Kako pronaći mod serije. Prosjek

Rješavanje zadataka na temu: „Statističke karakteristike. Aritmetička sredina, raspon, mod i medijan

algebra-

7. razred

Istorijski podaci

Aritmetička sredina, raspon i mod se koriste u statistici – nauci koja se bavi dobijanjem, obradom i analizom kvantitativnih podataka o raznim masovnim pojavama koje se javljaju u prirodi i društvu.
Reč "statistika" dolazi od latinske reči status, što znači "stanje, stanje stvari". Statistika proučava broj pojedinih grupa stanovništva zemlje i njenih regija, proizvodnju i potrošnju
razne vrste proizvoda, prevoz robe i putnika raznim vidovima transporta, prirodni resursi itd.
Rezultati statističkih studija se široko koriste za praktične i naučne zaključke.

Prosjek- količnik od dijeljenja zbira svih brojeva brojem članova

obim- razlika između najvećeg i najmanjeg broja ove serije
Moda je broj koji se najčešće javlja u skupu brojeva
Medijan- uređeni niz brojeva sa neparnim brojem članova je broj napisan u sredini, a medijana uređenog niza brojeva sa parnim brojem članova je aritmetička sredina dva broja zapisana u sredini. Medijan proizvoljnog niza brojeva je medijan odgovarajućeg uređenog niza.

Prosjek ,

obim i moda
naći primjenu u statistici - nauci,
koji se bavi dobijanjem

obradu i analizu

kvantitativni podaci o raznim

masovnih događaja

u prirodi i

Društvo.

Zadatak #1

Red brojeva:
18 ; 13; 20; 40; 35.
Pronađite aritmetičku sredinu ove serije:

Rješenje:
(18+13+20+40+35):5=25,5
Odgovor: 25,5 - aritmetička sredina

Zadatak #2

Red brojeva:
35;16;28;5;79;54.

Pronađite raspon serije:

Rješenje:

Najveći broj je 79,
Najmanji broj je 5.
Raspon redova: 79 - 5 = 74.
Odgovor: 74

Zadatak #3

Red brojeva:
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

Pronađite raspon serije:

Rješenje:
Najveća potrošnja vremena - 37 minuta,
a najmanji - 18 min.
Pronađite raspon serije:
37 - 18 = 19 (min)

Zadatak #4

Red brojeva:
65; 12; 48; 36; 7; 12
Pronađite modu serije:

Rješenje:

Način rada ove serije: 12.
Odgovor: 12

Zadatak broj 5

Niz brojeva može imati više od jednog načina rada,
ili možda nema.

Red: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
dva režima - 47 i 52.

Red: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 - bez mode.

Zadatak broj 5

Red brojeva:
28; 17; 51; 13; 39
Pronađite medijanu ove serije:

Rješenje:

Prvo stavite brojeve u rastućem redoslijedu:
13; 17; 28; 39; 51.
Medijan - 28.
Odgovor: 28

Zadatak broj 6

Organizacija je vodila dnevnu evidenciju primljenih pisama tokom mjeseca.

Kao rezultat, dobili smo sljedeću seriju podataka:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Za datu seriju podataka pronađite aritmetičku sredinu,

Koje je praktično značenje ovih indikacija?

Zadatak broj 7

Trošak (u rubljama) pakovanja maslaca Nezhenka u prodavnicama mikrookrug je zabeležen: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

Koliko se srednja vrijednost ovog skupa brojeva razlikuje od medijane?

Rješenje.

Sortiraj ovaj skup brojeva uzlaznim redoslijedom:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Pošto je broj elemenata u nizu neparan, medijana je

vrijednost koja zauzima sredinu niza brojeva, odnosno M = 31.

Izračunajmo aritmetičku sredinu ovog skupa brojeva - m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

M - m \u003d 31 - 30 \u003d 1

Kreativno

Datum __________

Tema lekcije: Aritmetička sredina, raspon i mod.

Ciljevi lekcije: ponoviti koncepte takvih statističkih karakteristika kao što su aritmetička sredina, raspon i mod, da formiraju sposobnost pronalaženja prosječnih statističkih karakteristika različitih serija; razvijati logičko mišljenje, pamćenje i pažnju; vaspitavati kod djece marljivost, disciplinu, upornost, tačnost; razvijati kod djece interesovanje za matematiku.

Tokom nastave

Organizacija razreda

Ponavljanje ( Jednadžba i njeni korijeni)

Definirajte jednačinu s jednom promjenljivom.

Šta je korijen jednačine?

Šta znači riješiti jednačinu?

Riješite jednačinu:

6x + 5 = 23 -3x 2 (x - 5) + 3x = 11 -2x 3x - (x - 5) = 14 -2x

Ažuriranje znanja ponoviti koncepte takvih statističkih karakteristika kao što su aritmetička sredina, opseg, mod i medijan.

Statistika - je nauka koja prikuplja, obrađuje, analizira kvantitativne podatke o raznim masovnim pojavama koje se javljaju u prirodi i društvu.

Prosjek je zbir svih brojeva podijeljen njihovim brojem. (Aritmetička sredina naziva se prosječna vrijednost niza brojeva.)

Raspon brojeva je razlika između najvećeg i najmanjeg od ovih brojeva.

Moda serije brojeva - Ovo je broj koji se u ovoj seriji javlja češće od ostalih.

medijana uređeni niz brojeva s neparnim brojem članova naziva se broj napisan u sredini, a s parnim brojem članova naziva se aritmetička sredina dva broja zapisana u sredini.

Reč statistika je prevedena sa latinskog jezika status - stanje, stanje stvari.

Statističke karakteristike: aritmetička sredina, opseg, mod, medijan.

Asimilacija novog materijala

Zadatak broj 1: Od 12 učenika sedmog razreda je zatraženo da obilježe vrijeme (u minutama) koje su proveli u izradi domaćeg zadatka iz algebre. Dobili smo sljedeće podatke: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Koliko minuta su učenici u prosjeku trošili radeći domaći?

Rješenje: 1) pronađite aritmetičku sredinu:

2) pronađite opseg serije: 37-18=19 (min)

3) moda 25.

Zadatak broj 2: U gradu Schastlivy dnevno je izmjereno u 18 00 temperatura vazduha (u stepenima Celzijusa za 10 dana), usled čega je tabela popunjena:

T sri = 0 SA,

Raspon = 25-13=12 0 SA,

Zadatak broj 3: Pronađite raspon brojeva 2, 5, 8, 12, 33.

Rješenje: Najveći broj ovdje je 33, najmanji je 2. Dakle, raspon je: 33 - 2 = 31.

Zadatak broj 4: Pronađite način distribucije serije:

a) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (način 23);

b) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (režimi: 22 i 26);

c) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (bez mode).

Zadatak broj 5 : Pronađite aritmetičku sredinu, opseg i način niza brojeva 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8.

Rješenje: 1) Najčešće se u ovom nizu brojeva pojavljuje broj 7 (3 puta). To je način datog niza brojeva.

Rešenje za vežbu

A) Pronađite aritmetičku sredinu, medijanu, opseg i mod niza brojeva:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

B) Aritmetička sredina niza od deset brojeva je 15. Ovom nizu je dodijeljen broj 37. Kolika je aritmetička sredina novog niza brojeva.

IN) U nizu brojeva 2, 7, 10, __, 18, 19, 27, jedan broj se pokazao izbrisanim. Vratite ga znajući da je aritmetička sredina ovog niza brojeva 14.

G) Svaki od 24 učesnika u streljaštvu ispalio je po deset hitaca. Konstatujući svaki put broj pogodaka u metu, dobili smo sljedeću seriju podataka: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8 , 6, 6, 5 , 6, 4, 3, 6, 5. Pronađite opseg i modu za ovu seriju. Ono što karakteriše svaki od ovih pokazatelja.

Rezimirajući

Šta je aritmetička sredina? Moda? Medijan? Prevucite prstom?

Zadaća:

№164 (zadatak ponavljanja), str. 36-39 pročitano

№167(a,b), #177, 179

Uz prosječne vrijednosti izračunavaju se strukturni prosjeci kao statističke karakteristike serije varijacione distribucije - moda I medijana.
Moda(Mo) predstavlja vrijednost proučavane osobine, koja se ponavlja sa najvećom frekvencijom, tj. mod je vrijednost karakteristike koja se najčešće javlja.
medijana(Me) je vrijednost atributa koja se nalazi u sredini rangirane (uređene) populacije, tj. medijan - centralna vrijednost varijacione serije.
Glavno svojstvo medijane je da je zbir apsolutnih odstupanja vrijednosti atributa od medijane manji nego od bilo koje druge vrijednosti ∑|x i - Me|=min.

Određivanje moda i medijane iz negrupisanih podataka

Razmislite određivanje moda i medijana iz negrupisanih podataka. Pretpostavimo da radni tim od 9 ljudi ima sljedeće platne kategorije: 4 3 4 5 3 3 6 2 6 . S obzirom da ovaj tim ima najviše radnika 3. kategorije, ova tarifna kategorija će biti modalna. Mo = 3.
Za određivanje medijane potrebno je rangirati: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Centralni u ovoj seriji je radnik 4. kategorije, dakle, ova kategorija će biti medijana. Ako rangirana serija uključuje paran broj jedinica, tada se medijan definira kao prosjek dvije centralne vrijednosti.
Ako mod odražava najčešću varijantu vrijednosti atributa, tada medijan praktično obavlja funkciju prosjeka za heterogenu populaciju koja ne poštuje normalni zakon distribucije. Ilustrirajmo njegov kognitivni značaj na sljedećem primjeru.
Pretpostavimo da treba okarakterisati prosječan prihod grupe ljudi od 100 ljudi, od kojih 99 ima prihode u rasponu od 100 do 200 dolara mjesečno, a mjesečni prihod potonjih iznosi 50.000 dolara (tabela 1).
Tabela 1 - Mjesečni prihodi ispitivane grupe ljudi. Ako koristimo aritmetičku sredinu, dobijamo prosječan prihod od oko 600 - 700 dolara, što ima malo zajedničkog sa primanjima glavnog dijela grupe. Medijan, u ovom slučaju jednak Me = 163 dolara, omogućiće nam da damo objektivan opis nivoa prihoda 99% ove grupe ljudi.
Razmotrimo definiciju moda i medijana prema grupisanim podacima (serija distribucije).
Pretpostavimo da raspodjela radnika cijelog preduzeća u cjelini prema tarifnoj kategoriji ima sljedeći oblik (tabela 2).
Tabela 2 - Raspodjela radnika preduzeća prema tarifnoj kategoriji

Izračunavanje moda i medijana za diskretnu seriju

Izračunavanje moda i medijana za intervalnu seriju

Izračunavanje moda i medijana za varijacioni niz

Određivanje moda iz serije diskretnih varijacija

Koristi se niz ranije izgrađenih vrijednosti karakteristika, sortiranih po vrijednosti. Ako je veličina uzorka neparna, uzmite središnju vrijednost; ako je veličina uzorka paran, uzimamo aritmetičku sredinu dvije centralne vrijednosti.
Određivanje moda iz serije diskretnih varijacija: 5. tarifna kategorija ima najveću frekvenciju (60 osoba), dakle, modalna. Mo = 5.
Da bi se odredila srednja vrijednost atributa, broj srednje jedinice serije (N Me) nalazi se korištenjem sljedeće formule: , gdje je n obim populacije.
u našem slučaju:

.
Rezultirajuća frakcijska vrijednost, koja se uvijek javlja kod parnog broja populacijskih jedinica, pokazuje da je tačna sredina između 95 i 96 radnika. Potrebno je utvrditi kojoj grupi pripadaju radnici sa ovim rednim brojevima. To se može učiniti izračunavanjem akumuliranih frekvencija. Radnika sa ovim brojem nema u prvoj grupi, gdje je samo 12 ljudi, a nema ih u drugoj grupi (12+48=60). 95. i 96. radnici su u trećoj grupi (12+48+56=116), pa je 4. kategorija plata medijana.

Izračunavanje moda i medijana u intervalnoj seriji

Za razliku od diskretnih varijacionih serija, određivanje moda i medijane iz intervalnih serija zahtijeva određene proračune zasnovane na sljedećim formulama:

, (5.6)
Gdje x0- donja granica modalnog intervala (interval sa najvećom frekvencijom naziva se modalni);
i je vrijednost modalnog intervala;
fMo je frekvencija modalnog intervala;
f Mo-1 je frekvencija intervala koji prethodi modalnom;
f Mo +1 je frekvencija intervala nakon modalnog.

(5.7)
Gdje x0– donja granica srednjeg intervala (medijana je prvi interval čija akumulirana frekvencija prelazi polovinu ukupnog zbira frekvencija);
i je vrijednost srednjeg intervala;
S Me-1- akumulirani interval koji prethodi medijani;
f Me je frekvencija srednjeg intervala.
Ilustrujemo primenu ovih formula koristeći podatke u tabeli. 3.
Interval sa granicama 60 - 80 u ovoj distribuciji će biti modalan, jer ima najveću frekvenciju. Koristeći formulu (5.6) određujemo način rada:

Za utvrđivanje srednjeg intervala potrebno je odrediti akumuliranu frekvenciju svakog sljedećeg intervala sve dok ne pređe polovinu zbira akumuliranih frekvencija (u našem slučaju 50%) (tabela 5.11).
Utvrđeno je da je medijan interval sa granicama od 100 - 120 hiljada rubalja. Sada definišemo medijanu:

Tabela 3 - Distribucija stanovništva Ruske Federacije prema nivou prosječnog nominalnog novčanog dohotka po glavi stanovnika u martu 1994.

Grupe prema nivou prosječnog mjesečnog prihoda po glavi stanovnika, hiljada rubalja	Udio stanovništva, %
do 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Preko 300	7,7
Ukupno	100,0

Tabela 4 – Definicija srednjeg intervala
Dakle, aritmetička sredina, mod i medijan mogu se koristiti kao generalizirana karakteristika vrijednosti određenog atributa za jedinice rangirane populacije.
Glavna karakteristika distributivnog centra je aritmetička sredina, koju karakteriše činjenica da sva odstupanja od nje (pozitivna i negativna) iznose nulu. Za medijanu je tipično da je zbir odstupanja od nje u modulu minimalan, a mod je vrijednost osobine koja se najčešće javlja.
Odnos moda, medijane i aritmetičke sredine ukazuje na prirodu distribucije osobine u agregatu, omogućava nam da procijenimo njegovu asimetriju. U simetričnim raspodjelama, sve tri karakteristike su iste. Što je veća nesklad između moda i aritmetičke sredine, to je serija asimetričnija. Za umjereno iskrivljene serije, razlika između moda i aritmetičke sredine je otprilike tri puta veća između medijane i srednje vrijednosti, tj.:
|Mo–`x| = 3 |Me –`x|.

Određivanje moda i medijana grafičkom metodom

Mod i medijan u nizu intervala mogu se odrediti grafički. Način se određuje iz histograma distribucije. Da biste to učinili, odabire se najviši pravougaonik, koji je u ovom slučaju modalni. Zatim povezujemo desni vrh modalnog pravougaonika sa gornjim desnim uglom prethodnog pravougaonika. A lijevi vrh modalnog pravougaonika je sa gornjim levim uglom sledećeg pravougaonika. Od tačke njihovog presjeka spuštamo okomicu na osu apscise. Apscisa tačke preseka ovih linija biće režim distribucije (slika 5.3).

Rice. 5.3. Grafička definicija mode histogramom.

Rice. 5.4. Grafičko određivanje medijane kumulacijom
Da bi se odredila medijana iz tačke na skali akumuliranih frekvencija (učestalosti) koja odgovara 50%, povlači se ravna linija paralelna sa osom apscise do preseka sa kumulatom. Zatim se od točke presjeka okomica spušta na osu apscise. Apscisa tačke preseka je medijana.

Kvartili, decili, percentili

Slično, pronalaženjem medijane u varijacionom nizu distribucije, možete pronaći vrijednost karakteristike za bilo koju jedinicu rangirane serije po redu. Tako, na primjer, možete pronaći vrijednost neke karakteristike u jedinicama koje dijele niz na četiri jednaka dijela, na 10 ili 100 dijelova. Ove vrijednosti se nazivaju "kvartili", "decili", "percentili".
Kvartili su vrijednost karakteristike koja dijeli rangiranu populaciju na 4 jednaka dijela.
Razlikovati donji kvartil (Q 1), koji odvaja ¼ populacije sa najnižim vrijednostima atributa, i gornji kvartil (Q 3), koji odsijeca ¼ dio s najvišim vrijednostima atributa . To znači da će 25% jedinica stanovništva biti manje od Q 1 ; 25% jedinica će biti zatvoreno između Q 1 i Q 2 ; 25% - između Q 2 i Q 3, a preostalih 25% je superiornije u odnosu na Q 3. Srednji kvartil Q 2 je medijan.
Za izračunavanje kvartila prema nizu varijacije intervala, koriste se sljedeće formule:

,
Gdje x Q 1– donja granica intervala koji sadrži donji kvartil (interval je određen akumuliranom frekvencijom, prva prelazi 25%);
x Q 3– donja granica intervala koji sadrži gornji kvartil (interval je određen akumuliranom frekvencijom, prva prelazi 75%);
i– vrijednost intervala;
S Q 1-1 je kumulativna frekvencija intervala koji prethodi intervalu koji sadrži donji kvartil;
S Q 3-1 je kumulativna frekvencija intervala koji prethodi intervalu koji sadrži gornji kvartil;
f Q 1 je frekvencija intervala koji sadrži donji kvartil;
f Q 3 je frekvencija intervala koji sadrži gornji kvartil.
Razmotrimo izračun donjeg i gornjeg kvartila prema tabeli. 5.10. Donji kvartil je u rasponu 60 - 80, čija je kumulativna frekvencija 33,5%. Gornji kvartil se nalazi u rasponu 160 - 180 sa akumuliranom frekvencijom od 75,8%. Imajući ovo na umu, dobijamo:
,
.
Pored kvartila, decili se mogu odrediti u varijacionim rangovima distribucije - opcijama koje dijele rangirani varijacioni niz na deset jednakih dijelova. Prvi decil (d 1) dijeli stanovništvo 1/10 na 9/10, drugi decil (d 1) 2/10 na 8/10, i tako dalje.
Izračunavaju se prema formulama:

.
Vrijednosti karakteristika koje dijele niz na sto dijelova nazivaju se percentili. Odnosi medijana, kvartila, decila i percentila prikazani su na Sl. 5.5.

Slepnev Pavel

U predmetu algebre 7. razreda, udžbenik koji je uredio Telyakovsky nudi materijal iz statistike "Aritmetička sredina, opseg i mod". Učenik u svom radu nudi primjere za razmatranje ove teme koje su ponudili njegovi drugovi iz razreda.

Skinuti:

Pregled:

MU Odeljenje za obrazovanje MO "Tarbagatai okrug"

MBOU "Fabrička škola"

"Aritmetička sredina, opseg i mod"

Završio: Pavel Slepnev, učenik 7. razreda

naučni savjetnik:

Ulakhanov Marina Rodionovna,

nastavnik matematike

godina 2012

Uvodna stranica 3

Glavna strana 4-9

Teorija pitanja Stranice 4-6

Mini-projekti Stranice 7-9

Zaključak Strana 9

Reference Strana 10

Uvod

Relevantnost

Ove školske godine započeli smo izučavanje dva predmeta: Algebra i Geometrija. Prilikom učenja algebre nešto znam iz razreda 5.6, nešto detaljnije i dublje učimo, naučimo puno novih stvari. Evo jedne nove stvari za mene kada proučavam algebru - ovo je upoznavanje sa nekim statističkim karakteristikama: dometom i modom. Već smo se ranije susreli sa aritmetičkom sredinom. Takođe se pokazalo zanimljivim da se ove karakteristike koriste ne samo u nastavi matematike, već iu životu, u praksi (u proizvodnji, poljoprivredi, sportu itd.).

Formulacija problema

Kada smo u učionici rješavali zadatke za ovaj zadatak, pojavila se ideja da sami kreiramo probleme i pripremimo prezentacije za njih, odnosno kako da krenemo u izradu vlastite problemske knjige. Svako smisli problem, napravi prezentaciju za njega, kao da svako radi na svom mini projektu, a na lekciji sve zajedno rješavamo i razgovaramo. Ako se naprave greške, ispravljamo ih. I na kraju, održite javnu odbranu ovih mini projekata.

Svrha mog rada: proučavanje statistike.

Ciljevi: započeti izradu priručnika o statistici u obliku kompjuterskih prezentacija.

Predmet istraživanja: statistika.

Predmet proučavanja: statističke karakteristike (aritmetička sredina, opseg, mod).

Metode istraživanja:

Proučavanje literature na tu temu.
Analiza podataka.
Korišćenje Internet resursa.
Korišćenje programa Power Point.
Sumiranje prikupljenih materijala na ovu temu.

Glavni dio.

Teorija pitanja

U toku proučavanja odjeljka "Statističke karakteristike" upoznali smo se sa pojmovima: aritmetička sredina, raspon, mod. Ove karakteristike se koriste u statistici. Ova nauka proučava brojnost pojedinih grupa stanovništva zemlje i njenih regija, proizvodnju i potrošnju raznih vrsta proizvoda, transport robe i putnika raznim vidovima transporta, prirodne resurse itd.

„Statistika sve zna“, izjavili su Ilf i Petrov u svom čuvenom romanu „Dvanaest stolica“ i nastavili: „Zna se koliko hrane prosečni građanin republike pojede godišnje... Zna se koliko lovaca, balerina, alatne mašine, bicikli, spomenici, svetionici i mašine za šivenje... Koliko života, punog žara, strasti i misli, gleda na nas iz statističkih tabela, analizirajući kvantitativne podatke o najrazličitijim masovnim pojavama u životu.

Ekonomska statistika proučava promjene cijena, ponude i potražnje za robom, predviđa rast i pad proizvodnje i potrošnje.

Medicinska statistika proučava efikasnost različitih lijekova i tretmana, vjerovatnoću određene bolesti u zavisnosti od starosti, pola, naslijeđa, uslova života, loših navika, predviđa širenje epidemija.

Demografska statistika proučava natalitet, veličinu populacije, njen sastav (dobni, nacionalni, profesionalni).

A tu su i finansijska, poreska, biološka, meteorološka statistika.

U školskom kursu algebre razmatramo pojmove i metode deskriptivne statistike, koja se bavi primarnom obradom informacija i izračunavanjem najotkrivenijih numeričkih karakteristika. Prema engleskom statističaru R. Fisheru: "Statistika se može okarakterisati kao nauka o reduciranju i analizi materijala dobijenog u zapažanjima." Cijeli skup numeričkih podataka dobivenih u uzorku može se (uvjetno) zamijeniti s nekoliko numeričkih parametara, od kojih smo neke već razmatrali u lekcijama - to je aritmetička sredina, raspon, mod. Rezultati statističkih istraživanja se naširoko koriste za praktične i naučne zaključke, pa je važno znati odrediti ove statističke karakteristike.

Statističke karakteristike u našem vremenu nalaze se posvuda. Na primjer, popis stanovništva. Zahvaljujući ovom popisu, država će saznati koliko je novca potrebno za izgradnju stambenih objekata, škola, bolnica, koliko ljudi treba stambeno zbrinjavanje, koliko je djece u porodici, broj nezaposlenih, plate itd. Rezultati ovog popisa će se uporediti sa prethodnim, bilo da je zemlja u tom periodu porasla ili se situacija pogoršala, biće moguće uporediti podatke sa rezultatima u drugim zemljama. Moda je od velike važnosti u industriji. Na primjer, uvijek će se prodavati proizvod za kojim je velika potražnja, a fabrike će imati mnogo novca. A takvih je primjera mnogo.

Rezultati statističkih studija se široko koriste za praktične i naučne zaključke.

Definicija 1. Aritmetička sredina niza brojeva je količnik dijeljenja zbira ovih brojeva brojem članova.

Primer: Prilikom proučavanja opterećenja, identifikovana je grupa od 12 učenika 7. razreda. Od njih je zatraženo da određenog dana zabilježe vrijeme (u minutama) utrošeno na izradu domaće zadaće iz algebre. Dobili smo sljedeće podatke:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Sa ovim nizom podataka možemo odrediti koliko minuta su učenici u prosjeku potrošili na domaći zadatak iz algebre. Da biste to učinili, dodajte naznačenih 12 brojeva i podijelite dobiveni iznos

u 12: ==27.

Broj 27, dobijen kao rezultat, naziva se aritmetičkom sredinom niza brojeva koji se razmatraju.

Aritmetička sredina je važna karakteristika niza brojeva, ali ponekad je korisno razmotriti i druge. srednje.

Definicija 2. Način niza brojeva je broj koji se u ovoj seriji javlja češće od ostalih.

Primjer: Kada analiziramo informacije o vremenu koje su učenici potrošili na domaći zadatak iz algebre, možda će nas zanimati ne samo aritmetička sredina i raspon serija podataka, već i drugi pokazatelji. Na primjer, zanimljivo je znati koja je potrošnja vremena tipična za odabranu grupu učenika, tj. koji je najčešći broj u nizu podataka. Lako je vidjeti da je u našem primjeru ovaj broj 25. Kažu da je broj 25 mod serije koja se razmatra.

Skup brojeva može imati više od jednog načina rada ili uopće ne mora imati način rada. Na primjer, u nizu brojeva 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52, dva načina su brojevi 47 i 52, budući da se svaki od njih pojavljuje tri puta u serije, a ostali brojevi - manje od tri puta.

Nema mode u nizu brojeva 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72.

Način niza podataka obično se pronalazi kada se želi otkriti neki tipičan indikator. Mod je mjera koja se široko koristi u statistici. Jedna od najčešćih upotreba mode je proučavanje potražnje. Na primjer, kada se odlučuje u koje težine pakirati ulje, koje letove otvoriti itd., potražnja se preliminarno proučava i identificira moda - najčešći redoslijed.

Međutim, pronalaženje aritmetičke sredine ili moda ne omogućava uvijek izvođenje pouzdanih zaključaka na osnovu statističkih podataka. ako imamo niz podataka, onda za razumne zaključke i pouzdane prognoze na osnovu njih, pored prosječnih vrijednosti, moramo naznačiti i koliko se korišteni podaci međusobno razlikuju. Jedan od statističkih pokazatelja razlike ili rasipanja podataka je raspon.

Definicija 3. Opseg niza brojeva je razlika između najvećeg i najmanjeg od ovih brojeva.

Primjer: U gornjem primjeru otkrili smo da su učenici u prosjeku provodili 27 minuta radeći domaći zadatak iz algebre. Međutim, analiza sprovedene serije podataka pokazuje da se vrijeme provedeno kod pojedinih učenika značajno razlikuje od 27 minuta, tj. iz aritmetičke sredine. Najveća potrošnja iznosi 37 minuta, a najmanja 18 minuta. Razlika između najveće i najmanje vremenske potrošnje je 19 minuta. U ovom slučaju se razmatra još jedna statistička karakteristika - raspon. Raspon niza se pronalazi kada se želi odrediti koliko je veliko širenje podataka u nizu.

Mini projekti

A sada želim da predstavim rezultate našeg rada: mini-projekte za kreiranje knjige zadataka o statistici.

Radim u Super-auto salonu-shopu kao generalni direktor odjela prodaje. Naš salon je obezbijedio automobile za učešće u igri "pogon na sva četiri točka". Naše mašine su bile uspješne na sajmu prošle godine! Rezultati prodaje su sljedeći:

Automobili su prodati prvog dana	Automobili su prodati drugog dana	Automobili su prodati trećeg dana	Automobili su prodati četvrti dan	Automobili su prodati peti dan

Odeljenje prodaje treba da sumira rezultate izložbe:

Koliko je automobila u prosjeku prodato dnevno?
Koliki je raspon broja automobila za period izložbe i prodaje?
Koliko se automobila najčešće prodavalo dnevno?

Odgovor: u prosjeku se dnevno prodavalo 150 automobila, razlika u broju prodatih automobila bila je 150, najčešće 100 automobila dnevno.

Ja, Anastasija Voločkova, pozvana sam u žiri za finale takmičenja u ledu i vatri. Takmičenje je održano u gradu Sankt Peterburgu. U finale su stigla tri para najjačih klizača: 1 par. Batueva Alina i Khlebodarov Kiril, 2 para. Selyanskaya Julia i Kushnarev Pavel, 3 para. Zaigraeva Anastasia i Afanasiev Dmitry. Žiri: Anastasia Volochkova, Elena Malysheva, Alexey Dalmatov. Žiri je dao sljedeće ocjene:

Pronađite aritmetičku sredinu, raspon moda u seriji procjena za svaki par.

odgovor:

Rezultati	Prosjek aritmetika	obim	Moda
1 par	5.43
2 para	5.27
3 para	5.23		br

Ove godine sam posjetio Sankt Peterburg na takmičenjima u balskim plesovima. U takmičenju su učestvovala tri prelepa para: Sushentsova Elena i Khlebodarov Kiril, Batueva Alina i Slepnev Pavel, Dzhaniashvili Victoria i Tkachev Valery.

Za svoje nastupe par je dobio sljedeće ocjene:

Pronađite srednju vrijednost, raspon i mod.

odgovor:

parovi	Prosjek	obim	Moda
№1	4,42
№2	4,37
№3	4,37

Direktorica sam trgovine Modne odjeće i modnih dodataka. Prodavnica dobro zarađuje. Podaci o prodaji za prošlu godinu:

915t.r.

1 milion 150t.r.

1 milion

980t.r.

2 miliona

3t.r.

2 miliona

950t.r.

3 miliona

950t.r.

3 miliona

100t.r.

2 miliona

950t.r.

3 miliona

750t.r.

2 miliona

950t.r.

4 miliona

250t.r.

Prva 2-3 mjeseca profit je dostigao 2 miliona mjesečno. Već nakon povećanja profita na 4 miliona. Najuspješniji mjeseci su bili: decembar i maj. U maju su uglavnom kupovale haljine za maturske večere, a u decembru za doček Nove godine.

Pitanje mojoj šefici računovođe: kakvi su rezultati našeg rada za godinu?

odgovor:

Prosjek	2,745,000 RUB
obim	4 158 500 rub
Moda	2,950,000 RUB

Organizovali smo tjuning radionicu "Turbo". Tokom prve sedmice našeg rada zaradili smo: prvog dana - 120.000 dolara, drugog dana - 350.000 dolara, trećeg dana - 99.000 dolara, četvrtog dana - 120.000 dolara. Izračunajte koliki je naš prosječni dnevni prihod, koliki je jaz između najveće i najniže zarade i koji se iznos češće ponavlja?

Odgovor: aritmetička sredina - 172.250 dolara, raspon - 251.000 dolara, mod - 120.000 dolara.

Zaključak

U zaključku, želim reći da mi se ova tema sviđa. Statističke karakteristike su vrlo zgodne, mogu se koristiti svuda. Uglavnom, upoređuju, teže napretku i pomažu da se sazna mišljenje ljudi. U toku rada na ovoj temi upoznao sam se sa naukom statistike, naučio neke pojmove (aritmetička sredina, opseg i mod), gde se ova nauka može primeniti, proširio svoja znanja iz računarstva. Mislim da će naši zadaci kao primjeri za savladavanje ovih pojmova biti korisni drugima! Nastavit ćemo poznanstvo u ovoj nauci i kreirati vlastite zagonetke!

Tako je moje putovanje u svijet matematike, informatike i statistike završeno. Ali ne mislim da je poslednji. I dalje želim da znam mnogo! Kao što je Galileo Galilei rekao: "Priroda formuliše svoje zakone jezikom matematike." I želim da savladam ovaj jezik!

Bibliografija

Bunimovich E.A., Bulychev V.A. « Vjerovatnoća i statistika u predmetu matematike srednje škole“, M.: Pedagoški univerzitet „Prvi septembar“, 2005.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. „Algebra, 7. razred“, M: „Prosvjeta“, 2009
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. « Algebra. Elementi statistike i teorije vjerovatnoće, 7-9 razred. - M.: Obrazovanje, 2005.

Pregled

Predmet studentskog istraživanja je statistika.

Predmet istraživanja su statističke karakteristike (aritmetička sredina, opseg, mod).

Student je proučavao naučne izvore, internet resurse kako bi se upoznao sa teorijom problematike.

Odabrana tema je relevantna za studenta kojeg zanimaju matematika, informatika, statistika. Analizirano je dovoljno materijala za njegovu dob, odabrani i sumirani podaci. Student ima dovoljno znanja o IKT.

Rad je osmišljen u skladu sa zahtjevima.

Na kraju studije donesen je zaključak, predstavljen je praktični proizvod: prezentacije zadataka iz statistike. Drago mi je da je osoba toliko strastvena za matematiku.

Naučni savetnik: Ulakhanov MR,

nastavnik matematike

Osnovni koncepti

Za eksperimentalne podatke dobijene iz uzorka može se izračunati serija numeričke karakteristike (mjere).

Mod je numerička vrijednost koja se najčešće javlja u uzorku. Moda se ponekad naziva Mo.

Na primjer, u nizu vrijednosti (2 6 6 8 9 9 9 10), mod je 9 jer se 9 pojavljuje češće od bilo kojeg drugog broja.

Način je vrijednost koja se najčešće pojavljuje (u ovom primjeru 9), a ne učestalost pojavljivanja te vrijednosti (u ovom primjeru 3).

Moda se pronalazi po pravilima

1. U slučaju kada se sve vrijednosti u uzorku javljaju podjednako često, smatra se da ova serija uzoraka nema mod.

Na primjer, 556677 - u ovom izboru nema mode.

2. Kada dvije susjedne (susjedne) vrijednosti imaju istu frekvenciju i njihova frekvencija je veća od frekvencija bilo koje druge vrijednosti, mod se računa kao aritmetička sredina ove dvije vrijednosti.

Na primjer, u uzorku 1 2 2 2 5 5 5 6, frekvencije susjednih vrijednosti 2 i 5 su iste i jednake 3. Ova frekvencija je veća od frekvencije drugih vrijednosti 1 i 6 (koje imaju jednako je 1).

Stoga će način ove serije biti .

3) Ako dvije nesusjedne (nesusjedne) vrijednosti u uzorku imaju jednake frekvencije koje su veće od frekvencija bilo koje druge vrijednosti, tada se razlikuju dva moda. Na primjer, u seriji 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 modovi su 11 i 14. U ovom slučaju se kaže da je uzorak bimodal.

Mogu postojati i takozvane multimodalne distribucije koje imaju više od dva vrha (moda)

4) Ako se mod procjenjuje iz skupa grupisanih podataka, tada je za pronalaženje moda potrebno odrediti grupu sa najvećom frekvencijom karakteristike. Ova grupa se zove modalna grupa.

Medijan - označen Ja i definira se kao vrijednost u odnosu na koju je najmanje 50% vrijednosti uzorka manje od nje, a najmanje 50% više.

Medijan je vrijednost koja dijeli uređeni skup podataka na pola.

Zadatak 1. Pronađite medijanu uzorka 9 3 5 8 4 11 13

Rješenje Prvo, sortirajmo uzorak prema vrijednostima uključenim u njega. Dobijamo 3 4 5 8 9 11 13. Pošto u uzorku ima sedam elemenata, četvrti element po redu će imati vrijednost veću od prva tri i manju od posljednja tri. Dakle, medijana će biti četvrti element - 8

Zadatak 2. Pronađite medijanu uzorka 20, 9, 13, 1, 4, 11.

Poručimo uzorak 1, 4, 9, 11, 13, 20 Pošto postoji paran broj elemenata, postoje dvije "sredine" - 9 i 13. U ovom slučaju, medijana je definirana kao aritmetička sredina ovih vrijednosti

Prosjek

Aritmetička sredina serije od n brojčanih vrijednosti izračunava se kao

Da pokažemo lažnost ovog pokazatelja, navedimo dobro poznati primjer: 60-godišnja baka sa četvero unučadi stane u jedan odjeljak kočije: jedan - 4 godine, dva - 5 godina i jedan - 6 godina. Aritmetički prosjek starosti svih putnika u ovom kupeu je 80/5 = 16. U drugom kupeu je društvo mladih: dvoje je 15-godišnjaka, jedan 16-godišnjak i dvoje 17-godišnjaka. olds. Prosječna starost putnika ovog kupea je također jednaka 80/5 = 16. Dakle, putnici ovih kupea se ne razlikuju u aritmetičkim prosjekima. Ali ako se okrenemo indikatoru standardne devijacije, ispada da će prosječna razlika u odnosu na prosječnu starost u prvom slučaju biti 24,6, au drugom slučaju 1.

Osim toga, prosjek se ispostavlja prilično osjetljivim na vrlo male ili vrlo velike vrijednosti koje se razlikuju od glavnih vrijednosti izmjerenih karakteristika. Neka 9 ljudi ima prihod od 4500 do 5200 hiljada dolara mjesečno. Njihov prosječni prihod je 4900 dolara. Ako ovoj grupi dodamo osobu sa mjesečnim prihodom od 20 000 dolara, onda će se prosjek cijele grupe pomjeriti i ispasti jednak 6 410 dolara, iako niko iz cijelog uzorka (osim jednog osoba) zaista prima takav iznos.

Jasno je da se slična pristrasnost, ali u suprotnom smjeru, može dobiti i ako se ovoj grupi doda osoba s vrlo malim godišnjim prihodima.

Raspršivanje uzoraka

Scatter ( u velikim razmerama) uzorci- razlika između maksimalne i minimalne vrijednosti ove određene serije varijacija. Označeno slovom R.

Raspon = maksimalna vrijednost - minimalna vrijednost

Jasno je da što više varira izmjerena osobina, veća je vrijednost R, i obrnuto.

Međutim, može se dogoditi da dvije serije uzoraka imaju istu srednju vrijednost i raspon, ali će priroda varijacije ovih serija biti drugačija. Na primjer, data dva uzorka

Disperzija

Disperzija je najčešće korištena mjera disperzije slučajne varijable (varijable).

Disperzija - aritmetička sredina kvadrata odstupanja vrijednosti varijable od njene srednje vrijednosti