Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo morate odrediti značenje pojma „višestruko“.

Višekratnik A je prirodan broj koji je bez ostatka djeljiv sa A. Dakle, brojevi koji su višekratnici od 5 mogu se smatrati 15, 20, 25 itd.

Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je djeljiv s njima bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svim ovim brojevima.

Da biste pronašli LOC, možete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve, zgodno je zapisati sve višekratnike ovih brojeva na liniji dok ne nađete nešto zajedničko među njima. Višekratnici se označavaju velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici od 4 mogu se napisati ovako:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ova notacija se radi na sljedeći način:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugu metodu izračunavanja LCM-a.

Da biste izvršili zadatak, potrebno je da date brojeve rastavite u proste faktore.

Prvo trebate zapisati dekompoziciju najvećeg broja na liniji, a ispod njega - ostatak.

Dekompozicija svakog broja može sadržavati različit broj faktora.

Na primjer, razložimo brojeve 50 i 20 u proste faktore.

U proširenju manjeg broja treba istaknuti faktore koji nedostaju u proširenju prvog najvećeg broja, a zatim im ih dodati. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.

Sada možete izračunati najmanji zajednički višekratnik 20 i 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Dakle, proizvod prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja koji nisu uključeni u proširenje većeg broja biće najmanji zajednički višekratnik.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, trebali biste ih sve rastaviti u proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz proširenja šesnaest nisu uključene u faktorizaciju većeg broja (jedan je u proširenju dvadeset četiri).

Stoga ih je potrebno dodati proširenju većeg broja.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od ovih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, LCM od dvanaest i dvadeset četiri je dvadeset četiri.

Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik koprostih brojeva koji nemaju identične djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom proizvodu.

Na primjer, LCM (10, 11) = 110.

Školarci dobijaju mnogo zadataka iz matematike. Među njima se vrlo često javljaju problemi sa sljedećom formulacijom: postoje dva značenja. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik datih brojeva? Neophodno je biti sposoban za obavljanje takvih zadataka, jer se stečene vještine koriste za rad sa razlomcima s različitim nazivnicima. U ovom članku ćemo pogledati kako pronaći LOC i osnovne koncepte.

Prije nego što pronađete odgovor na pitanje kako pronaći LCM, morate definirati pojam višestruki. Najčešće formulacija ovog koncepta zvuči ovako: višekratnik određene vrijednosti A je prirodan broj koji će biti djeljiv sa A bez ostatka. Dakle, za 4, višekratnici će biti 8, 12, 16, 20, i tako dalje, do potrebne granice.

U ovom slučaju, broj djelitelja za određenu vrijednost može biti ograničen, ali višekratnici su beskonačno mnogo. Ista vrijednost postoji i za prirodne vrijednosti. Ovo je indikator koji se dijeli na njih bez ostatka. Pošto smo shvatili koncept najmanje vrijednosti za određene indikatore, prijeđimo na to kako je pronaći.

Pronalaženje NOC-a

Najmanji višekratnik dva ili više eksponenata je najmanji prirodni broj koji je u potpunosti djeljiv sa svim navedenim brojevima.

Postoji nekoliko načina da pronađete takvu vrijednost, razmotrite sljedeće metode:

1. Ako su brojevi mali, onda zapišite na liniju sve one djeljive s njim. Nastavite to raditi dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. U pisanom obliku, oni su označeni slovom K. Na primjer, za 4 i 3, najmanji višekratnik je 12.
2. Ako su oni veliki ili trebate pronaći višekratnik od 3 ili više vrijednosti, onda biste trebali koristiti drugu tehniku ​​koja uključuje razlaganje brojeva na proste faktore. Prvo postavite najveći navedeni, a zatim sve ostale. Svaki od njih ima svoj broj množitelja. Kao primjer, razložimo 20 (2*2*5) i 50 (5*5*2). Za manji, podvucite faktore i dodajte ih najvećem. Rezultat će biti 100, što će biti najmanji zajednički višekratnik gore navedenih brojeva.
3. Kod pronalaženja 3 broja (16, 24 i 36) principi su isti kao i za druga dva. Proširimo svaki od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. U proširenje najvećeg nisu uključene samo dvije dvojke iz proširenja broja 16. Sabiramo ih i dobijamo 144, što je najmanji rezultat za prethodno navedene brojčane vrijednosti.

Sada znamo koja je opća tehnika za pronalaženje najmanje vrijednosti za dvije, tri ili više vrijednosti. Međutim, postoje i privatne metode, pomaže u traženju NOC-a ako prethodni ne pomažu.

Kako pronaći GCD i NOC.

Privatne metode pronalaženja

Kao i kod svakog matematičkog odjeljka, postoje posebni slučajevi pronalaženja LCM-a koji pomažu u određenim situacijama:

• ako je jedan od brojeva djeljiv s ostalima bez ostatka, tada mu je jednak najmanji višekratnik ovih brojeva (LCM od 60 i 15 je 15);
• relativno prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore. Njihova najmanja vrijednost jednaka je proizvodu ovih brojeva. Dakle, za brojeve 7 i 8 to će biti 56;
• isto pravilo vrijedi i za druge slučajeve, uključujući i posebne, o kojima se može pročitati u stručnoj literaturi. Ovo bi trebalo uključiti i slučajeve dekompozicije složenih brojeva, koji su tema pojedinačnih članaka, pa čak i kandidatskih disertacija.

Posebni slučajevi su rjeđi od standardnih primjera. Ali zahvaljujući njima, možete naučiti raditi s frakcijama različitog stepena složenosti. Ovo posebno vrijedi za razlomke, gdje postoje nejednaki nazivnici.

Nekoliko primjera

Pogledajmo nekoliko primjera koji će vam pomoći da shvatite princip pronalaženja najmanjeg višestrukog:

1. Pronađite LOC (35; 40). Prvo dekomponujemo 35 = 5*7, zatim 40 = 5*8. Dodajte 8 najmanjem broju i dobijete LOC 280.
2. NOK (45; 54). Svaki od njih rastavljamo: 45 = 3*3*5 i 54 = 3*3*6. Dodamo broj 6 na 45. Dobijamo LCM jednak 270.
3. Pa, posljednji primjer. Ima 5 i 4. Ne postoje njihovi prosti višekratnici, tako da će najmanji zajednički umnožak u ovom slučaju biti njihov proizvod, koji je jednak 20.

Zahvaljujući primjerima, možete razumjeti kako se NOC nalazi, koje su nijanse i koje je značenje takvih manipulacija.

Pronalaženje NOC-a je mnogo lakše nego što se u početku čini. Da biste to učinili, koriste se i jednostavno proširenje i množenje jednostavnih vrijednosti. Sposobnost rada sa ovim dijelom matematike pomaže u daljem proučavanju matematičkih tema, posebno razlomaka različitog stepena složenosti.

Ne zaboravite povremeno rješavati primjere različitim metodama; to razvija vaš logički aparat i omogućava vam da zapamtite brojne pojmove. Naučite kako pronaći takav eksponent i moći ćete se dobro snaći u ostalim dijelovima matematike. Srećno učenje matematike!

Video

Ovaj video će vam pomoći da shvatite i zapamtite kako pronaći najmanji zajednički višekratnik.

Nastavimo razgovor o najmanjem zajedničkom višekratniku, koji smo započeli u dijelu “LCM – najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri”. U ovoj temi ćemo se osvrnuti na načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, te ćemo se osvrnuti na pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD

Već smo uspostavili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada ćemo naučiti kako odrediti LCM kroz GCD. Prvo, hajde da shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.

Definicija 1

Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj koristeći formulu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Primjer 1

Morate pronaći LCM brojeva 126 i 70.

Rješenje

Uzmimo a = 126, b = 70. Zamijenimo vrijednosti u formulu za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Pronalazi gcd brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dakle GCD (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odgovor: LCM(126, 70) = 630.

Primjer 2

Pronađite brojeve 68 i 34.

Rješenje

GCD u ovom slučaju nije teško pronaći, jer je 68 djeljivo sa 34. Izračunajmo najmanji zajednički višekratnik koristeći formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odgovor: LCM(68, 34) = 68.

U ovom primjeru koristili smo pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika pozitivnih cijelih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv drugim, LCM tih brojeva će biti jednak prvom broju.

Pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva u proste faktore

Pogledajmo sada metodu pronalaženja LCM-a, koja se zasniva na faktoringu brojeva u proste faktore.

Definicija 2

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:

• sastavljamo proizvod svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
• isključujemo sve primarne faktore iz njihovih rezultirajućih proizvoda;
• proizvod koji se dobije nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora biće jednak LCM datih brojeva.

Ova metoda pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika zasniva se na jednakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ako pogledate formulu, postat će vam jasno: proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora koji učestvuju u dekompoziciji ova dva broja. U ovom slučaju, gcd dva broja je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ova dva broja.

Primjer 3

Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih faktorirati na sljedeći način: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Ako sastavite proizvod svih faktora dva originalna broja, dobijate: 2 3 3 5 5 5 7.

Ako izuzmemo faktore zajedničke za oba broja 3 i 5, dobićemo proizvod sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 441 I 700 , faktoring oba broja u proste faktore.

Rješenje

Nađimo sve proste faktore brojeva datih u uslovu:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobijamo dva lanca brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.

Proizvod svih faktora koji su učestvovali u dekompoziciji ovih brojeva imat će oblik: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hajde da pronađemo zajedničke faktore. Ovo je broj 7. Isključimo to iz ukupnog proizvoda: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispostavilo se da je NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odgovor: LOC(441, 700) = 44.100.

Hajde da damo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM dekomponovanjem brojeva na proste faktore.

Definicija 3

Prethodno smo isključili iz ukupnog broja faktora koji su zajednički za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:

• Razložimo oba broja u proste faktore:
• dodaj proizvodu prostih faktora prvog broja faktore koji nedostaju drugog broja;
• dobijamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.

Primjer 5

Vratimo se na brojeve 75 i 210, za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Podijelimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Na proizvod faktora 3, 5 i 5 brojevi 75 dodajte faktore koji nedostaju 2 I 7 brojevi 210. Dobijamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.

Primjer 6

Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.

Rješenje

Razložimo brojeve iz uslova u jednostavne faktore: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmo proizvodu faktore 2, 2, 3 i 7 brojevi 84 nedostaju faktori 2, 3, 3 i
3 brojevi 648. Dobijamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ovo je najmanji zajednički višekratnik 84 i 648.

odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Bez obzira s kojim brojevima imamo posla, algoritam naših akcija će uvijek biti isti: sekvencijalno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorema.

Teorema 1

Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovi brojevi se nalaze uzastopnim izračunavanjem m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Pogledajmo sada kako se teorema može primijeniti na rješavanje specifičnih problema.

Primjer 7

Morate izračunati najmanji zajednički višekratnik četiri broja 140, 9, 54 i 250 .

Rješenje

Hajde da uvedemo zapis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Primijenimo Euklidov algoritam da izračunamo GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobijamo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Dakle, m 2 = 1,260.

Sada izračunajmo koristeći isti algoritam m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Tokom proračuna dobijamo m 3 = 3 780.

Moramo samo izračunati m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Pratimo isti algoritam. Dobijamo m 4 = 94 500.

LCM od četiri broja iz primjera stanja je 94500.

odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kao što vidite, proračuni su jednostavni, ali prilično radno intenzivni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići drugim putem.

Definicija 4

Nudimo vam sljedeći algoritam akcija:

• rastavljamo sve brojeve na proste faktore;
• proizvodu faktora prvog broja dodajemo faktore koji nedostaju iz proizvoda drugog broja;
• proizvodu dobijenom u prethodnoj fazi dodajemo faktore trećeg broja koji nedostaju itd.;
• rezultirajući proizvod će biti najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.

Primjer 8

Trebate pronaći LCM od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Rješenje

Razložimo svih pet brojeva u proste faktore: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti u proste faktore. Takvi brojevi se poklapaju sa njihovom dekompozicijom na proste faktore.

Sada uzmimo proizvod prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i dodajmo im faktore koji nedostaju drugog broja. Razložili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u proizvodu prvog broja. Stoga ih izostavljamo.

Nastavljamo sa sabiranjem množitelja koji nedostaju. Pređimo na broj 48, iz proizvoda čijih prostih faktora uzimamo 2 i 2. Zatim dodajemo prost faktor 7 iz četvrtog broja i faktore 11 i 13 od petog. Dobijamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet originalnih brojeva.

odgovor: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva

Da bi se pronašao najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, ovi brojevi se prvo moraju zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim se proračuni moraju izvršiti pomoću gore navedenih algoritama.

Primjer 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) i LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takve radnje su dozvoljene zbog činjenice da ako to prihvatimo a I − a– suprotni brojevi,
zatim skup višekratnika broja a odgovara skupu višekratnika broja − a.

Primjer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 I − 45 .

Rješenje

Zamenimo brojeve − 145 I − 45 na njihove suprotne brojeve 145 I 45 . Sada, koristeći algoritam, izračunavamo LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, nakon što smo prethodno odredili GCD pomoću Euklidovog algoritma.

Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .

odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kako pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik)

Zajednički višekratnik dva cijela broja je cijeli broj koji je jednako djeljiv sa oba data broja bez ostavljanja ostatka.

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja je najmanji od svih cijelih brojeva koji je djeljiv sa oba data broja bez ostavljanja ostatka.

Metoda 1. Možete pronaći LCM, zauzvrat, za svaki od datih brojeva, ispisujući rastućim redoslijedom sve brojeve koji se dobiju množenjem sa 1, 2, 3, 4, itd.

Primjer za brojeve 6 i 9.
Broj 6, uzastopno, množimo sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 6, 12, 18 , 24, 30
Broj 9, uzastopno, množimo sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kao što vidite, LCM za brojeve 6 i 9 će biti jednak 18.

Ova metoda je zgodna kada su oba broja mala i lako ih je pomnožiti nizom cijelih brojeva. Međutim, postoje slučajevi kada trebate pronaći LCM za dvocifrene ili trocifrene brojeve, kao i kada postoje tri ili čak više početnih brojeva.

Metoda 2. LCM možete pronaći tako što ćete originalne brojeve faktorisati u proste faktore.
Nakon dekompozicije, potrebno je precrtati identične brojeve iz rezultirajućeg niza prostih faktora. Preostali brojevi prvog broja bit će množitelj za drugi, a preostali brojevi drugog će biti množitelj za prvi.

Primjer za brojeve 75 i 60.
Najmanji zajednički umnožak brojeva 75 i 60 može se naći bez zapisivanja višekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, razdijelimo 75 i 60 u jednostavne faktore:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kao što vidite, faktori 3 i 5 se pojavljuju u oba reda. Mi ih mentalno „precrtavamo“.
Zapišimo preostale faktore uključene u proširenje svakog od ovih brojeva. Prilikom rastavljanja broja 75 ostaje nam broj 5, a pri rastavljanju broja 60 ostaje nam 2 * 2
To znači da da bismo odredili LCM za brojeve 75 i 60, moramo preostale brojeve iz proširenja od 75 (ovo je 5) pomnožiti sa 60, i pomnožiti brojeve preostale od proširenja od 60 (ovo je 2 * 2) sa 75. To jest, radi lakšeg razumijevanja, kažemo da množimo „unakrsno“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ovako smo pronašli LCM za brojeve 60 i 75. Ovo je broj 300.

Primjer. Odredi LCM za brojeve 12, 16, 24
U ovom slučaju naše akcije će biti nešto složenije. Ali prvo, kao i uvijek, razložimo sve brojeve na faktore
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Da bismo ispravno odredili LCM, odabiremo najmanji od svih brojeva (ovo je broj 12) i uzastopno prolazimo kroz njegove faktore, precrtavajući ih ako u barem jednom od ostalih redova brojeva naiđemo na isti faktor koji još nije je precrtano.

Korak 1 . Vidimo da se 2 * 2 pojavljuje u svim serijama brojeva. Precrtajmo ih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. U prostim činiocima broja 12 ostaje samo broj 3. Ali on je prisutan u prostim činiocima broja 24. Precrtavamo broj 3 iz oba reda, dok se za broj 16 ne očekuju nikakve radnje .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kao što vidite, prilikom dekomponovanja broja 12, "precrtali" smo sve brojeve. To znači da je nalaz LOC-a završen. Ostaje samo izračunati njegovu vrijednost.
Za broj 12 uzmite preostale faktore od broja 16 (sljedeći u rastućem redoslijedu)
12 * 2 * 2 = 48
Ovo je NOC

Kao što vidite, u ovom slučaju je pronalaženje LCM-a bilo nešto teže, ali kada ga trebate pronaći za tri ili više brojeva, ova metoda vam omogućava da to učinite brže. Međutim, obje metode pronalaženja LCM-a su ispravne.

Definicija. Naziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b podijeljeni bez ostatka najveći zajednički djelitelj (GCD) ovi brojevi.

Nađimo najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Delitelji broja 24 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji 35 su brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju uzajamno prime.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju uzajamno prime, ako je njihov najveći zajednički djelitelj (GCD) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) može se naći bez ispisivanja svih djelitelja datih brojeva.

Rastavljajući na faktore brojeve 48 i 36, dobijamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Od faktora uključenih u proširenje prvog od ovih brojeva, precrtavamo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Preostali faktori su 2 * 2 * 3. Njihov proizvod je jednak 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Naći najveći zajednički djelitelj

2) iz faktora uključenih u proširenje jednog od ovih brojeva precrtati one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) naći proizvod preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi sa jednim od njih, onda je i ovaj broj najveći zajednički djelitelj date brojeve.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj brojeva 15, 45, 75 i 180 je broj 15, jer su svi ostali brojevi djeljivi s njim: 45, 75 i 180.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) prirodni brojevi a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to uradili, razložimo 75 i 60 u proste faktore: 75 = 3 * 5 * 5, i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajmo im faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja drugog broja (tj. kombinujemo faktore).
Dobijamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je proizvod 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Oni također pronalaze najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.

To pronađite najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) razvrstati ih u proste faktore;
2) zapisati faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) naći proizvod rezultujućih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, onda je ovaj broj najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik brojeva 12, 15, 20 i 60 je 60 jer je djeljiv sa svim tim brojevima.

Pitagora (VI vek pne) i njegovi učenici proučavali su pitanje deljivosti brojeva. Oni su broj jednak zbiru svih njegovih djelitelja (bez samog broja) nazvali savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. vijeku. n. e. Peti - 33.550.336 - pronađen je u 15. vijeku. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali naučnici još uvijek ne znaju da li postoje neparni savršeni brojevi ili postoji najveći savršeni broj.
Interes starih matematičara za proste brojeve je zbog činjenice da je bilo koji broj ili prost ili se može predstaviti kao proizvod prostih brojeva, tj. prosti brojevi su kao cigle od kojih su izgrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerovatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva javljaju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih ima više, u drugim - manje. Ali što se dalje krećemo duž niza brojeva, prosti brojevi su manje uobičajeni. Postavlja se pitanje: postoji li posljednji (najveći) prost broj? Drevni grčki matematičar Euklid (3. vek pre nove ere), u svojoj knjizi „Elementi“, koja je dve hiljade godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, tj. iza svakog prostog broja postoji još veći prosti broj. broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar istog vremena, Eratosten, smislio je ovu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedan, koji nije ni prost ni složen broj, zatim kroz jedan precrtao sve brojeve koji dolaze iza 2 (brojeve koji su višekratni od 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi koji dolaze iza 3 (brojevi koji su višekratni od 3, tj. 6, 9, 12, itd.) su precrtani. na kraju su samo prosti brojevi ostali neukršteni.