Grafovi tijela bačenog pod uglom prema horizontu. Kretanje tijela pod uglom prema horizontu: formule, proračun dometa leta i maksimalne visine poletanja

Kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu

Osnovne formule za krivolinijsko kretanje

1 . Brzina kretanja materijalne tačke

$\vec V=\frac(d\vec r)(dt)$ ,

gdje je $\vec r$ radijus vektor tačke.

2 . Ubrzanje materijalne tačke

$\vec a=\frac(d\vec V)(dt)=\frac(d^2\vec r)(dt^2)$,

$a=\sqrt(a^2_(\tau)+a^2_n)$ ,

gdje je $a_(\tau)$ tangencijalno ubrzanje, $a_n$ normalno ubrzanje.

3 . Tangencijalno ubrzanje

$a_(\tau)=\frac(dV)(dt)=\frac(d^2s)(dt^2)$

4 . Normalno ubrzanje

$a_n=\frac(V^2)(R)$ ,

gdje je $R$ polumjer zakrivljenosti putanje.

5 . za ravnomerno kretanje

$S=V_0t+\frac(at^2)(2)$

$V=V_0+at$

Izražavajući $t$ iz druge jednakosti i zamjenom u prvu, dobijamo korisnu formulu

$2aS=V^2-V_0^2$

Primjeri rješavanja problema

U zadacima o kretanju tijela u gravitacionom polju, pretpostavit ćemo $a=g=9,8$ m/s 2 .

Zadatak 1.

Projektil izleti iz topa početnom brzinom od 490 m/s pod uglom od 30° prema horizontu. Pronađite visinu, domet i vrijeme leta projektila, ne uzimajući u obzir njegovu rotaciju i otpor zraka.

Rješenje problema

Pronađite: $h, S, t$

$V_0=490$ m/s

$\alpha=30^0$

Povežite ISO sa pištoljem.

Komponente brzine duž osa Ox i Oy u početnom trenutku vremena jednake su:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ - ostaje nepromijenjen tokom cijelog leta projektila,

$V_(0y)=V_0\sin\alpha$ - promjene prema jednadžbi ravnomjernog kretanja

$V_y=V_0\sin\alpha-gt$ .

Na najvišoj tački uspona $V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0$ , odakle

$t_1=\frac(V_0\sin\alpha)(g)$

Ukupno vrijeme leta projektila

$t=2t_1=\frac(2V_0\sin\alpha)(g)=50$ c.

Visinu projektila određujemo iz formule putanja jednaka usporenom kretanju

$h=V_(0y)t_1-\frac(gt_1^2)(2)=\frac(V_0^2\sin^2\alpha)(2g)=3060$ m.

Domet leta je definisan kao

$S=V_(0x)t=\frac(V_0^2\sin(2\alpha))(g)=21000$ m.

Zadatak 2.

Telo slobodno pada iz tačke A. U isto vrijeme, drugo tijelo je bačeno iz tačke B pod uglom $\alpha$ prema horizontu tako da se oba tijela sudaraju u zraku. Pokažite da ugao $\alpha$ ne zavisi od početne brzine $V_0$ tijela bačenog iz tačke B i odredite ovaj ugao ako je $\frac(H)(S)=\sqrt3$ . Zanemarite otpor vazduha.

Rješenje problema.

Pronađite: $\alpha$

Dato: $\frac(H)(S)=\sqrt3$

Povežite ISO sa tačkom B.

Oba tijela se mogu sresti na pravoj OA (vidi sliku) u tački C. Razložimo brzinu $V_0$ tijela bačenog iz tačke B na horizontalnu i vertikalnu komponentu:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ ; $V_(0y)=V_0\sin\alpha$ .

Neka vrijeme prođe od početka pokreta do trenutka susreta

$t=\frac(S)(V_(0x))=\frac(S)(V_0\cos\alpha)$.

Za to vrijeme tijelo se iz tačke A spušta za taj iznos

$H-h=\frac(gt^2)(2)$ ,

a tijelo iz tačke B će se podići u visinu

$h=V_(0y)t-\frac(gt^2)(2)=V_0\sin\alpha(t)-\frac(gt^2)(2)$.

Rješavajući posljednje dvije jednačine zajedno, nalazimo

$H=V_0\sin\alpha(t)$ .

Zamenivši ovde prethodno pronađeno vreme, dobijamo

$\tan\alpha=\frac(H)(S)=\sqrt3$,

one. ugao bacanja ne zavisi od početne brzine.

$\alpha=60^0$

Zadatak 3.

Tijelo se baca sa tornja u horizontalnom smjeru brzinom od 40 m/s. Kolika je brzina tijela 3 sekunde nakon početka kretanja? Koliki ugao čini vektor brzine tela sa horizontom u ovom trenutku?

Rješenje problema.

Pronađite: $\alpha$

Zadato: $V_0=40$ m/s. $t=3$ c.

Povežite ISO sa tornjem.

Tijelo istovremeno učestvuje u dva kretanja: jednoliko u horizontalnom smjeru brzinom $V_0$ i u slobodnom padu brzinom $V_y=gt$. Tada je ukupna brzina tijela

$V=\sqrt(V_0^2+g^2t^2)=50 m/s.$

Smjer vektora brzine određen je kutom $\alpha$ . Iz slike to vidimo

$\cos\alpha=\frac(V_0)(V)=\frac(V_0)(\sqrt(V_0^2+g^2t^2))=0,8$

$\alpha=37^0$

Zadatak 4.

Dva tijela se bacaju okomito naviše iz jedne tačke jedno za drugim s vremenskim intervalom jednakim $\Delta(t)$ , istim brzinama $V_0$ . Koliko dugo će se $t$ nakon bacanja prvog tijela sresti?

Rješenje problema.

Pronađite: $t$

Dato: $V_0$ , $\Delta(t)$

Iz analize stanja problema jasno je da će se prvo tijelo podići na maksimalnu visinu i sresti drugo tijelo pri spuštanju. Zapišimo zakone kretanja tijela:

$h_1=V_0t-\frac(gt^2)(2)$

$h_2=V_0(t-\Delta(t))-\frac(g(t-\Delta(t))^2)(2)$.

U vrijeme sastanka $h_1=h_2$ , iz kojeg odmah dobivamo

$t=\frac(V_0)(g)+\frac(\Delta(t))(2)$

Ako je tijelo bačeno pod uglom prema horizontu, tada u letu na njega utječu gravitacija i otpor zraka. Ako se zanemari sila otpora, jedina preostala sila je sila gravitacije. Prema tome, zbog Newtonovog 2. zakona, tijelo se kreće ubrzanjem jednakom ubrzanju slobodnog pada; projekcije ubrzanja na koordinatne ose ax = 0, ay = - g.

Slika 1. Kinematske karakteristike tijela bačenog pod uglom prema horizontu

Svako složeno kretanje materijalne točke može se predstaviti kao nametanje neovisnih kretanja duž koordinatnih osa, a u smjeru različitih osa može se razlikovati vrsta kretanja. U našem slučaju, kretanje letećeg tela može se predstaviti kao superpozicija dva nezavisna kretanja: jednoliko kretanje duž horizontalne ose (X-osa) i jednoliko ubrzano kretanje duž vertikalne ose (Y-osa) (Sl. 1) .

Stoga se projekcije brzine tijela mijenjaju s vremenom na sljedeći način:

gdje je $v_0$ početna brzina, $(\mathbf \alpha )$ je ugao bacanja.

Uz naš izbor ishodišta, početne koordinate (slika 1) su $x_0=y_0=0$. tada dobijamo:

(1)

Analizirajmo formule (1). Odredimo vrijeme kretanja bačenog tijela. Da bismo to učinili, postavili smo y koordinatu jednaku nuli, jer u trenutku sletanja, visina tela je nula. Odavde dobijamo za vrijeme leta:

Druga vrijednost vremena u kojem je visina jednaka nuli jednaka je nuli, što odgovara trenutku bacanja, tj. ova vrijednost ima i fizičko značenje.

Domet leta se dobija iz prve formule (1). Raspon leta je vrijednost x-koordinate na kraju leta, tj. u trenutku vremena jednakom $t_0$. Zamjenom vrijednosti (2) u prvu formulu (1) dobijamo:

Iz ove formule se vidi da se najveći domet leta postiže pri kutu bacanja od 45 stepeni.

Najveća visina dizanja bačenog tijela može se dobiti iz druge formule (1). Da biste to učinili, morate u ovu formulu zamijeniti vrijednost vremena jednaku polovini vremena leta (2), jer maksimalna je visina leta u sredini putanje. Provodeći proračune, dobijamo

Iz jednačina (1) može se dobiti jednačina putanje tijela, tj. jednačina koja povezuje x i y koordinate tijela tokom kretanja. Da biste to učinili, morate izraziti vrijeme iz prve jednačine (1):

i zamijenite ga u drugu jednačinu. tada dobijamo:

Ova jednačina je jednačina putanje. Može se vidjeti da je ovo jednačina parabole sa granama prema dolje, što je označeno znakom “-” ispred kvadratnog člana. Treba imati na umu da su kut bacanja $\alpha $ i njegove funkcije ovdje samo konstante, tj. konstantni brojevi.

Tijelo je bačeno brzinom v0 pod uglom $(\mathbf \alpha )$ prema horizontu. Vrijeme leta $t = 2 s$. Do koje visine Hmax će se tijelo podići?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Zakon kretanja tela je:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Početni vektor brzine formira ugao $(\mathbf \alpha )$ sa OX osom. shodno tome,

\ \ \

Kamen je bačen sa vrha planine pod uglom = 30$()^\circ$ prema horizontu početnom brzinom od $v_0 = 6 m/s$. Ugao nagnute ravni = 30$()^\circ$. Na kojoj udaljenosti od tačke bacanja će kamen pasti?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Postavimo ishodište koordinata u tačku bacanja, OX - duž nagnute ravni nadole, OY - okomito na nagnutu ravan gore. Kinematske karakteristike kretanja:

zakon kretanja:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(niz) \right.$$ \

Zamjenom rezultirajuće vrijednosti $t_B$, nalazimo $S$:

Neka tijelo bude bačeno pod uglom α prema horizontu brzinom $~\vec \upsilon_0$. Kao iu prethodnim slučajevima, zanemarićemo otpor vazduha. Za opis kretanja potrebno je odabrati dvije koordinatne ose - Ox i Oy(Sl. 1). Porijeklo je kompatibilno s početnim položajem tijela. Projekcije početne brzine na osu Oy i Ox\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Projekcije ubrzanja: g x = 0; g y=- g.

Tada će se kretanje tijela opisati jednadžbama:

$~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)$ $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)$ $~y = \upsilon_0 \sin \ alpha t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)$ $~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)$

Iz ovih formula proizilazi da se u horizontalnom smjeru tijelo kreće jednoliko brzinom $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha$, au vertikalnom smjeru - jednoliko ubrzano.

Putanja tijela će biti parabola. S obzirom na to na vrhu parabole υ y = 0, možete pronaći vrijeme t 1 podizanje tijela do vrha parabole:

$~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)$

Zamjena vrijednosti t 1 u jednačinu (3), nalazimo maksimalnu visinu tijela:

$~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ alpha)(g^2),$ $~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)$ - maksimalna tjelesna visina.

Vrijeme leta tijela nalazi se iz stanja da je u t = t 2 koordinate y 2 = 0. Dakle, $~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0$. Dakle, $~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)$ je vrijeme leta tijela. Upoređujući ovu formulu sa formulom (5), vidimo da t 2 = 2 t jedan . Vrijeme kretanja tijela sa maksimalne visine t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t jedan . Dakle, koliko vremena se tijelo diže na maksimalnu visinu, koliko vremena pada sa ove visine. Zamjena koordinata u jednačinu x(1) vremenska vrijednost t 2, nalazimo:

$~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)$ - domet leta tijela.

Trenutna brzina u bilo kojoj tački putanje je usmjerena tangencijalno na putanju (vidi sliku 1). modul brzine je određen formulom

$~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .$

Dakle, kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu ili u horizontalnom smjeru može se smatrati rezultatom dva nezavisna kretanja - horizontalnog ravnomjernog i vertikalnog ravnomjerno ubrzanog (slobodnog pada bez početne brzine ili kretanja tijela bačenog okomito prema gore). ).

Književnost

Aksenovich L. A. Fizika u srednjoj školi: teorija. Zadaci. Testovi: Proc. dodatak za institucije koje pružaju op. okruženja, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsy i vykhavanne, 2004. - S. 16-17.

Razmotrimo kretanje tijela u Zemljinom gravitacijskom polju, nećemo uzeti u obzir otpor zraka. Neka je početna brzina bačenog tijela usmjerena pod uglom prema horizontu $\alpha $ (Sl.1). Tijelo bačeno sa visine $(y=h)_0$; $x_0=0$.

Tada u početnom trenutku vremena tijelo ima horizontalnu ($v_x$) i vertikalnu ($v_y$) komponente brzine. Projekcije brzine na koordinatne ose pri $t=0$ jednake su:

\[\left\( \begin(array)(c) v_(0x)=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_(0y)=v_0(\sin \alpha .\ ) \end(array) \ desno.\lijevo(1\desno).\]

Ubrzanje tijela jednako je ubrzanju slobodnog sagorijevanja i cijelo je vrijeme usmjereno naniže:

\[\overline(a)=\overline(g)\left(2\right).\]

Dakle, projekcija ubrzanja na osi X jednaka je nuli, a na osi Y jednaka je $a_y=g.$

Kako je komponenta ubrzanja duž ose X jednaka nuli, brzina tijela u ovom smjeru je konstantna vrijednost i jednaka je projekciji početne brzine na os X (vidi (1)). Kretanje tijela duž X ose je ravnomjerno.

U situaciji prikazanoj na slici 1, tijelo duž Y ose će se kretati prvo prema gore, a zatim obrnuto. U ovom slučaju, ubrzanje kretanja tijela u oba slučaja jednako je ubrzanju $\overline(g).$ Tijelo troši isto vrijeme na podizanje sa proizvoljne visine $(y=h)_0 $ do maksimalne visine dizanja ($h$) kao pri padu sa $h$ na $(y=h)_0$. Prema tome, tačke koje su simetrične u odnosu na vrh uzdizanja tijela leže na istoj visini. Ispada da je putanja kretanja tijela simetrična u odnosu na vrh uspona - a ovo je parabola.

Brzina tijela bačenog pod uglom prema horizontu može se izraziti formulom:

\[\overline(v)\left(t\right)=(\overline(v))_0+\overline(g)t\ \left(3\right),\]

gdje je $(\overline(v))_0$ brzina tijela u trenutku bacanja. Formula (3) se može smatrati rezultatom zbrajanja brzina dva nezavisna kretanja duž pravih linija u kojima učestvuje tijelo.

Izrazi za projekciju brzine na osu imaju oblik:

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_y=v_0(\sin \alpha -gt\ ) \end(array) \left(4\right ).\desno.\]

Jednačina za kretanje tijela pri kretanju u gravitacionom polju:

\[\overline(s)\left(t\right)=(\overline(s))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(5 \desno),\]

gdje je $(\overline(s))_0$ pomak tijela u početnom trenutku vremena.

Projektovanjem jednačine (5) na X i Y koordinatne ose dobijamo:

\[\left\( \begin(array)(c) x=v_0(\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ ) \\ y=(h_0+v)_0(\sin \left( \alpha \right)\cdot t-\frac(gt^2)(2)\ ) \end(array) \left(6\right).\right.\]

Tijelo, krećući se prema gore, ima jednoliko sporo kretanje duž ose Y, nakon što tijelo dođe do vrha, kretanje duž ose Y postaje ravnomjerno ubrzano.

Dobija se putanja kretanja materijalne tačke, data jednadžbom:

Oblik jednačine (7) pokazuje da je putanja kretanja parabola.

Vrijeme uspona i leta tijela bačenog pod uglom prema horizontu

Vrijeme potrebno tijelu da dostigne maksimalnu visinu dizanja dobija se iz sistema jednačina (4). . Na vrhu putanje, tijelo ima samo horizontalnu komponentu, $v_y=0.$ Vrijeme uspona ($t_p$) je:

Ukupno vrijeme kretanja tijela (vrijeme leta ($t_(pol)))$ nalazi se iz druge jednačine sistema (6), znajući da kada tijelo padne na Zemlju $y=0$, imamo:

Domet leta i visina tijela bačenog pod uglom prema horizontu

Da bismo pronašli horizontalni opseg leta tela ($s$) pod uslovima koje smo dali, vreme leta ($t_(pol)$) (9) treba zameniti u jednačinu koordinata $x$ sistema jednačina (6). Za $h=0,$ domet leta je jednak:

Iz izraza (9) slijedi da je pri datoj brzini bacanja domet leta maksimalan na $\alpha =\frac(\pi )(4)$.

Maksimalna visina dizanja tijela ($h_(max)$) nalazi se iz druge jednadžbe sistema (6), zamjenjujući u nju vrijeme dizanja ($t_p$) (8):

Izraz (11) pokazuje da je maksimalna visina dizanja tijela direktno proporcionalna kvadratu brzine bacanja i da raste sa povećanjem kuta bacanja.

Primjeri problema sa rješenjem

Primjer 1

Vježbajte. Koliko će se puta promijeniti vrijeme leta tijela bačenog sa visine $h$ u horizontalnom smjeru ako se brzina bacanja tijela poveća za $n$ puta?

Rješenje. Nađimo formulu za izračunavanje vremena leta tijela ako je bačeno horizontalno (slika 2).

Kao osnovu za rješavanje problema koristimo izraz za jednoliko ubrzano kretanje tijela u gravitacionom polju:

\[\overline(s)=(\overline(s))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(1.1\right).\]

Koristeći sliku 2, zapisujemo projekcije jednačine (1.1) na koordinatne ose:

\[\left\( \begin(array)(c) X:x=v_0t;; \\ Y:y=h_0-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.\left( 1.2\desno).\]

Prilikom pada tijela na tlo $y=0,$ koristimo ovu činjenicu i izražavamo vrijeme leta iz druge jednačine sistema (1.2), imamo:

Kao što vidimo, vrijeme leta tijela ne ovisi o njegovoj početnoj brzini, pa se s povećanjem početne brzine za $n$ puta, vrijeme leta tijela neće promijeniti.

Odgovori. Neće se promijeniti.

Primjer 2

Vježbajte. Kako će se promijeniti domet leta tijela u prethodnom zadatku ako se početna brzina poveća za $n$ puta?

Rješenje. Domet leta je udaljenost koju će tijelo prijeći duž horizontalne ose. To znači da nam je potrebna jednačina:

iz sistema (1.2) prvog primjera. Zamjenom vremena leta pronađenog u (1.3) umjesto $t,$, dobijamo raspon leta ($s_(pol)$):

Iz formule (2.2) vidimo da je u datim uslovima kretanja domet leta direktno proporcionalan brzini bacanja tela, dakle, za koliko puta povećamo početnu brzinu, domet leta tela će se povećati pa mnogo puta.

Odgovori. Domet leta tijela će se povećati $n$ puta.

Razmotrimo, kao primjer primjene izvedenih formula, kretanje tijela bačenog pod uglom u odnosu na horizont u odsustvu otpora zraka. Recimo, na planini, na visini iznad nivoa mora, postoji top koji čuva priobalne vode. Neka projektil bude ispaljen pod uglom prema horizontu početnom brzinom iz tačke čiji je položaj određen radijus vektorom (slika 2.16).

Rice. 2.16. Kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu

Dodatak.

Izvođenje jednadžbi kretanja materijalne tačke u polju gravitacije

Napišimo jednačinu gibanja (jednačina drugog Newtonovog zakona):

to znači da će se tijela - materijalne tačke - bilo koje mase pod istim početnim uslovima kretati u jednoličnom gravitacionom polju na isti način. Projicirajmo jednačinu (2.7.2) na ose kartezijanskog koordinatnog sistema. Horizontalna os OH prikazano na sl. 13 isprekidana osa OY proći kroz tačku O vertikalno prema gore, a horizontalna os oz takođe prolazi kroz tačku O, direktno okomito na vektor na nas. Dobijamo:

Vertikalni smjer, po definiciji, je smjer vektora, dakle njegove projekcije na horizontalne ose OX i OY jednaki su nuli. Druga jednačina uzima u obzir da je vektor usmjeren prema dolje, a os OY- gore.

Rice. 2.17. Kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu.

Dodajmo jednačinama kretanja početne uslove koji određuju položaj i brzinu tijela u početnom trenutku vremena t0, neka t0 = 0. Zatim, prema sl. 2.7.4

Ako je izvod neke funkcije jednak nuli, tada je funkcija konstantna, respektivno, iz prve i treće jednačine (2.7.3) dobijamo:

U drugoj jednačini (2.7.3) derivacija je jednaka konstanti, što znači da funkcija linearno zavisi od svog argumenta, tj.

Kombinacijom (2.7.7) i (2.7.9) dobijamo konačne izraze za zavisnosti projekcija brzine na koordinatne ose od vremena:

Treća jednačina (2.7.11) pokazuje da je putanja tijela ravna, da u potpunosti leži u ravni XOY, je vertikalna ravan definirana vektorima i . Očigledno, posljednja tvrdnja je općenito: bez obzira na to kako se biraju smjerovi koordinatnih osa, putanja tijela bačenog pod uglom u odnosu na horizont je ravna, uvijek leži u ravnini određenoj početnim vektorom brzine i gravitacijom. vektor ubrzanja.

Ako se tri jednadžbe (2.7.10) pomnože sa jediničnim vektorima osi , , i i dodaju, a zatim se isto uradi sa tri jednačine (2.7.11), tada dobijamo vremensku zavisnost vektora brzine čestice i njegov radijus vektor. Uzimajući u obzir početne uslove, imamo:

Formule (2.7.12) i (2.7.13) mogu se dobiti odmah, direktno iz (2.7.2), s obzirom da je gravitaciono ubrzanje konstantan vektor. Ako je ubrzanje - derivacija vektora brzine - konstantna, tada vektor brzine linearno zavisi od vremena, a vektor radijusa, čiji je vremenski izvod vektor brzine koji linearno zavisi od vremena, kvadratno zavisi od vremena. Ovo je zapisano u relacijama (2.7.12) i (2.7.13) sa konstantama - konstantnim vektorima - odabranim prema početnim uslovima u obliku (2.7.4).

Iz (2.7.13), posebno, može se vidjeti da je radijus vektor zbir tri vektora koja se dodaju prema uobičajenim pravilima, što je jasno prikazano na Sl. 2.18.

Rice. 2.18. Predstavljanje radijus vektora r(t) u proizvoljnom vremenu t kao zbir tri vektora

Ovi vektori su:

Ovdje je princip nezavisnosti kretanja, poznat u drugim oblastima fizike kao princip superpozicije(preklopi). Uopšteno govoreći, prema principu superpozicije, neto efekat nekoliko radnji je zbir efekata svake akcije preduzete posebno. To je posljedica linearnosti jednadžbi kretanja.

Video 2.3. Nezavisnost horizontalnih i vertikalnih pokreta pri kretanju u polju gravitacije.

Postavimo ishodište na tačku pada. Sad =0 , ose će, kao i ranije, biti rotirane tako da os 0x bila horizontalna, os 0g- okomito, a početna brzina je bila u ravnini x0y(Sl. 2.19).

Rice. 2.19. Projekcije početne brzine na koordinatne ose

Projektujemo na koordinatne ose (vidi (2.7.11)):

Putanja leta. Ako je vrijeme isključeno iz sistema dobijenih jednačina t, tada dobijamo jednačinu putanje:

Ovo je jednadžba parabole, čije su grane usmjerene prema dolje.

Domet leta pri pucanju sa visine h . U trenutku pada tijela (projektil pogađa metu koja se nalazi na površini mora). Horizontalna udaljenost od pištolja do mete jednaka je . Zamjena ; u jednadžbu putanje, dobijamo kvadratnu jednačinu za raspon leta:

Kvadratna jednadžba ima dva rješenja (u ovom slučaju pozitivno i negativno). Potrebna nam je pozitivna odluka. Standardni izraz za korijen kvadratne jednadžbe našeg problema može se svesti na oblik:

se postiže na , ako h = 0.

Maksimalni domet leta. Kada se puca sa visoke planine, to više nije slučaj. Pronađite ugao pod kojim se postiže maksimalni domet leta. Ovisnost dometa leta o kutu je prilično komplicirana, a umjesto diferenciranja da bismo pronašli maksimum, učinit ćemo sljedeće. Zamislimo da povećavamo početni ugao. Prvo, domet leta se povećava (vidi formulu (2.7.15)), dostiže svoju maksimalnu vrijednost i ponovo počinje padati (na nulu kada se puca vertikalno prema gore). Dakle, za svaki raspon leta, osim za maksimum, postoje dva smjera početne brzine.

Okrenimo se ponovo kvadratnoj jednadžbi za relativnost udaljenosti leta i razmotrimo je kao jednadžbu za ugao . S obzirom na to

prepišimo to u obliku:

Ponovo smo dobili kvadratnu jednačinu, ovaj put za nepoznatu količinu. Jednačina ima dva korijena, što odgovara dva ugla pod kojima je domet leta . Ali kada , oba korijena moraju odgovarati. To znači da je diskriminant kvadratne jednadžbe jednak nuli:

odakle dolazi rezultat

Sa ovim rezultatom reproducira se formula (2.7.16)

Obično je visina mnogo manja od dometa leta na ravnici. Za , kvadratni korijen se može aproksimirati prvim članovima proširenja Taylorovog reda, i dobivamo približni izraz

odnosno domet metka se povećava približno za visinu pištolja.

Kada l = l max , i a = a max , kao što je već napomenuto, diskriminanta kvadratne jednadžbe jednaka je nuli, odnosno njeno rješenje ima oblik:

Pošto je tangenta manja od jedan, ugao pod kojim se postiže maksimalni domet leta je manji.

Maksimalna visina uspona iznad početne tačke. Ova vrijednost se može odrediti iz jednakosti na nulu vertikalne komponente brzine na vrhu putanje

U ovom slučaju, horizontalna komponenta brzine nije jednaka nuli