Šta znači sistem linearnih jednačina? Definicije, koncepti, oznake

Linearna jednačina se zove homogena ako je njegov presek nula, a inače nehomogen. Sistem koji se sastoji od homogenih jednačina naziva se homogenim i ima opšti oblik:

Očigledno, svaki homogeni sistem je konzistentan i ima nulto (trivijalno) rješenje. Zbog toga se u vezi sa homogenim sistemima linearnih jednačina često mora tražiti odgovor na pitanje postojanja nenultih rješenja. Odgovor na ovo pitanje može se formulisati kao sljedeća teorema.

Teorema . Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenje različito od nule ako i samo ako je njegov rang manji od broja nepoznatih .

Dokaz: Pretpostavimo da sistem čiji je rang jednak ima rješenje različito od nule. Očigledno, ne prelazi . U slučaju da sistem ima jedinstveno rješenje. Pošto sistem homogenih linearnih jednadžbi uvek ima nulto rešenje, upravo nulto rešenje će biti ovo jedinstveno rešenje. Dakle, rješenja različita od nule moguća su samo za .

Zaključak 1 : Homogeni sistem jednačina, u kojem je broj jednačina manji od broja nepoznatih, uvijek ima rješenje različito od nule.

Dokaz: Ako sistem jednačina ima , tada rang sistema ne prelazi broj jednačina, tj. . Dakle, uslov je zadovoljen i, prema tome, sistem ima rešenje različito od nule.

Posljedica 2 : Homogeni sistem jednačina sa nepoznatim ima rešenje različito od nule ako i samo ako je njegova determinanta nula.

Dokaz: Pretpostavimo sistem linearnih homogenih jednačina čija matrica sa determinantom ima rješenje različito od nule. Tada, prema dokazanoj teoremi, , što znači da je matrica degenerirana, tj. .

Kronecker-Capelli teorema: SLE je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice ovog sistema. Sistem ur-th se naziva kompatibilnim ako ima barem jedno rješenje.

Homogeni sistem linearnih algebarskih jednadžbi.

Sistem od m linearnih jednačina sa n varijabli naziva se sistem linearnih homogenih jednačina ako su svi slobodni članovi jednaki 0. Sistem linearnih homogenih jednačina je uvijek kompatibilan, jer uvijek ima barem nulto rješenje. Sistem linearnih homogenih jednačina ima rješenje različito od nule ako i samo ako je rang njegove matrice koeficijenata kod varijabli manji od broja varijabli, tj. za rang A (n. Bilo koja linearna kombinacija

rješenja sistema linija. homogena ur-ii je također rješenje za ovaj sistem.

Sistem linearno nezavisnih rješenja e1, e2,…,ek naziva se fundamentalnim ako je svako rješenje sistema linearna kombinacija rješenja. Teorema: ako je rang r matrice koeficijenata na varijablama sistema linearnih homogenih jednačina manji od broja varijabli n, tada se svaki fundamentalni sistem rješenja sistema sastoji od n-r rješenja. Dakle, opšte rešenje sistema linija. single ur-th ima oblik: c1e1+c2e2+…+ckek, gdje je e1, e2,…, ek bilo koji fundamentalni sistem rješenja, c1, c2,…,ck su proizvoljni brojevi i k=n-r. Opšte rješenje sistema od m linearnih jednačina sa n varijabli jednako je zbiru

opšte rešenje sistema koji mu odgovara je homogeno. linearne jednačine i proizvoljno partikularno rješenje ovog sistema.

7. Linearni prostori. Podprostori. Osnova, dimenzija. Linearna školjka. Linearni prostor se zove n-dimenzionalan, ako sadrži sistem linearno nezavisnih vektora, a bilo koji sistem sa više vektora je linearno zavisan. Broj je pozvan dimenzija (broj dimenzija) linearni prostor i označen je sa . Drugim riječima, dimenzija prostora je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora u tom prostoru. Ako takav broj postoji, onda se za prostor kaže da je konačno dimenzionalan. Ako za bilo koji prirodni broj n u prostoru postoji sistem koji se sastoji od linearno nezavisnih vektora, onda se takav prostor naziva beskonačno-dimenzionalnim (zapišite: ). U nastavku, osim ako nije drugačije navedeno, razmatrat će se prostori konačnih dimenzija.

Osnova n-dimenzionalnog linearnog prostora je uređeni skup linearno nezavisnih vektora ( baznih vektora).

Teorema 8.1 o proširenju vektora u smislu baze. Ako je baza n-dimenzionalnog linearnog prostora, tada se bilo koji vektor može predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
i, štaviše, na jedinstven način, tj. koeficijenti su jednoznačno određeni. Drugim riječima, bilo koji vektor prostora može se proširiti u osnovi i, štaviše, na jedinstven način.

Zaista, dimenzija prostora je . Sistem vektora je linearno nezavisan (ovo je osnova). Nakon spajanja bilo kojeg vektora bazi, dobijamo linearno zavisan sistem (pošto se ovaj sistem sastoji od vektora u n-dimenzionalnom prostoru). Svojstvom 7 linearno zavisnih i linearno nezavisnih vektora dobijamo zaključak teoreme.

Gausova metoda ima brojne nedostatke: nemoguće je znati da li je sistem konzistentan ili ne dok se ne izvrše sve transformacije potrebne u Gausovoj metodi; Gausova metoda nije prikladna za sisteme sa slovnim koeficijentima.

Razmotrite druge metode za rješavanje sistema linearnih jednačina. Ove metode koriste koncept ranga matrice i svode rješenje bilo kojeg zajedničkog sistema na rješenje sistema na koji se primjenjuje Cramerovo pravilo.

Primjer 1 Naći opšte rešenje sledećeg sistema linearnih jednačina koristeći osnovni sistem rešenja redukovanog homogenog sistema i određeno rešenje nehomogenog sistema.

1. Pravimo matricu A i proširena matrica sistema (1)

2. Istražite sistem (1) za kompatibilnost. Da bismo to učinili, nalazimo rangove matrica A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ako se ispostavi da , onda sistem (1) nekompatibilno. Ako to dobijemo , onda je ovaj sistem konzistentan i mi ćemo ga riješiti. (Studija konzistentnosti je zasnovana na Kronecker-Capelli teoremi).

a. Mi nalazimo rA.

Naći rA, razmatraćemo sukcesivno minore koji nisu nula prvog, drugog itd. reda matrice A i maloljetnici koji ih okružuju.

M1=1≠0 (1 se uzima iz gornjeg lijevog ugla matrice ALI).

Bordering M1 drugi red i drugi stupac ove matrice. . Nastavljamo do granice M1 drugi red i treci stupac..gif" width="37" height="20 src=">. Sada graničimo ne-nulti mol M2′ drugi red.

Imamo: (jer su prve dvije kolone iste)

(jer su drugi i treći red proporcionalni).

Vidimo to rA=2, i osnovni je minor matrice A.

b. Mi nalazimo .

Dovoljno osnovni mol M2′ matrice A granica sa kolonom slobodnih članova i svim redovima (imamo samo zadnji red).

. Iz ovoga proizilazi da M3′′ ostaje osnovni minor matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Jer M2′- bazni minor matrice A sistemima (2) , onda je ovaj sistem ekvivalentan sistemu (3) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (2) (za M2′ nalazi se u prva dva reda matrice A).

(3)

Pošto je osnovni mol https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

U ovom sistemu, dvije slobodne nepoznate ( x2 i x4 ). Zbog toga FSR sistemima (4) sastoji se od dva rješenja. Da bismo ih pronašli, dodjeljujemo slobodne nepoznanice (4) vrijednosti na prvom mjestu x2=1 , x4=0 , i onda - x2=0 , x4=1 .

At x2=1 , x4=0 dobijamo:

.

Ovaj sistem već ima jedina stvar rješenje (može se naći Cramerovim pravilom ili bilo kojom drugom metodom). Oduzimanjem prve jednačine od druge jednačine dobijamo:

Njena odluka će biti x1= -1 , x3=0 . S obzirom na vrijednosti x2 i x4 , koje smo dali, dobijamo prvo fundamentalno rešenje sistema (2) : .

Sada stavljamo (4) x2=0 , x4=1 . Dobijamo:

.

Ovaj sistem rješavamo korištenjem Cramerove teoreme:

.

Dobijamo drugo fundamentalno rješenje sistema (2) : .

Rješenja β1 , β2 i make up FSR sistemima (2) . Tada će njegovo generalno rješenje biti

γ= C1 β1+S2β2=S1(-1, 1, 0, 0)+S2(5, 0, 4, 1)=(-S1+5S2, S1, 4S2, S2)

Evo C1 , C2 su proizvoljne konstante.

4. Pronađite jedan privatni rješenje heterogeni sistem(1) . Kao u paragrafu 3 , umjesto sistema (1) razmotrite ekvivalentni sistem (5) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (1) .

(5)

Prenosimo slobodne nepoznanice na desne strane x2 i x4.

(6)

Dajmo besplatne nepoznate x2 i x4 proizvoljne vrijednosti, npr. x2=2 , x4=1 i uključite ih (6) . Idemo po sistem

Ovaj sistem ima jedinstveno rješenje (jer je njegova determinanta M2′0). Rješavajući ga (pomoću Cramerove teoreme ili Gaussove metode), dobijamo x1=3 , x3=3 . S obzirom na vrijednosti slobodnih nepoznanica x2 i x4 , dobijamo posebno rješenje nehomogenog sistema(1)α1=(3,2,3,1).

5. Sada ostaje napisati opšte rešenje α nehomogenog sistema(1) : jednako je zbiru privatna odluka ovaj sistem i opšte rešenje njegovog redukovanog homogenog sistema (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2).

Ovo znači: (7)

6. Ispitivanje. Da provjerite da li ste ispravno riješili sistem (1) , potrebno nam je opšte rešenje (7) zamena u (1) . Ako svaka jednadžba postane identitet ( C1 i C2 treba uništiti), tada je rješenje pronađeno ispravno.

Zamenićemo (7) na primjer, samo u posljednjoj jednadžbi sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Dobijamo: (3–S1+5S2)+(2+S1)+(3+4S2)–9(1+S2)=–1

(S1–S1)+(5S2+4S2–9S2)+(3+2+3–9)=–1

Gdje je -1=-1. Imamo identitet. To radimo sa svim ostalim jednačinama sistema (1) .

Komentar. Verifikacija je obično prilično glomazna. Možemo preporučiti sljedeću "djelimičnu provjeru": u cjelokupnom rješenju sistema (1) dodijeliti neke vrijednosti proizvoljnim konstantama i zamijeniti rezultirajuće određeno rješenje samo u odbačene jednadžbe (tj. u one jednadžbe iz (1) koji nisu uključeni u (5) ). Ako dobijete identitet, onda najvjerovatnije, rješenje sistema (1) pronađeno ispravno (ali takva provjera ne daje potpunu garanciju ispravnosti!). Na primjer, ako je u (7) staviti C2=- 1 , C1=1, tada dobijamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Zamjenom u posljednju jednačinu sistema (1) imamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Imamo identitet.

Primjer 2 Pronađite opšte rješenje za sistem linearnih jednačina (1) , izražavajući glavne nepoznanice u terminima slobodnih.

Rješenje. Kao u primjer 1, sastaviti matrice A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ovih matrica. Sada ostavljamo samo one jednadžbe sistema (1) , čiji su koeficijenti uključeni u ovaj osnovni minor (tj. imamo prve dvije jednačine) i razmatramo sistem koji se sastoji od njih, a koji je ekvivalentan sistemu (1).

Prenesimo slobodne nepoznanice na desnu stranu ovih jednačina.

sistem (9) rješavamo Gaussovom metodom, smatrajući prave dijelove slobodnim članovima.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opcija 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opcija 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opcija 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opcija 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Poziva se sistem linearnih jednačina u kojem su svi slobodni članovi jednaki nuli homogena :

Svaki homogeni sistem je uvek konzistentan, jer uvek jeste nula (trivijalan ) rješenje. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima će homogeni sistem imati netrivijalno rešenje.

Teorema 5.2.Homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang osnovne matrice manji od broja njegovih nepoznatih.

Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.

Primjer 5.6. Odredite vrijednosti parametra l za koje sistem ima netrivijalna rješenja i pronađite ova rješenja:

Rješenje. Ovaj sistem će imati netrivijalno rješenje kada je determinanta glavne matrice jednaka nuli:

Dakle, sistem je netrivijalan kada je l=3 ili l=2. Za l=3, rang glavne matrice sistema je 1. Zatim, ostavljajući samo jednu jednačinu uz pretpostavku da je y=a i z=b, dobijamo x=b-a, tj.

Za l=2, rang glavne matrice sistema je 2. Zatim, birajući kao osnovni minor:

dobijamo pojednostavljeni sistem

Odavde to nalazimo x=z/4, y=z/2. Pretpostavljam z=4a, dobijamo

Skup svih rješenja homogenog sistema ima veoma važnu linearno svojstvo : ako je X kolona 1 i X 2 - rješenja homogenog sistema AX = 0, zatim bilo koja njihova linearna kombinacija a X 1+b X 2 također će biti rješenje ovog sistema. Zaista, jer SJEKIRA 1 = 0 i SJEKIRA 2 = 0 , onda A(a X 1+b X 2) = a SJEKIRA 1+b SJEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zbog ove osobine, ako linearni sistem ima više od jednog rješenja, tada će ovih rješenja biti beskonačno mnogo.

Linearno nezavisne kolone E 1 , E 2 , E k, koji su rješenja homogenog sistema, naziva se fundamentalni sistem odlučivanja homogeni sistem linearnih jednadžbi ako se opšte rešenje ovog sistema može napisati kao linearna kombinacija ovih kolona:

Ako homogeni sistem ima n varijabli, a rang glavne matrice sistema je jednak r, onda k = n-r.

Primjer 5.7. Pronađite osnovni sistem rješenja sljedećeg sistema linearnih jednačina:

Rješenje. Pronađite rang glavne matrice sistema:

Dakle, skup rješenja ovog sistema jednačina formira linearni podprostor dimenzija n - r= 5 - 2 = 3. Biramo kao osnovni minor

.

Zatim, ostavljajući samo osnovne jednadžbe (ostale će biti linearna kombinacija ovih jednačina) i osnovne varijable (ostale, tzv. slobodne varijable, prenosimo udesno), dobijamo pojednostavljeni sistem jednačina:

Pretpostavljam x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mi nalazimo

, .

Pretpostavljam a= 1, b=c= 0, dobijamo prvo osnovno rešenje; pod pretpostavkom b= 1, a = c= 0, dobijamo drugo osnovno rešenje; pod pretpostavkom c= 1, a = b= 0, dobijamo treće osnovno rešenje. Kao rezultat, normalan fundamentalni sistem rješenja poprima oblik

Koristeći osnovni sistem, opšte rešenje homogenog sistema može se zapisati kao

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a

Napomenimo neka svojstva rješenja nehomogenog sistema linearnih jednačina AX=B i njihov odnos sa odgovarajućim homogenim sistemom jednačina AX = 0.

Opšte rješenje nehomogenog sistemajednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg homogenog sistema AX = 0 i proizvoljnog partikularnog rešenja nehomogenog sistema. Zaista, neka Y 0 je proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sistema, tj. AY 0 = B, i Y je opšte rješenje nehomogenog sistema, tj. AY=B. Oduzimanjem jedne jednakosti od druge, dobijamo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je opšte rješenje odgovarajućeg homogenog sistema SJEKIRA=0. shodno tome, Y-Y 0 = X, ili Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Neka nehomogen sistem ima oblik AX = B 1 + B 2 . Tada se opšte rešenje takvog sistema može zapisati kao X = X 1 + X 2 , gdje je AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Ovo svojstvo izražava univerzalno svojstvo bilo kojeg linearnog sistema uopšte (algebarskog, diferencijalnog, funkcionalnog, itd.). U fizici se ovo svojstvo naziva princip superpozicije, u elektrotehnici i radiotehnici - princip preklapanja. Na primjer, u teoriji linearnih električnih kola, struja u bilo kojem kolu može se dobiti kao algebarski zbir struja uzrokovanih svakim izvorom energije posebno.

Matrični podaci

Pronađite: 1) aA - bB,

Rješenje: 1) Nalazimo sekvencijalno, koristeći pravila za množenje matrice brojem i sabiranje matrica ..

2. Pronađite A*B ako

Rješenje: Koristite pravilo množenja matrice

odgovor:

3. Za datu matricu pronađite minor M 31 i izračunajte determinantu.

Rješenje: Minor M 31 je determinanta matrice koja se dobija iz A

nakon brisanja reda 3 i kolone 1. Pronađite

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformirajmo matricu A bez promjene njene determinante (napravimo nule u redu 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Sada izračunavamo determinantu matrice A proširenjem duž reda 1

Odgovor: M 31 = 0, detA = 0

Riješite Gaussovom metodom i Cramerovom metodom.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Rješenje: Hajde da proverimo

Možete koristiti Cramerovu metodu

Sistemsko rješenje: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Primjenjujemo Gaussovu metodu.

Proširenu matricu sistema svodimo na trouglasti oblik.

Radi lakšeg izračunavanja, mijenjamo redove:

Pomnožite 2. red sa (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) i dodajte trećem:

	1 / 2		7 / 2

Pomnožite 1. red sa (k = -2 / 2 = -1 ) i dodajte drugom:

Sada se originalni sistem može napisati kao:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Iz 2. reda izražavamo

Od 1. reda izražavamo

Rješenje je isto.

Odgovor: (2; -5; 3)

Naći opće rješenje sistema i FSR-a

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Rješenje: Primijenite Gaussov metod. Proširenu matricu sistema svodimo na trouglasti oblik.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

Pomnožite 1. red sa (-11). Pomnožite 2. red sa (13). Dodajmo 2. red na 1.:

	-2		-2	-3

Pomnožite 2. red sa (-5). Pomnožite treći red sa (11). Dodajmo 3. red u 2.:

Pomnožite 3. red sa (-7). Pomnožite 4. red sa (5). Dodajmo 4. red u 3.:

Druga jednadžba je linearna kombinacija ostalih

Pronađite rang matrice.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

Odabrani minor ima najviši red (od svih mogućih minora) i nije nula (jednak je proizvodu elemenata na recipročnoj dijagonali), pa je rang(A) = 2.

Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznato x 1, x 2, što znači da su nepoznati x 1, x 2 zavisni (osnovni), a x 3, x 4, x 5 su slobodni.

Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo zajednička odluka:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Pronalazimo osnovni sistem rješenja (FSR) koji se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju, n=5, r=2, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno nezavisna.

Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redova bude jednak broju redova, tj. 3.

Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 3 ,x 4 ,x 5 vrijednosti iz redova determinante 3. reda različite od nule i izračunati x 1 ,x 2 .

Najjednostavnija determinanta koja nije nula je matrica identiteta.

Ali ovdje je zgodnije uzeti

Pronalazimo koristeći opće rješenje:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR odluka: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR odluka: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III odluka FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Dato je: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Pronađite: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Rješenje: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Odgovor: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

Homogeni sistem linearnih jednačina nad poljem

DEFINICIJA. Osnovni sistem rješenja sistema jednačina (1) je neprazan linearno nezavisan sistem njegovih rješenja, čiji se linearni raspon poklapa sa skupom svih rješenja sistema (1).

Imajte na umu da homogeni sistem linearnih jednačina koji ima samo nulto rješenje nema fundamentalni sistem rješenja.

PREDLOG 3.11. Bilo koja dva osnovna sistema rješenja homogenog sistema linearnih jednačina sastoje se od istog broja rješenja.

Dokaz. Zaista, bilo koja dva fundamentalna sistema rješenja homogenog sistema jednačina (1) su ekvivalentna i linearno nezavisna. Dakle, prema prijedlogu 1.12, njihovi rangovi su jednaki. Dakle, broj rješenja uključenih u jedan fundamentalni sistem jednak je broju rješenja uključenih u bilo koji drugi fundamentalni sistem rješenja.

Ako je glavna matrica A homogenog sistema jednačina (1) nula, tada je bilo koji vektor iz rješenje za sistem (1); u ovom slučaju, bilo koja kolekcija linearno nezavisnih vektora iz je fundamentalni sistem rješenja. Ako je rang stupca matrice A , tada sistem (1) ima samo jedno rješenje - nula; stoga u ovom slučaju sistem jednačina (1) nema fundamentalni sistem rješenja.

TEOREMA 3.12. Ako je rang glavne matrice homogenog sistema linearnih jednačina (1) manji od broja varijabli, onda sistem (1) ima fundamentalni sistem rješenja koji se sastoji od rješenja.

Dokaz. Ako je rang glavne matrice A homogenog sistema (1) jednak nuli ili , tada je gore pokazano da je teorema tačna. Stoga se u nastavku pretpostavlja da Uz pretpostavku , pretpostavit ćemo da su prvi stupci matrice A linearno nezavisni. U ovom slučaju, matrica A je u nizu ekvivalentna redukovanoj matrici koraka, a sistem (1) je ekvivalentan sljedećem reduciranom sistemu jednačina:

Lako je provjeriti da bilo koji sistem vrijednosti slobodnih varijabli sistema (2) odgovara jednom i jedinom rješenju sistema (2) pa samim tim i sistema (1). Konkretno, samo nulto rješenje sistema (2) i sistema (1) odgovara sistemu nultih vrijednosti.

U sistemu (2) jednoj od slobodnih varijabli dodijelit ćemo vrijednost jednaku 1, a ostalim varijablama nulte vrijednosti. Kao rezultat dobijamo rješenja sistema jednadžbi (2) koje zapisujemo kao redove sljedeće matrice C:

Sistem redova ove matrice je linearno nezavisan. Zaista, za sve skalare iz jednakosti

slijedi jednakost

a samim tim i jednakost

Dokažimo da se linearni raspon sistema redova matrice C poklapa sa skupom svih rješenja sistema (1).

Proizvoljno rješenje sistema (1). Zatim vektor

je također rješenje za sistem (1), i