Disperzija slučajne varijable. Primjeri rješavanja zadataka na temu „Slučajne varijable Pronađite zakon raspodjele i varijansu slučajnog broja

Definicija.disperzija (raspršenje) Diskretna slučajna varijabla naziva se matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Primjer. Za gornji primjer nalazimo

Matematičko očekivanje slučajne varijable je:

Moguće vrijednosti kvadratne devijacije:

; ;

Disperzija je:

Međutim, u praksi je ova metoda izračunavanja varijanse nezgodna, jer dovodi do glomaznih proračuna za veliki broj vrijednosti slučajne varijable. Stoga se koristi druga metoda.

Izračun varijance

Teorema. Varijanca je jednaka razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable X i kvadrata njenog matematičkog očekivanja:

Dokaz. Uzimajući u obzir činjenicu da su matematičko očekivanje i kvadrat matematičkog očekivanja konstantne vrijednosti, možemo napisati:

Primijenimo ovu formulu na gornji primjer:

X
x2
str	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Svojstva disperzije

1) Disperzija konstantne vrijednosti je nula:

2) Konstantni faktor se može izvući iz znaka disperzije kvadriranjem:

3) Varijanca zbira dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbroju varijansi ovih varijabli:

4) Varijanca razlike dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbiru varijansi ovih varijabli:

Valjanost ove jednakosti proizlazi iz svojstva 2.

Teorema. Varijanca broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerovatnoća nastanka događaja konstantna, jednaka je umnošku broja pokušaja sa vjerovatnoćom nastanka i vjerovatnoćom događaja ne pojavljuje u svakom ispitivanju:

Primjer. Fabrika proizvodi 96% proizvoda prvog razreda i 4% proizvoda drugog razreda. 1000 stavki se bira nasumično. Neka bude X- broj proizvoda prvog razreda u ovom uzorku. Naći zakon raspodjele, matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable.

Dakle, zakon raspodjele se može smatrati binomnim.

Primjer. Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable X– broj pojavljivanja događaja I u dva nezavisna pokusa, ako su vjerovatnoće pojave ovog događaja u svakom ogledu jednake i poznato je da

Jer slučajna vrijednost X raspoređeno prema binomskom zakonu, dakle

Primjer. Nezavisni testovi se izvode sa istom vjerovatnoćom nastanka događaja I u svakom testu. Pronađite vjerovatnoću da se neki događaj dogodi I ako je varijansa broja pojavljivanja događaja u tri nezavisna ispitivanja 0,63.

Prema formuli disperzije binomnog zakona dobijamo:

;

Primjer. Testira se uređaj koji se sastoji od četiri uređaja koji nezavisno rade. Vjerojatnosti kvara svakog od uređaja su jednake ; ; . Pronađite matematičko očekivanje i varijansu broja neispravnih uređaja.

Uzimajući broj neispravnih uređaja kao slučajnu varijablu, vidimo da ova slučajna varijabla može poprimiti vrijednosti 0, 1, 2, 3 ili 4.

Da bi se napravio zakon raspodjele za ovu slučajnu varijablu, potrebno je odrediti odgovarajuće vjerovatnoće. Hajde da prihvatimo.

1) Nijedan uređaj nije pokvario:

2) Jedan od uređaja nije uspio.

ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE

RANDOM VRIJEDNOSTI

Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa.

Slučajna vrijednost je veličina koja, kao rezultat eksperimenta, može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali koja nije unaprijed poznata. Za slučajnu varijablu, dakle, mogu se specificirati samo vrijednosti, od kojih će jednu nužno uzeti kao rezultat eksperimenta. Ove vrijednosti će se nazivati mogućim vrijednostima slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja.

Slučajne varijable se obično označavaju velikim slovima latinice, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima.

Postoje tri tipa slučajnih varijabli:

diskretno; Kontinuirano; Miješano.

Diskretno naziva se takva slučajna varijabla čiji broj mogućih vrijednosti čini prebrojiv skup. Zauzvrat, prebrojiv skup je skup čiji se elementi mogu numerisati. Riječ "diskretno" dolazi od latinskog discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od odvojenih dijelova".

Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji nfl. Zaista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n.

Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti se mogu numerisati, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno veliki broj.

kontinuirano naziva se slučajna varijabla, čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval numeričke ose, koji se ponekad naziva interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik.

Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je potrošnja električne energije u preduzeću za mjesec dana.

Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je greška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Neka se iz principa rada visinomera zna da greška leži u opsegu od 0 do 2 m. Dakle, interval postojanja ove slučajne varijable je interval od 0 do 2 m.

Zakon raspodjele slučajnih varijabli.

Slučajna varijabla se smatra potpuno specificiranom ako su njene moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i utvrđen zakon raspodjele.

Zakon raspodjele slučajne varijable naziva se relacija koja uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerovatnoća.

Za slučajnu varijablu se kaže da je raspoređena prema datom zakonu ili podliježe datom zakonu distribucije. Brojne vjerovatnoće, funkcija distribucije, gustina vjerovatnoće, karakteristična funkcija se koriste kao zakoni distribucije.

Zakon raspodjele daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu distribucije, moguće je prije iskustva prosuditi koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati češće, a koje rjeđe.

Za diskretnu slučajnu varijablu, zakon raspodjele se može dati u obliku tabele, analitički (u obliku formule) i grafički.

Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tabela (matrica), koja uzlaznim redoslijedom navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerovatnoće, tj.

Takva tabela se naziva nizom distribucije diskretne slučajne varijable. jedan

Događaji X 1 , X 2 ,..., X n , koji se sastoje u činjenici da će, kao rezultat testa, slučajna varijabla X uzeti vrijednosti x 1 , x 2 ,... x n, respektivno , su nedosljedni i jedini mogući (jer su u tabeli navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. formiraju kompletnu grupu. Stoga je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu

(Ova jedinica je nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i termin "distribucija").

Serija distribucije može se prikazati grafički ako su vrijednosti slučajne varijable nacrtane duž ose apscise, a njihove odgovarajuće vjerovatnoće duž ose ordinata. Veza dobijenih tačaka formira isprekidanu liniju, koja se naziva poligon ili poligon distribucije verovatnoće (slika 1).

Primjer Igra se lutrija: automobil od 5000 den. jedinica, 4 televizora od 250 den. jedinica, 5 videorekordera u vrednosti od 200 den. jedinice Ukupno je prodato 1000 karata po 7 den. jedinice Sastavite zakon o raspodjeli neto dobitaka koje je dobio učesnik lutrije koji je kupio jedan listić.

Odluka. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobici po listiću - su 0-7 = -7 den. jedinice (ako tiket nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako je ulaznicu osvojio videorekorder, TV ili auto). S obzirom da je od 1000 listića broj ne-dobitnika 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1, i koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće, dobijamo.

kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla naziva se slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.

1 . Zakon distribucije se može dati u tabeli:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

u) preko funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3 . Zakon raspodjele može se postaviti grafički – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije karakteristike zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :

Matematičko očekivanje (srednja vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
Disperzija diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2) − 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"

Zadatak 1.

Izdato je 1.000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, a 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.

Odluka. Prema uslovu zadatka, moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Broj tiketa bez dobitka je 1000 - (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Rezultirajući zakon predstavljamo u obliku tabele:

Nađite matematičko očekivanje od X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadatak 3.

Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, izgraditi poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.

Odluka. 1. Diskretna slučajna varijabla X=(broj neuspješnih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 =0 (nijedan od elemenata uređaja nije uspio), x 2 =1 (jedan element nije uspio), x 3 =2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 \u003d 3 (tri elementa nisu uspjela).

Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su međusobno jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula . S obzirom da pod uslovom, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo verovatnoće vrednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:

Na osi apscise iscrtavamo moguće vrijednosti x i, a na osi ordinata odgovarajuće vjerovatnoće r i. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezujući ove tačke sa segmentima, dobijamo željeni poligon distribucije.

3. Pronađite funkciju raspodjele F(x) = P(X

Za x ≤ 0 imamo F(x) = P(X<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 biće F(x) = 1, jer događaj je siguran.

Grafikon funkcije F(x)

4. Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Servisni zadatak. Online kalkulator se koristi za izradu tabele distribucije slučajne varijable X - broja izvedenih eksperimenata i izračunavanje svih karakteristika serije: matematičko očekivanje, varijansa i standardna devijacija. Izvještaj sa odlukom sastavlja se u Word formatu. Primjer #1. Bacaju se tri novčića. Vjerovatnoća da grb ispadne u jednom kolutu je 0,5. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj grbova koji su pali.
Odluka.
Vjerovatnoća da nijedan grb nije ispao: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Vjerovatnoća da su ispala tri grba: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Zakon distribucije slučajne varijable X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Provjerite: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Primjer #2. Verovatnoća da jedan strelac pogodi metu jednim hicem za prvog strelca je 0,8, za drugog strelca - 0,85. Strijelci su ispalili jedan hitac u metu. Uz pretpostavku da je pogodak u metu za pojedinačne strijelce nezavisan događaj, pronađite vjerovatnoću događaja A - tačno jedan pogodak u metu.
Odluka.
Uzmite u obzir događaj A - jedan pogodak u metu. Moguće pojave ovog događaja su sljedeće:

Prvi strijelac je pogodio, drugi strijelac promašio: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
Prvi strijelac je promašio, drugi je pogodio metu: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
Prvi i drugi strijelci nezavisno pogađaju metu: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Tada će vjerovatnoća događaja A - tačno jedan pogodak u metu, biti jednaka: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Slučajne varijable".

Zadatak 1 . U lutriji je izdato 100 tiketa. Odigrana je jedna pobeda od 50 USD. i deset pobjeda od po 10$. Naći zakon raspodjele vrijednosti X - trošak mogućeg dobitka.

Odluka. Moguće vrijednosti X: x 1 = 0; x 2 = 10 i x 3 = 50. Pošto postoji 89 „praznih“ karata, onda str 1 = 0,89, vjerovatnoća dobitka je 10 c.u. (10 ulaznica) – str 2 = 0,10 i za dobitak od 50 c.u. –str 3 = 0,01. ovako:


	0,89	0,10	0,01

Jednostavna kontrola: .

Zadatak 2. Vjerovatnoća da se kupac unaprijed upoznao sa reklamom proizvoda je 0,6 (p = 0,6). Selektivnu kontrolu kvaliteta reklamiranja vrši se anketiranjem kupaca prije prvog koji je unaprijed proučio oglas. Napravite seriju distribucije broja intervjuisanih kupaca.

Odluka. Prema uslovu zadatka p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Zamjenom ovih vrijednosti dobijamo: i konstruisati seriju distribucije:


pi		0,24

Zadatak 3. Računar se sastoji od tri nezavisno operativna elementa: sistemske jedinice, monitora i tastature. Sa jednim naglim povećanjem napona, vjerovatnoća kvara svakog elementa je 0,1. Na osnovu Bernoullijeve distribucije, sastaviti zakon distribucije za broj neispravnih elemenata tokom napona u mreži.

Odluka. Razmislite Bernulijeva distribucija(ili binom): vjerovatnoća da u n testovima, događaj A će se pojaviti tačno k jednom: , ili:


	q n					str n

AT vratimo se zadatku.

Moguće vrijednosti X (broj kvarova):

x 0 =0 - nijedan element nije uspio;

x 1 =1 - kvar jednog elementa;

x 2 =2 - kvar dva elementa;

x 3 =3 - kvar svih elemenata.

Pošto je po uslovu p = 0,1, onda je q = 1 – p = 0,9. Koristeći Bernoullijevu formulu, dobijamo

, ,

, .

Kontrola: .

Dakle, željeni zakon distribucije:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Zadatak 4. Proizvedeno 5000 metaka. Verovatnoća da je jedan kertridž neispravan . Kolika je vjerovatnoća da će u cijeloj seriji biti tačno 3 neispravna kertridža?

Odluka. Primjenjivo Poissonova distribucija: ova distribucija se koristi za određivanje vjerovatnoće da, s obzirom na vrlo veliku

broj pokušaja (masovnih pokušaja), u svakom od kojih je vjerovatnoća događaja A vrlo mala, događaj A će se dogoditi k puta: , gdje .

Ovdje n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Nalazimo , zatim željenu vjerovatnoću: .

Zadatak 5. Prilikom pucanja prije prvog pogotka sa vjerovatnoćom pogotka p = 0,6 za hitac, potrebno je pronaći vjerovatnoću da će se pogodak dogoditi pri trećem udarcu.

Odluka. Primijenimo geometrijsku raspodjelu: neka se izvode neovisni ogledi u kojima je vjerovatnoća da će se događaj A pojaviti p (i da se ne dogodi q = 1 - p). Probe se završavaju čim se dogodi događaj A.

Pod takvim uslovima, verovatnoća da će se događaj A desiti na k-tom testu određena je formulom: . Ovdje je p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k = 3. Dakle, .

Zadatak 6. Neka je zadan zakon distribucije slučajne varijable X:

Pronađite matematičko očekivanje.

Odluka. .

Imajte na umu da je vjerovatnoća značenja matematičkog očekivanja prosječna vrijednost slučajne varijable.

Zadatak 7. Pronađite varijansu slučajne varijable X sa sljedećim zakonom raspodjele:

Odluka. Evo .

Zakon raspodjele kvadrata X 2 :

X 2

Potrebna varijansa: .

Disperzija karakteriše stepen odstupanja (rasipanja) slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.

Zadatak 8. Neka je slučajna varijabla data distribucijom:

			10m

Pronađite njegove numeričke karakteristike.

Rješenje: m, m 2 ,

M 2 , m.

Za slučajnu varijablu X, može se reći bilo šta - njeno matematičko očekivanje je 6,4 m sa varijansom od 13,04 m 2 , ili - njegovo matematičko očekivanje je 6,4 m sa devijacijom od m. Druga formulacija je očito jasnija.

Zadatak 9. Slučajna vrijednost X dato funkcijom distribucije:
.

Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, vrijednost X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu .

Odluka. Vjerovatnoća da će X uzeti vrijednost iz datog intervala jednaka je prirastu integralne funkcije u ovom intervalu, tj. . U našem slučaju i , dakle