Kako izračunati vjerovatnoću događaja. Osnove ravnoteže igre: slučajnost i vjerovatnoća različitih događaja

U privredi, kao iu drugim oblastima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno se suočavamo sa događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obim prodaje robe zavisi od potražnje, koja može značajno da varira, i od niza drugih faktora koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga se u organizaciji proizvodnje i prodaje ishod takvih aktivnosti mora predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se također u velikoj mjeri zasniva na eksperimentalnim podacima.

Da bi se na neki način vrednovao događaj koji se razmatra, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizovati uslove u kojima se ovaj događaj snima.

Zove se implementacija određenih uslova ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove nasumično ako se, kao rezultat eksperimenta, može dogoditi ili ne mora.

Događaj se zove autentičan, ako se nužno pojavi kao rezultat ovog iskustva, i nemoguće ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra su slučajni događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati određenim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih problema u teoriji vjerovatnoće je problem određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vrijeme su dva nespojiva događaja.

suma događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

rad događaji se nazivaju događaji koji se sastoje od istovremenog nastupa svih ovih događaja

Događaj koji se sastoji u pojavi dvije robe u isto vrijeme u prodavnici je proizvod događaja: - pojavljivanja jednog proizvoda, - pojavljivanja drugog proizvoda.

Događaji čine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih nužno javlja u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za brodove. Mogu se smatrati tri događaja: - odsustvo plovila na vezovima, - prisustvo jednog plovila na jednom od vezova, - prisustvo dva plovila na dva veza. Ova tri događaja čine kompletnu grupu događaja.

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu.

Ako je jedan od događaja koji su suprotni označen sa , tada se suprotni događaj obično označava sa .

Klasične i statističke definicije vjerovatnoće događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Prema broju bodova na stranama može biti šest elementarnih ishoda.

Od elementarnih ishoda možete sastaviti složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je sa tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka događaja koji se razmatra je vjerovatnoća.

Dvije definicije vjerovatnoće događaja se najčešće koriste: klasična i statistički.

Klasična definicija vjerovatnoće povezana je sa pojmom povoljnog ishoda.

Egzodus se zove povoljno ovaj događaj, ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.

U datom primjeru, događaj koji se razmatra je paran broj bodova na oborenoj ivici, ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju, general
broj mogućih ishoda. Dakle, ovdje možete koristiti klasičnu definiciju vjerovatnoće događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda

gdje je vjerovatnoća događaja, broj povoljnih ishoda za događaj, ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se po formuli

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerovatnoća događaja je broj u odnosu na koji se relativna frekvencija stabilizuje (uspostavlja) uz neograničeno povećanje broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja uzima se kao vjerovatnoća događaja.

Iz ovih definicija vjerovatnoće događaja može se vidjeti da nejednakost uvijek vrijedi

Za određivanje vjerovatnoće događaja na osnovu formule (1.1), kombinatoričke formule se često koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.

• Vjerovatnoća - stepen (relativna mjera, kvantitativna procjena) mogućnosti nastanka nekog događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodi nadjačaju suprotne razloge, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim. Prevlast pozitivnih osnova nad negativnim, i obrnuto, može biti u različitom stepenu, zbog čega je vjerovatnoća (i nevjerovatnost) veća ili manja. Stoga se vjerovatnoća često procjenjuje na kvalitativnom nivou, posebno u slučajevima kada je manje ili više tačna kvantitativna procjena nemoguća ili izuzetno teška. Moguće su različite gradacije "nivoa" vjerovatnoće.

  Proučavanje vjerovatnoće sa matematičke tačke gledišta je posebna disciplina - teorija vjerovatnoće. U teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici, koncept vjerovatnoće je formaliziran kao numerička karakteristika događaja - mjera vjerovatnoće (ili njegova vrijednost) - mjera skupa događaja (podskupova skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti ​od

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Značenje

  (\displaystyle 1)

  Odgovara važećem događaju. Nemogući događaj ima vjerovatnoću 0 (obrnuto općenito nije uvijek tačno). Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi

  (\displaystyle p)

  Tada je vjerovatnoća da se ne pojavi jednaka

  (\displaystyle 1-p)

  Konkretno, vjerovatnoća

  (\displaystyle 1/2)

  Označava jednaku vjerovatnoću nastanka i nenastupanja događaja.

  Klasična definicija vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednake vjerovatnoće ishoda. Vjerovatnoća je omjer broja ishoda koji favorizuju dati događaj i ukupnog broja jednako vjerovatnih ishoda. Na primjer, vjerovatnoća dobijanja glave ili repa pri nasumičnom bacanju novčića je 1/2 ako se pretpostavi da će se pojaviti samo ove dvije mogućnosti i da su jednako vjerovatne. Ova klasična „definicija“ vjerovatnoće može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti – na primjer, ako se događaj može dogoditi s jednakom vjerovatnoćom u bilo kojoj tački (broj tačaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostor (ravan), tada je vjerovatnoća da će se to dogoditi u nekom dijelu ove dopuštene površine jednaka omjeru zapremine (površine) ovog dijela prema zapremini (površini) površine svih mogućih tačaka .

  Empirijska "definicija" vjerovatnoće se odnosi na učestalost pojave događaja, na osnovu činjenice da kod dovoljno velikog broja pokušaja učestalost treba težiti objektivnom stepenu mogućnosti ovog događaja. U savremenom prikazu teorije vjerovatnoće, vjerovatnoća se definira aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mjere skupa. Ipak, veza između apstraktne mjere i vjerovatnoće, koja izražava stepen mogućnosti nekog događaja, jeste upravo učestalost njegovog posmatranja.

  Probabilistički opis određenih pojava je postao široko rasprostranjen u savremenoj nauci, posebno u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sistema, gde je čak iu slučaju klasičnog determinističkog opisa kretanja čestica, deterministički opis čitavog sistema čestica nije praktično moguće i prikladno. U kvantnoj fizici, sami opisani procesi su vjerovatnoće prirode.

Malo je vjerovatno da mnogi ljudi razmišljaju o tome da li je moguće izračunati događaje koji su manje-više nasumični. Jednostavno rečeno, da li je realno znati koja će strana kockice sljedeća pasti. Upravo su to pitanje postavila dva velika naučnika, koji su postavili temelje za takvu nauku kao što je teorija vjerovatnoće, u kojoj se vjerovatnoća događaja prilično opširno proučava.

Porijeklo

Ako pokušate da definišete takav koncept kao teorija verovatnoće, dobijate sledeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava konstantnost slučajnih događaja. Naravno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu suštinu, pa ga je potrebno detaljnije razmotriti.

Želeo bih da počnem sa tvorcima teorije. Kao što je već spomenuto, bilo ih je dvoje, a upravo su oni među prvima pokušali izračunati ishod nekog događaja koristeći formule i matematičke proračune. U cjelini, počeci ove nauke javljaju se u srednjem vijeku. Tada su razni mislioci i naučnici pokušavali da analiziraju kockanje, kao što su rulet, kockice i tako dalje, utvrđujući tako obrazac i procenat ispadanja određenog broja. Temelj su postavili u sedamnaestom veku pomenuti naučnici.

U početku se njihov rad nije mogao pripisati velikim dostignućima u ovoj oblasti, jer su sve što su radili bile samo empirijske činjenice, a eksperimenti su rađeni vizualno, bez upotrebe formula. Vremenom se pokazalo da postiže odlične rezultate, koji su se pojavili kao rezultat posmatranja bacanja kocke. Upravo je ovaj alat pomogao da se izvuku prve razumljive formule.

Ljudi istomišljenika

Nemoguće je ne spomenuti takvu osobu kao što je Christian Huygens, u procesu proučavanja teme koja se zove "teorija vjerovatnoće" (vjerovatnoća događaja je pokrivena upravo u ovoj nauci). Ova osoba je veoma interesantna. On je, kao i gore predstavljeni naučnici, pokušao da izvede pravilnost slučajnih događaja u obliku matematičkih formula. Važno je napomenuti da on to nije radio zajedno sa Pascalom i Fermaom, odnosno da se sva njegova djela ni na koji način nisu ukrštala s tim umovima. Huygens je izveo

Zanimljiva je činjenica da je njegov rad izašao mnogo prije rezultata rada otkrivača, odnosno dvadeset godina ranije. Među naznačenim konceptima najpoznatiji su:

• koncept vjerovatnoće kao veličine slučaja;
• matematičko očekivanje za diskretne slučajeve;
• teoreme množenja i sabiranja vjerovatnoća.

Također je nemoguće ne sjetiti se ko je također dao značajan doprinos proučavanju problema. Provodeći sopstvene testove, nezavisno od bilo koga, uspeo je da predstavi dokaz zakona velikih brojeva. Zauzvrat, naučnici Poisson i Laplace, koji su radili na početku devetnaestog veka, uspeli su da dokažu originalne teoreme. Od tog trenutka se teorija vjerovatnoće počela koristiti za analizu grešaka u toku posmatranja. Ovu nauku nisu mogli zaobići ni ruski naučnici, odnosno Markov, Čebišev i Djapunov. Na osnovu rada velikih genija, fiksirali su ovaj predmet kao granu matematike. Ove ličnosti su delovale već krajem devetnaestog veka, a zahvaljujući njihovom doprinosu, pojavile su se pojave kao što su:

• zakon velikih brojeva;
• teorija Markovljevih lanaca;
• centralna granična teorema.

Dakle, sa istorijom rađanja nauke i sa glavnim ljudima koji su na nju uticali, sve je manje-više jasno. Sada je vrijeme da konkretiziramo sve činjenice.

Osnovni koncepti

Prije nego što se dotaknemo zakona i teorema, vrijedi proučiti osnovne koncepte teorije vjerovatnoće. Događaj u tome ima vodeću ulogu. Ova tema je prilično obimna, ali bez nje neće biti moguće razumjeti sve ostalo.

Događaj u teoriji vjerovatnoće je bilo koji skup ishoda eksperimenta. Nema toliko koncepata ovog fenomena. Dakle, naučnik Lotman, koji radi u ovoj oblasti, rekao je da u ovom slučaju govorimo o onome što se „dogodilo, iako se možda nije dogodilo“.

Slučajni događaji (teorija vjerovatnoće im posvećuje posebnu pažnju) je koncept koji podrazumijeva apsolutno svaki fenomen koji ima sposobnost da se dogodi. Ili, obrnuto, ovaj scenario se možda neće dogoditi kada su ispunjeni mnogi uslovi. Takođe je vredno znati da su slučajni događaji ti koji obuhvataju čitav opseg pojava koje su se dogodile. Teorija vjerovatnoće pokazuje da se svi uvjeti mogu stalno ponavljati. Upravo se njihovo ponašanje zvalo "eksperiment" ili "test".

Određeni događaj je onaj koji će se 100% dogoditi u datom testu. Prema tome, nemoguć događaj je onaj koji se neće dogoditi.

Kombinacija para radnji (uslovno slučaj A i slučaj B) je pojava koja se javlja istovremeno. Oni su označeni kao AB.

Zbir parova događaja A i B je C, drugim riječima, ako se dogodi barem jedan od njih (A ili B), onda će se dobiti C. Formula opisanog fenomena je napisana na sljedeći način: C \u003d A + B.

Disjunktni događaji u teoriji vjerovatnoće impliciraju da se ova dva slučaja međusobno isključuju. Nikada se ne mogu dogoditi u isto vrijeme. Zajednički događaji u teoriji vjerovatnoće su njihov antipod. Ovo implicira da ako se A dogodilo, onda to ni na koji način ne sprječava B.

Suprotni događaji (teorija vjerovatnoće ih se bavi vrlo detaljno) lako je razumjeti. Najbolje je pozabaviti se njima u poređenju. Oni su skoro isti kao nekompatibilni događaji u teoriji vjerovatnoće. Ali njihova razlika leži u činjenici da se jedan od mnogih fenomena u svakom slučaju mora dogoditi.

Jednako vjerovatni događaji su one radnje čija je mogućnost ponavljanja jednaka. Da bi bilo jasnije, možemo zamisliti bacanje novčića: gubitak jedne od njegovih strana jednako je vjerovatno da će ispasti s druge.

Povoljan događaj je lakše uočiti na primjeru. Recimo da postoje epizoda B i epizoda A. Prva je bacanje kockice sa pojavom neparnog broja, a druga je pojava broja pet na kockici. Tada se ispostavilo da A favorizuje B.

Nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće se projektuju samo na dva ili više slučajeva i podrazumijevaju neovisnost bilo koje akcije od drugog. Na primjer, A - ispuštanje repova prilikom bacanja novčića, i B - dobijanje džaka iz špila. Oni su nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće. U ovom trenutku je postalo jasnije.

Zavisni događaji u teoriji vjerovatnoće su također prihvatljivi samo za njihov skup. Oni podrazumijevaju ovisnost jednog od drugog, odnosno pojava B može nastati samo ako se A već dogodio ili se, naprotiv, nije dogodio kada je to glavni uvjet za B.

Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente su elementarni događaji. Teorija vjerovatnoće objašnjava da se radi o fenomenu koji se dogodio samo jednom.

Osnovne formule

Dakle, gore su razmotreni koncepti "događaja", "teorije vjerovatnoće", data je i definicija glavnih pojmova ove nauke. Sada je vrijeme da se direktno upoznate sa važnim formulama. Ovi izrazi matematički potvrđuju sve glavne koncepte u tako teškom predmetu kao što je teorija vjerojatnosti. Verovatnoća događaja takođe igra veliku ulogu.

Bolje je početi s glavnim, a prije nego što pređete na njih, vrijedi razmisliti o čemu se radi.

Kombinatorika je prvenstveno grana matematike, bavi se proučavanjem ogromnog broja cijelih brojeva, kao i raznim permutacijama kako samih brojeva tako i njihovih elemenata, raznih podataka itd., što dovodi do pojave niza kombinacija. Pored teorije vjerovatnoće, ova grana je važna za statistiku, računarstvo i kriptografiju.

Dakle, sada možete prijeći na prezentaciju samih formula i njihove definicije.

Prvi od njih će biti izraz za broj permutacija, izgleda ovako:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Jednačina se primjenjuje samo ako se elementi razlikuju samo po svom redoslijedu.

Sada će se uzeti u obzir formula plasmana, ona izgleda ovako:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ovaj izraz je primjenjiv ne samo na redoslijed elementa, već i na njegov sastav.

Treća jednačina iz kombinatorike, koja je ujedno i posljednja, zove se formula za broj kombinacija:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinacija se naziva selekcija koja nije naručena, odnosno, i ovo pravilo se primjenjuje na njih.

Pokazalo se da je lako shvatiti formule kombinatorike, sada možemo prijeći na klasičnu definiciju vjerovatnoća. Ovaj izraz izgleda ovako:

U ovoj formuli, m je broj uslova pogodnih za događaj A, a n je broj apsolutno svih jednako mogućih i elementarnih ishoda.

Postoji veliki broj izraza, članak neće obuhvatiti sve njih, ali će se dotaknuti najvažnijih od njih, kao što je, na primjer, vjerovatnoća zbira događaja:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ova teorema je za dodavanje samo nekompatibilnih događaja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a ovo je za dodavanje samo kompatibilnih.

Verovatnoća nastanka događaja:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ova teorema je za nezavisne događaje;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - a ovo je za zavisne osobe.

Formula događaja će završiti listu. Teorija vjerovatnoće nam govori o Bayesovoj teoremi, koja izgleda ovako:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

U ovoj formuli, H 1 , H 2 , …, H n je puna grupa hipoteza.

Primjeri

Ako pažljivo proučavate bilo koju granu matematike, ona nije potpuna bez vježbi i uzoraka rješenja. Isto tako i teorija vjerovatnoće: događaji, primjeri ovdje su sastavna komponenta koja potvrđuje naučne proračune.

Formula za broj permutacija

Recimo da ima trideset karata u špilu karata, počevši od jedne nominalne vrijednosti. Sljedeće pitanje. Koliko postoji načina da se špil složi tako da kartice nominalne vrijednosti jedan i dva ne budu jedna pored druge?

Zadatak je postavljen, a sada idemo na njegovo rješavanje. Prvo morate odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za to uzimamo gornju formulu, ispada P_30 = 30!.

Na osnovu ovog pravila saznat ćemo koliko postoji opcija za preklapanje špila na različite načine, ali od njih trebamo oduzeti one u kojima su prva i druga karta sljedeće. Da bismo to učinili, počnimo s opcijom kada je prva iznad druge. Ispostavilo se da prva karta može zauzeti dvadeset devet mjesta - od prve do dvadeset devete, a druga karta od druge do tridesete, ispada samo dvadeset devet mjesta za par karata. Zauzvrat, ostatak može zauzeti dvadeset osam mjesta, i to bilo kojim redoslijedom. To jest, za permutaciju od dvadeset osam karata, postoji dvadeset osam opcija P_28 = 28!

Kao rezultat, ispada da ako uzmemo u obzir rješenje kada je prva karta iznad druge, postoji 29 ⋅ 28 dodatnih mogućnosti! = 29!

Koristeći istu metodu, morate izračunati broj suvišnih opcija za slučaj kada je prva kartica ispod druge. Ispada i 29 ⋅ 28! = 29!

Iz ovoga proizilazi da postoji 2 ⋅ 29! dodatnih opcija, dok postoji 30 neophodnih načina za izgradnju špila! - 2 ⋅ 29!. Ostaje samo da se računa.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sada trebate pomnožiti sve brojeve od jedan do dvadeset devet među sobom, a zatim na kraju sve pomnožiti sa 28. Odgovor je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Primjer rješenja. Formula za broj plasmana

U ovom zadatku morate saznati na koliko načina postoji da se petnaest tomova stavi na jednu policu, ali pod uslovom da ima ukupno trideset tomova.

U ovom problemu rješenje je nešto jednostavnije nego u prethodnom. Koristeći već poznatu formulu, potrebno je izračunati ukupan broj aranžmana od trideset svezaka od petnaest.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 000

Odgovor će, respektivno, biti jednak 202.843.204.931.727.360.000.

Hajdemo sada da malo težimo zadatak. Morate saznati na koliko načina možete rasporediti trideset knjiga na dvije police za knjige, s tim da samo petnaest tomova može biti na jednoj polici.

Prije nego krenem s rješavanjem, želio bih pojasniti da se neki problemi rješavaju na više načina, tako da u ovom postoje dva načina, ali se u oba koristi ista formula.

U ovom zadatku možete preuzeti odgovor iz prethodnog, jer smo tamo izračunali koliko puta možete napuniti policu sa petnaest knjiga na različite načine. Ispostavilo se A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugu policu računamo prema formuli permutacije, jer je u nju smješteno petnaest knjiga, a ostalo je samo petnaest. Koristimo formulu P_15 = 15!.

Ispostavilo se da će ukupno biti A_30^15 ⋅ P_15 načina, ali, osim toga, proizvod svih brojeva od trideset do šesnaest morat će se pomnožiti s umnoškom brojeva od jedan do petnaest, kao rezultat toga, dobiće se proizvod svih brojeva od jedan do trideset, odnosno odgovor je 30!

Ali ovaj problem se može riješiti na drugačiji način - lakše. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedna polica za trideset knjiga. Svi su postavljeni na ovu ravan, ali pošto uvjet zahtijeva da postoje dvije police, jednu dugačku presiječemo na pola, ispada po dvije po petnaest. Iz ovoga se ispostavlja da opcije postavljanja mogu biti P_30 = 30!.

Primjer rješenja. Formula za kombinovani broj

Sada ćemo razmotriti varijantu trećeg problema iz kombinatorike. Morate saznati na koliko načina postoji da rasporedite petnaest knjiga, s tim da morate izabrati između trideset potpuno identičnih.

Za rješenje će se, naravno, primijeniti formula za broj kombinacija. Iz uslova postaje jasno da redosled identičnih petnaest knjiga nije važan. Stoga, u početku morate saznati ukupan broj kombinacija od trideset knjiga od petnaest.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : petnaest ! = 155 117 520

To je sve. Koristeći ovu formulu, u najkraćem mogućem roku bilo je moguće riješiti takav problem, odgovor je 155 117 520.

Primjer rješenja. Klasična definicija vjerovatnoće

Koristeći gornju formulu, možete pronaći odgovor u jednostavnom zadatku. Ali to će pomoći da se vizualno vidi i prati tijek radnji.

Problem je s obzirom da se u urni nalazi deset apsolutno identičnih loptica. Od toga, četiri su žute, a šest plave. Jedna lopta se uzima iz urne. Morate saznati vjerovatnoću da dobijete plavu boju.

Da bismo riješili problem, potrebno je naznačiti dobijanje plave lopte kao događaj A. Ovo iskustvo može imati deset ishoda, koji su, pak, elementarni i jednako vjerovatni. Istovremeno, šest od deset je povoljno za događaj A. Rješavamo pomoću formule:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Primjenom ove formule saznali smo da je vjerovatnoća da dobijemo plavu kuglu 0,6.

Primjer rješenja. Vjerovatnoća zbira događaja

Sada će biti predstavljena varijanta koja se rješava pomoću formule za vjerovatnoću zbira događaja. Dakle, pod uslovom da postoje dvije kutije, prva sadrži jednu sivu i pet bijelih loptica, a druga osam sivih i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, jedan od njih je uzet iz prve i druge kutije. Potrebno je saznati kolika je šansa da izvađene lopte budu sivo-bijele.

Za rješavanje ovog problema potrebno je označiti događaje.

• Dakle, A - uzmi sivu loptu iz prve kutije: P(A) = 1/6.
• A '- uzeli su bijelu loptu također iz prve kutije: P (A ") \u003d 5/6.
• B - već iz druge kutije je izvađena siva lopta: P(B) = 2/3.
• B' - uzeli su sivu loptu iz druge kutije: P(B") = 1/3.

Prema uslovu zadatka, potrebno je da se pojavi jedna od pojava: AB 'ili A'B. Koristeći formulu, dobijamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sada se koristi formula za množenje vjerovatnoće. Dalje, da biste saznali odgovor, morate primijeniti jednadžbu za njihovo sabiranje:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Dakle, koristeći formulu, možete riješiti slične probleme.

Ishod

Članak je pružio informacije o temi "Teorija vjerovatnoće", u kojoj vjerovatnoća događaja igra ključnu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali se, na osnovu prikazanog teksta, teoretski može upoznati sa ovim dijelom matematike. Nauka o kojoj je riječ može biti korisna ne samo u profesionalnom radu, već iu svakodnevnom životu. Uz njegovu pomoć možete izračunati svaku mogućnost bilo kojeg događaja.

Tekst se dotakao i značajnih datuma u istoriji formiranja teorije vjerovatnoće kao nauke, te imena ljudi čiji su radovi u nju uloženi. Tako je ljudska radoznalost dovela do činjenice da su ljudi naučili izračunati čak i slučajne događaje. Nekada ih je to samo zanimalo, a danas već svi znaju za to. I niko neće reći šta nas čeka u budućnosti, koja će još briljantna otkrića vezana za teoriju koja se razmatra biti napravljena. Ali jedno je sigurno - istraživanje ne stoji mirno!

U njegovom blogu, prijevod sljedećeg predavanja iz kursa "Principi ravnoteže igre" dizajnera igara Jana Schreibera, koji je radio na projektima kao što su Marvel Trading Card Game i Playboy: The Mansion.

Do danas je skoro sve o čemu smo pričali bilo determinističko, a prošle nedelje smo pobliže pogledali tranzitivnu mehaniku, razlažući je sa onoliko detalja koliko mogu da objasnim. Ali do sada nismo obraćali pažnju na druge aspekte mnogih igara, odnosno na nedeterminističke momente - drugim riječima, na slučajnost.

Razumijevanje prirode slučajnosti je veoma važno za dizajnere igara. Mi kreiramo sisteme koji utiču na korisničko iskustvo u datoj igri, tako da moramo znati kako ti sistemi rade. Ako postoji slučajnost u sistemu, moramo razumjeti prirodu te slučajnosti i znati kako je promijeniti da bismo dobili rezultate koji su nam potrebni.

Dice

Počnimo s nečim jednostavnim - bacanjem kockica. Kada većina ljudi pomisli na kocku, pomisli na kockicu sa šest strana poznata kao d6. Ali većina gejmera je videla mnogo drugih kockica: četvorostrane (d4), osmostrane (d8), dvanaestostrane (d12), dvadesetostrane (d20). Ako ste pravi štreber, možda imate negdje kockice od 30 ili 100 zrna.

Ako niste upoznati s ovom terminologijom, d označava kockicu, a broj iza nje je broj njegovih strana. Ako je broj ispred d, onda on označava broj kockica prilikom bacanja. Na primjer, u Monopolu bacate 2d6.

Dakle, u ovom slučaju, izraz "kocka" je konvencionalna oznaka. Postoji ogroman broj drugih generatora slučajnih brojeva koji ne izgledaju kao plastične figure, ali obavljaju istu funkciju - generiraju slučajni broj od 1 do n. Običan novčić se takođe može predstaviti kao diedral d2 kocka.

Vidio sam dva dizajna sedmostrane kocke: jedan je ličio na kocku, a drugi je više ličio na drvenu olovku sa sedam strana. Tetraedarski dreidel, također poznat kao titotum, analog je tetraedarske kosti. Ploča za igru ​​sa strelicom koja se okreće u Chutes & Ladders, gdje rezultat može biti od 1 do 6, odgovara kocku sa šest strana.

Generator slučajnih brojeva u računaru može generisati bilo koji broj od 1 do 19 ako dizajner da takvu naredbu, iako računar nema kockicu sa 19 strana (općenito, govorit ću više o vjerovatnoći dobijanja brojeva na kompjuter sledeće nedelje). Sve ove stavke izgledaju drugačije, ali u stvari su ekvivalentne: imate jednake šanse za svaki od nekoliko mogućih ishoda.

Kockice imaju neke zanimljive osobine o kojima moramo znati. Prvo, vjerovatnoća da dobijete bilo koje od lica je ista (pretpostavljam da bacate običnu geometrijsku kocku). Ako želite znati prosječnu vrijednost bacanja (poznato kao matematičko očekivanje onima koji vole teoriju vjerojatnosti), zbrojite vrijednosti ​​​na svim rubovima i podijelite ovaj broj sa brojem rubova.

Zbir vrijednosti svih lica za standardnu ​​šestostranu kockicu je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Podijelite 21 sa brojem lica i dobijete prosječnu vrijednost bacanja: 21 / 6 = 3,5. Ovo je poseban slučaj jer pretpostavljamo da su svi ishodi jednako vjerovatni.

Šta ako imate posebne kockice? Na primjer, vidio sam igru ​​sa šestostranom kockom sa posebnim naljepnicama na licima: 1, 1, 1, 2, 2, 3, tako da se ponaša kao čudna trostrana kocka, koja će vjerovatnije baciti broj 1 nego 2, i veća je vjerovatnoća da će baciti 2 nego 3. Koja je prosječna vrijednost bacanja za ovu kockicu? Dakle, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, podijelite sa 6 - dobijete 5/3, ili otprilike 1,66. Dakle, ako imate specijalnu kockicu i igrači bace tri kockice, a zatim zbrajaju rezultate, znate da će njihov ukupan broj biti oko 5, i možete uravnotežiti igru ​​na osnovu te pretpostavke.

Kockice i nezavisnost

Kao što sam već rekao, polazimo od pretpostavke da je ispadanje svakog lica jednako vjerovatno. Nije važno koliko kockica bacite ovdje. Svako bacanje kockice je nezavisno, što znači da prethodna bacanja ne utiču na rezultate narednih bacanja. Uz dovoljno pokušaja, sigurno ćete primijetiti niz brojeva - na primjer, bacanje uglavnom viših ili nižih vrijednosti - ili drugih karakteristika, ali to ne znači da su kockice "vruće" ili "hladne". Pričaćemo o ovome kasnije.

Ako bacite standardnu ​​šestostranu kockicu i broj 6 se pojavi dva puta zaredom, vjerovatnoća da će rezultat sljedećeg bacanja biti 6 je također 1/6. Vjerovatnoća se ne povećava jer se kockica "zagrijala" ". Istovremeno, vjerovatnoća se ne smanjuje: netačno je tvrditi da je broj 6 već ispao dvaput zaredom, što znači da sada drugo lice mora ispasti.

Naravno, ako bacite kockicu dvadeset puta i svaki put se pojavi broj 6, šansa da se 6 pojavi dvadeset i prvi put je prilično velika: možda imate pogrešnu kockicu. Ali ako je kocka ispravna, vjerovatnoća da se dobije svako lice je ista, bez obzira na rezultate drugih bacanja. Također možete zamisliti da svaki put mijenjamo kockicu: ako se broj 6 baci dvaput zaredom, uklonite „vruću“ kockicu iz igre i zamijenite je novom. Žao mi je ako je neko od vas već znao za ovo, ali morao sam ovo da razjasnim pre nego što nastavim dalje.

Kako napraviti manje ili više nasumično bacanje kockica

Razgovarajmo o tome kako postići različite rezultate na različitim kockicama. Ako kockicu bacite samo jednom ili nekoliko puta, igra će izgledati nasumičnije kada kockica ima više rubova. Što češće bacate kockice i što više kockica bacate, rezultati se više približavaju prosjeku.

Na primjer, u slučaju 1d6 + 4 (to jest, ako jednom bacite standardni šestostrani kockicu i rezultatu dodate 4), prosjek će biti broj između 5 i 10. Ako bacite 5d2, prosjek također će biti broj između 5 i 10. Rezultat bacanja 5d2 uglavnom će biti brojevi 7 i 8, rjeđe druge vrijednosti. Ista serija, čak ista prosječna vrijednost (7,5 u oba slučaja), ali je priroda slučajnosti drugačija.

Sačekaj minutu. Nisam li upravo rekao da se kockice ne "zagrevaju" niti "hlade"? A sada kažem: ako bacite mnogo kockica, rezultati bacanja su bliži prosječnoj vrijednosti. Zašto?

Dopusti mi da objasnim. Ako bacite samo jednu kockicu, vjerovatnoća da će se svako lice pojaviti je ista. To znači da ako bacate mnogo kockica tokom vremena, svako lice će se pojaviti otprilike isti broj puta. Što više kockica bacite, to će se ukupan rezultat više približiti prosjeku.

To nije zato što ubačeni broj "uzrokuje" bacanje drugog broja koji još nije ubačen. Jer mali niz bacanja broja 6 (ili 20, ili bilo šta drugo) neće napraviti veliku razliku na kraju ako bacite kockicu još deset hiljada puta i to je uglavnom prosjek. Sada ćete imati nekoliko velikih brojeva, a kasnije nekoliko malih - i vremenom će se približiti prosječnoj vrijednosti.

To nije zato što prethodna bacanja utiču na kockice (ozbiljno, kockica je napravljena od plastike, nema mozga da pomisli, "Oh, prošlo je mnogo vremena od kada se pojavila 2"), već zato što se to obično dešava sa puno bacanja.igranje kockica.

Tako da je prilično lako izračunati za jedno nasumično bacanje kockice - barem izračunajte prosječnu vrijednost bacanja. Postoje i načini da izračunate "koliko je nešto slučajno" i kažete da će rezultati bacanja 1d6 + 4 biti "nasumičniji" od 5d2. Za 5d2, valjani rezultati će biti raspoređeni ravnomjernije. Da biste to učinili, morate izračunati standardnu ​​devijaciju: što je veća vrijednost, to će rezultati biti nasumičniji. Ne bih da danas iznosim toliko kalkulacija, kasnije ću objasniti ovu temu.

Jedina stvar koju ću vas zamoliti da zapamtite je da, kao opšte pravilo, što manje kockica bacite, to je više nasumično. A što više strana ima kocka, to je više slučajnosti, jer postoji više mogućih opcija za vrijednost.

Kako izračunati vjerovatnoću pomoću brojanja

Možda se pitate: kako možemo izračunati tačnu vjerovatnoću da će se određeni rezultat pojaviti? U stvari, ovo je veoma važno za mnoge igre: ako u početku bacite kocku, vjerovatno će doći do nekog optimalnog ishoda. Odgovor je: moramo izračunati dvije vrijednosti. Prvo, ukupan broj ishoda pri bacanju kocke, a drugo, broj povoljnih ishoda. Ako drugu vrijednost podijelite s prvom, dobijate željenu vjerovatnoću. Da biste dobili postotak, pomnožite rezultat sa 100.

Primjeri

Evo vrlo jednostavnog primjera. Želite baciti 4 ili više i baciti šestostrani kockicu jednom. Maksimalan broj ishoda je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Od toga su 3 ishoda (4, 5, 6) povoljna. Dakle, da bismo izračunali vjerovatnoću, podijelimo 3 sa 6 i dobijemo 0,5 ili 50%.

Evo primjera koji je malo komplikovaniji. Želite da bacanje 2d6 dobije paran broj. Maksimalan broj ishoda je 36 (6 opcija za svaku kockicu, jedna kocka ne utiče na drugu, tako da pomnožimo 6 sa 6 i dobijemo 36). Poteškoća s ovom vrstom pitanja je u tome što je lako dvaput prebrojati. Na primjer, pri bacanju 2d6, dva su moguća ishoda 3: 1+2 i 2+1. Izgledaju isto, ali razlika je u tome koji je broj prikazan na prvoj kocki, a koji na drugoj.

Također možete zamisliti da su kockice različitih boja: tako, na primjer, u ovom slučaju, jedna kockica je crvena, druga plava. Zatim prebrojite broj mogućih pojavljivanja parnog broja:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ispostavilo se da postoji 18 opcija za povoljan ishod od 36 - kao iu prethodnom slučaju, vjerovatnoća je 0,5 ili 50%. Možda neočekivano, ali prilično tačno.

Monte Carlo simulacija

Šta ako imate previše kockica za ovu kalkulaciju? Na primjer, želite znati koja je vjerovatnoća da će ukupno 15 ili više doći na bacanje 8d6. Postoji ogroman broj različitih ishoda za osam kockica, a njihovo ručno brojanje bi potrajalo jako dugo - čak i kada bismo mogli pronaći neko dobro rješenje za grupiranje različitih serija bacanja kockica.

U ovom slučaju, najlakši način je da ne računate ručno, već da koristite računar. Postoje dva načina izračunavanja vjerovatnoće na računaru. Prvi način može dobiti tačan odgovor, ali uključuje malo programiranja ili skriptiranja. Računar će pogledati svaku mogućnost, procijeniti i izbrojati ukupan broj iteracija i broj ponavljanja koje odgovaraju željenom rezultatu, a zatim će dati odgovore. Vaš kod bi mogao izgledati otprilike ovako:

Ako niste programer i želite približan odgovor umjesto tačnog, ovu situaciju možete simulirati u Excelu, gdje bacite 8d6 nekoliko hiljada puta i dobijete odgovor. Za roll 1d6 u Excelu koristite formulu =FLOOR(RAND()*6)+1.

Postoji naziv za situaciju kada ne znate odgovor i samo pokušavate mnogo puta - Monte Carlo simulacija. Ovo je odlično rješenje na koje se možete vratiti kada je preteško izračunati vjerovatnoću. Odlična stvar je što u ovom slučaju ne moramo razumjeti kako matematika funkcionira, a znamo da će odgovor biti "prilično dobar", jer, kao što već znamo, što više bacanja, to se rezultat više približava prosječna vrijednost.

Kako kombinovati nezavisna ispitivanja

Ako pitate o višestrukim ponovljenim, ali nezavisnim pokušajima, onda ishod jednog bacanja ne utječe na ishod drugih bacanja. Postoji još jedno jednostavnije objašnjenje za ovu situaciju.

Kako razlikovati nešto zavisno i nezavisno? U principu, ako možete izolovati svako bacanje (ili niz bacanja) kocke kao poseban događaj, onda je to nezavisno. Na primjer, bacamo 8d6 i želimo baciti ukupno 15. Ovaj događaj se ne može podijeliti na nekoliko neovisnih bacanja kockica. Da biste dobili rezultat, izračunate zbir svih vrijednosti, tako da rezultat bačen na jednoj kockici utječe na rezultate koji bi trebali baciti na druge.

Evo primjera nezavisnog bacanja: igrate igru ​​kockica i bacate šestostrane kockice nekoliko puta. Prvo bacanje mora baciti 2 ili više da biste ostali u igri. Za drugu rolnu - 3 ili više. Treća zahtijeva 4 ili više, četvrta 5 ili više, a peta 6. Ako je svih pet bacanja uspješnih, pobjeđujete. U ovom slučaju, sva bacanja su nezavisna. Da, ako jedno bacanje ne uspije, to će utjecati na ishod cijele igre, ali jedno bacanje ne utječe na drugo. Na primjer, ako je vaše drugo bacanje kockica jako dobro, to ne znači da će sljedeće bacanje biti jednako dobro. Stoga možemo razmotriti vjerovatnoću svakog bacanja kocke posebno.

Ako imate nezavisne vjerovatnoće i želite da znate kolika je vjerovatnoća da će se svi događaji dogoditi, odredite svaku pojedinačnu vjerovatnoću i pomnožite ih. Drugi način: ako koristite veznik “i” da opišete nekoliko uslova (na primjer, kolika je vjerovatnoća da će se dogoditi neki slučajni događaj i neki drugi nezavisni slučajni događaj?) – izračunajte pojedinačne vjerovatnoće i pomnožite ih.

Nije važno šta mislite - nikada ne sabirajte nezavisne verovatnoće. Ovo je uobičajena greška. Da biste razumjeli zašto je to pogrešno, zamislite situaciju u kojoj bacate novčić i želite znati kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu dvaput zaredom. Verovatnoća ispadanja sa svake strane je 50%. Ako zbrojite ove dvije vjerovatnoće, dobijate 100% šanse da dobijete glave, ali znamo da to nije istina, jer bi se mogla pojaviti dva uzastopna repa. Ako umjesto toga pomnožite dvije vjerovatnoće, dobićete 50% * 50% = 25% - što je tačan odgovor za izračunavanje vjerovatnoće da dobijete glave dva puta zaredom.

Primjer

Vratimo se igri šestostranih kockica, gdje prvo treba baciti broj veći od 2, pa više od 3 - i tako dalje do 6. Koje su šanse da u datoj seriji od pet bacanja svi da li će ishodi biti povoljni?

Kao što je već spomenuto, ovo su nezavisna ispitivanja, tako da izračunavamo vjerovatnoću za svako pojedinačno bacanje, a zatim ih množimo. Verovatnoća da će ishod prvog bacanja biti povoljan je 5/6. Drugi - 4/6. Treći - 3/6. Četvrti - 2/6, peti - 1/6. Sve rezultate množimo jedni s drugima i dobijemo oko 1,5%. Pobjede u ovoj igri su prilično rijetke, tako da ako dodate ovaj element svojoj igri, trebat će vam prilično veliki džekpot.

Negacija

Evo još jednog korisnog savjeta: ponekad je teško izračunati vjerovatnoću da će se događaj dogoditi, ali je lakše odrediti šanse da se događaj neće dogoditi. Na primjer, pretpostavimo da imamo drugu igru: bacate 6d6 i pobjeđujete ako barem jednom bacite 6. Kolika je vjerovatnoća pobjede?

U ovom slučaju postoji mnogo opcija koje treba razmotriti. Moguće je da će jedan broj 6 ispasti, odnosno broj 6 će pasti na jednu od kockica, a brojevi od 1 do 5 pasti na ostale, tada postoji 6 opcija koja će od kockica imati a 6. Možete dobiti broj 6 na dvije kockice, ili tri, ili čak i više, i svaki put ćete morati napraviti poseban proračun, tako da se ovdje lako možete zbuniti.

Ali pogledajmo problem s druge strane. Gubite ako nijedna kocka ne baci 6. U ovom slučaju imamo 6 nezavisnih pokušaja. Vjerovatnoća da će svaka kockica baciti broj koji nije 6 je 5/6. Pomnožite ih - i dobijete oko 33%. Dakle, vjerovatnoća gubitka je jedan prema tri. Stoga je vjerovatnoća pobjede 67% (ili dva do tri).

Iz ovog primjera je očito da ako izračunavate vjerovatnoću da se događaj neće dogoditi, trebate oduzeti rezultat od 100%. Ako je vjerovatnoća pobjede 67%, onda je vjerovatnoća gubitka 100% minus 67%, odnosno 33%, i obrnuto. Ako je teško izračunati jednu vjerovatnoću, ali je lako izračunati suprotnu, izračunajte suprotnu, a zatim oduzmite ovaj broj od 100%.

Uslovi povezivanja za jedan nezavisni test

Rekao sam malo ranije da nikada ne treba zbrajati vjerovatnoće u nezavisnim ispitivanjima. Postoje li slučajevi u kojima je moguće sabrati vjerovatnoće? Da, u jednoj konkretnoj situaciji.

Ako želite da izračunate vjerovatnoću više nepovezanih povoljnih ishoda u istom ispitivanju, zbrojite vjerovatnoće svakog povoljnog ishoda. Na primjer, vjerovatnoća bacanja 4, 5 ili 6 na 1d6 jednaka je zbiru vjerovatnoće bacanja 4, vjerovatnoće bacanja 5 i vjerovatnoće bacanja 6. Ova situacija se može predstaviti na sljedeći način: ako koristite veznik "ili" u pitanju o vjerovatnoći (na primjer, kolika je vjerovatnoća jednog ili drugog ishoda jednog slučajnog događaja?) - izračunajte pojedinačne vjerovatnoće i zbrojite ih.

Imajte na umu: kada izračunate sve moguće ishode igre, zbir vjerovatnoća njihovog nastupa mora biti jednak 100%, inače je vaš proračun pogrešno napravljen. Ovo je dobar način da provjerite svoje proračune. Na primjer, analizirali ste vjerovatnoću da dobijete sve kombinacije u pokeru. Ako zbrojite sve rezultate koje dobijete, trebali biste dobiti točno 100% (ili barem vrijednost prilično blizu 100%: ako koristite kalkulator, može doći do male greške zaokruživanja, ali ako zbrajate tačne brojke rukom, sve bi trebalo da se zbroji. ). Ako se zbir ne zbroji, onda najvjerovatnije niste uzeli u obzir neke kombinacije ili ste pogrešno izračunali vjerovatnoće nekih kombinacija, te je potrebno izračune ponovo provjeriti.

Nejednake vjerovatnoće

Do sada smo pretpostavljali da svako lice matrice ispada na istoj frekvenciji, jer matrica tako funkcionira. Ali ponekad se možete susresti sa situacijom u kojoj su mogući različiti ishodi i različite šanse za ispad.

Na primjer, u jednom od dodataka kartaškoj igri Nuclear War nalazi se polje za igru ​​sa strelicom, koja određuje rezultat lansiranja rakete. Najčešće nanosi normalnu štetu, veću ili manju, ali ponekad se šteta udvostruči ili utrostruči, ili raketa eksplodira na lansirnoj rampi i naudi vam, ili se dogodi neki drugi događaj. Za razliku od table sa strelicama u Chutes & Ladders ili A Game of Life, rezultati table u Nuklearnom ratu nisu jednako vjerovatni. Neki dijelovi igrališta su veći i strelica se na njima zaustavlja mnogo češće, dok su drugi dijelovi vrlo mali i strelica se na njima rijetko zaustavlja.

Dakle, na prvi pogled kost izgleda otprilike ovako: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - već smo pričali o tome, to je nešto poput ponderisanog 1d3. Dakle, sve ove isječke treba podijeliti na jednake dijelove, pronaći najmanju jedinicu mjere, djelitelj, kojoj je sve višestruko, a zatim prikazati situaciju u obliku d522 (ili nekom drugom), gdje je skup kockica lica će predstavljati istu situaciju, ali sa više ishoda. Ovo je jedan od načina rješavanja problema, i tehnički je izvodljiv, ali postoji lakša opcija.

Vratimo se na naše standardne šestostrane kocke. Rekli smo da da biste izračunali prosječnu vrijednost bacanja za normalnu kocku, trebate zbrojiti vrijednosti svih lica i podijeliti ih brojem lica, ali kako se točno vrši izračun? Možete to izraziti drugačije. Za kocku sa šest strana, vjerovatnoća da će se svako lice pojaviti je tačno 1/6. Sada pomnožimo ishod svake aspekte sa vjerovatnoćom tog ishoda (u ovom slučaju 1/6 za svaki aspekt), a zatim zbrojimo rezultirajuće vrijednosti. Dakle, zbrajanje (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), dobijamo isti rezultat (3.5) kao u prethodnom proračunu. Zapravo, izračunavamo ovo svaki put: svaki ishod množimo vjerovatnoćom tog ishoda.

Možemo li napraviti isti proračun za strelicu na tabli za igru ​​u Nuklearnom ratu? Naravno da možemo. A ako zbrojimo sve pronađene rezultate, dobićemo prosječnu vrijednost. Sve što treba da uradimo je da izračunamo verovatnoću svakog ishoda za strelicu na polju za igru ​​i pomnožimo sa vrednošću ishoda.

Još jedan primjer

Pomenuti način izračunavanja prosjeka je također prikladan ako su rezultati jednako vjerovatni, ali imaju različite prednosti - na primjer, ako bacite kockicu i dobijete više na nekim licima od drugih. Na primjer, uzmimo igru ​​koja se dešava u kazinu: stavite opkladu i bacate 2d6. Ako se pojave tri broja male vrijednosti (2, 3, 4) ili četiri velike vrijednosti (9, 10, 11, 12), dobit ćete iznos jednak vašoj opkladi. Brojevi s najnižom i najvećom vrijednošću su posebni: ako dođe do 2 ili 12, dobit ćete dvostruko više od vaše opklade. Ako se pojavi bilo koji drugi broj (5, 6, 7, 8), izgubit ćete opkladu. Ovo je prilično jednostavna igra. Ali kolika je vjerovatnoća pobjede?

Počnimo s brojanjem koliko puta možete pobijediti. Maksimalan broj ishoda na bacanju 2d6 je 36. Koliki je broj povoljnih ishoda?

• Postoji 1 opcija koja baca 2 i 1 opcija koja baca 12.
• Postoje 2 opcije za 3 i 2 opcije za 11.
• Postoje 3 opcije za 4 i 3 opcije za 10.
• Postoje 4 opcije koje bacaju 9.

Sumirajući sve opcije, dobijamo 16 povoljnih ishoda od 36. Dakle, u normalnim uslovima ćete pobediti 16 puta od 36 mogućih - verovatnoća pobede je nešto manja od 50%.

Ali dva puta od tih šesnaest dobit ćete duplo više - to je kao da dobijete dva puta. Ako igrate ovu igru ​​36 puta, kladeći se svaki put po 1$, a svaki od svih mogućih ishoda dođe jednom, osvajate ukupno 18$ (u stvari pobjeđujete 16 puta, ali dva se računaju kao dvije pobjede). ). Ako igrate 36 puta i osvojite 18 dolara, ne znači li to da su vjerovatnoće jednake?

Uzmi si vremena. Ako izbrojite koliko puta možete izgubiti, dobijate 20, a ne 18. Ako igrate 36 puta, kladeći se svaki put od 1$, dobit ćete ukupno 18$ kada se sve kvote ispadnu. Ali izgubit ćete ukupno 20 dolara na svih 20 loših ishoda. Kao rezultat toga, malo ćete zaostati: gubite u prosjeku 2 USD neto na svakih 36 utakmica (možete reći i da gubite u prosjeku 1/18 USD dnevno). Sada vidite kako je lako pogriješiti u ovom slučaju i pogrešno izračunati vjerovatnoću.

permutacija

Do sada smo pretpostavljali da redosled kojim se brojevi bacaju nije bitan prilikom bacanja kockica. Bacanje 2 + 4 je isto kao i bacanje 4 + 2. U većini slučajeva ručno brojimo broj povoljnih ishoda, ali ponekad je ova metoda nepraktična i bolje je koristiti matematičku formulu.

Primjer ove situacije je iz igre s kockicama Farkle. Za svaku novu rundu bacate 6d6. Ako imate sreće i ispadnu svi mogući ishodi 1-2-3-4-5-6 (Straight), dobit ćete veliki bonus. Kolika je vjerovatnoća da će se to dogoditi? U ovom slučaju postoji mnogo opcija za gubitak ove kombinacije.

Rješenje je sljedeće: na jednoj od kockica (i samo na jednoj) treba da ispadne broj 1. Koliko opcija da broj 1 ispadne na jednoj kocki? Postoji 6 opcija, pošto ima 6 kockica, a broj 1 može pasti na bilo koju od njih. Prema tome, uzmite jednu kocku i ostavite je sa strane. Sada bi na jednu od preostalih kockica trebao pasti broj 2. Za to postoji 5 opcija. Uzmite još jednu kocku i ostavite je sa strane. Tada 4 preostale kockice mogu pasti na 3, 3 preostale kockice mogu pasti na 4, a 2 preostale kockice mogu pasti na 5. Kao rezultat, ostaje vam jedna kocka na kojoj je broj 6 bi trebalo da padne (u ovom drugom slučaju, kocka je samo jedna kost i nema izbora).

Da bismo izbrojali broj povoljnih ishoda za direktnu kombinaciju, množimo sve različite nezavisne opcije: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - čini se da postoji prilično veliki broj opcija za da se pojavi ova kombinacija.

Da bismo izračunali vjerovatnoću dobivanja prave kombinacije, trebamo podijeliti 720 sa brojem svih mogućih ishoda za bacanje 6d6. Koliki je broj svih mogućih ishoda? Svaka kocka može baciti 6 lica, tako da množimo 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (mnogo veći broj od prethodnog). Podijelimo 720 sa 46656 i dobijemo vjerovatnoću jednaku oko 1,5%. Ako ste dizajnirali ovu igru, bilo bi korisno da to znate kako biste mogli kreirati odgovarajući sistem bodovanja. Sada razumijemo zašto u Farkleu dobijate tako veliki bonus ako pogodite direktnu kombinaciju: ova situacija je prilično rijetka.

Rezultat je zanimljiv i iz još jednog razloga. Primjer pokazuje kako rijetko u kratkom periodu ispadne rezultat koji odgovara vjerovatnoći. Naravno, ako bismo bacili nekoliko hiljada kockica, različite strane kockice bi se često pojavile. Ali kada bacimo samo šest kockica, gotovo se nikada ne dogodi da se svaka kockica ispadne. Postaje jasno da je suludo očekivati ​​da će sada ispasti lice koje još nije bilo, jer "broj 6 odavno nismo izbacili". Vidi, tvoj generator slučajnih brojeva je pokvaren.

Ovo nas dovodi do uobičajene zablude da se svi ishodi javljaju istom brzinom u kratkom vremenskom periodu. Ako bacimo kocku nekoliko puta, učestalost svakog od lica neće biti ista.

Ako ste ikada ranije radili na online igrici sa nekom vrstom generatora slučajnih brojeva, onda ste najvjerovatnije naišli na situaciju da igrač piše tehničkoj podršci sa pritužbom da generator slučajnih brojeva ne prikazuje slučajne brojeve. Do ovog zaključka je došao jer je ubio 4 čudovišta zaredom i dobio 4 potpuno iste nagrade, a ove nagrade bi trebale pasti samo 10% vremena, tako da se to očigledno gotovo nikada ne bi smjelo dogoditi.

Radiš matematiku. Vjerovatnoća je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, odnosno 1 ishod od 10 hiljada je prilično rijedak slučaj. To je ono što igrač pokušava da vam kaže. Postoji li problem u ovom slučaju?

Sve zavisi od okolnosti. Koliko igrača je sada na vašem serveru? Pretpostavimo da imate prilično popularnu igru ​​i svaki dan je igra 100.000 ljudi. Koliko igrača će ubiti četiri čudovišta zaredom? Vjerovatno sve, nekoliko puta dnevno, ali pretpostavimo da polovina njih samo trguje različitim predmetima na aukcijama, ćaska na RP serverima ili se bavi drugim igrama - dakle samo polovina njih lovi čudovišta. Kolika je vjerovatnoća da će neko dobiti istu nagradu? U ovoj situaciji možete očekivati ​​da će se to dogoditi barem nekoliko puta dnevno.

Uzgred, zato se čini da svakih nekoliko sedmica neko dobije na lutriji, čak i ako to nikada niste bili vi ili neko koga poznajete. Ako dovoljno ljudi igra redovno, velike su šanse da će negdje biti barem jedan sretnik. Ali ako sami igrate lutriju, malo je vjerovatno da ćete dobiti, veća je vjerovatnoća da ćete biti pozvani da radite u Infinity Wardu.

Mape i ovisnost

Razgovarali smo o nezavisnim događajima, kao što je bacanje kocke, a sada znamo mnogo moćnih alata za analizu slučajnosti u mnogim igrama. Proračun vjerovatnoće je malo složeniji kada je u pitanju izvlačenje karata iz špila, jer svaka karta koju izvadimo utiče na one koje ostanu u špilu.

Ako imate standardni špil od 52 karte, izvučete 10 srca iz njega i želite da znate vjerovatnoću da će sljedeća karta biti iste boje - vjerovatnoća se promijenila u odnosu na original jer ste već uklonili jednu srčanu kartu iz paluba. Svaka karta koju uklonite mijenja vjerovatnoću da se sljedeća karta pojavi u špilu. U ovom slučaju, prethodni događaj utječe na sljedeći, pa ga nazivamo zavisnim od vjerovatnoće.

Imajte na umu da kada kažem "karte" mislim na bilo koju mehaničku igru ​​koja ima skup objekata i vi uklonite jedan od objekata bez da ga zamijenite. “Špil karata” je u ovom slučaju analogan vreći čipsa iz koje se vadi jedan žeton, ili urni iz koje se vade šarene kuglice (nikada nisam vidio igre sa urnom iz koje bi se vadile šarene kuglice van, ali nastavnici teorije vjerovatnoće o čemu je iz nekog razloga ovaj primjer poželjniji).

Svojstva zavisnosti

Želeo bih da pojasnim da kada su u pitanju karte, pretpostavljam da izvlačite karte, gledate ih i vadite iz špila. Svaka od ovih radnji je važno svojstvo. Kad bih imao špil od, recimo, šest karata numeriranih od 1 do 6, promiješao bih ih i izvukao jednu kartu, a zatim ponovo promiješao svih šest karata - ovo bi bilo slično bacanju šestostrane kocke, jer jedan rezultat nema utječe ovdje za sljedeće. A ako izvučem karte i ne zamijenim ih, onda izvlačenjem 1 karte povećavam vjerovatnoću da sljedeći put izvučem kartu sa brojem 6. Vjerovatnoća će se povećavati dok na kraju ne izvučem ovu kartu ili promiješam špil.

Važna je i činjenica da gledamo karte. Ako izvadim kartu iz špila i ne pogledam je, neću imati dodatne informacije i zapravo se vjerovatnoća neće promijeniti. Ovo može zvučati nelogično. Kako jednostavno okretanje karte magično može promijeniti šanse? Ali to je moguće jer možete izračunati vjerovatnoću za nepoznate stavke samo na osnovu onoga što znate.

Na primjer, ako promiješate standardni špil karata, otkrijete 51 kartu i nijedna od njih nije kraljica trefa, onda možete biti 100% sigurni da je preostala karta kraljica trefa. Ako promiješate standardni špil karata i izvučete 51 kartu ne gledajući ih, tada je vjerovatnoća da je preostala karta kraljica trefa i dalje 1/52. Kako otvarate svaku karticu, dobijate više informacija.

Izračunavanje vjerovatnoće za zavisne događaje slijedi iste principe kao i za nezavisne događaje, osim što je malo komplikovanije, jer se vjerovatnoće mijenjaju kada otkrijete karte. Dakle, trebate pomnožiti mnogo različitih vrijednosti, umjesto da množite istu vrijednost. U stvari, to znači da moramo spojiti sve proračune koje smo uradili u jednu kombinaciju.

Primjer

Promiješate standardni špil od 52 karte i izvučete dvije karte. Kolika je vjerovatnoća da ćete izvaditi par? Postoji nekoliko načina da se izračuna ova vjerovatnoća, ali je možda najjednostavniji sljedeći: kolika je vjerovatnoća da nakon izvlačenja jedne karte nećete moći izvući par? Ova vjerovatnoća je nula, tako da nije bitno koju ćete prvu kartu izvući, sve dok se poklapa s drugom. Nije bitno koju kartu prvo izvučemo, još uvijek imamo priliku izvući par. Stoga je vjerovatnoća vađenja para nakon vađenja prve kartice 100%.

Kolika je vjerovatnoća da će druga karta odgovarati prvoj? U špilu je ostala 51 karta, a 3 od njih odgovaraju prvoj karti (zapravo bi bilo 4 od 52, ali ste već uklonili jednu od odgovarajućih karata kada ste izvukli prvu kartu), tako da je vjerovatnoća 1/ 17. Dakle, sledeći put kada momak preko puta vas za stolom igra Texas Hold'em, on kaže: „Kul, još jedan par? Danas imam sreće“, znaćete da sa velikom verovatnoćom blefira.

Šta ako dodamo dva džokera, tako da imamo 54 karte u špilu i želimo da znamo kolika je verovatnoća da izvučemo par? Prva karta može biti džoker, a onda će u špilu biti samo jedna karta koja odgovara, a ne tri. Kako pronaći vjerovatnoću u ovom slučaju? Dijelimo vjerovatnoće i množimo svaku mogućnost.

Naša prva karta može biti džoker ili neka druga karta. Verovatnoća izvlačenja džokera je 2/54, verovatnoća da se izvuče neka druga karta je 52/54. Ako je prva karta džoker (2/54), onda je vjerovatnoća da će druga karta odgovarati prvoj iznosi 1/53. Pomnožimo vrijednosti (možemo ih pomnožiti jer su to odvojeni događaji i želimo da se oba događaja dese) i dobijemo 1/1431 - manje od jedne desetine procenta.

Ako prvo izvučete neku drugu kartu (52/54), vjerovatnoća da se poklapa druga karta je 3/53. Pomnožimo vrijednosti ​​i dobijemo 78/1431 (nešto više od 5,5%). Šta da radimo sa ova dva rezultata? One se ne seku, a mi želimo da znamo verovatnoću svakog od njih, pa sumiramo vrednosti. Dobijamo konačni rezultat 79/1431 (još uvijek oko 5,5%).

Ako želimo biti sigurni u tačnost odgovora, mogli bismo izračunati vjerovatnoću svih drugih mogućih ishoda: izvlačenje džokera i nepoklapanje druge karte ili izvlačenje neke druge karte i nepoklapanje druge karte. Sumirajući ove vjerovatnoće i vjerovatnoću pobjede, dobili bismo tačno 100%. Ovdje neću iznositi matematiku, ali možete pokušati s matematikom da provjerite.

Paradoks Monty Halla

Ovo nas dovodi do prilično dobro poznatog paradoksa koji mnoge zbunjuje, Monty Hall paradoksa. Paradoks je dobio ime po voditelju TV emisije Hajde da se dogovorimo, a za one koji ovu TV emisiju nikada nisu gledali reći ću da je to bilo suprotno od Cijena je prava.

U The Price Is Right, domaćin (ranije ga je vodio Bob Barker, a sada Drew Carey? Nema veze) je vaš prijatelj. On želi da osvojite novac ili cool nagrade. Pokušava vam pružiti svaku priliku za pobjedu, sve dok možete pogoditi koliko sponzorirani predmeti zapravo vrijede.

Monty Hall se ponašao drugačije. Bio je kao zli blizanac Boba Barkera. Njegov cilj je bio da izgledaš kao idiot na nacionalnoj televiziji. Ako ste bili u emisiji, on je bio vaš protivnik, igrali ste protiv njega i šanse su bile u njegovu korist. Možda sam previše oštar, ali gledajući emisiju u koju ćete vjerovatnije ući ako nosite smiješan kostim, upravo na to dolazim.

Jedan od najpoznatijih memova emisije bio je ovaj: ispred vas su troja vrata, vrata broj 1, vrata broj 2 i vrata broj 3. Jedna vrata možete izabrati besplatno. Iza jednog od njih je veličanstvena nagrada - na primjer, novi automobil. Iza druga dva vrata nema nagrada, obje nemaju vrijednost. Oni bi trebali da te ponize, pa iza njih nije ništa, već nešto glupo, na primjer, koza ili ogromna tuba paste za zube - sve samo ne novi auto.

Odabereš jedna od vrata, Monty će ih otvoriti kako bi ti rekao da li si pobijedio ili ne... ali čekaj. Prije nego saznamo, hajde da pogledamo jedna od onih vrata koja niste odabrali. Monty zna iza kojih vrata je nagrada, i uvijek može otvoriti vrata koja nemaju nagradu iza sebe. “Da li birate vrata broj 3? Onda otvorimo vrata broj 1 da pokažemo da iza njih nema nagrade." A sada vam iz velikodušnosti nudi mogućnost da odabrana vrata broj 3 zamijenite za ono što se nalazi iza vrata broj 2.

U ovom trenutku postavlja se pitanje vjerovatnoće: da li ova prilika povećava vašu vjerovatnoću za pobjedu ili je smanjuje ili ostaje nepromijenjena? Šta ti misliš?

Tačan odgovor: mogućnost odabira drugih vrata povećava šansu za pobjedu sa 1/3 na 2/3. Ovo je nelogično. Ako se do sada niste susreli s ovim paradoksom, onda najvjerovatnije razmišljate: čekajte, kako je: otvaranjem jednih vrata magično smo promijenili vjerovatnoću? Kao što smo vidjeli na primjeru mapa, upravo to se događa kada dobijemo više informacija. Očigledno, kada odaberete prvi put, vjerovatnoća pobjede je 1/3. Kada se jedna vrata otvore, to uopće ne mijenja vjerovatnoću pobjede za prvi izbor: vjerovatnoća je i dalje 1/3. Ali vjerovatnoća da su druga vrata ispravna je sada 2/3.

Pogledajmo ovaj primjer s druge strane. Vi birate vrata. Vjerovatnoća za pobjedu je 1/3. Predlažem da promijenite druga dva vrata, što Monty Hall radi. Naravno, on otvara jedna od vrata da pokaže da iza toga nema nagrade, ali to uvijek može, tako da to zapravo ništa ne mijenja. Naravno, poželećete da izaberete drugačija vrata.

Ako ne razumijete pitanje i trebate uvjerljivije objašnjenje, kliknite na ovaj link da biste otišli na sjajnu malu Flash aplikaciju koja će vam omogućiti da detaljnije istražite ovaj paradoks. Možete početi sa oko 10 vrata, a zatim postepeno prelaziti na igru ​​sa troje vrata. Tu je i simulator u kojem možete igrati sa bilo kojim brojem vrata od 3 do 50 ili pokrenuti nekoliko hiljada simulacija i vidjeti koliko biste puta pobijedili da ste igrali.

Odaberite jedno od tri vrata - vjerovatnoća pobjede je 1/3. Sada imate dvije strategije: promijeniti izbor nakon otvaranja pogrešnih vrata ili ne. Ako ne promijenite svoj izbor, tada će vjerovatnoća ostati 1/3, jer je izbor samo u prvoj fazi i morate odmah pogoditi. Ako se promijeniš, onda možeš pobijediti ako prvo izabereš pogrešna vrata (onda otvore još jedna pogrešna, ostaje prava - promijeniš odluku, samo je uzmeš). Vjerovatnoća da na početku odaberete pogrešna vrata je 2/3 - pa ispada da promjenom odluke udvostručujete vjerovatnoću pobjede.

Primjedba nastavnika više matematike i stručnjaka za balans igre Maxima Soldatova - naravno, Schreiber je nije imao, ali bez nje je prilično teško razumjeti ovu magičnu transformaciju

Ponovno razmatranje Monty Hall paradoksa

Što se tiče same emisije, čak i ako Monty Hallovi rivali nisu bili dobri u matematici, on je bio dobar u tome. Evo šta je uradio da malo promeni igru. Ako ste izabrali vrata iza kojih je bila nagrada, sa vjerovatnoćom od 1/3, on vam je uvijek nudio opciju da odaberete druga vrata. Odabereš auto i onda ga zameniš za kozu i izgledaš prilično glupo - što je upravo ono što ti treba, jer je Hall na neki način zao tip.

Ali ako odaberete vrata koja nemaju nagradu, on će vam samo pola vremena ponuditi druga vrata, ili će vam samo pokazati vašu novu kozu i vi ćete napustiti pozornicu. Hajde da analiziramo ovu novu igru ​​u kojoj Monty Hall može odlučiti hoće li vam ponuditi priliku da odaberete druga vrata ili ne.

Pretpostavimo da on slijedi ovaj algoritam: ako odaberete vrata s nagradom, on vam uvijek nudi mogućnost da odaberete druga vrata, u suprotnom će vam jednako vjerovatno ponuditi da odaberete druga vrata ili vam dati kozu. Kolika je vjerovatnoća da dobijete?

U jednoj od tri opcije odmah birate vrata iza kojih se nalazi nagrada, a domaćin vas poziva da odaberete drugu.

Od preostale dvije opcije od tri (u početku birate vrata bez nagrade), u polovini slučajeva domaćin će vam ponuditi da promijenite odluku, au drugoj polovini slučajeva neće.

Pola od 2/3 je 1/3, odnosno u jednom od tri ćete dobiti kozu, u jednom od tri ćete izabrati pogrešna vrata i domaćin će vam ponuditi da odaberete druga, a u jedan slučaj od tri izabraćeš ispravna vrata, ali on opet nudi druga.

Ako voditelj ponudi da odaberemo druga vrata, već znamo da se jedan od tri slučaja kada nam da kozu i mi odemo nije dogodio. Ovo je korisna informacija: to znači da su se naše šanse za pobjedu promijenile. Dva od tri slučaja u kojima imamo izbor: u jednom slučaju to znači da smo tačno pogodili, a u drugom slučaju da smo pogrešno pogodili, pa ako nam je uopšte ponuđen izbor, onda je verovatnoća da dobijemo 1 /2 , a matematički je svejedno da li ćete ostati pri svom izboru ili odabrati druga vrata.

Kao i poker, to je psihološka igra, a ne matematička. Zašto ti je Monty ponudio izbor? Misli li da si ti prostakluk koji ne zna da je odabir drugih vrata “prava” odluka i da će se tvrdoglavo držati svog izbora (uostalom, situacija je psihički složenija kada odabereš auto pa ga izgubiš) ?

Ili ti on, odlučivši da si pametan i izabereš druga vrata, nudi ovu šansu, jer zna da si u početku dobro pogodio i padao na udicu? Ili je možda neuobičajeno ljubazan i tjera vas da učinite nešto korisno za vas, jer dugo nije davao automobile, a proizvođači kažu da je publici dosadno, te bi bilo bolje da uskoro date veliku nagradu kako bi da li je rejting opao?

Tako Monty ponekad uspeva da ponudi izbor, dok ukupna verovatnoća pobede ostaje jednaka 1/3. Zapamtite da je vjerovatnoća da ćete odmah izgubiti 1/3. Postoji 1/3 šanse da ćete pogoditi odmah, a 50% tih puta ćete pobijediti (1/3 x 1/2 = 1/6).

Vjerovatnoća da ćete u početku pogrešno pogoditi, ali onda imati priliku da odaberete druga vrata je 1/3, au polovini ovih slučajeva ćete pobijediti (također 1/6). Zbrojite dvije nezavisne mogućnosti pobjede i dobićete vjerovatnoću od 1/3, tako da nije važno da li ćete ostati na svom izboru ili odabrati druga vrata - ukupna vjerovatnoća vaše pobjede u igri je 1/3.

Vjerovatnoća ne postaje veća nego u situaciji kada ste pogodili vrata, a domaćin vam jednostavno pokazao šta je iza njih, a da vam nije ponudio da odaberete druga. Poenta prijedloga nije da se promijeni vjerovatnoća, već da se proces donošenja odluka učini zabavnijim za gledanje televizije.

Inače, ovo je jedan od razloga zašto poker može biti tako zanimljiv: u većini formata između rundi, kada se oklade (na primjer, flop, turn i river u Texas Hold'emu), karte se postepeno otkrivaju, i ako na početku igre imate jednu šansu za pobjedu, onda se nakon svake runde klađenja, kada se otvori više karata, ova vjerovatnoća se mijenja.

Paradoks dječaka i djevojčice

Ovo nas dovodi do još jednog dobro poznatog paradoksa koji ima tendenciju da zbuni sve, paradoksa dječaka i djevojčice. Jedina stvar o kojoj danas pišem nije direktno vezana za igre (mada pretpostavljam da vas samo moram potaknuti da kreirate odgovarajuću mehaniku igre). Ovo je više zagonetka, ali zanimljiva, a da biste je riješili, morate razumjeti uslovnu vjerovatnoću o kojoj smo gore govorili.

Zadatak: Imam drugaricu sa dvoje djece, barem jedno od njih je djevojčica. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete djevojčica? Pretpostavimo da su u svakoj porodici šanse da se dobiju devojčica i dečak 50/50, a to važi za svako dete.

U stvari, neki muškarci imaju više sperme sa X hromozomom ili Y hromozomom u spermi, tako da izgledi malo variraju. Ako znate da je jedno dijete djevojčica, šansa da dobijete drugu djevojčicu je nešto veća, a postoje i druga stanja, poput hermafroditizma. Ali da bismo riješili ovaj problem, nećemo to uzeti u obzir i pretpostaviti da je rođenje djeteta samostalan događaj i da su rođenje dječaka i djevojčice podjednako vjerojatni.

Pošto govorimo o šansi 1/2, intuitivno očekujemo da će odgovor biti 1/2 ili 1/4, ili neki drugi višekratnik od dva u nazivniku. Ali odgovor je 1/3. Zašto?

Poteškoća u ovom slučaju je što informacije kojima raspolažemo smanjuju broj mogućnosti. Pretpostavimo da su roditelji obožavatelji Ulice Sezam i bez obzira na pol djece nazvali su im A i B. U normalnim uslovima, postoje četiri jednako vjerovatne mogućnosti: A i B su dva dječaka, A i B su dvije djevojčice, A je dječak i B je djevojčica, A je djevojčica i B je dječak. Pošto znamo da je barem jedno dijete djevojčica, možemo isključiti mogućnost da su A i B dva dječaka. Dakle, preostale su nam tri mogućnosti - i dalje jednako vjerovatne. Ako su sve mogućnosti podjednako vjerovatne i postoje tri, onda je vjerovatnoća svake od njih 1/3. Samo u jednoj od ove tri opcije su obe dece devojčice, tako da je odgovor 1/3.

I opet o paradoksu dječaka i djevojčice

Rješenje problema postaje još nelogičnije. Zamislite da moj prijatelj ima dvoje djece, a jedno od njih je djevojčica koja je rođena u utorak. Pretpostavimo da je pod normalnim uslovima podjednako verovatno da će se dete roditi svakog od sedam dana u nedelji. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete djevojčica?

Možda mislite da bi odgovor i dalje bio 1/3: šta znači utorak? Ali u ovom slučaju, intuicija nas iznevjerava. Odgovor je 13/27, što ne samo da nije intuitivno, već je vrlo čudno. Šta je u ovom slučaju?

Zapravo, utorak mijenja vjerovatnoću jer ne znamo koja je beba rođena u utorak, ili su možda oboje rođene u utorak. U ovom slučaju koristimo se istom logikom: računamo sve moguće kombinacije kada je barem jedno dijete djevojčica koja je rođena u utorak. Kao u prethodnom primjeru, pretpostavimo da se djeca zovu A i B. Kombinacije izgledaju ovako:

• A je djevojčica koja je rođena u utorak, B je dječak (u ovoj situaciji postoji 7 mogućnosti, po jedna za svaki dan u sedmici kada je dječak mogao biti rođen).
• B - devojčica rođena u utorak, A - dečak (takođe 7 mogućnosti).
• A je djevojčica koja je rođena u utorak, B je djevojčica koja je rođena drugog dana u sedmici (6 mogućnosti).
• B - djevojčica koja je rođena u utorak, A - djevojčica koja nije rođena u utorak (takođe 6 vjerovatnoća).
• A i B su dvije djevojčice koje su rođene u utorak (1 mogućnost, na ovo treba obratiti pažnju da ne bi brojali dva puta).

Sumiramo i dobijemo 27 različitih podjednako mogućih kombinacija rađanja djece i dana sa barem jednom mogućnošću da se djevojčica rodi u utorak. Od toga je 13 mogućnosti kada se rode dvije djevojčice. Također izgleda potpuno nelogično - čini se da je ovaj zadatak izmišljen samo da izazove glavobolju. Ako ste još uvijek zbunjeni, web stranica teoretičara igara Jespera Juhla ima dobro objašnjenje za ovo.

Ako trenutno radite na igrici

Ako postoji slučajnost u igri koju dizajnirate, ovo je odlična prilika da je analizirate. Odaberite bilo koji element koji želite analizirati. Prvo se zapitajte kakva je vjerovatnoća da će dati element biti u kontekstu igre.

Na primjer, ako pravite RPG i razmišljate o tome kolika je vjerovatnoća da će igrač pobijediti čudovište u borbi, zapitajte se koji postotak pobjede vam odgovara. Obično, u slučaju RPG-ova za konzole, igrači se jako uznemire kada izgube, pa je bolje da gube rijetko - 10% vremena ili manje. Ako ste RPG dizajner, vjerojatno znate bolje od mene, ali morate imati osnovnu ideju o tome kolika bi vjerovatnoća trebala biti.

Zatim se zapitajte da li su vaše vjerovatnoće zavisne (kao kod karata) ili nezavisne (kao kod kockica). Razgovarajte o svim mogućim ishodima i njihovim vjerovatnoćama. Uvjerite se da je zbir svih vjerovatnoća 100%. I, naravno, uporedite svoje rezultate sa vašim očekivanjima. Da li je moguće bacati kockice ili izvlačiti karte kako ste namjeravali, ili je jasno da vrijednosti treba podesiti. I, naravno, ako pronađete nedostatke, možete koristiti iste proračune da odredite koliko vam je potrebno da promijenite vrijednosti.

Zadaća

Vaš "domaći zadatak" ove sedmice će vam pomoći da usavršite svoje vještine vjerovatnoće. Ovdje su dvije igre s kockicama i kartaška igra koju morate analizirati korištenjem vjerovatnoće, kao i čudna mehanika igre koju sam jednom razvio na kojoj ćete testirati Monte Carlo metodu.

Igra #1 - Zmajeve kosti

Ovo je igra s kockicama koju smo moje kolege i ja jednom smislili (zahvaljujući Jebu Havensu i Jesse Kingu) - ona namjerno oduva ljude svojim vjerovatnoćama. Ovo je jednostavna kazino igra pod nazivom "Dragon Dice" i to je takmičenje kockarskih kockica između igrača i ustanove.

Dobijate redovnu kockicu 1d6. Cilj igre je baciti broj veći od broja kuće. Tomu se daje nestandardni 1d6 - isti kao i tvoj, ali na jednom od njegovih lica umjesto jednog - lik zmaja (dakle, kazino ima kockicu zmaja-2-3-4-5-6). Ako institucija dobije zmaja, automatski pobjeđuje, a vi gubite. Ako oba dobiju isti broj, neriješeno je i ponovo bacate kockice. Onaj ko ubaci najveći broj pobjeđuje.

Naravno, nije sve u potpunosti u korist igrača, jer kazino ima prednost u vidu lica zmaja. Ali da li je zaista tako? To je ono što morate izračunati. Ali prvo provjerite svoju intuiciju.

Recimo da je pobjeda 2 prema 1. Dakle, ako pobijedite, zadržavate svoju opkladu i dobijate dupli iznos. Na primjer, ako se kladite na 1$ i pobijedite, zadržavate taj dolar i dobijate još 2$ na vrhu, za ukupno 3$. Ako izgubite, gubite samo svoju opkladu. Da li bi igrao? Da li intuitivno osjećate da je vjerovatnoća veća od 2 prema 1 ili još uvijek mislite da je manja? Drugim riječima, u prosjeku u 3 utakmice, da li očekujete pobjedu više od jednom, manje ili jednom?

Kada maknete intuiciju s puta, primijenite matematiku. Postoji samo 36 mogućih pozicija za obje kockice, tako da ih možete lako prebrojati. Ako niste sigurni u vezi ove ponude 2 prema 1, razmislite o ovome: Recimo da ste igrali igru ​​36 puta (kladite se 1 USD svaki put). Za svaku pobedu dobijate 2$, za svaki gubitak gubite 1$, a remi ništa ne menja. Izbrojite sve svoje vjerovatne pobjede i poraze i odlučite hoćete li izgubiti neki dolar ili dobiti. Zatim se zapitajte koliko se vaša intuicija pokazala ispravnom. I onda shvati kakav sam negativac.

I, da, ako ste već razmišljali o ovom pitanju - namjerno vas zbunjujem iskrivljavajući stvarnu mehaniku igre kockicama, ali sam siguran da ovu prepreku možete prevladati samo dobrim razmišljanjem. Pokušajte sami riješiti ovaj problem.

Igra #2 - Roll of Luck

Ovo je igra s kockicama koja se zove Roll of Luck (također Birdcage jer se ponekad kockice ne bacaju već stavljaju u veliki žičani kavez, koji podsjeća na Bingo kavez). Igra je jednostavna, u osnovi se svodi na ovo: Kladite se, recimo, na 1 $ na broj između 1 i 6. Zatim bacate 3d6. Za svaku kocku koja pogodi vaš broj, dobijate 1 dolar (i zadržavate svoju originalnu opkladu). Ako vaš broj ne padne ni na jednu kocku, kazino će dobiti vaš dolar, a vi ništa. Dakle, ako se kladite na 1 i dobijete 1 na lice tri puta, dobijate 3$.

Intuitivno se čini da su u ovoj utakmici šanse izjednačene. Svaka kockica je pojedinačna šansa za pobjedu 1 prema 6, tako da su vaše šanse za pobjedu 3 prema 6 na tri bacanja. Međutim, imajte na umu, naravno, da slažete tri odvojene kocke i da vam je dozvoljeno dodati samo ako smo mi govoreći o odvojenim dobitnim kombinacijama istih kockica. Nešto što ćete morati umnožiti.

Nakon što izračunate sve moguće ishode (vjerovatno je lakše napraviti u Excelu nego ručno, ima ih 216), igra na prvi pogled i dalje izgleda parno-neparno. U stvari, kazino je i dalje vjerojatnije da će pobijediti – koliko više? Konkretno, koliko novca očekujete da ćete izgubiti u prosjeku po rundi igre?

Sve što trebate učiniti je sabrati pobjede i poraze svih 216 rezultata, a zatim podijeliti sa 216, što bi trebalo biti prilično lako. Ali kao što vidite, postoji nekoliko zamki u koje možete upasti, zbog čega vam kažem da ako mislite da postoji jednaka šansa za pobjedu u ovoj igri, pogrešno ste razumjeli.

Igra #3 - 5 Card Stud

Ako ste se već zagrijali za prethodne igre, hajde da proverimo šta znamo o uslovnoj verovatnoći koristeći ovu kartašku igru ​​kao primer. Zamislimo poker sa špilom od 52 karte. Zamislimo i stud sa 5 karata gdje svaki igrač dobije samo 5 karata. Ne možete odbaciti kartu, ne možete izvući novu, nema uobičajenog špila - dobijate samo 5 karata.

Royal flush je 10-J-Q-K-A u jednoj ruci, ukupno četiri, tako da postoje četiri moguća načina da dobijete royal flush. Izračunajte vjerovatnoću da ćete dobiti jednu od ovih kombinacija.

Moram vas upozoriti na jednu stvar: zapamtite da ovih pet karata možete izvući bilo kojim redoslijedom. Odnosno, u početku možete izvući keca ili desetku, nije važno. Dakle, kada radite svoje kalkulacije, imajte na umu da zapravo postoji više od četiri načina da dobijete royal flush, pod pretpostavkom da su karte podijeljene po redu.

Igra #4 - MMF lutrija

Četvrti zadatak neće biti tako lako riješiti metodama o kojima smo danas govorili, ali možete lako simulirati situaciju pomoću programiranja ili Excela. Upravo na primjeru ovog problema možete razraditi metodu Monte Carlo.

Ranije sam spomenuo igru ​​Chron X na kojoj sam nekada radio, a postojala je i jedna vrlo zanimljiva karta - lutrija MMF-a. Evo kako je to funkcioniralo: koristili ste ga u igrici. Nakon završetka runde, karte su preraspodijeljene i postojala je 10% šansa da će karta biti van igre i da će nasumični igrač dobiti 5 od svake vrste resursa koji ima žeton na toj kartici. Karta je stavljena u igru ​​bez ijednog žetona, ali svaki put kada je ostala u igri na početku sljedeće runde, dobijala je jedan žeton.

Dakle, postojala je šansa od 10% da ćete ga staviti u igru, runda će se završiti, karta će napustiti igru ​​i niko neće dobiti ništa. Ako ne bude (sa 90% šanse), postoji 10% šanse (u stvari 9%, pošto je to 10% od 90%) da će ona napustiti igru ​​u sljedećem krugu i neko će dobiti 5 resursa. Ako karta izađe iz igre nakon jedne runde (10% od 81% dostupnih, dakle vjerovatnoća je 8,1%), neko će dobiti 10 jedinica, drugu rundu - 15, još 20 i tako dalje. Pitanje: koja je očekivana vrijednost broja resursa koje ćete dobiti od ove kartice kada konačno izađe iz igre?

Obično bismo pokušali riješiti ovaj problem izračunavanjem vjerovatnoće svakog ishoda i množenjem sa brojem svih ishoda. Postoji 10% šanse da ćete dobiti 0 (0,1 * 0 = 0). 9% da ćete dobiti 5 jedinica resursa (9% * 5 = 0,45 resursa). 8,1% onoga što dobijete je 10 (8,1% * 10 = 0,81 resursa - općenito, očekivana vrijednost). I tako dalje. A onda bismo sve sumirali.

I sada vam je problem očigledan: uvijek postoji šansa da karta ne izađe iz igre, može ostati u igri zauvijek, beskonačan broj rundi, tako da ne postoji način da se izračuna bilo kakva vjerovatnoća. Metode koje smo danas naučili ne dozvoljavaju nam da izračunamo beskonačnu rekurziju, pa ćemo je morati stvoriti umjetno.

Ako ste dovoljno dobri u programiranju, napišite program koji će simulirati ovu karticu. Trebali biste imati vremensku petlju koja dovodi varijablu na početnu poziciju nule, pokazuje nasumični broj i sa 10% šanse da varijabla izađe iz petlje. U suprotnom, dodaje se 5 varijabli i petlja se ponavlja. Kada konačno izađe iz petlje, povećajte ukupan broj probnih izvođenja za 1 i ukupan broj resursa (za koliko ovisi o tome gdje se varijabla zaustavila). Zatim resetirajte varijablu i počnite ispočetka.

Pokrenite program nekoliko hiljada puta. Na kraju, podijelite ukupne resurse sa ukupnim brojem trčanja - to će biti vaša očekivana vrijednost Monte Carlo metode. Pokrenite program nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete otprilike isti. Ako je širenje još uvijek veliko, povećajte broj ponavljanja u vanjskoj petlji dok ne počnete dobivati ​​podudaranja. Možete biti sigurni da će sve brojke koje završite biti približno tačne.

Ako ste novi u programiranju (čak i ako jeste), evo male vježbe za testiranje vaših Excel vještina. Ako ste dizajner igara, ove vještine nikada neće biti suvišne.

Sada će vam funkcije if i rand biti vrlo korisne. Rand ne zahtijeva vrijednosti, on samo proizvodi nasumični decimalni broj između 0 i 1. Obično ga kombiniramo s podom i plusima i minusima da simuliramo bacanje kocke, što sam ranije spomenuo. Međutim, u ovom slučaju ostavljamo samo 10% šanse da će kartica napustiti igru, tako da možemo samo provjeriti je li rand manji od 0,1 i ne brinuti više o tome.

Ako ima tri vrijednosti. Redom, uslov koji je tačan ili ne, zatim vrednost koja se vraća ako je uslov tačan i vrednost koja se vraća ako je uslov netačan. Dakle, sljedeća funkcija će vratiti 5% vremena, a 0 ostalih 90% vremena: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Postoji mnogo načina za postavljanje ove naredbe, ali ja bih koristio ovu formulu za ćeliju koja predstavlja prvi krug, recimo da je to ćelija A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Ovdje koristim negativnu varijablu što znači "ova kartica nije napustila igru ​​i još uvijek nije dala nikakve resurse". Dakle, ako je prva runda završena i karta nije u igri, A1 je 0; inače je -1.

Za sljedeću ćeliju koja predstavlja drugi krug: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Dakle, ako se prva runda završi i karta odmah napusti igru, A1 je 0 (broj resursa) i ova ćelija će jednostavno kopirati tu vrijednost. Inače, A1 je -1 (karta još nije izašla iz igre), a ova ćelija se nastavlja nasumično kretati: 10% vremena vraća 5 jedinica resursa, ostatak vremena će njena vrijednost i dalje biti - 1. Ako ovu formulu primijenimo na dodatne ćelije, dobićemo dodatne runde, a s kojom god ćeliju završite, dobit ćete konačni rezultat (ili -1 ako karta nije izašla iz igre nakon svih rundi koje ste odigrali).

Uzmite ovaj red ćelija, koji je jedini krug sa ovom karticom, i kopirajte i zalijepite nekoliko stotina (ili hiljada) redova. Možda nećemo moći da uradimo beskonačan test za Excel (postoji ograničen broj ćelija u tabeli), ali barem možemo pokriti većinu slučajeva. Zatim odaberite jednu ćeliju u koju ćete staviti prosjek rezultata svih rundi - Excel ljubazno pruža funkciju prosjek() za to.

Na Windows-u, barem možete pritisnuti F9 da ponovo izračunate sve nasumične brojeve. Kao i prije, uradite ovo nekoliko puta i provjerite da li ćete dobiti iste vrijednosti. Ako je širina prevelika, udvostručite broj trčanja i pokušajte ponovo.

Neriješeni problemi

Ako ste slučajno diplomirani iz teorije vjerovatnoće i navedeni problemi vam se čine previše laki - evo dva problema o kojima se godinama češkam po glavi, ali, nažalost, nisam toliko dobar u matematici da bih ih riješio.

Neriješen problem #1: Lutrija MMF-a

Prvi neriješeni problem je prethodni domaći zadatak. Lako mogu koristiti Monte Carlo metodu (koristeći C++ ili Excel) i biti siguran u odgovor na pitanje "koliko resursa će igrač dobiti", ali ne znam tačno kako da dam tačan matematički dokaziv odgovor (ovo je beskonačan niz).

Neriješen problem #2: Sekvence oblika

Ovaj zadatak (takođe daleko prevazilazi zadatke koji se rješavaju na ovom blogu) mi je bacio poznati igrač prije više od deset godina. Dok je igrao blackjack u Vegasu, primijetio je jednu zanimljivu osobinu: izvlačeći karte iz cipela od 8 špilova, vidio je deset komada u nizu (karta za komad ili lice je 10, Joker, King ili Queen, tako da ih ima ukupno 16 u standardni špil od 52 karte ili 128 u cipeli od 416 karata).

Kolika je vjerovatnoća da ova cipela sadrži najmanje jednu sekvencu od deset ili više komada? Pretpostavimo da su promešani iskreno, slučajnim redosledom. Ili, ako želite, kolika je vjerovatnoća da nigdje ne postoji niz od deset ili više oblika?

Možemo pojednostaviti zadatak. Evo niza od 416 dijelova. Svaki dio je 0 ili 1. Postoji 128 jedinica i 288 nula nasumično razbacanih po nizu. Koliko postoji načina za nasumično preplitanje 128 jedinica sa 288 nula, i koliko puta će postojati barem jedna grupa od deset ili više jedinica na ove načine?

Svaki put kada sam krenuo u rješavanje ovog problema, činilo mi se lako i očigledno, ali čim sam se upustio u detalje, odjednom se raspao i činio se jednostavno nemogućim.

Zato nemojte žuriti da izbacujete odgovor: sedite, dobro razmislite, proučite uslove, pokušajte da ubacite realne brojeve, jer su svi ljudi sa kojima sam razgovarao o ovom problemu (uključujući nekoliko diplomiranih studenata koji rade u ovoj oblasti) mnogo reagovali na isti način: "Potpuno je očigledno... oh ne, čekaj, uopšte nije očigledno." To je slučaj kada nemam metodu za izračunavanje svih opcija. Naravno, mogao bih grubo forsirati problem preko kompjuterskog algoritma, ali bi bilo mnogo zanimljivije saznati matematički način za njegovo rješavanje.

Razumijem da svi žele unaprijed znati kako će se završiti sportski događaj, ko će pobijediti, a ko izgubiti. Uz ove informacije možete se bez straha kladiti na sportske događaje. Ali da li je to uopšte moguće, i ako jeste, kako izračunati verovatnoću nekog događaja?

Vjerovatnoća je relativna vrijednost, stoga ne može govoriti sa tačnošću ni o jednom događaju. Ova vrijednost vam omogućava da analizirate i procijenite potrebu da se kladite na određeno takmičenje. Definicija vjerovatnoće je čitava nauka koja zahtijeva pažljivo proučavanje i razumijevanje.

Koeficijent vjerovatnoće u teoriji vjerovatnoće

U sportskom klađenju postoji nekoliko opcija za ishod takmičenja:

• pobjeda prvog tima;
• pobjeda drugog tima;
• draw;
• ukupno

Svaki ishod takmičenja ima svoju vjerovatnoću i učestalost s kojom će se ovaj događaj dogoditi, pod uslovom da su sačuvane početne karakteristike. Kao što je ranije spomenuto, nemoguće je precizno izračunati vjerovatnoću bilo kojeg događaja - može se, ali i ne mora podudarati. Dakle, vaša opklada može ili dobiti ili izgubiti.

Ne može postojati precizna 100% prognoza rezultata takmičenja, jer mnogo faktora utiče na ishod utakmice. Naravno, kladionice ne znaju unaprijed ishod utakmice i samo pretpostavljaju rezultat, donoseći odluku na svom sistemu analize i nude određene kvote za opklade.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja?

Recimo da je kvota kladionice 2.1/2 - dobijamo 50%. Ispada da je koeficijent 2 jednak vjerovatnoći od 50%. Po istom principu, možete dobiti omjer vjerovatnoće preloma - 1 / vjerovatnoća.

Mnogi igrači misle da će se nakon nekoliko ponovljenih poraza sigurno dogoditi pobjeda - ovo je pogrešno mišljenje. Verovatnoća dobijanja opklade ne zavisi od broja gubitaka. Čak i ako bacite nekoliko glava zaredom u igri novčića, vjerovatnoća bacanja repa ostaje ista - 50%.