Za koje brojeve je znak nejednakosti tačan? Video lekcija „Svojstva brojevnih nejednakosti

Tvrdnja je dokazana.

Zaista, na primjer, 2< 3, но

Svojstvo 4. Ako je a > b i c > d, onda je a + c > b + d.

Dokaz. Pošto su a>b i c>d, razlike a-b i c-d su pozitivni brojevi. Tada je zbir ovih brojeva također pozitivan broj (a-b)+(c-d). Proširite zagrade i grupu (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). S obzirom na ovu jednakost, rezultirajući izraz (a + c) - (b + d) će biti pozitivan broj. Dakle, a+ c> b+ d.

Nejednakosti oblika a>b, c>d ili a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c

Svojstvo 5. Ako je a > b, c > d, onda ac > bd, gdje su a, b, c, d pozitivni brojevi.

Dokaz. Pošto je a>b i c pozitivan broj, onda, koristeći svojstvo 3, dobijamo ac > bc. Kako je c >d i b pozitivan broj, onda je bc > bd. Dakle, prema prvom svojstvu ac > bd. Značenje dokazanog svojstva je sljedeće: „Ako pomnožimo pojam nejednakosti istog značenja, u kojima su lijevi i desni dijelovi pozitivni brojevi, onda se dobija nejednakost istog značenja“

Na primjer, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Svojstvo 6. Ako a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Dokaz. Ako pomnožimo član po član ovih n nejednakosti a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Primjena svojstava

Razmotrimo primjer primjene svojstava koja smo razmatrali.

Neka 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Procijenite zbir a + b. Koristeći svojstvo 4, dobijamo 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Procijenite razliku a - b. Pošto ne postoji svojstvo za oduzimanje, onda će razlika a - b biti zamijenjena sumom a + (-b). Procijenimo prvo (- b). Da biste to učinili, koristeći svojstvo 3, oba dijela nejednakosti 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Dobijamo -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Procijenite proizvod a ∙ b. Svojstvom 5 množimo nejednakosti istog znaka

Sa nejednakostima smo se susreli u školi, gdje koristimo numeričke nejednakosti. U ovom članku razmatramo svojstva numeričkih nejednačina, od kojih su neke izgrađeni principi za rad s njima.

Svojstva nejednačina su slična svojstvima numeričkih nejednačina. Svojstva, njegova opravdanja će se razmotriti, dat ćemo primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numeričke nejednakosti: definicija, primjeri

Prilikom uvođenja pojma nejednakosti imamo da se njihova definicija vrši prema vrsti zapisa. Postoje algebarski izrazi koji imaju predznake ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Hajde da damo definiciju.

Definicija 1

Numerička nejednakost naziva se nejednakost u kojoj obje strane imaju brojeve i numeričke izraze.

Brojne nejednakosti se razmatraju u školi nakon proučavanja prirodnih brojeva. Takve operacije poređenja se proučavaju korak po korak. Početni izgled kao 1< 5 , 5 + 7 >3 . Nakon toga se pravila dopunjuju, a nejednakosti se usložnjavaju, tada se dobijaju nejednakosti oblika 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2< 0 .

Osobine numeričkih nejednačina

Da biste ispravno radili s nejednačinama, morate koristiti svojstva numeričkih nejednačina. Oni dolaze iz koncepta nejednakosti. Takav koncept se specificira pomoću izjave, koja se označava kao "veće od" ili "manje od".

Definicija 2

• broj a je veći od b kada je razlika a - b pozitivan broj;
• broj a je manji od b kada je razlika a - b negativan broj;
• broj a je jednak b kada je razlika a - b jednaka nuli.

Definicija se koristi kada se rješavaju nejednakosti sa relacijama "manje ili jednako", "veće ili jednako". Shvatili smo to

Definicija 3

• a je veći ili jednak b kada je a - b nenegativan broj;
• a je manji ili jednak b kada je a - b nepozitivan broj.

Definicije će se koristiti za dokazivanje svojstava numeričkih nejednačina.

Osnovna svojstva

Razmotrite 3 glavne nejednakosti. Upotreba znakova< и >karakteristika sa svojstvima:

Definicija 4

• antirefleksivnost, što kaže da bilo koji broj a iz nejednačina a< a и a >a se smatra nevažećim. Poznato je da za bilo koje a vrijedi jednakost a − a = 0, pa dobijamo da je a = a. Dakle a< a и a >a je netačno. Na primjer, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 su netačni.
• asimetrija. Kada su brojevi a i b takvi da je a< b , то b >a , i ako je a > b , onda b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Drugi dio se dokazuje na sličan način.

Primjer 1

Na primjer, s obzirom na nejednakost 5< 11 имеем, что 11 >5 , tada će njegova numerička nejednakost − 0 , 27 > − 1 , 3 biti prepisana u obliku − 1 , 3< − 0 , 27 .

Prije nego što pređemo na sljedeće svojstvo, napominjemo da se uz pomoć asimetrije može čitati nejednakost s desna na lijevo i obrnuto. Dakle, numerička nejednakost se može mijenjati i zamjenjivati.

Definicija 5

• tranzitivnost. Kada brojevi a, b, c ispunjavaju uslov a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b i b > c, zatim a > c.

Dokaz 1

Prva tvrdnja se može dokazati. Stanje a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Drugi dio sa svojstvom tranzitivnosti dokazuje se na sličan način.

Primjer 2

Analizirano svojstvo razmatra se na primjeru nejednakosti − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 i 1 8 > 1 32 slijedi da je 1 2 > 1 32 .

Numeričke nejednakosti, koje se pišu pomoću nestriktnih znakova nejednakosti, imaju svojstvo refleksivnosti, jer a ≤ a i a ≥ a mogu imati slučaj jednakosti a = a. karakteriše ih asimetrija i tranzitivnost.

Definicija 6

Nejednačine koje u zapisu imaju predznake ≤ i ≥ imaju sljedeća svojstva:

• refleksivnost a ≥ a i a ≤ a se smatraju pravim nejednakostima;
• antisimetrija kada je a ≤ b , zatim b ≥ a , i ako je a ≥ b , onda b ≤ a .
• tranzitivnost kada je a ≤ b i b ≤ c , zatim a ≤ c , a takođe, ako je a ≥ b i b ≥ c , onda a ≥ c .

Dokaz se izvodi na sličan način.

Ostala bitna svojstva numeričkih nejednakosti

Za dopunu osnovnih svojstava nejednačina koriste se rezultati koji su od praktične važnosti. Primjenjuje se princip metode vrednovanja vrijednosti izraza na kojem se zasnivaju principi rješavanja nejednačina.

Ovaj odjeljak otkriva svojstva nejednakosti za jedan znak stroge nejednakosti. Isto se radi i za one koji nisu strogi. Razmotrimo primjer, formulirajući nejednakost ako je a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• ako je a > b, onda a + c > b + c;
• ako je a ≤ b, onda a + c ≤ b + c;
• ako je a ≥ b, onda a + c ≥ b + c.

Za zgodnu prezentaciju dajemo odgovarajuću tvrdnju, koja se zapisuje i daju dokazi, prikazani su primjeri korištenja.

Definicija 7

Dodavanje ili izračunavanje broja na obje strane. Drugim riječima, kada a i b odgovaraju nejednakosti a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Dokaz 2

Da bi se ovo dokazalo, potrebno je da jednačina zadovoljava uslov a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Primjer 3

Na primjer, ako se oba dijela nejednakosti 7 > 3 povećaju za 15, onda ćemo dobiti da je 7 + 15 > 3 + 15. Ovo je jednako 22 > 18 .

Definicija 8

Kada se oba dijela nejednakosti pomnože ili podijele sa istim brojem c, dobijamo ispravnu nejednakost. Ako broj c uzmemo negativan, onda će se predznak promijeniti u suprotan. Inače, to izgleda ovako: za a i b nejednakost vrijedi kada je a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >bc.

Dokaz 3

Kada postoji slučaj c > 0, potrebno je napraviti razliku između lijevog i desnog dijela nejednačine. Tada dobijamo da je a · c − b · c = (a − b) · c . Iz uslova a< b , то a − b < 0 , а c >0 , tada će proizvod (a − b) · c biti negativan. To implicira da je a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

U dokazu, dijeljenje cijelim brojem može se zamijeniti množenjem obrnutim od datog, odnosno 1 c . Razmotrimo primjer svojstva na određenim brojevima.

Primjer 4

Oba dijela nejednakosti su dozvoljena 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Sada formuliramo sljedeća dva rezultata koji se koriste u rješavanju nejednačina:

• Posljedica 1. Prilikom promjene predznaka dijelova brojčane nejednakosti, sam predznak nejednakosti se mijenja u suprotan, kao< b , как − a >−b. Ovo odgovara pravilu množenja oba dijela sa -1. Primjenjivo je za tranziciju. Na primjer − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Posljedica 2. Kada se dijelovi numeričke nejednakosti zamjene recipročnim vrijednostima, mijenja se i njen predznak, a nejednakost ostaje istinita. Dakle, imamo da su a i b pozitivni brojevi, a< b , 1 a >1b.

Prilikom dijeljenja oba dijela nejednakosti a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 imamo to 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1b može biti netačan.

Primjer 5

Na primjer, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 su nevažeća jednakost.

Sve točke objedinjuje činjenica da akcije na dijelove nejednakosti daju ispravnu nejednakost na izlazu. Razmotrimo svojstva gdje u početku postoji nekoliko numeričkih nejednakosti, a rezultat će se dobiti dodavanjem ili množenjem njegovih dijelova.

Definicija 9

Kada brojevi a , b , c , d vrijede za nejednakosti a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Dokaz 4

Dokažemo da je (a + c) − (b + d) negativan broj, onda dobijamo da je a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Svojstvo se koristi za sabiranje tri, četiri ili više brojčanih nejednakosti pojam po član. Brojevi a 1 , a 2 , … , a n i b 1 , b 2 , … , b n podliježu nejednačinama a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Primjer 6

Na primjer, date tri numeričke nejednačine istog znaka − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definicija 10

Poslovno množenje oba dijela rezultira pozitivnim brojem. Za< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Dokaz 5

Da bismo ovo dokazali, potrebne su nam obje strane nejednakosti a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Smatra se da ovo svojstvo vrijedi za broj brojeva s kojima se moraju pomnožiti obje strane nejednakosti. Onda a 1 , a 2 , … , a n i b 1 , b 2 , … , b n su pozitivni brojevi, gdje je a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Imajte na umu da kada pišete nejednačine postoje nepozitivni brojevi, onda njihovo množenje po članu dovodi do netačnih nejednačina.

Primjer 7

Na primjer, nejednakost 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Posljedica: Množenje nejednakosti po terminima a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Osobine numeričkih nejednačina

Razmotrimo sljedeća svojstva numeričkih nejednačina.

1. a< a , a >a - lažne nejednakosti,
   a ≤ a , a ≥ a su važeće nejednakosti.
2. Ako a< b , то b >a - antisimetrija.
3. Ako a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Ako a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Ako a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Ako a< b и c - отрицательное число, то a · c >bc.

Korol 1: ako a< b , то - a >-b.

Posljedica 2: ako su a i b pozitivni brojevi i a< b , то 1 a >1b.

1. Ako je 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Ako je a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n su pozitivni brojevi i a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Korol 1: ako a< b , a i b su pozitivni brojevi, onda a n< b n .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Za bilo koje numeričke izraze, sljedeća svojstva su tačna.

Nekretnina 1. Ako na oba dijela ispravne numeričke nejednakosti dodamo isti numerički izraz, onda ćemo dobiti ispravnu numeričku nejednakost, odnosno tačno je: ; .

Dokaz. Ako a. Koristeći komutativna, asocijativna i distributivna svojstva operacije sabiranja, imamo: .

Dakle, po definiciji relacije "veći od" .

Nekretnina 2. Ako se isti numerički izraz oduzme od oba dijela ispravne numeričke nejednakosti, onda se dobije tačna brojčana nejednakost, odnosno tačno je: ;

Dokaz. Po stanju . Koristeći prethodno svojstvo, dodamo na oba dijela ove nejednakosti numerički izraz , dobićemo: .

Koristeći asocijativno svojstvo operacije sabiranja, imamo: , dakle , Shodno tome.

Posljedica. Bilo koji pojam se može prenijeti iz jednog dijela brojčane nejednakosti u drugi sa suprotnim predznakom.

Nekretnina 3. Ako zbrojimo tačne numeričke nejednakosti pojam po član, onda ćemo dobiti ispravnu numeričku nejednakost, odnosno tačno je:

Dokaz. Po svojstvu 1 imamo: i , koristeći svojstvo tranzitivnosti relacije "veći od", dobijamo: .

Nekretnina 4. Prave numeričke nejednakosti suprotnog značenja mogu se oduzimati pojam po član, zadržavajući znak nejednakosti od kojeg oduzimamo, to jest: ;

Dokaz. Po definiciji pravih numeričkih nejednakosti . Po svojstvu 3, ako . Posljedicom svojstva 2 ove teoreme, bilo koji pojam se može prenijeti iz jednog dijela nejednakosti u drugi sa suprotnim predznakom. shodno tome, . Dakle, ako .

Svojstvo se dokazuje slično.

Svojstvo 5. Ako se oba dijela ispravne numeričke nejednakosti pomnože sa istim numeričkim izrazom koji uzima pozitivnu vrijednost bez promjene predznaka nejednakosti, onda se dobija tačna brojčana nejednakost, tj.

Dokaz. Iz onoga što . Imamo: onda . Koristeći distributivnost operacije množenja s obzirom na oduzimanje, imamo: .

Zatim po definiciji relacije "veće od".

Svojstvo se dokazuje slično.

Nekretnina 6. Ako se oba dijela ispravne numeričke nejednakosti pomnože istim numeričkim izrazom koji uzima negativnu vrijednost, mijenjajući predznak nejednakosti u suprotan, onda se dobija tačna brojčana nejednakost, to jest: ;

Nekretnina 7. Ako se oba dijela prave numeričke nejednakosti podijele istim numeričkim izrazom koji uzima pozitivnu vrijednost bez promjene predznaka nejednakosti, onda ćemo dobiti pravu numeričku nejednakost, tj.

Dokaz. Imamo: . Po svojstvu 5 dobijamo: . Koristeći asocijativnost operacije množenja, imamo: Shodno tome.

Svojstvo se dokazuje slično.

imovina 8. Ako se oba dijela ispravne numeričke nejednakosti podijele istim numeričkim izrazom, koji poprima negativnu vrijednost, promjenom predznaka nejednakosti u suprotan, onda se dobija tačna brojčana nejednakost, odnosno: ;

Izostavljamo dokaz ovog svojstva.

Nekretnina 9. Ako množimo pojam po pojam ispravne numeričke nejednakosti istog značenja sa negativnim dijelovima, mijenjajući predznak nejednakosti u suprotan, dobijamo ispravnu brojčanu nejednakost, tj.

Izostavljamo dokaz ovog svojstva.

Nekretnina 10. Ako množimo pojam po pojam ispravne brojčane nejednakosti istog značenja sa pozitivnim dijelovima, bez promjene predznaka nejednakosti, dobijamo tačnu brojčanu nejednakost, tj.

Izostavljamo dokaz ovog svojstva.

Nekretnina 11. Ako pojam podijelimo ispravnu brojčanu nejednakost suprotnog značenja sa pozitivnim dijelovima, zadržavajući predznak prve nejednakosti, onda ćemo dobiti ispravnu brojčanu nejednakost, tj.

;

.

Izostavljamo dokaz ovog svojstva.

Primjer 1 Jesu li nejednakosti i ekvivalentno?

Rješenje. Druga nejednakost se dobiva iz prve nejednakosti dodavanjem na oba njena dijela isti izraz , koji nije definiran za . To znači da broj ne može biti rješenje prve nejednačine. Međutim, to je rješenje druge nejednakosti. Dakle, postoji rješenje druge nejednakosti, koje nije rješenje prve nejednakosti. Stoga ove nejednakosti nisu ekvivalentne. Druga nejednakost je posljedica prve nejednakosti, jer je svako rješenje prve nejednakosti rješenje druge.

Prikazane su glavne vrste nejednakosti, uključujući nejednakosti Bernulija, Koši-Bunjakovskog, Minkovskog, Čebiševa. Razmatraju se svojstva nejednakosti i djelovanja na njih. Date su glavne metode za rješavanje nejednačina.

Formule za osnovne nejednakosti

Formule za univerzalne nejednakosti

Univerzalne nejednakosti su zadovoljene za bilo koje vrijednosti količina koje su u njima uključene. Glavne vrste univerzalnih nejednakosti navedene su u nastavku.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a-b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Jednakost se javlja samo kada je a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Nejednakost Cauchy-Bunyakovsky

Jednakost vrijedi ako i samo ako je α a k = β b k za sve k = 1, 2, ..., n i neke α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Minkowskijeva nejednakost, za p ≥ 1

Formule za zadovoljive nejednakosti

Zadovoljive nejednakosti su zadovoljene za određene vrijednosti količina koje su u njih uključene.

1) Bernulijeva nejednakost:
.
Općenitije:
,
gdje je , brojevi istog predznaka i veći od -1 : .
Bernulijeva lema:
.
Vidi "Dokazi nejednakosti i Bernulijeva lema".

2)
za a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Čebiševljeva nejednakost
at 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n i 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n i b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Generalizovane Čebiševe nejednakosti
at 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n i 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n i k prirodni
.
At 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n i b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Svojstva nejednakosti

Svojstva nejednakosti su skup onih pravila koja se ispunjavaju kada se transformišu. Ispod su svojstva nejednakosti. Podrazumijeva se da su početne nejednakosti zadovoljene za vrijednosti x i (i = 1, 2, 3, 4) koje pripadaju nekom unaprijed određenom intervalu.

1) Prilikom promjene redoslijeda stranica, znak nejednakosti je obrnut.
Ako je x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Ako je x 1 ≤ x 2, onda je x 2 ≥ x 1.
Ako je x 1 ≥ x 2, onda je x 2 ≤ x 1.
Ako je x 1 > x 2 onda je x 2< x 1 .

2) Jedna jednakost je ekvivalentna dvije nestroge nejednakosti različitih predznaka.
Ako je x 1 = x 2, onda je x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2.
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2, onda je x 1 = x 2.

3) Svojstvo tranzitivnosti
Ako je x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ako je x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 2 ≤ x 3 onda je x 1 ≤ x 3 .

4) Možete dodati (oduzeti) isti broj na oba dijela nejednačine.
Ako je x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ako je x 1 ≤ x 2 onda je x 1 + A ≤ x 2 + A .
Ako je x 1 ≥ x 2 onda je x 1 + A ≥ x 2 + A .
Ako je x 1 > x 2, onda je x 1 + A > x 2 + A.

5) Ako postoje dvije ili više nejednakosti sa predznakom istog smjera, onda se mogu dodati njihovi lijevi i desni dio.
Ako je x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ako je x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , tada je x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Slični izrazi se javljaju za znakove ≥, >.
Ako početne nejednakosti sadrže znakove nestrogih nejednakosti i barem jednu strogu nejednakost (ali svi predznaci imaju isti smjer), tada zbrajanje rezultira striktnom nejednakošću.

6) Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) pozitivnim brojem.
Ako je x 1< x 2 и A >0 , zatim A x 1< A · x 2 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i A > 0, tada je A x 1 ≤ A x 2.
Ako je x 1 ≥ x 2 i A > 0, tada je A x 1 ≥ A x 2.
Ako je x 1 > x 2 i A > 0, onda je A x 1 > A x 2.

7) Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) negativnim brojem. U ovom slučaju, predznak nejednakosti će se promijeniti u suprotan.
Ako je x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A · x 2 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ako je x 1 ≥ x 2 i A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ako je x 1 > x 2 i A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ako postoje dvije ili više nejednakosti sa pozitivnim članovima, sa predznakom istog smjera, onda se njihovi lijevi i desni dio mogu međusobno množiti.
Ako je x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ako je x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 onda je x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 .
Slični izrazi se javljaju za znakove ≥, >.
Ako početne nejednakosti sadrže znakove nestrogih nejednakosti i barem jednu strogu nejednakost (ali svi predznaci imaju isti smjer), tada množenje rezultira striktnom nejednakošću.

9) Neka je f(x) monotono rastuća funkcija. To jest, za bilo koje x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2) . Tada se ova funkcija može primijeniti na oba dijela nejednakosti, od kojih se predznak nejednakosti ne mijenja.
Ako je x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Ako je x 1 ≤ x 2 onda je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ako je x 1 ≥ x 2, onda je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ako je x 1 > x 2, onda je f(x 1) > f(x 2) .

10) Neka je f (x) monotono opadajuća funkcija, tj. za bilo koje x 1 > x 2, f (x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ako je x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x2) .
Ako je x 1 ≤ x 2 onda je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ako je x 1 ≥ x 2 onda je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ako je x 1 > x 2, onda je f(x 1)< f(x 2) .

Metode rješavanja nejednačina

Rješavanje nejednačina metodom intervala

Metoda intervala je primjenjiva ako nejednakost uključuje jednu varijablu koju označavamo sa x, a ima oblik:
f(x) > 0
gdje je f(x) kontinuirana funkcija s konačnim brojem diskontinuiteta. Znak nejednakosti može biti bilo koji: >, ≥,<, ≤ .

Metoda intervala je sljedeća.

1) Pronađite domen funkcije f(x) i označite ga intervalima na realnoj osi.

2) Pronađite tačke diskontinuiteta funkcije f(x) . Na primjer, ako je razlomak, tada nalazimo tačke u kojima nazivnik nestaje. Ove tačke označavamo na numeričkoj osi.

3) Riješite jednačinu
f(x) = 0.
Korijeni ove jednačine označeni su na brojevnoj pravoj.

4) Kao rezultat toga, numerička osa će biti podijeljena tačkama na intervale (segmente). Unutar svakog intervala uključenog u domenu definicije, biramo bilo koju tačku i u ovom trenutku izračunavamo vrijednost funkcije. Ako je ova vrijednost veća od nule, onda stavljamo znak “+” preko segmenta (interval). Ako je ova vrijednost manja od nule, tada iznad segmenta (intervala) stavljamo znak "-".

5) Ako nejednakost ima oblik: f(x) > 0, tada odaberite intervale sa znakom “+”. Rješenje nejednakosti je unija ovih intervala koji ne uključuju njihove granice.
Ako nejednakost ima oblik: f(x) ≥ 0, tada rješenju dodajemo tačke u kojima je f(x) = 0. To jest, neki od intervala mogu imati zatvorene granice (granica pripada intervalu). drugi dio može imati otvorene granice (granica ne pripada intervalu).
Slično, ako je nejednakost: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ako nejednakost izgleda ovako: f(x) ≤ 0, tada rješenju dodajemo tačke u kojima je f(x) = 0.

Rješavanje nejednačina primjenom njihovih svojstava

Ova metoda je primjenjiva na nejednakosti bilo koje složenosti. Sastoji se od primjene svojstava (gore prikazanih) kako bi se nejednakosti svele na jednostavniji oblik i dobilo rješenje. Sasvim je moguće da će to rezultirati ne jednim, već sistemom nejednakosti. Ovo je univerzalna metoda. Primjenjuje se na sve nejednakosti.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE I

§ 10 Osnovna svojstva numeričkih nejednačina

1. Ako a > b, onda b< а , i obrnuto, ako a< b , onda b > a.

Dokaz. Neka a > b . Po definiciji, to znači da je broj ( a - b ) je pozitivan. Ako ispred njega stavimo znak minus, onda je rezultirajući broj - ( a - b ) će očito biti negativan. Zbog toga - ( a - b ) < 0, или b - a < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b< a .

Pozivamo učenike da sami dokažu suprotnu tvrdnju.

Dokazano svojstvo nejednačina omogućava jednostavnu geometrijsku interpretaciju: ako tačka A leži na realnoj pravoj desno od tačke B, onda tačka B leži levo od tačke A, i obrnuto (vidi sliku 20).

2. Ako a > b, a b > c, onda a > c.

Geometrijski, ovo svojstvo je kako slijedi. Neka tačka A (koja odgovara broju a ) leži desno od tačke B (odgovara broju b ), a tačka B, zauzvrat, leži desno od tačke C (što odgovara broju With ). Tada će tačka A još više ležati desno od tačke C (slika 21).

Dajemo algebarski dokaz ovog svojstva nejednakosti.

Neka a > b , a b > c . To znači da su brojevi ( a - b ) i ( b-c ) su pozitivni. Zbir dva pozitivna broja je očigledno pozitivan. Zbog toga ( a - b ) + (b-c ) > 0, ili a - c > 0. Ali to znači to a > With .

3. Ako a > b, zatim za bilo koji broj With a + c > b + c, a - c > b - c.

Drugim riječima, ako se isti broj doda ili oduzme od oba dijela numeričke nejednakosti, tada nejednakost neće biti narušena.

Dokaz. Neka a > b . To znači da a - b > 0. Ali a - b = (a + c ) - (b + c ). Zbog toga ( a + c ) - (b + c ) > 0. I po definiciji, to znači da a + c > b + c . Slično, pokazano je da a - c > b - c .

Na primjer, ako dodamo 1 1 / 2 na oba dijela nejednakosti 5 > 4, dobićemo
6 1 / 2 > 5 1 / 2 . Oduzimajući broj 5 od oba dijela ove nejednakosti, dobijamo 0 > - 1.

Posljedica. Bilo koji član jednog dijela brojčane nejednakosti može se prenijeti u drugi dio nejednakosti promjenom predznaka ovog člana u suprotan.

Neka, na primjer, a + b > c . To je potrebno dokazati a > c - b . Da bismo dokazali iz oba dijela ove nejednakosti, dovoljno je oduzeti broj b .

4. Neka a > b. Ako a c > 0, onda ac > bc . Ako With< 0 , onda as< bс .

Drugim riječima, ako se oba dijela brojčane nejednakosti pomnože pozitivnim brojem, tada se nejednakost neće narušiti;
Ako se obje strane nejednakosti pomnože negativnim brojem, onda će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.

Ukratko, ovo svojstvo je formulirano na sljedeći način:

Nejednakost je očuvana kod množenja pojam pozitivnim brojem i obrnuta predznaka kod množenja član po član negativnim brojem.

Na primjer, množenjem nejednakosti 5 > 1 član po član sa 7, dobićemo 35 > 7. Pojam po član množenjem iste nejednakosti sa - 7 daje - 35< - 7.

Dokaz 4. svojstva.

Neka a > b. To znači da je broj a - b pozitivno. Proizvod dva pozitivna broja a - b i With je očigledno i pozitivan, tj. ( a - b ) With > 0, ili
ac - bc > 0. Stoga ac > bc .

Slično, razmatramo slučaj kada je broj With negativan. Proizvod pozitivnog broja a - b na negativan broj With je očigledno negativan, tj.
(a - b) c< 0; zbog toga ac - bc< 0, odakle as< bс .

Posljedica. Znak nejednakosti je sačuvan kada se pojam podijeli pozitivnim brojem i obrnut kada se pojam podijeli negativnim brojem.

Ovo proizilazi iz činjenice da je dijeljenje brojem With =/= 0 je ekvivalentno množenju brojem 1 / c .

Vježbe

81. Može li se nejednakost 2 > 1 pomnožiti član po član sa

a) a 2+1; b) | a |; u) a ; d) 1 - 2a + a 2

tako da je sačuvan znak nejednakosti?

82. Da li je uvijek 5 X preko 4 X , a - at manje at ?

83. Šta može biti broj X ako se zna da - X > 7?

84. Rasporedite po rastućem redosledu broja: a) a 2, 5a 2, 2a 2; b) 5 a , 2a ; u) a , a 2 , a 3 . 85. Rasporedite po opadajućem redosledu broja

a - b , a - 2b , a - 3b .

86. Dajte geometrijsku interpretaciju trećeg svojstva numeričkih nejednačina.