Koji se sistemi linearnih jednačina nazivaju kvadratnim. Sistemi linearnih jednadžbi: Osnovni pojmovi

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi. Osnovni pojmovi. Matrični obrazac za snimanje.

Definicija sistema linearnih algebarskih jednadžbi. Sistemsko rješenje. Klasifikacija sistema.

Ispod sistem linearnih algebarskih jednadžbi(SLAE) impliciraju sistem

Parametri aij se pozivaju koeficijenti, i bi – besplatni članovi SLAU. Ponekad, da bi naglasili broj jednačina i nepoznanica, kažu "m×n sistem linearnih jednačina", čime se ukazuje da SLAE sadrži m jednačina i n nepoznatih.

Ako su svi slobodni termini bi=0 onda se poziva SLAE homogena. Ako među slobodnim članovima postoji barem jedan član koji nije nula, poziva se SLAE heterogena.

Rešenjem SLAU(1) pozvati bilo koju uređenu kolekciju brojeva (α1,α2,...,αn) ako elementi ove kolekcije, zamijenjeni datim redoslijedom za nepoznate x1,x2,...,xn, pretvaraju svaku SLAE jednačinu u identitet.

Svaki homogeni SLAE ima barem jedno rješenje: nula(drugom terminologijom – trivijalno), tj. x1=x2=…=xn=0.

Ako SLAE (1) ima barem jedno rješenje, ono se zove joint, ako nema rješenja - non-joint. Ako zajednički SLAE ima tačno jedno rješenje, ono se zove siguran, ako postoji beskonačan skup rješenja – neizvjesno.

Matrični oblik pisanja sistema linearnih algebarskih jednačina.

Nekoliko matrica može biti povezano sa svakim SLAE; Štaviše, sam SLAE se može napisati u obliku matrične jednačine. Za SLAE (1), razmotrite sljedeće matrice:

Matrica A se zove matrica sistema. Elementi ove matrice predstavljaju koeficijente date SLAE.

Matrica A˜ se zove prošireni matrični sistem. Dobiva se dodavanjem u matricu sistema kolone koja sadrži slobodne termine b1,b2,...,bm. Obično je ova kolona odvojena okomitom linijom radi jasnoće.

Poziva se matrica stupca B matrica slobodnih članova, a matrica stupaca X je matrica nepoznatih.

Koristeći prethodno uvedenu notaciju, SLAE (1) se može napisati u obliku matrične jednačine: A⋅X=B.

Bilješka

Matrice povezane sa sistemom mogu se pisati na različite načine: sve zavisi od redosleda varijabli i jednačina SLAE koji se razmatra. Ali u svakom slučaju, redoslijed nepoznanica u svakoj jednadžbi date SLAE mora biti isti

Kronecker-Capelli teorem. Proučavanje sistema linearnih jednačina za konzistentnost.

Kronecker-Capelli teorem

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice sistema, tj. rangA=rangA˜.

Za sistem se kaže da je konzistentan ako ima barem jedno rješenje. Kronecker-Capelli teorem kaže ovo: ako je rangA=rangA˜, onda postoji rješenje; ako je rangA≠rangA˜, onda ovaj SLAE nema rješenja (nedosljedno). Odgovor na pitanje o broju ovih rješenja daje posljedica Kronecker-Capellijeve teoreme. U formulaciji posljedica koristi se slovo n, koje je jednako broju varijabli date SLAE.

Korolar Kronecker-Capellijeve teoreme

Ako je rangA≠rangA˜, onda je SLAE nekonzistentan (nema rješenja).

Ako je rangA=rangA˜

Ako je rangA=rangA˜=n, tada je SLAE određen (ima tačno jedno rješenje).

Imajte na umu da formulirana teorema i njezina posljedica ne pokazuju kako pronaći rješenje za SLAE. Uz njihovu pomoć možete samo saznati postoje li ova rješenja ili ne, a ako postoje, koliko ih ima.

Metode rješavanja SLAE

Cramer metoda

Cramerova metoda je namijenjena rješavanju onih sistema linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) u kojima je determinanta matrice sistema različita od nule. Naravno, ovo pretpostavlja da je matrica sistema kvadratna (koncept determinante postoji samo za kvadratne matrice). Suština Cramerove metode može se izraziti u tri tačke:

Sastavite determinantu sistemske matrice (naziva se i determinanta sistema), i pazite da nije jednaka nuli, tj. Δ≠0.

Za svaku varijablu xi potrebno je konstruisati determinantu Δ X i , dobijenu iz determinante Δ zamjenom i-te kolone kolonom slobodnih članova date SLAE.

Nađite vrijednosti nepoznatih pomoću formule xi= Δ X i /Δ

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi korištenjem inverzne matrice.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) korištenjem inverzne matrice (ponekad se ova metoda naziva i matrična metoda ili metoda inverzne matrice) zahtijeva preliminarno upoznavanje s konceptom matričnog oblika zapisa SLAE. Metoda inverzne matrice namijenjena je rješavanju onih sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je determinanta sistemske matrice različita od nule. Naravno, ovo pretpostavlja da je matrica sistema kvadratna (koncept determinante postoji samo za kvadratne matrice). Suština metode inverzne matrice može se izraziti u tri tačke:

Zapišite tri matrice: matrica sistema A, matrica nepoznatih X, matrica slobodnih termina B.

Pronađite inverznu matricu A -1.

Koristeći jednakost X=A -1 ⋅B, dobiti rješenje za datu SLAE.

Gaussova metoda. Primjeri rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi Gaussovom metodom.

Gaussova metoda je jedan od najvizuelnijih i najjednostavnijih načina rješavanja sistemi linearnih algebarskih jednačina(SLAU): i homogena i heterogena. Ukratko, suština ove metode je uzastopno eliminisanje nepoznatih.

Transformacije dozvoljene u Gauss metodi:

Promjena mjesta dva reda;

Množenje svih elemenata niza nekim brojem koji nije jednak nuli.

Dodavanje elementima jednog reda odgovarajućih elemenata drugog reda, pomnoženih bilo kojim faktorom.

Precrtavanje reda čiji su svi elementi nula.

Precrtavanje duplih linija.

Što se tiče posljednje dvije točke: ponavljajuće linije mogu se precrtati u bilo kojoj fazi rješenja pomoću Gaussove metode - naravno, ostavljajući jednu od njih. Na primjer, ako se ponavljaju redovi br. 2, br. 5, br. 6, onda možete ostaviti jedan od njih, na primjer, red br. 5. U tom slučaju, redovi br. 2 i br. 6 će biti obrisani.

Nulti redovi se uklanjaju iz proširene sistemske matrice kako se pojavljuju.

Sistemi linearnih jednačina. Predavanje 6.

Sistemi linearnih jednačina.

Osnovni koncepti.

Sistem pogleda

pozvao sistem - linearne jednadžbe sa nepoznanicama.

Zovu se brojevi , , sistemski koeficijenti.

Zovu se brojevi slobodni članovi sistema, – sistemske varijable. Matrix

pozvao glavna matrica sistema, i matrica

– prošireni matrični sistem. Matrice - kolone

I shodno tome matrice slobodnih termina i nepoznanica sistema. Tada se u matričnom obliku sistem jednačina može zapisati kao . Sistemsko rješenje naziva se vrijednosti varijabli, čijom zamjenom se sve jednačine sistema pretvaraju u ispravne numeričke jednakosti. Svako rješenje sistema može se predstaviti kao matrična kolona. Tada je matrična jednakost tačna.

Sistem jednačina se zove joint ako ima barem jedno rješenje i non-joint ako nema rješenja.

Rješavanje sistema linearnih jednačina znači utvrđivanje da li je konzistentan i, ako jeste, pronalaženje njegovog općeg rješenja.

Sistem se zove homogena ako su svi slobodni članovi jednaki nuli. Homogeni sistem je uvijek konzistentan, jer ima rješenje

Kronecker-Copelli teorem.

Odgovor na pitanje postojanja rješenja linearnih sistema i njihove jedinstvenosti omogućava nam da dobijemo sljedeći rezultat, koji se može formulirati u obliku sljedećih tvrdnji o sistemu linearnih jednadžbi sa nepoznatim

(1)

Teorema 2. Sistem linearnih jednadžbi (1) je konzistentan ako i samo ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice (.

Teorema 3. Ako je rang glavne matrice simultanog sistema linearnih jednačina jednak broju nepoznatih, onda sistem ima jedinstveno rješenje.

Teorema 4. Ako je rang glavne matrice zajedničkog sistema manji od broja nepoznatih, onda sistem ima beskonačan broj rješenja.

Pravila za rješavanje sistema.

3. Naći izraze glavnih varijabli u terminima slobodnih i dobiti opšte rješenje sistema.

4. Davanjem proizvoljnih vrijednosti slobodnim varijablama dobijaju se sve vrijednosti glavnih varijabli.

Metode rješavanja sistema linearnih jednačina.

Metoda inverzne matrice.

i , tj. sistem ima jedinstveno rješenje. Zapišimo sistem u matričnom obliku

Gdje , , .

Pomnožimo obje strane matrične jednadžbe na lijevoj strani matricom

Od , Dobijamo , Od čega dobivamo jednakost za pronalaženje nepoznanica

Primjer 27. Rešiti sistem linearnih jednačina metodom inverzne matrice

Rješenje. Označimo sa glavnom matricom sistema

Neka, onda pronalazimo rješenje koristeći formulu.

Hajde da izračunamo.

Budući da , tada sistem ima jedinstveno rješenje. Nađimo sve algebarske komplemente

, ,

Dakle

Hajde da proverimo

Inverzna matrica je pronađena ispravno. Odavde, koristeći formulu, nalazimo matricu varijabli.

Upoređujući vrijednosti matrica, dobijamo odgovor: .

Cramerova metoda.

Neka je dat sistem linearnih jednačina sa nepoznatim

i , tj. sistem ima jedinstveno rješenje. Zapišimo rješenje sistema u matričnom obliku ili

Označimo

. . . . . . . . . . . . . . ,

Tako dobijamo formule za pronalaženje vrijednosti nepoznatih, koje se nazivaju Cramerove formule.

Primjer 28. Riješite sljedeći sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu .

Rješenje. Nađimo determinantu glavne matrice sistema

Budući da , tada sistem ima jedinstveno rješenje.

Nađimo preostale determinante za Cramerove formule

Koristeći Cramerove formule nalazimo vrijednosti varijabli

Gaussova metoda.

Metoda se sastoji od sekvencijalne eliminacije varijabli.

Neka je dat sistem linearnih jednačina sa nepoznatim.

Proces Gausovog rješenja sastoji se od dvije faze:

U prvoj fazi, proširena matrica sistema se, koristeći elementarne transformacije, svodi na stepenasti oblik

gdje je , kojem sistem odgovara

Nakon toga varijable smatraju se slobodnim i prenose se na desnu stranu svake jednačine.

U drugoj fazi, varijabla se izražava iz posljednje jednačine, a rezultirajuća vrijednost se zamjenjuje u jednačinu. Iz ove jednačine

varijabla je izražena. Ovaj proces se nastavlja do prve jednačine. Rezultat je izraz glavnih varijabli kroz slobodne varijable .

Primjer 29. Riješite sljedeći sistem koristeći Gaussov metod

Rješenje. Hajde da ispišemo proširenu matricu sistema i dovedemo je u stepenasti oblik

Jer veći od broja nepoznatih, tada je sistem konzistentan i ima beskonačan broj rješenja. Napišimo sistem za matricu koraka

Determinanta proširene matrice ovog sistema, sastavljena od prva tri stupca, nije jednaka nuli, pa je smatramo osnovnom. Varijable

Oni će biti osnovni i varijabla će biti besplatna. Pomjerimo ga u svim jednadžbama na lijevu stranu

Iz posljednje jednačine koju izražavamo

Zamjenom ove vrijednosti u pretposljednju drugu jednačinu dobijamo

gdje . Zamjenom vrijednosti varijabli i u prvu jednačinu nalazimo . Napišimo odgovor u sljedećem obliku

Sistemi jednačina se široko koriste u ekonomskom sektoru za matematičko modeliranje različitih procesa. Na primjer, prilikom rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili smještaja opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u matematici, već iu fizici, hemiji i biologiji, kada se rješavaju problemi određivanja veličine populacije.

Sistem linearnih jednačina su dvije ili više jednačina sa više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednačine oblika ax+by=c nazivaju se linearne. Oznake x, y su nepoznanice čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem izgledat će kao prava linija, čije su sve točke rješenja polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavnijim primjerima smatraju se sistemi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješiti sistem jednačina - to znači pronalaženje vrijednosti (x, y) pri kojima se sistem pretvara u pravu jednakost ili utvrđivanje da odgovarajuće vrijednosti x i y ne postoje.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji rješenje, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka jednakosti ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem je heterogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada treba govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijabli.

Kada se suoče sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije slučaj. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti koliko god želite.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opšta analitička metoda za rešavanje ovakvih sistema, sve metode su zasnovane na numeričkim rešenjima. Školski predmet matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, supstitucija, kao i grafičke i matrične metode, rješenja Gaussovom metodom.

Glavni zadatak pri podučavanju metoda rješenja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe korištenja određene metode

Rješavanje primjera sistema linearnih jednačina u nastavnom planu i programu opšteg obrazovanja 7. razreda je prilično jednostavno i detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješavanje primjera sistema linearnih jednadžbi Gauss-ovom i Cramerovom metodom detaljnije se proučava u prvim godinama visokog obrazovanja.

Rješavanje sistema metodom zamjene

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable u terminima druge. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na oblik s jednom promjenljivom. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo rješenje za primjer sistema linearnih jednadžbi klase 7 koristeći metodu supstitucije:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F(X) = 7 + Y. Dobijeni izraz, zamijenjen u 2. jednačinu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješavanje ovog primjera je jednostavno i omogućava vam da dobijete Y vrijednost. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti složene i izražavanje varijable u terminima druge nepoznate biće previše glomazno za dalje proračune. Kada u sistemu ima više od 3 nepoznate, rješavanje zamjenom također nije prikladno.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje korištenjem algebarskog sabiranja

Prilikom traženja rješenja sistema korištenjem metode sabiranja, jednačine se sabiraju pojam po član i množe različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina u jednoj varijabli.

Primena ove metode zahteva praksu i posmatranje. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja kada postoje 3 ili više varijabli nije lako. Algebarsko sabiranje je pogodno za korištenje kada jednadžbe sadrže razlomke i decimale.

Algoritam rješenja:

Pomnožite obje strane jednačine određenim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable trebao bi postati jednak 1.
Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
Zamijenite rezultirajuću vrijednost u 2. jednačinu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem zahtijeva pronalaženje rješenja za ne više od dvije jednačine, također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava za uvedenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta koristeći dobro poznatu formulu: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminant, b, a, c su faktori polinoma. U datom primjeru, a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminanta veća od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji jedno rješenje: x = -b / 2*a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za 3 sistema jednačina. Metoda se sastoji u konstruisanju grafova svake jednačine uključene u sistem na koordinatnoj osi. Koordinate presečnih tačaka krivih biće opšte rešenje sistema.

Grafička metoda ima niz nijansi. Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednačina na vizuelni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju su konstruirane dvije tačke, a proizvoljno su odabrane vrijednosti varijable x: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) su označene na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka pravih je rešenje sistema.

Sljedeći primjer zahtijeva pronalaženje grafičkog rješenja za sistem linearnih jednačina: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se vidi iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruišu postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne, uvijek je potrebno konstruirati graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za koncizno pisanje sistema linearnih jednačina. Matrica je posebna vrsta tabele ispunjene brojevima. n*m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak. Matrica-vektor je matrica od jednog stupca sa beskonačno mogućim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je matrica kada se pomnoži s kojom se originalna matrica pretvara u jediničnu matrica takva postoji samo za originalnu kvadratnu matricu.

Pravila za pretvaranje sistema jednačina u matricu

U odnosu na sisteme jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednadžbi su zapisani kao matrični brojevi;

Za red matrice se kaže da nije nula ako barem jedan element reda nije nula. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznate y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Opcije za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica, a |K| je determinanta matrice. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sistem ima rješenje.

Odrednica se lako izračunava za matricu dva po dva, potrebno je samo pomnožiti dijagonalne elemente jedan s drugim. Za opciju “tri po tri” postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u radu.

Rješavanje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava vam da smanjite glomazne unose pri rješavanju sistema s velikim brojem varijabli i jednačina.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni termini.

Rješavanje sistema Gaussovom metodom

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja sistema naziva se Gauss-Cramerovom metodom rješenja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabli sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima zamjenom i algebarskim sabiranjem, ali je sistematičnija. U školskom predmetu se koristi rješenje Gaussove metode za sisteme od 3 i 4 jednačine. Svrha metode je da se sistem svede na oblik obrnutog trapeza. Pomoću algebarskih transformacija i supstitucija, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednačina sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, dok su 3 i 4 sa 3 i 4 varijable.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješavanje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, koja se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu teško je razumjeti učenicima srednjih škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina da se razvije domišljatost djece upisane u programe naprednog učenja na časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja, proračuni se obično rade na sljedeći način:

Koeficijenti jednačina i slobodnih termina zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo, zapišite matricu s kojom ćete raditi, a zatim sve radnje izvedene s jednim od redova. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i potrebne algebarske operacije se nastavljaju dok se ne postigne rezultat.

Rezultat bi trebao biti matrica u kojoj je jedna od dijagonala jednaka 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedinični oblik. Ne smijemo zaboraviti izvršiti proračune sa brojevima na obje strane jednačine.

Ova metoda snimanja je manje glomazna i omogućava vam da ne budete ometani navođenjem brojnih nepoznanica.

Besplatna upotreba bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neke metode pronalaženja rješenja su poželjnije u određenom području ljudske djelatnosti, dok druge postoje u obrazovne svrhe.

Primjer 1. Naći opće rješenje i neko posebno rješenje sistema

Rješenje Radimo to pomoću kalkulatora. Hajde da ispišemo proširenu i glavnu matricu:

Glavna matrica A je odvojena isprekidanom linijom. Na vrhu pišemo nepoznate sisteme, imajući u vidu moguće preuređenje članova u jednadžbi sistema. Određivanjem ranga proširene matrice, istovremeno nalazimo i rang glavne. U matrici B, prvi i drugi stupac su proporcionalni. Od dva proporcionalna stupca samo jedan može pasti u osnovni mol, pa pomaknimo, na primjer, prvi stupac iza isprekidane linije sa suprotnim predznakom. Za sistem, to znači prenošenje članova sa x 1 na desnu stranu jednačine.

Hajde da svedemo matricu na trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje sa drugom jednačinom, što ne mijenja rješenje sistem. Radimo s prvim redom: pomnožite prvi red matrice sa (-3) i dodajte naizmjence drugom i trećem redu. Zatim pomnožite prvi red sa (-2) i dodajte ga četvrtom.

Drugi i treći red su proporcionalni, pa se jedan od njih, na primjer drugi, može precrtati. Ovo je ekvivalentno precrtavanju druge jednačine sistema, jer je posljedica treće.

Sada radimo s drugom linijom: pomnožite je sa (-1) i dodajte trećoj.

Točkasti minor ima najviši red (od mogućih minora) i nije nula (jednak je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali), a ovaj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, stoga rang A = rangB = 3.
Minor je osnovno. Uključuje koeficijente za nepoznate x 2 , x 3 , x 4 , što znači da su nepoznate x 2 , x 3 , x 4 zavisne, a x 1 , x 5 slobodne.
Transformirajmo matricu, ostavljajući samo bazni minor na lijevoj strani (što odgovara tački 4 gornjeg algoritma rješenja).

Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik

Koristeći metodu eliminacije nepoznanica nalazimo:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 2, x 3, x 4 preko slobodnih x 1 i x 5, odnosno pronašli smo opšte rešenje:

Dodjeljujući bilo koju vrijednost slobodnim nepoznanicama, dobijamo bilo koji broj konkretnih rješenja. Nađimo dva konkretna rješenja:
1) neka je x 1 = x 5 = 0, tada je x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) stavite x 1 = 1, x 5 = -1, zatim x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Tako su pronađena dva rješenja: (0,1,-3,3,0) – jedno rješenje, (1,4,-7,7,-1) – drugo rješenje.

Primjer 2. Istražite kompatibilnost, pronađite opće i jedno posebno rješenje za sistem

Rješenje. Preuredimo prvu i drugu jednačinu tako da ima jedna u prvoj jednačini i napišemo matricu B.

Dobijamo nule u četvrtoj koloni operiranjem s prvim redom:

Sada dobijamo nule u trećem stupcu koristeći drugi red:

Treći i četvrti red su proporcionalni, tako da se jedan od njih može precrtati bez promjene ranga:
Pomnožite treći red sa (–2) i dodajte ga četvrtom:

Vidimo da su rangovi glavne i proširene matrice jednaki 4, a rang se poklapa sa brojem nepoznatih, dakle, sistem ima jedinstveno rješenje:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Primjer 3. Ispitajte kompatibilnost sistema i pronađite rješenje ako postoji.

Rješenje. Sastavljamo proširenu matricu sistema.

Preuredimo prve dvije jednadžbe tako da u gornjem lijevom uglu bude 1:
Množenjem prvog reda sa (-1) dodavanjem trećeg:

Pomnožite drugi red sa (-2) i dodajte ga trećem:

Sistem je nekonzistentan, jer smo u glavnoj matrici dobili red koji se sastoji od nula, koji se precrtava kada se rang pronađe, ali u proširenoj matrici ostaje posljednji red, odnosno r B > r A .

Vježbajte. Istražite ovaj sistem jednadžbi radi kompatibilnosti i riješite ga pomoću matričnog računa.
Rješenje

Primjer. Dokazati kompatibilnost sistema linearnih jednačina i rešiti ga na dva načina: 1) Gaussovom metodom; 2) Cramerova metoda. (odgovor unesite u obliku: x1,x2,x3)
Rješenje :doc :doc :xls
odgovor: 2,-1,3.

Primjer. Dat je sistem linearnih jednačina. Dokažite njegovu kompatibilnost. Pronađite opšte rešenje sistema i jedno posebno rešenje.
Rješenje
odgovor: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Vježbajte. Pronađite opšta i posebna rješenja za svaki sistem.
Rješenje. Proučimo ovaj sistem koristeći Kronecker-Capelli teorem.
Hajde da ispišemo proširenu i glavnu matricu:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Ovdje je matrica A označena podebljanim slovima.
Hajde da svedemo matricu na trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje sa drugom jednačinom, što ne mijenja rješenje sistem.
Pomnožimo prvi red sa (3). Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajmo 2. red na 1.:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Pomnožimo 2. red sa (2). Pomnožite 3. red sa (-3). Dodajmo 3. red u 2.:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajmo 2. red na 1.:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Odabrani minor ima najveći red (od mogućih minora) i nije nula (jednak je umnošku elemenata na obrnutoj dijagonali), a ovaj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, pa je rangiran( A) = rang(B) = 3 Pošto je rang glavne matrice jednak rangu proširene, tada sistem je kolaborativan.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1 , x 2 , x 3 , što znači da su nepoznate x 1 , x 2 , x 3 zavisne (osnovne), a x 4 , x 5 su slobodne.
Transformirajmo matricu, ostavljajući samo bazni mol na lijevoj strani.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica nalazimo:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 , x 2 , x 3 kroz slobodne x 4 , x 5 , tj. zajednička odluka:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
neizvjesno, jer ima više od jednog rješenja.

Vježbajte. Riješite sistem jednačina.
Odgovori:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dodjeljujući bilo koju vrijednost slobodnim nepoznanicama, dobijamo bilo koji broj konkretnih rješenja. Sistem je neizvjesno