Formule za zapreminu pravilne trouglaste piramide. Primjeri rješavanja problema
Teorema.
Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine osnove i visine..
dokaz:
Prvo dokazujemo teoremu za trouglastu piramidu, a zatim za proizvoljnu.1. Zamislite trouglastu piramiduOABCsa zapreminom V, bazna površinaS i visina h. Nacrtajte osu oh (OM2- visina), uzmite u obzir presjekA1 B1 C1piramide sa ravninom okomitom na osuohi, prema tome, paralelno sa ravninom baze. Označiti saX apscisa tačka M1 presek ove ravni sa x-osom, i krozS(x)- površina poprečnog presjeka. Express S(x) preko S, h i X. Imajte na umu da trouglovi A1 AT1 With1 i ABC su slični. Zaista A1 AT1 II AB, dakle trougao OA 1 AT 1 slično trokutu OAB. With shodno tome, I1 AT1 : IB= OA 1: OA .
pravokutnih trouglova OA 1 AT 1 i OAB takođe su slični (imaju zajednički oštri ugao sa vrhom O). Stoga, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Dakle I 1 AT 1 : A B = x: h.Slično, dokazano je daB1 C1:sunce = X: h i A1 C1:AC = X: h.Dakle, trougaoA1 B1 C1 i ABCslično sa koeficijentom sličnosti X: h.Prema tome, S(x) : S = (x: h)², ili S(x) = S x²/ h².
Primijenimo sada osnovnu formulu za izračunavanje volumena tijela pria= 0, b=h dobijamo
Dakle, zapremina originalne piramide je 1/3Sh. Teorema je dokazana.
Posljedica:
Volumen V krnje piramide visine h i osnovnih površina S i S1 , izračunavaju se po formuli
h - visina piramide
S top - površina gornje osnove
S niže - površina donje osnove
Da biste pronašli volumen piramide, morate znati nekoliko formula. Hajde da ih razmotrimo.
Kako pronaći zapreminu piramide - 1. način
Volumen piramide se može pronaći pomoću visine i površine njene osnove. V = 1/3*S*h. Tako, na primjer, ako je visina piramide 10 cm, a površina njegove osnove je 25 cm 2, tada će volumen biti jednak V = 1/3 * 25 * 10 = 1 /3 * 250 = 83,3 cm 3
Kako pronaći zapreminu piramide - 2. metoda
Ako pravilni poligon leži u podnožju piramide, tada se njegov volumen može pronaći pomoću sljedeće formule: V = na 2 h / 12 * tg (180 / n), gdje je a strana poligona koja leži na baza, a n je broj njegovih stranica. Na primjer: Osnova je pravilan šestougao, odnosno n = 6. Pošto je pravilan, sve su mu stranice jednake, odnosno sve a su jednake. Recimo a = 10 i h - 15. Ubacimo brojeve u formulu i dobijemo približan odgovor - 1299 cm 3
Kako pronaći zapreminu piramide - 3. način
Ako jednakostranični trokut leži u osnovi piramide, tada se njegov volumen može naći po sljedećoj formuli: V = ha 2 /4√3, gdje je a stranica jednakostraničnog trougla. Na primjer: visina piramide je 10 cm, stranica baze je 5 cm. Volumen će biti jednak V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 = 250 / 4 √ 3. Obično, ono što se dogodilo u imenilac se ne računa i ostavlja u istom obliku. Takođe možete pomnožiti i brojilac i imenilac sa 4√3 da dobijete 1000√3/48. Smanjenjem dobijamo 125√ 3/6 cm 3.
Kako pronaći zapreminu piramide - 4. način
Ako kvadrat leži u osnovi piramide, tada se njegov volumen može naći po sljedećoj formuli: V = 1/3*h*a 2, gdje su a stranice kvadrata. Na primjer: visina - 5 cm, stranica kvadrata - 3 cm. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3
Kako pronaći zapreminu piramide - 5. način
Ako je piramida tetraedar, odnosno, sve njene strane su jednakostranični trokuti, možete pronaći volumen piramide koristeći sljedeću formulu: V = a 3 √2/12, gdje je a ivica tetraedra. Na primjer: rub tetraedra \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 = 343 cm 3
Riječ "piramida" nehotice se povezuje sa veličanstvenim divovima u Egiptu, vjerno čuvajući mir faraona. Možda zato piramidu nepogrešivo prepoznaju svi, pa i djeca.
Međutim, pokušajmo mu dati geometrijsku definiciju. Zamislimo nekoliko tačaka (A1, A2,..., An) na ravni i još jednu (E) koja joj ne pripada. Dakle, ako je tačka E (vrh) povezana sa vrhovima poligona formiranog od tačaka A1, A2, ..., An (baza), dobija se poliedar, koji se naziva piramida. Očigledno, poligon u osnovi piramide može imati bilo koji broj vrhova, a ovisno o njihovom broju, piramida se može nazvati trokutastom i četverokutnom, peterokutnom itd.
Ako pažljivo pogledate piramidu, bit će vam jasno zašto je i ona drugačije definirana - kao geometrijska figura s poligonom u osnovi i trokutima ujedinjenim zajedničkim vrhom kao bočnim stranama.
Budući da je piramida prostorna figura, onda ima i takvu kvantitativnu karakteristiku, jer se izračunava iz dobro poznate jednake trećine proizvoda osnove piramide i njene visine:
Zapremina piramide, kada se izvodi formula, u početku se izračunava za trokutastu, uzimajući za osnovu konstantni omjer koji ovu vrijednost povezuje sa zapreminom trokutaste prizme koja ima istu osnovu i visinu, što, kako se ispostavilo, je tri puta veća od ove zapremine.
A budući da je svaka piramida podijeljena na trokutaste, a njen volumen ne ovisi o konstrukcijama izvedenim u dokazu, valjanost gornje formule volumena je očigledna.
Između svih piramida izdvajaju se one prave, u kojima leži osnova, a treba da „završava“ u centru baze.
U slučaju nepravilnog poligona na bazi, da biste izračunali površinu baze, trebat će vam:
- razbijte ga na trouglove i kvadrate;
- izračunajte površinu svakog od njih;
- dodati primljene podatke.
U slučaju pravilnog poligona u osnovi piramide, njegova površina se izračunava pomoću gotovih formula, tako da se volumen pravilne piramide izračunava vrlo jednostavno.
Na primjer, za izračunavanje volumena četverokutne piramide, ako je pravilna, dužina stranice pravilnog četverokuta (kvadrata) na bazi se kvadrira i, množenjem s visinom piramide, rezultirajući proizvod se podijeli sa tri.
Volumen piramide se može izračunati pomoću drugih parametara:
- kao trećina proizvoda polumjera lopte upisane u piramidu i površine njene ukupne površine;
- kao dvije trećine proizvoda udaljenosti između dva proizvoljno uzeta ukrštanja ruba i površine paralelograma koji čini sredine preostala četiri ruba.
Volumen piramide se također izračunava jednostavno u slučaju kada se njena visina poklapa s jednim od bočnih rubova, odnosno u slučaju pravokutne piramide.
Govoreći o piramidama, ne možemo zanemariti krnje piramide dobijene rezanjem piramide ravninom koja je paralelna sa bazom. Njihov volumen je gotovo jednak razlici između volumena cijele piramide i odsječenog vrha.
Prvi volumen piramide, iako ne baš u svom modernom obliku, ali jednak 1/3 zapremine nama poznate prizme, pronašao je Demokrit. Arhimed je svoju metodu brojanja nazvao „bez dokaza“, budući da je Demokrit piramidi prišao kao figuri sastavljenoj od beskonačno tankih, sličnih ploča.
Vektorska algebra je također "obratila" pitanje pronalaženja volumena piramide, koristeći koordinate njenih vrhova za to. Piramida izgrađena na tripletu vektora a,b,c jednaka je jednoj šestini modula mješovitog proizvoda datih vektora.
Definicija. Bočno lice- ovo je trokut u kojem jedan ugao leži na vrhu piramide, a njegova suprotna strana se poklapa sa stranom baze (poligona).
Definicija. Bočna rebra su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko ima uglova u poligonu.
Definicija. visina piramide je okomica spuštena od vrha do osnove piramide.
Definicija. Apothem- ovo je okomita bočna strana piramide, spuštena sa vrha piramide na stranu osnove.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida- Ovo je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina se spušta do centra baze.
Zapremina i površina piramide
Formula. zapremina piramide kroz površinu osnove i visinu:
svojstva piramide
Ako su sve bočne ivice jednake, tada se oko osnove piramide može opisati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kružnice. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).
Ako su sva bočna rebra jednaka, onda su nagnuta prema ravni osnove pod istim uglovima.
Bočna rebra su jednaka kada formiraju jednake uglove sa ravninom osnove ili ako se oko osnove piramide može opisati krug.
Ako su bočne strane nagnute prema ravni osnove pod jednim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide se projektuje u njeno središte.
Ako su bočne strane nagnute u odnosu na osnovnu ravninu pod jednim uglom, tada su apoteme bočnih strana jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.
2. Sve bočne ivice su jednake.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod istim uglovima u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.
5. Površine svih bočnih strana su jednake.
6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.
7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere bit će presječna točka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.
8. Sfera se može upisati u piramidu. Središte upisane sfere bit će presječna tačka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i baze.
9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π / n, gde je n broj uglova u osnovi piramide.
Veza piramide sa sferom
Sfera se može opisati oko piramide kada u osnovi piramide leži poliedar oko kojeg se može opisati krug (neophodan i dovoljan uslov). Centar sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih ivica piramide.
Sfera se uvijek može opisati oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.
Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.
Veza piramide sa konusom
Konus se naziva upisanim u piramidu ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa upisana u bazu piramide.
Konus se može upisati u piramidu ako su apotemi piramide jednaki.
Za konus se kaže da je opisan oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.
Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.
Veza piramide sa cilindrom
Za piramidu se kaže da je upisana u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana u drugu bazu cilindra.
Cilindar se može opisati oko piramide ako se krug može opisati oko osnove piramide.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajednički vrh ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju triedarski ugao.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).
Bimedian naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra seku se u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijane su podijeljene na pola, a medijane u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Piramida sa oštrim uglom je piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice baze.
Definicija. tupa piramida je piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.
Definicija. pravilni tetraedar Tetraedar čija su četiri lica jednakostranični trouglovi. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (u vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar koji ima pravi ugao između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougao a lica su pravougli trougao, a osnova je proizvoljan trougao. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar Tetraedar se naziva u kojem su bočne strane jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trokut. Lica takvog tetraedra su jednakokraki trouglovi.
Definicija. Ortocentrični tetraedar tetraedar se naziva u kojem se sve visine (okomice) koje se spuštaju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.
Definicija. zvezdana piramida Poliedar čija je osnova zvijezda naziva se.
Jedna od najjednostavnijih volumetrijskih figura je trokutasta piramida, jer se sastoji od najmanjeg broja lica od kojih se lik može formirati u prostoru. U ovom članku ćemo razmotriti formule pomoću kojih možete pronaći volumen trokutaste pravilne piramide.
trouglasta piramida
Prema opštoj definiciji, piramida je poligon, čiji su svi vrhovi povezani u jednu tačku koja se ne nalazi u ravni ovog poligona. Ako je potonji trokut, onda se cijela figura naziva trokutasta piramida.
Razmatrana piramida se sastoji od osnove (trokuta) i tri bočne strane (trokuta). Tačka u kojoj su spojene tri bočne strane naziva se vrh figure. Okomita spuštena na bazu sa ovog vrha je visina piramide. Ako se tačka presjeka okomice s bazom poklapa s točkom presjeka medijana trokuta u osnovi, onda govore o pravilnoj piramidi. U suprotnom će biti nagnut.
Kao što je rečeno, osnova trouglaste piramide može biti opšti trougao. Međutim, ako je jednakostranična, a sama piramida ravna, onda govore o ispravnoj trodimenzionalnoj figuri.
Svaki ima 4 lica, 6 ivica i 4 vrha. Ako su dužine svih ivica jednake, onda se takav lik naziva tetraedar.
opšti tip
Prije nego što zapišemo pravilnu trokutastu piramidu, dajemo izraz za ovu fizičku veličinu za piramidu općeg tipa. Ovaj izraz izgleda ovako:
Ovdje je S o površina osnove, h je visina figure. Ova jednakost važi za bilo koju vrstu osnove poligona piramide, kao i za konus. Ako se u osnovi nalazi trokut čija je stranica a i visina h o spuštena na njega, tada će se formula za zapreminu napisati na sljedeći način:
Formule za zapreminu pravilne trouglaste piramide
Trougao ima jednakostranični trougao u osnovi. Poznato je da je visina ovog trokuta povezana s dužinom njegove stranice jednakošću:
Zamjenom ovog izraza u formulu za volumen trokutaste piramide, napisanu u prethodnom pasusu, dobijamo:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Volumen pravilne piramide sa trouglastom bazom je funkcija dužine stranice osnove i visine figure.
Budući da se svaki pravilan poligon može upisati u krug čiji radijus jedinstveno određuje dužinu stranice poligona, onda se ova formula može napisati u terminima odgovarajućeg polumjera r:
Ovu formulu je lako dobiti iz prethodne, s obzirom da je polumjer r opisane kružnice kroz dužinu stranice a trokuta određen izrazom:
Zadatak određivanja zapremine tetraedra
Hajde da pokažemo kako koristiti gornje formule u rješavanju specifičnih geometrijskih problema.
Poznato je da tetraedar ima dužinu ivice od 7 cm.Nađite zapreminu pravilne trouglaste piramide-tetraedra.
Podsjetimo da je tetraedar pravilna trouglasta piramida u kojoj su sve baze jednake jedna drugoj. Da biste koristili formulu za volumen pravilne trokutaste piramide, morate izračunati dvije veličine:
- dužina stranice trokuta;
- visina figure.
Prva vrijednost je poznata iz uslova problema:
Da biste odredili visinu, razmotrite figuru prikazanu na slici.
Označeni trougao ABC je pravougli trougao čiji je ugao ABC 90o. AC strana je hipotenuza, čija je dužina a. Jednostavnim geometrijskim zaključivanjem može se pokazati da stranica BC ima dužinu:
Imajte na umu da je dužina BC polumjer opisane kružnice oko trougla.
h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) = √ (a 2 - a 2 / 3) = a * √ (2/3).
Sada možete zamijeniti h i a u odgovarajuću formulu za volumen:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Tako smo dobili formulu za zapreminu tetraedra. Vidi se da volumen zavisi samo od dužine rebra. Ako vrijednost iz uvjeta problema zamijenimo u izraz, onda ćemo dobiti odgovor:
V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Ako ovu vrijednost uporedimo sa zapreminom kocke koja ima istu ivicu, dobićemo da je zapremina tetraedra 8,5 puta manja. To ukazuje da je tetraedar kompaktna figura, koja se ostvaruje u nekim prirodnim supstancama. Na primjer, molekula metana je tetraedarska, a svaki atom ugljika u dijamantu je povezan s četiri druga atoma kako bi se formirao tetraedar.
Problem sa homotetičkim piramidama
Hajde da riješimo jedan zanimljiv geometrijski problem. Pretpostavimo da postoji trouglasta pravilna piramida sa nekim volumenom V 1 . Za koliko puta treba smanjiti veličinu ove figure da bi joj se dobila homotetična piramida zapremine tri puta manje od prvobitne?
Počnimo rješavati problem pisanjem formule za originalnu pravilnu piramidu:
V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.
Neka se zapremina figure koju zahteva uslov zadatka dobije množenjem njegovih parametara sa koeficijentom k. Imamo:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Pošto je odnos volumena figura poznat iz uslova, dobijamo vrednost koeficijenta k:
k \u003d ∛ (V 2 / V 1) = ∛ (1/3) ≈ 0,693.
Imajte na umu da bismo dobili sličnu vrijednost koeficijenta k za proizvoljni tip piramide, a ne samo za pravilnu trouglastu.
Kako započeti kao tutor?
Učenje engleskog na daljinu
Pravilni i nepravilni engleski glagoli