Formule za pronalaženje antiderivata. Antiderivat funkcije i opšteg izgleda

Integraciju nije teško naučiti. Da biste to učinili, samo trebate naučiti određeni, prilično mali skup pravila i razviti neku vrstu instinkta. Pravila i formule je, naravno, lako naučiti, ali je prilično teško razumjeti gdje i kada primijeniti ovo ili ono pravilo integracije ili diferencijacije. To je, u stvari, sposobnost integracije.

1. Antiderivativ. Neodređeni integral.

Pretpostavlja se da u trenutku čitanja ovog članka čitatelj već ima neke vještine diferencijacije (tj. pronalaženje izvedenica).

Definicija 1.1: Funkcija se naziva antiderivatom funkcije ako vrijedi jednakost:

Komentari:> Naglasak u riječi “primordijalno” može se staviti na dva načina: prvi O figurativni ili prototip A znajući.

Nekretnina 1: Ako je funkcija antiderivat funkcije, tada je i funkcija antiderivat funkcije.

dokaz: Dokažimo ovo iz definicije antiderivata. Nađimo derivaciju funkcije:

Prvi mandat u definicija 1.1 je jednak , a drugi član je derivacija konstante, koja je jednaka 0.

.

Rezimiraj. Zapišimo početak i kraj lanca jednakosti:

Dakle, derivacija funkcije je jednaka , i stoga je, po definiciji, njen antiderivat. Imovina je dokazana.

Definicija 1.2: Neodređeni integral funkcije je cijeli skup antiderivata ove funkcije. To je naznačeno na sljedeći način:

.

Pogledajmo detaljno nazive svakog dijela zapisa:

— opšta oznaka integrala,

— integrandski (integralni) izraz, integrabilna funkcija.

je diferencijal, a izraz nakon slova , u ovom slučaju to je , nazvat će se varijabla integracije.

Komentari: Ključne riječi u ovoj definiciji su "cijeli set". One. Ako ubuduće ovaj isti „plus C“ ne bude upisan u odgovoru, onda ispitivač ima puno pravo da ne računa ovaj zadatak, jer potrebno je pronaći cijeli skup antiderivata, a ako nedostaje C, onda se nalazi samo jedan.

zaključak: Da bi se provjerilo da li je integral pravilno izračunat, potrebno je pronaći derivaciju rezultata. Mora se poklapati sa integrandom.
primjer:
vježba: Izračunajte neodređeni integral i provjerite.

Rješenje:

Način na koji je ovaj integral izračunat u ovom slučaju nije bitan. Pretpostavimo da je ovo otkrovenje odozgo. Naš zadatak je pokazati da nas otkrivenje nije prevarilo, a to se može učiniti provjerom.

pregled:

Prilikom diferenciranja rezultata dobili smo integrand, što znači da je integral ispravno izračunat.

2. Početak. Tabela integrala.

Da biste integrirali, ne morate svaki put pamtiti funkciju čiji je izvod jednak datom integrandu (tj. direktno koristite definiciju integrala). Svaka zbirka zadataka ili udžbenik matematičke analize sadrži listu svojstava integrala i tabelu najjednostavnijih integrala.

Hajde da navedemo svojstva.

Svojstva:
1.
Integral diferencijala jednak je varijabli integracije.
2. , gdje je konstanta.
Konstantni množitelj se može izvaditi iz predznaka integrala.

3.
Integral zbira jednak je zbiru integrala (ako je broj članova konačan).
Tabela integrala:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Najčešće je zadatak da se proučavani integral svede na tabelarni pomoću svojstava i formula.

primjer:

[Hajde da koristimo treće svojstvo integrala i zapišemo ga kao zbir tri integrala.]

[Hajde da koristimo drugo svojstvo i pomerimo konstante izvan znaka integracije.]

[ U prvom integralu koristićemo tablični integral br. 1 (n=2), u drugom ćemo koristiti istu formulu, ali n=1, a za treći integral možemo koristiti ili isti integral tabele, ali sa n=0, ili prvo svojstvo.
.
Provjerimo diferencijacijom:

Dobijen je originalni integrand, pa je integracija obavljena bez grešaka (a dodavanje proizvoljne konstante C nije čak ni zaboravljeno).

Integrali tabele se moraju naučiti napamet iz jednog jednostavnog razloga - da bi se znalo čemu treba težiti, tj. znati svrhu transformacije datog izraza.

Evo još nekoliko primjera:
1)
2)
3)

Zadaci za samostalno rješavanje:

Vježba 1. Izračunaj neodređeni integral:

+ Prikaži/sakrij savjet #1.

1) Koristite treće svojstvo i predstavite ovaj integral kao zbir tri integrala.

+ Prikaži/sakrij savjet #2.

+ Prikaži/sakrij savjet #3.

3) Za prva dva člana koristite prvi tabelarni integral, a za treći drugi tabelarni integral.

+ Prikaži/sakrij rješenje i odgovor.

4) Rješenje:

odgovor:

Antiderivativ

Definicija antiderivativne funkcije

• Funkcija y=F(x) naziva se antiderivatom funkcije y=f(x) u datom intervalu X, ako za svakoga X ∈X jednakost vrijedi: F′(x) = f(x)

Može se čitati na dva načina:

1. f derivat funkcije F
2. F antiderivat funkcije f

Svojstvo antiderivata

• Ako F(x)- antiderivat funkcije f(x) na datom intervalu, tada funkcija f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata, a svi ti antiderivati ​​mogu se zapisati u obliku F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Geometrijska interpretacija

• Grafovi svih antiderivata date funkcije f(x) se dobijaju iz grafa bilo koje antiderivacije paralelnim translacijama duž O ose at.

Pravila za izračunavanje antiderivata

1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata. Ako F(x)- antiderivat za f(x), a G(x) je antiderivat za g(x), To F(x) + G(x)- antiderivat za f(x) + g(x).
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije. Ako F(x)- antiderivat za f(x), And k- konstantno, onda k·F(x)- antiderivat za k f(x).
3. Ako F(x)- antiderivat za f(x), And k, b- konstantno, i k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- antiderivat za f(kx + b).

Zapamtite!

Bilo koja funkcija F(x) = x 2 + C , gdje je C proizvoljna konstanta, a samo takva funkcija je antiderivat za funkciju f(x) = 2x.

• Na primjer:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Odnos između grafova funkcije i njenog antiderivata:

1. Ako je graf funkcije f(x)>0 F(x) povećava u ovom intervalu.
2. Ako je graf funkcije f(x)<0 na intervalu, zatim graf njegovog antiderivata F(x) opada u ovom intervalu.
3. Ako f(x)=0, zatim graf njegovog antiderivata F(x) u ovom trenutku se mijenja od povećanja do smanjenja (ili obrnuto).

Za označavanje antiderivata koristi se predznak neodređenog integrala, odnosno integrala bez označavanja granica integracije.

Neodređeni integral

Definicija:

• Neodređeni integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, odnosno skup svih antiderivata date funkcije f(x). Neodređeni integral se označava na sljedeći način: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- naziva se integrand funkcija;
• f(x)dx- naziva se integrand;
• x- naziva se varijabla integracije;
• F(x)- jedan od antiderivata funkcije f(x);
• WITH- proizvoljna konstanta.

Svojstva neodređenog integrala

1. Derivat neodređenog integrala jednak je integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Konstantni faktor integranda može se izvaditi iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integral zbira (razlike) funkcija jednak je zbiru (razlici) integrala ovih funkcija: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Ako k, b su konstante, a k ≠ 0, onda \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabela antiderivata i neodređenih integrala

Funkcija f(x)	Antiderivativ F(x) + C	Neodređeni integrali \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\nije =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)(\sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)(\sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)(\sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin\frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)(1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newton–Leibnizova formula

Neka f(x) ovu funkciju F njegov proizvoljni antiderivat.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Gdje F(x)- antiderivat za f(x)

To jest, integral funkcije f(x) na intervalu jednaka je razlici antiderivata u tačkama b I a.

Područje zakrivljenog trapeza

Krivolinijski trapez je figura ograničena grafom funkcije koja je nenegativna i kontinuirana na intervalu f, Ox osa i prave linije x = a I x = b.

Površina zakrivljenog trapeza nalazi se pomoću Newton-Leibnizove formule:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Četiri glavne metode integracije su navedene u nastavku.

1) Pravilo za integraciju zbira ili razlike.
.
Ovdje i ispod u, v, w su funkcije integracione varijable x.

2) Premještanje konstante izvan predznaka integrala.
Neka je c konstanta nezavisna od x. Tada se može izvaditi iz predznaka integrala.

3) Varijabilna metoda zamjene.
Razmotrimo neodređeni integral.
Ako možemo pronaći takvu funkciju φ (x) od x, dakle
,
onda, zamjenom varijable t = φ(x) , imamo
.

4) Formula za integraciju po dijelovima.
,
gdje su u i v funkcije integracione varijable.

Krajnji cilj izračunavanja neodređenih integrala je da se kroz transformacije svede dati integral na najjednostavnije integrale, koji se nazivaju tabelarni integrali. Integrali tabele se izražavaju kroz elementarne funkcije koristeći poznate formule.
Vidi Tabelu integrala >>>

Primjer

Izračunati neodređeni integral

Rješenje

Primećujemo da je integrand zbir i razlika tri člana:
, I .
Primjena metode 1 .

Zatim napominjemo da se integrandi novih integrala množe sa konstantama 5, 4, I 2 , odnosno. Primjena metode 2 .

U tabeli integrala nalazimo formulu
.
Uz pretpostavku n = 2 , nalazimo prvi integral.

Prepišimo drugi integral u obliku
.
Primećujemo to. Onda

Koristimo treću metodu. Mijenjamo varijablu t = φ (x) = ln x.
.
U tabeli integrala nalazimo formulu

Pošto se varijabla integracije može označiti bilo kojim slovom, onda

Prepišimo treći integral u obliku
.
Primjenjujemo formulu integracije po dijelovima.
Hajde da to stavimo.
Onda
;
;

;
;
.

Konačno imamo
.
Sakupimo pojmove sa x 3 .
.

Odgovori

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.