Ekonomsko-matematičke metode i modeliranje. Ekonomsko-matematičke metode i modeli

Ekonomsko-matematičke metode zasnivaju se na upotrebi korelacione i regresione analize, što omogućava utvrđivanje bliskosti veze i vrste zavisnosti prosečne vrednosti bilo koje vrednosti od neke druge ili od više vrednosti. U našem slučaju radi se o uspostavljanju zavisnosti razvoja tražnje od uticaja najvažnijih faktora. u praksi predviđanja robno-grupne strukture potražnje najčešće se koriste trend i regresijski modeli:

Trend modeli predviđanja potražnje su jednačine koje formalizuju održive procese njenog razvoja. Koriste se za predviđanje najstabilnijih obrazaca za velike robne podsektore (na primjer, omjer potražnje za prehrambenim i neprehrambenim proizvodima). Glavni parametar trend modela je vrijeme, odnosno, u suštini, govorimo i o ekstrapolaciji trendova i obrazaca baznog perioda na period prognoze.

Regresijski (faktorski) modeli odražavaju kvantitativni odnos jednog indikatora s drugim ili sa grupom drugih (višestruka regresija). Varijable su faktori koji određuju dinamiku potražnje. Matematička osnova za izgradnju modela su najvažnije odredbe teorije vjerovatnoće, matematičke statistike i više matematike. Proces izgradnje ovakvih modela sastoji se od nekoliko uzastopnih faza.

Prva i najvažnija faza u modeliranju razvoja robno-grupne strukture tražnje stanovništva je odabir faktora. Oni treba da odražavaju objektivne procese fenomena koji se proučava, da budu kvantitativno merljivi i nezavisni jedan od drugog.

U drugoj fazi izračunava se jačina uticaja ili bliskost odnosa između faktora i potražnje u baznom periodu. Određuje se korištenjem koeficijenata korelacije i testova dobrote uklapanja.

U trećoj fazi otkriva se matematički oblik odnosa ili vrsta zavisnosti potražnje od faktora, odabiru funkcije i najpreciznije se opisuje proces razvoja potražnje.

Četvrta faza: proračun parametara jednačine. Parametri jednadžbi izražavaju stepen i pravac uticaja svakog faktora na potražnju i izračunavaju se metodom najmanjih kvadrata.

Peta faza: procjena prediktivne vrijednosti modela na osnovu retrospektivnih proračuna.

Ekonomske i matematičke metode se efikasno koriste u kratkoročnom predviđanju. Budući da je objektivna realnost naše privrede da je prilično teško identifikovati i kvantificirati manje ili više stabilne faktore koji utiču na predviđeni proces. Stoga se izrada srednjoročnih, a posebno dugoročnih prognoza čini prilično teškom u savremenim uslovima. I po pravilu prevladava predviđanje za kratkoročne periode. Ekonomsko-matematičko modeliranje je osnova ekonomskog predviđanja. Omogućava, na strogo kvantitativnoj osnovi, da se otkrije priroda veza između pojedinačnih elemenata tržišta i onih faktora koji utiču na njegov razvoj. Ono što je posebno važno jeste da matematički modeli omogućavaju da se posmatra kako će se događaji razvijati pod određenim početnim pretpostavkama.

U ekonomsko-matematičkom modeliranju potražnje može se koristiti i grupa metoda - eksponencijalno glađenje i predviđanje, zasnovano na korišćenju već napravljenih prognoza trendova razvoja potražnje i najnovijih podataka o prodaji robe.

Matematičke metode pomažu u otkrivanju kvantitativnih pojava i odnosa. Ali oni su samo nastavak ekonomske analize, krajnji rezultat prvenstveno zavisi od izbora baznog perioda, odabira faktora, od toga da li je stepen stabilnosti fenomena pravilno određen.

Grafičke metode su povezane geometrijskim prikazom funkcionalne zavisnosti pomoću linija na ravni. Uz pomoć koordinatne mreže konstruišu se grafovi zavisnosti, na primer, nivo troškova od obima proizvedenih i prodatih proizvoda, kao i grafovi koji mogu prikazati korelacije između indikatora (dijagrami poređenja, krive distribucije, dijagrami vremenskih serija, statistički kartogrami).

Primjer: izrada mrežnog dijagrama za izgradnju i instalaciju preduzeća. Sastavlja se tabela radova i sredstava u kojoj su u tehnološkom redosledu naznačene njihove karakteristike, obim, izvođač, smena, potreba za materijalima. Trajanje zadatka i druge informacije. Na osnovu ovih pokazatelja pripremite raspored mreže. Optimizacija grafa se vrši skraćivanjem kritičnog puta, tj. minimiziranje rokova izvođenja radova na datim nivoima resursa, minimiziranje nivoa utroška resursa pri fiksnim terminima izvođenja radova.

Metoda korelaciono-regresione analize koristi se za utvrđivanje bliskosti odnosa između indikatora koji nisu u funkcionalnoj zavisnosti. Nepropusnost veze se meri korelacionim odnosom (za krivolinijsku zavisnost). Za pravolinijsku zavisnost izračunava se koeficijent korelacije. Metoda se koristi u rješavanju problema na "launch-release".

Primjer: odrediti ovisnost proizvodnje proizvoda u prosjeku od njihovog lansiranja, čineći odgovarajuću kontrolu regresije.

Metoda linearnog programiranja svodi se na pronalaženje ekstremnih vrijednosti (maksimalnih i minimalnih) nekih funkcija varijabli. Zasnovano na rješenju sistema linearnih jednačina, kada je zavisnost između pojava striktno funkcionalna.

Primjer: problemi racionalnog korištenja radnog vremena proizvodne opreme.

Metode dinamičkog programiranja koriste se u rješavanju optimizacijskih problema u kojima se ciljna funkcija i ograničenja karakteriziraju nelinearnim ovisnostima.

Primjer: vozilo nosivosti X napuniti teretom koji se sastoji od određenih stavki tako da cijena cijelog tereta bude maksimalna.

Matematička teorija igara istražuje optimalne strategije u situacijama igre. Odluka zahteva sigurnost u formulisanju uslova: utvrđivanje broja igrača, moguće isplate, određivanje strategije.

Primjer: maksimizirati prosječnu vrijednost prihoda od prodaje proizvedenih proizvoda, uzimajući u obzir vremenske nepogode.

Matematička teorija čekanja.

Primjer: obezbjeđivanje radnika potrebnim alatima.

Matrična metoda se zasniva na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri, a koristi se za proučavanje složenih i visokodimenzionalnih struktura na nivou industrije, na nivou preduzeća.

Primer: identifikovati distribuciju između prodavnica proizvoda za domaću potrošnju, i ukupnog obima proizvodnje, ako su dati parametri direktnih troškova i finalnog proizvoda.

Razmotriti karakteristike metodologije ekonomske analize u odnosu na proučavanje potražnje za robom.

Predviđanje potražnje može se vršiti različitim metodama, a posebno se mogu izdvojiti tri glavne grupe: metode ekonomsko-matematičkog modeliranja (ekstropolacijske metode), normativne metode, metode stručnih procjena.

Metode jednostavne (formalne) ekstrapolacije sastoje se u prenošenju prošlih i sadašnjih trendova u razvoju robno-grupne strukture tražnje u budući period na osnovu analize dinamičke serije.

Za ekstrapolaciju, informacije o dinamici tržišta predstavljaju se u ovom ili onom obliku - grafički, statistički, matematički, logički. U svakom slučaju, smatra se da ekonomske procese karakteriše "inertnost" ili obavezan nastavak pravca njihovog toka u bliskoj budućnosti. Ekstrapolacije zahtijevaju ekstremnu diskreciju od istraživača tržišta. Nije dovoljno proučavati prošle tržišne trendove - potrebno je uzeti u obzir nove uslove i faktore koji nisu bili tipični za prošlost, ali se mogu pojaviti u budućnosti. Istovremeno, potrebno je osloboditi se uzimanja u obzir faktora i okolnosti koji su izgubili na važnosti i više nemaju utjecaja na tok događaja na ovom tržištu.

Ova metoda je prilično jednostavna i pristupačna, ali je preporučljivo koristiti samo za period u kojem je malo vjerojatna promjena trendova, odnosno kratkoročno i za proširene grupe proizvoda.

Jednostavne metode ekstrapolacije također uključuju proračune elastičnosti potražnje ovisno o promjenama bilo kojeg faktora.

1. Ekonomsko-matematičke metode koje se koriste u analizi privredne aktivnosti

Spisak korištenih izvora

1. Ekonomsko-matematičke metode koje se koriste u analizi privredne aktivnosti

Jedan od načina za unapređenje analize privredne aktivnosti je uvođenje ekonomsko-matematičkih metoda i savremenih računara. Njihova primjena povećava efikasnost ekonomske analize proširenjem proučavanih faktora, potkrepljivanjem menadžerskih odluka, odabirom najbolje opcije za korištenje ekonomskih resursa, identifikacijom i mobilizacijom rezervi za povećanje efikasnosti proizvodnje.

Matematičke metode se zasnivaju na metodologiji ekonomsko-matematičkog modeliranja i naučno utemeljenoj klasifikaciji problema u analizi privredne djelatnosti. U zavisnosti od ciljeva ekonomske analize razlikuju se sledeći ekonomsko-matematički modeli: u determinističkim modelima - logaritam, učešće u kapitalu, diferencijacija; u stohastičkim modelima - metoda korelacije-regresije, linearno programiranje, teorija čekanja, teorija grafova, itd.

Stohastička analiza je metoda za rješavanje široke klase problema statističke procjene. Podrazumeva proučavanje masovnih empirijskih podataka izgradnjom modela promena indikatora usled faktora koji nisu u direktnoj vezi, u direktnoj međuzavisnosti i međuzavisnosti. Stohastički odnos postoji između slučajnih varijabli i očituje se u činjenici da se, kada se jedna od njih promijeni, mijenja zakon raspodjele druge.

U ekonomskoj analizi razlikuju se sljedeći najtipičniji zadaci stohastičke analize:

Proučavanje prisutnosti i čvrstoće odnosa između funkcije i faktora, kao i između faktora;

Rangiranje i klasifikacija faktora ekonomskih pojava;

Otkrivanje analitičkog oblika povezanosti proučavanih pojava;

Uglađivanje dinamike promjena u nivou indikatora;

Identifikacija parametara redovnih periodičnih fluktuacija nivoa indikatora;

Proučavanje dimenzije (složenosti, svestranosti) ekonomskih pojava;

Kvantitativna promjena informativnih indikatora;

Kvantitativna promjena uticaja faktora na promjenu analiziranih pokazatelja (ekonomska interpretacija dobijenih jednačina).

Stohastičko modeliranje i analiza odnosa između proučavanih indikatora počinje korelacionom analizom. Korelacija se sastoji u tome da prosječna vrijednost jedne od karakteristika varira u zavisnosti od vrijednosti druge. Atribut o kojem ovisi drugi atribut naziva se atribut faktora. Zavisni znak se naziva efektivnim. U svakom konkretnom slučaju, da bi se utvrdile faktorijalne i efektivne karakteristike u nejednakim skupovima, potrebno je analizirati prirodu veze. Tako, kada se analiziraju različite karakteristike u jednom skupu, plate radnika u vezi sa njihovim radnim iskustvom djeluju kao efektivni indikator, a u vezi sa pokazateljima životnog standarda ili kulturnih potreba - kao faktor faktora. Često se zavisnosti ne razmatraju od jednog znaka faktora, već od nekoliko. Za to se koristi skup metoda i tehnika za identifikaciju i kvantifikaciju odnosa i međuzavisnosti između karakteristika.

U proučavanju masovnih socio-ekonomskih pojava ispoljava se korelacija između faktorskih znakova, pri čemu na vrijednost efektivnog znaka, osim faktora, utiču i mnogi drugi znakovi koji djeluju u različitim smjerovima istovremeno ili uzastopno. Često se korelacija naziva nepotpuna statistička ili parcijalna, za razliku od funkcionalne, koja se izražava u činjenici da pri određenoj vrijednosti varijable (nezavisna varijabla - argument), druga (zavisna varijabla - funkcija) poprima strogu vrijednost.

Korelacija se može identifikovati samo u vidu opšteg trenda u masovnom poređenju činjenica. Svaka vrijednost atributa faktora neće odgovarati jednoj vrijednosti efektivnog atributa, već njihovoj kombinaciji. U ovom slučaju, za otvaranje veze potrebno je pronaći prosječnu vrijednost efektivnog atributa za svaku vrijednost faktora.

Ako je odnos linearan:

Vrijednosti koeficijenata a i b nalaze se iz sistema jednadžbi dobivenih metodom najmanjih kvadrata prema formuli:

N je broj zapažanja.

U slučaju pravolinijskog oblika odnosa između proučavanih indikatora, koeficijent korelacije se izračunava po formuli:

Ako se koeficijent korelacije stavi na kvadrat, dobijamo koeficijent determinacije.

Diskontiranje je proces pretvaranja buduće vrijednosti kapitala, novčanih tokova ili neto prihoda u sadašnju vrijednost. Stopa po kojoj se vrši diskontovanje naziva se diskontna stopa (diskontna stopa). Osnovna premisa koja leži u osnovi koncepta diskontiranog stvarnog toka novca je da novac ima vremensku vrijednost, odnosno da je količina novca koja je dostupna danas vrijednija od iste količine u budućnosti. Ova razlika se može izraziti kao kamatna stopa koja karakteriše relativne promjene tokom određenog perioda (obično jednak jednoj godini).

Mnogi zadaci sa kojima se ekonomista mora suočiti u svakodnevnoj praksi prilikom analize ekonomskih aktivnosti preduzeća su multivarijantni. Pošto nisu sve opcije jednako dobre, među mnogim mogućim opcijama morate pronaći najbolju. Značajan dio ovakvih problema dugo se rješavao na osnovu zdravog razuma i iskustva. Istovremeno, nije bilo sigurnosti da je pronađena varijanta najbolja.

U savremenim uslovima, čak i manje greške mogu dovesti do velikih gubitaka. S tim u vezi, postalo je neophodno uključiti optimizacijske ekonomsko-matematičke metode i računare u analizu i sintezu ekonomskih sistema, što stvara osnovu za donošenje naučno utemeljenih odluka. Takve metode su objedinjene u jednu grupu pod opštim nazivom "optimizacione metode donošenja odluka u ekonomiji". Za rješavanje ekonomskog problema matematičkim metodama, prije svega, potrebno je izgraditi njemu adekvatan matematički model, odnosno formalizirati cilj i uslove problema u obliku matematičkih funkcija, jednačina i (ili) nejednačina. .

U opštem slučaju, matematički model optimizacijskog problema ima oblik:

max (min): Z = Z(x),

pod ograničenjima

f i (x) Rb i , i = ,

gdje su R odnosi jednakosti, manji ili veći od.

Ako su funkcija cilja i funkcije uključene u sistem ograničenja linearne u odnosu na nepoznate uključene u problem, takav problem se naziva problemom linearnog programiranja. Ako ciljna funkcija ili sistem ograničenja nije linearan, takav problem se naziva problemom nelinearnog programiranja.

U osnovi, u praksi se problemi nelinearnog programiranja svode linearizacijom na problem linearnog programiranja. Od posebnog praktičnog interesa među problemima nelinearnog programiranja su problemi dinamičkog programiranja, koji se zbog svoje višestepene prirode ne mogu linearizirati. Stoga ćemo razmotriti samo ove dvije vrste optimizacijskih modela za koje danas postoji dobar matematički i softverski.

Metoda dinamičkog programiranja je posebna matematička tehnika za optimizaciju nelinearnih problema matematičkog programiranja, koja je posebno prilagođena procesima u više koraka. Proces u više koraka se obično smatra procesom koji se razvija tokom vremena i lomi se na nekoliko "koraka" ili "faza". Istovremeno, metoda dinamičkog programiranja se koristi i za rješavanje problema u kojima se vrijeme ne pojavljuje. Neki procesi padaju u korake na prirodan način (npr. proces planiranja ekonomske aktivnosti preduzeća za vremenski period od nekoliko godina). Mnogi procesi se mogu umjetno podijeliti u faze.

Suština metode dinamičkog programiranja je da umjesto traženja optimalnog rješenja za cijeli složeni problem odjednom, radije pronalaze optimalna rješenja za nekoliko jednostavnijih problema sličnog sadržaja, na koje je originalni problem podijeljen.

Metodu dinamičkog programiranja karakteriše i činjenica da se izbor optimalnog rješenja u svakom koraku mora vršiti uzimajući u obzir posljedice u budućnosti. To znači da prilikom optimizacije procesa u svakom pojedinačnom koraku ni u kom slučaju ne smijete zaboraviti na sve naredne korake. Dakle, dinamičko programiranje je dalekovidno planiranje sa perspektivom.

Princip izbora odluke u dinamičkom programiranju je definirajući i naziva se Bellmanov princip optimalnosti. Formulišemo je na sledeći način: optimalna strategija ima svojstvo da, bez obzira na početno stanje i odluku donetu u početnom trenutku, naknadne odluke treba da dovedu do poboljšanja situacije u odnosu na stanje koje je rezultat prvobitne odluke.

Dakle, prilikom rješavanja problema optimizacije metodom dinamičkog programiranja potrebno je na svakom koraku voditi računa o posljedicama do kojih će trenutna odluka dovesti u budućnosti. Izuzetak je posljednji korak, koji završava proces. Ovdje možete donijeti takvu odluku kako biste osigurali maksimalan učinak. Optimalno planirajući zadnji korak, može se uz njega „prikačiti“ pretposljednji korak tako da rezultat ova dva koraka bude optimalan itd. Upravo na taj način - od kraja do početka - može se odvijati postupak odlučivanja. Optimalno rješenje pronađeno pod uvjetom da je prethodni korak završio na određeni način naziva se uvjetno optimalno rješenje.

Statistička teorija igara je sastavni dio opće teorije igara, koja je dio moderne primijenjene matematike koji proučava metode za potkrepljivanje optimalnih rješenja u konfliktnim situacijama. U teoriji statističkih igara razlikuju se koncepti kao što su originalna strateška igra i stvarna statistička igra. U ovoj teoriji, prvi igrač se zove "priroda", što se podrazumijeva kao skup okolnosti pod kojima drugi igrač mora donositi odluke - "statistika". U strateškoj igri oba igrača djeluju aktivno, pod pretpostavkom da je protivnik "razuman" igrač. Stratešku igru ​​karakteriše potpuna nesigurnost u izboru strategije od strane svakog igrača, odnosno igrači ne znaju ništa o strategijama jedni drugih. U strateškoj igri, oba igrača djeluju na osnovu determinističkih informacija definiranih matricom gubitaka.

U stvarnoj statističkoj igri, priroda nije aktivan igrač u smislu da "nije inteligentna" i ne pokušava da se suprotstavi maksimalnoj isplati drugog igrača. Statističar (drugi igrač) u statističkoj igri nastoji da dobije utakmicu protiv imaginarnog protivnika - prirode. Ako u strateškoj igri igrači djeluju u uvjetima potpune neizvjesnosti, tada je za statističku igru ​​karakteristična djelomična neizvjesnost. Činjenica je da se priroda razvija i "djeluje" u skladu sa svojim objektivno postojećim zakonima. Statističar ima priliku da postepeno proučava ove zakone, na primjer, na osnovu statističkog eksperimenta.

Teorija redova čekanja je primijenjeno područje teorije slučajnih procesa. Predmet njenog istraživanja su probabilistički modeli realnih uslužnih sistema, gde u nasumično (ili nenasumično) vreme postoje zahtevi za uslugom i postoje uređaji (kanali) za ispunjavanje zahteva. Teorija čekanja istražuje matematičke metode za kvantifikaciju procesa čekanja, kvaliteta funkcionisanja sistema, pri čemu i momenti pojavljivanja zahteva (aplikacija) i vreme utrošeno na njihovo izvršenje mogu biti nasumični.

Sistem čekanja nalazi primenu u rešavanju sledećih problema: na primer, kada se masovno primaju zahtevi (zahtjevi) za uslugu sa njihovim naknadnim zadovoljenjem. U praksi to može biti prijem sirovina, materijala, poluproizvoda, proizvoda u skladište i njihovo izdavanje iz skladišta; obrada širokog spektra delova na istoj tehnološkoj opremi; organizacija podešavanja i popravke opreme; transportne operacije; planiranje rezervi i osiguranje rezervi resursa; određivanje optimalnog broja odeljenja i službi preduzeća; obrada planske i izvještajne dokumentacije i dr.

Model bilansa je sistem jednačina koje karakterišu dostupnost resursa (proizvoda) u fizičkom ili novčanom smislu i pravac njihove upotrebe. Istovremeno, dostupnost resursa (proizvoda) i potreba za njima kvantitativno se poklapaju. Rješenje ovakvih modela zasniva se na metodama linearne vektorsko-matrične algebre. Stoga se metode i modeli ravnoteže nazivaju matričnim metodama analize. Jasnoća slika različitih ekonomskih procesa u matričnim modelima i elementarne metode za rješavanje sistema jednačina omogućavaju njihovu primjenu u različitim proizvodnim i ekonomskim situacijama.

Matematička teorija rasplinutih skupova, razvijena 60-ih godina XX veka, danas se sve više koristi u finansijskoj analizi preduzeća, uključujući analizu i prognozu finansijskog položaja preduzeća, analizu promena obrtnog kapitala, slobodni novčani tokovi, ekonomski rizik, i procjena uticaja troškova na dobit, izračunavanje cijene kapitala. Ova teorija se zasniva na konceptima "fazi skupa" i "funkcija članstva".

U opštem slučaju, rešavanje problema ove vrste je prilično glomazno, jer postoji velika količina informacija. Praktična upotreba teorije rasplinutih skupova omogućava da se razviju tradicionalne metode finansijske i ekonomske aktivnosti, da se prilagode novim potrebama računovodstva za neizvesnost u budućnosti glavnih indikatora preduzeća.

Zadatak 1

Na osnovu datih podataka o broju zaposlenih u industrijskom preduzeću izračunati stopu fluktuacije za prijem i odlazak radnika i stopu fluktuacije. Izvucite zaključke.

Odluka:

Hajde da definišemo:

1) stopa prihvatanja (K pr):

Prošle godine: Kpr = 610 / (2490 + 3500) = 0,102

Izvještajna godina: Cpr. = 650 / (2539 + 4200) = 0,096

U izvještajnoj godini koeficijent eksternog prometa na prijemu smanjen je za 0,006 (0,096 - 0,102).

2) koeficijent za otpuštanje (penzionisanje) zaposlenih (K uv):

Prošle godine: Kvyb. = 690 / (2490 + 3500) = 0,115

Izvještajna godina: Kvyb. = 725 / (2539 + 4200) = 0,108

U izvještajnoj godini smanjen je i koeficijent eksternog prometa pri odlasku u penziju za 0,007 (0,108 - 0,115).

3) stopa fluktuacije osoblja(K tech):

Prošle godine: Ktek. = (110 + 30) / (2490 + 3500) = 0,023

Izvještajna godina: Ktek. = (192 + 25) / (2539 + 4200) = 0,032

Stopa fluktuacije osoblja je u izvještajnoj godini također porasla za 0,009 (0,032 - 0,023), što je negativan trend u kretanju kadrova.

4) koeficijent ukupnog prometa rada(K o):

Prošle godine: Cob = (610 + 690) / (2490 + 3500) = 0,217

Izvještajna godina: Kob. = (650 + 725) / (2539 + 4200) = 0,204

Koeficijent ukupnog prometa radne snage smanjen je za 0,013 (0,204 - 0,217).

Zadatak 2

Kreirajte početni model obima proizvodnje. Odredite tip faktorskog modela. Svim poznatim metodama izračunati uticaj faktora na promjenu obima proizvodnje.

Odluka:

Efektivni indikator je kapitalna produktivnost.

Početni matematički model:

FO \u003d VP / OF.

Tip modela - višestruki. Ukupan broj indikatora učinka koji se koristi za proračun je 3, jer se računa uticaj 2 faktora (2 + 1 = 3). Broj uslovnih pokazatelja učinka je 1, jer je jednak broju faktora minus 1.

Za ovaj model su primjenjive sljedeće tehnike: lančana supstitucija, indeks i integral.

1. Izračunati nivo uticaja faktora promene efektivnog indikatora metodom lančane supstitucije.

Algoritam rješenja:

FO pl \u003d VP pl / OF pl \u003d 20433 / 2593 = 7,88 rubalja.

FO uvjetno 1 \u003d VP f / OF pl \u003d 20193 / 2593 \u003d 7,786 rubalja.

FO f \u003d VP f / OF f \u003d 20193 / 2577 \u003d 7.836 rubalja.

Proračun faktora koji su uticali na promjenu kapitalne produktivnosti daćemo u tabeli.

broj faktora	Naziv faktora	Proračun nivoa uticaja faktora	Nivo uticaja faktora promene u ukupnom iznosu dobiti
	Promijenite povrat na sredstva promjenom obima proizvodnje	7,786-7,88 =-0,094
	Promijenite kapitalnu produktivnost promjenom osnovnih sredstava	7,836-7,786 = 0,05
	TOTAL (veza ravnoteže)

2. Na integralan način izračunati nivo uticaja faktora promjene efektivnog indikatora.

VP \u003d VP f - VP pl \u003d 20193 - 20433 \u003d -240;

OF \u003d OF f - OF pl \u003d 2577 - 2593 \u003d -16.

FO pl \u003d 20433 / 2593 \u003d 7,88 rubalja.

FO f \u003d 20193 / 2577 \u003d 7.836 rubalja.

FD vp = = 15 ln|0,99| = -0,09284

FD od \u003d?

3. Izračunati nivo uticaja faktora promjene efektivnog indikatora metodom indeksa.

I FO \u003d I VP I OF.

I FO \u003d (VP f / OF f): (VP pl / OF pl) = 7,836 / 7,88 \u003d 0,99

I VP \u003d (VP f / OF pl): (VP pl / OF pl) \u003d 7,786 / 7,88 \u003d 0,988

I OF \u003d (VP f / OF f): (VP f / OF pl) = 7,836 / 7,786 = 1,006

I FD \u003d I VP I OF \u003d 0,988 1,006 = 0,99.

Ako od brojnika gornjih formula oduzmemo imenilac, onda ćemo dobiti apsolutna povećanja produktivnosti kapitala u cjelini i zbog svakog faktora posebno, odnosno iste rezultate kao u metodi lančane zamjene.

Zadatak 3

Odredite koliki će biti prosječni prinos ako je unesena količina đubriva 20 centi. Odredite bliskost odnosa između indikatora "y" i faktora "x".

Dato: Regresijska jednačina

gdje je y prosječna promjena prinosa, c/ha

x - količina unesenog đubriva, c.

Koeficijent determinacije je 0,92.

Odluka:

Prosječan nivo produktivnosti je 62 q/ha.

Regresiona analiza ima za cilj zaključak, definisanje (identifikacija) regresione jednačine, uključujući i statističku procjenu njenih parametara. Jednačina regresije vam omogućava da pronađete vrijednost zavisne varijable ako je poznata vrijednost nezavisnih ili nezavisnih varijabli.

Koeficijent korelacije se izračunava po formuli:

Dokazano je da je koeficijent korelacije u rasponu od minus jedan do plus jedan (-1< R x, y <1). Коэффициент корреляции в квадрате () называется коэффициентом детерминации. Коэффициент корреляции R za ovaj uzorak je 0,9592 (). Što je bliže jedinstvu, to je bliži odnos između karakteristika. U ovom slučaju, veza je vrlo bliska, gotovo apsolutna korelacija. Koeficijent determinacije R 2 jednako 0,92. To znači da je jednačina regresije određena sa 92% varijansom rezultujućeg atributa, a 8% je obuhvaćeno faktorima treće strane.

Koeficijent determinacije pokazuje udio rasipanja uzetog u obzir regresijom u ukupnom raspršenju rezultirajućeg atributa. Ovaj pokazatelj, jednak omjeru faktorske varijacije prema ukupnoj varijaciji osobine, omogućava procjenu koliko je "uspješno" odabran tip funkcije. Što je veći R 2 , to više promjena u atributu faktora objašnjava promjenu rezultantnog atributa i, prema tome, što je regresiona jednačina bolja, to je bolji izbor funkcije.

Spisak korištenih izvora

Analiza privredne aktivnosti preduzeća: Proc. dodatak / Ispod ukupno. ed. L. L. Ermolovich. - Minsk: Interpressservice; Ekoperspektiva, 2001. - 576 str.

Savitskaya G. V. Analiza ekonomske aktivnosti preduzeća, 7. izdanje, Rev. - Minsk: Novo znanje, 2002. - 704 str.

Savitskaya GV Teorija analize ekonomske aktivnosti. - M.: Infra-M, 2007.

Savitskaya GV Ekonomska analiza: Proc. - 10. izdanje, ispravljeno. - M.: Novo znanje, 2004. - 640 str.

Skamai LG, Trubochkina MI Ekonomska analiza preduzeća. - M.: Infra-M, 2007.

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE

Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja

RUSKI DRŽAVNI TRGOVINSKI I EKONOMSKI UNIVERZITET

FILIJALA TULA

(TF GOU VPO RGTEU)

Esej iz matematike na temu:

"Ekonomski i matematički modeli"

Završeno:

Studenti 2. godine

"Finansije i kredit"

dnevni odjel

Maksimova Kristina

Vitka Natalia

Provjereno:

doktor tehničkih nauka,

Profesor S.V. Yudin _____________

Uvod

1.Ekonomsko-matematičko modeliranje

1.1 Osnovni koncepti i tipovi modela. Njihova klasifikacija

1.2 Ekonomske i matematičke metode

Razvoj i primjena ekonomsko-matematičkih modela

2.1 Faze ekonomsko-matematičkog modeliranja

2.2 Primjena stohastičkih modela u ekonomiji

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Relevantnost.Modeliranje u naučnim istraživanjima počelo je da se koristi još u antičko doba i postepeno je zahvatilo sve nove oblasti naučnog znanja: tehničko projektovanje, konstrukciju i arhitekturu, astronomiju, fiziku, hemiju, biologiju i, konačno, društvene nauke. Veliki uspjeh i priznanje u gotovo svim granama moderne nauke donijela je metoda modeliranja dvadesetog vijeka. Međutim, metodologiju modeliranja su pojedine nauke dugo razvijale samostalno. Nije postojao jedinstven sistem pojmova, jedinstvena terminologija. Tek postepeno se počela shvaćati uloga modeliranja kao univerzalnog metoda naučnog saznanja.

Termin "model" se široko koristi u različitim poljima ljudske aktivnosti i ima mnogo značenja. Razmotrimo samo takve "modele" koji su alati za sticanje znanja.

Model je takav materijalni ili mentalno predstavljeni predmet koji u procesu istraživanja zamjenjuje originalni predmet tako da njegovo neposredno proučavanje daje nova saznanja o izvornom objektu.

Modeliranje se odnosi na proces izgradnje, proučavanja i primjene modela. Usko je povezan sa kategorijama kao što su apstrakcija, analogija, hipoteza itd. Proces modeliranja nužno uključuje konstrukciju apstrakcija, zaključaka po analogiji i izgradnju naučnih hipoteza.

Ekonomsko-matematičko modeliranje je sastavni dio svakog istraživanja u oblasti ekonomije. Brzi razvoj matematičke analize, istraživanja operacija, teorije vjerovatnoće i matematičke statistike doprinio je formiranju različitih vrsta ekonomskih modela.

Svrha matematičkog modeliranja ekonomskih sistema je korištenje matematičkih metoda za najefikasnije rješavanje problema koji se javljaju u oblasti ekonomije, koristeći, po pravilu, savremenu kompjutersku tehnologiju.

Zašto možemo govoriti o efikasnosti primjene metoda modeliranja u ovoj oblasti? Prvo, ekonomski objekti različitih nivoa (počev od nivoa jednostavnog preduzeća pa do makro nivoa – privrede jedne zemlje ili čak svetske privrede) mogu se posmatrati sa stanovišta sistematskog pristupa. Drugo, karakteristike ponašanja ekonomskih sistema kao što su:

-varijabilnost (dinamika);

-nedosljednost ponašanja;

-sklonost degradiranju performansi;

-izloženost životne sredine

predodređuju izbor metode njihovog istraživanja.

Prodor matematike u ekonomiju povezan je sa prevazilaženjem značajnih poteškoća. Za to je djelimično bila "kriva" matematika koja se razvijala kroz nekoliko stoljeća, uglavnom u vezi s potrebama fizike i tehnologije. Ali glavni razlozi i dalje leže u prirodi ekonomskih procesa, u specifičnostima ekonomske nauke.

Složenost ekonomije ponekad se smatrala opravdanjem za nemogućnost njenog modeliranja, proučavanja pomoću matematike. Ali ovo gledište je u osnovi pogrešno. Možete modelirati objekt bilo koje prirode i bilo koje složenosti. A upravo su složeni objekti od najvećeg interesa za modeliranje; ovdje modeliranje može dati rezultate koji se ne mogu dobiti drugim metodama istraživanja.

Svrha ovog rada- otkrivaju pojam ekonomsko-matematičkih modela i proučavaju njihovu klasifikaciju i metode na kojima se zasnivaju, kao i razmatraju njihovu primjenu u privredi.

Zadaci ovog rada:sistematizacija, akumulacija i konsolidacija znanja o ekonomskim i matematičkim modelima.

1.Ekonomsko-matematičko modeliranje

1.1 Osnovni koncepti i tipovi modela. Njihova klasifikacija

U procesu proučavanja objekta često je nepraktično ili čak nemoguće direktno se baviti ovim objektom. Pogodnije ga je zamijeniti drugim objektom sličnim datom u onim aspektima koji su važni u ovoj studiji. Uglavnom modelmože se definisati kao uslovna slika stvarnog objekta (procesa), koja se stvara za dublje proučavanje stvarnosti. Naziva se istraživačka metoda zasnovana na razvoju i korištenju modela modeliranje. Potreba za modeliranjem je zbog složenosti, a ponekad i nemogućnosti direktnog proučavanja stvarnog objekta (procesa). Mnogo je pristupačnije kreirati i proučavati prototipove stvarnih objekata (procesa), tj. modeli. Možemo reći da je teorijsko znanje o nečemu, po pravilu, kombinacija različitih modela. Ovi modeli odražavaju bitna svojstva realnog objekta (procesa), iako je u stvarnosti stvarnost mnogo sadržajnija i bogatija.

Modelje mentalno predstavljen ili materijalno realizovan sistem, koji je, prikazujući ili reprodukujući predmet proučavanja, u stanju da ga zameni na način da njegovo proučavanje daje nove informacije o ovom objektu.

Do danas ne postoji općeprihvaćena jedinstvena klasifikacija modela. Međutim, od mnoštva modela mogu se razlikovati verbalni, grafički, fizički, ekonomsko-matematički i neki drugi tipovi modela.

Ekonomski i matematički modeli- to su modeli ekonomskih objekata ili procesa u čijem opisu se koriste matematička sredstva. Ciljevi njihovog stvaranja su različiti: izgrađeni su da analiziraju određene preduslove i odredbe ekonomske teorije, da daju obrazloženje ekonomskih obrazaca, da obrađuju i unose empirijske podatke u sistem. U praktičnom smislu, ekonomski i matematički modeli se koriste kao alat za predviđanje, planiranje, upravljanje i unapređenje različitih aspekata ekonomske aktivnosti društva.

Ekonomski i matematički modeli odražavaju najbitnija svojstva stvarnog objekta ili procesa koristeći sistem jednačina. Ne postoji jedinstvena klasifikacija ekonomsko-matematičkih modela, iako je moguće izdvojiti njihove najznačajnije grupe u zavisnosti od atributa klasifikacije.

Za predviđenu svrhumodeli se dijele na:

· Teorijski i analitički (koristi se u proučavanju opštih svojstava i obrazaca ekonomskih procesa);

· Primijenjena (koristi se u rješavanju specifičnih ekonomskih problema, kao što su problemi ekonomske analize, predviđanja, upravljanja).

Uzimajući u obzir faktor vremenamodeli se dijele na:

· Dinamičan (opisati ekonomski sistem u razvoju);

· Statistički (ekonomski sistem se u statistici opisuje u odnosu na jednu specifičnu tačku u vremenu; on je kao snimak, isečak, fragment dinamičkog sistema u nekom trenutku).

Prema trajanju razmatranog vremenskog periodarazlikovati modele:

· Kratkoročno predviđanje ili planiranje (do godinu dana);

· Srednjoročno predviđanje ili planiranje (do 5 godina);

· Dugoročno predviđanje ili planiranje (više od 5 godina).

Prema namjeni kreiranja i primjenerazlikovati modele:

· Balans;

· ekonometrijski;

· Optimizacija;

· Mreža;

· Sistemi čekanja;

· Imitacija (stručnjak).

AT bilansModeli odražavaju zahtjev za usklađivanjem dostupnosti resursa i njihove upotrebe.

OptimizacijaModeli omogućavaju pronalaženje najbolje varijante proizvodnje, distribucije ili potrošnje iz skupa mogućih (alternativnih) opcija. Ograničeni resursi će se koristiti na najbolji mogući način za postizanje cilja.

Mrežamodeli se najčešće koriste u upravljanju projektima. Mrežni model prikazuje skup radova (operacija) i događaja, te njihov odnos u vremenu. Tipično, mrežni model je dizajniran za obavljanje posla u takvom slijedu da je vremenski okvir projekta minimalan. U ovom slučaju, problem je pronaći kritični put. Međutim, postoje i mrežni modeli koji nisu fokusirani na kriterij vremena, već, na primjer, na minimiziranje troškova rada.

Modeli sistemi čekanjakreirani su kako bi se minimiziralo vrijeme čekanja u redu i vrijeme zastoja servisnih kanala.

Imitacijamodel, uz mašinske odluke, sadrži blokove u kojima odluke donosi osoba (stručnjak). Umjesto direktnog učešća osobe u donošenju odluka, može djelovati baza znanja. U ovom slučaju personalni računar, specijalizovani softver, baza podataka i baza znanja čine ekspertski sistem. Ekspertsistem je dizajniran da riješi jedan ili više zadataka simulirajući radnje osobe, stručnjaka u ovoj oblasti.

Uzimajući u obzir faktor nesigurnostimodeli se dijele na:

· Deterministički (sa jedinstveno definisanim rezultatima);

· Stohastički (probabilistički; sa različitim, probabilističkim rezultatima).

Po vrsti matematičkog aparatarazlikovati modele:

· Linearno programiranje (optimalni plan se postiže u ekstremnoj tački područja promjene varijabli sistema ograničenja);

· Nelinearno programiranje (može postojati nekoliko optimalnih vrijednosti funkcije cilja);

· Korelacija-regresija;

· Matrix;

· Mreža;

· teorija igara;

· Teorije čekanja u redu itd.

Razvojem ekonomsko-matematičkih istraživanja, problem klasifikacije primijenjenih modela postaje sve komplikovaniji. Uporedo sa pojavom novih tipova modela i novih znakova njihove klasifikacije, u toku je proces integracije modela različitih tipova u složenije strukture modela.

simulacija matematički stohastički

1.2 Ekonomsko-matematičke metode

Kao i svako modeliranje, ekonomsko-matematičko modeliranje se zasniva na principu analogije, tj. mogućnost proučavanja objekta konstruisanjem i razmatranjem drugog njemu sličnog, ali jednostavnijeg i pristupačnijeg objekta, njegovog modela.

Praktični zadaci ekonomsko-matematičkog modeliranja su, prvo, analiza ekonomskih objekata, drugo, ekonomsko predviđanje, predviđanje razvoja ekonomskih procesa i ponašanja pojedinih indikatora, i treće, razvoj upravljačkih odluka na svim nivoima upravljanja.

Suština ekonomsko-matematičkog modeliranja leži u opisu socio-ekonomskih sistema i procesa u obliku ekonomsko-matematičkih modela, koje treba shvatiti kao produkt procesa ekonomskog i matematičkog modeliranja, a ekonomsko-matematičke metode - kao alat.

Razmotrimo pitanja klasifikacije ekonomskih i matematičkih metoda. Ove metode su kompleks ekonomsko-matematičkih disciplina, koje su spoj ekonomije, matematike i kibernetike. Stoga se klasifikacija ekonomskih i matematičkih metoda svodi na klasifikaciju naučnih disciplina koje su uključene u njihov sastav.

Uz određeni stepen konvencionalnosti, klasifikacija ovih metoda može se predstaviti na sljedeći način.

· Ekonomska kibernetika: sistemska analiza ekonomije, teorija ekonomskih informacija i teorija sistema upravljanja.

· Matematička statistika: ekonomske primjene ove discipline - metoda uzorkovanja, analiza varijanse, korelaciona analiza, regresiona analiza, multivarijantna statistička analiza, teorija indeksa, itd.

· Matematička ekonomija i kvantitativna ekonometrija: teorija ekonomskog rasta, teorija proizvodne funkcije, input-output bilansi, nacionalni računi, analiza potražnje i potrošnje, regionalna i prostorna analiza, globalno modeliranje.

· Metode za donošenje optimalnih odluka, uključujući proučavanje poslovanja u privredi. Ovo je najobimniji dio, koji uključuje sljedeće discipline i metode: optimalno (matematičko) programiranje, metode planiranja i upravljanja mrežom, teoriju i metode upravljanja zalihama, teoriju čekanja, teoriju igara, teoriju odlučivanja i metode.

Optimalno programiranje, zauzvrat, uključuje linearno i nelinearno programiranje, dinamičko programiranje, diskretno (cijelobrojno) programiranje, stohastičko programiranje itd.

· Metode i discipline koje su specifične i za centralno planiranu ekonomiju i za tržišnu (konkurentnu) ekonomiju. Prvi uključuju teoriju optimalnog određivanja cijena funkcionisanja privrede, optimalno planiranje, teoriju optimalnog određivanja cijena, modele logistike itd. Potonji uključuju metode koje omogućavaju razvoj modela slobodne konkurencije, modela kapitalističkog ciklusa, modela monopol, modeli teorije firme, itd. Mnoge metode razvijene za centralno planiranu ekonomiju takođe mogu biti korisne u ekonomskom i matematičkom modeliranju u tržišnoj ekonomiji.

· Metode eksperimentalnog proučavanja ekonomskih pojava. To uključuje, po pravilu, matematičke metode analize i planiranja ekonomskih eksperimenata, metode mašinske simulacije (simulacije), poslovne igre. Ovo takođe uključuje metode stručnih procena razvijenih za procenu pojava koje se ne mogu direktno meriti.

U ekonomskim i matematičkim metodama koriste se razne grane matematike, matematičke statistike i matematičke logike. Važnu ulogu u rješavanju ekonomskih i matematičkih problema imaju računska matematika, teorija algoritama i druge discipline. Upotreba matematičkog aparata donijela je opipljive rezultate u rješavanju problema analize procesa proširene proizvodnje, utvrđivanja optimalne stope rasta kapitalnih ulaganja, optimalne lokacije, specijalizacije i koncentracije proizvodnje, problema izbora najboljih metoda proizvodnje, određivanja optimalan redoslijed puštanja u proizvodnju, problem pripreme proizvodnje metodama mrežnog planiranja i mnogi drugi.

Rješavanje standardnih problema karakterizira jasan cilj, sposobnost da se unaprijed razviju procedure i pravila za provođenje proračuna.

Postoje sljedeći preduslovi za upotrebu metoda ekonomsko-matematičkog modeliranja, od kojih su najvažniji visok nivo poznavanja ekonomske teorije, ekonomskih procesa i pojava, metodologije njihove kvalitativne analize, kao i visok nivo poznavanja ekonomske teorije, ekonomskih procesa i pojava. matematička obuka, poznavanje ekonomskih i matematičkih metoda.

Prije početka izrade modela potrebno je pažljivo analizirati situaciju, identificirati ciljeve i odnose, probleme koje je potrebno riješiti i početne podatke za njihovo rješavanje, održavati sistem notacije, a tek onda opisati situaciju u obliku matematičkih odnosa.

2. Razvoj i primjena ekonomsko-matematičkih modela

2.1 Faze ekonomsko-matematičkog modeliranja

Proces ekonomsko-matematičkog modeliranja je opis ekonomskih i društvenih sistema i procesa u obliku ekonomskih i matematičkih modela. Ovaj tip modeliranja ima niz značajnih karakteristika povezanih kako sa objektom modeliranja tako i sa aparatom i sredstvima za modeliranje koji se koriste. Stoga je preporučljivo detaljnije analizirati redoslijed i sadržaj faza ekonomskog i matematičkog modeliranja, izdvajajući sljedećih šest faza:

.Prikaz ekonomskog problema i njegova kvalitativna analiza;

2.Izgradnja matematičkog modela;

.Matematička analiza modela;

.Priprema početnih informacija;

.Numeričko rješenje;

.

Razmotrimo svaku od faza detaljnije.

1.Prikaz ekonomskog problema i njegova kvalitativna analiza. Ovdje je najvažnije jasno artikulirati suštinu problema, postavljene pretpostavke i pitanja na koja treba odgovoriti. Ova faza uključuje isticanje najvažnijih karakteristika i svojstava objekta koji se modelira i apstrahiranje od sporednih; proučavanje strukture objekta i glavnih ovisnosti koje povezuju njegove elemente; formulisanje hipoteza (barem preliminarnih) koje objašnjavaju ponašanje i razvoj objekta.

2.Izgradnja matematičkog modela. Ovo je faza formalizacije ekonomskog problema, izražavajući ga u obliku specifičnih matematičkih zavisnosti i odnosa (funkcije, jednačine, nejednakosti, itd.). Obično se prvo odredi glavna konstrukcija (tip) matematičkog modela, a zatim se specificiraju detalji ove konstrukcije (konkretna lista varijabli i parametara, oblik relacija). Stoga je konstrukcija modela podijeljena na nekoliko faza.

Pogrešno je pretpostaviti da što više činjenica model uzima u obzir, to bolje „funkcioniše“ i daje bolje rezultate. Isto se može reći i za takve karakteristike složenosti modela kao što su oblici korištenih matematičkih ovisnosti (linearne i nelinearne), uzimajući u obzir faktore slučajnosti i neizvjesnosti, itd.

Prekomjerna složenost i glomaznost modela komplikuju proces istraživanja. Neophodno je uzeti u obzir ne samo realne mogućnosti informacione i matematičke podrške, već i uporediti troškove modeliranja sa dobijenim efektom.

Jedna od bitnih karakteristika matematičkih modela je potencijalna mogućnost njihove upotrebe za rješavanje problema različitog kvaliteta. Stoga, čak i kada se suoči sa novim ekonomskim izazovom, ne treba težiti „izmišljanju“ modela; Prvo, potrebno je pokušati primijeniti već poznate modele za rješavanje ovog problema.

.Matematička analiza modela.Svrha ovog koraka je razjasniti opća svojstva modela. Ovdje se koriste čisto matematičke metode istraživanja. Najvažnija stvar je dokaz postojanja rješenja u formuliranom modelu. Ako je moguće dokazati da matematički problem nema rješenja, onda nema potrebe za naknadnim radom na početnoj verziji modela, već treba korigirati ili formulaciju ekonomskog problema ili metode njegove matematičke formalizacije. Tokom analitičkog proučavanja modela, razjašnjavaju se pitanja kao što su, na primjer, da li je rješenje jedinstveno, koje varijable (nepoznate) mogu biti uključene u rješenje, kakvi će biti odnosi između njih, u kojim granicama i ovisno o početnoj uslove u kojima se mijenjaju, koji su trendovi njihove promjene, itd. d. Analitičko proučavanje modela u odnosu na empirijsko (numeričko) ima prednost što dobijeni zaključci ostaju važeći za različite specifične vrijednosti eksternih i unutrašnjih parametara modela.

4.Priprema početnih informacija.Modeliranje postavlja stroge zahtjeve prema informacionom sistemu. Istovremeno, realne mogućnosti dobijanja informacija ograničavaju izbor modela namenjenih za praktičnu upotrebu. Ovo uzima u obzir ne samo fundamentalnu mogućnost pripreme informacija (za određeni vremenski period), već i troškove pripreme relevantnih informacijskih nizova.

Ovi troškovi ne bi trebali premašiti učinak korištenja dodatnih informacija.

U procesu pripreme informacija široko se koriste metode teorije vjerovatnoće, teorijske i matematičke statistike. U sistemskom ekonomskom i matematičkom modeliranju, početne informacije koje se koriste u nekim modelima rezultat su funkcioniranja drugih modela.

5.Numeričko rješenje.Ova faza uključuje razvoj algoritama za numeričko rješenje problema, kompilaciju kompjuterskih programa i direktne proračune. Poteškoće ove faze su, prije svega, posljedica velike dimenzije ekonomskih problema, potrebe za obradom značajnih količina informacija.

Studija izvedena numeričkim metodama može značajno dopuniti rezultate analitičke studije, a za mnoge modele je jedina izvediva. Klasa ekonomskih problema koji se mogu riješiti numeričkim metodama mnogo je šira od klase problema dostupnih analitičkom istraživanju.

6.Analiza numeričkih rezultata i njihova primjena.U ovoj završnoj fazi ciklusa postavlja se pitanje ispravnosti i potpunosti rezultata simulacije, o stepenu praktične primjene ovih potonjih.

Metode matematičke verifikacije mogu otkriti netačne konstrukcije modela i time suziti klasu potencijalno ispravnih modela. Neformalna analiza teorijskih zaključaka i numeričkih rezultata dobijenih pomoću modela, njihovo poređenje sa dostupnim znanjima i činjenicama stvarnosti, takođe omogućavaju otkrivanje nedostataka u formulaciji ekonomskog problema, konstruisanog matematičkog modela, njegovih informacija. i matematičku podršku.

2.2 Primjena stohastičkih modela u ekonomiji

Osnova efikasnosti bankarskog menadžmenta je sistematska kontrola optimalnosti, uravnoteženosti i stabilnosti funkcionisanja u kontekstu svih elemenata koji formiraju resursni potencijal i određuju izglede za dinamičan razvoj kreditne institucije. Njegove metode i alate treba modernizirati kako bi se zadovoljili promjenjivi ekonomski uslovi. Istovremeno, potreba za unapređenjem mehanizma za implementaciju novih bankarskih tehnologija određuje izvodljivost naučnog istraživanja.

Integrisani koeficijenti finansijske stabilnosti (CFS) komercijalnih banaka koji se koriste u postojećim metodama često karakterišu ravnotežu njihovog stanja, ali ne dozvoljavaju potpun opis trenda razvoja. Treba imati na umu da rezultat (KFU) zavisi od mnogih slučajnih uzroka (endogenih i egzogenih) koji se ne mogu u potpunosti uzeti u obzir unaprijed.

S tim u vezi, opravdano je razmatrati moguće rezultate proučavanja stabilnog stanja banaka kao slučajnih varijabli sa istom raspodjelom vjerovatnoće, budući da se istraživanja provode po istoj metodologiji uz isti pristup. Štaviše, oni su međusobno nezavisni, tj. rezultat svakog pojedinačnog koeficijenta ne ovisi o vrijednostima ostalih.

Uzimajući u obzir da u jednom ogledu slučajna varijabla poprima jednu i samo jednu moguću vrijednost, zaključujemo da su događaji x1 , x2 , …, xnformiraju kompletnu grupu, stoga će zbir njihovih vjerovatnoća biti jednak 1: str1 +p2 +…+pn=1 .

Diskretna slučajna varijabla X- koeficijent finansijske stabilnosti banke "A", Y- banka "B", Z- Banka "C" za dati period. Kako bi se dobio rezultat koji daje osnovu za zaključak o održivosti razvoja banaka, procjena je izvršena na osnovu 12-godišnjeg retrospektivnog perioda (Tabela 1).

Tabela 1

Redni broj godine Banka "A" Banka "B" Banka "C"11.3141.2011.09820.8150.9050.81131.04.2111.0051.01351.1101.0901.00961.0981.1541.01771.1121.4181.0281.1911.145101.5701.2041.296111.3001.1261.084Min0.1431.9050.811Max1.5701.328130.0485

Za svaki uzorak za određenu banku, vrijednosti su podijeljene na Nintervalima, određuju se minimalne i maksimalne vrijednosti. Postupak za određivanje optimalnog broja grupa zasniva se na primjeni Sturgessove formule:

N\u003d 1 + 3,322 * ln N;

N=1+3,322 * ln12=9,525≈10,

Gdje n- broj grupa;

N- broj stanovnika.

h=(KFUmax- KFUmin) / 10.

tabela 2

Granice intervala vrijednosti diskretnih slučajnih varijabli X, Y, Z (koeficijenti finansijske stabilnosti) i učestalost pojavljivanja ovih vrijednosti unutar naznačenih granica

Broj intervala Granice intervala Učestalost pojavljivanja (n )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Na osnovu pronađenog koraka intervala, granice intervala su izračunate dodavanjem pronađenog koraka minimalnoj vrijednosti. Rezultirajuća vrijednost je granica prvog intervala (lijeva granica - LG). Da biste pronašli drugu vrijednost (desni rub PG), korak i se ponovo dodaje pronađenoj prvoj granici, i tako dalje. Granica posljednjeg intervala poklapa se s maksimalnom vrijednošću:

LG1 =KFUmin;

PG1 =KFUmin+h;

LG2 =PG1;

PG2 =LG2 +h;

PG10 =KFUmax.

Podaci o učestalosti pada koeficijenata finansijske stabilnosti (diskretne slučajne varijable X, Y, Z) grupišu se u intervale i utvrđuje se verovatnoća da njihove vrednosti padaju u zadate granice. U ovom slučaju, lijeva vrijednost granice je uključena u interval, dok desna vrijednost nije (Tablica 3).

Tabela 3

Distribucija diskretnih slučajnih varijabli X, Y, Z

Vrijednosti indikatora Banka "A"X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Banka "B"Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Banka "C"Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

Po učestalosti pojavljivanja vrijednosti npronađene su njihove vjerovatnoće (učestalost pojavljivanja je podijeljena sa 12, na osnovu broja populacijskih jedinica), a sredine intervala su korištene kao vrijednosti diskretnih slučajnih varijabli. Zakoni njihove distribucije:

Pi=ni /12;

Xi= (LGi+PGi)/2.

Na osnovu distribucije može se suditi o vjerovatnoći neodrživog razvoja svake banke:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Dakle, sa vjerovatnoćom od 0,083, banka "A" može postići vrijednost koeficijenta finansijske stabilnosti od 0,853. Drugim riječima, postoji šansa od 8,3% da će njegovi troškovi premašiti prihode. Za Banku B vjerovatnoća pada koeficijenta ispod jedan je takođe iznosila 0,083, međutim, uzimajući u obzir dinamičan razvoj organizacije, ovo smanjenje će se i dalje pokazati beznačajnim - na 0,926. Konačno, postoji velika vjerovatnoća (16,7%) da će aktivnost Banke C, pod ostalim jednakim uslovima, biti okarakterisana vrijednošću finansijske stabilnosti od 0,835.

Istovremeno, prema tabelama distribucije vidi se vjerovatnoća održivog razvoja banaka, tj. zbir vjerovatnoća, gdje opcije koeficijenta imaju vrijednost veću od 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Može se primijetiti da se najmanje održiv razvoj očekuje u banci "C".

Općenito, zakon distribucije specificira slučajnu varijablu, ali češće je svrsishodnije koristiti brojeve koji opisuju slučajnu varijablu ukupno. Zovu se numeričke karakteristike slučajne varijable, uključuju matematičko očekivanje. Matematičko očekivanje je približno jednako prosječnoj vrijednosti slučajne varijable i približava se prosječnoj vrijednosti što je više testova provedeno.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih varijabli i njene vjerovatnoće:

M(X) = x1 str1 +x2 str2 +…+xnstrn

Rezultati proračuna vrijednosti matematičkih očekivanja slučajnih varijabli prikazani su u tabeli 4.

Tabela 4

Numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli X, Y, Z

BankExpectationDispersionStandardna devijacija"A" M (X) = 1,187 D (X) = 0,027 σ (x) = 0,164 "B" M (Y) = 1,124 D (Y) \u003d 0,010 σ (y) \u003d 0,101 "C" M (Z) \u003d 1,037 D (Z) \u003d 0,012 σ (z) = 0,112

Dobijena matematička očekivanja nam omogućavaju da procenimo prosečne vrednosti očekivanih verovatnih vrednosti koeficijenta finansijske stabilnosti u budućnosti.

Dakle, prema proračunima, može se ocijeniti da je matematičko očekivanje održivog razvoja banke "A" 1,187. Matematičko očekivanje banaka "B" i "C" je 1,124 i 1,037, respektivno, što odražava očekivanu profitabilnost njihovog rada.

Međutim, znajući samo matematičko očekivanje, koje pokazuje "centar" navodnih mogućih vrijednosti slučajne varijable - KFU, još uvijek je nemoguće suditi ni o njenim mogućim nivoima ni o stepenu njihove disperzije oko dobivenog matematičkog očekivanja.

Drugim riječima, matematičko očekivanje, zbog svoje prirode, ne karakteriše u potpunosti stabilnost razvoja banke. Iz tog razloga postaje neophodno izračunati i druge numeričke karakteristike: disperziju i standardnu ​​devijaciju. Koji omogućavaju procjenu stepena disperzije mogućih vrijednosti koeficijenta finansijske stabilnosti. Matematička očekivanja i standardne devijacije omogućavaju procjenu intervala u kojem će biti moguće vrijednosti pokazatelja finansijske stabilnosti kreditnih institucija.

Uz relativno visoku karakterističnu vrijednost matematičkog očekivanja stabilnosti za banku „A“, standardna devijacija iznosila je 0,164, što ukazuje da se stabilnost banke može povećati za ovaj iznos ili smanjiti. Uz negativnu promenu stabilnosti (koja je i dalje malo verovatna, s obzirom na dobijenu verovatnoću neprofitabilne delatnosti, jednaku 0,083), koeficijent finansijske stabilnosti banke će ostati pozitivan - 1,023 (videti tabelu 3).

Aktivnost banke "B" sa matematičkim očekivanjem od 1,124 karakteriše manji raspon vrijednosti koeficijenata. Dakle, čak i pod nepovoljnim okolnostima, banka će ostati stabilna, jer je standardna devijacija od predviđene vrijednosti bila 0,101, što će joj omogućiti da ostane u zoni pozitivne profitabilnosti. Dakle, možemo zaključiti da je razvoj ove banke održiv.

Banka C, naprotiv, sa niskim matematičkim očekivanjem svoje pouzdanosti (1,037) suočiće se, pod svim ostalim jednakim uslovima, sa odstupanjem od 0,112, što je za nju neprihvatljivo. U nepovoljnoj situaciji, i s obzirom na veliku vjerovatnoću poslovanja sa gubitkom (16,7%), ova kreditna institucija će vjerovatno smanjiti svoju finansijsku stabilnost na 0,925.

Važno je napomenuti da je, izvodeći zaključke o stabilnosti razvoja banaka, nemoguće unaprijed predvidjeti koje će od mogućih vrijednosti koeficijent finansijske stabilnosti poprimiti kao rezultat testa; Zavisi od mnogo razloga, koji se ne mogu uzeti u obzir. Sa ove pozicije imamo vrlo skromne informacije o svakoj slučajnoj varijabli. S tim u vezi, teško je moguće utvrditi obrasce ponašanja i zbir dovoljno velikog broja slučajnih varijabli.

Međutim, pokazalo se da pod određenim relativno širokim uslovima, ukupno ponašanje dovoljno velikog broja slučajnih varijabli gotovo gubi svoj slučajni karakter i postaje regularno.

Procjenjujući stabilnost razvoja banaka, ostaje da se procijeni vjerovatnoća da odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja ne pređe apsolutnu vrijednost pozitivnog broja. ε. Procjenu koja nas zanima može dati P.L. Chebyshev. Vjerovatnoća da je odstupanje slučajne varijable X od njenog matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti manje od pozitivnog broja ε ne manje od :

ili u slučaju inverzne vjerovatnoće:

Uzimajući u obzir rizik povezan s gubitkom stabilnosti, procijenićemo vjerovatnoću da će diskretna slučajna varijabla odstupiti od matematičkog očekivanja na manju stranu i, smatrajući da su odstupanja od centralne vrijednosti i na manju i na veću stranu jednako vjerovatno, nejednakost prepisujemo još jednom:

Nadalje, na osnovu postavljenog zadatka, potrebno je procijeniti vjerovatnoću da buduća vrijednost koeficijenta finansijske stabilnosti neće biti niža od 1 od predloženog matematičkog očekivanja (za banku „A“ vrijednost ε uzmimo jednako 0,187, za banku "B" - 0,124, za "C" - 0,037) i izračunajmo ovu vjerovatnoću:

tegla":

banka "C"

Prema P.L. Čebiševa, najstabilnija u svom razvoju je banka "B", budući da je vjerovatnoća odstupanja očekivanih vrijednosti slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja niska (0,325), dok je relativno manja nego u drugim bankama. Banka A je na drugom mjestu po uporednoj stabilnosti razvoja, gdje je koeficijent ovog odstupanja nešto veći nego u prvom slučaju (0,386). U trećoj banci, vjerovatnoća da vrijednost koeficijenta finansijske stabilnosti odstupi ulijevo od matematičkog očekivanja za više od 0,037 je praktično siguran događaj. Štaviše, ako uzmemo u obzir da vjerovatnoća ne može biti veća od 1, prekoračenje vrijednosti, prema dokazu L.P. Čebiševa treba uzeti kao 1. Drugim riječima, činjenica da razvoj banke može preći u nestabilnu zonu, koju karakteriše koeficijent finansijske stabilnosti manji od 1, je pouzdan događaj.

Dakle, karakterišući finansijski razvoj komercijalnih banaka, možemo izvesti sljedeće zaključke: matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable (prosječna očekivana vrijednost koeficijenta finansijske stabilnosti) banke „A“ iznosi 1,187. Standardna devijacija ove diskretne vrijednosti je 0,164, što objektivno karakterizira mali odmak vrijednosti koeficijenta od prosječnog broja. Međutim, stepen nestabilnosti ove serije potvrđuje prilično velika vjerovatnoća negativnog odstupanja koeficijenta finansijske stabilnosti od 1, jednakog 0,386.

Analiza aktivnosti druge banke pokazala je da je matematičko očekivanje KFU 1,124 sa standardnom devijacijom od 0,101. Dakle, djelatnost kreditne institucije karakteriše mali raspon u vrijednostima koeficijenta finansijske stabilnosti, tj. je koncentrisaniji i stabilniji, što potvrđuje i relativno mala vjerovatnoća (0,325) prelaska banke u zonu gubitka.

Stabilnost banke "C" karakteriše niska vrijednost matematičkog očekivanja (1,037), a također i mali raspon vrijednosti (standardna devijacija je 0,112). Nejednakost L.P. Čebišev dokazuje činjenicu da je vjerovatnoća dobijanja negativne vrijednosti koeficijenta finansijske stabilnosti jednaka 1, tj. očekivanje pozitivne dinamike njegovog razvoja, pod jednakim uslovima, izgledaće vrlo nerazumno. Dakle, predloženi model, zasnovan na utvrđivanju postojeće distribucije diskretnih slučajnih varijabli (vrijednosti koeficijenata finansijske stabilnosti poslovnih banaka) i potvrđen procjenom njihovog jednakovjerovatnog pozitivnog ili negativnog odstupanja od dobijenog matematičkog očekivanja, omogućava da se odrediti njen sadašnji i budući nivo.

Zaključak

Upotreba matematike u ekonomiji dala je poticaj razvoju kako same ekonomije tako i primijenjene matematike, u smislu metoda ekonomskog i matematičkog modela. Poslovica kaže: "Sedam puta mjeri - jednom seci." Korištenje modela je vrijeme, trud, materijalna sredstva. Osim toga, proračuni zasnovani na modelima suprotstavljeni su voljnim odlukama, jer omogućavaju da se unaprijed procijene posljedice svake odluke, odbace neprihvatljive opcije i preporuče najuspješnije. Ekonomsko-matematičko modeliranje zasniva se na principu analogije, tj. mogućnost proučavanja objekta konstruisanjem i razmatranjem drugog njemu sličnog, ali jednostavnijeg i pristupačnijeg objekta, njegovog modela.

Praktični zadaci ekonomsko-matematičkog modeliranja su, prvo, analiza ekonomskih objekata; drugo, ekonomsko predviđanje, predviđanje razvoja ekonomskih procesa i ponašanja pojedinih indikatora; treće, razvoj menadžerskih odluka na svim nivoima upravljanja.

U radu je utvrđeno da se ekonomski i matematički modeli mogu podijeliti prema sljedećim karakteristikama:

· predviđena namjena;

· uzimanje u obzir faktora vremena;

· trajanje perioda koji se razmatra;

· svrha kreiranja i primjene;

· uzimanje u obzir faktora nesigurnosti;

· vrsta matematičkog aparata;

Opis ekonomskih procesa i pojava u obliku ekonomsko-matematičkih modela zasniva se na upotrebi jedne od ekonomsko-matematičkih metoda koje se koriste na svim nivoima upravljanja.

· formulisanje ekonomskog problema i njegova kvalitativna analiza;

· izgradnja matematičkog modela;

· matematička analiza modela;

· priprema početnih informacija;

· numeričko rješenje;

· analiza numeričkih rezultata i njihova primjena.

U radu je predstavljen članak kandidata ekonomskih nauka, vanrednog profesora Katedre za finansije i kredit S.V. Boyko, koji napominje da su domaće kreditne institucije pod utjecajem vanjskog okruženja suočene sa zadatkom pronalaženja upravljačkih alata koji podrazumijevaju provođenje racionalnih antikriznih mjera usmjerenih na stabilizaciju stope rasta osnovnih pokazatelja njihovih aktivnosti. S tim u vezi, važnost adekvatne definicije finansijske stabilnosti uz pomoć različitih metoda i modela, od kojih su jedna od varijanti su stohastički (verovatni) modeli, koji omogućavaju ne samo da se identifikuju očekivani faktori rasta ili smanjenja stabilnosti. , ali i formirati set preventivnih mjera za njegovo očuvanje, sve je više.

Potencijalna mogućnost matematičkog modeliranja bilo kojeg ekonomskog objekta i procesa ne znači, naravno, njegovu uspješnu izvodljivost na datom nivou ekonomsko-matematičkih znanja, dostupnih specifičnih informacija i računarske tehnologije. I iako je nemoguće naznačiti apsolutne granice matematičke formalizabilnosti ekonomskih problema, uvijek će postojati neformalizirani problemi, kao i situacije u kojima matematičko modeliranje nije dovoljno efikasno.

Bibliografija

1)Krass M.S. Matematika za ekonomske specijalnosti: Udžbenik. -4. izdanje, rev. - M.: Delo, 2003.

)Ivanilov Yu.P., Lotov A.V. Matematički modeli u ekonomiji. - M.: Nauka, 2007.

)Ashmanov S.A. Uvod u matematičku ekonomiju. - M.: Nauka, 1984.

)Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. i dr. Matematičko modeliranje ekonomskih procesa. - M.: Agropromizdat, 1990.

)Ed. Fedoseeva V.V. Ekonomsko-matematičke metode i primijenjeni modeli: udžbenik za srednje škole. - M.: UNITI, 2001.

)Savitskaya G.V. Ekonomska analiza: Udžbenik. - 10. izdanje, ispravljeno. - M.: Novo znanje, 2004.

)Gmurman V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Moskva: Viša škola, 2002

)Operativno istraživanje. Zadaci, principi, metodologija: udžbenik. dodatak za univerzitete / E.S. Wentzel. - 4. izd., stereotip. - M.: Drofa, 2006. - 206, str. : ill.

)Matematika u ekonomiji: udžbenik / S.V. Yudin. - M.: Izdavačka kuća RGTEU, 2009.-228 str.

)Kochetygov A.A. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika: Proc. Dodatak / Tul. Država. Univ. Tula, 1998. 200 str.

)Boyko S.V., Probabilistički modeli u procjeni finansijske stabilnosti kreditnih institucija /S.V. Bojko // Financije i kredit. - 2011. N 39. -

Prilikom konstruisanja ekonomskih modela identifikuju se značajni faktori i odbacuju se detalji koji nisu bitni za rešavanje problema.

Ekonomski modeli mogu uključivati ​​modele:

• ekonomski rast
• izbor potrošača
• ravnoteža na finansijskim i robnim tržištima i mnoge druge.

Model je logički ili matematički opis komponenti i funkcija koje odražavaju bitna svojstva modeliranog objekta ili procesa.

Model se koristi kao uslovna slika dizajnirana da pojednostavi proučavanje objekta ili procesa.

Priroda modela može biti različita. Modeli se dijele na: stvarni, znakovni, verbalni i tabelarni opis itd.

Ekonomsko-matematički model

U upravljanju poslovnim procesima najvažniji su, prije svega, ekonomskih i matematičkih modela, često kombinovani u model sisteme.

Ekonomsko-matematički model(EMM) je matematički opis ekonomskog objekta ili procesa u svrhu njihovog proučavanja i upravljanja. Ovo je matematički zapis ekonomskog problema koji se rješava.

Glavne vrste modela

• Ekstrapolacijski modeli
• Faktorski ekonometrijski modeli
• Optimizacijski modeli
• Modeli ravnoteže, međuindustrijski balansni model (ISB)
• Stručne procjene
• Teorija igara
• mrežni modeli
• Modeli sistema čekanja

Ekonomsko-matematički modeli i metode koje se koriste u ekonomskoj analizi

R a \u003d PE / VA + OA,

U generaliziranom obliku, mješoviti model se može predstaviti sljedećom formulom:

Dakle, prvo je potrebno izgraditi ekonomsko-matematički model koji opisuje uticaj pojedinih faktora na opšte ekonomske pokazatelje organizacije. Široko rasprostranjen u analizi privredne aktivnosti multifaktorski multiplikativni modeli, jer nam omogućavaju proučavanje uticaja značajnog broja faktora na generalizirajuće pokazatelje i time postizanje veće dubine i tačnosti analize.

Nakon toga morate odabrati način rješavanja ovog modela. Tradicionalni načini: metoda lančanih supstitucija, metode apsolutnih i relativnih razlika, bilansna metoda, indeksna metoda, kao i metode korelaciono-regresijske, klasterske, disperzione analize i dr. Uz ove metode i metode primjenjuju se i specifične matematičke metode a metode se koriste u ekonomskoj analizi.

Integralna metoda ekonomske analize

Jedna od ovih metoda (metoda) je integralna. Nalazi primenu u određivanju uticaja pojedinačnih faktora korišćenjem multiplikativnih, višestrukih i mešovitih (višestruko aditivnih) modela.

U uslovima primene integralne metode moguće je dobiti razumnije rezultate za proračun uticaja pojedinačnih faktora nego primenom metode lančane supstitucije i njenih varijanti. Metoda lančane supstitucije i njene varijante, kao i metoda indeksa, imaju značajne nedostatke: 1) rezultati izračunavanja uticaja faktora zavise od prihvaćenog redosleda zamene osnovnih vrednosti pojedinih faktora stvarnim; 2) zbiru uticaja posljednjeg faktora dodaje se dodatno povećanje generalizirajućeg indikatora, uzrokovano interakcijom faktora, u vidu nerazložljivog ostatka. Kada se koristi integralna metoda, ovo povećanje je jednako podijeljeno između svih faktora.

Integralna metoda uspostavlja opći pristup rješavanju modela različitih tipova, bez obzira na broj elemenata koji su uključeni u ovaj model, kao i bez obzira na oblik povezanosti ovih elemenata.

Integralna metoda faktorske ekonomske analize zasniva se na zbiru prirasta funkcije definisane kao parcijalni izvod, pomnoženih prirastom argumenta u beskonačno malim intervalima.

U procesu primjene integralne metode mora biti ispunjeno nekoliko uslova. Prvo, mora se poštovati uslov kontinuirane diferencijabilnosti funkcije, pri čemu se kao argument uzima neki ekonomski indikator. Drugo, funkcija između početne i krajnje točke elementarnog perioda mora se mijenjati pravolinijski G e. Konačno, treće, mora postojati konstantnost omjera stopa promjene vrijednosti faktora

dy / dx = konst

Prilikom primjene integralne metode, izračunavanje određenog integrala nad datim integrandom i zadatim intervalom integracije vrši se prema postojećem standardnom programu korištenjem savremene računarske tehnologije.

Ako rješavamo multiplikativni model, onda se za izračunavanje utjecaja pojedinačnih faktora na opći ekonomski pokazatelj mogu koristiti sljedeće formule:

∆Z(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x *Δ y

Z(y)=x 0 * Δ y +1/2 Δ x* Δ y

Prilikom rješavanja višestrukog modela za izračunavanje utjecaja faktora koristimo sljedeće formule:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Postoje dvije glavne vrste problema koje se rješavaju integralnom metodom: statički i dinamički. Kod prvog tipa nema podataka o promjenama analiziranih faktora u ovom periodu. Primjeri takvih zadataka su analiza realizacije poslovnih planova ili analiza promjena ekonomskih pokazatelja u odnosu na prethodni period. Dinamički tip zadataka se odvija u prisustvu informacija o promeni analiziranih faktora u datom periodu. Ova vrsta zadataka uključuje proračune koji se odnose na proučavanje vremenskih serija ekonomskih pokazatelja.

Ovo su najvažnije karakteristike integralne metode faktorske ekonomske analize.

Log metoda

Pored ove metode, u analizi se koristi i metoda (metoda) logaritma. Koristi se u faktorskoj analizi pri rješavanju multiplikativnih modela. Suština metode koja se razmatra leži u činjenici da kada se koristi, postoji logaritamski proporcionalna raspodjela vrijednosti zajedničkog djelovanja faktora između potonjih, odnosno ova vrijednost se distribuira između faktora proporcionalno udjelu uticaja svakog pojedinačnog faktora na zbir generalizirajućeg pokazatelja. Integralnom metodom navedena vrijednost se ravnomjerno raspoređuje među faktore. Stoga logaritamska metoda čini proračun utjecaja faktora razumnijim od integralne metode.

U procesu uzimanja logaritama ne koriste se apsolutne vrijednosti rasta ekonomskih pokazatelja, kao što je to slučaj sa integralnom metodom, već relativne, odnosno indeksi promjena ovih pokazatelja. Na primjer, generalizirajući ekonomski pokazatelj definira se kao proizvod tri faktora – faktora f = x y z.

Pronađimo uticaj svakog od ovih faktora na generalizirajući ekonomski pokazatelj. Dakle, uticaj prvog faktora može se odrediti sljedećom formulom:

Δf x \u003d Δf lg (x 1 / x 0) / log (f 1 / f 0)

Kakav je bio uticaj sledećeg faktora? Da bismo pronašli njegov utjecaj, koristimo sljedeću formulu:

Δf y \u003d Δf lg (y 1 / y 0) / log (f 1 / f 0)

Na kraju, da bismo izračunali uticaj trećeg faktora, primenjujemo formulu:

Δf z \u003d Δf lg (z 1 / z 0) / log (f 1 / f 0)

Dakle, ukupan iznos promjene generalizirajućeg indikatora se dijeli između pojedinačnih faktora u skladu sa proporcijama odnosa logaritma indeksa pojedinačnih faktora prema logaritmu generalizirajućeg indikatora.

Prilikom primjene metode koja se razmatra mogu se koristiti bilo koje vrste logaritama - prirodni i decimalni.

Metoda diferencijalnog računa

Prilikom provođenja faktorske analize koristi se i metoda diferencijalnog računa. Potonji pretpostavlja da se ukupna promjena funkcije, odnosno generalizirajućeg indikatora, dijeli na zasebne članove, od kojih se vrijednost svakog izračunava kao proizvod određene parcijalne derivacije i priraštaja varijable kojom se ovaj izvod je određen. Odredimo uticaj pojedinačnih faktora na generalizujući indikator, koristeći kao primer funkciju dve varijable.

Funkcija je postavljena Z = f(x,y). Ako je ova funkcija diferencibilna, tada se njena promjena može izraziti sljedećom formulom:

Objasnimo pojedinačne elemente ove formule:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- veličina promjene funkcije;

Δx \u003d (x 1 - x 0)- veličina promjene jednog faktora;

Δ y = (y 1 - y 0)- iznos promjene drugog faktora;

je infinitezimalna vrijednost višeg reda od

U ovom primjeru utjecaj pojedinačnih faktora x i y za promjenu funkcije Z(generalizirajući indikator) se izračunava na sljedeći način:

ΔZx = δZ / δx Δx; ΔZy = δZ / δy Δy.

Zbir uticaja oba ova faktora je glavni, linearni deo prirasta diferencijabilne funkcije, odnosno generalizujući indikator, u odnosu na prirast ovog faktora.

Metoda kapitala

U uslovima rešavanja aditivnih, kao i višeaditivnih modela, metod učešća u kapitalu koristi se i za izračunavanje uticaja pojedinačnih faktora na promenu opšteg pokazatelja. Njegova suština leži u činjenici da se prvo utvrđuje udio svakog faktora u ukupnom iznosu njihovih promjena. Zatim se ovaj udio množi sa ukupnom promjenom zbirnog indikatora.

Pretpostavimo da utvrđujemo uticaj tri faktora − a,b i With za sažetak y. Zatim, za faktor a, određivanje njegovog udjela i množenje sa ukupnom vrijednošću promjene generalizirajućeg indikatora može se provesti prema sljedećoj formuli:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Za faktor u razmatranoj formuli imat će sljedeći oblik:

Δyb =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Konačno, za faktor c imamo:

∆y c =∆c/∆a +∆b +∆c*∆y

Ovo je suština metode udjela koja se koristi za potrebe faktorske analize.

Metoda linearnog programiranja

Vidi dalje:

Teorija čekanja

Vidi dalje:

Teorija igara

Teorija igara također nalazi primjenu. Baš kao i teorija čekanja, teorija igara je jedna od grana primijenjene matematike. Teorija igara proučava optimalna rješenja koja su moguća u situacijama igre prirode. Ovo uključuje takve situacije koje su povezane sa izborom optimalnih upravljačkih odluka, sa izborom najprikladnijih opcija za odnose sa drugim organizacijama itd.

Za rješavanje ovakvih problema u teoriji igara koriste se algebarske metode koje se zasnivaju na sistemu linearnih jednačina i nejednačina, iterativne metode, kao i metode za svođenje ovog problema na specifičan sistem diferencijalnih jednačina.

Jedna od ekonomsko-matematičkih metoda koja se koristi u analizi ekonomske aktivnosti organizacija je tzv. analiza osjetljivosti. Ova metoda se često koristi u procesu analize investicionih projekata, kao i da bi se predvidio iznos dobiti koji ostaje na raspolaganju ovoj organizaciji.

U cilju optimalnog planiranja i predviđanja aktivnosti organizacije, potrebno je analiziranim ekonomskim pokazateljima predvidjeti one promjene koje se mogu dogoditi u budućnosti.

Na primjer, potrebno je unaprijed predvidjeti promjenu vrijednosti onih faktora koji utiču na visinu dobiti: nivo nabavnih cijena za nabavljene materijalne resurse, nivo prodajnih cijena za proizvode date organizacije, promjene u potražnji kupaca za ovim proizvodima.

Analiza osjetljivosti se sastoji u određivanju buduće vrijednosti generalizirajućeg ekonomskog indikatora, pod uslovom da se promijeni vrijednost jednog ili više faktora koji utiču na ovaj indikator.

Tako, na primjer, utvrđuju za koji iznos će se promijeniti profit u budućnosti, podložno promjeni količine proizvoda koji se prodaju po jedinici. Dakle, analiziramo osjetljivost neto dobiti na promjenu jednog od faktora koji na nju utiče, odnosno u ovom slučaju faktor obima prodaje. Ostali faktori koji utiču na profitnu maržu ostaju nepromenjeni. Moguće je odrediti visinu dobiti i uz istovremenu promenu u budućnosti uticaja više faktora. Dakle, analiza osjetljivosti omogućava da se utvrdi jačina odgovora generalizirajućeg ekonomskog indikatora na promjene pojedinačnih faktora koji utiču na ovaj indikator.

Matrična metoda

Uz navedene ekonomsko-matematičke metode, koriste se iu analizi privredne aktivnosti. Ove metode se zasnivaju na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri.

Metoda mrežnog planiranja

Vidi dalje:

Ekstrapolaciona analiza

Pored razmatranih metoda, koristi se i ekstrapolaciona analiza. Uključuje sagledavanje promjena stanja analiziranog sistema i ekstrapolaciju, odnosno proširenje postojećih karakteristika ovog sistema za buduće periode. U procesu implementacije ove vrste analize mogu se izdvojiti sljedeće glavne faze: primarna obrada i transformacija početne serije dostupnih podataka; izbor vrste empirijskih funkcija; određivanje glavnih parametara ovih funkcija; ekstrapolacija; utvrđivanje stepena pouzdanosti analize.

U ekonomskoj analizi koristi se i metoda glavnih komponenti. Koriste se u svrhu komparativne analize pojedinih komponenti, odnosno parametara analize aktivnosti organizacije. Glavne komponente su najvažnije karakteristike linearnih kombinacija sastavnih dijelova, odnosno parametri provedene analize koji imaju najznačajnije vrijednosti disperzije, odnosno najveća apsolutna odstupanja od prosječnih vrijednosti.

Svi modeli koje osoba koristi u različitim područjima svoje djelatnosti mogu se uvjetno podijeliti u dvije grupe: materijalne i apstraktne. Prvi su objektivni, zaista se mogu dodirnuti rukama. Potonji postoje samo u ljudskom umu. U okviru ovog članka razmatrat će se samo matematičke metode i modeli u ekonomiji. Koriste se za analizu procesa i pojava koje se dešavaju u ovoj oblasti. Njihova upotreba omogućava postavljanje novih ekonomskih zadataka. Zahvaljujući njima menadžment donosi odluke koje se tiču ​​upravljanja organizacijom, firmom, preduzećem.

Matematičke operacije u ekonomiji su najefikasnije sredstvo za proučavanje problema u ovoj oblasti. U savremenim naučnim i tehničkim aktivnostima oni postaju važan oblik modeliranja. A u praksi planiranja i upravljanja, ova metoda je glavna.

Ekonomsko-matematičke metode i modeli su osnova na kojoj se implementiraju različiti programi, prvobitno osmišljeni za rješavanje problema planiranja, analize i upravljanja. Zajedno sa tehničkim sredstvima, sa bazama podataka, oni su dio čovjek-mašina sistema. Omogućava vam korištenje modela i znanja za rješavanje različitih vrsta problema (kako nestrukturiranih tako i slabo strukturiranih).

U zavisnosti od kriterijuma koji su u osnovi podele, ekonomske i matematičke metode i modeli se klasifikuju na sledeći način.

1. Po namjeni su:

Primijenjeni, odnosno uz njihovu pomoć rješavaju se specifični zadaci;

Teorijski i analitički (koriste se kada je potrebno istražiti opšte obrasce i znakove razvoja procesa koji se odvijaju u privredi).

2. Kojim uzročno-posljedičnim vezama odražavaju:

deterministički;

Probabilistički (uzmite u obzir faktor neizvjesnosti u nastajanju).

3. Prema nivou onih procesa u privredi koje proučavaju:

Proizvodno-tehnološki;

Socio-ekonomski.

4. Prema načinu na koji se vremenski faktor odražava:

Dinamični, pokazuju tekuće promjene;

Statičke, sve zavisnosti ovdje odražavaju samo jedan vremenski period ili trenutak.

5. Po nivou detalja:

Makromodeli (agregirani);

Mikromodeli (detaljno).

6. Prema obliku u kojem su izražene matematičke zavisnosti:

nelinearni;

Linearni - vrlo su zgodni za korištenje za proračun i analizu, što je dovelo do njihove šire distribucije.

Ekonomsko-matematičke metode i modeli imaju svoje principe konstrukcije. To uključuje:

1. Princip nedvosmislenih podataka. Prema njegovim riječima, informacije koje se koriste na početku simulacije ne bi trebale da zavise od onih parametara budućeg sistema koji nisu ni poznati u ovoj fazi studije.

2. Princip potpunosti početnih informacija. To znači da početne informacije koje se koriste moraju biti vrlo tačne, jer od toga zavise dobijeni rezultati.

3. Princip sukcesije. On kaže da one karakteristike predmeta koje su se odrazile ili utvrdile u prvim modelima treba sačuvati u svakom sljedećem.

4. Princip efektivne implementacije. Svaki model se mora koristiti u praksi. Najnoviji računarski alati bi trebali pomoći u njegovoj implementaciji.

Ekonomsko-matematičke metode i modeli uvijek se izgrađuju u nekoliko faza:

1) Definicija problema, njegova analiza.

2) Dizajn Ovo je njegov izraz u obliku funkcija, šema, jednačina.

3) Analiza rezultirajućeg modela korištenjem matematičkih tehnika.

4) Priprema početnih informacija.

5) Ovo je stvarni razvoj programa, kompilacija algoritama i izvođenje proračuna.

6) Analiza dobijenih rezultata, njihova praktična primena.

Svaka od ovih faza može imati svoje specifičnosti u zavisnosti od oblasti znanja koja se razmatra.