Kako dokazati da granica postoji. Univerzalna definicija granice funkcije po dobitku i po coch-u

Ograničenje funkcije- broj aće biti granica neke vrijednosti varijable ako se u procesu njene promjene ova varijabla približava neograničeno a.

Ili drugim riječima, broj A je granica funkcije y=f(x) u tački x0, ako za bilo koji niz točaka iz domene definicije funkcije, nije jednako x0, i koji konvergira do tačke x 0 (lim x n = x0), niz odgovarajućih vrijednosti funkcije konvergira u broj A.

Graf funkcije čija je granica s argumentom koji teži beskonačnosti L:

Značenje A je limit (granična vrijednost) funkcije f(x) u tački x0 ako za bilo koji niz tačaka , koji konvergira sa x0, ali koji ne sadrži x0 kao jedan od njegovih elemenata (tj. u probijenom susjedstvu x0), niz vrijednosti funkcije konvergira na A.

Granica funkcije prema Cauchyju.

Značenje A bice ograničenje funkcije f(x) u tački x0 ako je za bilo koji naprijed uzet nenegativan broj ε naći će se odgovarajući broj koji nije negativan δ = δ(ε) tako da za svaki argument x, zadovoljavajući uslov 0 < | x - x0 | < δ , nejednakost | f(x) A |< ε .

Biće vrlo jednostavno ako shvatite suštinu granice i osnovna pravila za njeno pronalaženje. To je granica funkcije f(x) at x aspiring to a jednaki A, piše se ovako:

Štaviše, vrijednost kojoj varijabla teži x, može biti ne samo broj, već i beskonačnost (∞), ponekad +∞ ili -∞, ili možda uopće nema ograničenja.

Da razumem kako pronaći granice funkcije, najbolje je vidjeti primjere rješenja.

Moramo pronaći granice funkcije f(x) = 1/x u:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Nađimo rješenje prve granice. Da biste to učinili, možete jednostavno zamijeniti x broj kojem teži, tj. 2, dobijamo:

Pronađite drugu granicu funkcije. Ovdje zamijenite u čistom obliku 0 umjesto x nemoguće je, jer ne može se podijeliti sa 0. Ali možemo uzeti vrijednosti bliske nuli, na primjer, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 i tako dalje, sa vrijednošću funkcije f(x)će se povećati: 100; 1000; 10000; 100000 i tako dalje. Dakle, može se shvatiti da kada x→ 0 vrijednost funkcije koja je ispod predznaka granice će se neograničeno povećavati, tj. težiti beskonačnosti. Što znači:

Što se tiče treće granice. Ista situacija kao u prethodnom slučaju, nemoguće je zamijeniti ∞ u svom najčistijem obliku. Moramo razmotriti slučaj neograničenog povećanja x. Naizmjenično zamjenjujemo 1000; 10000; 100000 i tako dalje, imamo tu vrijednost funkcije f(x) = 1/x smanjit će se: 0,001; 0,0001; 0,00001; i tako dalje, težeći nuli. Zbog toga:

Potrebno je izračunati granicu funkcije

Počevši rješavati drugi primjer, vidimo neizvjesnost. Odavde nalazimo najviši stepen brojnika i nazivnika - to je x 3, izvadimo ga iz zagrada u brojniku i nazivniku i onda ga smanjimo za njega:

Odgovori

Prvi korak u pronalaženje ove granice, zamijenite vrijednost 1 umjesto x, što rezultira neizvjesnošću . Da bismo ga riješili, rastavljamo brojilac na faktore, to ćemo učiniti pronalaženjem korijena kvadratne jednadžbe x 2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Dakle, brojilac bi bio:

Odgovori

Ovo je definicija njene specifične vrijednosti ili specifičnog područja gdje funkcija pada, što je ograničeno granicom.

Da biste odredili granice, slijedite pravila:

Shvativši suštinu i glavno ograničavaju pravila odlučivanja, dobićete osnovno razumevanje kako da ih rešite.

(x) u tački x 0 :
,
Ako
1) postoji takva probušena okolina tačke x 0
2) za bilo koji niz ( x n ), konvergirajući na x 0 :
, čiji elementi pripadaju susjedstvu ,
podsekvenca (f(xn)) konvergira na:
.

Evo x 0 a a može biti ili konačni brojevi ili tačke u beskonačnosti. Susjedstvo može biti dvostrano ili jednostrano.

.

Druga definicija granice funkcije (prema Cauchyju)

Broj a naziva se granica funkcije f (x) u tački x 0 :
,
Ako
1) postoji takva probušena okolina tačke x 0 na kojoj je funkcija definirana;
2) za bilo koji pozitivan broj ε > 0 postoji broj δ ε > 0 , u zavisnosti od ε, da za sve x koje pripadaju probušenoj δ ε okolini tačke x 0 :
,
vrijednosti funkcije f (x) pripadaju ε - okolinama tačke a :
.

bodova x 0 a a može biti ili konačni brojevi ili tačke u beskonačnosti. Susjedstvo također može biti i dvostrano i jednostrano.

Ovu definiciju pišemo koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti:
.

Ova definicija koristi susjedstva sa jednako udaljenim krajevima. Ekvivalentna definicija se također može dati korištenjem proizvoljnih susjedstava tačaka.

Definicija korištenjem proizvoljnih susjedstava
Broj a naziva se granica funkcije f (x) u tački x 0 :
,
Ako
1) postoji takva probušena okolina tačke x 0 na kojoj je funkcija definirana;
2) za bilo koju četvrt U (a) tačka a postoji takva probušena okolina tačke x 0 , da za sve x koji pripadaju probušenoj okolini tačke x 0 :
,
vrijednosti funkcije f (x) pripadaju naselju U (a) tačke a:
.

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, ova definicija se može napisati na sljedeći način:
.

Jednostrana i bilateralna ograničenja

Gore navedene definicije su univerzalne u smislu da se mogu koristiti za bilo koju vrstu susjedstva. Ako, kao što koristimo lijevo probušeno susjedstvo krajnje točke, tada ćemo dobiti definiciju lijevog limita. Ako okolinu beskonačne tačke koristimo kao susjedstvo, onda ćemo dobiti definiciju granice u beskonačnosti.

Za određivanje granice prema Heineu, ovo se svodi na činjenicu da je dodatno ograničenje nametnuto proizvoljnom nizu koji konvergira na , da njegovi elementi moraju pripadati odgovarajućem probušenom susjedstvu točke .

Da bi se odredila Cauchyjeva granica, potrebno je u svakom slučaju transformirati izraze i u nejednačine, koristeći odgovarajuće definicije susjedstva tačke.
Vidi "Okruženje tačke".

Određivanje da tačka a nije granica funkcije

Često postoji potreba za korištenjem uvjeta da točka a nije granica funkcije za . Konstruirajmo negacije na gore navedene definicije. U njima pretpostavljamo da je funkcija f (x) je definirana na nekom probušenom susjedstvu tačke x 0 . Tačke a i x 0 mogu biti i konačni brojevi i beskonačno udaljeni. Sve navedeno u nastavku odnosi se i na bilateralna i na jednostrana ograničenja.

Prema Heineu.
Broj a nije granica funkcije f (x) u tački x 0 : ,
ako postoji takav niz ( x n ), konvergirajući na x 0 :
,
čiji elementi pripadaju susjedstvu,
kakav redosled (f(xn)) ne konvergira sa:
.
.

Prema Cauchyju.
Broj a nije granica funkcije f (x) u tački x 0 :
,
ako postoji takav pozitivan broj ε > 0 , tako da za bilo koji pozitivan broj δ > 0 , postoji x koje pripada probušenom δ susjedstvu tačke x 0 :
,
da je vrijednost funkcije f (x) ne pripada ε susjedstvu tačke a :
.
.

Naravno, ako tačka a nije granica funkcije na , onda to ne znači da ne može imati granicu. Možda postoji ograničenje, ali ono nije jednako a . Također je moguće da je funkcija definirana u probijenom susjedstvu točke , ali nema ograničenja na .

Funkcija f(x) = sin(1/x) nema ograničenja kao x → 0.

Na primjer, funkcija je definirana na , ali nema ograničenja. Za dokaz, uzimamo niz . Konvergira do tačke 0 : . Jer, onda.
Uzmimo sekvencu. Takođe konvergira do tačke 0 : . Ali od tada.
Tada granica ne može biti jednaka nijednom broju a. Doista, za , Postoji niz s kojim . Stoga, bilo koji broj različit od nule nije ograničenje. Ali to također nije granica, jer postoji niz s kojim .

Ekvivalencija definicija granice prema Heineu i prema Cauchyju

Teorema
Heineove i Cauchyjeve definicije granice funkcije su ekvivalentne.

Dokaz

U dokazu pretpostavljamo da je funkcija definirana u nekom probušenom susjedstvu tačke (konačno ili beskonačno). Tačka a također može biti konačna ili beskonačna.

Heine dokaz ⇒ Cauchy

Neka funkcija ima granicu a u tački prema prvoj definiciji (prema Heineu). Odnosno, za bilo koji niz koji pripada susjedstvu tačke i ima ograničenje
(1) ,
granica niza je:
(2) .

Pokažimo da funkcija ima Cauchyjev limit u nekoj tački. Odnosno, za svakoga postoji to za sve.

Pretpostavimo suprotno. Neka su ispunjeni uslovi (1) i (2), ali funkcija nema Cauchyjevu granicu. To jest, postoji takav da za bilo koji postoji , tako da
.

Uzmite , gdje je n prirodan broj. Tada postoji i
.
Tako smo konstruirali niz koji konvergira na , ali granica niza nije jednaka a . Ovo je u suprotnosti sa uslovom teoreme.

Prvi dio je dokazan.

Cauchyjev dokaz ⇒ Heine

Neka funkcija ima granicu a u tački prema drugoj definiciji (prema Cauchyju). Odnosno, za bilo koga to postoji
(3) za sve .

Pokažimo da funkcija ima granicu a u tački prema Heineu.
Uzmimo proizvoljan broj. Prema Cauchyjevoj definiciji postoji broj , pa vrijedi (3).

Uzmite proizvoljan niz koji pripada probijenom susjedstvu i konvergira na . Po definiciji konvergentnog niza, za bilo koji postoji takav da
u .
Tada iz (3) slijedi da
u .
Budući da ovo vrijedi za bilo koji , onda
.

Teorema je dokazana.

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.

Matematika je nauka koja gradi svijet. I naučnik i običan čovek - niko ne može bez toga. Najprije se mala djeca uče da broje, zatim zbrajaju, oduzimaju, množe i dijele, do srednje škole na scenu stupaju slovne oznake, au starijoj se više ne mogu bez njih.

Ali danas ćemo govoriti o tome na čemu se zasniva sva poznata matematika. O zajednici brojeva zvanoj "granice sekvence".

Šta su sekvence i gdje je njihova granica?

Značenje riječi "sekvenca" nije teško protumačiti. Ovo je takva konstrukcija stvari, gdje se neko ili nešto nalazi u određenom redoslijedu ili redu. Na primjer, red za karte za zoološki vrt je niz. A može biti samo jedan! Ako, na primjer, pogledate red do trgovine, ovo je jedna sekvenca. A ako jedna osoba iznenada napusti ovaj red, onda je ovo drugi red, drugi redosled.

Riječ "ograničenje" se također lako tumači - ovo je kraj nečega. Međutim, u matematici, granice nizova su one vrijednosti na brojevnoj liniji kojima niz brojeva teži. Zašto se trudi i ne završava? Jednostavno je, brojevna prava nema kraja, a većina nizova, poput zraka, ima samo početak i izgleda ovako:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Stoga je definicija niza funkcija prirodnog argumenta. Jednostavnije rečeno, to je niz članova nekog skupa.

Kako se gradi niz brojeva?

Najjednostavniji primjer niza brojeva može izgledati ovako: 1, 2, 3, 4, …n…

U većini slučajeva, u praktične svrhe, nizovi se grade od brojeva, a svaki sljedeći član niza, označimo ga sa X, ima svoje ime. Na primjer:

x 1 - prvi član niza;

x 2 - drugi član niza;

x 3 - treći član;

x n je n-ti član.

U praktičnim metodama, slijed je dat općom formulom u kojoj postoji neka varijabla. Na primjer:

X n \u003d 3n, tada će sama serija brojeva izgledati ovako:

Vrijedno je zapamtiti da u općoj notaciji nizova možete koristiti bilo koja latinična slova, a ne samo X. Na primjer: y, z, k, itd.

Aritmetička progresija kao dio nizova

Prije nego što potražimo granice nizova, savjetuje se dublje ući u sam koncept takvog brojevnog niza, s kojim se svako susreo dok je bio u srednjoj klasi. Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima je razlika između susjednih članova konstantna.

Zadatak: „Neka je 1 = 15, a korak napredovanja niza brojeva d = 4. Napravite prva 4 člana ovog reda"

Rješenje: a 1 = 15 (po uslovu) je prvi član progresije (brojanog niza).

i 2 = 15+4=19 je drugi član progresije.

a 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 je treći član.

a 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 je četvrti član.

Međutim, ovom metodom je teško postići velike vrijednosti, na primjer, do 125. . Posebno za takve slučajeve izvedena je formula prikladna za praksu: a n \u003d a 1 + d (n-1). U ovom slučaju, 125 \u003d 15 + 4 (125-1) = 511.

Tipovi sekvenci

Većina sekvenci je beskonačna, vrijedi ih pamtiti cijeli život. Postoje dvije zanimljive vrste brojevnih serija. Prvi je dan formulom a n =(-1) n . Matematičari se često pozivaju na ove bljeskajuće sekvence. Zašto? Provjerimo njegove brojeve.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, itd. Sa ovim primjerom postaje jasno da se brojevi u nizovima lako mogu ponoviti.

faktorski niz. Lako je pretpostaviti da u formuli postoji faktorijel koji definira niz. Na primjer: i n = (n+1)!

Tada će redoslijed izgledati ovako:

i 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

i 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, itd.

Niz zadan aritmetičkom progresijom naziva se beskonačno opadajući ako se nejednakost -1 promatra za sve njegove članove

i 3 \u003d - 1/8, itd.

Postoji čak i niz koji se sastoji od istog broja. Dakle, i n \u003d 6 se sastoji od beskonačnog broja šestica.

Određivanje granice niza

Ograničenja sekvenci odavno postoje u matematici. Naravno, oni zaslužuju vlastiti kompetentan dizajn. Dakle, vrijeme je da naučite definiciju granica sekvence. Prvo, detaljno razmotrite ograničenje za linearnu funkciju:

1. Sva ograničenja su skraćena kao lim.
2. Granični unos se sastoji od skraćenice lim, neke varijable koja teži određenom broju, nuli ili beskonačnosti, kao i same funkcije.

Lako je razumjeti da se definicija granice niza može formulirati na sljedeći način: to je određeni broj kojem se svi članovi niza beskonačno približavaju. Jednostavan primjer: i x = 4x+1. Tada će sama sekvenca izgledati ovako.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Dakle, ovaj niz će se neograničeno povećavati, što znači da je njegova granica jednaka beskonačnosti kao x→∞, a to treba napisati na sljedeći način:

Ako uzmemo sličan niz, ali x teži 1, dobićemo:

A niz brojeva će biti ovakav: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, itd. Svaki put morate zamijeniti broj sve bliže jedan (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iz ove serije se može vidjeti da je granica funkcije pet.

Iz ovog dijela vrijedi se sjetiti što je granica numeričkog niza, definicija i način rješavanja jednostavnih zadataka.

Opća notacija za granicu nizova

Nakon analize granice numeričkog niza, njegove definicije i primjera, možemo prijeći na složeniju temu. Apsolutno sve granice sekvenci mogu se formulisati jednom formulom, koja se obično analizira u prvom semestru.

Dakle, šta znači ovaj skup slova, modula i znakova nejednakosti?

∀ je univerzalni kvantifikator koji zamjenjuje izraze „za sve“, „za sve“ itd.

∃ je kvantifikator postojanja, u ovom slučaju to znači da postoji neka vrijednost N koja pripada skupu prirodnih brojeva.

Dugačak okomiti štap iza N znači da je dati skup N "takav". U praksi to može značiti "takav taj", "tako onaj" itd.

Da biste konsolidirali materijal, pročitajte formulu naglas.

Neizvjesnost i sigurnost granice

Metoda pronalaženja granice nizova, o kojoj je gore bilo riječi, iako jednostavna za korištenje, nije toliko racionalna u praksi. Pokušajte pronaći ograničenje za ovu funkciju:

Ako zamijenimo različite vrijednosti x (svaki put se povećavaju: 10, 100, 1000, itd.), onda ćemo dobiti ∞ u brojniku, ali i ∞ u nazivniku. Ispada prilično čudan razlomak:

Ali da li je zaista tako? Izračunavanje granice numeričkog niza u ovom slučaju izgleda dovoljno lako. Moglo bi se ostaviti sve kako jeste, jer je odgovor spreman, i primljen je pod razumnim uslovima, ali postoji drugi način posebno za takve slučajeve.

Prvo, pronađimo najviši stepen u brojiocu razlomka - to je 1, budući da se x može predstaviti kao x 1.

Sada pronađimo najviši stepen u nazivniku. Takođe 1.

Podelite i brojilac i imenilac promenljivom do najvišeg stepena. U ovom slučaju dijelimo razlomak sa x 1.

Zatim, hajde da pronađemo kojoj vrednosti teži svaki termin koji sadrži varijablu. U ovom slučaju se uzimaju u obzir razlomci. Kako je x→∞, vrijednost svakog od razlomaka teži nuli. Prilikom izrade pisanog rada, vrijedi napraviti sljedeće fusnote:

Dobija se sljedeći izraz:

Naravno, razlomci koji sadrže x nisu postali nule! Ali njihova vrijednost je toliko mala da je sasvim dozvoljeno ne uzeti je u obzir u proračunima. U stvari, x nikada neće biti jednako 0 u ovom slučaju, jer ne možete dijeliti sa nulom.

Šta je komšiluk?

Pretpostavimo da profesor ima na raspolaganju složeni niz, dat, očigledno, ništa manje složenom formulom. Profesor je pronašao odgovor, ali da li odgovara? Na kraju krajeva, svi ljudi griješe.

Auguste Cauchy je smislio sjajan način da dokaže granice sekvenci. Njegova metoda se zvala operacija susjedstva.

Pretpostavimo da postoji neka tačka a čije je susjedstvo u oba smjera na realnoj pravoj jednako ε ("epsilon"). Pošto je zadnja varijabla udaljenost, njena vrijednost je uvijek pozitivna.

Sada postavimo neki niz x n i pretpostavimo da je deseti član niza (x 10) uključen u okolinu a. Kako tu činjenicu napisati matematičkim jezikom?

Pretpostavimo da je x 10 desno od tačke a, a zatim rastojanje x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Sada je vrijeme da u praksi objasnimo gore spomenutu formulu. Pošteno je određeni broj nazvati krajnjom točkom niza ako nejednakost ε>0 vrijedi za bilo koju njegovu granicu, a čitavo susjedstvo ima svoj prirodni broj N, tako da će svi članovi niza s većim brojevima biti unutar niza |x n - a|< ε.

Sa takvim znanjem, lako je riješiti granice niza, dokazati ili opovrgnuti gotov odgovor.

Teoreme

Teoreme o granicama nizova su važna komponenta teorije, bez koje je praksa nemoguća. Postoje samo četiri glavne teoreme, pamteći koje, možete značajno olakšati proces rješavanja ili dokazivanja:

1. Jedinstvenost granice niza. Bilo koji niz može imati samo jedno ograničenje ili ga uopće ne imati. Isti primjer sa redom koji može imati samo jedan kraj.
2. Ako niz brojeva ima ograničenje, tada je niz ovih brojeva ograničen.
3. Granica zbira (razlike, proizvoda) sekvenci jednaka je zbiru (razlike, proizvoda) njihovih granica.
4. Granica količnika dva niza jednaka je količniku granica ako i samo ako nazivnik ne nestane.

Sequence Proof

Ponekad je potrebno riješiti inverzni problem, dokazati datu granicu numeričkog niza. Pogledajmo primjer.

Dokažite da je granica niza datog formulom jednaka nuli.

Prema gornjem pravilu, za bilo koji niz vrijedi nejednakost |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Izrazimo n u terminima "epsilon" kako bismo pokazali postojanje određenog broja i dokazali postojanje granice niza.

U ovoj fazi, važno je podsjetiti da su "epsilon" i "en" pozitivni brojevi i nisu jednaki nuli. Sada možete nastaviti dalje transformacije koristeći znanje o nejednakostima stečeno u srednjoj školi.

Otuda ispada da je n > -3 + 1/ε. Budući da je vrijedno zapamtiti da govorimo o prirodnim brojevima, rezultat se može zaokružiti stavljanjem u uglaste zagrade. Tako je dokazano da je za bilo koju vrijednost “epsilon” susjedstva tačke a = 0 pronađena vrijednost takva da je početna nejednakost zadovoljena. Iz ovoga možemo sa sigurnošću tvrditi da je broj a granica datog niza. Q.E.D.

S tako zgodnom metodom možete dokazati granicu numeričkog niza, ma koliko to na prvi pogled izgledalo komplicirano. Glavna stvar je ne paničariti pri pogledu na zadatak.

Ili on možda ne postoji?

Postojanje granice sekvence nije neophodno u praksi. Lako je pronaći takve nizove brojeva kojima zaista nema kraja. Na primjer, isti flešer x n = (-1) n . Očigledno je da niz koji se sastoji od samo dvije cifre koje se ciklično ponavljaju ne može imati ograničenje.

Ista priča se ponavlja sa nizovima koji se sastoje od jednog broja, razlomka, koji u toku izračunavanja imaju nesigurnost bilo kojeg reda (0/0, ∞/∞, ∞/0, itd.). Međutim, treba imati na umu da postoji i pogrešan proračun. Ponekad će vam ponovna provjera vlastitog rješenja pomoći da pronađete granicu sukcesije.

monotoni niz

Iznad smo razmotrili nekoliko primjera nizova, metode za njihovo rješavanje, a sada pokušajmo uzeti konkretniji slučaj i nazvati ga "monoton niz".

Definicija: pošteno je bilo koji niz nazvati monotono rastućim ako zadovoljava strogu nejednakost x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Uz ova dva uslova, postoje i slične nestroge nejednakosti. Prema tome, x n ≤ x n +1 (neopadajuća sekvenca) i x n ≥ x n +1 (neopadajuća sekvenca).

Ali to je lakše razumjeti na primjerima.

Niz dat formulom x n \u003d 2 + n formira sljedeće serije brojeva: 4, 5, 6, itd. Ovo je monotono rastući niz.

A ako uzmemo x n \u003d 1 / n, onda ćemo dobiti niz: 1/3, ¼, 1/5, itd. Ovo je monotono opadajući niz.

Granica konvergentnog i ograničenog niza

Ograničeni niz je niz koji ima ograničenje. Konvergentni niz je niz brojeva koji ima beskonačno malu granicu.

Dakle, granica ograničenog niza je bilo koji realan ili kompleksan broj. Zapamtite da može postojati samo jedno ograničenje.

Granica konvergentnog niza je beskonačno mala veličina (realna ili kompleksna). Ako nacrtate dijagram sekvence, tada će se u određenom trenutku on, takoreći, konvergirati, težiti da se pretvori u određenu vrijednost. Otuda i naziv - konvergentni niz.

Granica monotone sekvence

Takav niz može, ali i ne mora imati ograničenje. Prvo, korisno je razumjeti kada je, odavde možete početi s dokazivanjem odsustva ograničenja.

Među monotonim nizovima razlikuju se konvergentne i divergentne. Konvergentan - ovo je niz koji je formiran skupom x i ima realnu ili kompleksnu granicu u ovom skupu. Divergentan - niz koji nema ograničenja u svom skupu (ni realan ni složen).

Štaviše, niz konvergira ako se njegove gornje i donje granice konvergiraju u geometrijskom prikazu.

Granica konvergentnog niza u mnogim slučajevima može biti jednaka nuli, budući da svaki infinitezimalni niz ima poznatu granicu (nulu).

Koji god konvergentni niz da uzmete, svi su oni ograničeni, ali daleko od toga da se svi ograničeni nizovi konvergiraju.

Zbir, razlika, proizvod dva konvergentna niza je takođe konvergentan niz. Međutim, količnik također može konvergirati ako je definiran!

Razne akcije sa ograničenjima

Granice nizova su iste značajne (u većini slučajeva) vrijednosti kao brojevi i brojevi: 1, 2, 15, 24, 362, itd. Ispada da se neke operacije mogu izvoditi s ograničenjima.

Prvo, baš kao i cifre i brojevi, granice bilo kojeg niza mogu se dodavati i oduzimati. Na osnovu treće teoreme o granicama nizova, tačna je sljedeća jednakost: granica zbira nizova jednaka je zbiru njihovih granica.

Drugo, na osnovu četvrte teoreme o granicama nizova, tačna je sljedeća jednakost: granica proizvoda n-tog broja nizova jednaka je proizvodu njihovih granica. Isto važi i za deljenje: granica količnika dva niza jednaka je količniku njihovih granica, pod uslovom da granica nije jednaka nuli. Uostalom, ako je granica nizova jednaka nuli, tada će se ispostaviti podjela nulom, što je nemoguće.

Svojstva vrijednosti sekvence

Čini se da je granica brojčanog niza već detaljno analizirana, ali fraze kao što su „beskonačno mali“ i „beskonačno veliki“ brojevi spominju se više puta. Očigledno, ako postoji niz 1/x, gdje je x→∞, onda je takav razlomak beskonačno mali, a ako isti niz, ali granica teži nuli (x→0), tada razlomak postaje beskonačno velika vrijednost . I takve vrijednosti imaju svoje karakteristike. Svojstva granice niza koji imaju proizvoljne male ili velike vrijednosti su kako slijedi:

1. Zbir bilo kojeg broja proizvoljno malih količina također će biti mala količina.
2. Zbir bilo kojeg broja velikih vrijednosti će biti beskonačno velika vrijednost.
3. Proizvod proizvoljno malih količina je beskonačno mali.
4. Proizvod proizvoljno velikih brojeva je beskonačno velika količina.
5. Ako originalni niz teži beskonačnom broju, onda će njegova recipročna vrijednost biti beskonačno mala i težiti nuli.

U stvari, izračunavanje granice niza nije tako težak zadatak ako poznajete jednostavan algoritam. Ali granice sekvenci su tema koja zahtijeva maksimalnu pažnju i upornost. Naravno, dovoljno je jednostavno shvatiti suštinu rješenja ovakvih izraza. Počevši od malog, vremenom možete dostići velike visine.

Danas ćemo na lekciji analizirati striktno sekvenciranje I stroga definicija granice funkcije, kao i naučiti kako riješiti odgovarajuće probleme teorijske prirode. Članak je prvenstveno namijenjen studentima prve godine prirodnih nauka i inženjerskih specijalnosti koji su započeli izučavanje teorije matematičke analize i koji su naišli na poteškoće u razumijevanju ovog odjeljka više matematike. Osim toga, materijal je prilično dostupan srednjoškolcima.

Tokom godina postojanja sajta, dobio sam desetak neljubaznih pisama otprilike sledećeg sadržaja: „Ne razumem dobro matematičku analizu, šta da radim?“, „Uopšte ne razumem matan, ja“ razmišljam o prekidu studija,” itd. Zaista, matan je taj koji često proređuje studentsku grupu već nakon prve sesije. Zašto su stvari ovakve? Zato što je tema nezamislivo složena? Ne sve! Teorija matematičke analize nije toliko teška koliko je neobična. I treba da je prihvatite i volite takvu kakva jeste =)

Počnimo s najtežim slučajem. Prvo i najvažnije, ne napuštajte školu. Razumi ispravno, odustani, uvek će imati vremena ;-) Naravno, ako ti za godinu-dve od izabrane specijalnosti pozli, onda da - treba razmisliti o tome (i da ne dobijete groznicu!) o promjeni aktivnosti. Ali za sada vrijedi nastaviti. I, molim vas, zaboravite frazu "Ništa ne razumijem" - ne dešava se da uopće ništa ne razumijete.

Šta učiniti ako je teorija loša? Usput, ovo se ne odnosi samo na matematičku analizu. Ako je teorija loša, onda prvo morate OZBILJNO da se posvetite praksi. Istovremeno se rješavaju dva strateška zadatka odjednom:

– Prvo, značajan dio teorijskih znanja je stekao kroz praksu. I toliko ljudi razumije teoriju kroz... - tako je! Ne, ne, nisi razmišljao o tome.

- I, kao drugo, praktične vještine će vas vrlo vjerovatno "rastegnuti" na ispitu, čak i ako ..., ali nemojmo se tako uklopiti! Sve je stvarno i sve se zaista „podiže“ u prilično kratkom vremenu. Matematička analiza je moj omiljeni dio više matematike, i stoga jednostavno nisam mogao a da vam ne pružim ruku pomoći:

Na početku 1. semestra obično prolaze granice sekvence i funkcije. Ne razumijete šta je to i ne znate kako ih riješiti? Počnite sa člankom Ograničenja funkcija, u kojem se sam koncept razmatra „na prstima“ i analiziraju najjednostavniji primjeri. Zatim proradite druge lekcije na tu temu, uključujući lekciju o unutar sekvenci, o kojoj sam zapravo već formulirao rigoroznu definiciju.

Koje ikone osim znakova nejednakosti i modula znate?

- dugačak okomit štap glasi ovako: “tako da”, “takvo da”, “takvo da” ili “takvo da”, u našem slučaju, očigledno, govorimo o broju – dakle „takvom“;

- za sve "en" veće od ;

– znak modula znači udaljenost, tj. ovaj unos nam govori da je udaljenost između vrijednosti manja od epsilona.

Pa, da li je smrtno teško? =)

Nakon savladavanja prakse, čekam vas u sljedećem pasusu:

Zaista, razmislimo malo - kako formulirati rigoroznu definiciju niza? ... Prvo što mi padne na pamet u svjetlu praktična sesija: "granica niza je broj kojem se članovi niza približavaju beskonačno blizu."

Ok, hajde da pišemo podsekvenca :

Lako je to shvatiti podsekvenca pristup beskonačno blizu -1, i parni članovi - na "jedinicu".

Možda dvije granice? Ali zašto onda neki niz ne može imati deset ili dvadeset njih? Na taj način možete otići daleko. S tim u vezi, logično je pretpostaviti da ako niz ima ograničenje, onda je jedinstven.

Bilješka : niz nema ograničenja, ali se od njega mogu razlikovati dva podniza (vidi gore), od kojih svaka ima svoju granicu.

Stoga se gornja definicija ispostavlja neodrživom. Da, radi za slučajeve kao što su (što nisam sasvim ispravno koristio u pojednostavljenim objašnjenjima praktičnih primjera), ali sada moramo pronaći striktnu definiciju.

Drugi pokušaj: „ograničenje niza je broj kojem pristupaju SVI članovi niza, s izuzetkom, možda, njihovog final količine." Ovo je bliže istini, ali još uvijek nije sasvim tačno. Tako, na primjer, sekvenca polovina pojmova se uopšte ne približava nuli - oni su joj jednostavno jednaki =) Inače, "trepćuće svetlo" uglavnom uzima dve fiksne vrednosti.

Formulaciju nije teško razjasniti, ali onda se postavlja drugo pitanje: kako napisati definiciju u matematičkim terminima? Naučni svijet se dugo borio s ovim problemom dok se situacija nije riješila. poznati maestro, koji je, u suštini, formalizirao klasičnu matematičku analizu u svoj njenoj strogosti. Cauchy je ponudio operaciju okolina što je uveliko unapredilo teoriju.

Razmotrite neku tačku i njenu proizvoljno- komšiluk:

Vrijednost "epsilona" je uvijek pozitivna, a štaviše, imamo pravo da to sami izaberemo. Pretpostavimo da data okolina sadrži skup pojmova (ne nužno sve) neki niz. Kako zapisati da je, na primjer, deseti mandat pao u komšiluk? Neka bude na desnoj strani. Tada bi razmak između tačaka i trebao biti manji od "epsilon": . Međutim, ako se "x desetina" nalazi lijevo od tačke "a", tada će razlika biti negativna i stoga joj se mora dodati znak modul: .

Definicija: broj se zove granica niza ako za bilo koji njegovu okolinu (prethodno odabrano) postoji prirodan broj - TAKAV SVEčlanovi niza s većim brojevima će biti unutar susjedstva:

Ili kraće: ako

Drugim riječima, koliko god malu vrijednost "epsilona" uzeli, prije ili kasnije "beskonačni rep" niza će POTPUNO biti u ovom susjedstvu.

Tako, na primjer, "beskonačni rep" niza FULLY ide u bilo koje proizvoljno malo susjedstvo točke. Dakle, ova vrijednost je granica niza po definiciji. Podsjećam vas da se zove niz čija je granica nula infinitezimal.

Treba napomenuti da za sekvencu više nije moguće reći „beskonačan rep će doći”- članovi sa neparnim brojevima su zapravo jednaki nuli i “ne idi nikuda” =) Zato se u definiciji koristi glagol “završiće”. I, naravno, članovi takvog niza također "ne idu nigdje". Usput, provjerite hoće li taj broj biti njegov limit.

Pokažimo sada da niz nema ograničenja. Razmotrimo, na primjer, susjedstvo tačke . Sasvim je jasno da ne postoji takav broj, nakon čega će SVI članovi biti u ovom komšiluku - neparni članovi će uvijek "skočiti" na "minus jedan". Iz sličnog razloga, nema ograničenja u tački .

Popravite materijal vježbom:

Primjer 1

Dokažite da je granica niza nula. Označite broj nakon kojeg se garantuje da će svi članovi niza biti unutar bilo koje proizvoljno malog susjedstva točke.

Bilješka : za mnoge sekvence, željeni prirodni broj zavisi od vrednosti - otuda i notacija .

Rješenje: razmotriti proizvoljno hoće li biti broj - tako da će SVI članovi sa većim brojevima biti unutar ovog susjedstva:

Da bismo pokazali postojanje traženog broja , izražavamo u terminima .

Budući da za bilo koju vrijednost "en", znak modula se može ukloniti:

Koristimo "školske" radnje sa nejednakostima koje sam ponavljao na lekcijama Linearne nejednakosti I Opseg funkcije. U ovom slučaju, važna okolnost je da su "epsilon" i "en" pozitivni:

Budući da je na lijevoj strani riječ o prirodnim brojevima, a desna je uglavnom razlomka, potrebno je zaokružiti:

Bilješka : ponekad se uz pravo dodaje jedinica radi reosiguranja, ali u stvari ovo je pretjerano. Relativno govoreći, ako i rezultat oslabimo zaokruživanjem naniže, tada će najbliži odgovarajući broj („tri“) i dalje zadovoljiti prvobitnu nejednakost.

A sada gledamo nejednakost i sjetimo se koju smo u početku razmatrali proizvoljno-komšiluk, tj. "epsilon" može biti jednako bilo koga pozitivan broj.

Zaključak: za bilo koju proizvoljno malu okolinu tačke, vrijednost . Dakle, broj je granica niza po definiciji. Q.E.D.

Usput, iz rezultata prirodni obrazac je jasno vidljiv: što je manje susjedstvo, veći je broj nakon kojeg će SVI članovi niza biti u ovom susjedstvu. Ali koliko god mali bio "epsilon", uvek će postojati "beskonačan rep" unutra, a spolja - čak i ako je veliki, međutim final broj članova.

Kakvi su utisci? =) Slažem se da je to čudno. Ali strogo! Pročitajte ponovo i razmislite ponovo.

Razmotrite sličan primjer i upoznajte se s drugim tehnikama:

Primjer 2

Rješenje: po definiciji niza, potrebno je to dokazati (Govorite naglas!!!).

Razmislite proizvoljno- komšiluk tačke i provere, da li postoji prirodan broj - takav da za sve veće brojeve vrijedi sljedeća nejednakost:

Da biste pokazali postojanje takvog , trebate izraziti "en" kroz "epsilon". Pojednostavljujemo izraz pod znakom modula:

Modul uništava znak minus:

Imenilac je pozitivan za bilo koji "en", stoga se štapići mogu ukloniti:

miješanje:

Sada bismo trebali uzeti kvadratni korijen, ali kvaka je u tome što će za neke "epsilone" desna strana biti negativna. Da biste izbjegli ovu nevolju ojačajmo modul nejednakosti:

Zašto se to može uraditi? Ako se, relativno gledano, ispostavi da , onda će uslov biti još više zadovoljen. Modul može samo povećati traženi broj, a to će i nama odgovarati! Grubo govoreći, ako je stoti prikladan, onda će i dvjestoti! Prema definiciji, morate pokazati samo postojanje broja(barem neki), nakon čega će svi članovi niza biti u susjedstvu. Inače, zato se ne bojimo konačnog zaokruživanja desne strane prema gore.

Ekstrahiranje korijena:

I zaokružite rezultat:

Zaključak: jer vrijednost "epsilon" je odabrana proizvoljno, a zatim za bilo koju proizvoljno malu susjednu tačku vrijednost , tako da je nejednakost . dakle, a-priorat. Q.E.D.

savjetujem posebno razumjeti jačanje i slabljenje nejednakosti - to su tipične i vrlo česte metode matematičke analize. Jedina stvar koju trebate pratiti ispravnost ove ili one akcije. Tako, na primjer, nejednakost nikako olabaviti, oduzimajući, recimo, jedan:

Opet, uslovno: ako broj odgovara tačno, onda se prethodni možda više ne uklapa.

Sljedeći primjer je za samostalno rješenje:

Primjer 3

Dokažite to koristeći definiciju niza

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Ako sekvenca beskrajno sjajno, tada se definicija granice formulira na sličan način: tačka se naziva granica niza ako za bilo koji, proizvoljno velika postoji broj takav da za sve veće brojeve , nejednakost će biti zadovoljena. Broj je pozvan susjedstvo tačke "plus beskonačnost":

Drugim riječima, bez obzira koliko veliku vrijednost uzmemo, “beskonačni rep” niza će nužno ići u -susjedstvo tačke, ostavljajući samo konačan broj članova s ​​lijeve strane.

Radni primjer:

I skraćena oznaka: ako

Za slučaj, sami napišite definiciju. Ispravna verzija je na kraju lekcije.

Nakon što ste "napunili" ruku praktičnim primjerima i shvatili definiciju granice niza, možete se obratiti literaturi o matematičkoj analizi i/ili svojoj bilježnici s predavanjima. Preporučujem preuzimanje 1. sveske Bohana (lakše - za vanredne studente) i Fikhtengoltz (detaljnije i temeljnije). Od ostalih autora savjetujem Piskunova, čiji je kurs usmjeren na tehničke fakultete.

Pokušajte savjesno proučiti teoreme koje se tiču ​​granice niza, njihove dokaze, posljedice. U početku, teorija može izgledati "mutna", ali to je normalno - samo se treba malo naviknuti. A mnogi će čak i probati!

Stroga definicija granice funkcije

Počnimo od iste stvari - kako formulirati ovaj koncept? Verbalna definicija granice funkcije je formulisana mnogo jednostavnije: „broj je granica funkcije, ako sa „x“ teži ka (i lijevo i desno), odgovarajuće vrijednosti funkcije teže » (vidi crtež). Čini se da je sve normalno, ali riječi su riječi, značenje je značenje, ikona je ikona, a stroga matematička notacija nije dovoljna. A u drugom paragrafu upoznaćemo se sa dva pristupa rešavanju ovog pitanja.

Neka je funkcija definirana na nekom intervalu osim, eventualno, za tačku . U obrazovnoj literaturi općenito je prihvaćeno da funkcija postoji Ne definirano:

Ovaj izbor ističe suštinu ograničenja funkcije: "x" beskonačno blizu pristupi , a odgovarajuće vrijednosti funkcije su beskonačno blizu To . Drugim riječima, koncept granice ne podrazumijeva „tačan pristup“ tačkama, tj beskonačno bliska aproksimacija, nije bitno da li je funkcija definirana u tački ili ne.

Prva definicija granice funkcije, što nije iznenađujuće, formulirana je korištenjem dvije sekvence. Prvo, koncepti su povezani, a drugo, granice funkcija se obično proučavaju nakon granica nizova.

Razmotrite sekvencu bodova (nije na crtežu) koji pripadaju intervalu i osim, koji konvergira To . Tada odgovarajuće vrijednosti funkcije također formiraju numerički niz, čiji se članovi nalaze na y-osi.

Granica Heineove funkcije za bilo koji tačkaste sekvence (koji pripadaju i različiti od), koji konvergira u točku , odgovarajući niz vrijednosti funkcije konvergira u .

Eduard Heine je njemački matematičar. ... I ne treba tako nešto razmišljati, u Evropi postoji samo jedan gej - ovo je Gay-Lussac =)

Druga definicija granice je izgrađena... da, da, u pravu ste. Ali prvo, pogledajmo njegov dizajn. Razmislite o proizvoljnom susjedstvu tačke ("crno" naselje). Na osnovu prethodnog stava, oznaka znači da neku vrednost funkcija se nalazi unutar "epsilon" okruženja.

Sada pronađimo -neighborhood koje odgovara datom -neighborhood (mentalno nacrtajte crne isprekidane linije s lijeva na desno, a zatim odozgo prema dolje). Imajte na umu da je vrijednost odabrana po dužini manjeg segmenta, u ovom slučaju po dužini kraćeg lijevog segmenta. Štaviše, "grimizno" susjedstvo tačke može se čak i smanjiti, budući da je u sljedećoj definiciji važna je sama činjenica postojanja ovom komšiluku. I, slično tome, unos znači da je neka vrijednost unutar "delta" susjedstva.

Cauchyjeva granica funkcije: broj se zove granica funkcije u točki if za bilo koji unaprijed odabrano susjedstvo (proizvoljno mali), postoji- susjedstvo tačke, TAKAV to: SAMO vrijednosti (u vlasništvu) uključeno u ovu oblast: (crvene strelice)- PA ODMAH će odgovarajuće vrijednosti funkcije zajamčeno ući u -neighborhood: (plave strelice).

Moram vas upozoriti da sam malo improvizovao da budem razumljiviji pa nemojte to zloupotrebljavati =)

Skraćenica: ako

Šta je suština definicije? Slikovito rečeno, beskonačnim smanjenjem -neighborhood, mi "pratimo" vrijednosti funkcije do njene granice, ne ostavljajući im alternativu da se približe negdje drugdje. Prilično neobično, ali opet strogo! Da biste dobili pravu ideju, ponovo pročitajte tekst.

! Pažnja: samo ako trebate formulisati definicija prema Heineu ili samo Cauchy definicija molim te ne zaboravi značajan preliminarni komentar: "Razmotrite funkciju koja je definirana na nekom intervalu osim možda točke". To sam jednom rekao na samom početku i nisam to ponavljao svaki put.

Prema odgovarajućoj teoremi matematičke analize, Heineove i Cauchyjeve definicije su ekvivalentne, ali je druga varijanta najpoznatija (i dalje bi!), koji se još naziva i "granica na jeziku":

Primjer 4

Dokažite to koristeći definiciju granice

Rješenje: funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj liniji osim točke. Koristeći definiciju , dokazujemo postojanje granice u datoj tački.

Bilješka : veličina "delta" susjedstva ovisi o "epsilon", otuda i oznaka

Razmislite proizvoljno-komšiluk. Zadatak je koristiti ovu vrijednost za provjeru da li da li postoji- komšiluk, TAKAV, što iz nejednakosti slijedi nejednakost .

Uz pretpostavku da , transformiramo posljednju nejednakost:
(rastaviti kvadratni trinom)

Ovdje razmatramo definiciju konačne granice niza. Slučaj niza koji konvergira u beskonačnost razmatra se na stranici "Definicija beskonačno velikog niza".

Definicija .
( x n ), ako je za bilo koji pozitivan broj ε > 0 postoji prirodan broj N ε koji zavisi od ε takav da je za sve prirodne brojeve n > N ε nejednakost
| x n - a|< ε .
Granica niza se označava na sljedeći način:
.
Ili u .

Transformirajmo nejednakost:
;
;
.

Otvoreni interval (a - ε, a + ε ) se naziva ε - okolina tačke a.

Poziva se niz koji ima ograničenje konvergentni niz. Takođe se kaže da je sekvenca konvergira do a. Poziva se niz koji nema ograničenja divergentan.

Iz definicije proizlazi da ako niz ima ograničenje a , da bez obzira na to koju ε - okolinu tačke a odaberemo, samo konačan broj elemenata niza, ili nijedan (prazan skup) može biti izvan od toga. I bilo koja ε - okolina sadrži beskonačan broj elemenata. Zaista, postavljanjem određenog broja ε , time imamo broj . Dakle, svi elementi niza sa brojevima, po definiciji, nalaze se u ε - susjedstvu tačke a. Prvi elementi mogu biti bilo gdje. Odnosno, izvan ε - susjedstva ne može biti više od elemenata - to jest, konačni broj.

Također napominjemo da razlika ne mora monotono težiti nuli, odnosno stalno opadati. Može težiti nuli ne monotono: može se ili povećati ili smanjiti, imajući lokalne maksimume. Međutim, ovi maksimumi, sa povećanjem n, trebaju težiti nuli (možda također ne monotono).

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija granice se može napisati na sljedeći način:
(1) .

Određivanje da a nije granica

Sada razmotrite obrnutu tvrdnju da broj a nije granica niza.

Broj a nije granica niza, ako postoji takvo da za bilo koje prirodno n postoji takvo prirodno m >n, Šta
.

Napišimo ovu izjavu koristeći logičke simbole.
(2) .

Tvrdnja da broj a nije granica niza, znači da
možete izabrati takvo ε - susjedstvo tačke a, izvan koje će biti beskonačan broj elemenata niza.

Razmotrimo primjer. Neka je zadan niz sa zajedničkim elementom
(3)
Bilo koja okolina tačke sadrži beskonačan broj elemenata. Međutim, ova tačka nije granica niza, jer bilo koja okolina tačke takođe sadrži beskonačan broj elemenata. Uzmimo ε - susjedstvo tačke sa ε = 1 . Ovo će biti interval (-1, +1) . Svi elementi osim prvog sa parnim n pripadaju ovom intervalu. Ali svi elementi sa neparnim n su izvan ovog intervala jer zadovoljavaju nejednakost x n > 2 . Budući da je broj neparnih elemenata beskonačan, postojat će beskonačan broj elemenata izvan odabranog susjedstva. Dakle, tačka nije granica niza.

Pokažimo to sada striktno pridržavajući se tvrdnje (2). Tačka nije granica niza (3), jer postoji takav , tako da, za bilo koje prirodno n , postoji neparan n za koji je nejednakost
.

Takođe se može pokazati da bilo koja tačka a ne može biti granica ovog niza. Uvijek možemo izabrati ε - susjedstvo tačke a koje ne sadrži ni tačku 0 ni tačku 2. I tada će postojati beskonačan broj elemenata niza izvan izabranog susjedstva.

Ekvivalentna definicija

Možemo dati ekvivalentnu definiciju granice niza ako proširimo koncept ε - susjedstva. Ekvivalentnu definiciju dobićemo ako se umjesto ε-susjedstva u njoj pojavi bilo koja okolina tačke a.

Određivanje susjedstva tačke
Susjedstvo tačke a Poziva se svaki otvoreni interval koji sadrži ovu tačku. Matematički, susjedstvo je definirano na sljedeći način: , gdje je ε 1 i ε 2 su proizvoljni pozitivni brojevi.

Tada će definicija granice biti sljedeća.

Ekvivalentna definicija granice sekvence
Broj a naziva se granica niza, ako za bilo koju njegovu okolinu postoji prirodan broj N takav da svi elementi niza s brojevima pripadaju ovoj okolini.

Ova definicija se takođe može predstaviti u proširenom obliku.

Broj a naziva se granica niza, ako za bilo koje pozitivne brojeve i postoji prirodan broj N u zavisnosti od i takav da nejednakosti vrijede za sve prirodne brojeve
.

Dokaz ekvivalencije definicija

Dokažimo da su gornje dvije definicije granice niza ekvivalentne.

Neka je broj a granica niza prema prvoj definiciji. To znači da postoji funkcija , tako da za bilo koji pozitivan broj ε vrijede sljedeće nejednakosti:
(4) u .

Pokažimo da je broj a granica niza i po drugoj definiciji. To jest, moramo pokazati da postoji takva funkcija , tako da je za bilo koji pozitivan broj ε 1 i ε 2 vrijede sljedeće nejednakosti:
(5) u .

Neka imamo dva pozitivna broja: ε 1 i ε 2 . I neka je ε najmanji od njih: . Onda ; ; . Koristimo ovo u (5):
.
Ali nejednakosti vrijede za . Tada nejednakosti (5) vrijede i za .

Odnosno, našli smo funkciju takvu da nejednakosti (5) vrijede za sve pozitivne brojeve ε 1 i ε 2 .
Prvi dio je dokazan.

Sada neka broj a bude granica niza prema drugoj definiciji. To znači da postoji funkcija , tako da je za bilo koje pozitivne brojeve ε 1 i ε 2 vrijede sljedeće nejednakosti:
(5) u .

Pokažimo da je broj a granica niza i po prvoj definiciji. Za ovo morate staviti . Tada, za , vrijede sljedeće nejednakosti:
.
Ovo odgovara prvoj definiciji sa .
Ekvivalencija definicija je dokazana.

Primjeri

Ovdje razmatramo nekoliko primjera u kojima je potrebno dokazati da je dati broj a granica niza. U ovom slučaju potrebno je postaviti proizvoljan pozitivan broj ε i odrediti funkciju N od ε tako da je nejednakost zadovoljena za sve.

Primjer 1

Dokaži to.

(1) .
U našem slučaju;
.

.
Koristimo svojstva nejednakosti. Onda ako i , onda
.

.
Onda
u .
To znači da je broj granica datog niza:
.

Primjer 2

Dokažite to koristeći definiciju granice niza
.

Zapisujemo definiciju granice niza:
(1) .
U našem slučaju, ;
.

Unosimo pozitivne brojeve i:
.
Koristimo svojstva nejednakosti. Onda ako i , onda
.

To jest, za bilo koji pozitivan, možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći ili jednak:
.
Onda
u .
.

Primjer 3

.

Uvodimo notaciju , .
Hajde da transformišemo razliku:
.
Za prirodni n = 1, 2, 3, ... imamo:
.

Zapisujemo definiciju granice niza:
(1) .
Unosimo pozitivne brojeve i:
.
Onda ako i , onda
.

To jest, za bilo koji pozitivan, možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći ili jednak:
.
Gde
u .
To znači da je broj granica niza:
.

Primjer 4

Dokažite to koristeći definiciju granice niza
.

Zapisujemo definiciju granice niza:
(1) .
U našem slučaju, ;
.

Unosimo pozitivne brojeve i:
.
Onda ako i , onda
.

To jest, za bilo koji pozitivan, možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći ili jednak:
.
Onda
u .
To znači da je broj granica niza:
.

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 1983.