje zadovoljava početne uslove :
y (x0) = y0 , y" (x0) = y"0 , :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0 , gdje je y0 , y"0 , :, y(n- 1)0 - dati brojevi, mogu se svesti na DE sistem prvog reda.

· Eulerova metoda

Ojlerova metoda se zasniva na ideji grafičkog konstruisanja rješenja diferencijalne jednadžbe, ali ista metoda istovremeno daje numerički oblik željene funkcije. Neka je data jednadžba (1) sa početnim uslovom (2).
Dobijanje tablice vrijednosti željene funkcije y (x) Ojlerovom metodom sastoji se u cikličnoj primjeni formule: , i = 0, 1, :, n. Za geometrijsku konstrukciju Ojlerove izlomljene linije (vidi sliku), biramo pol A(-1,0) i iscrtavamo segment PL=f(x0, y0) na y-osi (tačka P je ishodište koordinate). Očigledno je da će nagib zraka AL biti jednak f(x0, y0), pa je za dobijanje prve karike poligonalne Ojlerove prave dovoljno povući pravu MM1 iz tačke M paralelno sa zrakom AL sve dok seče se sa pravom x = x1 u nekoj tački M1(x1, y1). Uzimajući tačku M1(x1, y1) kao početnu, odvajamo odsječak PN = f (x1, y1) na osi Oy i kroz tačku M1 M1M2 povučemo pravu liniju | | AN do preseka u tački M2(x2, y2) sa pravom x = x2, itd.

Nedostaci metode: niska tačnost, sistematsko gomilanje grešaka.

· Runge-Kutta metode

Glavna ideja metode: umjesto korištenja parcijalnih izvoda funkcije f (x, y) u radnim formulama, koristite samo ovu funkciju, ali izračunajte njene vrijednosti u nekoliko tačaka u svakom koraku. Da bismo to učinili, potražit ćemo rješenje jednačine (1) u obliku:


Promjenom α, β, r, q dobićemo različite verzije Runge-Kutta metoda.
Za q=1 dobijamo Eulerovu formulu.
Za q=2 i r1=r2=½ dobijamo da je α, β= 1 i stoga imamo formulu: , koja se naziva poboljšana Euler-Cauchy metoda.
Sa q=2 i r1=0, r2=1, dobijamo da je α, β = ½ i, prema tome, imamo formulu: - druga poboljšana Euler-Cauchy metoda.
Za q=3 i q=4 postoje i čitave porodice Runge-Kutta formula. U praksi se najčešće koriste, jer. ne povećavaju greške.
Razmotrimo šemu za rješavanje diferencijalne jednadžbe Runge-Kutta metodom 4 reda tačnosti. Izračuni pomoću ove metode provode se prema formulama:

Zgodno ih je unijeti u sljedeću tabelu:

x	y	y" = f(x,y)	k=h f(x,y)	Δy
x0	y0	f(x0,y0)	k1(0)	k1(0)
x0 + ½ h	y0 + ½ k1(0)	f(x0 + ½ h, y0 + ½ k1(0))	k2(0)	2k2(0)
x0 + ½ h	y0 + ½ k2(0)	f(x0 + ½ h, y0 + ½ k2(0))	k3(0)	2k3(0)
x0 + h	y0 + k3(0)	f(x0 + h, y0 + k3(0))	k4(0)	k4(0)
				Δy0 = Σ / 6
x1	y1 = y0 + Δy0	f(x1,y1)	k1(1)	k1(1)
x1 + ½ h	y1 + ½ k1(1)	f(x1 + ½ h, y1 + ½ k1(1))	k2(1)	2k2(1)
x1 + ½ h	y1 + ½ k2(1)	f(x1 + ½ h, y1 + ½ k2(1))	k3(1)	2k3(1)
x1 + h	y1 + k3(1)	f(x1 + h, y1 + k3(1))	k4(1)	k4(1)
				Δy1 = Σ / 6
x2	y2 = y1 + Δy1	itd.	dok sve ne bude potrebno	y vrijednosti

· Metode u više koraka

Gore razmatrane metode su takozvane metode postupne integracije diferencijalne jednadžbe. Karakterizira ih činjenica da se vrijednost rješenja u sljedećem koraku traži korištenjem rješenja dobivenog samo u jednom prethodnom koraku. To su takozvane metode u jednom koraku.
Glavna ideja metoda u više koraka je korištenje nekoliko prethodnih vrijednosti odluke prilikom izračunavanja vrijednosti rješenja u sljedećem koraku. Također, ove metode se nazivaju m-korak po broju m koji se koristi za izračunavanje prethodnih vrijednosti rješenja.
U opštem slučaju, da bi se odredilo približno rešenje yi+1, m-korak šeme razlike pišu se na sledeći način (m 1):
Razmotrite specifične formule koje implementiraju najjednostavnije eksplicitne i implicitne Adamsove metode.

Explicit Adams 2nd Order (2-Step Explicit Adams)

Imamo a0 = 0, m = 2.
Dakle, - proračunske formule eksplicitne Adamsove metode 2. reda.
Za i = 1, imamo nepoznatu y1, koju ćemo pronaći koristeći Runge-Kutta metodu za q = 2 ili q = 4.
Za i = 2, 3, : sve tražene vrijednosti su poznate.

Implicitna Adamsova metoda 1. reda

Imamo: a0 0, m = 1.
Dakle, - proračunske formule implicitne Adamsove metode 1. reda.
Glavni problem sa implicitnim shemama je sljedeći: yi+1 je uključen i u desnu i u lijevu stranu prikazane jednakosti, tako da imamo jednačinu za pronalaženje vrijednosti yi+1. Ova jednadžba je nelinearna i napisana je u obliku pogodnom za iterativno rješenje, tako da ćemo koristiti jednostavnu metodu iteracije da je riješimo:
Ako je korak h dobro odabran, tada se iterativni proces brzo konvergira.
Ova metoda također nije samopokrećuća. Dakle, da biste izračunali y1, morate znati y1(0). Može se pronaći pomoću Eulerove metode.

Za rješavanje diferencijalnih jednadžbi potrebno je znati vrijednost zavisne varijable i njene derivate za neke vrijednosti nezavisne varijable. Ako su za jednu vrijednost nepoznate specificirani dodatni uvjeti, tj. nezavisna varijabla, onda se takav problem naziva Cauchyev problem. Ako su početni uvjeti dati na dvije ili više vrijednosti nezavisne varijable, tada se problem naziva granični problem. Prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi različitih tipova, funkcija čije vrijednosti želite odrediti izračunava se u obliku tablice.

Klasifikacija numeričkih metoda za rješavanje difr. Lv. vrste.

Cauchyjev problem je jednostepeni: Eulerove metode, Runge-Kutta metode; – višestepena: glavna metoda, Adamsova metoda. Problem graničnih vrijednosti je metoda redukcije problema graničnih vrijednosti na Cauchyjev problem; – metoda konačnih razlika.

Prilikom rješavanja Cauchyjevog problema, difr. ur. red n ili sistem difr. ur. prvog reda iz n jednačina i n dodatnih uslova za njeno rješenje. Dodatni uvjeti moraju biti specificirani za istu vrijednost nezavisne varijable. Prilikom rješavanja graničnog problema, ek. n-ti red ili sistem od n jednačina i n dodatnih uslova za dvije ili više vrijednosti nezavisne varijable. Prilikom rješavanja Cauchyjevog problema, željena funkcija se određuje diskretno u obliku tabele sa nekim zadatim korakom . Prilikom određivanja svake sljedeće vrijednosti možete koristiti informacije o jednoj prethodnoj točki. U ovom slučaju, metode se nazivaju jednostepene metode, ili možete koristiti informacije o nekoliko prethodnih tačaka - metode u više koraka.

Obični diferencijal ur. Cauchy problem. Metode u jednom koraku. Eulerova metoda.

Dato je: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . Poznato: f(x,y), x 0 , y 0 . Odrediti diskretno rješenje: x i , y i , i=0,1,…,n. Ojlerova metoda se zasniva na proširenju funkcije u Taylorov red oko tačke x 0 . Susjedstvo je opisano korakom h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Ojlerova metoda uzima u obzir samo dva člana Taylorovog reda. Hajde da uvedemo notaciju. Ojlerova formula će imati oblik: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 = x i +h

Formula (2) je formula jednostavne Eulerove metode.

Geometrijska interpretacija Ojlerove formule

Da bi se dobilo numeričko rješenje, f-la tangente koja prolazi kroz jednačinu tangenta: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1 ,

y 1 \u003d y (x 0) + f (x 0, y 0)  (x-x 0), jer

x-x 0 \u003d h, zatim y 1 = y 0 + hf (x 0, y 0), f (x 0, y 0) = tg £.

Modificirana Eulerova metoda

Dato je: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Poznato: f(x,y), x 0 , y 0 . Odrediti: zavisnost y od x u obliku tabelarne diskretne funkcije: x i , y i , i=0,1,…,n.

Geometrijska interpretacija

1) izračunati tangentu ugla nagiba u početnoj tački

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Izračunajte vrijednost  y n+1 on

na kraju koraka prema Eulerovoj formuli

 y n+1 \u003d y n + f (x n, y n) 3) Izračunajte tangentu nagiba

tangenta u n+1 tački: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Izračunajte aritmetičku sredinu uglova

nagib: tg £=½. 5) Koristeći tangentu ugla nagiba, ponovo izračunavamo vrijednost funkcije u n+1 tački: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h je formula modificirane Eulerove metode . Može se pokazati da rezultujuća f-la odgovara proširenju f-ii u Taylorov red, uključujući članove (do h 2). Modifikovana Eilnr metoda, za razliku od jednostavne, je metoda drugog reda tačnosti, jer greška je proporcionalna h 2 .