Kompleksni brojevi. Podizanje kompleksnih brojeva na stepen

Prisjetite se potrebnih informacija o kompleksnim brojevima.

Kompleksni broj je izraz forme a + bi, gdje a, b su realni brojevi, i i- takozvani imaginarna jedinica, simbol čiji je kvadrat -1, tj. i 2 = -1. Broj a pozvao pravi deo, i broj b - imaginarni deo kompleksni broj z = a + bi. Ako a b= 0, tada umjesto a + 0i pisite jednostavno a. Može se vidjeti da su realni brojevi poseban slučaj kompleksnih brojeva.

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima su iste kao i nad realnim: mogu se međusobno sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti. Sabiranje i oduzimanje se odvijaju prema pravilu ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, a množenje - po pravilu ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(ovdje se samo to koristi i 2 = -1). Broj = a – bi pozvao kompleksni konjugat to z = a + bi. Jednakost z · = a 2 + b 2 vam omogućava da shvatite kako podijeliti jedan kompleksni broj drugim kompleksnim brojem (koji nije nula):

(Na primjer, .)

Kompleksni brojevi imaju zgodan i vizuelan geometrijski prikaz: broj z = a + bi može se predstaviti kao vektor sa koordinatama ( a; b) na kartezijskoj ravni (ili, što je skoro isto, tačka - kraj vektora sa ovim koordinatama). U ovom slučaju, zbir dva kompleksna broja je prikazan kao zbir odgovarajućih vektora (koji se mogu naći po pravilu paralelograma). Prema Pitagorinoj teoremi, dužina vektora sa koordinatama ( a; b) je jednako . Ova vrijednost se zove modul kompleksni broj z = a + bi i označava se sa | z|. Ugao koji ovaj vektor stvara sa pozitivnim smjerom x-ose (brojano u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) naziva se argument kompleksni broj z i označeno sa Arg z. Argument nije jednoznačno definiran, već samo do zbrajanja višestrukog broja 2 π radijanima (ili 360°, ako računate u stepenima) - uostalom, jasno je da okretanje kroz takav ugao oko ishodišta neće promijeniti vektor. Ali ako je vektor dužine r formira ugao φ sa pozitivnim smjerom x-ose, tada su njegove koordinate jednake ( r cos φ ; r grijeh φ ). Otuda ispada trigonometrijska notacija kompleksni broj: z = |z| (cos(Arg z) + i sin (Arg z)). Često je zgodno pisati kompleksne brojeve u ovom obliku, jer to uvelike pojednostavljuje proračune. Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku izgleda vrlo jednostavno: z jedan · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i sin (Arg z 1+arg z 2)) (pri množenju dva kompleksna broja, množe se njihovi moduli i dodaju argumenti). Odavde slijedite De Moivre formule: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i grijeh( n(Arg z))). Uz pomoć ovih formula, lako je naučiti kako izdvojiti korijene bilo kojeg stepena iz kompleksnih brojeva. n-ti korijen od z je tako kompleksan broj w, šta w n = z. To je jasno , I gdje k može uzeti bilo koju vrijednost iz skupa (0, 1, ..., n- jedan). To znači da uvek postoji tačno n korijenje n stepena iz kompleksnog broja (na ravni se nalaze na vrhovima regularnog broja n-gon).

§jedan. Kompleksni brojevi

1°. Definicija. Algebarska notacija.

Definicija 1. Kompleksni brojevi nazivaju uređeni parovi realnih brojeva i , ako je za njih definiran koncept jednakosti, operacije sabiranja i množenja koje zadovoljavaju sljedeće aksiome:

1) Dva broja
i
jednako ako i samo ako
,
, tj.

2) Zbir kompleksnih brojeva
i

i jednaki
, tj.

3) Proizvod kompleksnih brojeva
i
broj je pozvan
i jednaki, tj.

Skup kompleksnih brojeva je označen C.

Formule (2), (3) za brojeve oblika
uzmi formu

odakle slijedi da su operacije sabiranja i množenja za brojeve oblika
poklapaju se sa sabiranjem i množenjem za realne brojeve kompleksni broj oblika
identificira se sa stvarnim brojem .

Kompleksni broj
pozvao imaginarna jedinica i označeno , tj.
Tada iz (3)

Iz (2), (3)  što znači

Izraz (4) se poziva algebarska notacija kompleksni broj.

U algebarskom obliku, operacije sabiranja i množenja imaju oblik:

Kompleksni broj je označen
,- pravi dio, je imaginarni dio, je čisto imaginarni broj. Oznaka:
,
.

Definicija 2. Kompleksni broj
pozvao konjugirati sa kompleksnim brojem
.

Svojstva kompleksne konjugacije.

1)

2)
.

3) Ako
, onda
.

4)
.

5)
je pravi broj.

Dokaz se vrši direktnim proračunom.

Definicija 3. Broj
pozvao modul kompleksni broj
i označeno
.

Očigledno je da
, i


. Formule su također očigledne:
i
.

2°. Svojstva operacija sabiranja i množenja.

1) Komutativnost:
,
.

2) Asocijativnost:,
.

3) Distributivnost: .

Dokaz 1) - 3) izvodi se direktnim proračunima na osnovu sličnih svojstava za realne brojeve.

4)
,
.

5) , C ! , zadovoljavajući jednačinu
. Takve

6) ,C, 0, ! :
. Takve se nalazi množenjem jednačine sa



.

Primjer. Zamislite kompleksan broj
u algebarskom obliku. Da biste to učinili, pomnožite brojnik i nazivnik razlomka konjugatom nazivnika. Imamo:

3°. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik pisanja kompleksnog broja.

Neka je na ravni dat pravougaoni koordinatni sistem. Onda
C može se pridružiti tačka na ravni sa koordinatama
.(vidi sliku 1). Očigledno je da je takva korespondencija jedan na jedan. U ovom slučaju, realni brojevi leže na osi apscisa, a čisto imaginarni brojevi leže na osi ordinata. Stoga se naziva apscisa osa realna osa, i y-osa − imaginarne ose. Zove se ravan na kojoj leže kompleksni brojevi složena ravan.

Zapiši to i
su simetrične u odnosu na porijeklo, i i su simetrične u odnosu na Ox.

Svaki kompleksni broj (tj. svaka tačka na ravni) može se povezati s vektorom s početkom u tački O i krajem u tački
. Korespondencija između vektora i kompleksnih brojeva je jedan prema jedan. Dakle, vektor koji odgovara kompleksnom broju , označena istim slovom

D vektorska linija
koji odgovara kompleksnom broju
, je jednako
, i
,
.

Koristeći vektorsku interpretaciju, može se vidjeti da je vektor
− zbir vektora i , a
− zbir vektora i
.(vidi sliku 2). Stoga su tačne sljedeće nejednakosti:

Zajedno sa dužinom vektor uvodimo ugao između vektora i osa Ox, koja se računa od pozitivnog smjera ose Ox: ako je brojanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, onda se predznak ugla smatra pozitivnim, ako je u smjeru kazaljke na satu, onda negativnim. Ovaj kutak se zove argument kompleksnog broja i označeno
. Ugao nije jednoznačno definisan, već precizno
…. Za
argument nije definiran.

Formule (6) definiraju tzv trigonometrijska notacija kompleksni broj.

Iz (5) slijedi da ako
i
onda

Od (5)
šta po i Kompleksni broj je jedinstveno definisan. Obratno nije tačno: naime, po kompleksnom broju njegov modul je jedinstven, a argument , zbog (7), − sa tačnošću
. Iz (7) također slijedi da je argument može se naći kao rješenje jednačine

Međutim, nisu sva rješenja ove jednačine rješenja za (7).

Među svim vrijednostima argumenta kompleksnog broja bira se jedna koja se naziva glavna vrijednost argumenta i označava
. Obično se glavna vrijednost argumenta bira ili u intervalu
, ili u intervalu

U trigonometrijskom obliku zgodno je izvoditi operacije množenja i dijeljenja.

Teorema 1. Modul proizvoda kompleksnih brojeva i jednak je proizvodu modula, a argument jednak zbiru argumenata, tj.

, a .

Slično

,

Dokaz. Neka ,. Tada direktnim množenjem dobijamo:

Slično

.■

Posljedica(De Moivreova formula). Za
Moivreova formula je važeća

P primjer. Neka nađemo geometrijsku lokaciju tačke
. Iz teoreme 1 slijedi da .

Stoga, da biste ga konstruirali, prvo morate konstruirati tačku , što je obrnuto oko jedinične kružnice, a zatim pronađite tačku koja joj je simetrična oko x-ose.

Neka
, one.
Kompleksni broj
označeno
, tj. R važi Eulerova formula

Jer
, onda
,
. Iz teoreme 1
sta je sa funkcijom
moguće je raditi kao sa običnom eksponencijalnom funkcijom, tj. jednakosti su istinite

,
,
.

Od (8)
eksponencijalna notacija kompleksni broj

, gdje
,

Primjer. .

4°. Roots stepen kompleksnog broja.

Razmotrite jednačinu

Neka
, a rješenje jednačine (9) traži se u obliku
. Tada (9) poprima oblik
, odakle to nalazimo
,
, tj.

,
,
.

Dakle, jednačina (9) ima korijen

Pokažimo da među (10) ima tačno razni koreni. stvarno,

se razlikuju, jer njihovi argumenti su različiti i razlikuju se manje od
. dalje,
, jer
. Slično
.

Dakle, jednadžba (9) za
ima tačno korijenje
nalazi se na vrhovima regularnog -ugao upisan u krug poluprečnika sa središtem u T.O.

Dakle, dokazano je

Teorema 2. vađenje korena stepen kompleksnog broja
uvijek moguće. Sve korijenske vrijednosti th stepen of nalazi se na vrhu ispravnog -ugao upisan u krug sa centrom na nuli i radijusom
. pri čemu,

Posljedica. Roots -ti stepen od 1 izraženi su formulom

.

Proizvod dva korijena iz 1 je korijen, 1 je korijen -. stepen od jedinstva, root
:
.

Počnimo s našim omiljenim kvadratom.

Primjer 9

Kvadriranje kompleksnog broja

Ovdje možete ići na dva načina, prvi način je da prepišete stepen kao proizvod faktora i pomnožite brojeve prema pravilu množenja za polinome.

Drugi način je korištenje poznate školske formule za skraćeno množenje:

Za kompleksan broj, lako je izvesti svoju skraćenu formulu za množenje:

Slična formula se može izvesti za kvadrat razlike, kao i za kocku zbira i kocku razlike. Ali ove formule su relevantnije za složene probleme analize. Šta ako kompleksni broj treba podići na, recimo, 5., 10. ili 100. stepen? Jasno je da je u algebarskom obliku gotovo nemoguće izvesti takav trik, stvarno, razmislite kako ćete riješiti primjer poput?

I tu u pomoć dolazi trigonometrijski oblik kompleksnog broja i tzv De Moivreova formula: Ako je kompleksni broj predstavljen u trigonometrijskom obliku, onda kada se podigne na prirodni stepen, formula vrijedi:

Samo na sramotu.

Primjer 10

Dat kompleksan broj, pronađi.

Šta treba učiniti? Prvo treba da predstavite ovaj broj u trigonometrijskom obliku. Pronicljivi čitaoci će primetiti da smo to već uradili u Primeru 8:

Zatim, prema De Moivreovoj formuli:

Ne daj Bože, ne treba računati na kalkulator, ali u većini slučajeva ugao treba pojednostaviti. Kako pojednostaviti? Slikovito rečeno, morate se riješiti dodatnih okreta. Jedan obrt je radijan ili 360 stepeni. Saznajte koliko revolucija imamo u raspravi. Radi praktičnosti, pravimo razlomak ispravnim:, nakon čega postaje jasno vidljivo da možete smanjiti jedan okret:. Nadam se da svi razumiju da je ovo isti ugao.

Dakle, konačni odgovor bi bio:

Zasebna verzija problema eksponencijalnosti je eksponencijacija čisto imaginarnih brojeva.

Primjer 12

Povećati kompleksne brojeve na stepene

I ovdje je sve jednostavno, glavna stvar je zapamtiti čuvenu jednakost.

Ako se imaginarna jedinica podigne na parnu snagu, tada je tehnika rješenja sljedeća:

Ako se imaginarna jedinica podigne na neparan stepen, tada "odbijamo" jedno "i", dobijajući parnu snagu:

Ako postoji minus (ili bilo koji realni koeficijent), onda se prvo mora odvojiti:

Izdvajanje korijena iz kompleksnih brojeva. Kvadratna jednadžba sa kompleksnim korijenima

Razmotrimo primjer:

Ne možete izdvojiti korijen? Ako govorimo o realnim brojevima, onda je to zaista nemoguće. U kompleksnim brojevima možete izdvojiti korijen - možete! Preciznije, dva korijen:

Jesu li pronađeni korijeni zaista rješenje jednadžbe? provjerimo:

Što je trebalo provjeriti.

Često se koristi skraćena notacija, oba korijena su napisana u jednom redu ispod "jedan češalj":.

Ovi korijeni se također nazivaju konjugirati kompleksne korijene.

Kako izvući kvadratne korijene iz negativnih brojeva, mislim da svi razumiju: ,,,, itd. U svim slučajevima ispada dva konjugirati kompleksne korijene.