Krivolinijski integral 1. vrste nad zatvorenom konturom. MA

Problem mase krive. Neka je u svakoj tački komadno glatke materijalne krive L: (AB) data njena gustina. Odredite masu krive.

Postupamo na isti način kao što smo radili pri određivanju mase ravnog područja (dvostruki integral) i prostornog tijela (trostruki integral).

1. Organizirajte podjelu područja-luka L na elemente - elementarne lukove tako da ovi elementi nemaju zajedničke unutrašnje tačke i
(stanje A )

2. Na elementima particije označavamo "označene tačke" M i i izračunavamo vrijednosti funkcije u njima

3. Konstruirati integralni zbir
, gdje - dužina luka (obično se uvode iste oznake za luk i njegovu dužinu). Ovo je približna vrijednost za masu krive. Pojednostavljenje je da smo pretpostavili da je gustoća luka konstantna na svakom elementu i uzeli konačan broj elemenata.

Prolazak do granice pod uslovom
(stanje B ), dobijamo krivolinijski integral prve vrste kao granicu integralnih suma:

Teorema postojanja 10 .

Neka funkcija
kontinuirano je na komadno glatkom luku L 11 . Tada krivolinijski integral prve vrste postoji kao granica integralnih suma.

Komentar. Ovo ograničenje ne zavisi od

metod izbora particije, sve dok uslov A

izbor "označenih tačaka" na elementima particije,

metod za prečišćavanje particije, sve dok je uslov B zadovoljen

Svojstva krivolinijskog integrala prve vrste.

1. Linearnost a) svojstvo superpozicije

b) svojstvo homogenosti
.

Dokaz. Zapišimo integralne sume za integrale na lijevoj strani jednakosti. Pošto je broj članova u integralnom zbiru konačan, pređimo na integralne sume za desne strane jednakosti. Zatim prelazimo na granicu, prema teoremi o prelasku na granicu u jednakosti, dobijamo željeni rezultat.

2. Aditivnost. Ako a
, onda
=
+

Dokaz. Odaberimo particiju domene L tako da nijedan od elemenata particije (u početku i kada se particija rafinira) ne sadrži i elemente L 1 i elemente L 2 u isto vrijeme. Ovo se može uraditi pomoću teoreme postojanja (primedba na teoremu). Nadalje, dokaz se izvodi u smislu integralnih suma, kao u Odjeljku 1.

3.
.Evo - dužina luka .

4. Ako je na luku onda je nejednakost zadovoljena

Dokaz. Zapišimo nejednakost za integralne sume i prijeđimo do granice.

Napominjemo da je to, posebno, moguće

5. Teorema procjene.

Ako postoje konstante
, nešto

Dokaz. Integracija nejednakosti
(svojstvo 4), dobijamo
. Po svojstvu 1 konstante
može se izvaditi ispod integrala. Koristeći svojstvo 3, dobijamo željeni rezultat.

6. Teorema srednje vrijednosti(vrijednost integrala).

Postoji poenta
, šta

Dokaz. Od funkcije
je kontinuiran na zatvorenom ograničenom skupu , tada postoji njegov infimum
i gornju ivicu
. Nejednakost je ispunjena. Podijelimo obje strane sa L, dobijamo
. Ali broj
zatvorena između donje i gornje granice funkcije. Od funkcije
je kontinuiran na zatvorenom ograničenom skupu L, tada u nekoj tački
funkcija mora uzeti ovu vrijednost. shodno tome,
.

Predavanje 5 Krivolinijski integrali 1. i 2. vrste, njihova svojstva ..

Problem mase krive. Krivolinijski integral 1. vrste.

Problem mase krive. Neka je u svakoj tački krivulje materijala L: (AB) zadana njegova gustina. Odredite masu krive.

Postupamo na isti način kao što smo radili pri određivanju mase ravnog područja (dvostruki integral) i prostornog tijela (trostruki integral).

1. Organizirajte podjelu područja luka L na elemente - elementarne lukove tako da ti elementi nemaju zajedničke unutrašnje tačke i ( stanje A )

3. Konstruirajmo integralni zbir , gdje je dužina luka (obično se uvode iste oznake za luk i njegovu dužinu). Ovo je približna vrijednost za masu krive. Pojednostavljenje je da smo pretpostavili da je gustoća luka konstantna na svakom elementu i uzeli konačan broj elemenata.

Prolazak do granice pod uslovom (stanje B ), dobijamo krivolinijski integral prve vrste kao granicu integralnih suma:

Teorema postojanja.

Neka je funkcija kontinuirana na komadno glatkom luku L. Tada krivolinijski integral prve vrste postoji kao granica integralnih suma.

Komentar. Ovo ograničenje ne zavisi od

Svojstva krivolinijskog integrala prve vrste.

1. Linearnost
a) svojstvo superpozicije

b) svojstvo homogenosti .

2. Aditivnost.
Ako a , onda = +

3. .Ovdje je dužina luka.

4. Ako je nejednakost zadovoljena na luku, onda

Dokaz. Zapišimo nejednakost za integralne sume i prijeđimo do granice.

Napominjemo da je to, posebno, moguće

5. Teorema procjene.

Ako postoje konstante takve da , Onda

Dokaz. Integracija nejednakosti (svojstvo 4), dobijamo . Svojstvom 1, konstante se mogu izvući ispod integrala. Koristeći svojstvo 3, dobijamo željeni rezultat.

6. Teorema srednje vrijednosti(vrijednost integrala).

Postoji poenta , šta

Dokaz. Budući da je funkcija kontinuirana na zatvorenom ograničenom skupu , tada postoji njen infimum i gornju ivicu . Nejednakost je ispunjena. Podijelimo obje strane sa L, dobijamo . Ali broj zatvorena između donje i gornje granice funkcije. Budući da je funkcija kontinuirana na zatvorenom ograničenom skupu L, funkcija mora uzeti ovu vrijednost u nekom trenutku. shodno tome, .

Proračun krivolinijskog integrala prve vrste.

Parametarizujemo luk L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Neka t 0 odgovara tački A, a t 1 tački B. Tada se krivolinijski integral prve vrste svodi na definitivni integral ( - formula poznata iz 1. semestra za izračunavanje diferencijala dužine luka):

Primjer. Izračunajte masu jednog okreta homogene (gustine jednake k) spirale: .

Krivolinijski integral 2. vrste.

Problem rada sile.

Koliki rad obavlja sila?F(M) prilikom pomeranja tačkeMu lukuAB?

Kada bi luk AB bio pravolinijski segment, a sila bi bila konstantna po veličini i smjeru kada se tačka M kreće duž luka AB, tada bi se rad mogao izračunati po formuli , gdje je ugao između vektora. U opštem slučaju, ova formula se može koristiti za konstruisanje integralne sume, uz pretpostavku da je sila konstantna na elementu luka dovoljno male dužine. Umjesto dužine malog elementa luka, možete uzeti dužinu tetive koja ga sažima, jer su ove količine ekvivalentne beskonačno male količine pod uvjetom (prvi semestar).

1. Organizujte podjelu luka regiona AB na elemente - elementarne lukove tako da ti elementi nemaju zajedničke unutrašnje tačke i ( stanje A )

2. Na elementima particije označavamo "označene tačke" M i i izračunavamo vrijednosti funkcije u njima

3. Konstruirati integralni zbir , gdje je vektor usmjeren duž tetive koja savija -luk .

4. Prelazak do granice pod uslovom (stanje B ), dobijamo krivolinijski integral druge vrste kao granicu integralnih suma (i rada sile):

. Često se pominje

Teorema postojanja.

Neka je vektorska funkcija neprekidna na komadno glatkom luku L. Tada krivolinijski integral druge vrste postoji kao granica integralnih suma.

Komentar. Ovo ograničenje ne zavisi od

Metoda za izbor particije, sve dok je uslov A zadovoljen

Odabirom "označenih tačaka" na elementima particije,

Metoda za pročišćavanje particije, sve dok je uslov B zadovoljen

Svojstva krivolinijskog integrala 2. vrste.

1. Linearnost
a) svojstvo superpozicije

b) svojstvo homogenosti .

Dokaz. Zapišimo integralne sume za integrale na lijevoj strani jednakosti. Pošto je broj članova u integralnom zbiru konačan, koristeći svojstvo skalarnog proizvoda, prelazimo na integralne sume za desne strane jednakosti. Zatim prelazimo na granicu, prema teoremi o prelasku na granicu u jednakosti, dobijamo željeni rezultat.

2. Aditivnost.
Ako a , onda = + .

3. Orijentabilnost.

= -

Dokaz. Integral luka –L, tj. u negativnom smjeru zaobilaženja luka, postoji ograničenje integralnih suma, u čijim terminima postoji (). Uzimajući "minus" iz skalarnog proizvoda i iz zbira konačnog broja članova, prelazeći do granice, dobijamo traženi rezultat.

Teoretski minimum
Krivolinijski i površinski integrali se često javljaju u fizici. Dolaze u dvije varijante, od kojih je prva razmatrana ovdje. Ovo
tip integrala se konstruiše prema opštoj šemi, prema kojoj se uvode definitivni, dvostruki i trostruki integrali. Prisjetimo se ukratko ove šeme.
Postoji neki objekat nad kojim se vrši integracija (jednodimenzionalni, dvodimenzionalni ili trodimenzionalni). Ovaj objekt je razbijen na male dijelove,
u svakom od dijelova je odabrana tačka. U svakoj od ovih tačaka, vrijednost integrala se izračunava i množi mjerom dijela koji
data tačka pripada (dužina segmenta, površina ili zapremina delimične površine). Tada se svi takvi proizvodi zbrajaju, i granica
prelazak na podjelu objekta na beskonačno male dijelove. Rezultirajuća granica naziva se integral.
1. Definicija krivolinijskog integrala prve vrste
Razmotrimo funkciju definiranu na krivulji. Pretpostavlja se da se kriva može ispraviti. Podsjetimo šta to, grubo rečeno, znači,
da se polilinija može upisati u krivu sa proizvoljno malim vezama, a u granici beskonačno velikog broja karika, dužina polilinije mora ostati
final. Kriva je podijeljena na parcijalne lukove dužine i na svakom od njih je odabrana tačka. Rad se sastavlja
sumiranje po svim parcijalnim lukovima . Tada se prelazak do granice vrši sa tendencijom dužine najveće
od parcijalnih luka do nule. Granica je krivolinijski integral prve vrste
.
Važna karakteristika ovog integrala, koja direktno proizlazi iz njegove definicije, jeste nezavisnost od pravca integracije, tj.
.
2. Definicija površinskog integrala prve vrste
Razmislite o funkciji definiranoj na glatkoj ili komadno glatkoj površini. Površina je razbijena na djelomične regije
sa oblastima, tačka se bira u svakoj takvoj oblasti. Rad se sastavlja , zbrajanje
preko svih parcijalnih površina . Tada se prelaz do granice izvodi sa tendencijom prečnika najvećeg od svih parcijalnih
područja na nulu. Granica je površinski integral prve vrste
.
3. Proračun krivolinijskog integrala prve vrste
Metoda za izračunavanje krivolinijskog integrala prve vrste može se vidjeti već iz njegove formalne notacije, ali u stvari proizilazi direktno iz
definicije. Integral se svodi na određen, samo je potrebno zapisati diferencijal luka krivulje duž koje se vrši integracija.
Počnimo s jednostavnim slučajem integracije duž ravne krive zadane eksplicitnom jednadžbom. U ovom slučaju, lučni diferencijal
.
Zatim, u integrandu, varijabla se mijenja, a integral poprima oblik
,
gdje segment odgovara promjeni varijable duž onog dijela krive preko kojeg se vrši integracija.
Vrlo često se kriva postavlja parametarski, tj. jednačine tipa. Zatim lučni diferencijal
.
Ovu formulu je vrlo lako opravdati. U osnovi, to je Pitagorina teorema. Diferencijal luka je zapravo dužina infinitezimalnog dijela krive.
Ako je kriva glatka, onda se njen infinitezimalni dio može smatrati pravolinijskim. Za pravu liniju, odnos
.
Da bi se izvršio za mali luk krivulje, treba prijeći s konačnih priraštaja na diferencijale:
.
Ako je kriva data parametarski, onda se diferencijali jednostavno izračunavaju:
itd.
Shodno tome, nakon promjene varijabli u integrandu, krivolinijski integral se izračunava na sljedeći način:
,
pri čemu dio krive po kojem se vrši integracija odgovara segmentu promjene parametra .
Situacija je nešto složenija kada je kriva specificirana u krivolinijskim koordinatama. Ovo pitanje se obično raspravlja u okviru diferencijala
geometrija. Dajemo formulu za izračunavanje integrala duž krive date u polarnim koordinatama jednadžbom:
.
Dajemo i opravdanje za lučni diferencijal u polarnim koordinatama. Detaljna rasprava o mreži polarnog koordinatnog sistema
cm. . Odaberimo mali luk krivulje koji se nalazi u odnosu na koordinatne linije kao što je prikazano na Sl. 1. Zbog malenosti svega
ponovo lukovi, možete primijeniti Pitagorinu teoremu i napisati:
.
Odavde slijedi željeni izraz za diferencijal luka.
Sa čisto teorijske tačke gledišta, sasvim je lako shvatiti da se krivolinijski integral prve vrste mora svesti na njegov poseban slučaj -
određeni integral. Zaista, vršeći promjenu diktiranu parametrizacijom krive duž koje se izračunava integral, uspostavljamo
jedan-na-jedan preslikavanje između dijela date krive i segmenta promjene parametara. A ovo je svođenje na integral
duž prave linije koja se poklapa sa koordinatnom osom - definitivni integral.
4. Proračun površinskog integrala prve vrste
Nakon prethodne tačke, trebalo bi biti jasno da je jedan od glavnih dijelova izračunavanja površinskog integrala prve vrste pisanje površinskog elementa,
nad kojim se vrši integracija. Opet, počnimo s jednostavnim slučajem površine zadane eksplicitnom jednadžbom. Onda
.
Izvršena je promjena u integrandu, a površinski integral se svodi na dvostruki integral:
,
gdje je područje ravni u koju se projektuje dio površine preko koje se vrši integracija.
Međutim, često je nemoguće odrediti površinu eksplicitnom jednačinom, a tada se ona specificira parametarski, tj. jednačine oblika
.
Element površine u ovom slučaju je napisan složenije:
.
Površinski integral se zapisuje na odgovarajući način:
,
gdje je raspon parametara koji odgovara dijelu površine preko kojeg se vrši integracija.
5. Fizičko značenje krivolinijskih i površinskih integrala prve vrste
Integrali o kojima se raspravlja imaju vrlo jednostavno i jasno fizičko značenje. Neka postoji neka kriva čija linearna gustina nije
konstanta, i funkcija je tačke . Nađimo masu ove krive. Razbijmo krivu na mnogo malih elemenata,
unutar kojeg se njegova gustina može približno smatrati konstantnom. Ako je dužina malog dijela krivulje , tada je njegova masa
, gdje je bilo koja tačka odabranog dijela krive (bilo koja, budući da je gustina unutar
ovog komada se pretpostavlja da je približno konstantan). U skladu s tim, masa cijele krivulje dobiva se zbrajanjem masa njenih pojedinačnih dijelova:
.
Da bi jednakost postala tačna, treba ići do granice cijepanja krive na beskonačno male dijelove, ali to je krivolinijski integral prve vrste.

Slično, pitanje ukupnog naboja krivulje je riješeno ako je poznata linearna gustina naboja .
Ova razmatranja se lako prenose na slučaj nejednako nabijene površine sa površinskom gustinom naelektrisanja . Onda
površinski naboj je površinski integral prve vrste
.
Napomena . Glomazna formula za površinski element dat parametarski je nezgodna za pamćenje. Drugi izraz se dobija u diferencijalnoj geometriji,
koristi tzv. prvi kvadratni oblik površine.
Primjeri izračunavanja krivolinijskih integrala prve vrste
Primjer 1 Integralni duž linije.
Izračunaj integral

duž segmenta koji prolazi kroz točke i .
Prvo napišemo jednadžbu prave linije duž koje se vrši integracija: . Nađimo izraz za:
.
Računamo integral:
Primjer 2 Integral duž krive u ravnini.
Izračunaj integral

duž luka parabole od tačke do tačke.
Date tačke i omogućavaju nam da izrazimo varijablu iz jednadžbe parabole: .

Računamo integral:
.
Međutim, bilo je moguće izvršiti proračune na drugi način, koristeći činjenicu da je kriva data jednadžbom koja je riješena s obzirom na varijablu .
Ako uzmemo varijablu kao parametar, to će dovesti do male promjene u izrazu za lučni diferencijal:
.
Shodno tome, integral će se donekle promijeniti:
.
Ovaj integral se lako izračunava podvođenjem varijable pod diferencijal. Rezultat je isti integral kao kod prve metode proračuna.
Primjer 3 Integral duž krive u ravnini (koristeći parametrizaciju).
Izračunaj integral

duž gornje polovine obima .
Možete, naravno, izraziti jednu od varijabli iz jednačine kružnice, a zatim provesti ostatak proračuna na standardni način. Ali možete i koristiti
definicija parametarske krive. Kao što znate, krug se može definirati jednadžbama. Gornji polukrug
odgovara promjeni parametra unutar . Izračunajte diferencijalni luk:
.
Na ovaj način,
Primjer 4 Integral duž krive u ravni danoj u polarnim koordinatama.
Izračunaj integral

duž desnog režnja lemniskate .

Gornji crtež prikazuje lemniskatu. Integraciju treba izvršiti duž njenog desnog režnja. Nađimo diferencijalni luk za krivu :
.
Sljedeći korak je određivanje granica integracije preko polarnog ugla. Jasno je da nejednakost mora da važi, i stoga
.
Računamo integral:
Primjer 5 Integral duž krive u prostoru.
Izračunaj integral

duž zavoja heliksa koji odgovara granicama promjene parametara