Logaritam od 1000 na osnovu 0 5. Šta je logaritam

DEFINICIJA

Decimalni logaritam naziva se logaritam na osnovu 10:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ovaj logaritam je rješenje eksponencijalne jednačine. Ponekad se (posebno u stranoj literaturi) decimalni logaritam označava i kao, iako su prve dvije oznake također inherentne prirodnom logaritmu.

Prve tabele decimalnih logaritama objavio je engleski matematičar Henry Briggs (1561-1630) 1617. godine (zbog čega strani naučnici decimalne logaritme još uvijek nazivaju Briggsom), ali ove tabele su sadržavale greške. Na osnovu tablica (1783) slovenskog i austrijskog matematičara Georga Bartalomeja Vege (Jurija Vehe ili Vehovca, 1754-1802), njemački astronom i geometar Karl Bremiker (1804-1877) objavio je 1857. prvo nepogrešivo izdanje. Uz učešće ruskog matematičara i učitelja Leontija Filipoviča Magnitskog (Teljatin ili Teljašin, 1669-1739), 1703. godine u Rusiji su objavljene prve tablice logaritama. Decimalni logaritmi se široko koriste za proračune.

Svojstva decimalnih logaritama

Ovaj logaritam ima sva svojstva logaritma na proizvoljnu bazu:

1. Osnovni logaritamski identitet:

5. .

7. Prelazak na novu bazu:

Funkcija decimalnog logaritma je funkcija. Grafikon ove krive se često naziva logaritamski.

Svojstva funkcije y=lg x

1) Domen definicije: .

2) Skup vrijednosti: .

3) Opća funkcija.

4) Funkcija je neperiodična.

5) Graf funkcije siječe se s x-osom u tački .

6) Nedostaci u konzistentnosti: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} to za .

Često uzimajte broj deset. Pozivaju se logaritmi brojeva na osnovu deset decimalni. Prilikom izvođenja proračuna sa decimalnim logaritmom, uobičajeno je raditi sa predznakom lg, ali ne log; dok broj deset, koji određuje bazu, nije naznačen. Da, zamjenjujemo dnevnik 10 105 na pojednostavljeno lg105; a log102 na lg2.

Za decimalni logaritmi tipične su iste karakteristike koje imaju logaritmi s bazom većom od jedan. Naime, decimalni logaritmi karakteriziraju se isključivo za pozitivne brojeve. Decimalni logaritmi brojeva veći od jedan su pozitivni, a brojevi manji od jedan negativni; od dva nenegativna broja, veći decimalni logaritam je takođe ekvivalentan većem itd. Osim toga, decimalni logaritmi imaju karakteristične karakteristike i posebne karakteristike, koje objašnjavaju zašto je udobno preferirati broj deset kao osnovu logaritama.

Prije analize ovih svojstava, pogledajmo sljedeće formulacije.

Cjelobrojni dio decimalnog logaritma broja a pozvao karakteristika, i razlomak mantissa ovaj logaritam.

Karakteristika decimalnog logaritma broja a označeno kao , a mantisa kao (lg a}.

Uzmimo, recimo, lg 2 ≈ 0,3010. Prema tome, = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Isto važi i za LG 543.1 ≈2.7349. Prema tome, = 2, (lg 543,1)≈ 0,7349.

Izračunavanje decimalnih logaritama pozitivnih brojeva iz tablica je prilično široko korišteno.

Karakteristični znaci decimalnih logaritama.

Prvi znak decimalnog logaritma. nenegativan cijeli broj predstavljen sa 1 praćen nulama je pozitivan cijeli broj jednak broju nula u odabranom broju .

Uzmimo lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Uopšteno govoreći, ako

To a= 10n , iz koje dobijamo

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Drugi znak. Decimalni logaritam pozitivne decimale, prikazan jedinicom sa vodećim nulama, je − P, gdje P- broj nula u prikazu ovog broja, uzimajući u obzir nulu cijelih brojeva.

Razmislite , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Uopšteno govoreći, ako

,

To a= 10-n i ispostavilo se

lga = lg 10n =-n LG 10 =-n

Treći znak. Karakteristika decimalnog logaritma nenegativnog broja većeg od jedan jednaka je broju cifara u cijelom dijelu ovog broja, isključujući jedan.

Analizirajmo ovu osobinu 1) Karakteristika logaritma lg 75,631 je izjednačena sa 1.

Zaista, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

LG 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

ovo implicira,

lg 75,631 = 1 + b,

Pomicanje zareza u decimalnom razlomku udesno ili ulijevo je ekvivalentno operaciji množenja ovog razlomka sa stepenom deset sa cjelobrojnim eksponentom P(pozitivan ili negativan). I stoga, kada se decimalna točka u pozitivnom decimalnom razlomku pomakne ulijevo ili udesno, mantisa decimalnog logaritma ovog razlomka se ne mijenja.

Dakle, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Dakle, imamo moći dvojke. Ako uzmete broj iz donje linije, onda možete lako pronaći stepen na koji morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tabele.

A sada - u stvari, definicija logaritma:

Osnova a logaritma argumenta x je stepen na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Notacija: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Može i logirati 2 64 = 6, jer je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja na datu bazu naziva se logaritam. Dakle, dodajmo novi red u našu tabelu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, svi logaritmi se ne razmatraju tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tabeli, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalni: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se ispostavi da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (bazom i argumentom). U početku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

[Natpis slike]

Pred nama nije ništa drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je snaga, na koju morate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na stepen - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima već na prvom času - i nema zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje da naučimo kako računati logaritme, tj. oslobodite se znaka "log". Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti različita od jedinice, budući da je jedinica za bilo koju snagu i dalje jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se mora podići da bi se dobilo dva“. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se nazivaju važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuta. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema su već uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednačine i nejednakosti uđu u igru, DHS zahtjevi će postati obavezni. Zaista, u osnovi i argumentu mogu biti vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmotrite opću šemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao stepen sa najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimalnih razlomaka;
2. Riješite jednačinu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b će biti odgovor.

To je sve! Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerovatnoću greške i uvelike pojednostavljuje proračune. Slično i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje grešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Napravimo i riješimo jednačinu:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunaj logaritam:

[Natpis slike]

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Napravimo i riješimo jednačinu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Napravimo i riješimo jednačinu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dobio odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne uzima u obzir;
3. Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako se uvjeriti da broj nije tačan stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga razložite na osnovne faktore. A ako se takvi faktori ne mogu prikupiti u stepenu sa istim pokazateljima, onda originalni broj nije tačan stepen.

Zadatak. Saznajte da li su tačne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 je tačan stepen, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije tačan stepen jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tačan stepen;
35 \u003d 7 5 - opet nije tačan stepen;
14 \u003d 7 2 - opet nije tačan stepen;

Imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek tačni potenci sami za sebe.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko česti da imaju poseban naziv i oznaku.

Decimalni logaritam argumenta x je logaritam osnove 10, tj. stepen na koji trebate podići broj 10 da biste dobili broj x. Oznaka: lg x .

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput „Pronađi lg 0,01“, znajte da ovo nije greška u kucanju. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U određenom smislu, to je čak i važnije od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.

Prirodni logaritam argumenta x je logaritam bazi e, tj. stepen na koji se broj e mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se pitati: šta je još broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova tačna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459...

Nećemo se upuštati u to šta je ovaj broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.