Medenjak se kreće u lavirintu prema sljedećem principu.

Zadatak 1. Na ispitu iz geometrije student dobija jedno pitanje sa liste ispitnih pitanja. Vjerovatnoća da je ovo pitanje vanjskih uglova je 0,35. Vjerovatnoća da je ovo pitanje s upisanim krugom je 0,2. Nema pitanja vezanih za ove dvije teme u isto vrijeme. Odrediti vjerovatnoću da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Odluka:

Događaji “Dobijanje pitanja na temu Upisani uglovi” i “Dobijanje pitanja na temu Upisani krug” – . To znači da je vjerovatnoća da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme jednaka zbiru vjerovatnoća ovih događaja: 0,35 + 0,2 = 0,55.

Odgovor: 0,55.

Zadatak 2. Dvije fabrike proizvode isto staklo za farove za automobile. Prva fabrika proizvodi 70% ovih naočara, druga - 30%. Prva fabrika proizvodi 1% neispravnih stakala, a druga 3%. Pronađite vjerovatnoću da će staklo slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno.

Odluka:

Situacija 1:

Staklo dolazi iz prve fabrike (vjerovatnoća događaja je 0,7) i (pomnožiti) neispravan je (vjerovatnoća događaja je 0,01).

To jest, oba događaja se moraju dogoditi. U jeziku teorije vjerovatnoće, to znači svaki od događaja:

Situacija 2:

Staklo dolazi iz druge fabrike (vjerovatnoća događaja je 0,3) i neispravan je (vjerovatnoća događaja je 0,03):

Pošto se prilikom kupovine stakla nalazimo u situaciji 1 ili (zbir) u situaciji 2, onda dobijamo:

Odgovor: 0,016.

Zadatak 3. U tržnom centru postoje dva identična aparata za kafu. Vjerovatnoća da će aparat ostati bez kafe do kraja dana je 0,3. Vjerovatnoća da obje mašine ostanu bez kafe je 0,16. Pronađite vjerovatnoću da će do kraja dana ostati kafa u oba automata.

Odluka:

Vjerovatnoća događaja A: “kafa nestane u prvoj mašini” P(A) je 0,3.

Vjerovatnoća događaja B: „kafa nestane u drugoj mašini“ P(B) je 0,3.

Vjerovatnoća događaja AB: “kafa nestane u obje mašine” P(AB) je 0,16.

Verovatnoća zbira dva zajednička događaja A + B je zbir njihovih verovatnoća bez verovatnoće događaja AB:

Zanima nas vjerovatnoća događaja suprotnog događaju A+B. Zaista, moguća su ukupno 4 događaja, od kojih tri, označena žutom bojom, odgovaraju događaju A + B:

Odgovor: 0,56.

Zadatak 4. Prodavnica ima dva aparata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan sa vjerovatnoćom od 0,12, bez obzira na drugi automat. Pronađite vjerovatnoću da je barem jedan automat uslužan.

Odluka:

Obe mašine su verovatno neispravne

Najmanje jedan automat je ispravan (ispravan+neispravan, neispravan+ispravan, ispravan+zdrav) – ovo je događaj suprotan događaju „oba automata su neispravna“, stoga je njegova vjerovatnoća

Odgovor: 0,9856.

Zadatak 5. Biatlonac gađa u mete 5 puta. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,85. Nađite vjerovatnoću da je biatlonac pogodio mete prva 3 puta, a promašio posljednja 2 puta. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Odluka:

Biatlonac prvi put pogađa metu i (pomnožiti) sekunda, i treće:

Budući da je vjerovatnoća pogađanja mete , tada je vjerovatnoća suprotnog događaja, promašaja

Biatlonac je promašio četvrti hitac i na petom:

Tada je vjerovatnoća da je biatlonac pogodio metu prva 3 puta, i ( i!) zadnja dva propuštena je ovo:

Odgovor: 0,01.

Zadatak 6. Vjerovatnoća da će novi usisivač trajati duže od godinu dana je 0,92. Vjerovatnoća da će trajati više od dvije godine je 0,84. Pronađite vjerovatnoću da će trajati manje od dvije godine, ali više od godinu dana.

Odluka:

Razmotrite sljedeće događaje:

A - "usisavač će trajati više od godinu dana, ali manje od 2",

B - "usisivač će trajati više od 2 godine",

C - "usisavač će trajati više od godinu dana."

Događaj C je zbir zajedničkih događaja A i B, tj

Ali pošto se i A i B ne mogu dogoditi u isto vrijeme.

Odgovor: 0.08.

Zadatak 7. Prostorija je osvetljena fenjerom sa tri lampe. Verovatnoća da jedna lampa pregori u godini je 0,07. Nađite vjerovatnoću da barem jedna lampa ne pregori u toku jedne godine.

Odluka:

Verovatnoća da će sve tri sijalice pregoreti za godinu dana

Tada je vjerovatnoća suprotnog događaja - barem jedna lampa ne pregori - jeste

Odgovor: 0,999657.

Zadatak 8. Poljoprivredna firma kupuje kokošja jaja od dva domaćinstva. 40% jaja sa prve farme su jaja najviše kategorije, a sa druge farme - 90% jaja najviše kategorije. Ukupno, 60% jaja dobija najvišu kategoriju. Pronađite vjerovatnoću da će jaje kupljeno sa ove farme biti s prve farme.

Odluka:

I način

Neka je vjerovatnoća da je jaje kupljeno od poljoprivrednog preduzeća sa farme I . Tada je vjerovatnoća da je jaje kupljeno od poljoprivrednog preduzeća sa farme II .

1) sa farme I i I kategorija

2) sa farme II i Kategorija I

II metoda

Neka je broj jaja prve farme, tada je broj jaja najviše kategorije u ovoj farmi .

Neka je broj jaja druge farme, tada je broj jaja najviše kategorije u ovoj farmi .

S obzirom da po uslovu 60% jaja dobija najvišu kategoriju, a ukupan broj jaja kupljenih od strane poljoprivrednog preduzeća, od kojih je najviša kategorija, onda

Odnosno, duplo više jaja se kupuje sa prve farme.

Tada je vjerovatnoća da će jaje kupljeno od ove poljoprivredne firme biti sa prve farme

Odgovor: 0.6.

Zadatak 9. Kauboj Džon pogodi muvu u zid sa verovatnoćom od 0,9 ako puca iz revolvera. Ako John ispali neustreljeni revolver, pogodi muvu s vjerovatnoćom od 0,3. Na stolu je 10 revolvera, od kojih su samo 4 upucana. Kauboj Džon ugleda muvu na zidu, nasumično zgrabi prvi revolver na koji naiđe i puca u muvu. Pronađite vjerovatnoću da John promaši.

Odluka:

John hvata revolver (vjerovatnoća za ovo) i promašaji (vjerovatnoća ). Vjerovatnoća ovog događaja

John grabi neispaljeni revolver (vjerovatnoća za ovo) i promašaji (vjerovatnoća ). Vjerovatnoća ovog događaja

John može zgrabiti revolver i promašiti ili zgrabi neustreljeni revolver i promaši, pa je željena vjerovatnoća:

Odgovor: 0,46.

Zadatak 10. Verovatnoća da učenik U. tačno reši više od 12 zadataka na testu iz matematike je 0,78. Verovatnoća da U. tačno reši više od 11 zadataka je 0,88. Nađi vjerovatnoću da U. tačno riješi tačno 12 zadataka.

Odluka:

Neka događaj A: „učenik tačno rešava 12 zadataka“,

događaj B: "učenik će riješiti više od 12 zadataka",

događaj C: "učenik će riješiti više od 11 zadataka."

Verovatnoća događaja C je zbir verovatnoća događaja A i B:

– ovo je željena vjerovatnoća.

Odgovor: 0.1.

Zadatak 11. U zemlji bajki postoje dvije vrste vremena: dobro i odlično, a vrijeme, nakon što se ujutru ustalilo, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će sa vjerovatnoćom od 0,8 vrijeme sutra biti isto kao danas. 3. avgusta je vrijeme u zemlji bajki dobro. Pronađite vjerovatnoću da će 6. avgusta u zemlji bajki biti odlično vrijeme.

Odluka:

(Zabilježili smo "X" - "dobro vrijeme", "O" - "odlično vrijeme")

Događaj D: XXXO će se dogoditi s vjerovatnoćom

Događaj F: XXOO će se dogoditi sa vjerovatnoćom

Događaj J: XOOOO će se dogoditi sa vjerovatnoćom

Događaj H: XXO će se dogoditi sa vjerovatnoćom

Odgovor: 0,392.

Zadatak 12. Slika prikazuje lavirint. Pauk se uvlači u lavirint na tački "Ulaz". Pauk se ne može okrenuti i puzati nazad, stoga na svakom račvanju pauk bira jednu od staza kojom još nije puzao. Uz pretpostavku da je izbor daljeg puta čisto slučajan, odredite s kojom vjerovatnoćom će pauk doći na izlaz D.

Odluka:

Na svom putu pauk susreće četiri vile. I na svakom račvanju, pauk može odabrati put koji vodi do izlaza D s vjerovatnoćom od 0,5 (na kraju krajeva, na svakom račvanju moguća su dva nezavisna jednako moguća događaja: "odabir pravog puta" i "odabir pogrešnog puta" ). Pauk će doći do izlaza D ako odabere "pravi put" na prvom račvanju i na drugom, i na trećem, i na četvrtom, to jest, pauk će doći do izlaza D sa vjerovatnoćom jednakom
Odgovor: 0,0625.

Zadatak 13. Svim pacijentima sa sumnjom na hepatitis rade se krvni testovi. Ako test otkrije hepatitis, tada se rezultat testa naziva pozitivnim. Kod pacijenata sa hepatitisom, analiza daje pozitivan rezultat sa vjerovatnoćom od 0,9. Ako pacijent nema hepatitis, tada test može dati lažno pozitivan rezultat s vjerovatnoćom od 0,01. Poznato je da kod 6% pacijenata sa sumnjom na hepatitis analiza daje pozitivan rezultat. Pronađite vjerovatnoću da pacijent primljen sa sumnjom na hepatitis zaista ima hepatitis. Zaokružite svoj odgovor na hiljadite.

Odluka:

Neka je vjerovatnoća da je pacijent primljen sa sumnjom na hepatitis stvarno bolestan hepatitis.

Zatim - vjerovatnoća da je pacijent primljen sa sumnjom na hepatitis, nije bolestan hepatitis.

Analiza daje pozitivan rezultat u slučajevima

pacijent je bolestan i (množenje) analiza je pozitivna

ili (dodatak)

pacijent nije bolestan i lažno pozitivan test

Budući da, prema stanju problema, kod 6% pacijenata sa sumnjom na hepatitis analiza daje pozitivan rezultat, onda

Zaokruživanje na hiljadite: .

Odgovor: 0,056.

Zadatak 14. Tokom artiljerijske gađanja, automatski sistem gađa metu. Ako meta nije uništena, sistem ponovo puca. Pucnjevi se ponavljaju dok se meta ne uništi. Vjerovatnoća uništenja određene mete prvim hicem je 0,4, a svakim narednim hicem - 0,6. Koliko će hitaca biti potrebno da bi se osiguralo da je vjerovatnoća uništenja mete najmanje 0,98?

Odluka:

Hajde da preformulišemo pitanje:

Koliko bi šuteva bilo potrebno da bi vjerovatnoća promašaja bila manja od 0,02?

Sa jednim udarcem, vjerovatnoća promašaja je 0,6.

Sa dva udarca, vjerovatnoća promašaja je (prvi udarac je promašaj, a drugi pogodak je promašaj).

Sa tri šuta, vjerovatnoća promašaja je -

Sa četiri šuta, vjerovatnoća promašaja je -

Sa pet šuteva, vjerovatnoća promašaja je

Primećujemo to.

Dakle, pet hitaca je dovoljno da vjerovatnoća uništenja mete bude najmanje 0,98.

Priprema za jedinstveni državni ispit iz matematike. Korisni materijali i video analiza problema iz teorije vjerovatnoće.

Korisni materijali

Video analiza zadataka

Za okruglim stolom na 5 stolica nasumično sjede 3 dječaka i 2 djevojčice. Pronađite vjerovatnoću da će obje djevojke sjediti jedna pored druge.

U zemlji bajki postoje dvije vrste vremena: dobro i odlično, a vrijeme, nakon što se ujutru ustalilo, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će sa vjerovatnoćom od 0,7 vrijeme sutra biti isto kao i danas. Danas je 28. mart, vrijeme u Magiclandu je dobro. Pronađite vjerovatnoću da će vrijeme biti lijepo u Magiclandu 1. aprila.

Na prvenstvu u skokovima u vodu takmiči se 50 atletičara, među kojima 8 ronilaca iz Rusije i 10 ronilaca iz Meksika. Redoslijed nastupa određuje se žrijebom. Nađite vjerovatnoću da će skakač iz Rusije biti petnaesti.

Slika prikazuje lavirint. Pauk se uvlači u lavirint na tački "Ulaz". Pauk se ne može okrenuti i puzati nazad, stoga na svakom račvanju pauk bira jednu od staza kojom još nije puzao. Uz pretpostavku da je izbor daljeg puta čisto slučajan, odredite s kojom vjerovatnoćom će pauk doći na izlaz D.

Automatska linija proizvodi baterije. Vjerovatnoća da je gotova baterija neispravna je 0,02. Prije pakiranja svaka baterija prolazi kroz kontrolni sistem. Vjerovatnoća da će sistem odbiti lošu bateriju je 0,99. Vjerovatnoća da će sistem greškom odbiti dobru bateriju je 0,01. Pronađite vjerovatnoću da će slučajno odabrana proizvedena baterija biti odbijena od strane upravljačkog sistema.

Vjerovatnoća da je baterija neispravna je 0,06. Kupac u radnji odabire nasumično paket koji sadrži dvije od ovih baterija. Pronađite vjerovatnoću da su obje baterije dobre.

Izbor zadataka

Miša je u džepu imao četiri slatkiša - Grillage, Vjeverica, Krava i Lasta, kao i ključeve od stana. Vadeći ključeve, Miša je slučajno ispao jedan slatkiš iz džepa. Pronađite vjerovatnoću da je slatkiš "Grillage" izgubljen.
U takmičenjima u bacanju kugle učestvuju 4 sportista iz Finske, 7 sportista iz Danske, 9 sportista iz Švedske i 5 sportista iz Norveške. Redosled po kojem se takmičari takmiče određuje se žrebom. Pronađite vjerovatnoću da je posljednji takmičar iz Švedske.
Prije početka prve runde prvenstva u badmintonu, žrijebom se nasumično dijele učesnici u parove. Ukupno na prvenstvu učestvuje 26 badmintonista, uključujući 10 učesnika iz Rusije, među kojima je i Ruslan Orlov. Naći vjerovatnoću da će u prvom kolu Ruslan Orlov igrati sa bilo kojim badmintonistom iz Rusije?
Na Svjetskom prvenstvu učestvuje 16 ekipa. Žrijebom se moraju podijeliti u četiri grupe od po četiri tima. Kutija sadrži karte sa pomešanim brojevima grupa: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Kapiteni timova izvlače jednu kartu svaki . Kolika je vjerovatnoća da će ruski tim biti u drugoj grupi?
Naučna konferencija se održava u 5 dana. Planirano je ukupno 75 izvještaja - prva tri dana po 17 izvještaja, ostali se ravnomjerno raspoređuju između četvrtog i petog dana. Redoslijed izvještaja utvrđuje se žrijebom. Kolika je verovatnoća da će izveštaj profesora Maksimova biti zakazan za poslednji dan konferencije?
U prosjeku, od 1.000 prodanih vrtnih pumpi, 5 curi. Pronađite vjerovatnoću da jedna nasumično odabrana pumpa ne propušta.
Fabrika proizvodi torbe. U prosjeku, na svakih 100 kvalitetnih torbi dolazi osam vreća sa skrivenim nedostacima. Pronađite vjerovatnoću da će kupljena torba biti visokog kvaliteta. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.
Mehanički sat sa dvanaestočasovnim brojčanikom se u jednom trenutku pokvario i prestao da radi. Nađite vjerovatnoću da je kazaljka za sat zamrznuta kada dostigne 10, ali ne dostigne 1 sat.
U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da prvi put naiđe na glavu, a drugi put na rep.
U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno jednom.
U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca tri puta. Pronađite vjerovatnoću da dobijete najmanje dva repa.
U slučajnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Pronađite vjerovatnoću da dobijete ukupno 8 bodova. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.
Na rock festivalu nastupaju grupe - po jedna iz svake od proglašenih zemalja. Redosled izvođenja određuje se žrebom. Kolika je vjerovatnoća da će bend iz Danske nastupiti nakon benda iz Švedske i nakon benda iz Norveške? Zaokružite rezultat na najbližu stotu.
U razredu je 26 ljudi, među njima i dva blizanca - Andrej i Sergej. Odeljenje je nasumično podijeljeno u dvije grupe od po 13 ljudi. Pronađite vjerovatnoću da će Andrej i Sergej biti u istoj grupi.
U razredu je 21 učenik. Među njima su i dvije prijateljice: Anya i Nina. Odeljenje je nasumično podijeljeno u 7 grupa od po 3 osobe. Pronađite vjerovatnoću za to. da će Anya i Nina biti u istoj grupi.
Strijelac puca u metu jednom. U slučaju promašaja, strijelac ispaljuje drugi hitac u istu metu. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,7. Pronađite vjerovatnoću da će meta biti pogođena (bilo prvim ili drugim hicem).
Ako velemajstor Antonov igra belo, onda pobeđuje velemajstora Borisova sa verovatnoćom od 0,52. Ako Antonov igra crno, onda Antonov pobjeđuje Borisova sa vjerovatnoćom od 0,3. Velemajstori Antonov i Borisov igraju dve partije, au drugoj menjaju boju figura. Pronađite vjerovatnoću da Antonov pobijedi oba puta.
U radnji su tri prodavca. Svaki od njih je zauzet klijentom sa vjerovatnoćom od 0,3. Pronađite vjerovatnoću da su u slučajnom trenutku sva tri prodavača zauzeta u isto vrijeme (pretpostavimo da kupci ulaze nezavisno jedan od drugog).
Vjerovatnoća da će novi DVD plejer biti popravljen u roku od godinu dana je 0,045. U određenom gradu, od 1.000 prodatih DVD plejera tokom godine, u garantnu radionicu je stigao 51 komad. Koliko se razlikuje učestalost događaja "garantne popravke" od njegove vjerovatnoće u ovom gradu?
Prilikom proizvodnje ležajeva prečnika 67 mm, verovatnoća da će se prečnik razlikovati od navedenog za najviše 0,01 mm je 0,965. Pronađite vjerovatnoću da će nasumični ležaj imati prečnik manji od 66,99 mm ili veći od 67,01 mm.
Kolika je vjerovatnoća da je slučajno odabrani prirodni broj od 10 do 19 djeljiv sa 3?
Prije početka fudbalske utakmice, sudija baca novčić kako bi odredio koja će ekipa pokrenuti loptu. Ekipa "Fizičara" igra tri utakmice sa različitim ekipama. Pronađite vjerovatnoću da u ovim igrama "Fizičar" dobije lot tačno dva puta.
Prije početka odbojkaške utakmice, kapiteni timova izvlače pravičan žrijeb kako bi odredili koji će tim započeti utakmicu. Tim "Stator" naizmjenično igra sa timovima "Rotor", "Motor" i "Starter". Pronađite vjerovatnoću da će "Stator" pokrenuti samo prvu i posljednju utakmicu.
U prodavnici se nalaze dva aparata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan s vjerovatnoćom od 0,05, bez obzira na drugi automat. Pronađite vjerovatnoću da je barem jedan automat uslužan.
Prema recenzijama kupaca, Ivan Ivanovič je procijenio pouzdanost dvije internetske trgovine. Vjerovatnoća da će željeni proizvod biti isporučen iz trgovine A je 0,8. Vjerovatnoća da će ovaj proizvod biti isporučen iz trgovine B je 0,9. Ivan Ivanovič je odmah naručio robu u obe prodavnice. Uz pretpostavku da online prodavnice rade nezavisno jedna od druge, pronađite verovatnoću da nijedna od prodavnica neće isporučiti robu.
Biatlonac gađa pet puta u mete. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Pronađite vjerovatnoću da je biatlonac prva tri puta pogodio mete, a posljednja dva promašio. Zaokružite rezultat na stotinke
Prostorija je osvijetljena lanternom sa dvije lampe. Verovatnoća da jedna lampa pregori u godini je 0,3. Nađite vjerovatnoću da barem jedna lampa ne pregori u toku jedne godine.
Na ispitu iz geometrije student dobija jedno pitanje sa liste ispitnih pitanja. Vjerovatnoća da je ovo pitanje s upisanim krugom je 0,2. Vjerovatnoća da se radi o pitanju na temu "Paralelogram" je 0,15. Nema pitanja vezanih za ove dvije teme u isto vrijeme. Odrediti vjerovatnoću da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.
Autobus saobraća svakodnevno od okružnog centra do sela. Vjerovatnoća da će u ponedjeljak u autobusu biti manje od 20 putnika je 0,94. Vjerovatnoća da će biti manje od 15 putnika je 0,56. Pronađite vjerovatnoću da će broj putnika biti između 15 i 19.
Vjerovatnoća da će novo kuhalo za vodu trajati duže od godinu dana je 0,97. Vjerovatnoća da će trajati više od dvije godine je 0,89. Pronađite vjerovatnoću da će trajati manje od dvije godine, ali više od godinu dana.
Verovatnoća da učenik O. tačno reši više od 11 zadataka na testu iz biologije je 0,67. Verovatnoća da će O. tačno rešiti više od 10 zadataka je 0,74. Nađi vjerovatnoću da O. tačno riješi tačno 11 zadataka.
Za prolaz u narednu rundu takmičenja, fudbalska reprezentacija treba da postigne najmanje 4 boda u dvije utakmice. Ako ekipa pobijedi, dobiva 3 boda, u slučaju neriješenog rezultata - 1 bod, ako izgubi - 0 bodova. Pronađite vjerovatnoću da će tim uspjeti proći u sljedeći krug takmičenja. Uzmite u obzir da su u svakoj igri vjerovatnoće pobjede i poraza iste i jednake 0,4.
U zemlji bajki postoje dvije vrste vremena: dobro i odlično, a vrijeme, nakon što se ujutru ustalilo, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će sa vjerovatnoćom od 0,8 vrijeme sutra biti isto kao danas. Danas je 3. jul, vrijeme u zemlji bajki je dobro. Pronađite vjerovatnoću da će 6. jula u Magiclandu biti odlično vrijeme.
U grupi turista je 5 ljudi. Uz pomoć ždrijeba, biraju dvoje ljudi koji moraju otići u selo po hranu. Artjom bi želeo da ode u prodavnicu, ali se povinuje. Kolika je verovatnoća da Artem ode u prodavnicu?
Za upis u institut za specijalnost "Lingvistika", kandidat mora osvojiti najmanje 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i stranog jezika. Da biste upisali specijalnost "Trgovina", potrebno je da osvojite najmanje 70 bodova iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i društvenih nauka. Verovatnoća da će Petrov dobiti najmanje 70 bodova iz matematike je 0,6, iz ruskog - 0,8, iz stranog jezika - 0,7 i iz društvenih nauka - 0,5. Naći vjerovatnoću da Petrov može ući u barem jednu od dvije navedene specijalnosti
Tokom artiljerijske gađanja, automatski sistem gađa metu. Ako meta nije uništena, sistem ponovo puca. Pucnjevi se ponavljaju dok se meta ne uništi. Vjerovatnoća uništenja određene mete prvim hicem je 0,4, a svakim sljedećim 0,6. Koliko će hitaca biti potrebno da bi se osiguralo da je vjerovatnoća uništenja mete najmanje 0,98?

Na slici je prikazano kako se mijenjala temperatura zraka od 3. do 5. aprila. Horizontalna prikazuje doba dana, vertikala prikazuje temperaturu u stepenima Celzijusa. Tokom koliko sati je temperatura 5. aprila bila viša od -3 stepena Celzijusa?

Odgovor: 15.

Ovaj uslov je zadovoljen vremenom od 9 do 24 (ponoć), što odgovara 15 sati.

Zadatak 3. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Ugao je prikazan na kariranom papiru. Pronađite njegovu veličinu. Izrazite svoj odgovor u stepenima.

Odgovor: 45.

Kao što vidite, luk na koji počiva upisani ugao je četvrtina kruga. S obzirom da je krug 360 stepeni, luk je 90 stepeni. A pošto je vrijednost upisanog ugla jednaka polovini luka na koji se oslanja, dobijamo 45 stepeni.

Zadatak 4. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Slika prikazuje lavirint. Buba se uvlači u lavirint na tački "Ulaz". Buba se ne može okrenuti ili puzati nazad, stoga na svakom račvanju buba bira jednu od staza po kojoj još nije puzala. Pod pretpostavkom da je izbor čisto slučajan, odredite s kojom vjerovatnoćom će buba doći do jednog od izlaza. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Odgovor: 0,17.

Uzimajući u obzir činjenicu da je vjerovatnoća kretanja u različitim smjerovima na raskrsnicama ista, dobijamo sljedeće vrijednosti (zadatak je jednostavno oslikati putanju do svakog od izlaza, s obzirom na to da npr. su dva puta, onda je vjerovatnoća da se ide u jednom smjeru 0,5, ako je tri, onda 1/3, itd. Nema potrebe da računate put nazad):

G: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)$$

B: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot0.5$$

B: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(3)$$

O: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(3)\cdot0.5$$

$$\frac(1)(3)\cdot0.25(1+0.5+\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\cdot0.5)=$$ $$\frac (1 )(12)(\frac(6)(6)+\frac(3)(6)+\frac(2)(6)+\frac(1)(6))=$$ $$\frac (2 )(12)=\frac(1)(6)\approx0.17$$

Zadatak 6. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

U trouglu ABC nacrtana je simetrala AL. Poznato je da su $$\angle ALC=130^(\circ)$$ i $$\angle ABC=103^(\circ)$$. Pronađite $$\ugao ACB$$. Odgovor dajte u stepenima.

Odgovor: 23.

$$\ugao ALB=180^(\circ)-\ugao ALC=50^(\circ)$$; $$\ugao BAL=180^(\circ)-\ugao ABL-\ugao ALB=180^(\circ)-103^(\circ)-50^(\circ)=27^(\circ)$$ ; $$\angle BAC=2\cdot27=54$$; $$\ugao ACB=180^(\circ)-\ugao BAC-\ugao ABC=23^(\circ)$$

Zadatak 7. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Na slici je prikazan grafik izvoda funkcije $$y=f"(x)$$, definisane na intervalu (−3; 9). U kojoj tački segmenta [−2; 3] čini $$f (x)$$ uzeti najveću vrijednost?

Odgovor: -2.

U ovom zadatku morate zapamtiti sljedeće: derivacija je negativna, što znači da je funkcija opadajuća. U našem slučaju, proizvoljni graf se nalazi ispod ose Ox na cijelom intervalu [-2; 3] (činjenica da "skače" ni na koji način ne utiče na smanjenje funkcije: jednostavno opada negdje brže, negdje sporije). Kako se funkcija smanjuje na cijelom segmentu, tada će njena maksimalna vrijednost biti na početku segmenta.

Zadatak 8. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Za koliko će se puta smanjiti volumen oktaedra ako se sve njegove ivice prepolove?

Odgovor: 8.

Da bismo riješili ove zadatke, treba imati na umu da su perimetri takvih figura povezani kao koeficijent sličnosti, površine - kao kvadrat koeficijenta sličnosti, a zapremine - kao kocka koeficijenta sličnosti. Odnosno, ako smanjite rub za pola, jačina zvuka će se promijeniti za 8 puta

Zadatak 9. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Pronađite vrijednost izraza $$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))$$ za $$a=0.1$$.

Odgovor: 10.

$$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))=$$ $$\frac(a^(\frac(1)(4))\cdot a^(\frac(1)(12)))(a\cdot a^(\frac(1)(3)))=$$ $$a^(\frac(1)(4)+\frac( 1)(12)-1-\frac(1)(3))=$$ $$a^(-1)=\frac(1)(0,1)=10$$

Zadatak 10. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Ronilačko zvono u vodi koja sadrži $$v=4$$ mola vazduha pod pritiskom od $$p_(1)=1,2$$ atmosfere polako se spušta na dno rezervoara. U tom slučaju dolazi do izotermne kompresije zraka. Rad (u džulima) koji obavlja voda kada je zrak komprimiran dat je sa $$A=\alpha vT\log_(2)\frac(p_(2))(p_(1))$$, gdje je α=5,75- konstanta, T =300 K je temperatura vazduha, $$p_(1)$$ (atm) je početni pritisak, a $$p_(2)$$ (atm) je konačni pritisak vazduha u zvonu. Do kojeg maksimalnog pritiska $$p_(2)$$ (u atm) može se komprimirati zrak u zvonu ako se ne izvrši više od 20.700 J rada pri kompresiji zraka?

Odgovor: 9.6.

$$20700=5,75\cdot4\cdot300\log_(2)\frac(p_(2))(1,2)\Leftrightarrow $$$$\log_(2)\frac(p_(2))(1, 2) =\frac(20700)(23\cdot300)=3\Leftrightarrow $$$$\frac(p_(2))(1,2)=2^(3)=8\Leftrightarrow $$$$p_( 2) =1.2\cdot8=9.6$$

Zadatak 11. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Motorni brod, čija je brzina u mirnoj vodi 24 km/h, prolazi rijekom i nakon parkiranja vraća se na početnu tačku. Brzina struje je 2 km/h, boravak traje 4 sata, a brod se vraća na početnu tačku 16 sati nakon polaska s nje. Koliko kilometara je brod prešao za vrijeme cijelog putovanja?

Odgovor: 286.

Neka je x jednosmjerna udaljenost. Brzina nizvodno je 24+2=26, u odnosu na trenutnu 24-2=22. Boravak je trajao 4 sata, tako da je samo kupanje bilo 16-4=12. Ovo vrijeme se dobija zbrajanjem vremena uzvodno i nizvodno:

$$\frac(x)(26)+\frac(x)(22)=12\Leftrightarrow$$$$\frac(24x)(11\cdot13\cdot2)=12\Leftrightarrow $$$$x=\ frac(11\cdot12\cdot13\cdot2)(24)=143$$

Tada je povratna udaljenost bila 143-143=286 km.

Zadatak 12. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Pronađite minimalnu tačku funkcije $$y=x\sin x+\cos x-\frac(3)(4)\sin x$$ u intervalu $$(0;\frac(\pi)(2)) $$

Odgovor: 0,75.

$$y"=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac(3)(4)\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac(3)(4) ))=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 ; x=\frac(\pi)(2)+\pi*n, n \in Z$$

označite dobijene tačke na koordinatnoj liniji i rasporedite predznake derivacije (prvo ćemo razmotriti svaki od faktora koji su uključeni u izvod, a zatim samo predznak samog izvoda, kao proizvod faktora):

Kao što vidite sa slike (F=0 - početak segmenta koji gledamo), minimalna tačka je x=0,75.

Zadatak 13. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

A) Riješite jednačinu $$\cos2(x+\frac(\pi)(3))+4\sin(x+\frac(\pi)(3))=\frac(5)(2)$$

B) Pronađite korijene koji pripadaju segmentu $$[-\frac(\pi)(2);\pi]$$

Odgovor: $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$.

Neka je $$x+\frac(\pi)(3)=y$$;

$$\cos2y+4\sin y=\frac(5)(2)\Leftrightarrow $$$$1-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(5)(2)=0\ Leftrightarrow $$$$-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(3)(2)=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^(2)y-8\sin y+3 =0$$;

$$\sin y=\frac(8+4)(8)=\frac(3)(2)$$ - nema rješenja;

$$\sin y=\frac(8-4)(8)=\frac(1)(2)\Leftrightarrow $$$$\left\(\begin(matrix)y=\frac(\pi)(6 )+2\pi n,n\in Z\\y=\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrica)\desno.\Leftrightarrow $$$$\ lijevo\(\begin(matrix)x+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\\x+\frac(\pi)(3) =\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrica)\desno.\Leftrightarrow $$$$\left\(\begin(matrix)x=-\frac( \pi)(6)+2\pi n,n\in Z\\x=\frac(\pi)(2)+2\pi n,n\in Z\end(matrica)\desno.$$

Konstruiramo jedinični krug, označavamo korijene u općem obliku iu intervalu i pronalazimo posebne slučajeve korijena:

Očigledno, korijeni koji padaju u ove segmente su $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$

Zadatak 14. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Osnova četvorougaone piramide SABCD je kvadrat ABCD sa stranicom AB=4. Bočna ivica SC, jednaka 4, okomita je na osnovu piramide. Ravan $$\alpha$$ koja prolazi kroz vrh C paralelno pravoj BD siječe rub SA u tački M, a SM:MA=1:2

A) Dokažite da je $$SA\perp\alpha$$

B) Pronađite površinu poprečnog presjeka piramide SABCD po ravni $$\alpha$$

Odgovor: $$\frac(8\sqrt(3))(3)$$.

a) 1) $$AS=\sqrt(16+32)=4\sqrt(3)$$; $$AM=\frac(4\sqrt(3)\cdot2)(3)$$; $$MS=\frac(4\sqrt(3))(3)$$; $$MC=\frac(4\cdot4\sqrt(2))(4\sqrt(3))=\frac(4\sqrt(2))(\sqrt(3))=\frac(4\sqrt( 6))(3)$$; $$4^(2)=(\frac(4\sqrt(6))(3))^(2)+(\frac(4\sqrt(3))(3))^(2)=\frac( 16\cdot6+16\cdot3)(9)=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

b) 1) $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(MS)(SA)\cdot\frac(AO)(OC)=1$$; $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(1)=1$$; $$\frac(CE)(EM)=\frac(3)(1)$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac(3)(4)\cdot CM=\frac(3)(4 )\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)=\sqrt(6)$$

2) $$\cos ACM=\frac(CM)(AC)=\frac(\frac(4\sqrt(6))(3))(4\sqrt(2))=\frac(\sqrt(3) ))(3)$$; $$OE=\sqrt(OC^(2)+CE^(2)-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM)=$$ $$\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+ (\sqrt(6))^(2)-2\cdot2\sqrt(2)\cdot\sqrt(6)\cdot\frac(\sqrt(3))(3))=$$ $$\sqrt( 8+6-\frac(4\cdot6)(3))=\sqrt(6)$$

3) $$SO=\sqrt(OC^(2)+SC^(2))=\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+4^(2))=\sqrt(24) $$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt(6)-\sqrt(6)=\sqrt(6)$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - srednja linija $$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac(1)(2)DB=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(2)=2\sqrt(2)$ $;

4) $$S_(CKMN)=\frac(1)(2)\cdot CM\cdot NK=\frac(1)(2)\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)\cdot2\ sqrt(2)=\frac(4\cdot\sqrt(12))(3)=\frac(8\sqrt(3))(3)$$

Zadatak 15. Trening verzija ispita br. 229 Larina.

Riješite nejednačinu $$\log_(x-2)\frac(1)(5)\geq\log_(\frac(x-3)(x-5))\frac(1)(5)$$

Odgovor: $$x\in)