Enciklopedija simbola. VII

Beskonačnost.J. Wallis (1655).

Po prvi put se nalazi u raspravi engleskog matematičara Johna Valisa "O konusnim presjecima".

Baza prirodnih logaritama. L. Euler (1736).

Matematička konstanta, transcendentalni broj. Ovaj broj se ponekad naziva ne-Perov u čast Škota naučnik Napier, autor djela "Opis nevjerovatne tablice logaritama" (1614.). Po prvi put, konstanta je prešutno prisutna u dodatku engleskog prijevoda spomenutog Napierovog djela, objavljenog 1618. godine. Istu istu konstantu prvi je izračunao švajcarski matematičar Jacob Bernoulli u toku rešavanja problema granične vrednosti prihoda od kamata.

2,71828182845904523...

Prva poznata upotreba ove konstante, gdje je označena slovom b, pronađen u Leibnizovim pismima Huygensu, 1690-1691. pismo e počeo je koristiti Eulera 1727. godine, a prva publikacija s ovim pismom bila je njegova Mehanika, ili Nauka o kretanju, izrečena analitički, 1736. odnosno e obično nazivaju Eulerov broj. Zašto je odabrano pismo? e, nije tačno poznato. Možda je to zbog činjenice da riječ počinje s tim eksponencijalna("eksponencijalno", "eksponencijalno"). Druga pretpostavka je da su slova a, b, c i d već se naširoko koristi u druge svrhe, i e je bilo prvo "slobodno" pismo.

Odnos obima kruga i njegovog prečnika. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Matematička konstanta, iracionalni broj. Broj "pi", staro ime je Ludolfov broj. Kao i svaki iracionalni broj, π je predstavljen beskonačnim neperiodičnim decimalnim razlomkom:

π=3.141592653589793...

Prvi put je oznaku ovog broja grčkim slovom π koristio britanski matematičar William Jones u knjizi Novi uvod u matematiku, a postao je opšteprihvaćen nakon rada Leonarda Eulera. Ova oznaka dolazi od početnog slova grčkih riječi περιφερεια - krug, periferija i περιμετρος - perimetar. Johann Heinrich Lambert je dokazao iracionalnost π 1761. godine, a Adrien Marie Legendre 1774. godine dokazao je iracionalnost π 2 . Legendre i Euler su pretpostavili da π može biti transcendentalno, tj. ne može zadovoljiti nijednu algebarsku jednačinu sa cjelobrojnim koeficijentima, što je na kraju 1882. godine dokazao Ferdinand von Lindemann.

imaginarna jedinica. L. Euler (1777, u štampi - 1794).

Poznato je da je jednadžba x 2 = 1 ima dva korijena: 1 i -1 . Imaginarna jedinica je jedan od dva korijena jednadžbe x 2 \u003d -1, označeno latiničnim slovom i, drugi korijen: -i. Ovu oznaku je predložio Leonhard Euler, koji je za to uzeo prvo slovo latinske riječi imaginarius(imaginarno). Također je proširio sve standardne funkcije na kompleksnu domenu, tj. skup brojeva koji se mogu predstaviti u obliku a+ib, gdje a i b su realni brojevi. Termin "kompleksni broj" uveo je u široku upotrebu njemački matematičar Carl Gauss 1831. godine, iako je taj termin ranije u istom smislu koristio francuski matematičar Lazar Carnot 1803. godine.

Jedinični vektori. W. Hamilton (1853).

Jedinični vektori se često povezuju sa koordinatnim osama koordinatnog sistema (posebno sa osama Dekartovog koordinatnog sistema). Jedinični vektor usmjeren duž ose X, označeno i, jedinični vektor usmjeren duž ose Y, označeno j, i jedinični vektor usmjeren duž ose Z, označeno k. Vektori i, j, k nazivaju se ortovima, imaju module identiteta. Termin "ort" uveo je engleski matematičar i inženjer Oliver Hevisajd (1892), a notaciju i, j, k irski matematičar William Hamilton.

Cjelobrojni dio broja, antie. K. Gauss (1808).

Cjelobrojni dio broja [x] broja x je najveći cijeli broj koji ne prelazi x. Dakle, =5, [-3,6]=-4. Funkcija [x] se također naziva "antier of x". Simbol funkcije cjelobrojnog dijela uveo je Carl Gauss 1808. godine. Neki matematičari radije koriste oznaku E(x) koju je 1798. predložio Legendre.

Ugao paralelizma. N.I. Lobačevskog (1835).

Na ravni Lobačevskog - ugao između linijebprolazeći kroz tačkuOparalelno sa pravom linijoma, ne sadrži tačkuO, i okomito odO na a. α je dužina ove okomice. Kako je tačka uklonjenaO od pravog augao paralelizma se smanjuje sa 90° na 0°. Lobačevski je dao formulu za ugao paralelizmaP( α )=2arctg e - α /q , gdje q je neka konstanta povezana sa zakrivljenošću prostora Lobačevskog.

Nepoznate ili promjenjive količine. R. Descartes (1637).

U matematici, varijabla je veličina koju karakterizira skup vrijednosti koje može uzeti. To može značiti i stvarnu fizičku veličinu, koja se privremeno razmatra izolovano od svog fizičkog konteksta, i neku apstraktnu veličinu koja nema analoga u stvarnom svijetu. Koncept varijable nastao je u 17. veku. u početku pod uticajem zahteva prirodne nauke, koja je u prvi plan stavila proučavanje kretanja, procesa, a ne samo stanja. Ovaj koncept je zahtijevao nove forme za svoj izraz. Doslovna algebra i analitička geometrija Renéa Descartesa bile su tako nove forme. Po prvi put, pravougaoni koordinatni sistem i oznaku x, y uveo je Rene Descartes u svom djelu "Rasprava o metodi" 1637. godine. Pierre Fermat je također doprinio razvoju metode koordinata, ali je njegov rad prvi put objavljen nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo na ravni. Koordinatnu metodu za trodimenzionalni prostor prvi je primijenio Leonhard Euler još u 18. stoljeću.

Vector. O.Koshi (1853).

Od samog početka, vektor se shvata kao objekat koji ima veličinu, pravac i (opciono) tačku primene. Počeci vektorskog računa pojavili su se zajedno sa geometrijskim modelom kompleksnih brojeva u Gausu (1831). Hamilton je objavio napredne operacije na vektorima kao dio svog računa kvaterniona (imaginarne komponente kvaterniona formirale su vektor). Hamilton je skovao pojam vektor(od latinske reči vektor, nosilac) i opisao neke operacije vektorske analize. Ovaj formalizam je koristio Maxwell u svojim radovima o elektromagnetizmu, skrećući na taj način pažnju naučnika na novi račun. Ubrzo su uslijedili Gibbsovi elementi vektorske analize (1880-e), a zatim je Heaviside (1903) dao vektorskoj analizi njen moderan izgled. Sam vektorski znak uveo je francuski matematičar Augustin Louis Cauchy 1853. godine.

Sabiranje, oduzimanje. J. Widman (1489).

Znakovi plus i minus su očigledno izmišljeni u nemačkoj matematičkoj školi "kosista" (tj. algebraista). Koriste se u udžbeniku Jana (Johannesa) Widmanna Brz i ugodan broj za sve trgovce, objavljen 1489. Prije toga, dodatak se označavao slovom str(iz latinskog plus"više") ili latinska riječ et(veznik "i"), a oduzimanje - slovom m(iz latinskog oduzeti"manje, manje"). U Widmanu simbol plus zamjenjuje ne samo sabiranje, već i uniju "i". Porijeklo ovih simbola je nejasno, ali najvjerovatnije su se ranije koristili u trgovanju kao znakovi dobiti i gubitka. Oba simbola su ubrzo postala uobičajena u Evropi - sa izuzetkom Italije, koja je koristila stare oznake oko jednog veka.

Množenje. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Znak množenja u obliku kosog krsta uveo je 1631. godine Englez William Outred. Prije njega, najčešće korišteno pismo M, iako su predložene i druge oznake: simbol pravougaonika (francuski matematičar Erigon, 1634), zvjezdica (švicarski matematičar Johann Rahn, 1659). Kasnije je Gottfried Wilhelm Leibniz zamenio krst tačkom (kraj 17. veka), kako se ne bi mešao sa slovom x; prije njega takvu simboliku su pronašli njemački astronom i matematičar Regiomontanus (XV vijek) i engleski naučnik Thomas Harriot (1560 -1621).

Division. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Outred je koristio kosu crtu / kao znak podjele. Podjela debelog crijeva počela je označavati Gottfried Leibniza. Prije njih, pismo se također često koristilo D. Počevši od Fibonaccija, koristi se i horizontalna linija razlomka, koju su koristili Heron, Diofant i u arapskim spisima. U Engleskoj i Sjedinjenim Državama, simbol ÷ (obelus), koji je predložio Johann Rahn (vjerovatno uz učešće Johna Pella) 1659. godine, postao je široko rasprostranjen. Pokušaj američkog Nacionalnog komiteta za matematičke standarde ( Nacionalni komitet za matematičke zahtjeve) uklanjanje obelusa iz prakse (1923) bilo je neuvjerljivo.

Procenat. M. de la Porte (1685).

Stoti dio cjeline, uzet kao jedinica. Sama riječ "posto" dolazi od latinskog "pro centum", što znači "sto". Godine 1685. u Parizu je objavljena knjiga Mathieua de la Portea Priručnik za komercijalnu aritmetiku. Na jednom mjestu se radilo o procentima, što je tada značilo "cto" (skraćeno od cento). Međutim, slagač je zamijenio to "cto" za razlomak i otkucao "%". Zbog greške u kucanju ovaj znak je ušao u upotrebu.

Stepeni. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Modernu notaciju za eksponent uveo je René Descartes u svom " geometrije"(1637.), međutim, samo za prirodne stepene s eksponentima većim od 2. Kasnije je Isak Newton proširio ovaj oblik zapisa na negativne i razlomke eksponenata (1676), čije je tumačenje do tada već bilo predloženo: flamanski matematičar i inženjer Simon Stevin, engleski matematičar John Vallis i francuski matematičar Albert Girard.

aritmetički korijen n stepen realnog broja a≥0, - nenegativan broj n-ti stepen koji je jednak a. Aritmetički korijen 2. stepena naziva se kvadratni korijen i može se napisati bez navođenja stepena: √. Aritmetički korijen 3. stepena naziva se kubni korijen. Srednjovjekovni matematičari (na primjer, Cardano) označavali su kvadratni korijen simbolom R x (iz latinskog Radix, root). Modernu oznaku prvi je upotrijebio njemački matematičar Christoph Rudolf, iz kosističke škole, 1525. godine. Ovaj simbol dolazi od stiliziranog prvog slova iste riječi radix. Linija iznad radikalnog izraza isprva je izostala; kasnije ju je uveo Descartes (1637) za drugu svrhu (umjesto zagrada), a ova karakteristika se ubrzo spojila sa znakom korijena. Kockasti koren u 16. veku označavan je na sledeći način: R x .u.cu (od lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) počeo je koristiti uobičajenu notaciju za korijen proizvoljnog stepena. Ovaj format je uspostavljen zahvaljujući Isaac Newton-u i Gottfried Leibnizu.

Logaritam, decimalni logaritam, prirodni logaritam. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Izraz "logaritam" pripada škotskom matematičaru Johnu Napieru ( "Opis nevjerovatne tablice logaritama", 1614); nastala je kombinacijom grčkih riječi λογος (reč, odnos) i αριθμος (broj). J. Napierov logaritam je pomoćni broj za mjerenje odnosa dva broja. Modernu definiciju logaritma prvi je dao engleski matematičar William Gardiner (1742). Po definiciji, logaritam broja b razumom a (a ≠ 1, a > 0) - eksponent m, na koji broj treba podići a(naziva se baza logaritma) da se dobije b. Označeno log a b. dakle, m = log a b, ako a m = b.

Prve tabele decimalnih logaritama objavio je 1617. profesor matematike iz Oksforda Henry Briggs. Stoga se u inostranstvu decimalni logaritmi često nazivaju brigovi. Termin "prirodni logaritam" uveli su Pietro Mengoli (1659) i Nikolas Merkator (1668), iako je londonski učitelj matematike Džon Spidel sastavio tabelu prirodnih logaritama još 1619. godine.

Sve do kraja 19. veka nije bilo opšteprihvaćenog zapisa za logaritam, osnovu a označeno lijevo i iznad simbola log, zatim preko njega. Na kraju, matematičari su došli do zaključka da je najpogodnije mjesto za bazu ispod linije, nakon simbola log. Znak logaritma - rezultat redukcije riječi "logaritam" - javlja se u različitim oblicima gotovo istovremeno s pojavom prvih tablica logaritama, npr. Dnevnik- I. Kepler (1624.) i G. Briggs (1631.), log- B. Cavalieri (1632). Oznaka ln jer je prirodni logaritam uveo njemački matematičar Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, kosinus, tangent, kotangens. W. Outred (sredina 17. stoljeća), I. Bernoulli (18. st.), L. Euler (1748, 1753).

Skraćenicu za sinus i kosinus uveo je Vilijam Outred sredinom 17. veka. Skraćenice za tangentu i kotangens: tg, ctg koje je u 18. vijeku uveo Johann Bernoulli, postali su rasprostranjeni u Njemačkoj i Rusiji. U drugim zemljama se koriste nazivi ovih funkcija. tan, krevetac koju je predložio Albert Girard još ranije, početkom 17. stoljeća. Leonard Euler (1748, 1753) doveo je teoriju trigonometrijskih funkcija u njen moderni oblik, a dugujemo mu i konsolidaciju realnog simbolizma.Termin "trigonometrijske funkcije" uveo je njemački matematičar i fizičar Georg Simon Klugel 1770. godine.

Sinusna linija indijskih matematičara prvobitno se zvala "arha jiva"("polužica", odnosno polovina akorda), zatim riječ "archa" je odbačena i sinusna linija se počela jednostavno nazivati "jiva". Arapski prevodioci nisu preveli tu riječ "jiva" arapska riječ "vatar", koji označava tetivu i tetivu, i transkribovao se arapskim slovima i počeo zvati sinusnu liniju "jiba". Budući da kratki samoglasnici nisu naznačeni na arapskom, a dugi "i" u riječi "jiba" označen na isti način kao i poluglas "y", Arapi su počeli da izgovaraju naziv sinusne linije "zezati", što bukvalno znači "šuplje", "njedra". Prilikom prevođenja arapskih djela na latinski, evropski prevodioci su tu riječ preveli "zezati" latinska reč sinus, ima isto značenje.Termin "tangenta" (od lat.tangente- dodirivanje) uveo je danski matematičar Thomas Fincke u svojoj Geometriji okruglog (1583.).

Arcsine. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Inverzne trigonometrijske funkcije su matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama. Naziv inverzne trigonometrijske funkcije formira se od naziva odgovarajuće trigonometrijske funkcije dodavanjem prefiksa "luk" (od lat. arc- luk).Inverzne trigonometrijske funkcije obično uključuju šest funkcija: arksinus (arcsin), arkkosinus (arccos), arktangens (arctg), arckotangens (arcctg), arcsecant (arcsec) i arccosecant (arccosec). Po prvi put, specijalne simbole za inverzne trigonometrijske funkcije koristio je Daniel Bernoulli (1729, 1736).Način bilježenja inverznih trigonometrijskih funkcija prefiksom arc(od lat. arcus, arc) pojavio kod austrijskog matematičara Karla Scherfera i stekao uporište zahvaljujući francuskom matematičaru, astronomu i mehaničaru Joseph Louis Lagrangeu. Mislilo se da, na primjer, uobičajeni sinus vam omogućava da pronađete tetivu koja je savija duž luka kružnice, a inverzna funkcija rješava suprotan problem. Sve do kraja 19. veka engleske i nemačke matematičke škole nudile su drugu notaciju: greh -1 i 1/sin, ali nisu u širokoj upotrebi.

Hiperbolički sinus, hiperbolički kosinus. W. Riccati (1757).

Povjesničari su otkrili prvu pojavu hiperboličkih funkcija u spisima engleskog matematičara Abrahama de Moivrea (1707, 1722). Modernu definiciju i njihovu detaljnu studiju izvršio je Italijan Vincenzo Riccati 1757. godine u djelu "Opusculorum", a predložio je i njihove oznake: sh,ch. Riccati je pošao od razmatranja jedne hiperbole. Nezavisno otkriće i dalje proučavanje svojstava hiperboličkih funkcija izvršio je njemački matematičar, fizičar i filozof Johann Lambert (1768), koji je uspostavio širok paralelizam između formula obične i hiperboličke trigonometrije. N.I. Lobačevski je kasnije koristio ovaj paralelizam, pokušavajući da dokaže konzistentnost neeuklidske geometrije, u kojoj je obična trigonometrija zamenjena hiperboličnom.

Kao što su trigonometrijski sinus i kosinus koordinate tačke na koordinatnoj kružnici, hiperbolički sinus i kosinus su koordinate tačke na hiperboli. Hiperboličke funkcije se izražavaju eksponentom i usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama: sh(x)=0,5(e x-e-x) , ch(x)=0.5(e x +e -x). Po analogiji sa trigonometrijskim funkcijama, hiperbolički tangent i kotangens su definisani kao omjeri hiperboličkog sinusa i kosinusa, kosinusa i sinusa, respektivno.

Diferencijal. G. Leibniz (1675, u štampi 1684).

Glavni, linearni dio funkcije inkrement.Ako je funkcija y=f(x) jedna varijabla x ima at x=x0izvod i prirastΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)funkcije f(x) može se predstaviti kaoΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , gdje član R beskonačno mali u poređenju saΔx. Prvi člandy=f"(x 0 )Δxu ovoj ekspanziji se naziva diferencijal funkcije f(x) u tačkix0. AT djela Gottfrieda Leibniza, Jacoba i Johanna Bernoullija riječi"diferencija"je korišten u značenju "prirast", I. Bernoulli ga je označio sa Δ. G. Leibniz (1675, objavljen 1684) koristio je notaciju za "beskonačno malu razliku"d- prvo slovo reči"diferencijal", formiran od njega iz"diferencija".

Neodređeni integral. G. Leibniz (1675, u štampi 1686).

Riječ "integral" prvi je upotrijebio u štampi Jacob Bernoulli (1690). Možda je termin izveden iz latinskog cijeli broj- cela. Prema drugoj pretpostavci, osnova je bila latinska riječ integro- vratiti, vratiti. Znak ∫ se koristi za označavanje integrala u matematici i stilizirana je slika prvog slova latinske riječi suma- suma. Prvi ga je upotrebio nemački matematičar Gotfrid Lajbnic, osnivač diferencijalnog i integralnog računa, krajem 17. veka. Drugi od osnivača diferencijalnog i integralnog računa, Isaac Newton, u svojim radovima nije ponudio alternativnu simboliku integrala, iako je pokušao razne opcije: okomitu traku iznad funkcije ili kvadratni simbol koji stoji ispred funkcije ili graniči sa njim. Neodređeni integral za funkciju y=f(x) je skup svih antiderivata date funkcije.

Definitivni integral. J. Fourier (1819-1822).

Definitivni integral funkcije f(x) sa donjom granicom a i gornja granica b može se definisati kao razlika F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , gdje F(x)- neka antiderivativna funkcija f(x) . Definitivni integral a ∫ b f(x)dx brojčano jednaka površini figure ograničene x-osom, prave linije x=a i x=b i graf funkcije f(x). Francuski matematičar i fizičar Jean Baptiste Joseph Fourier predložio je dizajn određenog integrala u obliku na koji smo navikli početkom 19. stoljeća.

Derivat. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivat - osnovni koncept diferencijalnog računa, koji karakteriše brzinu promjene funkcije f(x) kada se argument promijeni x . Definira se kao granica omjera prirasta funkcije i priraštaja njenog argumenta jer prirast argumenta teži nuli, ako takvo ograničenje postoji. Funkcija koja ima konačan izvod u nekoj tački naziva se diferencijabilna u toj tački. Proces izračunavanja derivacije naziva se diferencijacija. Obrnuti proces je integracija. U klasičnom diferencijalnom računu derivacija se najčešće definiše kroz koncepte teorije granica, međutim, istorijski gledano, teorija granica se pojavila kasnije od diferencijalnog računa.

Termin "derivat" uveo je Joseph Louis Lagrange 1797. godine; dy/dx- Gotfrid Lajbnic 1675. Način označavanja izvedenice u odnosu na vrijeme tačkom iznad slova potječe od Newtona (1691).Ruski izraz "derivacija funkcije" prvi je upotrijebio ruski matematičarVasilij Ivanovič Viskovatov (1779-1812).

Privatni derivat. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Za funkcije mnogih varijabli definirane su parcijalne derivacije - derivacije u odnosu na jedan od argumenata, izračunate pod pretpostavkom da su preostali argumenti konstantni. Notacija ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y uveo francuski matematičar Adrien Marie Legendre 1786. godine; fx",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ y- parcijalni derivati drugog reda - njemački matematičar Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Razlika, prirast. I. Bernoulli (kraj 17. stoljeća - prva polovina 18. stoljeća), L. Euler (1755).

Oznaku prirasta slovom Δ prvi je upotrijebio švicarski matematičar Johann Bernoulli. Simbol "delta" ušao je u uobičajenu praksu nakon rada Leonharda Eulera 1755. godine.

Suma. L. Euler (1755).

Zbir je rezultat zbrajanja vrijednosti (brojeva, funkcija, vektora, matrica, itd.). Za označavanje sume n brojeva a 1, a 2, ..., a n koristi se grčko slovo "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Znak Σ za zbir je uveo Leonhard Euler 1755. godine.

Posao. K. Gauss (1812).

Proizvod je rezultat množenja. Za označavanje proizvoda n brojeva a 1, a 2, ..., a n, koristi se grčko slovo "pi" Π: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Na primjer, 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Simbol Π za proizvod uveo je njemački matematičar Carl Gauss 1812. godine. U ruskoj matematičkoj literaturi, pojam "rad" prvi je susreo Leontij Filipovič Magnitski 1703. godine.

Faktorski. K.Krump (1808).

Faktorijal broja n (označen n!, izgovara se "en factorial") je proizvod svih prirodnih brojeva do i uključujući n: n! = 1 2 3 ... n. Na primjer, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Po definiciji, 0! = 1. Faktorijal je definiran samo za nenegativne cijele brojeve. Faktorijal broja n jednak je broju permutacija n elemenata. Na primjer, 3! = 6, zaista,

♣ ♦

♦ ♣

Svih šest i samo šest permutacija tri elementa.

Termin "faktorijalni" uveo je francuski matematičar i političar Louis Francois Antoine Arbogast (1800), oznaka n! - Francuski matematičar Kristijan Kramp (1808).

Modul, apsolutna vrijednost. K. Weierstrass (1841).

Modul, apsolutna vrijednost realnog broja x - nenegativan broj definiran na sljedeći način: |x| = x za x ≥ 0, i |x| = -x za x ≤ 0. Na primjer, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul kompleksnog broja z = a + ib je realan broj jednak √(a 2 + b 2).

Vjeruje se da je termin "modul" predložio engleski matematičar i filozof, Newtonov učenik, Roger Cotes. Gottfried Leibniz je također koristio ovu funkciju, koju je nazvao "modul" i označio: mol x. Općeprihvaćenu notaciju apsolutne vrijednosti uveo je 1841. njemački matematičar Karl Weierstrass. Za kompleksne brojeve, ovaj koncept su uveli francuski matematičari Augustin Cauchy i Jean Robert Argan početkom 19. vijeka. Godine 1903. austrijski naučnik Konrad Lorenz koristio je isti simbolizam za dužinu vektora.

Norm. E. Schmidt (1908).

Norma je funkcija definirana na vektorskom prostoru i generalizirajući koncept dužine vektora ili modula broja. Znak "norma" (od latinske riječi "norma" - "pravilo", "uzorak") uveo je njemački matematičar Erhard Schmidt 1908. godine.

Limit. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), mnogi matematičari (do početka 20. stoljeća)

Granica - jedan od osnovnih pojmova matematičke analize, što znači da se neka varijabilna vrijednost u procesu razmatrane promjene približava određenoj konstantnoj vrijednosti. Koncept granice intuitivno su koristili još u drugoj polovini 17. veka Isak Njutn, kao i matematičari 18. veka, kao što su Leonhard Euler i Joseph Louis Lagrange. Prve rigorozne definicije granice niza dali su Bernard Bolzano 1816. i Augustin Cauchy 1821. Simbol lim (prva 3 slova latinske riječi limes - granica) pojavio se 1787. godine kod švicarskog matematičara Simona Antoinea Jean Lhuilliera, ali njegova upotreba još nije ličila na modernu. Izraz lim u nama poznatijem obliku prvi je upotrebio irski matematičar William Hamilton 1853. godine.Weierstrass je uveo oznaku blisku modernoj, ali je umjesto uobičajene strelice koristio znak jednakosti. Strelica se pojavila početkom 20. veka kod nekoliko matematičara odjednom - na primer, kod engleskog matematičara Godfrida Hardija 1908.

Zeta funkcija, d Riemann zeta funkcija. B. Riemann (1857).

Analitička funkcija kompleksne varijable s = σ + it, za σ > 1, određena apsolutno i uniformno konvergentnim Dirichletovim redom:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Za σ > 1 vrijedi reprezentacija u obliku Eulerovog proizvoda:

ζ(s) = Π str (1-p -s) -s ,

gdje je proizvod preuzet preko svih prostih brojeva p. Zeta funkcija igra veliku ulogu u teoriji brojeva.Kao funkciju realne varijable, zeta funkciju uveo je 1737. (objavljena 1744.) L. Euler, koji je ukazao na njenu dekompoziciju u proizvod. Zatim su ovu funkciju razmatrali njemački matematičar L. Dirichlet i, posebno uspješno, ruski matematičar i mehaničar P.L. Čebišev u proučavanju zakona raspodjele prostih brojeva. Međutim, najdublja svojstva zeta funkcije otkrivena su kasnije, nakon rada njemačkog matematičara Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859), gdje se zeta funkcija razmatrala kao funkcija kompleksne varijable; također je uveo naziv "zeta funkcija" i oznaku ζ(s) 1857. godine.

Gama funkcija, Euler Γ-funkcija. A. Legendre (1814).

Gama funkcija je matematička funkcija koja proširuje pojam faktorijala na polje kompleksnih brojeva. Obično se označava sa Γ(z). Z-funkciju je prvi uveo Leonhard Euler 1729. godine; definirano je formulom:

Γ(z) = limn→∞ n!n z /z(z+1)...(z+n).

Veliki broj integrala, beskonačnih proizvoda i suma redova izražava se kroz G-funkciju. Široko se koristi u analitičkoj teoriji brojeva. Naziv "Gama funkcija" i oznaku Γ(z) predložio je francuski matematičar Adrien Marie Legendre 1814. godine.

Beta funkcija, B funkcija, Euler B funkcija. J. Binet (1839).

Funkcija dvije varijable p i q, definirane za p>0, q>0 jednakošću:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Beta funkcija se može izraziti u terminima Γ-funkcije: V(p, q) = Γ(p)G(q)/G(p+q).Baš kao što je gama funkcija za cijele brojeve generalizacija faktorijala, beta funkcija je, na neki način, generalizacija binomnih koeficijenata.

Mnoga svojstva su opisana pomoću beta funkcije.elementarne čestice učestvujući u jaka interakcija. Ovu osobinu je uočio italijanski teoretski fizičarGabriele Veneziano 1968. godine. Počelo je teorija struna.

Naziv "beta funkcija" i oznaku B(p, q) uveo je 1839. godine francuski matematičar, mehaničar i astronom Jacques Philippe Marie Binet.

Laplasov operater, Laplasov. R. Murphy (1833).

Linearni diferencijalni operator Δ, koji funkcionira φ (x 1, x 2, ..., x n) iz n varijabli x 1, x 2, ..., x n pridružuje funkciji:

Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.

Konkretno, za funkciju φ(x) jedne varijable, Laplaceov operator se poklapa sa operatorom 2. izvoda: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Jednačina Δφ = 0 obično se naziva Laplaceova jednačina; odatle potiču nazivi "Laplasov operator" ili "Laplasov". Oznaku Δ uveo je engleski fizičar i matematičar Robert Murphy 1833. godine.

Hamiltonov operator, nabla operator, Hamiltonov. O. Heaviside (1892).

Vektorski diferencijalni operator forme

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y j+ ∂/∂z k,

gdje i, j, i k- koordinatni vektori. Preko nabla operatora se na prirodan način izražavaju osnovne operacije vektorske analize, kao i Laplaceov operator.

1853. godine irski matematičar William Rowan Hamilton uveo je ovaj operator i skovao za njega simbol ∇ u obliku obrnutog grčkog slova Δ (delta). Kod Hamiltona je tačka simbola bila usmjerena na lijevo; kasnije, u radovima škotskog matematičara i fizičara Petera Guthriea Tatea, simbol je dobio moderan izgled. Hamilton je ovaj simbol nazvao riječju "atled" (riječ "delta" čitana unazad). Kasnije su engleski naučnici, uključujući Olivera Hevisajda, počeli da nazivaju ovaj simbol "nabla", prema nazivu slova ∇ u feničanskom alfabetu, gde se pojavljuje. Poreklo slova se povezuje sa muzičkim instrumentom kao što je harfa, ναβλα (nabla) na starogrčkom znači „harfa“. Operator se zvao Hamiltonov operator, ili nabla operator.

Funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematički koncept koji odražava odnos između elemenata skupova. Možemo reći da je funkcija "zakon", "pravilo" prema kojem je svaki element jednog skupa (koji se naziva domenom definicije) povezan s nekim elementom drugog skupa (koji se naziva domenom vrijednosti). Matematički koncept funkcije izražava intuitivnu ideju o tome kako jedna veličina u potpunosti određuje vrijednost druge veličine. Često izraz "funkcija" znači numeričku funkciju; odnosno funkcija koja neke brojeve stavlja u red s drugima. Dugo vremena matematičari su davali argumente bez zagrada, na primjer, ovako - φh. Ovu notaciju je prvi upotrijebio švicarski matematičar Johann Bernoulli 1718.Zagrade su se koristile samo ako je bilo mnogo argumenata ili ako je argument bio složen izraz. Odjeci tih vremena su uobičajeni i sada su zapisisin x, lg xitd. Ali postepeno je upotreba zagrada, f(x) postala opšte pravilo. A glavna zasluga u tome pripada Leonhardu Ojleru.

Jednakost. R. Zapis (1557).

Znak jednakosti predložio je velški liječnik i matematičar Robert Record 1557. godine; obris lika bio je mnogo duži od sadašnjeg, jer je imitirao sliku dva paralelna segmenta. Autor je objasnio da nema ništa jednakije na svijetu od dva paralelna segmenta iste dužine. Prije toga, u antičkoj i srednjovjekovnoj matematici, jednakost se označavala verbalno (npr. est egale). Rene Descartes je u 17. veku počeo da koristi æ (od lat. aequalis), i koristio je moderni znak jednakosti kako bi naznačio da bi koeficijent mogao biti negativan. François Viète je označavao oduzimanje znakom jednakosti. Simbol Zapisa nije se odmah proširio. Širenje simbola Zapis je ometala činjenica da se od davnina isti simbol koristio za označavanje paralelizma linija; na kraju je odlučeno da se simbol paralelizma napravi vertikalnim. U kontinentalnoj Evropi znak "=" uveo je Gottfried Leibniz tek na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, odnosno više od 100 godina nakon smrti Roberta Recorda, koji ga je prvi upotrijebio za to.

Otprilike isto, otprilike isto. A. Günther (1882).

potpiši " ≈" uveo je njemački matematičar i fizičar Adam Wilhelm Sigmund Günther 1882. godine kao simbol za odnos "približno jednako".

Više-manje. T. Harriot (1631).

Ova dva znaka uveo je u upotrebu engleski astronom, matematičar, etnograf i prevodilac Thomas Harriot 1631. godine, prije toga su korištene riječi "više" i "manje".

Uporedivost. K. Gauss (1801).

Poređenje - odnos između dva cijela broja n i m, što znači da je razlika n-m ovih brojeva podijeljena datim cijelim brojem a, koji se naziva modul poređenja; piše: n≡m(mod a) i glasi "brojevi n i m su uporedivi po modulu a". Na primjer, 3≡11(mod 4) pošto je 3-11 deljivo sa 4; brojevi 3 i 11 su kongruentni po modulu 4. Poređenja imaju mnoga svojstva slična onima kod jednakosti. Dakle, pojam iz jednog dijela poređenja može se prenijeti sa suprotnim predznakom u drugi dio, a poređenja sa istim modulom se mogu sabirati, oduzimati, množiti, oba dijela poređenja se mogu množiti istim brojem itd. Na primjer,

3≡9+2 (mod 4) i 3-2≡9 (mod 4)

Istovremeno istinita poređenja. A iz para pravih poređenja 3≡11(mod 4) i 1≡5(mod 4) slijedi ispravnost sljedećeg:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5 (mod 4)

3 1≡11 5 (mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3 23≡11 23 (mod 4)

U teoriji brojeva razmatraju se metode za rješavanje raznih poređenja, tj. metode za pronalaženje cijelih brojeva koji zadovoljavaju poređenja ove ili one vrste. Modulo poređenja prvi je upotrijebio njemački matematičar Carl Gauss u svojoj knjizi Aritmetička istraživanja iz 1801. godine. Takođe je predložio simboliku uspostavljenu u matematici za poređenje.

Identitet. B. Riemann (1857).

Identitet - jednakost dva analitička izraza, važeća za sve dozvoljene vrijednosti slova koja su u njemu uključena. Jednakost a+b = b+a vrijedi za sve numeričke vrijednosti a i b, te je stoga identitet. Za bilježenje identiteta, u nekim slučajevima, od 1857. godine, koristi se znak "≡" (čitaj "identično jednak"), čiji je autor u ovoj upotrebi njemački matematičar Georg Friedrich Bernhard Riemann. Može se napisati a+b ≡ b+a.

Perpendikularnost. P.Erigon (1634).

Okomitost - međusobni raspored dvije prave, ravni ili ravne i ravni, u kojoj ove figure čine pravi ugao. Znak ⊥ za označavanje okomitosti uveo je 1634. godine francuski matematičar i astronom Pjer Erigon. Koncept okomitosti ima niz generalizacija, ali sve one, po pravilu, prati znak ⊥ .

Paralelizam. W. Outred (posthumno izdanje iz 1677.).

Paralelizam - odnos između nekih geometrijskih oblika; na primjer, ravne linije. Definira se različito ovisno o različitim geometrijama; na primjer, u geometriji Euklida i u geometriji Lobačevskog. Znak paralelizma poznat je od davnina, koristili su ga Heron i Papus iz Aleksandrije. U početku je simbol bio sličan trenutnom znaku jednakosti (samo prošireniji), ali s pojavom potonjeg, da bi se izbjegla zabuna, simbol je okrenut okomito ||. Prvi put se pojavio u ovom obliku u posthumnom izdanju radova engleskog matematičara Williama Outreda 1677. godine.

Raskrsnica, spoj. J. Peano (1888).

Presjek skupova je skup koji sadrži one i samo one elemente koji istovremeno pripadaju svim datim skupovima. Unija skupova je skup koji sadrži sve elemente originalnih skupova. Presjek i unija se također nazivaju operacije na skupovima koje određuju nove skupove određenim skupovima prema gornjim pravilima. Označeno ∩ i ∪, respektivno. Na primjer, ako

A= (♠ ♣ ) i B= (♣ ♦ ),

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Sadrži, sadrži. E. Schroeder (1890).

Ako su A i B dva skupa i nema elemenata u A koji ne pripadaju B, onda kažu da je A sadržano u B. Pišu A⊂B ili B⊃A (B sadrži A). Na primjer,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Simboli "sadrži" i "sadrži" pojavili su se 1890. godine sa njemačkim matematičarem i logičarem Ernstom Schroederom.

Pripadnost. J. Peano (1895).

Ako je a element skupa A, onda napišite a∈A i pročitajte "a pripada A". Ako a nije element A, napišite a∉A i pročitajte "a ne pripada A". U početku se odnosi "sadržani" i "pripada" ("je element") nisu razlikovali, ali su s vremenom ovi koncepti zahtijevali razlikovanje. Znak članstva ∈ prvi je upotrijebio talijanski matematičar Giuseppe Peano 1895. godine. Simbol ∈ dolazi od prvog slova grčke riječi εστι - biti.

Univerzalni kvantifikator, egzistencijalni kvantifikator. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kvantifikator je opći naziv za logičke operacije koje ukazuju na područje istinitosti predikata (matematičke izjave). Filozofi su dugo obraćali pažnju na logičke operacije koje ograničavaju opseg istinitosti predikata, ali ih nisu izdvajali kao zasebnu klasu operacija. Iako se kvantifikatorsko-logičke konstrukcije široko koriste kako u naučnom tako iu svakodnevnom govoru, do njihove formalizacije došlo je tek 1879. godine, u knjizi njemačkog logičara, matematičara i filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregea "Račun pojmova". Fregeova notacija izgledala je kao glomazna grafička konstrukcija i nije bila prihvaćena. Kasnije je predloženo mnogo uspješnijih simbola, ali notacija ∃ za egzistencijalni kvantifikator (čitaj "postoji", "postoji"), koju je predložio američki filozof, logičar i matematičar Charles Pierce 1885. godine, i ∀ za univerzalni kvantifikator ( čitaj "bilo koji", "svaki", "svaki"), koji je formirao njemački matematičar i logičar Gerhard Karl Erich Gentzen 1935. po analogiji sa simbolom egzistencijalnog kvantifikatora (obrnuta prva slova engleskih riječi Existence (postojanje) i Any ( bilo koji)). Na primjer, unos

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

glasi: "za bilo koje ε>0 postoji δ>0 takvo da za sve x nije jednako x 0 i zadovoljava nejednakost |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Prazan set. N. Bourbaki (1939).

Skup koji ne sadrži nijedan element. Znak prazan postavljen je uveden u knjige Nicolasa Bourbakija 1939. godine. Bourbaki je kolektivni pseudonim grupe francuskih matematičara formirane 1935. Jedan od članova grupe Bourbaki bio je Andre Weil, autor simbola Ø.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

U matematici, dokaz se shvata kao niz rasuđivanja zasnovanih na određenim pravilima, koji pokazuje da je određena tvrdnja tačna. Od renesanse, kraj dokaza matematičari su označavali kao "Q.E.D.", od latinskog izraza "Quod Erat Demonstrandum" - "Ono što je trebalo dokazati". Prilikom kreiranja sistema kompjuterskog rasporeda ΤΕΧ 1978. godine, američki profesor informatike Donald Edwin Knuth koristio je simbol: popunjen kvadrat, takozvani "Halmos simbol", nazvan po američkom matematičaru mađarskog porijekla Paulu Richardu Halmosu. Danas se završetak dokaza obično označava Halmosovim simbolom. Kao alternativa, koriste se i drugi znakovi: prazan kvadrat, pravokutni trokut, // (dvije kose crte), kao i ruska skraćenica "ch.t.d.".

Apstraktna algebra u velikoj meri koristi simbole za pojednostavljenje i skraćivanje teksta, kao i standardnu notaciju za neke grupe. Slijedi lista najčešćih algebarskih zapisa, odgovarajućih naredbi u ... Wikipediji

Matematičke notacije su simboli koji se koriste za pisanje matematičkih jednačina i formula na kompaktan način. Pored brojeva i slova raznih abeceda (latinica, uključujući gotski, grčki i hebrejski), ... ... Wikipedia

Članak sadrži listu najčešće korištenih skraćenica za matematičke funkcije, operatore i druge matematičke termine. Sadržaj 1 Skraćenice 1.1 Latinica 1.2 Grčko pismo ... Wikipedia

Unicode, ili Unicode (eng. Unicode) je standard za kodiranje znakova koji vam omogućava da predstavite znakove gotovo svih pisanih jezika. Standard je 1991. godine predložila neprofitna organizacija Unicode Consortium (eng. Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Spisak specifičnih simbola koji se koriste u matematici može se videti u članku Tabela matematičkih simbola Matematička notacija („jezik matematike“) je složen sistem grafičkih oznaka koji se koristi za predstavljanje apstraktnih ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Plus minus (značenja). ± ∓ Znak plus minus (±) je matematički simbol koji se postavlja ispred nekog izraza i znači da vrijednost ovog izraza može biti i pozitivna i ... Wikipedia

Potrebno je provjeriti kvalitet prijevoda i uskladiti članak sa stilskim pravilima Wikipedije. Možete pomoći... Wikipedia

Ili su matematički simboli znakovi koji svojim argumentima simboliziraju određene matematičke operacije. Najčešći su: Plus: + Minus:, - Znak množenja: ×, ∙ Znak dijeljenja::, ∕, ÷ Znak ekspozicije u ... ... Wikipedia

Znakovi operacija ili matematički simboli su znakovi koji simboliziraju određene matematičke operacije sa svojim argumentima. Najčešći su: Plus: + Minus:, - Znak množenja: ×, ∙ Znak dijeljenja::, ∕, ÷ Konstrukcijski znak ... ... Wikipedia

Geometrijski simboli, klasa mitopoetskih znakova, po formi identični geometrijskim elementima i široko korišteni u sferi mitološke i religijske, kao i kasnije simbolike i amblematike (up. posebno heraldiku). Geometrijski simboli kao znakovi, čija se semantika određuje kada se koriste u okviru mitoloških i religijskih sistema, uključuju geometrijske figure, linije (prave, krive, izlomljene linije i neke njihove kombinacije), kao i tijela (lopta , kocka, konus, piramida, paralelepiped i sl.), koji se u dvodimenzionalnom prostoru realizuju kao figure. Relativna jednostavnost geometrijskih simbola osiguravala je stabilnost i tačnost modeliranja mitopoetskih objekata uz pomoć geometrijskih simbola. Geometrijski "kod", povezan s instalacijom idealizacije i ujedinjenja stvarnih objekata, poslužio je kao pogodno sredstvo za svrhe klasifikacije, posebno za stvaranje univerzalnih shema koje naglašavaju jedinstvo različitih sfera bića (usp. opoziciju -). geometrijski simboli opisivali su strukturu u njenom vertikalnom i horizontalnom aspektu (za razliku od bestrukturnog, koji se nikada ne opisuje uz pomoć geometrijskih simbola), u prostornim i vremenskim planovima, kao i sve više „zgusnutije“ slike kosmosa: zemlja, grad, naselje, palata, hram, grobnica; socijalna struktura tima (posebno njegova struktura u smislu braka i porodičnih odnosa); etički „prostor” (usp. geometrijske simbole, koji označavaju koncepte kao što su vjera, ljubav, nada, postojanost, odanost, pravda, istina, red, zakon, itd.) geometrijski simboli su u osnovi strukture rituala i oblika sakraliziranih objekata. Od geometrijskih linija u mitološkoj, religioznoj i poetskoj simbolici najčešće su ravne (ponekad konkretizirane kao strelica), isprekidane linije (prvenstveno u obliku cik-cak), razne vrste "ispravnih" krivina, posebno spirale, volute, u korelaciji sa grmljavinom, munjom, zemljom, zmijom itd. Posebno je bio rasprostranjen meandar (prvobitno ime u Maloj Aziji, prema mitu, sunčeva kola su se presušila pri približavanju zemlji i poznata po svojoj vijugavosti, koja je postala poslovica, up. Strab.
XII 577 sljedeći; Liv. XXXVIII, 13; Ovidije. Met. VIII, 162, itd.), koja je neprekidna linija, izlomljena pod pravim uglom, i simbolizira odsustvo i kraj, vječnost. U staroj Kini meandar je bio povezan s reinkarnacijom i grmljavinom, u staroj Grčkoj uspoređivan je s legendarnim labirintom (kasnije je meandar postao jedan od tipičnih oblika ukrasa).
Od geometrijskih simbola i njihovih kombinacija, pored kruga, kvadrata, posebnu pažnju zaslužuju različite vrste poligona (u pravilu „pravilnih“): trokut, koji u raznim mitopoetskim kontekstima simbolizira plodnu moć zemlje, brak, sigurnost; plamen, glava, piramida, trojstvo, broj 3, fizička stabilnost; - -, život - smrt - novi život (ponovno rođenje), tijelo - um - duša, otac - majka -, tri kosmičke zone ( - zemlja - donji svijet); dvostruki trokut - , sjever, i Set, jug (kod starih Egipćana); tri povezana trokuta - simbol apsoluta, pitagorejski simbol zdravlja, masonski amblem; trougao sa vrhom nadole i trougao sa vrhom nagore - simbolizujući respektivno: ženski princip, vodu, podzemni svet, (egipatski hijeroglif) i muški princip, nebeske sile; trougao koji obuhvata svastiku je simbol kosmičkog; trougao u kvadratu - božansko i ljudsko, nebesko i zemaljsko, duhovno i tjelesno; trokut unutar kruga - trojstvo u jednom; dva trougla koji se ukrštaju - božanstvo, spoj vatre i vode, pobjeda duha nad materijom.
Pentagon, pravilan pentagon u obliku zvijezde, simbolizira vječnost, savršenstvo, univerzum; Pentagon - amajlija zdravlja, znak na vratima za, otjerati; magično oruđe u zavjerama i nekim ritualima; amblem Thotha, Merkura, Keltskog Gawaina, itd.; totem američkih Indijanaca; simbol pet rana Isusa Hrista, koji su Grci koristili kao znak krsta; znak blagostanja, sreće među Jevrejima, legendarni ključ; znak visokog položaja u društvu među Japancima itd.
Šestougao, pravilni šestougao - simbol obilja, ljepote, harmonije, slobode, braka, ljubavi, milosrđa, zadovoljstva, mira, reciprociteta, simetrije (ista simbolika je 6), slika osobe (dvije ruke, dvije noge, glava i torzo), pitagorejski način života i dobro; prisutnost uglova, prvo, i oblika bliski krugu, drugo, omogućava nam da povežemo šesterokut s idejom energije i mira u isto vrijeme, kao i sa; u drevnoj Kini, ideja sedmougla sa središtem (6 + 1) bila je povezana sa heksagonom.
Simbolika takvih geometrijskih konstrukcija kao što su kineski trigrami (vidi), od kojih je svaki značio niz koncepata koji se uzdižu od konkretnog do apstraktnog, zaslužuje poseban spomen. U početku je stvoreno 8 trigrama (vidi sliku: ovdje će biti slika): Heksagrami, koji se mogu smatrati kombinacijom dva trigrama, nisu imali manje važno simboličko značenje. Prema drevnoj kineskoj "Knjizi promjena" (Yijing), svjetski proces se realizuje u obliku 64 situacije, određene različitim omjerom sila svjetlosti i tame, napetosti i usklađenosti i označene heksagramima koji opisuju stvarnost u svoju celinu. Međusobni odnos trigrama odredio je specifičnost heksagrama. U isto vrijeme, obje komponente trigrama, uzete u cjelini (na primjer, unutrašnji život donjeg trigrama, napredovanje, stvaranje, gornji trigram vanjski svijet, povlačenje, kolaps), i svaki od tri para karakteristika koje čine heksagram (gornji - nebo, srednji čovjek, donji - zemlja). Konačno, u gatačkoj praksi uzeta je u obzir simbolika pojedinih pozicija heksagrama u odnosu na društvo, ljudsko tijelo i tijelo životinje. Ove ideje vezane za heksagrame također postaju vodeće u drugim pokušajima sintetičkog modeliranja strukture svijeta (usp. roman švicarskog pisca G. Hessea "Igra staklenih perli").
U vezi sa geometrijskim simbolima u mitološkim i religioznim sistemima, treba istaći još dva aspekta - sintaktički (kombinacija geometrijskih simbola u mitopoetskim tekstovima, koja stvara ne samo nove formalne konstrukcije, već i generiše nova značenja) i transformacioni [uspostavljanje odnosa reverzibilnost geometrijskih simbola u druge znakove i simbole, na primjer, u brojeve (ili slova abecede)], što omogućava uspostavljanje semantičkih invarijanti i načina njihovog izražavanja. sri makro -
i mikrokosmička korelacija slova u nekim tradicijama (iskustva ranih vizantijskih neoplatonista i gnostika). Različiti geometrijski simboli u mnogim slučajevima postaju element umjetničke forme (standardizirani blokovi u arhitekturi, ornamentici itd.). geometrijski simboli čine značajan sloj mitopoetskih znakova i simbola, koji, utječući na odgovarajuće strukture psihe, mogu modelirati i nove situacije. Posebno se na ovom svojstvu zasniva upotreba geometrijskih simbola za psihofizički uticaj na podsvest, njihova upotreba za kreiranje amblema, zaštitnih znakova itd.

Kao što znate, matematika voli točnost i kratkoću - nije bez razloga da jedna formula može zauzeti pasus u verbalnom obliku, a ponekad i cijelu stranicu teksta. Stoga su grafički elementi koji se koriste širom svijeta u nauci dizajnirani da povećaju brzinu pisanja i kompaktnost prezentacije podataka. Osim toga, standardiziranu grafiku može prepoznati izvorni govornik bilo kojeg jezika koji ima osnovno znanje iz relevantne oblasti.

Istorija matematičkih znakova i simbola seže mnogo vekova unazad - neki od njih su izmišljeni nasumično i namenjeni su da označe druge fenomene; drugi su postali proizvod aktivnosti naučnika koji namerno formiraju veštački jezik i rukovode se isključivo praktičnim razmatranjima.

Plus i minus

Istorija nastanka simbola koji označavaju najjednostavnije aritmetičke operacije nije pouzdana. Međutim, postoji prilično vjerojatna hipoteza o porijeklu znaka plus, koji izgleda kao ukrštene horizontalne i vertikalne linije. U skladu s njim, simbol dodavanja potječe od latinskog union et, koji se na ruski prevodi kao "i". Postupno, kako bi se ubrzao proces pisanja, riječ je svedena na okomito orijentiran križ, nalik na slovo t. Najraniji pouzdani primjer takve redukcije datira iz 14. stoljeća.

Općeprihvaćeni znak minus pojavio se, očigledno, kasnije. U 14., pa čak i u 15. veku, u naučnoj literaturi se koristio niz simbola koji označavaju operaciju oduzimanja, a tek u 16. veku „plus” i „minus” u svom modernom obliku počinju da se pojavljuju zajedno u matematičkim radovima. .

Množenje i dijeljenje

Ironično, matematički znakovi i simboli za ove dvije aritmetičke operacije danas nisu u potpunosti standardizirani. Popularna oznaka za množenje je dijagonalni krst koji je predložio matematičar Oughtred u 17. veku, a koji se može videti, na primer, na kalkulatorima. Na časovima matematike u školi, ista operacija se obično predstavlja kao tačka - ovaj metod je u istom veku predložio Leibniz. Drugi način predstavljanja je zvjezdica, koja se najčešće koristi u kompjuterskom predstavljanju raznih proračuna. Predloženo je da se sve to koristi u istom 17. veku, Johann Rahn.

Za operaciju podjele, predviđeni su znak kose crte (koji je predložio Ougtred) i horizontalna linija sa tačkama iznad i ispod (simbol je uveo Johann Rahn). Prva verzija oznake je popularnija, ali je i druga prilično česta.

Matematički znakovi i simboli i njihova značenja se ponekad mijenjaju tokom vremena. Međutim, sve tri metode grafičkog prikaza množenja, kao i obje metode dijeljenja, u određenoj su mjeri dosljedne i relevantne danas.

Jednakost, identitet, ekvivalencija

Kao i kod mnogih drugih matematičkih znakova i simbola, oznaka jednakosti je izvorno bila verbalna. Dugo vremena općeprihvaćena oznaka bila je skraćenica ae od latinskog aequalis („jednak“). Međutim, u 16. veku, velški matematičar po imenu Robert Rekord predložio je dve horizontalne linije, jednu ispod druge, kao simbol. Prema naučniku, nemoguće je smisliti nešto što je međusobno jednakije od dva paralelna segmenta.

Unatoč činjenici da je sličan znak korišten za označavanje paralelizma linija, novi simbol jednakosti postupno je stekao popularnost. Inače, znakovi poput "više" i "manje", koji prikazuju krpelje okrenute u različitim smjerovima, pojavili su se tek u 17.-18. Danas se svakom učeniku čine intuitivnim.

Nešto složeniji znakovi ekvivalencije (dvije valovite linije) i identiteti (tri horizontalne paralelne linije) ušli su u upotrebu tek u drugoj polovini 19. stoljeća.

Znak nepoznatog - "X"

Istorija pojave matematičkih znakova i simbola takođe poznaje veoma zanimljive slučajeve preispitivanja grafike kako se nauka razvija. Simbol za nepoznato, danas nazvan "x", potiče sa Bliskog istoka u zoru prošlog milenijuma.

Još u 10. veku, u arapskom svetu, poznatom po svojim naučnicima u tom istorijskom periodu, koncept nepoznatog označavan je rečju koja se doslovno prevodi kao „nešto“ i počinje glasom „Sh“. Kako bi se uštedio materijal i vrijeme, riječ u raspravama počela se svoditi na prvo slovo.

Mnogo decenija kasnije, pisani radovi arapskih naučnika završili su u gradovima na Iberijskom poluostrvu, na teritoriji savremene Španije. Naučne rasprave su se počele prevoditi na nacionalni jezik, ali se pojavila poteškoća - na španskom nema fonema "Sh". Pozajmljene arapske riječi koje počinju s njim pisane su po posebnom pravilu, a prethodilo im je slovo X. Naučni jezik tog vremena bio je latinski, u kojem se odgovarajući znak naziva "X".

Dakle, znak je, na prvi pogled, samo nasumično odabran simbol, ima duboku istoriju i izvorno je skraćenica od arapske riječi za „nešto“.

Obilježavanje ostalih nepoznanica

Za razliku od "X", Y i Z, nama poznati iz škole, kao i a, b, c, imaju mnogo prozaičniju istoriju porekla.

U 17. veku objavljena je Dekartova knjiga pod nazivom "Geometrija". U ovoj knjizi autor je predložio standardizaciju simbola u jednačinama: u skladu sa njegovom idejom, posljednja tri slova latinice (počevši od "X") počela su označavati nepoznate, a prva tri - poznate vrijednosti.

Trigonometrijski pojmovi

Istorija takve riječi kao što je sinus je zaista neobična.

Odgovarajuće trigonometrijske funkcije su izvorno nazvane u Indiji. Riječ koja odgovara konceptu sinusa doslovno je značila "string". U doba vrhunca arapske nauke, indijski traktati su prevođeni, a koncept koji nije imao analoga na arapskom je transkribovan. Igrom slučaja, ono što se dogodilo u pismu ličilo je na stvarnu riječ "šuplje", čija semantika nije imala nikakve veze s originalnim izrazom. Kao rezultat toga, kada su arapski tekstovi prevedeni na latinski u 12. vijeku, nastala je riječ "sine", što znači "depresija" i fiksirana kao novi matematički koncept.

Ali matematički znakovi i simboli za tangentu i kotangens još uvijek nisu standardizirani - u nekim zemljama se obično pišu kao tg, au drugim - kao tan.

Neki drugi znakovi

Kao što se može vidjeti iz gore opisanih primjera, pojava matematičkih znakova i simbola uglavnom se dogodila u 16.-17. stoljeću. U istom periodu pojavili su se i danas uobičajeni oblici bilježenja pojmova kao što su procenat, kvadratni korijen, stepen.

Procenat, tj. stoti dio, dugo se označavao kao cto (skraćeno od latinskog cento). Vjeruje se da se danas općenito prihvaćen znak pojavio kao rezultat tiskarske greške prije otprilike četiri stotine godina. Rezultirajuća slika je percipirana kao dobar način za smanjenje i ukorijenjena.

Korijenski znak je prvobitno bilo stilizirano slovo R (skraćeno od latinske riječi radix, "korijen"). Gornji red, ispod kojeg je izraz danas napisan, služio je kao zagrade i bio je poseban znak, odvojen od korijena. Zagrade su izmišljene kasnije - ušle su u široku cirkulaciju zahvaljujući aktivnostima Leibniza (1646-1716). Zahvaljujući njegovom vlastitom radu, integralni simbol je uveden i u nauku, koji izgleda kao izduženo slovo S - skraćenica za riječ "sum".

Konačno, znak eksponencijalnosti izmislio je Descartes, a Njutn usavršio u drugoj polovini 17. veka.

Kasnije oznake

S obzirom da su poznate grafičke slike “plus” i “minus” puštene u promet tek prije nekoliko stoljeća, ne čini se iznenađujućim da su se matematički znakovi i simboli koji označavaju složene pojave počeli koristiti tek u pretprošlom stoljeću.

Dakle, faktorijel, koji izgleda kao uzvičnik iza broja ili varijable, pojavio se tek početkom 19. stoljeća. Otprilike u isto vrijeme pojavilo se veliko "P" koje označava djelo i simbol granice.

Pomalo je čudno da su se znakovi za broj Pi i algebarski zbir pojavili tek u 18. stoljeću – kasnije od, na primjer, integralnog simbola, iako se intuitivno čini da su češći. Grafički prikaz odnosa obima kruga i njegovog prečnika dolazi od prvog slova grčkih reči koje znače "obim" i "perimetar". A znak "sigma" za algebarski zbir predložio je Ojler u poslednjoj četvrtini 18. veka.

Nazivi simbola na različitim jezicima

Kao što znate, jezik nauke u Evropi dugi niz vekova bio je latinski. Fizički, medicinski i mnogi drugi termini često su posuđivani u obliku transkripcija, mnogo rjeđe u obliku paus papira. Tako se mnogi matematički znakovi i simboli na engleskom nazivaju gotovo isto kao na ruskom, francuskom ili njemačkom. Što je suština fenomena složenija, veća je vjerovatnoća da će na različitim jezicima imati isto ime.

Računarska notacija matematičkih simbola

Najjednostavniji matematički znakovi i simboli u Wordu označeni su uobičajenom kombinacijom tipki Shift + broj od 0 do 9 na ruskom ili engleskom rasporedu. Odvojeni tasteri su rezervisani za neke široko korišćene znakove: plus, minus, jednakost, kosa crta.

Ako želite da koristite grafičke prikaze integrala, algebarskog zbroja ili proizvoda, Pi broja itd., potrebno je da otvorite karticu „Insert“ u Wordu i pronađete jedno od dva dugmeta: „Formula“ ili „Simbol“. U prvom slučaju otvorit će se konstruktor koji vam omogućava da napravite cijelu formulu unutar jednog polja, au drugom tablicu simbola u kojoj možete pronaći bilo koji matematički simbol.

Kako zapamtiti matematičke simbole

Za razliku od hemije i fizike, gdje broj simbola za pamćenje može premašiti stotinu jedinica, matematika operira s relativno malim brojem simbola. Najjednostavnije od njih učimo u ranom djetinjstvu, učeći sabiranje i oduzimanje, a tek na fakultetu u određenim specijalnostima upoznajemo se s nekoliko složenih matematičkih znakova i simbola. Slike za djecu pomažu u nekoliko sedmica da se postigne trenutno prepoznavanje grafičke slike potrebne operacije, možda će biti potrebno mnogo više vremena da se savlada vještina samog izvođenja ovih operacija i shvati njihova suština.

Dakle, proces pamćenja znakova odvija se automatski i ne zahtijeva mnogo truda.

Konačno

Vrijednost matematičkih znakova i simbola leži u činjenici da ih lako razumiju ljudi koji govore različite jezike i nosioci su različitih kultura. Iz tog razloga, izuzetno je korisno razumjeti i biti u stanju reproducirati grafičke prikaze različitih pojava i operacija.

Visok nivo standardizacije ovih znakova uslovljava njihovu upotrebu u raznim oblastima: u oblasti finansija, informacionih tehnologija, inženjeringa itd. postaje vitalna potreba..

Geometrijski simboli. Klasa likova koji su identični po obliku geometrijski elementi koji se široko koriste u oblasti mitologije i religije, kao i amblematike i heraldike.

geometrijski simboli

Svastika ravna (ljevoruka)

Svastika kao solarni simbol

Prava (ljevoruka) svastika je krst sa krajevima savijenim ulijevo. Smatra se da je rotacija u smjeru kazaljke na satu (mišljenja se ponekad razlikuju u određivanju smjera kretanja).

Prava svastika je simbol blagoslova, dobrog znaka, blagostanja, sreće i odbojnosti prema nesreći, kao i simbol plodnosti, dugovječnosti, zdravlja i života. Takođe je simbol muškog principa, duhovnosti, koja inhibira protok nižih (fizičkih) sila i dozvoljava da se ispolje energije više, božanske prirode.

Obrnuta svastika (desna strana)

Svastika na nacističkoj vojnoj medalji

Reversna (desnoruka) svastika je krst čiji su krajevi savijeni udesno. Smatra se da je rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Obrnuta svastika se obično povezuje sa ženskim rodom. Ponekad se povezuje sa lansiranjem negativnih (fizičkih) energija koje zatvaraju prolaz uzvišenim silama duha.

Sumerska svastika, koju čine četiri žene i njihova kosa, simbolizira žensku generativnu moć

Pentagram (pentakl): opšte značenje simbola

znak pentagrama

Pentagram, napisan u jednom redu, najstariji je od svih simbola koje posjedujemo. Imao je različita tumačenja u različitim istorijskim vremenima čovečanstva. Postao je sumerski i egipatski znak zvijezda.

Kasniji simbolizam: pet čula; muški i ženski rod, izražen sa pet tačaka; harmoniju, zdravlje i mistične moći. Pentagram je i simbol pobjede duhovnog nad materijalnim, simbol sigurnosti, zaštite, sigurnog povratka kući.

Pentagram kao magični simbol

Pentagrami bijelih i crnih maga

Pentakl sa jednim krajem prema gore i dva prema dole je znak bele magije, poznat kao "stopalo druida"; sa jednim krajem nadole i dva prema gore, predstavlja takozvano "kozje kopito" i đavolje rogove - znak promene karakterističan za simboliku iz pozitivnog u negativan kada se okrene.

Pentagram belog maga je simbol magijskog uticaja i dominacije disciplinovane volje nad pojavama u svetu. Volja Crnog maga usmjerena je na uništenje, na odbijanje obavljanja duhovnog zadatka, stoga se obrnuti pentagram smatra simbolom zla.

Pentagram kao simbol savršene osobe

Pentagram koji simbolizuje savršenog muškarca

Pentagram, zvijezda petokraka, simbol je savršenog čovjeka koji stoji na dvije noge sa raširenim rukama. Možemo reći da je osoba živi pentagram. To vrijedi i fizički i duhovno – čovjek posjeduje pet vrlina i manifestuje ih: ljubav, mudrost, istinu, pravdu i dobrotu.

Istina pripada duhu, ljubav duši, mudrost intelektu, dobrota srcu, pravda volji.

dvostruki pentagram

Dvostruki pentagram (čovek i svemir)

Postoji i korespondencija između ljudskog tijela i pet elemenata (zemlja, voda, zrak, vatra i etar): volja odgovara zemlji, srce vodi, intelekt zraku, duša vatri, duh etru. Dakle, svojom voljom, intelektom, srcem, dušom, duhom, osoba je povezana sa pet elemenata koji djeluju u kosmosu i može svjesno raditi u skladu sa njima. Ovo je značenje simbola dvostrukog pentagrama, u kojem je mali upisan u veliki: osoba (mikrokosmos) živi i djeluje unutar Univerzuma (makrokosmos).

Heksagram

Heksagramska slika

Heksagram - figura sastavljena od dva polarna trougla, šestokraka zvijezda. To je složen i čvrst simetričan oblik u kojem je šest malih pojedinačnih trokuta grupisano oko velikog centralnog šesterokuta. Rezultat je zvijezda, iako originalni trouglovi zadržavaju svoju individualnost. Kako je trougao okrenut prema gore nebeski simbol, a trougao okrenut prema dolje simbol zemlje, zajedno su simbol osobe koja spaja ova dva svijeta. Simbol je savršenog braka koji povezuje muškarca i ženu.

Solomonov pečat

Solomonov pečat ili Davidova zvijezda

Ovo je čuveni magični pečat Solomona, ili Davidova zvezda. Gornji trokut na njenoj slici je bijeli, a donji trokut crn. Simbolizira, prije svega, apsolutni zakon analogije, izražen mističnom formulom: "Ono što je dolje slično je onome što je gore".

Solomonov pečat je također simbol ljudske evolucije: čovjek mora naučiti ne samo uzimati, već i davati, apsorbirati i zračiti u isto vrijeme, zračiti za Zemlju, opažati s Neba. Primamo i ispunjavamo se samo kada dajemo drugima. Ovo je savršeni spoj duha i materije u čovjeku – spoj solarnog pleksusa i mozga.

petokraka zvijezda

petokraka zvijezda

vitlejemska zvijezda

Petokraka se tumači na različite načine, uključujući i simbol radosti i sreće. To je takođe amblem semitske boginje Ištar u njenoj borilačkoj inkarnaciji, a pored toga i Vitlejemska zvezda. Za masone petokraka zvijezda simbolizira mistični centar.

Egipćani su pridavali veliki značaj petokrakim i šestokrakim zvijezdama, što je jasno iz teksta sačuvanog na zidu pogrebnog hrama Hatšepsut.

sedmokraka zvijezda

Sedmokraka zvijezda mađioničara

Kod sedmokrake se ponavljaju karakteristične osobine petokrake. Gnostička zvijezda ima sedam zraka.

Sedmokrake i devetokrake zvijezde nacrtane u jednoj liniji su mistične zvijezde u astrologiji i magiji.

Zvijezda mađioničara čita se na dva načina: uzastopno duž zraka (duž linije zvijezde) i duž obima. U toku zraka nalaze se planete koje kontrolišu dane u sedmici: Sunce - nedelja, Mesec - ponedeljak, Mars - utorak, Merkur - sreda, Jupiter - četvrtak, Venera - petak, Saturn - subota.

devetokraka zvezda

Devetokraka zvijezda mađioničara

Devetokrake, kao i sedmokrake, ako su nacrtane u jednoj liniji, mistične su zvijezde u astrologiji i magiji.

Devetokraka zvijezda, sastavljena od tri trougla, simbolizira Duha Svetoga.

Monad

Četiri sastavna dijela monade

To je magični simbol koji je John Dee (1527–1608), savjetnik i astrolog engleske kraljice Elizabete I, nazvao monada.

Dee predstavlja prirodu magijskih simbola u smislu geometrije i testira monadu u nizu teorema.

Dee istražuje monadu na tako dubokom nivou da pronalazi veze sa svojom teorijom s pitagorejskom harmonijom, biblijskim znanjem i matematičkim proporcijama.

Spiralna

Spiralna struktura Mliječnog puta

Spiralni oblici su vrlo česti u prirodi, od spiralnih galaksija do virova i tornada, od školjki mekušaca do otisaka ljudskih prstiju, a čak i molekul DNK ima oblik dvostruke spirale.

Spirala je vrlo složen i dvosmislen simbol. Ali prije svega, to je simbol velike stvaralačke (životne) sile kako na nivou kosmosa tako i na nivou mikrokosmosa. Spirala je simbol vremena, cikličkih ritmova, smene godišnjih doba, rađanja i smrti, faza "starenja" i "rasta" Meseca, kao i samog Sunca.

Drvo života

Drvo života u ljudskom biću

Drvo života

Drvo života ne pripada nijednoj kulturi - čak ni Egipćanima. To je izvan rase i religije. Ova slika je sastavni dio prirode... Sam čovjek je minijaturno Drvo života. Posjedovao je besmrtnost kada je bio povezan sa ovim drvetom. Drvo života može se smatrati arterijama velikog kosmičkog tijela. Kroz ove arterije, kao kroz kanale, teku životvorne sile kosmosa koje hrane sve oblike postojanja i u njima kuca kosmički puls života. Drvo života je zaseban dio, dio šeme univerzalnog koda života.

Sfera

Armilarna sfera (gravira iz knjige Tycho Brahea)

Simbol plodnosti (poput kruga), kao i integriteta. U staroj Grčkoj, znak sfere bio je krst u krugu - drevni amblem moći. Sfera sastavljena od nekoliko metalnih prstenova, koja ilustruje kosmogonijsku teoriju Ptolomeja, koji je vjerovao da je Zemlja u središtu svemira, drevni je amblem astronomije.

Platonska čvrsta tela

Platonska tijela upisana u sferu

Platonova tijela su pet jedinstvenih oblika. Mnogo prije Platona, Pitagora ih je koristio, nazivajući ih idealnim geometrijskim tijelima. Drevni alhemičari i veliki umovi poput Pitagore vjerovali su da su ova tijela povezana s određenim elementima: kocka (A) - zemlja, tetraedar (B) - vatra, oktaedar (C) - zrak, ikosaedar (D) - voda, dodekaedar (E) - etar, a sfera - praznina. Ovih šest elemenata su građevni blokovi univerzuma. Oni stvaraju kvalitete univerzuma.

Simboli planeta

Simboli planeta

Planete su prikazane kombinacijom najjednostavnijih geometrijskih simbola. Ovo je krug, krst, luk.

Razmotrite, na primjer, simbol za Veneru. Krug se nalazi iznad križa, koji personificira neku vrstu "duhovne privlačnosti" koja križ povlači u uzdignuta područja koja pripadaju krugu. Krst, podložan zakonima naraštaja, propadanja i smrti, naći će svoje otkupljenje ako bude podignut unutar ovog velikog kruga duhovnosti. Simbol u cjelini predstavlja žensko u svijetu, koje pokušava produhoviti i zaštititi materijalnu sferu.

Piramida

Velike Keopsove, Kefreove i Menkaureove piramide

Piramida je simbol hijerarhije koja postoji u svemiru. U bilo kojoj oblasti, simbol piramide može pomoći da se pređe sa niže ravni množine i fragmentacije na višu ravan jedinstva.

Vjeruje se da su inicirani odabrali oblik piramide za svoje svetinje jer su željeli da se linije koje se spajaju prema vrhu, jureći prema Suncu, pouče čovječanstvo lekciju jedinstva.

zvezdani tetraedar

zvezdani tetraedar

Zvjezdasti tetraedar je figura koja se sastoji od dva tetraedra koji se međusobno sijeku. Ova figura se također može shvatiti kao trodimenzionalna Davidova zvijezda.

Tetraedri se manifestuju kao dva suprotna zakona: zakon duha (zračenje, darivanje, nesebičnost, nesebičnost) i zakon materije (uvlačenje prema unutra, hlađenje, smrzavanje, paraliza). Samo čovjek može svjesno spojiti ova dva zakona, jer je on spona između svijeta duha i svijeta materije.

Zvjezdani tetraedar stoga predstavlja dva pola kreacije u savršenoj ravnoteži.