Ono što se zove osa konusa. Geometrijska tijela

Koje izlaze iz jedne tačke (vrh konusa) i koje prolaze kroz ravnu površinu.

Dešava se da je konus dio tijela koji ima ograničenu zapreminu i dobija se kombinovanjem svakog segmenta koji povezuje vrh i tačke ravne površine. Ovo poslednje, u ovom slučaju, jeste osnovu konusa, a za konus se kaže da počiva na ovoj osnovi.

Kada je osnova konusa poligon, to već jeste piramida .

Kružni konus- ovo je tijelo koje se sastoji od kruga (osnova konusa), tačke koja ne leži u ravni ove kružnice (vrh konusa i svi segmenti koji spajaju vrh konusa sa tačkama baza). Segmenti koji spajaju vrh konusa i tačke osnovne kružnice nazivaju se formiranje konusa. Površina konusa se sastoji od baze i bočne površine.

Bočna površina je ispravna n-ugljična piramida upisana u konus:

S n =½P n l n,

Gdje P n- obim osnove piramide, i l n- apotema.

Po istom principu: za bočnu površinu krnjeg stošca s osnovnim polumjerima R 1, R 2 i formiranje l dobijamo sledeću formulu:

S=(R 1 +R 2)l.

Pravi i kosi kružni konusi jednake osnove i visine. Ova tijela imaju isti volumen:

Svojstva konusa.

• Kada površina baze ima granicu, to znači da i volumen konusa ima granicu i jednak je trećem dijelu proizvoda visine i površine baze.

Gdje S- bazna površina, H- visina.

Dakle, svaki konus koji leži na ovoj osnovi i ima vrh koji se nalazi na ravni paralelnoj bazi ima jednak volumen, jer su im visine iste.

• Težište svakog konusa sa zapreminom koja ima granicu nalazi se na četvrtini visine od baze.
• Čvrsti ugao na vrhu pravog kružnog konusa može se izraziti sljedećom formulom:

Gdje α - ugao otvaranja konusa.

• Bočna površina takvog konusa, formula:

i ukupna površina (tj. zbir površina bočne površine i baze), formula:

S=πR(l+R),

Gdje R- poluprečnik osnove, l— dužina generatrikse.

• Zapremina kružnog konusa, formula:

• Za skraćeni konus (ne samo ravan ili kružni), zapreminu, formulu:

Gdje S 1 I S 2- površina gornje i donje baze,

h I H- udaljenosti od ravni gornje i donje baze do vrha.

• Presjek ravni s pravim kružnim konusom je jedan od konusnih presjeka.

Skraćeni konus se dobija ako se od konusa odsječe manji konus sa ravninom koja je paralelna osnovici (slika 8.10). Skraćeni konus ima dvije osnove: "donju" - osnovu prvobitnog konusa - i "gornju" - osnovu odsječenog konusa Prema teoremi o presjeku konusa, osnovice krnjeg konusa su slične .

Visina krnjeg konusa je okomica povučena iz tačke jedne baze na ravan druge. Sve te okomite su jednake (vidi odjeljak 3.5). Visina se naziva i njihova dužina, odnosno rastojanje između ravnina baza.

Skraćeni konus obrtanja dobija se iz konusa obrtanja (slika 8.11). Stoga su njegove osnove i svi njegovi dijelovi paralelni s njima kružnice sa centrima na istoj pravoj liniji - na osi. Skraćeni stožac se dobija rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove stranice okomito na osnovice, ili rotacijom

jednakokraki trapez oko ose simetrije (slika 8.12).

Bočna površina krnjeg stošca okretanja

Ovo je njegov dio bočne površine stošca okretanja iz kojeg je izveden. Površina krnjeg stošca okretanja (ili njegova puna površina) sastoji se od njegove baze i bočne površine.

8.5. Slike stožca revolucije i skraćenih stožaca revolucije.

Ovako se crta pravi kružni konus. Prvo nacrtajte elipsu koja predstavlja kružnicu baze (slika 8.13). Zatim pronađu centar baze - tačku O i nacrtaju vertikalni segment PO, koji prikazuje visinu konusa. Iz tačke P nacrtajte tangente (referentne) na elipsu (praktično se to radi okom, primjenom ravnala) i odaberite segmente RA i PB ovih pravih od tačke P do tačaka dodira A i B. Imajte na umu da je segment AB nije prečnik osnovnog konusa, a trokut ARV nije aksijalni presjek konusa. Aksijalni presjek konusa je trougao APC: segment AC prolazi kroz tačku O. Nevidljive linije su povučene potezima; Segment OP se često ne crta, već se samo mentalno ocrtava kako bi se prikazao vrh konusa P direktno iznad centra baze - tačke O.

Kada se prikazuje krnji stožac okretanja, zgodno je prvo nacrtati konus iz kojeg se dobija krnji stožac (slika 8.14).

8.6. Konusni presjeci. Već smo rekli da ravan siječe bočnu površinu cilindra rotacije duž elipse (odjeljak 6.4). Takođe, presek bočne površine stošca rotacije ravninom koja ne seče njegovu osnovu je elipsa (slika 8.15). Stoga se elipsa naziva konusni presjek.

Konusni presjeci uključuju i druge dobro poznate krive - hiperbole i parabole. Razmotrimo neograničeni konus koji se dobija proširenjem bočne površine stošca obrtanja (slika 8.16). Presijecimo ga ravninom a koja ne prolazi kroz vrh. Ako a siječe sve generatore konusa, tada u presjeku, kao što je već rečeno, dobijamo elipsu (slika 8.15).

Rotacijom OS ravni, možete osigurati da ona siječe sve generatrije konusa K, osim jedne (s kojom je OS paralelan). Tada u poprečnom presjeku dobijamo parabolu (slika 8.17). Konačno, dalje rotirajući ravan OS, prebacićemo je u takav položaj da a, sijekući dio generatora stošca K, ne siječe beskonačan broj njegovih ostalih generatora i paralelan je sa dva od njih (slika 8.18 ). Tada u presjeku konusa K sa ravninom a dobijamo krivu koja se zove hiperbola (tačnije, jedna od njenih „grana“). Dakle, hiperbola, koja je graf funkcije, je poseban slučaj hiperbole - jednakostranična hiperbola, kao što je krug poseban slučaj elipse.

Bilo koja hiperbola se može dobiti iz jednakostraničnih hiperbole korištenjem projekcije, na isti način kao što se elipsa dobije paralelnom projekcijom kružnice.

Da bi se dobile obje grane hiperbole, potrebno je uzeti presjek stošca koji ima dvije "šupljine", to jest konus koji nije formiran od zraka, već od pravih linija koje sadrže generatrice bočnih površina stošca revolucija (slika 8.19).

Konične presjeke proučavali su starogrčki geometri, a njihova teorija je bila jedan od vrhunaca antičke geometrije. Najpotpunije proučavanje konusnih presjeka u antici izvršio je Apolonije iz Perge (III vek pne).

Postoji niz važnih svojstava koja kombinuju elipse, hiperbole i parabole u jednu klasu. Na primjer, one iscrpljuju "nedegenerirane", tj. krivulje koje nisu svedene na tačku, liniju ili par pravih, a koje su definirane na ravni u kartezijanskim koordinatama jednadžbama oblika

Konusni presjeci igraju važnu ulogu u prirodi: tijela se kreću u gravitacijskim poljima po eliptičnim, paraboličnim i hiperboličnim orbitama (sjetite se Keplerovih zakona). Izuzetna svojstva konusnih presjeka često se koriste u nauci i tehnologiji, na primjer, u proizvodnji određenih optičkih instrumenata ili reflektora (površina zrcala u reflektoru dobiva se rotacijom luka parabole oko ose parabole ). Konusni presjeci se mogu uočiti kao granice sjene okruglih abažura (sl. 8.20).

Konus (od grčkog "konos")- Šišarka. Konus je poznat ljudima od davnina. Godine 1906. otkrivena je knjiga “O metodi”, koju je napisao Arhimed (287-212. p. n. e.), koja daje rješenje za problem zapremine zajedničkog dijela cilindara koji se ukrštaju. Arhimed kaže da ovo otkriće pripada starogrčkom filozofu Demokritu (470-380 pne), koji je, koristeći ovaj princip, dobio formule za izračunavanje zapremine piramide i konusa.

Konus (kružni konus) je tijelo koje se sastoji od kružnice - osnove stošca, tačke koja ne pripada ravni ove kružnice - vrha stošca i svih segmenata koji povezuju vrh stošca i tačaka osnovni krug. Segmenti koji spajaju vrh konusa sa tačkama osnovne kružnice nazivaju se generatori konusa. Površina konusa se sastoji od baze i bočne površine.

Konus se naziva pravim ako je prava linija koja povezuje vrh konusa sa središtem baze okomita na ravan osnove. Pravi kružni konus se može smatrati tijelom dobivenim rotiranjem pravokutnog trokuta oko svoje noge kao ose.

Visina konusa je okomica koja se spušta od njegovog vrha do ravni baze. Za pravi konus, osnova visine poklapa se sa središtem baze. Osa pravog konusa je prava linija koja sadrži njegovu visinu.

Presjek stošca ravninom koja prolazi kroz tvornicu stošca i okomita na aksijalni presjek povučen kroz ovu generatricu naziva se tangentna ravan stošca.

Ravan okomita na os konusa siječe konus u kružnici, a bočna površina siječe kružnicu sa središtem na osi konusa.

Ravan okomita na osu konusa odsijeca manji konus od njega. Preostali dio naziva se skraćeni konus.

Zapremina konusa jednaka je jednoj trećini proizvoda visine i površine baze. Dakle, svi stošci koji počivaju na datoj osnovi i imaju vrh koji se nalazi na datoj ravni paralelnoj bazi imaju jednaku zapreminu, jer su im visine jednake.

Bočna površina stošca može se pronaći pomoću formule:

S strana = πRl,

Ukupna površina stošca nalazi se po formuli:

S con = πRl + πR 2,

gdje je R polumjer baze, l je dužina generatrise.

Zapremina kružnog konusa je jednaka

V = 1/3 πR 2 H,

gdje je R polumjer osnove, H je visina konusa

Bočna površina krnjeg konusa može se pronaći pomoću formule:

S strana = π(R + r)l,

Ukupna površina krnjeg konusa može se pronaći pomoću formule:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

gdje je R radijus donje baze, r je polumjer gornje baze, l je dužina generatrise.

Volumen skraćenog konusa može se naći na sljedeći način:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

gdje je R polumjer donje baze, r je polumjer gornje baze, H je visina konusa.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Definicija. Vrh konusa je tačka (K) iz koje potiču zraci.

Definicija. Baza konusa je ravan formirana presjekom ravne površine i svih zraka koje izlaze iz vrha konusa. Konus može imati baze kao što su krug, elipsa, hiperbola i parabola.

Definicija. Generatriksa konusa(L) je svaki segment koji povezuje vrh stošca sa granicom baze stošca. Generator je segment zraka koji izlazi iz vrha stošca.

Formula. Dužina generatora(L) pravog kružnog konusa kroz poluprečnik R i visinu H (preko Pitagorine teoreme):

Definicija. Vodič konus je kriva koja opisuje konturu osnove konusa.

Definicija. Bočna površina konus je ukupnost svih sastojaka konusa. Odnosno, površina koja nastaje kretanjem generatrikse duž konusne vodilice.

Definicija. Površina Konus se sastoji od bočne površine i osnove konusa.

Definicija. Visina konus (H) je segment koji se proteže od vrha konusa i okomit je na njegovu osnovu.

Definicija. Osa konus (a) je prava linija koja prolazi vrhom konusa i središtem osnove konusa.

Definicija. Konus (C) konus je odnos prečnika osnove konusa i njegove visine. U slučaju krnjeg konusa, ovo je omjer razlike u promjerima poprečnih presjeka D i d krnjeg konusa i udaljenosti između njih: gdje je R polumjer osnove, a H visina konus.

Uvod

Rice. 1. Predmeti iz života koji imaju oblik skraćenog ko-nu-sa

Šta mislite odakle dolaze nove figure u geometriji? Sve je vrlo jednostavno: osoba je u životu postala sa sličnim predmetima i dolazi, kao da ih zove. Pogledajmo ormar na kojem sjede lavovi u cirkusu, komad šargarepe koja se bere kad smo tek - dio toga, aktivni vulkan i, na primjer, svjetlo iz fo-na-ri- ka (vidi sliku 1).

Krnji konus, njegovi elementi i aksijalni presjek

Rice. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry

Vidimo da su sve ove figure sličnog oblika – i odozdo i odozgo su omeđene krugovima, ali se prema vrhu sužavaju (vidi sl. 2).

Rice. 3. Od gornjeg dijela co-nu-sa

Izgleda kao konus. Samo nedovoljno tajne. Mentalno zamišljamo da uzmemo konus i jednim zamahom oštrog mača skinemo gornji dio s njega (vidi sliku 3).

Rice. 4. Krnji konus

To je upravo naša figura, ona se zove skraćeni konus (vidi sliku 4).

Rice. 5. Se-che-nie, paralelno-os-no-va-niyu ko-nu-sa

Neka je dat konus. Napravimo ravan, paralelnu ravan ose ovog co-nu-sa i poprečni konus (vidi. Sl. 5).

To će podijeliti konus na dva tijela: jedno od njih je konus manje veličine, a drugo se zove skraćeni konus (vidi sliku 6).

Rice. 6. Dobijena tijela u paralelnom presjeku

Dakle, skraćeni konus je dio konusa, povezan između njegovog glavnog tijela i paralelnog glavnog tijela, ali ravan. Kao iu slučaju konusa, skraćeni konus može imati kružnicu kao osnovu - u ovom slučaju se zove krug. Ako je prvobitni konus bio ravan, tada se skraćeni konus naziva ravan. Kao iu slučaju ko-nu-sa-mi, pogledaćemo ključeve, ali ravne kružno skraćene ko-nu-s sy, ako nije posebno naznačeno da je riječ o indirektnom skraćenom co-nu-se ili u njegovoj osnovi nema krugova.

Rice. 7. Rotacija pravokutnog trapa

Naša globalna tema su tijela rotacije. Skraćeni konus nije izuzetak! Setimo se da da bismo dobili co-nu-sa, smo-mat-ri-va-li pravougaoni trougao i rotiramo ga oko ka-te-ta? Ako se rezultujući konus preseče ravninom koja je paralelna sa osi, tada od trougla -mo-uglja tra-pe-tion neće ostati ravna linija. Njegova rotacija oko manje strane će nam dati skraćeni konus. Napominjemo još jednom da, očigledno, govorimo samo o direktnom kružnom ko-nu-se (vidi sliku 7).

Rice. 8. Os-no-va-niya truncated-no-go ko-nu-sa

Napraviću nekoliko priprema. Osnova polu-ko-nu-sa i kruga, pola-cha-yu-shay u dijelu ko-nu-sa ravnog, na- oni nazivaju os-no-va-ni-ya-mi skraćenim ko-nu-sa (donji i gornji) (vidi sliku 8).

Rice. 9. Ob-ra-zu-yu-schi skraćeni ko-nu-sa

Od rezova ra-zu-yu-shih polovice co-nu-sa, povezanih između os-but-va-ni-mi skraćenog-ali-go ko-nu-sa, nazivaju o-ra- zu-yu-schi-mi truncated-no-go ko-nu-sa. Pošto su svi ishodi obrazovanja jednaki i svi ishodi obrazovanja iz istog su jednaki, onda su ob-ra-zu-yu skraćeni co-nu-sa jednaki (ne brkati skraćeno i okrnjeno!). Odavde slijedi jednakost tra-pecije ose presjeka (vidi sl. 9).

Od ose rotacije, zatvorene unutar skraćene co-nu-sa, nazivaju je osom skraćene ose ko-nu-sa. Ovaj ponovni rez, ra-zu-me-et-sya, ujedinjuje centre svojih osnova (vidi sliku 10).

Rice. 10. Osa skraćenog ko-nu-sa

You-so-ta skraćeni ko-nu-sa je per-pen-di-ku-lyar, pro-ve-den od tačke jedne od os-no-va-nija do druge baze. Najčešće, u kvalitetu vas, vi ste odrezali njegovu osu.

Rice. 11. Ose-voe se-che-nie truncated-no-go-ko-nu-sa

Aksijalni presjek skraćenog co-nu-sa je presjek koji prolazi kroz njegovu osu. Ima oblik trapeza, malo kasnije ćemo pokazati njegovu jednakost (vidi sliku 11).

Površine bočnih i ukupnih površina krnjeg konusa

Rice. 12. Konus sa uvedenim simbolima

Nađimo područje bo-co-voy na vrhu skraćenog ko-nu-sa. Neka osnovice skraćenog co-nu-sa imaju poluprečnike i , i neka je ob-ra-zu-yu jednaka (vidi sliku 12).

Rice. 13. Oznaka ob-ra-zu-yu-shchi od-se-chen-no-th ko-nu-sa

Nađimo površinu bo-ko-voy na vrhu skraćenog co-nu-sa kao razliku u površini bo-ko-voya na vrhu-ali-ste-khod-no-go ko-nu-sa i od-se-chen-no-go. Da bismo to učinili, označavamo kroz ob-ra-zu-yu od-se-chen-no-th ko-nu-sa (vidi sliku 13).

Onda je-ko-maj.

Rice. 14. Slični trouglovi

Sve što vam preostaje je da to shvatite.

Zapazimo da od po-do-biy tri-corn-ni-kov, od-do-da (vidi sliku 14).

To bi bilo moguće izraziti podjelom na razliku između polumjera, ali nam to ne treba, jer je u ovom slučaju upravo fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de- nie. Zamjena umjesto njega, konačno imamo: .

Sada nije teško dobiti oblik za punu površinu. Da biste to učinili, dodajte tačno površinu dva kruga baza: .

Zadatak

Rice. 15. Illu-strat-tion to za-da-che

Neka se krnji stožac okreće pravokutnom zamkom oko svoje visine. Srednja linija trapeza je jednaka , a veća strana je jednaka (vidi sliku 15). Pronađite područje bo-co-voy na vrhu-no-sti skraćenog ko-nu-sa.

Rješenje

Iz formule to znamo .

Formiranje ko-nu-sa će biti veliki sto-ro-on-going tra-pe-tion, odnosno Ra-di-u-sy ko-well-sa - to je osnova tra- pe-tion. Ne možemo ih naći. Ali ne treba nam: potreban nam je samo njihov zbir, a zbir osnova trapeza je dvostruko veći od njegove srednje linije, odnosno jednak je . Onda .

Sličnosti između skraćenih čunjeva i piramida

Obratite pažnju na to da kada govorimo o co-nu-se, govorimo o tome između njega i pi-ra-mi-doy - formule su bile analogne. I ovdje je isto, jer je krnji stožac vrlo sličan skraćenom pi-ra-mi-du, tako da su formule za područje velike i potpune gornje ne-stey skraćene ko-nu-sa i pi-ra-mi -dy (a uskoro će biti formule za volumen) analog-logic- us.

Zadatak

Rice. 1. Illu-strat-tion to za-da-che

Ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa su jednaki i , a ob-ra-zu-yu-shchaya je jednako . Pronađite skraćeni co-nu-sa i površinu njegove ose (vidi sliku 1).