Šta znači označiti stepen polinoma. Značenje riječi polinom

Po definiciji, polinom je algebarski izraz koji predstavlja zbir monoma.

Na primjer: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 su polinomi, a izraz z/(x - x*y^2 + 4) nije polinom jer nije zbir monoma. Polinom se ponekad naziva i polinomom, a monomi koji su dio polinoma su članovi polinoma ili monoma.

Složeni koncept polinoma

Ako se polinom sastoji od dva člana, onda se naziva binom, ako se sastoji od tri - trinom. Nazivi četvoročlani, peteročlani i drugi se ne koriste iu takvim slučajevima jednostavno kažu polinom. Takvi nazivi, ovisno o broju pojmova, stavljaju sve na svoje mjesto.

I termin monom postaje intuitivan. Sa stanovišta matematike, monom je poseban slučaj polinoma. Monom je polinom koji ima samo jedan član.

Baš kao i monom, polinom ima svoj standardni oblik. Standardni oblik polinoma je takav zapis polinoma u kojem su svi monomi uključeni u njega kao pojmovi napisani u standardnom obliku i dati su slični pojmovi.

Standardni oblik polinoma

Procedura za dovođenje polinoma u standardni oblik je da se svaki od monoma dovede u standardni oblik, a zatim se saberu svi takvi monomi. Sabiranje sličnih članova polinoma naziva se redukcija sličnih članova.
Na primjer, dajmo slične pojmove u polinomu 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Termini 4*a*b^2*c^3 i 6*a*b^2*c^3 su ovde slični. Zbir ovih članova će biti monom 10*a*b^2*c^3. Stoga se originalni polinom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b može prepisati kao 10*a*b^2*c^3 - a* b. Ovaj unos će biti standardni oblik polinoma.

Iz činjenice da se svaki monom može svesti na standardni oblik, također slijedi da se svaki polinom može svesti na standardni oblik.

Kada se polinom svede na standardni oblik, možemo govoriti o takvom konceptu kao što je stepen polinoma. Stepen polinoma je najveći stepen monoma uključen u dati polinom.
Tako, na primjer, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 je polinom petog stepena, budući da je maksimalni stepen monoma uključen u polinom (5*x^3*y^ 2) je peti.

Koncept polinoma

Definicija polinoma: Polinom je zbir monoma. Primjer polinoma:

ovdje vidimo zbir dva monoma, a ovo je polinom, tj. zbir monoma.

Pojmovi koji čine polinom nazivaju se članovi polinoma.

Da li je razlika monoma polinom? Da, jeste, jer se razlika lako svodi na zbir, na primjer: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Monomi se takođe smatraju polinomima. Ali ne postoji zbir u monomu, zašto se onda smatra polinomom? I možete mu dodati nulu i dobiti njen zbir sa nultim monomom. Dakle, monom je poseban slučaj polinoma, sastoji se od jednog člana.

Broj nula je nulti polinom.

Standardni oblik polinoma

Šta je polinom standardnog oblika? Polinom je zbir monoma, a ako su svi ovi monomi koji čine polinom napisani u standardnom obliku, osim toga, među njima ne bi trebalo biti sličnih, tada se polinom piše u standardnom obliku.

Primjer polinoma u standardnom obliku:

ovdje se polinom sastoji od 2 monoma, od kojih svaki ima standardni oblik, među monomima nema sličnih.

Sada primjer polinoma koji nema standardni oblik:

evo dva monoma: 2a i 4a su slični. Moramo ih dodati, tada će polinom dobiti standardni oblik:

Drugi primjer:

Je li ovaj polinom sveden na standardni oblik? Ne, njegov drugi član nije napisan u standardnom obliku. Pišući ga u standardnom obliku, dobijamo polinom standardne forme:

Stepen polinoma

Koliki je stepen polinoma?

Definicija polinomskog stepena:

Stepen polinoma je najveći stepen koji imaju monomi koji čine dati polinom standardnog oblika.

Primjer. Koliki je stepen polinoma 5h? Stepen polinoma 5h jednak je jedan, jer ovaj polinom sadrži samo jedan monom i njegov stepen je jednak jedan.

Još jedan primjer. Koliki je stepen polinoma 5a 2 h 3 s 4 +1? Stepen polinoma 5a 2 h 3 s 4 + 1 je devet, jer ovaj polinom uključuje dva monoma, prvi monom 5a 2 h 3 s 4 ima najveći stepen, a njegov stepen je 9.

Još jedan primjer. Koliki je stepen polinoma 5? Stepen polinoma 5 je nula. Dakle, stepen polinoma koji se sastoji samo od broja, tj. bez slova, jednaka je nuli.

Poslednji primer. Koliki je stepen nultog polinoma, tj. nula? Stepen nultog polinoma nije definiran.

Nakon proučavanja monoma, prelazimo na polinome. Ovaj članak će vam reći o svim potrebnim informacijama potrebnim za izvršavanje radnji na njima. Definisaćemo polinom sa pratećim definicijama polinoma, odnosno slobodnog i sličnog, razmotriti polinom standardnog oblika, uvesti stepen i naučiti kako ga pronaći, raditi sa njegovim koeficijentima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polinom i njegovi članovi - definicije i primjeri

Definicija polinoma je bila potrebna u 7 razred nakon proučavanja monoma. Pogledajmo njegovu punu definiciju.

Definicija 1

polinom razmatra se zbir monoma, a sam monom je poseban slučaj polinoma.

Iz definicije slijedi da primjeri polinoma mogu biti različiti: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z i tako dalje. Iz definicije imamo to 1+x, a 2 + b 2 i izraz x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x su polinomi.

Pogledajmo još neke definicije.

Definicija 2

Članovi polinoma njegovi sastavni monomi se nazivaju.

Razmotrimo ovaj primjer, gdje imamo polinom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , koji se sastoji od 4 člana: 3 x 4 , − 2 x y , 3 i − y 3. Takav monom se može smatrati polinomom, koji se sastoji od jednog člana.

Definicija 3

Polinomi koji u svom sastavu imaju 2, 3 trinoma imaju odgovarajući naziv - binom i trinom.

Iz ovoga slijedi da je izraz forme x+y– je binom, a izraz 2 x 3 q − q x x + 7 b je trinom.

Prema školskom planu i programu radili su sa linearnim binomom oblika a x + b, gdje su a i b neki brojevi, a x varijabla. Razmotrimo primjere linearnih binoma oblika: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 sa primjerima kvadratnih trinoma x 2 + 3 · x − 5 i 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Za transformaciju i rješenje potrebno je pronaći i donijeti slične pojmove. Na primjer, polinom oblika 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ima slične članove 1 i - 3, 5 x i 2 x. Podijeljeni su u posebnu grupu koja se zove slični članovi polinoma.

Definicija 4

Slični članovi polinoma su kao članovi u polinomu.

U gornjem primjeru imamo da su 1 i - 3 , 5 x i 2 x slični članovi polinoma ili slični članovi. Da biste pojednostavili izraz, pronađite i smanjite slične pojmove.

Polinom standardnog oblika

Svi monomi i polinomi imaju svoja specifična imena.

Definicija 5

Polinom standardnog oblika Polinom se naziva u kojem svaki njegov član ima monom standardnog oblika i ne sadrži slične članove.

Iz definicije se vidi da je moguće reducirati polinome standardnog oblika, na primjer, 3 x 2 − x y + 1 i __formula__, a zapis je u standardnom obliku. Izrazi 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z i 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z nisu polinomi standardnog oblika, jer prvi od njih ima slične članove u obliku 3 x 2 i − x2, a drugi sadrži monom oblika x · y 3 · x · z 2 , koji se razlikuje od standardnog polinoma.

Ako okolnosti to zahtijevaju, ponekad se polinom svodi na standardni oblik. Koncept slobodnog člana polinoma također se smatra polinomom standardnog oblika.

Definicija 6

Slobodni član polinoma je polinom standardnog oblika bez dijela slova.

Drugim riječima, kada zapis polinoma u standardnom obliku ima broj, naziva se slobodnim članom. Tada je broj 5 slobodan član polinoma x 2 · z + 5 , a polinom 7 · a + 4 · a · b + b 3 nema slobodnog člana.

Stepen polinoma - kako ga pronaći?

Definicija stepena polinoma zasniva se na definiciji polinoma standardnog oblika i na stepenima monoma koji su njegove komponente.

Definicija 7

Stepen polinoma standardnog oblika imenuje najveću moć uključenu u njegovu notaciju.

Pogledajmo primjer. Stepen polinoma 5 x 3 − 4 jednak je 3, jer monomi uključeni u njegov sastav imaju stepene 3 i 0, a najveći od njih je 3, respektivno. Definicija stepena iz polinoma 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x jednaka je najvećem broju, odnosno 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 i 1 , dakle 5 .

Potrebno je saznati kako se pronalazi sam stepen.

Definicija 8

Stepen polinoma proizvoljnog broja je stepen odgovarajućeg polinoma u standardnom obliku.

Kada polinom nije napisan u standardnom obliku, ali morate pronaći njegov stepen, trebate ga svesti na standardni oblik, a zatim pronaći željeni stepen.

Primjer 1

Pronađite stepen polinoma 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Rješenje

Prvo, predstavljamo polinom u standardnom obliku. Dobijamo izraz kao:

3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Kada dobijemo polinom standardnog oblika, nalazimo da se dva od njih jasno razlikuju - 2 · a 2 · b 2 · c 2 i y 2 · z 2 . Da bismo pronašli stepene, izračunavamo i dobijamo da je 2 + 2 + 2 = 6 i 2 + 2 = 4. Može se vidjeti da je najveći od njih jednak 6. Iz definicije proizilazi da je tačno 6 stepen polinoma − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, dakle originalna vrijednost.

Odgovori: 6 .

Koeficijenti članova polinoma

Definicija 9

Kada su svi članovi polinoma monomi standardnog oblika, onda u ovom slučaju imaju ime koeficijenti članova polinoma. Drugim riječima, mogu se nazvati koeficijenti polinoma.

Kada se uzme u obzir primjer, može se vidjeti da polinom oblika 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 u svom sastavu ima 4 polinoma: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x i 7 sa odgovarajućim koeficijenti 2 , − 0 , 5 , 3 i 7 . Stoga se 2 , − 0 , 5 , 3 i 7 smatraju koeficijentima članova datog polinoma oblika 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . Prilikom konverzije važno je obratiti pažnju na koeficijente ispred varijabli.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ili, striktno, konačni formalni zbir oblika

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), gdje

Konkretno, polinom u jednoj varijabli je konačni formalni zbir oblika

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), gdje

Uz pomoć polinoma izvedeni su koncepti "algebarske jednadžbe" i "algebarske funkcije".

Studija i primjena[ | ]

Proučavanje polinomskih jednadžbi i njihovih rješenja bilo je gotovo glavni predmet "klasične algebre".

Brojne transformacije u matematici povezane su sa proučavanjem polinoma: uvod u razmatranje nultih, negativnih, a zatim kompleksnih brojeva, kao i nastanak teorije grupa kao grane matematike i alokacije klasa specijalnih funkcija. u analizi.

Tehnička jednostavnost proračuna koji uključuje polinome u poređenju sa složenijim klasama funkcija, kao i činjenica da je skup polinoma gust u prostoru kontinuiranih funkcija na kompaktnim podskupovima Euklidovog prostora (vidi Weierstrassovu aproksimaciju teoremu), doprinijeli su razvoj metoda proširenja nizova i polinomske interpolacije u računskom proračunu.

Polinomi takođe igraju ključnu ulogu u algebarskoj geometriji, čiji su objekti skupovi, definisani kao rešenja sistema polinoma.

Posebna svojstva koeficijenata transformacije u množenju polinoma koriste se u algebarskoj geometriji, algebri, teoriji čvorova i drugim granama matematike za kodiranje ili izražavanje svojstava različitih objekata polinomima.

Povezane definicije[ | ]

Ljubazni polinom c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) pozvao monom ili monom multi-index I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
Monom koji odgovara multi-indeksu I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots,\,0)) pozvao besplatni član.
Puni stepen(ne-nula) monom c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) zove se cijeli broj | I | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
Mnogo više indeksa I, za koje su koeficijenti c I (\displaystyle c_(I)) ne-nula, se zove polinomski nosilac, a njegova konveksna ljuska je Njutnov poliedar.
Stepen polinoma je maksimum snaga njegovih monoma. Stepen identične nule dalje je definiran vrijednošću − ∞ (\displaystyle -\infty ).
Polinom koji je zbir dva monoma naziva se binom ili binom,
Polinom koji je zbir tri monoma naziva se tripartitni.
Koeficijenti polinoma se obično uzimaju iz određenog komutativnog prstena R (\displaystyle R)(najčešće polja, kao što su polja realnih ili kompleksnih brojeva). U ovom slučaju, s obzirom na operacije sabiranja i množenja, polinomi formiraju prsten (štaviše, asocijativno-komutativna algebra nad prstenom R (\displaystyle R) bez djelitelja nule) koji je označen R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . (\displaystyle R.)
Za polinom p (x) (\displaystyle p(x)) jedna varijabla, rješenje jednačine p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0) se zove njegov koren.

Polinomske funkcije[ | ]

Neka A (\displaystyle A) postoji algebra nad prstenom R (\displaystyle R). Proizvoljni polinom p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) definira polinomsku funkciju

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\do A).

Slučaj koji se najčešće razmatra A = R (\displaystyle A=R).

Ako R (\displaystyle R) je polje realnih ili kompleksnih brojeva (kao i svako drugo polje sa beskonačnim brojem elemenata), funkcija f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) u potpunosti određuje polinom p. Međutim, to općenito nije istina, na primjer: polinomi p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) i p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) od Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)[x]) definirati identično jednake funkcije Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\do \mathbb (Z) _(2)).

Polinomska funkcija jedne realne varijable naziva se čitava racionalna funkcija.

Vrste polinoma[ | ]

Svojstva [ | ]

djeljivost [ | ]

Uloga nesvodivih polinoma u polinomskom prstenu slična je ulozi prostih brojeva u prstenu cijelih brojeva. Na primjer, teorema je tačna: ako je proizvod polinoma pq (\displaystyle pq) je onda djeljiv nesvodljivim polinomom str ili q podijeljena λ (\displaystyle \lambda ). Svaki polinom stepena većeg od nule razlaže se u datom polju u proizvod nesvodivih faktora na jedinstven način (do faktora stepena nula).

Na primjer, polinom x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), koji je nesvodljiv u polju racionalnih brojeva, razlaže se na tri faktora u polju realnih brojeva i na četiri faktora u polju kompleksnih brojeva.

Općenito, svaki polinom u jednoj varijabli x (\displaystyle x) dekomponuje u polju realnih brojeva na faktore prvog i drugog stepena, u polju kompleksnih brojeva - na faktore prvog stepena (glavna teorema algebre).

Za dvije ili više varijabli to se više ne može tvrditi. Preko bilo kojeg polja za bilo koje n > 2 (\displaystyle n>2) postoje polinomi iz n (\displaystyle n) varijable koje su nesvodljive u bilo kojem proširenju ovog polja. Takvi polinomi se nazivaju apsolutno nesvodljivim.