Šta je normalan trenutak drugog reda. Početni i centralni momenti

3.4. Trenuci slučajne varijable.

Iznad smo se upoznali sa iscrpnim karakteristikama SW: funkcija distribucije i red distribucije - za diskretni SW, funkcija distribucije i gustina vjerovatnoće - za kontinuirani SW. Ove karakteristike, koje su parno ekvivalentne u sadržaju informacija, jesu funkcije i potpuno opisuju SW sa vjerovatnoće. Međutim, u mnogim praktičnim situacijama ili je nemoguće ili nije potrebno opisati slučajnu varijablu na iscrpan način. Često je dovoljno navesti jedno ili više njih numerički parametri, koji donekle opisuju glavne karakteristike distribucije, a ponekad i pronalaženje iscrpnih karakteristika, iako je poželjno, matematički je previše teško, a operirajući numeričkim parametrima, ograničavamo se na približan, ali jednostavniji opis. Navedeni numerički parametri se pozivaju numeričke karakteristike slučajne varijable i igraju važnu ulogu u primjeni teorije vjerovatnoće na različite oblasti nauke i tehnologije, olakšavajući rješavanje problema i omogućavajući da se rezultati rješenja prikažu u jednostavnom i vizualnom obliku.

Najčešće korištene numeričke karakteristike mogu se podijeliti u dvije vrste: momente i karakteristike položaja. Postoji nekoliko vrsta momenata, od kojih su dvije najčešće korištene: primarni i centralni. Druge vrste trenutaka, npr. apsolutni momenti, faktorski momenti, ne razmatramo. Da bismo izbjegli korištenje generalizacije integrala - tzv. Stieltjesovog integrala, dajemo definicije momenata odvojeno za kontinuirane i diskretne SW.

Definicije. 1. Početni trenutakk-ti red diskretna SW naziva se količina

Gdje f(x) je gustina vjerovatnoće datog SW.

3. Central pointk-ti red diskretna SW naziva se količina

U slučajevima kada se istovremeno razmatra više TS-a, zgodno je, da bi se izbegli nesporazumi, naznačiti vlasništvo trenutka; to ćemo učiniti navođenjem oznake odgovarajućeg CB u zagradama, na primjer, , itd. Ovu notaciju ne treba brkati sa notacijom funkcije, a slovo u zagradama sa argumentom funkcije. Zbroji i integrali na desnim stranama jednakosti (3.4.1 - 3.4.4) mogu konvergirati ili divergirati ovisno o vrijednosti k i specifičnu distribuciju. U prvom slučaju tako kažu ne postoji ili se razlikuje, u drugom - to trenutak postoji ili konvergira. Ako diskretni SW ima konačan broj konačnih vrijednosti ( N konačan), zatim svi njegovi momenti konačnog reda k postoje. Na beskonačno N, počevši od nekih k a za više redove, diskretni SW momenti (istovremeno početni i centralni) možda neće postojati. Momenti kontinuiranog SW, kao što se može vidjeti iz definicija, izraženi su nepravilnim integralima, koji mogu divergirati polazeći od nekih k i za više redove (i početne i centralne). Momenti nultog reda se uvijek konvergiraju.

Razmotrimo detaljnije prvo početne, a zatim centralne momente. Sa matematičke tačke gledišta, početni trenutak k red je "ponderisani prosek" k-ti stepeni SW vrijednosti; u slučaju diskretnog RV, težine su vjerovatnoće vrijednosti, u slučaju kontinuiranog RV, funkcija težine je gustina vjerovatnoće. Operacije ove vrste se široko koriste u mehanici za opisivanje raspodjele masa (statički momenti, momenti inercije, itd.); analogije koje se javljaju u vezi s tim su razmotrene u nastavku.

Radi boljeg razumijevanja početnih momenata, razmatramo ih odvojeno za dato k. U teoriji vjerovatnoće najvažniji su momenti nižih redova, odnosno za male k, pa bi razmatranje trebalo da se vrši uzlaznim redosledom vrednosti k. Početni moment nultog reda je jednak

1 , za diskretni SW;

=1 , za kontinuirani SW,

one. za bilo koji SW jednak je istoj vrijednosti - jedan, i stoga ne nosi nikakve informacije o statističkim svojstvima SW.

Početni trenutak prvog reda (ili prvi početni trenutak) je jednak

Za diskretni CB;

, za kontinuirani SW.

Ovaj momenat je najvažnija numerička karakteristika svakog SW-a iz više međusobno povezanih razloga. Prvo, prema Čebiševovoj teoremi (vidi odjeljak 7.4), za neograničen broj pokušaja na SW, aritmetička sredina promatranih vrijednosti teži (u određenom smislu) da se doživi. Drugo, za kontinuirani SW, on je numerički jednak X-ta koordinata težišta krivolinijskog trapeza formiranog krivom f(x) (slično svojstvo važi i za diskretni SW), pa bi se ovaj momenat mogao nazvati „težištem distribucije“. Treće, ovaj momenat ima izvanredna matematička svojstva, što će postati jasno tokom kursa, posebno, stoga je njegova vrijednost uključena u izraze za centralne momente (vidi (3.4.3) i (3.4.4)).

Važnost ovog trenutka za teorijske i praktične probleme teorije vjerovatnoće i njena izuzetna matematička svojstva doveli su do toga da se, osim oznake i naziva "prvi početni trenutak", u literaturi koriste i druge oznake i nazivi, u većoj ili manjoj meri pogodan i odražava pomenuta svojstva. Najčešća imena su: očekivanu vrijednost, prosječna vrijednost, i notacija: m, M[X], . Najčešće ćemo koristiti termin "očekivanje" i notaciju m; ako postoji nekoliko RV-ova, koristit ćemo indeks koji označava vlasništvo nad matematičkim očekivanjem, na primjer, m x , m y itd.

Početni trenutak drugog reda (ili drugi početni trenutak) je jednak

Za diskretni CB;

, za kontinuirani SW;

ponekad se zove srednji kvadrat slučajne varijable i označeno M.

Početni momenat trećeg reda (ili treći početni trenutak) je jednak

Za diskretni CB;

, za kontinuirani SW

ponekad se zove prosječna kocka slučajne varijable i označeno M[X 3 ].

Nema smisla dalje nabrajati početne trenutke. Zaustavimo se na važnom tumačenju momenata narudžbe k>1. Neka, zajedno sa SW X postoji i SW Y, i Y=X k (k=2, 3, ...). Ova jednakost znači da su slučajne varijable X I Y su deterministički povezani u smislu da kada SW X poprima vrednost x, SV Y poprima vrednost y=x k(Naknadno će se takva veza CV-a detaljnije razmotriti). Tada, prema (3.4.1) i (3.4.2)

=m y , k=2, 3, ...,

tj. k-ti početni moment SW jednak je matematičkom očekivanju kth stepen ove slučajne varijable. Na primjer, treći početni moment dužine ruba slučajne kocke jednak je očekivanom volumenu kocke. Mogućnost razumijevanja momenata kao neke vrste matematičkog očekivanja je još jedan aspekt važnosti koncepta matematičkog očekivanja.

Pređimo na centralne tačke. Budući da se, kako će malo kasnije postati jasno, centralni momenti jedinstveno izraženi u terminima početnih momenata i obrnuto, postavlja se pitanje zašto su centralni momenti uopšte potrebni i zašto početni momenti nisu dovoljni. Uzmite u obzir SW X(kontinuirano ili diskretno) i drugi RV Y koji se odnosi na prvi as Y=X+a, Gdje a 0 je neslučajni realni broj. Svaka vrijednost x slučajna varijabla X odgovara vrijednosti y=x+a slučajna varijabla Y, dakle distribucija SW Yće imati isti oblik (izražen poligonom distribucije u diskretnom slučaju ili gustinom vjerovatnoće u kontinuiranom slučaju) kao CV distribucija X, ali pomaknut duž x-ose za a. Dakle, početni momenti SW Yće se razlikovati od odgovarajućih momenata SW X. Na primjer, kao što je lako vidjeti, m y =m x +a(trenuci višeg reda povezani su složenijim odnosima). Dakle, mi smo to ustanovili početni momenti nisu invarijantni u odnosu na pomak distribucije u cjelini. Isti rezultat će se dobiti ako pomaknemo ne distribuciju, već početak x-ose horizontalno za vrijednost - a, tj. vrijedi i ekvivalentan zaključak: početni momenti nisu invarijantni u odnosu na horizontalni pomak početka x-ose.

Od ovog nedostatka su oslobođeni središnji momenti, koji su namijenjeni da opišu ona svojstva distribucija koja ne zavise od njihovog pomaka u cjelini. Zaista, kao što se može vidjeti iz (3.4.3) i (3.4.4), kada se distribucija u cjelini pomakne za vrijednost a, ili, što je isto, pomicanje početka ose apscise za - a, sve vrijednosti x, za iste vjerovatnoće (u diskretnom slučaju) ili istu gustinu vjerovatnoće (u kontinuiranom slučaju), će se promijeniti za a, ali će se i vrijednost promijeniti m, tako da se vrijednosti zagrada na desnoj strani jednakosti neće promijeniti. dakle, središnji momenti su invarijantni u odnosu na pomak distribucije u cjelini, ili, što je isto, u odnosu na pomak početka ose apscise duž horizontale. Ovi trenuci su dobili naziv "centralni" u onim vremenima kada se prvi početni trenutak zvao "centar". Korisno je napomenuti da je centralni moment SW X može se shvatiti kao odgovarajući početni moment SW X 0 jednako

X 0 =X-m x .

SW X 0 se poziva centriran(u vezi sa SV X), a operacija koja vodi do toga, tj. oduzimanje njegovog matematičkog očekivanja od slučajne varijable, naziva se centriranje. Kao što ćemo kasnije vidjeti, ovaj koncept i ova operacija će biti korisni tokom cijelog kursa. Imajte na umu da je centralni trenutak narudžbe k>1 se može smatrati matematičkim očekivanjem (prosjekom) k stepen centriranog CB: .

Razmotrimo posebno centralne momente nižih redova. Centralni moment nultog reda je jednak

, za diskretni SW;

, za kontinuirani SW;

tj. za bilo koji SW i ne nosi nikakve informacije o statističkim svojstvima ovog SW.

Centralni moment prvog reda (ili prvi centralni moment) je

za diskretni SW;

za kontinuirani SW; tj. za bilo koji SW i ne nosi nikakve informacije o statističkim svojstvima ovog SW.

Centralni moment drugog reda (ili drugi centralni moment) je

, za diskretni SW;

, za kontinuirani SW.

Kao što se ispostavilo u nastavku, ovaj trenutak je jedan od najvažnijih u teoriji vjerovatnoće, jer se koristi kao karakteristika mjere širenja (ili raspršivanja) vrijednosti SW, pa se često naziva disperzija i označeno D X. Imajte na umu da se to može shvatiti kao srednji kvadrat centriranog SW.

Centralni moment trećeg reda (treći centralni moment) jednak je

Razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu datu zakonom distribucije:

Očekivana vrijednost jednako:

Vidimo da je to mnogo više. To se može objasniti činjenicom da je vrijednost x= -150, što se mnogo razlikuje od ostalih vrijednosti, naglo se povećalo kada se kvadrira; vjerovatnoća ove vrijednosti je mala (0,02). Dakle, tranzicija iz M(X) To M(X2) omogućilo je bolje uzimanje u obzir utjecaja na matematičko očekivanje takvih vrijednosti slučajne varijable koje su velike po apsolutnoj vrijednosti, ali je vjerovatnoća njihovog pojavljivanja mala. Naravno, ako je količina imala nekoliko velikih i malo vjerojatnih vrijednosti, onda je prelazak na količinu x2, a još više na vrijednosti , itd., omogućilo bi još veće „jačanje uloge“ ovih velikih, ali malo verovatnih mogućih vrednosti. Zato se ispostavlja da je prikladno razmotriti matematičko očekivanje pozitivnog cjelobrojnog stepena slučajne varijable, ne samo diskretne, već i kontinuirane.

Definicija 6.10. Početni trenutak th reda slučajne varijable je matematičko očekivanje vrijednosti:

posebno:

Koristeći ove tačke, formula za izračunavanje varijanse može se napisati drugačije

Pored momenata slučajne varijable, preporučljivo je uzeti u obzir i momente odstupanja.

Definicija 6.11. Centralni momenat th reda slučajne varijable je matematičko očekivanje vrijednosti .

(6.23)

posebno,

Lako je izvesti relacije koje povezuju početne i centralne momente. Dakle, upoređujući (6.22) i (6.24), dobijamo:

Nije teško dokazati sljedeće odnose:

Slično:

Trenuci višeg reda se rijetko koriste. Pri određivanju centralnih momenata koriste se odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja (centra). Stoga se trenuci nazivaju centralno.

Pri određivanju početnih momenata koriste se i odstupanja slučajne varijable, ali ne od matematičkog očekivanja, već od tačke čija je apscisa jednaka nuli, što je ishodište. Stoga se trenuci nazivaju početni.

U slučaju kontinuirane slučajne varijable, početni trenutak th reda izračunava se po formuli:

(6.27)

Centralni moment th reda neprekidne slučajne varijable izračunava se po formuli:

(6.28)

Pretpostavimo da je distribucija slučajne varijable simetrična u odnosu na matematičko očekivanje. Tada su svi centralni momenti neparnog reda jednaki nuli. Ovo se može objasniti činjenicom da za svaku pozitivnu vrijednost količine X-M(X) postoji (zbog simetrije distribucije u odnosu na M(X)) negativna vrijednost ove veličine joj je jednaka u apsolutnoj vrijednosti, a njihove vjerovatnoće će biti iste.

Ako središnji moment neparnog reda nije jednak nuli, to ukazuje na asimetriju distribucije, a što je veći trenutak, to je veća asimetrija. Stoga je najrazumnije uzeti neki neparni centralni moment kao karakteristiku asimetrije distribucije. Budući da je centralni moment prvog reda uvijek jednak nuli, preporučljivo je u tu svrhu koristiti centralni moment trećeg reda.

Definicija 6.12. Koeficijent asimetrije je vrijednost:

Ako je koeficijent asimetrije negativan, onda to ukazuje na veliki utjecaj na veličinu negativnih odstupanja. U ovom slučaju, kriva distribucije (slika 6.1 A) više od nadstrešnice lijevo od . Ako je koeficijent pozitivan, što znači da prevladava uticaj pozitivnih devijacija, onda je kriva distribucije s desne strane ravnija.

Kao što je poznato, drugi centralni moment (disperzija) služi za karakterizaciju disperzije vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ako je ovaj trenutak za neku slučajnu varijablu dovoljno velik, tj. disperzija je velika, tada je odgovarajuća kriva distribucije ravnija od krive distribucije slučajne varijable sa manjim momentom drugog reda. Međutim, trenutak ne može poslužiti ovoj svrsi, jer za bilo kakvu distribuciju .

U ovom slučaju se koristi centralni moment četvrtog reda.

Definicija 6.13. Kurtozis je vrijednost:

Za najčešći zakon normalne distribucije u prirodi, omjer . Stoga, eksces dat formulom (6.28) služi za poređenje ove distribucije sa normalnom (slika 6.1 b).

Početni i centralni momenti se koriste za karakterizaciju različitih svojstava slučajnih varijabli.

Početni trenutakk-red slučajna varijabla X je matematičko očekivanje k-te snage ove varijable:

α K \u003d M.

Za diskretnu slučajnu varijablu

C

X \u003d X - M [X]

Centrirana slučajna varijabla je odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Složimo se da razlikujemo centriranu r.v. 0 na vrhu.

Central pointS-th red naziva se matematičko očekivanje S-tog stepena centrirane slučajne varijable

 S \u003d M [(X - m x) S].

Za diskretnu slučajnu varijablu

 S = (x i – m x) S p i .

Za kontinuiranu slučajnu varijablu

.

Svojstva momenta slučajnih varijabli

početni trenutak prvog reda jednak je matematičkom očekivanju (po definiciji):

α 1 = M = m x.

centralni moment prvog reda uvijek je jednak nuli (dokazaćemo to na primjeru diskretne r.v.):

 1 \u003d M [(X - m x) 1 ] \u003d (x i – m x) p i = x i p i - m x p i = m x –m x p i = m x -m x = 0.

centralni momenat drugog reda karakteriše širenje slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja.

Centralni moment drugog reda naziva se disperzija With. V. i označeno sa D[X] ili D x

Varijanca ima dimenziju kvadrata slučajne varijable.

Standardna devijacijaσ x \u003d √D x.

σ x - kao i D x karakterizira širenje slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja, ali ima dimenziju slučajne varijable.

drugi početni trenutak α 2 karakteriše stepen širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja, kao i pomeranje slučajne varijable na realnoj osi

Odnos između prvog i drugog početnog momenta i disperzije (na primjeru kontinuiranog r.v.):

treći centralni momenat karakteriše stepen širenja slučajne varijable oko matematičkog očekivanja, kao i stepen asimetrije u distribuciji slučajne varijable.

f(x prosj.) > f(-x prosj.)

Za zakone simetrične raspodjele m 3 = 0.

Za karakterizaciju samo stepena asimetrije koristi se takozvani koeficijent asimetrije.

Za simetričnu distribuciju Sk = 0

četvrti centralni momenat karakteriše stepen širenja slučajne varijable oko matematičkog očekivanja, kao i stepen vrhunca zakona distribucije.

Od posebnog značaja za karakterizaciju distribucije slučajne varijable su numeričke karakteristike koje se nazivaju početni i centralni momenti.

Početni trenutak k-th red a k(X) slučajna varijabla X k snaga ove veličine, tj.

a k(X) = M(X k) (6.8)

Formula (6.8), na osnovu definicije matematičkog očekivanja za različite slučajne varijable, ima svoj oblik, odnosno za diskretnu slučajnu varijablu sa konačnim skupom vrijednosti

za kontinuiranu slučajnu varijablu

, (6.10)

Gdje f(x) je gustina distribucije slučajne varijable X.

Nepravilan integral u formuli (6.10) pretvara se u definitivni integral u konačnom intervalu ako samo u tom intervalu postoje vrijednosti kontinuirane slučajne varijable.

Jedna od prethodno uvedenih numeričkih karakteristika - matematičko očekivanje - nije ništa drugo do početni trenutak prvog reda, ili, kako kažu, prvi početni trenutak:

M(X) = α 1 (X).

U prethodnom pododjeljku uveden je pojam centrirane slučajne varijable HM(X). Ako se ova veličina smatra glavnom, onda se za nju mogu pronaći i početni momenti. Za samu vrijednost X ovi trenuci će se zvati centralnim.

Centralni trenutak k-th red µk(X) slučajna varijabla X se zove očekivanje k th stepena centrirane slučajne varijable, tj.

µk(X) = M[(HM(X))k] (6.11)

Drugim riječima, centralni trenutak k-ti red je matematičko očekivanje k stepen devijacije.

centralni trenutak k-ti red za diskretnu slučajnu varijablu sa konačnim skupom vrijednosti nalazi se po formuli:

, (6.12)

za kontinuiranu slučajnu varijablu prema formuli:

(6.13)

Ubuduće, kada bude jasno o kakvoj je slučajnoj promenljivoj reč, nećemo je pisati u zapisu početnog i centralnog momenta, tj. umjesto a k(X) I µk(X) jednostavno ćemo napisati a k I µk .

Očigledno je da je centralni moment prvog reda jednak nuli, jer to nije ništa drugo do matematičko očekivanje odstupanja, koje je prema prethodno dokazanom jednako nuli, tj. .

Lako je shvatiti da je centralni moment drugog reda slučajne varijable X poklapa se sa varijansom iste slučajne varijable, tj.

Osim toga, postoje sljedeće formule koje se odnose na početne i centralne momente:

Dakle, momenti prvog i drugog reda (matematičko očekivanje i varijansa) karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen širenja vrednosti. Momenti višeg reda služe za detaljniji opis distribucije. Hajde da to pokažemo.

Pretpostavimo da je distribucija slučajne varijable simetrična u odnosu na njeno matematičko očekivanje. Tada su svi centralni momenti neparnog reda, ako postoje, jednaki nuli. Ovo se objašnjava činjenicom da, zbog simetrije distribucije, za svaku pozitivnu vrijednost veličine X − M(X) postoji negativna vrijednost koja joj je jednaka u apsolutnoj vrijednosti, dok su vjerovatnoće ovih vrijednosti jednake. Posljedično, zbir u formuli (6.12) se sastoji od nekoliko parova pojmova jednakih po apsolutnoj vrijednosti, ali različitog predznaka, koji se međusobno poništavaju tokom zbrajanja. Dakle, cijeli iznos, tj. centralni moment bilo kog neparnog reda diskretne slučajne varijable jednak je nuli. Slično, centralni moment bilo kog neparnog reda neprekidne slučajne varijable jednak je nuli, kao integral u simetričnim granicama neparne funkcije.

Prirodno je pretpostaviti da ako je centralni momenat neparnog reda različit od nule, tada sama distribucija neće biti simetrična u odnosu na svoje matematičko očekivanje. U ovom slučaju, što se središnji moment više razlikuje od nule, to je veća asimetrija u raspodjeli. Uzmimo kao karakteristiku asimetrije centralni moment najmanjeg neparnog reda. Budući da je centralni moment prvog reda jednak nuli za slučajne varijable koje imaju bilo koju distribuciju, bolje je koristiti centralni moment trećeg reda u tu svrhu. Međutim, ovaj trenutak ima dimenziju kocke slučajne varijable. Da bismo se riješili ovog nedostatka i prešli na bezdimenzionalnu slučajnu varijablu, vrijednost centralnog momenta se dijeli sa kockom standardne devijacije.

Koeficijent asimetrije A s ili jednostavno asimetrija je odnos centralnog momenta trećeg reda prema kocki standardne devijacije, tj.

Ponekad se asimetrija naziva "iskrivljenost" i označava S k, koja dolazi od engleske riječi skew - "koso".

Ako je koeficijent asimetrije negativan, tada na njegovu vrijednost snažno utiču negativni članovi (odstupanja) i distribucija će imati leva asimetrija, a grafik (kriva) distribucije je ravniji lijevo od matematičkog očekivanja. Ako je koeficijent pozitivan, onda desna asimetrija, a kriva je ravnija desno od matematičkog očekivanja (slika 6.1).

Kao što je pokazano, drugi središnji momenat služi za karakterizaciju širenja vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja, tj. disperzija. Ako ovaj moment ima veliku numeričku vrijednost, tada ova slučajna varijabla ima veliki raspon vrijednosti i odgovarajuća krivulja raspodjele ima ravniji oblik od krive za koju drugi središnji moment ima manju vrijednost. Dakle, drugi centralni moment karakteriše, u određenoj mjeri, krivulju raspodjele "ravnog vrha" ili "šiljastu". Međutim, ova funkcija nije baš zgodna. Centralni moment drugog reda ima dimenziju jednaku kvadratu dimenzije slučajne varijable. Ako pokušamo dobiti bezdimenzionalnu vrijednost dijeljenjem vrijednosti trenutka s kvadratom standardne devijacije, tada za bilo koju slučajnu varijablu dobijamo: . Dakle, ovaj koeficijent ne može biti nikakva karakteristika distribucije slučajne varijable. To je isto za sve distribucije. U ovom slučaju se može koristiti centralni moment četvrtog reda.

kurtosis E k naziva se vrijednost određena formulom

(6.15)

Kurtosis se uglavnom koristi za kontinuirane slučajne varijable i služi za karakterizaciju takozvane "strmosti" krivulje distribucije, ili na drugi način, kao što je već spomenuto, za karakterizaciju krivulje distribucije "ravnog vrha" ili "šiljate". Kriva normalne distribucije se smatra referentnom krivom distribucije (detaljno će biti razmotrena u sljedećem poglavlju). Za slučajnu varijablu distribuiranu prema normalnom zakonu, jednakost se vrši. Stoga, eksces dat formulom (6.15) služi za poređenje ove distribucije sa normalnom, u kojoj je eksces jednak nuli.

Ako se dobije pozitivan eksces za neku slučajnu varijablu, onda je krivulja distribucije ove vrijednosti vršnija od krive normalne distribucije. Ako je eksces negativan, onda je kriva ravnija od krive normalne distribucije (slika 6.2).

Okrenimo se sada specifičnim vrstama zakona distribucije za diskretne i kontinuirane slučajne varijable.

Nazivaju se centralni momenti distribucije u čijem se proračunu kao početna vrijednost uzima odstupanje varijanti od aritmetičke sredine date serije.

1. Izračunajte centralni moment prvog reda prema formuli:

2. Izračunajte centralni moment drugog reda prema formuli:

gdje je vrijednost sredine intervala;

Ovo je ponderisani prosek;

Fi je broj vrijednosti.

3. Izračunajte centralni moment trećeg reda prema formuli:

gdje je vrijednost sredine intervala; je ponderisani prosjek; - fi-broj vrijednosti.

4. Izračunajte centralni moment četvrtog reda prema formuli:

gdje je vrijednost sredine intervala; je ponderisani prosjek; - fi-broj vrijednosti.

Obračun za tabelu 3.2

Obračun za tabelu 3.4

1. Izračunajte centralni moment prvog reda prema formuli (7.1):

2. Izračunajte centralni moment drugog reda prema formuli (7.2):

3. Izračunajte centralni moment trećeg reda prema formuli (7.3):

4. Izračunajte centralni moment četvrtog reda prema formuli (7.4):

Obračun za tabelu 3.6

1. Izračunajte centralni moment prvog reda prema formuli (7.1):

2. Izračunajte centralni moment drugog reda prema formuli (7.2):

3. Izračunajte centralni moment trećeg reda prema formuli (7.3):

4. Izračunajte centralni moment četvrtog reda prema formuli (7.4):

Računaju se momenti od 1,2,3,4 naloga za tri zadatka. Gdje je trenutak trećeg reda potreban za izračunavanje nagiba, a trenutak četvrtog reda je potreban za izračunavanje ekscesa.

PRORAČUN ASIMETRIJE DISTRIBUCIJE

U statističkoj praksi postoje različite distribucije. Postoje sljedeće vrste krivulja distribucije:

unimodalne krive: simetrične, umjereno asimetrične i izrazito asimetrične;

multivertek krive.

Homogene populacije, po pravilu, karakteriziraju unimodalne distribucije. Multi-verteks ukazuje na heterogenost proučavane populacije. Pojava dva ili više vrhova čini neophodnim pregrupisavanje podataka kako bi se izolovale homogenije grupe.

Utvrđivanje opšte prirode distribucije uključuje procenu njene homogenosti, kao i izračunavanje indikatora asimetrije i ekscesa. Za simetrične distribucije, frekvencije bilo koje dvije varijante koje su jednako raspoređene na obje strane distribucijskog centra su jednake jedna drugoj. Srednja vrijednost, mod i medijan izračunati za takve distribucije su također jednaki.

U komparativnom istraživanju asimetrije nekoliko distribucija s različitim mjernim jedinicama, izračunava se indeks relativne asimetrije ():

gdje je ponderisani prosjek; Mo-moda; - srednje kvadratna ponderisana varijansa; Me-medijan.

Njegova vrijednost može biti pozitivna ili negativna. U prvom slučaju govorimo o desnoj asimetriji, au drugom o lijevoj.

Sa asimetrijom na desnoj strani Mo>Me>x. Najrasprostranjeniji (kao indikator asimetrije) je omjer centralnog momenta trećeg reda prema standardnoj devijaciji ove serije u kocki:

gdje je centralni moment trećeg reda; je standardna devijacija u kocki.

Upotreba ovog indikatora omogućava određivanje ne samo veličine asimetrije, već i provjeru njenog prisustva u općoj populaciji. Općenito je prihvaćeno da se iskrivljenost iznad 0,5 (bez obzira na znak) smatra značajnom; ako je manji od 0,25, onda je beznačajan.

Procjena značajnosti se zasniva na srednjoj kvadratnoj grešci, koeficijentu asimetrije (), koji zavisi od broja opažanja (n) i izračunava se po formuli:

gdje je n broj opservacija.

U ovom slučaju, asimetrija je značajna, a distribucija osobine u opštoj populaciji je asimetrična. Inače, asimetrija je neznatna i njeno prisustvo može biti uzrokovano slučajnim okolnostima.

Obračun za tabelu 3.2 Grupisanje stanovništva prema prosječnoj mjesečnoj plati, rub.

Lijeva strana, značajna asimetrija.

Obračun za tabelu 3.4 Grupisanje prodavnica prema maloprodajnom prometu, milion rubalja

1. Definirajte asimetrije formulom (7.5):

Desnostrana, značajna asimetrija.

Obračun za tabelu 3.6 Grupisanje transportnih organizacija po robnom prometu javnog prevoza (mln.t.km)

1. Definirajte asimetrije formulom (7.5):

Desnostrana, blaga asimetrija.

PRORAČUN KURTUSOVE DISTRIBUCIJE

Za simetrične distribucije, indikator ekscesa () može se izračunati:

gdje je centralni moment četvrtog reda; - standardna devijacija u četvrtom stepenu.

Obračun za tabelu 3.2 Grupisanje stanovništva prema prosječnoj mjesečnoj plati, rub.

Obračun za tabelu 3.4 Grupisanje prodavnica prema maloprodajnom prometu, milion rubalja

Izračunajte indikator ekscesa koristeći formulu (7.7)

Vrhunska distribucija.

Obračun za tabelu 3.6 Grupisanje transportnih organizacija po robnom prometu javnog prevoza (mln.t.km)

Izračunajte indikator ekscesa koristeći formulu (7.7)

Ravna gornja distribucija.

PROCJENA HOMOGENOSTI STANOVNIŠTVA

Rezultat ujednačenosti za tabelu 3.2 Grupisanje stanovništva prema prosječnoj mjesečnoj plati, rub.

Treba napomenuti da iako indikatori asimetrije i ekscesa direktno karakterišu samo oblik distribucije osobine unutar proučavane populacije, njihova definicija nije samo deskriptivna. Često asimetrija i eksces daju određene indikacije za dalja istraživanja socio-ekonomskih fenomena. Dobiveni rezultat ukazuje na postojanje značajne i negativne asimetrije prirode, pri čemu treba napomenuti da je asimetrija lijevostrana. Osim toga, stanovništvo ima ravnu distribuciju.

Rezultat ujednačenosti za tabelu 3.4 Grupisanje prodavnica prema maloprodajnom prometu, milion rubalja

Dobijeni rezultat ukazuje na postojanje značajne i pozitivne asimetrije prirode, pri čemu treba napomenuti da je asimetrija desnostrana. Takođe set ima distribuciju oštrih vrhova.

Rezultat ujednačenosti za tabelu 3.6 Grupisanje transportnih organizacija po robnom prometu javnog prevoza (mln.t.km)

Dobiveni rezultat ukazuje na prisustvo male i pozitivne asimetrije prirode, pri čemu treba napomenuti da je asimetrija desnoruka. Pored toga, populacija ima ravnu distribuciju.