LOGIČKE VEZE- simboli logičkih jezika koji se koriste za formiranje složenih iskaza (formula) od elementarnih. Sindikati prirodnog jezika koji odgovaraju ovim simbolima nazivaju se i logičkim konektivima. Obično se koriste takvi logički veznici kao što je veznik (veznik "i", simbolične oznake: &, ∧ i tačka u obliku znaka množenja, koji se često izostavljaju prilikom pisanja veznika A I IN Kako AB), disjunkcija (nestroga unija "ili", označena kao "∨"), implikacija ("ako ..., onda", označena znakom "⊃" i razne vrste strelica), negacija ("to je nije tačno da ... “, označeno sa: , ~ ili trakom iznad negiranog izraza). Od njih, negacija je jedan (unarni) veziv. Drugi su dvostruki (binarni). U principu, logičke veze mogu biti proizvoljno lokalne, ali u praksi se vrlo rijetko koriste više od binarnih. U klasičnoj logici ( Logika , propoziciona logika ) bilo koji logički veznik na više mjesta se može izraziti u terminima nabrojanih. Neko praktično značenje daje se upotrebom ternarnog logičkog veziva, nazvanog uslovna disjunkcija, koja povezuje tri iskaza A, B I WITH i to znači A kada IN, And WITH u slučaju ne- B' ili formalno: ( B⊃A)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. Propozicijski račun sa uslovnom disjunkcijom. - U knjizi: Metode logičke analize. M., 1977).

Klasična logika smatra logičke veznike ekstenzivno (zanemarujući smisleno značenje iskaza koje povezuju) kao funkcije istine određene vrijednostima istinitosti iskaza koje povezuju. Sa dvije vrijednosti istinitosti u ovoj logici 1 (tačno) i 0 (netačno) iskazi A I IN može imati četiri moguća skupa uređenih istinitih vrijednosti:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Propoziciona funkcija istinitosti svakom navedenom skupu dodjeljuje jednu od istinitih vrijednosti - 1 ili 0. Takvih funkcija ima ukupno 16. Konjunkcija pripisuje izrazu A&IN vrijednost 1 samo ako oba A, i IN su istinite, tj. oba imaju vrijednost 1, inače vrijednost A&IN je 0. Disjunkcija Α ∨ IN, naprotiv, lažna je samo u jednom slučaju, kada su oba lažna A, i IN. implikacija A⊃ IN je netačan samo kada je istinit (antecedent) A i lažno (posledično) IN. U drugim slučajevima A⊃ IN uzima vrijednost 1. Od četiri funkcije na jednom mjestu, samo je negacija od interesa, mijenjajući značenje iskaza u suprotno: kada A je tačno, A je lažno, i obrnuto. Sve ostale unarne i binarne klasične funkcije mogu se izraziti u terminima predstavljenih. Kada nam sistem logičkih veziva usvojen u odgovarajućoj semantici dopušta da definiramo sve ostale, naziva se funkcionalno potpun. Kompletni sistemi u klasičnoj logici uključuju, posebno, konjunkciju i negaciju; disjunkcija i negacija; implikacija i negacija. Konjunkcija i disjunkcija se mogu definisati jedna u odnosu na drugu zbog ekvivalentnosti ( A&IN)≡(A∨IN) i (A∨B)≡( A&B), koji se nazivaju de Morganovi zakoni, kao i: (Α⊃Β)≡( Α ∨IN), (A&IN)≡(A⊃B), ( Α ∨IN)≡((A⊃IN)⊃A). Bilo koja ekvivalentnost forme A≡ IN vrijedi samo kada je veznik važeći (uvijek istinit) ( A⊃IN)&(IN⊃A).

Funkcije antidisjunkcija i antikonjukcija, definirane kao ( A∨IN) i ( A&IN), takođe predstavljaju, svaki posebno, funkcionalno zaokružen sistem snopova. Ova posljednja okolnost je već bila poznata Ch. Pierce (neobjavljen za vrijeme njegovog života, djelo iz 1880.) i ponovo ga je otkrio H.M.Sheffer. Koristeći antidisjunkciju kao jedinu logičku vezu, Schaeffer je 1913. izgradio potpuni propozicioni račun. Antidisjunkcija je označena A∣IN i nazovite Schaefferov moždani udar, čitajući ovaj izraz kao "ne- A i ne- B". J. G.P. Nicod je koristio istu notaciju za antikonjukciju („Nije tačno da je u isto vrijeme A I B”), i samo uz pomoć ovog paketa, 1917. godine formulirao je potpuni propozicioni račun s jednim (ukupnim!) aksiom i jedno pravilo zaključivanja. Dakle, Schaefferov potez je u suštini sama okomita linija, koja, prema različitim autorima, može označavati i antidisjunkciju i antikonjunkciju.

Ekstenzionalnost logičkih veziva daje im jedinstvenost, pojednostavljuje problem konstruisanja logičkih računa i omogućava rješavanje metateorijskih problema konzistentnosti, odlučivosti i potpunosti za potonje (vidi sl. metalogic ). Međutim, u nekim slučajevima, istinito-funkcionalna interpretacija veziva dovodi do značajnog odstupanja od načina na koji se oni razumiju u prirodnom jeziku. Dakle, naznačeno istinito tumačenje implikacije tjera nas da prepoznamo kao istinite rečenice oblika „Ako A, To B» čak i u slučaju kada između izjava A I IN(i, shodno tome, događaji o kojima govore) nema prave veze. Dovoljno A bila lažna ili IN- istinito. Dakle, iz dvije rečenice: „Ako A, To IN» i ako IN, To A“, barem jedan mora biti prihvaćen kao istinit, što se ne uklapa dobro s uobičajenom upotrebom kondicionalnog veznika. Implikacija se u ovom slučaju posebno naziva "materijalna", čime se razlikuje od kondicionalnog veznika, koji pretpostavlja da postoji stvarna veza između antecedenta i konsekventa istinitog uslovnog iskaza. Istovremeno, materijalna implikacija može se savršeno koristiti u mnogim kontekstima, na primjer, u matematičkim, kada se ne zaboravljaju njene specifičnosti. U nekim slučajevima, međutim, kontekst je taj koji ne dozvoljava da se kondicionalni veznik tumači kao materijalna implikacija, sugerirajući odnos iskaza. Da bi se analizirali takvi konteksti, potrebno je izgraditi posebne neklasične logike , na primjer, relevantno (usp. Relevantna logika ), u čiji jezik se umjesto materijalne implikacije (ili uz nju) uvode i druge implikacije koje se razumiju intenzivno (sadržajno) i čija se ispravnost ne može istinito-funkcionalno potkrijepiti. Drugi logički spojevi se također mogu interpretirati intenzivno.

književnost:

1. Crkva A. Uvod u matematičku logiku, tom 1. M., 1960;

2. Curry H. Osnove matematičke logike. M., 1969.

E.A. Sidorenko

LOGIČKE VEZE

LOGIČKE VEZE

LOGIČKE VEZE - simboli logičkih jezika koji se koriste za formiranje složenih iskaza (formula) od elementarnih. Sindikati prirodnog jezika koji odgovaraju ovim simbolima nazivaju se i logičkim konektivima. Obično se koriste takvi logički veznici kao (veznik "i", simboličke oznake: &, l i tačka u obliku znaka množenja, koji se često izostavljaju kada se veznik A i B piše kao AB), (nestrogi spoj "ili", označeno kao "v"), ("ako..., onda", označeno je znakom negacije ("nije tačno da ...", označeno sa: -ι, LOGIČKE VEZE ili linija preko negiranog izraza). Od njih je negacija jednostruka (unarna) Drugi su dvomjesni (binarni). U principu, logički veznici mogu biti proizvoljno lokalni, ali u praksi se vrlo rijetko koriste više od binarnih. U klasičnoj logici (Logika, Propozicionalna logika), bilo koji logički veznik na više mjesta može se izraziti kroz nabrojane. Neki praktični daju upotrebu ternarnog logičkog veziva, nazvanog uslovna disjunkcija, koja povezuje tri propozicije A, B i C i znači da " A u slučaju B, i C u slučaju hb-?" ili formalno: (B z A)&(-, B e O (Sidorenko E. A. Propozicional sa uslovnom disjunkcijom. - U knjizi: Metode logičke analize. M., 1977).

Klasični smatra logičke veznike ekstenzivno (zanemarujući smisleno značenje iskaza koje povezuju) kao funkcije istine određene vrijednostima istinitosti iskaza koje povezuju. Za dvije istinite vrijednosti u ovoj logici

U slučaju 1 (tačno) i 0 (netačno), iskazi A i B mogu imati četiri moguća skupa uređenih istinitih vrijednosti: , . Propoziciona istina stavlja u korespondenciju sa svakim navedenim skupom jednu od istinitih vrijednosti - 1 ili 0. Takvih funkcija ima ukupno 16. , u ostalim slučajevima vrijednost A&.B je jednaka 0. Disjunkcija Α ν B, naprotiv, lažno je samo u jednom slučaju, kada su i A i B lažni. ) B. U drugim slučajevima, A => B uzima vrijednost 1. Od četiri jednomjesne funkcije, predstavlja samo negaciju, koja se mijenja značenje iskaza na suprotno: kada je A tačno, -A je lažno, i obrnuto. Sve ostale unarne i binarne klasične funkcije mogu se izraziti u terminima predstavljenih. Kada nam logički spojevi prihvaćeni u odgovarajućoj semantici dopuštaju da damo sve ostale, to se naziva funkcionalno potpunim. Kompletni sistemi u klasičnoj logici uključuju, posebno, konjunkciju i negaciju; disjunkcija i negacija; implikacija i negacija. Konjunkcija i disjunkcija se mogu odrediti jedna kroz drugu zbog ekvivalencija (A&V) = -i(-i/4v-i.ß) i (A v V) a -,(-Α&-ιΒ), nazvanih de Morganovi zakoni, i takođe: (A ^ B) s (-iA ^ B), (A & B) s -, (A e -ιΒ), (Α ν B) \u003d ((A \u003e B) 3A). Bilo koji oblik L = B vrijedi samo kada je veznik (A =) B) & (B e A) važeći (uvijek istinit).

Funkcije antidisjunkcija i antikonjunkcija, definisane kao -ι(Α ν V) i -(A&.V), svaka zasebno predstavljaju funkcionalno kompletan sistem veziva. Ovu posljednju okolnost već je znao C. Pierce (djelo neobjavljeno za vrijeme njegovog života 1880.) i ponovo ju je otkrio H. M. Shefier. Koristeći antidijunkciju kao jedinu logičku vezu, Schaeffer je 1913. godine konstruirao potpunu . Antidisjunkcija je označena sa A B i naziva se Šeferov potez, čitajući izraz kao "ne-D i ne-B". J. G. P. Nicod je koristio istu notaciju za antikonjukciju („Nije tačno da su A i B istovremeno”) i koristeći samo ovaj konektiv 1917. godine formulisao je potpuni propozicioni račun sa jednim (samo!) aksiomom i jednim pravilom zaključivanja. Dakle, Schaefferov potez je u suštini sama okomita linija, koja, prema različitim autorima, može označavati i antidisjunkciju i antikonjunkciju.

Ekstenzionalnost logičkih veziva daje im jedinstvenost, pojednostavljuje problem konstruisanja logičkih računa i omogućava rešavanje metateorijskih problema konzistentnosti, odlučivosti i potpunosti za ove potonje (vidi Metalogic). Međutim, u nekim slučajevima, istinito-funkcionalna interpretacija veziva dovodi do značajnog odstupanja od načina na koji se oni razumiju u prirodnom jeziku. Dakle, naznačena implikacija istine nas tjera da prepoznamo kao istinite rečenice oblika „Ako A, onda B“ čak i u slučaju kada nema stvarne veze između iskaza A i B (i, shodno tome, događaja o kojima govore ). Dovoljno je da je A lažno ili je B tačno. Dakle, od dvije rečenice: "Ako A, onda B" i "Ako B, onda A", barem jedna mora biti prepoznata kao istinita, što se ne uklapa dobro uz uobičajenu upotrebu kondicionalnog veznika. Implikacija se u ovom slučaju posebno naziva "materijalna", čime se razlikuje od uslovne unije, koja pretpostavlja da postoji stvarna između antecedenta i konsekventa istinitog uslovnog iskaza. Istovremeno, materijalna implikacija može se savršeno koristiti u mnogim kontekstima, na primjer, u matematičkim, kada se ne zaboravljaju njene specifičnosti. U nekim slučajevima, međutim, ne dozvoljava nam da tumačimo uslovni veznik kao materijalnu implikaciju, uz pretpostavku iskaza. Za analizu takvih konteksta potrebno je konstruirati posebne, na primjer relevantne (vidi Relevantnu logiku), u koje se, umjesto materijalne implikacije (ili zajedno s njom), uvode druge implikacije koje se razumiju intenzivno (sadržajno) i čija se ispravnost ne može dokazati istinito-funkcionalno . Drugi logički spojevi se također mogu interpretirati intenzivno.

Lit.: Church L. Uvod u matematičku logiku, tom 1. M., 1960; CurryH. Osnove matematičke logike. M., 1969.

E. A. Sidorenko

Nova filozofska enciklopedija: u 4 toma. M.: Misao. Uredio V. S. Stepin. 2001 .

Pogledajte šta su "LOGIČKE VEZE" u drugim rječnicima:

logičke veze- - [L.G. Sumenko. Engleski ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije u opšte EN strukturne konstante ... Priručnik tehničkog prevodioca

Logički konektivi, logički operatori, funkcije koje transformišu iskaze ili propozicijske forme (tj. izraze predikatne logike (Vidi Logika predikata), koje sadrže varijable (Vidi varijablu) i pretvaraju se u iskaze kada ... ... Velika sovjetska enciklopedija

U logici se logičke operacije nazivaju radnjama, kao rezultat kojih se generiraju novi koncepti, eventualno koristeći postojeće. U užem, formalizovanom smislu, koncept logičke operacije se koristi u matematičkoj logici i ... Wikipedia

Logika operatori, logički snopovi, funkcije koje transformišu izraze logički. račun (formalni logički sistemi); dijele se na propozicionalne (rečenične) veznike, uz pomoć kojih se formiraju izrazi propozicionalne logike, i ... ... Philosophical Encyclopedia

Formalizacije smislene logike. teorije; inferirani objekti LP interpretiraju se kao propozicije sastavljene od najjednostavnijih (općenito govoreći, imaju strukturu subjekt-predikat) uz pomoć propozicionih veziva i kvantifikatora. Češće… … Mathematical Encyclopedia

Grana logike koja proučava istinite odnose između propozicija. U okviru ovog odjeljka iskazi (prijedlozi, rečenice) se razmatraju samo sa stanovišta. njihovu istinu ili neistinu, bez obzira na njihovu unutrašnju subjektivnost... Philosophical Encyclopedia

- (od grčkog logos riječ, koncept, rasuđivanje, um), ili formalna logika, nauka o zakonima i operacijama ispravnog mišljenja. Prema osnovnom principu L., ispravnost rasuđivanja (zaključka) određena je samo njegovom logičkom formom, ili ... ... Philosophical Encyclopedia

LOGIKA IZJAVA, ili PROPOZICIONALNA LOGIKA- dio deduktivne logike u kojem se razmatra pitanje istinitosti (ili lažnosti) iskaza (tj. sudova koji se razmatraju bez njihove subjektivne strukture predikata) u zaključcima na temelju proučavanja sljedećih načina njihovog izražavanja t... Moderni filozofski rječnik

Spisak specifičnih simbola koji se koriste u matematici može se videti u članku Tabela matematičkih simbola Matematička notacija („jezik matematike“) je složen sistem grafičkih oznaka koji se koristi za predstavljanje apstraktnih ... ... Wikipedia

simboli logičkih jezika koji se koriste za formiranje složenih iskaza (formula) od elementarnih. Sindikati prirodnog jezika koji odgovaraju ovim simbolima nazivaju se i logičkim konektivima. Obično se takvi logički veznici koriste kao veznik (veznik "i", simboličke oznake: &, l i tačka u obliku znaka množenja, koji se često izostavljaju kada se veznik A i B piše kao AB), disjunkcija (ne- stroga unija "ili", označena kao "v"), implikacija ("ako..., onda", označena znakom, . Propoziciona funkcija istinitosti dodeljuje svakom navedenom skupu jednu od istinitih vrijednosti - 1 ili 0 Takvih funkcija ima ukupno 16. Konjunkcija izrazu A&.B dodjeljuje vrijednost 1 samo u slučaju kada su i A i B tačni, odnosno obje imaju vrijednost 1, u ostalim slučajevima vrijednost A&.B je 0. Disjunkcija B je, naprotiv, netačna samo u jednom slučaju kada su oba lažna kao A i B. Implikacija A e B je lažna samo kada je istinita (antecedentna) A i lažna (posledična) B. U drugim slučajevima, A => B uzima vrijednost 1. Od četiri funkcije na jednom mjestu, samo je negacija od interesa, mijenjajući značenje iskaza u suprotno: kada je A istinito, -A je netačno, i obrnuto. Sve ostale unarne i binarne klasične funkcije mogu se izraziti u terminima predstavljenih. Kada nam sistem logičkih veziva usvojen u odgovarajućoj semantici dopušta da definiramo sve ostale, naziva se funkcionalno potpun. Kompletni sistemi u klasičnoj logici uključuju, posebno, konjunkciju i negaciju; disjunkcija i negacija; implikacija i negacija. Konjunkcija i disjunkcija se mogu definisati jedna kroz drugu zbog ekvivalencija (A&V) = -i(-i/4v-i.) i (A v V) a -,(-&-), zvanih de Morganovi zakoni, a takođe: (A ^B)s (-iA^ B), (A&B) s -, (A e -), (B) \u003d ((A => B) 3A). Svaka ekvivalencija oblika A = B je važeća samo kada je veznik (A =) B) & (B e A) važeći (uvijek istinit).

Funkcije antidisjunkcija i antikonjukcija, definisane redom kao -(B) i -(A&.B), svaka zasebno predstavljaju funkcionalno kompletan sistem veziva. Ovu posljednju okolnost već je znao C. Pierce (djelo neobjavljeno za vrijeme njegovog života 1880.) i ponovo ju je otkrio H. M. Shefier. Koristeći antidisjunkciju kao jedinu logičku vezu, Schaeffer je 1913. izgradio potpuni propozicioni račun. Antidisjunkcija je označena sa A B i naziva se She4)fer potez, čitajući ovaj izraz kao "ne-D i ne-B". J. G. P. Nicod je koristio istu notaciju za antikonjunkciju („Nije tačno da su A i B oboje u isto vrijeme“) i koristeći samo ovaj veznik 1917. godine formulirao je potpuni propozicijski račun s jednim (samo!) aksiomom i jednim pravilom zaključivanja . Dakle, Schaefferov potez je u suštini sama okomita linija, koja, prema različitim autorima, može označavati i antidisjunkciju i antikonjunkciju.

Ekstenzionalnost logičkih veziva daje im jedinstvenost, pojednostavljuje problem konstruisanja logičkih računa i omogućava rešavanje metateorijskih problema konzistentnosti, odlučivosti i potpunosti za ove potonje (vidi Metalogic). Međutim, u nekim slučajevima, istinito-funkcionalna interpretacija veziva dovodi do značajnog odstupanja od načina na koji se oni razumiju u prirodnom jeziku. Dakle, naznačeno istinito tumačenje implikacije nas tjera da prepoznamo kao istinite rečenice oblika „Ako A, onda B“ čak i u slučaju kada ne postoji stvarna veza između iskaza A i B (i, shodno tome, događaja koje oni o kojima govore). Dovoljno je da je A lažno ili je B tačno. Dakle, od dvije rečenice: "Ako A, onda B" i "Ako B, onda A", barem jedna mora biti prepoznata kao istinita, što se ne uklapa dobro s uobičajenom upotrebom kondicionalnog veznika. Implikacija se u ovom slučaju posebno naziva "materijalna", čime se razlikuje od kondicionalnog veznika, koji pretpostavlja da postoji stvarna veza između antecedenta i konsekventa istinitog uslovnog iskaza. Istovremeno, materijalna implikacija može se savršeno koristiti u mnogim kontekstima, na primjer, u matematičkim, kada se ne zaboravljaju njene specifičnosti. U nekim slučajevima, međutim, kontekst je taj koji ne dozvoljava da se kondicionalni veznik tumači kao materijalna implikacija, sugerirajući odnos iskaza. Da bi se analizirali takvi konteksti, potrebno je izgraditi posebne neklasične logike, na primjer, relevantne (vidi Relevantna logika), na čijim se jezikom umjesto materijalne implikacije (ili zajedno s njom) uvode druge implikacije koje su shvaćeno intenzivno (sadržajno) i čija se ispravnost ne može opravdati.istinsko-funkcionalno. Drugi logički spojevi se također mogu interpretirati intenzivno.

Konjunktivna presuda.

konjunktivni sud Propozicija koja je istinita ako i samo ako su svi iskazi uključeni u nju tačni.

Formira se pomoću logičke unije veznika, izraženog gramatičkim sindikatima "i", "da", "ali", "međutim". Na primjer, "Sjaji, ali ne grije."

Simbolički se označava na sljedeći način: A? B, gdje su A, B varijable koje označavaju jednostavne sudove, ? je simbolički izraz logičke unije veznika.

Definicija konjunkcije odgovara tablici istinitosti:

disjunktivne presude.

Postoje dvije vrste disjunktivnih prijedloga: stroga (isključiva) disjunkcija i nestroga (neekskluzivna) disjunkcija.

Stroga (isključiva) disjunkcija- složena tvrdnja koja uzima logičku vrijednost istine ako i samo ako je samo jedna od tvrdnji uključenih u nju istinita ili "što je netačno kada su obje izjave netačne." Na primjer, "Dati broj je ili višekratnik ili nije višekratnik pet."

Disjunkcija logičke unije izražena je kroz gramatičku uniju "ili ... ili".

Simbolično napisano A?B.

Logička vrijednost striktne disjunkcije odgovara tablici istinitosti:

Nestroga (neekskluzivna) disjunkcija- složena tvrdnja koja uzima logičku vrijednost istine ako i samo ako je barem jedna (ali može biti i više) od jednostavnih propozicija uključenih u složenu istinita. Na primjer, "Pisci mogu biti ili pjesnici ili prozni pisci (ili oboje)".

Nestroga disjunkcija se izražava pomoću gramatičke unije "ili ... ili" u razdjelno-vezivnom značenju.

Simbolično napisano A ? B. Nestroga disjunkcija odgovara tabeli istinitosti:

Implikativni (uslovni) sudovi.

implikacija- složena tvrdnja koja uzima logičku vrijednost lažnosti ako i samo ako je prethodni prijedlog ( antecedent) je tačno, a sljedeće ( konsekventno) je netačan.

U prirodnom jeziku, implikacija je izražena unijom "ako ... onda" u smislu "vjerovatno A a ne B". Na primjer, "Ako je broj djeljiv sa 9, onda je djeljiv i sa 3."

Simbolično, implikacija je napisana A> B (ako je A, onda B).

Booleova vrijednost je predstavljena u tabeli istinitosti:

Analiza svojstava implikacije pokazuje da je istinitost antecedenta dovoljno stanje istinitost posljedice, ali ne i obrnuto. Za neku pojavu dovoljno je takvo stanje, čije će prisustvo svakako izazvati ovu pojavu. Na primjer, "biti breza" dovoljan uslov da se uvrsti u klasu drveća, budući da su sve breze drveće i nijedna breza nije drvo.

U isto vrijeme, istina o posljedici je neophodno stanje istina prethodnog, ali nedovoljno. Neophodan uslov za pojavu je uslov bez kojeg se ona (fenomen) ne odvija. Na primjer, klasa breza je uključena u klasu stabla, ali joj nije jednaka. Ima stabala koja nisu breze. Međutim, stanje "biti drvo" za brezu je obavezno, jer su sve breze drveće.

Paradoksi materijalne implikacije.

Ovako se označava semantička nesklad između operacije materijalne implikacije i njene simboličke formule: A>B. Prema materijalnoj implikaciji istinitosti A, da bi formula A>B bila istinita, neophodno je da je B istinito. U ovom slučaju govorimo o smislenom razumijevanju neistinitosti i istinitosti iskaza. Međutim, formula A>B je tačna ne samo u ovom slučaju, već i kada je A lažna, a B je istinita čak i kada su obje netačne. Iz ove činjenice slijedi paradoks materijalne implikacije: bilo koja izjava slijedi iz lažne izjave, bilo čega, a istinita izjava slijedi iz bilo koje izjave.

Presude o ekvivalentnosti.

Ekvivalencija- složeni sud koji poprima logičku vrijednost istine ako i samo ako sudovi uključeni u njega imaju istu logičku vrijednost, odnosno ako su istovremeno istiniti ili lažni.

Logička zajednica ekvivalencije izražena je gramatičkim sindikatima "ako i samo ako, kada", "ako i samo ako". Na primjer, "Ako i samo ako je trokut jednakostraničan, onda je jednakokutan."

Simbolično je napisana ekvivalencija AB ili AB(„ako i samo ako A, zatim B").

Booleova vrijednost ekvivalencije odgovara tablici istinitosti:

Ekvivalentna presuda sa članovima povezanim po sadržaju izražava i dovoljan i neophodan uslov: (A> B)? (B> A).

Ekvivalentnost izraza (AB) i (A> B)? (B> A) može se dokazati korištenjem tablice istinitosti.

Negacija.

Negacija- ovo je logička operacija, uz pomoć koje se iz jednog iskaza dobija novi, dok se prosti prijedlog P pretvara u složeni, a ako je izvorni jednostavan prijedlog istinit, onda je novi složeni prijedlog netačan - “ nije tačno da je P” ili “tvrdnja A netačna kada je izjava AI tačna.

Izražavanje nekih logičkih spojeva kroz druge.

Gore razmotrene logičke unije su zamjenjive i izrazive kroz druge. Na primjer:

A> B = A? B - implikacija kroz disjunkciju;

A> B = B> A - implikacija kroz implikaciju;

A > B = A? B - implikacija putem veznika;

A?B = A? B - konjunkcija kroz disjunkciju;

A?B = A? B - disjunkcija kroz konjunkciju;

A?B = A? B - konjunkcija kroz disjunkciju.

§ 6. Podjela pojmova. Klasifikacija

§ 7. Ograničavanje i generalizacija pojmova

§ 8. Operacije sa klasama (obim pojmova)

Poglavlje III Presuda

§ 1. Opšte karakteristike presude

§ 2. Jednostavna presuda

§ 3. Složena presuda i njene vrste

§ 4. Izražavanje logičkih veziva (logičke konstante) u prirodnom jeziku

§ 5. Odnosi između sudova u smislu vrijednosti istine

§ 6. Podjela presuda po modalitetu

Poglavlje IV Osnovni zakoni (principi) ispravnog mišljenja

§ 1. Koncept logičkog zakona

§ 2. Zakoni logike i njihovo materijalističko razumevanje

§ 3. Upotreba formalno-logičkih zakona u nastavi

Poglavlje V Zaključak

§ 1. Opšti koncept zaključivanja

§ 2. Deduktivno zaključivanje

§ 3. Zaključci iz kategoričkih sudova putem njihove transformacije

§ 4. Jednostavan kategorički silogizam1

I. Pravila termina

§ 5. Skraćeni kategorički silogizam (entimem)

§ 6. Složeni i složeni skraćeni silogizmi (polisilogizmi, sorite, epicheirema)

§ 7. Uslovni zaključci

§ 8. Razdvojno rezonovanje

§ 9. Uslovno razdvojeni (lematski) zaključci

§ 10. Indirektni (indirektni) zaključci

§ 11. Induktivno zaključivanje i njihove vrste

§ 12. Vrste nepotpune indukcije

I view. Indukcija jednostavnim nabrajanjem (popularna indukcija)

II pogled. Uvođenje kroz analizu i odabir činjenica

III pogled. naučna indukcija

§ 13. Induktivne metode za utvrđivanje kauzalnih veza

§ 14. Dedukcija i uvođenje u obrazovni proces

§ 15. Zaključivanje po analogiji i njegove vrste. Korištenje analogija u procesu učenja

Poglavlje VI Logičke osnove teorije argumentacije

§ 1. Koncept dokaza

§ 2. Direktni i indirektni (indirektni) dokazi

§ 3. Koncept pobijanja

I. Pobijanje teze (direktno i indirektno)

II. Kritika argumenata

III. Demonstracijska detekcija kvara

§ 4. Pravila obrazloženja zasnovanog na dokazima.

II. Pravila argumenata

III. Pravila za formu potkrepljenja teze (demonstracije) i greške u formi dokaza

§ 5. Pojam sofizma i logički paradoksi

§ 6. Dokaz i rasprava

Poglavlje VII Hipoteza

§ 1. Hipoteza kao oblik razvoja znanja

§ 2. Izgradnja hipoteze i faze njenog razvoja

§ 3. Metode potvrđivanja hipoteza

§ 4. Pobijanje hipoteza

§ 5. Primjeri hipoteza koje se koriste u nastavi u školi

Poglavlje VIII uloga logike u procesu učenja

§ 1. Logička struktura pitanja

§ 2. K. D. Ushinsky i v. A. Sukhomlinsky o ulozi logike u procesu učenja

§ 3. Razvoj logičkog mišljenja učenika mlađih razreda

§ 4. Razvoj logičkog mišljenja učenika srednjih i viših razreda na časovima književnosti, matematike, istorije i drugih predmeta

Poglavlje IX Faze razvoja logike kao nauke i glavni pravci moderne simboličke logike

§ 1. Kratke informacije o istoriji klasične i neklasične logike

§ 2. Razvoj logike u vezi sa problemom potkrepljivanja matematike

§ 3. Mnogovrijedna logika

§ 4. Intuicionistička logika

§ 5. Konstruktivna logika

§ 6. Modalne logike

§ 7. Pozitivna logika

§ 8. Parakonzistentna logika

§ 4. Izražavanje logičkih veziva (logičke konstante) u prirodnom jeziku

U razmišljanju operiramo ne samo jednostavnim, već i složenim sudovima, formiranim od jednostavnih pomoću logičkih veza (ili operacija) - konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija, negacija, koje se još nazivaju logičke konstante ili logičke konstante. . Analizirajmo kako se navedeni logički veznici izražavaju u prirodnom (ruskom) jeziku.

Veznik (znak “l”) izražava se sindikatima “i”, “a”, “ali”, “da”, “iako”, “koji”, “ali”, “međutim”, “ne samo . .., ali i ", itd. U propozicionoj logici, znak "l" povezuje jednostavne iskaze, formirajući od njih složene. U prirodnom jeziku, spoj "i" i druge riječi koje odgovaraju vezniku mogu povezati imenice, glagole, priloge, prideve i druge dijelove govora. Na primjer, “Djed je imao vrganje i leptire u svojoj korpi” (ab), “Zanimljiva i lijepo dizajnirana knjiga leži na stolu.” Posljednja izjava se ne može rastaviti na dvije jednostavne, povezane veznikom: „Zanimljiva knjiga je na krovnom listu“ i „Prelijepo dizajnirana knjiga je na stolu“, jer se čini da su na stolu dvije knjige. , a ne jedan.

U propozicionoj logici, primjenjuje se zakon konjunktivnosti (ab)(ba). Ne postoji takav zakon u prirodnom ruskom jeziku, jer djeluje faktor vremena. Kada se uzima u obzir vremenski niz, upotreba "i" nije komutativna. Stoga, na primjer, sljedeće dvije tvrdnje neće biti ekvivalentne: 1) “Prikačili su lokomotivu, i voz je krenuo” i 2) “Voz je krenuo, a lokomotiva je bila pripeta”.

U prirodnom jeziku, veznik se može izraziti ne samo riječima, već i znakovima interpunkcije: zarezom, tačkom i zarezom, crtom. Na primjer, "Munja je bljesnula, grmljavina je tutnjala, počela je kiša."

S. Kleene piše o izražavanju konjunkcije pomoću prirodnog jezika u svojoj knjizi Matematička logika. U odeljku "Analiza rezonovanja" on daje (nepotpunu) listu izraza prirodnog jezika koji se mogu zameniti simbolima "L" ili "&". Formula A^B na prirodnom jeziku može se izraziti na sljedeći način:

"Ne samo A, ali takođe IN. Kako A, tako IN.

IN, iako L. A zajedno sa IN.

IN, uprkos A.A, dok IN" 7 .

Ostavljamo čitaocu da dođe do primjera svih ovih struktura.

U prirodnom (ruskom) jeziku, disjunkcija (označena sa ab i ab) se izražava sindikatima: „ili“, „ili“, „ili ... ili“ itd. Na primer, „U uveče idem u bioskop ili u biblioteku"; "Ova životinja pripada ili kralježnjacima ili beskičmenjacima"; “Izvještaj će biti zasnovan ili na djelima L. N. Tolstoja, ili na djelima F. M. Dostojevskog.”

Za obje vrste disjunkcije vrijedi zakon komutativnosti: (ab(ba) i (ab)(ba). U prirodnom jeziku, ova ekvivalencija je očuvana. Na primjer, tvrdnja " Kupit ću puter ili kruh” je ekvivalentan prijedlogu “Kupiću kruh ili puter.” S. Kleene pokazuje na koje različite načine implikaciju (AB) i ekvivalentnost ( A~B).

(Pisma A I IN varijable su naznačene.)

Navedimo logička kola i njihove odgovarajuće primjere, ilustrirajući različite načine izražavanja implikacije A -> B(Gdje A- prethodnica, IN- dosljedno).

1. Ako je A, onda B.

Ako dobavljači će isporučiti dijelove na vrijeme, To fabrika će ispuniti svoj proizvodni plan.

2. Čim A, onda B.

Čim primijenjene sile se uklanjaju, To komprimirana opruga se vraća u prvobitni oblik.

3. Kada se dogodi A, B.

Kada dolazi loše vrijeme javlja povećanje incidencije kardiovaskularnih bolesti kod ljudi.

4. A je dovoljno za B.

Za da se gasovi šire dosta zagrejte ih.

5. A treba B.

Za održavanje mira na zemlji neophodno ujediniti napore svih država u borbi za mir.

6. A, samo ako B.

Studenti ovog predmeta nisu došli na subbotnik, kad bi samo bili su bolesni.

7. B. ako A.

I pusti me u šetnju Ako uradićeš sve svoje domaće zadatke.

Navedimo logička kola i odgovarajuće primjere različitih načina izražavanja ekvivalencije.

1. A ako i samo ako B.

Ivanov neće završiti svoje eksperimente do roka, ako i samo ako osoblje mu neće pomoći.

2. Ako je A, onda B, i obrnuto.

Ako student je položio sve ispite i praksu sa odličnim ocjenama, To diplomira sa odličnim uspehom i obrnuto.

3. A ako je B i B ako je A.

Poligon je upisan u krug Ako njegovi vrhovi leže na kružnici, I vrhovi poligona leže na kružnici, Ako ovaj poligon je upisan u krug.

4. Za A, B je neophodno i dovoljno.

Za da bi broj bio djeljiv sa 3 neophodno i dovoljno, tako da je zbir cifara ovog broja djeljiv sa 3 bez ostatka.

5. A je ekvivalentno B(Ponekad).

Da je površina pravilnog poligona jednaka umnošku poluperimetra puta apoteme, je jednako da je površina pravilnog mnogougla jednaka umnošku perimetra i polovine apoteme.

6. I ako i samo ako B.

Firma će prihvatiti ponudu za kupovinu robe ako i samo ako Cijena ovog proizvoda će biti snižena za 15%.

Iz gornjih dijagrama i iskaza koji im odgovaraju sa specifičnim raznovrsnim sadržajem, postaje jasno koliko su višestruka sredstva izražavanja implikacije, ekvivalencije i drugih logičkih spojeva (logičkih termina) u prirodnom jeziku (posebno na ruskom). Isto se može reći i za druge prirodne jezike 9 .

Implikacija (ab) ne odgovara u potpunosti po značenju uniji "ako ... onda" u prirodnom jeziku, budući da možda nedostaje smislena veza između sudova A I b. U propozicionoj logici, zakon je formula: (ab)(ab).

Ali u prirodnom jeziku stvari su drugačije. Ponekad unija "ako, onda" ne izražava implikaciju, već spoj. Na primjer, "Ako je jučer bilo oblačno, danas sunce sjajno sija." Ova složena tvrdnja je izražena formulom ab. Osim logičkih veziva, za izražavanje općih i posebnih sudova u logici, koriste se kvantifikator općenitosti i kvantifikator postojanja. Zapis sa opštim kvantifikatorom VP() obično se čita ovako: „Svi X(iz neke oblasti objekata) imaju svojstvo R”, i notacija sa egzistencijalnim kvantifikatorom Z xp(X) glasi ovako: „Ima takvih X(na ovom području), koji posjeduju imovinu R". Na primjer, 3x(x>100) glasi "Postoje X, koji su više od 100", gdje je ispod X misli se na brojeve. Opšti kvantifikator se izražava riječima: “svi”, “svaki”, “svaki”, “nijedan” itd. Egzistencijalni kvantifikator se izražava riječima: “neki”, “postoje”, “većina”, “manjina” “, “samo neki”, “ponekad”, “jedan koji”, “ne svi”, “mnogo”, “mnogo”, “malo”, “mnogo”, “skoro svi” itd.

S. Kleene piše da prevođenjem običnih jezičnih izraza uz pomoć tabelarnih propozicionih veziva gubimo neke nijanse značenja, ali dobijamo tačno 10 .

U praksi matematičkog i drugog rasuđivanja postoje pojmovi „nužni uslov“ i „dovoljan uslov“. Uslov se zove neophodno, ako to proizilazi iz zaključka (posljedice). Uslov se naziva dovoljnim ako iz njega slijedi zaključak (korolar). U implikaciji a ->b varijabla A je osnova. To se zove prethodnica. Varijabilna b- posljedica (zaključak). To se zove posledica.

Učenicima se na časovima matematike nude zadaci tipa 1-4, koji zahtijevaju da se u svakoj od sljedećih rečenica umjesto tri tačke stavljaju riječi: "potrebno" ili "dovoljno", ili "potrebno i dovoljno":

1. Da bi zbir dva cijela broja bio paran broj ... tako da je svaki član paran.

2. Da bi broj bio djeljiv sa 15 ... tako da je djeljiv sa 5.

3. Da bi proizvod (X- 3) (X+2) (X- 5) bilo je jednako 0, ... tako da X= 3.

4. Da bi četvorougao bio pravougaonik... tako da su svi njegovi uglovi jednaki 11 .