Koja se jednačina naziva logaritamska? Logaritamske jednadžbe

glavna svojstva.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identične osnove

Log6 4 + log6 9.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se posmatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Prelazak na novu osnovu

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

Primjer 2. Pronađite x ako

Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.

Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:

Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, izrazi poput testa se nude sa punom ozbiljnošću (ponekad bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto , tj. Možete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da imenilac sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.

Logaritamske formule. Rješenja primjera logaritama.

Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .

U stvari, šta se dešava ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.

Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam od b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći stepen x () pri kojem je jednakost zadovoljena

Osnovna svojstva logaritma

Neophodno je poznavati navedena svojstva, jer se na njihovoj osnovi rješavaju gotovo svi problemi i primjeri vezani za logaritme. Ostatak egzotičnih svojstava može se izvesti kroz matematičke manipulacije sa ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) nailazite prilično često. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od najčešćih logaritama su oni kod kojih je baza jednaka deset, eksponencijalna ili dva.
Logaritam na osnovu deset obično se naziva decimalni logaritam i jednostavno se označava sa lg(x).

Iz snimka se jasno vidi da na snimku nije napisano osnovno. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen sa ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam za bazu dva je označen sa

Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom

Integralni ili antiderivativni logaritam je određen odnosom

Dati materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Da biste lakše razumjeli gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog nastavnog plana i programa i sa fakulteta.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

Naizgled složen izraz se pojednostavljuje u obliku pomoću brojnih pravila

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2. Pronađite x ako

Rješenje. Za izračun se primjenjuje na posljednji pojam 5 i 13 svojstava

Stavljamo to u evidenciju i žalimo

Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Početni nivo.

Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmimo logaritam varijable da zapišemo logaritam kroz zbir njegovih članova

Ovo je tek početak našeg upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati znanje koje steknete za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje ovakvih jednačina, proširit ćemo vaše znanje na još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine...

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.

Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da imenilac sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .

Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Puno ime	Plotnikova Tatjana Vladimirovna
Mjesto rada	MBOU "Srednja škola br. 1 u Suzdalu"
Naziv radnog mjesta	Nastavnik matematike
Stavka	Algebra i principi matematičke analize
Klasa
Tema lekcije	“Metode rješavanja logaritamskih jednačina”, 2 sata
Osnovni tutorijal	Sh.A. Alimov, Yu.M. Koljagin i drugi / M. Obrazovanje 2014

Cilj lekcije: ponoviti znanja učenika o logaritmu broja i njegovim svojstvima; proučavati načine rješavanja logaritamskih jednačina i konsolidirati ih prilikom izvođenja vježbi.

Zadaci:

Obrazovni: ponoviti definiciju i osnovna svojstva logaritama, znati ih primijeniti u računanju logaritama, u rješavanju logaritamskih jednačina;

Razvojni: razvijati sposobnost rješavanja logaritamskih jednačina;

Vaspitni: njegovati upornost, samostalnost; pobuditi interesovanje za predmet

Vrsta lekcije: lekcija učenja novog gradiva.

Potrebna tehnička oprema:kompjuter, projektor, platno.

Struktura i tok lekcije:

Organizacioni momenat.

Učiteljica .

Zdravo, sedi! Danas je tema naše lekcije “Rješavanje logaritamskih jednadžbi”, u kojoj ćemo naučiti kako ih riješiti koristeći definiciju i svojstva logaritama.(slajd broj 1)

Usmeni rad.

Pojačati koncept logaritma, ponavljajući njegova osnovna svojstva i svojstva logaritamske funkcije:

1. Zagrijavanje prema teoriji:

1. Definirajte logaritam.(slajd broj 2)

2. Možete li pronaći logaritam od bilo kojeg broja?

3. Koji broj može stajati u osnovi logaritma?

4. Funkcija y=log 0.8 Da li se x povećava ili smanjuje zašto?

5. Koje vrijednosti može imati logaritamska funkcija?

6. Koji logaritmi se nazivaju decimalnim, prirodnim?

7. Navedite osnovna svojstva logaritama.(slajd broj 3)

8. Da li je moguće preći s jedne baze logaritma na drugu? Kako to učiniti?(slajd broj 4)

2. Rad sa karticama (3-4 učenika):

Kartica br. 1: Izračunajte: a) log 6 4 + log 6 9 =

B) log 1/3 36 – log 1/3 12 =

Riješi jednačinu: log 5 x = 4 log 5 3 – 1/3 log 5 27

kartica #2:

Izračunajte: a) log211 – log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Riješi jednačinu: log 7 x = 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 – 1/3 log 7 125.

Frontalno ispitivanje razreda (oralne vježbe)

Izračunaj: (slajd broj 5)

dnevnik 2 16
log 3 √3
dnevnik 7 1
log 5 (1/625)
log 2 11 - log 2 44

log 8 14 + log 8 32/7
log 3 5 ∙ log 5 3
5 log 5 49
8 log 8 5 - 1
25 –log 5 10

Uporedite brojeve: (slajd broj 6)

log ½ e i log ½ π;
log 2 √5/2 i log 2 √3/2.

Saznajte koji je znak izraza log 0,8 3 · log 6 2/3.

(slajd broj 7)

Provjera domaće zadaće:

Kod kuće su davane sljedeće vježbe: br. 327 (ne-pog.), 331 (ne-g.), 333 (2) i 390 (6). Provjerite odgovore na ove zadatke i odgovorite na pitanja učenika.

Učenje novog materijala: definicija:

Jednačina koja sadrži varijablu pod predznakom logaritma naziva se logaritamska.
Najjednostavniji primjer logaritamske jednadžbe je jednadžba log
a x =c (a > 0, a≠ 1) Metode za rješavanje logaritamskih jednadžbi:

(slajd broj 8) Rješavanje jednadžbi na osnovu definicije logaritma.

(slajd broj 9) log a x = c (a > 0, a≠ 1) ima rješenje x = a

Sa .

Na osnovu definicije logaritma rješavaju se jednadžbe u kojima:
koristeći date baze i broj, određuje se logaritam,
pomoću datog logaritma i baze, broj se određuje

Osnova se određuje iz datog broja i logaritma.

primjeri:

log 2 128= x, log 16 x = ¾, log x 27= 3,

2 x = 128, x = 16 ¾, x 3 = 27,

2 x = 2 7, x = 2 3, x 3 = 3 3,

x =7. x = 8. x =3. a) dnevnik 7

(3x-1)=2 (odgovor: x=3 1/3) b) dnevnik 2

(7-8x)=2 (odgovor: x=3/8). Metoda potenciranja.

(slajd broj 10)

Pod potenciranjem podrazumijevamo prijelaz iz jednakosti koja sadrži logaritme u jednakost koja ih ne sadrži, tj. Log a f(x) = log a

g(x), tada je f(x) = g(x), pod uslovom da je f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

primjer: =

Riješite jednačinu

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 >1/3 - netačno

Odgovor: nema rješenja. lg(x 2

-2) = log x (odgovor: x=2) Jednačine se rješavaju primjenom osnovnog logaritamskog identiteta.

g(x), tada je f(x) = g(x), pod uslovom da je f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

primjer:(slajd br. 11)

Riješite jednačinu

=log 2 (6's)

6x>0;

x>0;

x≠1;

log 2 x 2 >0;

x 2 >0.

Sistemsko rješenje: (0;1)Ụ (1;6).

Dnevnik 2 (6's)

x 2 = 6

x 2 + x-6 = 0

x=-3 ne pripada ODZ-u.

x=2 pripada ODZ-u.

Odgovor: x=2:

Riješite sljedeću jednačinu kao klasu

= (odgovor: x=1) Metoda za svođenje logaritma na istu bazu.

g(x), tada je f(x) = g(x), pod uslovom da je f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

(slajd broj 12) Riješite log jednačinu

16 x+ log 4 x+ log 2 x=7

ODZ: x>0

¼ log 2 x+½ log 2 x+ log 2 x=7

7/4 log 2 x=7

log 2 x=4

x=16 – pripada ODZ-u.

Kao klasu, riješite sljedeću jednačinu:

3 (odgovor: x=5/3)

Jednačine se rješavaju primjenom svojstava logaritma.(slajd broj 13)

g(x), tada je f(x) = g(x), pod uslovom da je f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

(slajd broj 12) 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2.

Riješite jednačinu

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Koristimo formulu za pretvaranje razlike između logaritma i logaritma kvocijenta i dobićemo log 2 = 2, što slijedi= 4.

Nakon što smo riješili posljednju jednačinu, nalazimo x = 3, 3>1 - tačno

Odgovor: x = 3.

Kao klasa, riješite sljedeće jednačine:

a)log 5 (x +1) + log 5 (x +5) = 1 (odgovor: x=0).

b)log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2h≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Log 9 (37-12x) / log 3 (7-2x) = 1,

½ log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x) ,

Log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x) 2,

37-12x= 49 -28x +4x 2,

4x 2 -16x +12 =0,

X 2 -4x +3 =0, D=19, x 1 =1, x 2 =3, 3 je vanjski korijen.

Odgovor: x=1 korijen jednadžbe.

B) log(x 2 -6x+9) - 2log(x - 7) = log9.

(x 2 -6x+9) >0, x≠ 3,

X-7 >0; x >7; x >7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3)/(x-7) = 3, (x-3)/(x-7)= - 3,

x- 3 = 3x -21, x -3 =- 3x +21,

x =9. x=6 je vanjski korijen.

Provjera pokazuje 9. korijen jednačine.

Odgovor: 9

Jednačine se rješavaju uvođenjem nove varijable.(slajd broj 14)

g(x), tada je f(x) = g(x), pod uslovom da je f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

Riješite lg jednačinu 2 x - 6lgh+5 = 0.

ODZ: x>0.

Neka je logx = p, zatim p 2 -6r+5=0.

p 1 =1, p 2 =5.

Povratak na zamjenu:

lgh = 1, lgh =5

x=10, 10>0 – tačno x=100000, 100000>0 – tačno

Odgovor: 10, 100000

Kao klasu, riješite sljedeću jednačinu:

Log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 – x 2 ) 2 + x 2 ,

16 – x 2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X >0, x >0, O.D.Z. [ 0,4).

Log 6 2 x + log 6 x +14 = 16 – x 2 + x 2,

Log 6 2 x + log 6 x -2 = 0

Zamijeniti log 6 x = t

T 2 + t -2 =0 ; D = 9; t 1 =1, t 2 = -2.

Dnevnik 6 x = 1, x = 6 je vanjski korijen.

Dnevnik 6 x = -2, x = 1/36, provjera pokazuje da je 1/36 korijen.

Odgovor: 1/36.

Jednačine riješene faktorizacijom.(slajd broj 15)

g(x), tada je f(x) = g(x), pod uslovom da je f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

(slajd broj 12) 4 (2x-1)∙ log 4 x=2 log 4 (2x-1)

Riješite jednačinu

2x-1>0;

X >0. x>½.

log 4 (2x-1)∙ log 4 x - 2 log 4 (2x-1)=0

log 4 (2x-1)∙(log 4 x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 ili log 4 x-2=0

2x-1=1 log 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 – pripadaju ODZ

Odgovor: 1;16

Kao klasu, riješite sljedeću jednačinu:

log 3 x ∙log 3 (3x-2)= log 3 (3x-2) (odgovor: x=1)

Metoda uzimanja logaritama obje strane jednačine.(slajd broj 16)

g(x), tada je f(x) = g(x), pod uslovom da je f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

Riješite jednačine

Uzmimo logaritam obje strane jednačine na bazu 3.

Dobijamo log 3 = log 3 (3x)

dobijamo: log 3 x 2 log 3 x = log 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 log 3 2 x = log 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1=0,

zamijeniti log 3 x = p, x >0

2 r 2 + r -2 =0; D = 9; p 1 =1, p 2 = -1/2

Dnevnik 3 x = 1, x=3,

log 3 x = -1/ 2, x = 1/√3.

Odgovor: 3; 1/√3

Kao klasu, riješite sljedeću jednačinu:

Dnevnik 2 x - 1

x = 64 (odgovor: x=8; x=1/4)

Funkcionalno - grafička metoda.(slajd broj 17)

g(x), tada je f(x) = g(x), pod uslovom da je f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

Riješite jednačine: log 3 x = 12.

Budući da je funkcija y = log 3 x raste, a funkcija y = 12 opada na (0; + ∞), tada data jednadžba na ovom intervalu ima jedan korijen.

Napravimo grafove dvije funkcije u jednom koordinatnom sistemu: y= log 3 x i y = 12.

Kada je x=10, data jednadžba se pretvara u tačnu numeričku jednakost 1=1. Odgovor je x=10.

Kao klasu, riješite sljedeću jednačinu:

1-√h =ln x (odgovor: x=1).

Sumiranje, refleksija (podijelite krugove na kojima djeca crtežom označavaju svoje raspoloženje).(slajd br. 18,19)

Odredite metodu za rješavanje jednačine:

Domaći: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

Književnost

Ryazanovsky, A.R. Matematika. 5 – 11 razredi: Dodatni materijali za čas matematike / A.R.Rjazanovski, E.A. – 2. izd., stereotip. – M.: Drfa, 2002
Matematika. Dodatak listu “Prvi septembar”. 1997. br. 1, 10, 46, 48; 1998. br. 8, 16, 17, 20, 21, 47.
Skorkina, N.M. Nestandardni oblici vannastavnih aktivnosti. Za srednju i srednju školu / N.M. Skorkina. – Volgograd: Učitelj, 2004
Ziv, B.G., Goldich, V.A. Didaktički materijali iz algebre i principi analize za 10. razred./B.G.Goldich. – 3. izd., prerađeno. – Sankt Peterburg: “CheRo-on-Neva”, 2004
Algebra i počeci analize: matematika za tehničke škole / ur. G.N.Yakovleva.-M.: Nauka, 1987

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Metode rješavanja logaritamskih jednadžbi Nastavnik matematike: Plotnikova T.V. MBOU "Srednja škola br. 1 u Suzdalu"

Definicija Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a, gdje je a >0, a≠1, eksponent c na koji se a mora podići da bi se dobilo b.

Svojstva logaritama log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Formule za prelazak na drugu bazu 4

Izračunaj: 5

Uporedite 6

7 Odredite predznak broja:

Osnovne metode rješavanja logaritamskih jednačina

1. Koristeći definiciju logaritma l og 2 128= x log x 27= 3 Riješite sljedeće jednačine: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Metoda potenciranja Riješimo sljedeću jednačinu: log (x 2 -2) = log x 10 2

11 3. Jednačine rješavane primjenom osnovnog logaritamskog identiteta Riješimo sljedeću jednačinu: 1

12 4. Metoda svođenja logaritama na istu osnovnu log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Riješite sljedeću jednačinu:

13 5. Jednačine riješene primjenom svojstava logaritma log 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2 Riješimo sljedeće jednačine: a) l og 5 (x +1) + log 5 ( x +5) = 1 b)log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1 c) log(x 2 -6x+9) - 2log(x - 7) = log9 0 1 9

6. Jednačine riješene uvođenjem nove varijable l g 2 x - 6lgh +5 = 0 Riješimo sljedeće jednačine: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 – x 2) 2 + x 2 14

15 7. Jednačine riješene uz pomoć faktorizacije log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Riješimo sljedeće jednačine: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x- 2) 1

8. Logaritamska metoda Riješimo sljedeću jednačinu: 16

9. Funkcionalno - grafička metoda log 3 x = 12 Riješimo sljedeću jednačinu: 17 1

Odredite metodu za rješavanje jednadžbe: Jednačina: Metoda rješenja za određivanje logaritamskog prijelaza na drugu bazu faktorizacije potenciranje uvođenje nove varijable prijelaz na drugu bazu koristeći svojstva logaritamskog grafika 18

Da! I ko je smislio ove logaritamske jednadžbe! Kod mene sve ide!!! Treba li riješiti još par primjera?! Refleksija 19

Logaritamske jednadžbe. Od jednostavnog do složenog.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritamska jednačina?

Ovo je jednadžba sa logaritmima. Iznenađen sam, zar ne?) Onda ću pojasniti. Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima unutar logaritma. I samo tamo! Ovo je važno.

Evo nekoliko primjera logaritamske jednačine:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Pa razumes... )

Obratite pažnju! Locirani su najraznovrsniji izrazi sa X-ovima isključivo unutar logaritma. Ako se iznenada pojavi X negdje u jednadžbi vani, Na primjer:

log 2 x = 3+x,

ovo će već biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Usput, postoje jednadžbe gdje su unutar logaritma samo brojevi. na primjer:

šta da kažem? Imaš sreće ako naiđeš na ovo! Logaritam sa brojevima je neki broj. To je sve. Za rješavanje takve jednačine dovoljno je poznavati svojstva logaritma. Poznavanje posebnih pravila, tehnika prilagođenih posebno za rješavanje logaritamske jednadžbe, ovdje nije potrebno.

dakle, šta je logaritamska jednačina- Shvatili smo.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe?

Rješenje logaritamske jednačine- stvar zapravo nije baš jednostavna. Dakle, naša sekcija je četiri... Potrebna je pristojna količina znanja o svim vrstama srodnih tema. Osim toga, u ovim jednačinama postoji posebna karakteristika. A ova karakteristika je toliko važna da se sa sigurnošću može nazvati glavnim problemom u rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovaj problem ćemo se detaljno pozabaviti u sljedećoj lekciji.

Za sada, ne brini. Ići ćemo pravim putem od jednostavnog do složenog. Koristeći konkretne primjere. Glavna stvar je da se udubite u jednostavne stvari i ne budite lijeni pratiti linkove, stavio sam ih tamo s razlogom... I sve će vam uspjeti. Neophodno.

Počnimo s najelementarnijim, najjednostavnijim jednadžbama. Da biste ih riješili, preporučljivo je imati ideju o logaritmu, ali ništa više. Samo nemam pojma logaritam, doneti odluku logaritamski jednadžbe - nekako čak i nespretne... Vrlo hrabro, rekao bih).

Najjednostavnije logaritamske jednadžbe.

Ovo su jednadžbe oblika:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces rješenja bilo koja logaritamska jednadžba sastoji se u prijelazu iz jednadžbe s logaritmima u jednačinu bez njih. U najjednostavnijim jednačinama ovaj prijelaz se izvodi u jednom koraku. Zato su i najjednostavniji.)

A takve logaritamske jednačine je iznenađujuće lako riješiti. Uvjerite se sami.

Da riješimo prvi primjer:

log 3 x = log 3 9

Da biste riješili ovaj primjer, ne morate znati gotovo ništa, da... Čisto intuicija!) Šta nam treba posebno ne sviđa vam se ovaj primjer? Šta-šta... Ne volim logaritme! U redu. Pa hajde da ih se rešimo. Pažljivo pogledamo primjer i u nama se javlja prirodna želja... Baš neodoljiva! Uzmite i izbacite logaritme u potpunosti. A ono što je dobro je to Može uradi! Matematika dozvoljava. Logaritmi nestaju odgovor je:

Odlično, zar ne? To se uvijek može (i treba) učiniti. Eliminacija logaritama na ovaj način jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Naravno, postoje pravila za takvu likvidaciju, ali ih je malo. Zapamtite:

Možete bez straha eliminisati logaritme ako imaju:

a) iste numeričke baze

c) logaritmi s lijeva na desno su čisti (bez koeficijenata) i u sjajnoj su izolaciji.

Dozvolite mi da pojasnim poslednju tačku. U jednadžbi, recimo

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logaritmi se ne mogu ukloniti. Dvojica sa desne strane to ne dozvoljavaju. Koeficijent, znate... U primjeru

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Također je nemoguće potencirati jednačinu. Na lijevoj strani nema usamljenog logaritma. Ima ih dvoje.

Ukratko, možete ukloniti logaritme ako jednadžba izgleda ovako i samo ovako:

log a (.....) = log a (.....)

U zagradama, gdje je trotočka, može biti bilo kakvih izraza. Jednostavno, super složeno, sve vrste. Kako god. Bitno je da nam nakon eliminisanja logaritama ostaje jednostavnija jednačina. Pretpostavlja se, naravno, da već znate rješavati linearne, kvadratne, razlomke, eksponencijalne i druge jednadžbe bez logaritama.)

Sada možete lako riješiti drugi primjer:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Zapravo, to se odlučuje u umu. Potenciramo, dobijamo:

Pa, je li jako teško?) Kao što vidite, logaritamski dio rješenja jednačine je samo u eliminisanju logaritama... A onda dolazi rješenje preostale jednačine bez njih. Trivijalna stvar.

Rešimo treći primjer:

log 7 (50x-1) = 2

Vidimo da je na lijevoj strani logaritam:

Podsjetimo da je ovaj logaritam neki broj na koji se baza mora podići (tj. sedam) da bi se dobio podlogaritamski izraz, tj. (50x-1).

Ali ovaj broj je dva! Prema jednadžbi dakle:

To je u osnovi sve. Logaritam nestao, Ono što ostaje je bezopasna jednačina:

Ovu logaritamsku jednačinu riješili smo samo na osnovu značenja logaritma. Da li je još lakše eliminisati logaritme?) Slažem se. Usput, ako napravite logaritam od dva, ovaj primjer možete riješiti eliminacijom. Bilo koji broj se može pretvoriti u logaritam. Štaviše, onako kako nam je potrebno. Vrlo korisna tehnika u rješavanju logaritamskih jednačina i (posebno!) nejednačina.

Ne znate kako napraviti logaritam od broja!? U redu je. Odjeljak 555 detaljno opisuje ovu tehniku. Možete ga savladati i iskoristiti u potpunosti! To uvelike smanjuje broj grešaka.

Četvrta jednačina se rješava na potpuno sličan način (po definiciji):

To je to.

Hajde da sumiramo ovu lekciju. Na primjerima smo pogledali rješenje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi. Ovo je veoma važno. I ne samo zato što se takve jednadžbe pojavljuju u testovima i ispitima. Činjenica je da se čak i najzlobnije i najkomplikovanije jednadžbe nužno svode na najjednostavnije!

Zapravo, najjednostavnije jednačine su završni dio rješenja bilo koji jednačine. I ovaj završni dio mora se striktno razumjeti! I još nešto. Obavezno pročitajte ovu stranicu do kraja. Tu je iznenađenje...)

Sada odlučujemo sami. Hajde da se popravimo, da tako kažem...)

Pronađite korijen (ili zbir korijena, ako ih ima nekoliko) jednadžbi:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Odgovori (naravno u neredu): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Šta, ne ide sve? Dešava se. Ne brini! Odjeljak 555 objašnjava rješenje za sve ove primjere na jasan i detaljan način. Tamo ćete sigurno shvatiti. Također ćete naučiti korisne praktične tehnike.

Sve je ispalo!? Svi primjeri "jedan lijevo"?) Čestitamo!

Vrijeme je da vam otkrijem gorku istinu. Uspješno rješavanje ovih primjera ne garantuje uspjeh u rješavanju svih ostalih logaritamskih jednačina. Čak i najjednostavniji poput ovih. Avaj.

Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednadžbe (čak i najosnovnije!) sastoji od dva jednaka dela. Rješavanje jednadžbe i rad sa ODZ-om. Savladali smo jedan dio - rješavanje same jednačine. Nije tako teško zar ne?

Za ovu lekciju posebno sam odabrao primjere u kojima DL ni na koji način ne utiče na odgovor. Ali nisu svi ljubazni kao ja, zar ne?...)

Stoga je imperativ ovladati drugim dijelom. ODZ. Ovo je glavni problem u rješavanju logaritamskih jednačina. I ne zato što je težak - ovaj dio je čak lakši od prvog. Ali zato što ljudi jednostavno zaborave na ODZ. Ili ne znaju. Ili oboje). I padaju iz vedra neba...

U sledećoj lekciji bavićemo se ovim problemom. Tada možete sa sigurnošću odlučiti bilo koji jednostavne logaritamske jednadžbe i pristupaju sasvim solidnim zadacima.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Algebra 11. razred

Tema: “Metode rješavanja logaritamskih jednačina”

Ciljevi lekcije:

edukativni: formiranje znanja o različitim načinima rješavanja logaritamskih jednadžbi, sposobnost primjene u svakoj konkretnoj situaciji i odabira bilo koje metode za rješavanje;

razvijanje: razvijanje vještina posmatranja, upoređivanja, primjene znanja u novoj situaciji, utvrđivanja obrazaca, generalizacije; razvijanje vještina međusobne kontrole i samokontrole;

vaspitni: negovanje odgovornog odnosa prema vaspitno-obrazovnom radu, pažljivog sagledavanja gradiva na času i pažljivog vođenja bilješki.

Vrsta lekcije: lekcija o uvođenju novog gradiva.

“Izum logaritama, dok je smanjio rad astronoma, produžio mu je život.”
Francuski matematičar i astronom P.S. Laplace

Napredak lekcije

I. Postavljanje cilja časa

Proučena definicija logaritma, svojstva logaritma i logaritamske funkcije omogućit će nam rješavanje logaritamskih jednadžbi. Sve logaritamske jednadžbe, bez obzira koliko su složene, rješavaju se pomoću uniformnih algoritama. Ove algoritme ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Nema ih mnogo. Ako ih savladate, tada će svaka jednačina sa logaritmima biti izvodljiva za svakog od vas.

Zapišite temu lekcije u svoju bilježnicu: "Metode rješavanja logaritamskih jednačina." Pozivam sve na saradnju.

II. Ažuriranje referentnog znanja

Pripremimo se za proučavanje teme lekcije. Svaki zadatak rješavate i zapisujete odgovor ne morate pisati uvjet. Radite u parovima.

1) Za koje vrijednosti x funkcija ima smisla:

(Odgovori se provjeravaju za svaki slajd i greške se slažu)

2) Da li se grafovi funkcija poklapaju?

3) Prepiši jednakosti kao logaritamske jednakosti:

4) Zapišite brojeve kao logaritme sa bazom 2:

5) Izračunajte:

6) Pokušajte da vratite ili dopunite elemente koji nedostaju u ovim jednakostima.

III. Uvod u novi materijal

Na ekranu se prikazuje sljedeća izjava:

“Jednačina je zlatni ključ koji otvara sve matematičke sezame.”
Moderni poljski matematičar S. Kowal

Pokušajte formulirati definiciju logaritamske jednadžbe. (Jednačina koja sadrži nepoznatu pod znakom logaritma).

Hajde da razmotrimo najjednostavnija logaritamska jednadžba:Najjednostavniji primjer logaritamske jednadžbe je jednadžbaAx = b(gdje je a>0, a ≠ 1). Kako se logaritamska funkcija povećava (ili smanjuje) na skupu pozitivnih brojeva i uzima sve realne vrijednosti, onda prema teoremi korijena slijedi da za bilo koje b ova jednadžba ima, i to samo jedno, rješenje, i to pozitivno.

Zapamtite definiciju logaritma. (Logaritam broja x prema osnovici a je pokazatelj stepena na koji se baza a mora podići da bi se dobio broj x). Iz definicije logaritma to odmah slijedi AV je takvo rješenje.

Zapišite naslov: Metode rješavanja logaritamskih jednačina

1. Po definiciji logaritma.

Tako se rješavaju najjednostavnije jednadžbe oblika.

Hajde da razmotrimo br. 514(a)): Riješite jednačinu

Kako predlažete da se to riješi? (Po definiciji logaritma)

Rješenje. , Dakle 2x - 4 = 4; x = 4.

U ovom zadatku, 2x - 4 > 0, budući da je > 0, tako da se ne mogu pojaviti vanjski korijeni i nema potrebe za provjerom. U ovom zadatku nema potrebe ispisivati uslov 2x - 4 > 0.

2. Potenciranje(prelaz sa logaritma datog izraza na sam ovaj izraz).

Hajde da razmotrimo br. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Koju ste osobinu primijetili? (Baze su iste, a logaritmi dva izraza su jednaki.) Šta se može učiniti? (Potencirati).

Treba uzeti u obzir da se svako rješenje nalazi među svim x za koje su logaritamski izrazi pozitivni.

Rješenje: ODZ:

X2+8>0 je nepotrebna nejednakost

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Potencirajmo originalnu jednačinu

dobijamo jednačinu x2+8= 8x+8

Hajde da to riješimo: x2-8x=0

Odgovor: 0; 8

Općenito prelazak na ekvivalentan sistem:

Jednačina

(Sistem sadrži redundantni uslov - jednu od nejednakosti ne treba uzeti u obzir).

Pitanje za razred: Koje od ova tri rješenja vam se najviše svidjelo? (Rasprava o metodama).

Imate pravo da odlučite na bilo koji način.

3. Uvođenje nove varijable.

Hajde da razmotrimo br. 520(g). .

Šta ste primetili? (Ovo je kvadratna jednadžba u odnosu na log3x) Imate li prijedloga? (Uvedite novu varijablu)

Rješenje. ODZ: x > 0.

Neka , tada jednačina poprima oblik:. Diskriminant D > 0. Korijeni prema Vietinoj teoremi:.

Vratimo se zamjeni: ili.

Nakon što smo riješili najjednostavnije logaritamske jednadžbe, dobili smo:

Odgovor: 27;

4. Logaritam obje strane jednačine.

Riješite jednačinu:.

Rješenje: ODZ: x>0, uzmite logaritam obje strane jednačine u bazi 10:

Primijenimo svojstvo logaritma stepena:

(logx + 3) logx = 4

Neka je logx = y, tada je (y + 3)y = 4

, (D > 0) korijeni prema Vietinoj teoremi: y1 = -4 i y2 = 1.

Vratimo se na zamjenu, dobijamo: lgx = -4,; lgx = 1, .

Odgovor: 0,0001; 10.

5. Svođenje na jednu bazu.

br. 523(c). Riješite jednačinu:

Rješenje: ODZ: x>0. Pređimo na bazu 3.

6. Funkcionalno-grafička metoda.

№ 509(d). Riješite jednačinu grafički: = 3 - x.

Kako predlažete da se riješite? (Izgradite grafove dvije funkcije y = log2x i y = 3 - x koristeći tačke i potražite apscisu tačaka presjeka grafova).

Pogledajte svoje rješenje na slajdu.

Postoji način da se izbjegne pravljenje grafikona . To je kako slijedi : ako je jedna od funkcija y = f(x) povećava, a drugo y = g(x) opada na intervalu X, onda jednačina f(x)= g(x) ima najviše jedan korijen na intervalu X.

Ako postoji korijen, onda se može pogoditi.

U našem slučaju, funkcija raste za x>0, a funkcija y = 3 - x opada za sve vrijednosti x, uključujući i za x>0, što znači da jednadžba nema više od jednog korijena. Imajte na umu da se kod x = 2 jednačina pretvara u pravu jednakost, budući da .

“Pravilna primjena metoda se može naučiti
samo primjenjujući ih na razne primjere.”
Danski istoričar matematike G. G. Zeiten

IV. Domaći

P. 39 razmotriti primjer 3, riješiti br. 514(b), br. 529(b), br. 520(b), br. 523(b)

V. Sumiranje lekcije

Koje smo metode rješavanja logaritamskih jednačina gledali na času?

U narednim lekcijama ćemo pogledati složenije jednačine. Za njihovo rješavanje bit će korisne proučavane metode.

Prikazan posljednji slajd:

“Šta je više od svega na svijetu?
Space.
Šta je najmudrije?
Vrijeme.
Koji je najbolji dio?
Postignite ono što želite."
Tales

Želim svima da postignu ono što žele. Hvala vam na saradnji i razumijevanju.

Algebra 11. razred

Tema: “Metode rješavanja logaritamskih jednačina”

Ciljevi lekcije:

edukativni: razvijanje znanja o različitim načinima rješavanja logaritamskih jednadžbi, sposobnosti njihove primjene u svakoj konkretnoj situaciji i odabira bilo koje metode za rješavanje;

razvijanje: razvoj vještina za posmatranje, upoređivanje, primjenu znanja u novoj situaciji, utvrđivanje obrazaca, generalizacija; razvijanje vještina međusobne kontrole i samokontrole;

edukativni: negovanje odgovornog odnosa prema vaspitno-obrazovnom radu, pažljivog sagledavanja gradiva na času i pažljivog vođenja bilješki.

Vrsta lekcije : lekcija o uvođenju novog gradiva.

“Izum logaritama, dok je smanjio rad astronoma, produžio mu je život.”
Francuski matematičar i astronom P.S. Laplace

Napredak lekcije

I. Postavljanje cilja časa

Zapišite temu lekcije u svoju bilježnicu: "Metode rješavanja logaritamskih jednačina." Pozivam sve na saradnju.

II. Ažuriranje referentnog znanja

Pripremimo se za proučavanje teme lekcije. Svaki zadatak rješavate i zapisujete odgovor ne morate pisati uvjet. Radite u parovima.

1) Za koje vrijednosti x funkcija ima smisla:

(Odgovori se provjeravaju za svaki slajd i greške se slažu)

2) Da li se grafovi funkcija poklapaju?

a) y = x i

b)I

3) Prepiši jednakosti kao logaritamske jednakosti:

4) Zapišite brojeve kao logaritme sa bazom 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Izračunajte :

6) Pokušajte vratiti ili dopuniti elemente koji nedostaju u ovim jednakostima.

III. Uvod u novi materijal

Na ekranu se prikazuje sljedeća izjava:

“Jednačina je zlatni ključ koji otvara sve matematičke sezame.”
Moderni poljski matematičar S. Kowal

Pokušajte formulirati definiciju logaritamske jednadžbe. (Jednačina koja sadrži nepoznatu pod znakom logaritma ).

Hajde da razmotrimonajjednostavnija logaritamska jednadžba: Najjednostavniji primjer logaritamske jednadžbe je jednadžba A x = b (gdje je a>0, a ≠ 1). Kako se logaritamska funkcija povećava (ili smanjuje) na skupu pozitivnih brojeva i uzima sve realne vrijednosti, onda prema teoremi korijena slijedi da za bilo koje b ova jednadžba ima, i to samo jedno, rješenje, i to pozitivno.

Zapamtite definiciju logaritma. (Logaritam broja x prema osnovici a je pokazatelj stepena na koji se baza a mora podići da bi se dobio broj x ). Iz definicije logaritma to odmah slijediA V je takvo rješenje.

Zapišite naslov:Metode rješavanja logaritamskih jednačina

1. Po definiciji logaritma .

Tako se rješavaju najjednostavnije jednadžbe oblika.

Hajde da razmotrimobr. 514(a) ): Riješite jednačinu

Kako predlažete da se to riješi? (Po definiciji logaritma )

Rješenje . , Dakle 2x – 4 = 4; x = 4.

Odgovor: 4.

U ovom zadatku 2x – 4 > 0, pošto> 0, tako da se ne mogu pojaviti vanjski korijeni, inema potrebe za provjerom . U ovom zadatku nema potrebe pisati uslov 2x – 4 > 0.

2. Potenciranje (prelaz sa logaritma datog izraza na sam ovaj izraz).

Hajde da razmotrimobr. 519(g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Koju ste osobinu primijetili?(Baze su iste, a logaritmi dva izraza jednaki) . Šta se može učiniti?(Potencirati).

Treba uzeti u obzir da se svako rješenje nalazi među svim x za koje su logaritamski izrazi pozitivni.

Rješenje: ODZ:

X 2 +8>0 nepotrebna nejednakost

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Potencirajmo originalnu jednačinu

x 2 +8= 8 x+8

dobijamo jednačinux 2 +8= 8 x+8

Hajde da to riješimo:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Odgovor: 0; 8

Općenitoprelazak na ekvivalentan sistem :

Jednačina

(Sistem sadrži redundantni uslov - jednu od nejednakosti ne treba uzeti u obzir).

Pitanje za razred : Koje od ova tri rješenja vam se najviše svidjelo? (Rasprava o metodama).

Imate pravo da odlučite na bilo koji način.

3. Uvođenje nove varijable .

Hajde da razmotrimobr. 520(g) . .

Šta ste primetili? (Ovo je kvadratna jednadžba u odnosu na log3x) koji su vaši prijedlozi? (Uvedite novu varijablu)

Rješenje . ODZ: x > 0.

Neka, tada će jednačina poprimiti oblik:. Diskriminant D > 0. Korijeni prema Vietinoj teoremi:.

Da se vratimo na zamjenu:ili.

Nakon što smo riješili najjednostavnije logaritamske jednadžbe, dobili smo:

; .

Odgovori : 27;

4. Logaritam obje strane jednačine.

Riješite jednačinu:.

Rješenje : ODZ: x>0, uzmimo logaritam obe strane jednačine u bazi 10:

. Primijenimo svojstvo logaritma stepena:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Neka je logx = y, tada je (y + 3)y = 4

, (D > 0) korijeni prema Vietinoj teoremi: y1 = -4 i y2 = 1.

Vratimo se na zamjenu, dobijamo: lgx = -4,; logx = 1,. . To je kako slijedi: ako je jedna od funkcija y = f(x) povećava, a drugo y = g(x) opada na intervalu X, onda jednačina f(x)= g(x) ima najviše jedan korijen na intervalu X .

Ako postoji korijen, onda se može pogoditi. .

Odgovori : 2

“Pravilna primjena metoda se može naučiti
samo primjenjujući ih na razne primjere.”
Danski istoričar matematike G. G. Zeiten

I V. Domaći

P. 39 razmotriti primjer 3, riješiti br. 514(b), br. 529(b), br. 520(b), br. 523(b)

V. Sumiranje lekcije

Koje smo metode rješavanja logaritamskih jednačina gledali na času?

U narednim lekcijama ćemo pogledati složenije jednačine. Za njihovo rješavanje bit će korisne proučavane metode.

Prikazan posljednji slajd:

“Šta je više od svega na svijetu?
Space.
Šta je najmudrije?
Vrijeme.
Koji je najbolji dio?
Postignite ono što želite."
Tales

Želim svima da postignu ono što žele. Hvala vam na saradnji i razumevanju.